Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2021

D'après le préambule de l'énoncé, l'oléoduc est prévu pour transporter un volume V = 10^6\text{ barils} par jour (\Delta t = 1\text{ jour}).

En utilisant les données numériques :

• 1\text{ baril} = 159\text{ L} = 0{,}159\text{ m}^3 ;
• \Delta t = 24 \times 3600\text{ s} = 86\,400\text{ s}.

Le débit volumique D_v s'exprime par le rapport du volume transporté sur la durée correspondante :

L'application numérique donne :

Par définition de la vitesse débitante v_m, pour un écoulement à travers une section droite S :

d'où l'expression de la vitesse débitante :

D'après l'énoncé, sur sa plus grande longueur, l'oléoduc a un diamètre D = 1070\text{ mm} = 1{,}070\text{ m}. Avec la valeur du débit volumique obtenue à la question Q1 (D_v \approx 1{,}84\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}) :

D'après l'énoncé, le pétrole parcourt la totalité de l'oléoduc, soit une longueur :

L'injection débute le 10 mai 2006 et le brut atteint Ceyhan le 28 mai 2006, soit une durée de parcours :

Le pétrole étant assimilé à un liquide incompressible, le volume injecté remplit progressivement la conduite. La vitesse moyenne d'avancement du front de pétrole correspond à la vitesse débitante moyenne sur l'ensemble du parcours :

Application numérique :

Commentaire :

• Cette vitesse est nettement inférieure à la vitesse nominale prévue en régime de croisière (v_m \approx 2{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après Q2), le débit lors du premier remplissage étant presque deux fois plus faible que le débit nominal.
• Cet écart s'explique par des impératifs d'ingénierie et de sécurité : lors d'une première mise en service, le remplissage d'une conduite initialement vide (remplie d'air ou de gaz inerte) s'effectue à vitesse réduite afin de vérifier l'étanchéité de l'ouvrage, de tester progressivement les 8 stations de pompage et les vannes, et d'éviter les coups de bélier hydrauliques lors de l'évacuation de l'air.

La conduite cylindrique est fixe dans le référentiel d'étude lié au sol : la vitesse de la paroi située en r = R est donc nulle (\vec{v}_{\text{paroi}} = \vec{0}).

Le pétrole étant modélisé comme un fluide visqueux (fluide newtonien), les interactions moléculaires à l'interface solide-fluide imposent la condition d'adhérence (ou condition de non-glissement) du fluide à la paroi.

Par continuité du champ des vitesses à l'interface, la vitesse des particules de fluide au contact direct de la paroi est égale à celle de la paroi :

Le système étudié est la portion cylindrique de fluide \Sigma, de rayon r, de longueur \ell, orientée selon l'axe horizontal (Oz). Les forces extérieures horizontales s'exerçant sur \Sigma sont des forces de contact :

1. Forces de pression sur les faces planes d'extrémité d'aire S_b = \pi r^2 :

   • sur la face amont (en z), le fluide extérieur pousse vers l'aval :

     \vec{F}_{p,1} = P_1 \pi r^2 \, \vec{u}_z

   • sur la face aval (en z + \ell), le fluide extérieur s'oppose à l'écoulement :

     \vec{F}_{p,2} = - P_2 \pi r^2 \, \vec{u}_z

2. Force de frottement visqueux sur la surface latérale S_{\text{lat}} = 2\pi r \ell :
   Le fluide situé à l'extérieur (r' > r) s'écoule moins vite que celui du système \Sigma (\mathrm{d}v/\mathrm{d}r < 0 du fait de l'adhérence à la paroi). Il exerce donc une force de freinage dirigée selon -\vec{u}_z.

   D'après la loi de Newton pour un fluide visqueux donnée dans le préambule :

   \left\Vert \vec{F}_t \right\Vert = \eta S_{\text{lat}} \left| \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right| = - 2\pi r \ell \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}

   La force tangentielle s'écrit donc vectoriellement :

   \vec{F}_t = -\left\Vert \vec{F}_t \right\Vert \vec{u}_z = 2\pi r \ell \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \, \vec{u}_z

Considérons le système fermé constitué de la masse de fluide qui coïncide à la date t avec le cylindre de contrôle fixe \Sigma. Le référentiel terrestre est supposé galiléen.

Entre les dates t et t+\mathrm{d}t, la variation de quantité de mouvement du système s'écrit, en faisant le bilan entre les débits de quantité de mouvement entrant et sortant :

Or :

• l'écoulement est stationnaire, donc la quantité de mouvement contenue dans le volume fixe \Sigma est constante au cours du temps : \mathrm{d}\vec{P}_{\Sigma} = \vec{0} ;
• le profil de vitesse v(r)\vec{u}_z est invariant par translation le long de l'axe (Oz), de sorte que le flux de quantité de mouvement sortant par la face aval compense exactement le flux entrant par la face amont : \vec{P}_{\text{sortante}} = \vec{P}_{\text{entrante}}.

Il vient donc \frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}. D'après le principe fondamental de la dynamique (ou théorème de la quantité de mouvement), la résultante des forces extérieures appliquées au système est donc nulle :

En projetant sur l'axe horizontal (Oz) avec les forces obtenues à la question Q5 :

On obtient bien la forme demandée \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -Kr en posant :

D'après le résultat de la question Q6, le gradient de vitesse vérifie :

Par intégration directe par rapport à r, on obtient :

où C est une constante d'intégration.
La condition aux limites d'adhérence du fluide à la paroi fixe du cylindre (question Q4) s'écrit v(R) = 0, ce qui donne :

On en déduit l'expression du profil de vitesse :

En remplaçant K par son expression en fonction des paramètres physiques :

Le débit volumique D_v correspond au flux du vecteur vitesse \vec{v}(r) = v(r)\,\vec{u}_z à travers une section droite de la conduite.

Compte tenu de la symétrie de révolution, on découpe la section en couronnes cylindriques de rayon r et d'épaisseur \mathrm{d}r, de vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S} = 2\pi r \, \mathrm{d}r \, \vec{u}_z. Le débit volumique élémentaire s'écrit :

En utilisant le profil parabolique établi à la question Q7, v(r) = \dfrac{P_1 - P_2}{4\eta\ell}(R^2 - r^2), le débit volumique total traversant la section vaut :

On obtient ainsi la loi de Poiseuille :

En mettant cette relation sous la forme demandée P_1 - P_2 = R_H D_v, on identifie :

La grandeur R_H est appelée résistance hydraulique de la portion de conduite. Elle quantifie l'opposition offerte par la conduite à l'écoulement du fluide sous l'effet des frottements visqueux : pour un débit volumique D_v imposé, plus R_H est élevée, plus la chute de pression nécessaire pour faire circuler le fluide est importante.

Cette relation est formellement analogue à la loi d'Ohm en électrocinétique en régime stationnaire :

où :

• la différence de pression P_1 - P_2 joue le rôle de la différence de potentiel V_1 - V_2 ;
• le débit volumique de fluide D_v joue le rôle de l'intensité du courant électrique I (débit de charge) ;
• la résistance hydraulique R_H joue le rôle de la résistance électrique R.

D'après la question Q8, la chute de pression le long d'une portion de conduite de longueur \ell s'écrit :

En introduisant l'expression du débit volumique en fonction de la vitesse débitante D_v = v_m \pi R^2, il vient :

En repérant les sections amont et aval par leurs cotes respectives z_1 = z et z_2 = z + \ell, les pressions s'écrivent P_1 = P(z) et P_2 = P(z + \ell). Le taux de variation de la pression s'exprime donc par :

Ce taux étant indépendant de \ell, la pression décroît de façon affine avec l'abscisse z. En passant à la limite \ell \to 0 (ou sur une tranche élémentaire de longueur \mathrm{d}z pour laquelle P_1 - P_2 = -\mathrm{d}P), on obtient :

• Type de diminution continue de la pression : Cette chute de pression progressive et uniforme le long de la conduite rectiligne, due aux frottements visqueux du fluide contre les parois et entre couches de fluide, est appelée perte de charge régulière (ou répartie, ou linéaire).

• Autres causes de chute de pression : Les autres causes de chute de pression sont liées aux accidents géométriques ou singularités rencontrés le long du tracé :

  • la présence de coudes ou virages ;
  • les variations de section (rétrécissements, élargissements brusques ou progressifs, comme le passage du diamètre de 1\,070\text{ mm} à 865\text{ mm}) ;
  • les obstacles internes tels que les vannes d'arrêt, robinets, filtres ou raccordements.
• Nom de ces chutes de pression : Ces chutes de pression localisées sont appelées pertes de charge singulières (ou localisées).

D'après la relation établie à la question Q10, le gradient de pression s'écrit :

Avec les données numériques suivantes :

• viscosité dynamique du pétrole : \eta = 0{,}2\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• rayon de la conduite : R = 0{,}5\text{ m} ;
• vitesse débitante : v_m = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

L'application numérique donne :

En tenant compte de la précision des données (notamment celle de \eta fournie avec un à deux chiffres significatifs), on obtient :

Dans le cadre du modèle à section constante et écoulement permanent établi en I.B et I.C, le gradient longitudinal de pression est uniforme :

La diminution (ou chute) de pression entre le départ (z = 0) et l'arrivée (z = L) s'écrit :

D'après le préambule, la longueur totale de l'oléoduc est L = 1776\text{ km} = 1{,}776 \times 10^6\text{ m}.
En reprenant la valeur obtenue à la question Q12, \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -12{,}8\text{ Pa}\cdot\text{m}^{-1}, il vient :

Sachant que 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} :

1. Distance de la première station de relevage

Le pétrole est injecté à P_{\text{inj}} = 60\text{ bar} et sa pression ne doit pas descendre en dessous de P_{\min} = 20\text{ bar}. La chute de pression maximale autorisée avant relevage est donc :

D'après la question Q12, la perte de charge linéique vaut \left|\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\right| = 12{,}8\text{ Pa}\cdot\text{m}^{-1}. La distance d_1 à laquelle doit se situer la première station de relevage s'écrit :

Application numérique :

2. Nombre de stations théoriquement nécessaires

Sur la longueur totale L = 1776\text{ km}, le nombre de tronçons de longueur d_1 est :

La pression atteint 20\text{ bar} au bout de chaque distance d_1. Les stations de relevage doivent donc être implantées aux abscisses :

À la sortie de la cinquième station de relevage (z = 1562{,}5\text{ km}), le pétrole est à nouveau à 60\text{ bar}. La distance restante jusqu'à Ceyhan est de 1776 - 1562{,}5 = 213{,}5\text{ km} < d_1, ce qui garantit une pression d'arrivée supérieure à 20\text{ bar} (environ 33\text{ bar}).

Il faut donc théoriquement 5 stations de relevage intermédiaires le long de la ligne (ce qui correspond à un total de 6 stations de pompage en incluant la station d'injection initiale à Bakou).

3. Causes de la sous-évaluation

Le texte mentionne 8 stations de pompage et 2 stations de relayage (soit un dispositif plus important que les 5 ou 6 stations calculées). Plusieurs raisons physiques expliquent cette sous-évaluation :

• Le relief du tracé (dénivelé) : l'oléoduc n'est pas horizontal et franchit des zones montagneuses (Caucase, hauts plateaux anatoliens à plus de 2800\text{ m} d'altitude). Gravir une pente impose de vaincre la pression hydrostatique \rho_p g \Delta z (une montée de 500\text{ m} induit à elle seule une perte de pression supplémentaire de \approx 40\text{ bar}).
• Les pertes de charge singulières : le tracé comporte des coudes, 101 postes de vannes d'arrêt et des réductions de diamètre, qui dissipent de l'énergie mécanique.
• La réduction du diamètre : à l'approche de Ceyhan, le diamètre passe de 1070\text{ mm} à 865\text{ mm}, ce qui augmente considérablement les pertes de charge régulières (la résistance hydraulique variant en R^{-4}).
• Le régime d'écoulement : le nombre de Reynolds réel vaut \mathrm{Re} = \frac{\rho_p v_m (2R)}{\eta} \approx \frac{800 \times 2 \times 1{,}0}{0{,}2} \approx 8000 > 2000. L'écoulement est en réalité turbulent, ce qui génère des frottements et une perte de charge linéique plus élevés que le modèle laminaire de Poiseuille.

Le premier principe pour un fluide incompressible en écoulement stationnaire dans une machine sans échange thermique (q = 0) s'écrit, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle de pesanteur entre l'aspiration et le refoulement :

où w_i est le travail massique indiqué reçu par le fluide.

La puissance indiquée minimale \mathcal{P}_{i,\min} (puissance hydraulique minimale à fournir au fluide) s'obtient en multipliant par le débit massique D_m = \rho_p D_v :

avec :

• \Delta P = P_s - P_e = 60 - 20 = 40\text{ bar} = 4{,}0 \times 10^6\text{ Pa} ;
• D_v = 1{,}84\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q1).

L'application numérique donne :

soit :

Remarque : en prenant le débit issu des données simplifiées de la question Q12 (R = 0{,}5\text{ m} et v_m = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), on a D_v = \pi R^2 v_m \approx 1{,}57\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, ce qui conduirait à \mathcal{P}_{i,\min} \approx 6{,}3\text{ MW}.

Commentaire :

• Cette puissance de l'ordre de 7{,}4\text{ MW} par station est considérable : elle est comparable à la puissance d'une rame de TGV à pleine vitesse (environ 9\text{ MW}).
• Pour l'ensemble de l'oléoduc (qui compte 8 stations de pompage), la puissance totale transmise au fluide s'élève à près de 60\text{ MW}.
• En pratique, compte tenu du rendement mécanique et hydraulique de la pompe (de l'ordre de 70 à 80\,\%) et du moteur électrique d'entraînement, la puissance électrique consommée par chaque station approche les 10\text{ MW}.

Rappelons les règles usuelles de détermination du nombre (ou degré) d'oxydation noté \text{n.o.} :

• Pour un corps pur simple sous forme neutre, le nombre d'oxydation de chaque élément est nul :

  \boxed{\text{n.o.}(\mathrm{Fe}) = 0 \quad \text{dans } \mathrm{Fe(s)}}

• Pour un ion monoatomique, le nombre d'oxydation est égal à la charge algébrique de l'ion :

  \boxed{\text{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{II} \quad \text{dans } \mathrm{Fe^{2+}(aq)}}
  \boxed{\text{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{III} \quad \text{dans } \mathrm{Fe^{3+}(aq)}}

• Pour un composé neutre, la somme des nombres d'oxydation pondérés par la stœchiométrie est nulle. Dans les hydroxydes, l'oxygène est au degré d'oxydation -\mathrm{II} et l'hydrogène au degré d'oxydation +\mathrm{I}, conférant au groupement hydroxyde une charge globale -\mathrm{I} :

  • dans \mathrm{Fe(OH)_2(s)} :

    \text{n.o.}(\mathrm{Fe}) + 2 \times [\,\text{n.o.}(\mathrm{O}) + \text{n.o.}(\mathrm{H})\,] = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Fe}) + 2 \times (-\mathrm{I}) = 0
    \boxed{\text{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{II} \quad \text{dans } \mathrm{Fe(OH)_2(s)}}

  • dans \mathrm{Fe(OH)_3(s)} :

    \text{n.o.}(\mathrm{Fe}) + 3 \times [\,\text{n.o.}(\mathrm{O}) + \text{n.o.}(\mathrm{H})\,] = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Fe}) + 3 \times (-\mathrm{I}) = 0
    \boxed{\text{n.o.}(\mathrm{Fe}) = +\mathrm{III} \quad \text{dans } \mathrm{Fe(OH)_3(s)}}

D'après les résultats de la question Q16, les cinq espèces se répartissent selon trois nombres d'oxydation :

• \mathrm{n.o.} = +\mathrm{III} pour \mathrm{Fe^{3+}(aq)} et \mathrm{Fe(OH)_3(s)} ;
• \mathrm{n.o.} = +\mathrm{II} pour \mathrm{Fe^{2+}(aq)} et \mathrm{Fe(OH)_2(s)} ;
• \mathrm{n.o.} = 0 pour \mathrm{Fe(s)}.

1. Classement selon le potentiel (axe vertical) :

• Le domaine situé tout en bas (potentiels les plus réducteurs, E < -0{,}4\text{ V}) correspond à l'unique espèce de nombre d'oxydation nul, le fer métallique :

  \text{Domaine E} \iff \mathrm{Fe(s)}
• Les domaines intermédiaires correspondent au nombre d'oxydation +\mathrm{II} : domaines C et D.
• Les domaines supérieurs correspondent au nombre d'oxydation +\mathrm{III} : domaines A et B.

2. Classement selon le pH (axe horizontal) : À nombre d'oxydation fixé, l'augmentation du pH favorise la formation du précipité d'hydroxyde selon l'équilibre de précipitation :

Les ions aqueux sont donc stables en milieu acide (à gauche), tandis que les hydroxydes solides précipitent à des pH plus élevés (à droite) :

• Pour le degré +\mathrm{III} :

  \begin{aligned} \text{Domaine A (milieu acide)} &\iff \mathrm{Fe^{3+}(aq)} \\ \text{Domaine B (milieu plus basique)} &\iff \mathrm{Fe(OH)_3(s)} \end{aligned}

• Pour le degré +\mathrm{II} :

  \begin{aligned} \text{Domaine C (milieu acide à neutre)} &\iff \mathrm{Fe^{2+}(aq)} \\ \text{Domaine D (milieu basique)} &\iff \mathrm{Fe(OH)_2(s)} \end{aligned}

On en déduit l'attribution complète :

Sur le diagramme potentiel-pH (figure 4), le domaine de stabilité thermodynamique de l'eau est la zone comprise entre les deux droites en pointillés relatives aux couples \mathrm{O_2(g)/H_2O} et \mathrm{H_2O/H_2(g)}.

Le domaine E, qui correspond au domaine d'existence du fer métallique \mathrm{Fe(s)}, est situé entièrement en dessous de la frontière inférieure de stabilité de l'eau (couple \mathrm{H_2O/H_2(g)}).

Les domaines de stabilité du fer et de l'eau n'ont donc aucun recouvrement commun :

Il s'oxyde spontanément en réduisant l'eau (avec dégagement de dihydrogène \mathrm{H_2(g)}), même en l'absence de dioxygène dissous.

À un \mathrm{pH} proche de la neutralité (\mathrm{pH} \approx 7), le potentiel standard apparent du couple \mathrm{O_2(aq)}/\mathrm{H_2O(l)} vaut :

À ce potentiel très élevé, l'espèce thermodynamiquement stable du fer est l'hydroxyde de fer(III) \mathrm{Fe(OH)_3(s)} (domaine B).

En milieu proche de la neutralité, les demi-équations électroniques s'écrivent avec l'eau et les ions hydroxyde \mathrm{HO^-} :

• Réduction du dioxygène dissous :

  \mathrm{O_2(aq)} + 2\,\mathrm{H_2O(l)} + 4\,\mathrm{e^-} = 4\,\mathrm{HO^-(aq)}

• Oxydation du fer métallique en hydroxyde de fer(III) :

  \mathrm{Fe(s)} + 3\,\mathrm{HO^-(aq)} = \mathrm{Fe(OH)_3(s)} + 3\,\mathrm{e^-}

En combinant ces deux demi-équations afin d'échanger 12\,\mathrm{e^-}, les ions \mathrm{HO^-} se simplifient, ce qui conduit à l'équation bilan globale de corrosion (formation de la rouille) :

D'après l'énoncé et la figure 5, la conduite en acier est reliée à la borne négative (pôle -) de la source de courant continu.

Dans le circuit métallique extérieur reliant le générateur à la conduite :

• le générateur débite des électrons depuis sa borne négative vers la structure métallique à protéger ;
• à la surface de la conduite (interface métal/sol), ces électrons sont transférés aux espèces oxydantes présentes dans l'électrolyte (notamment le dioxygène dissous et l'eau), qui subissent ainsi une réaction de réduction.

Par définition, l'électrode où se produit une réduction est la cathode. La conduite joue donc bien le rôle de cathode.

D'après la question précédente (Q17), le domaine noté E correspond au fer métallique \mathrm{Fe(s)} : il s'agit du domaine d'immunité du fer.

Pour les pH usuels des sols naturels (compris typiquement entre 5 et 9), la frontière entre le domaine d'oxydation (C : \mathrm{Fe^{2+}}) et le domaine d'immunité (E : \mathrm{Fe}) est horizontale. Avec la convention de tracé C = 10^{-6}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, la formule de Nernst donne :

Cette valeur correspond bien au palier horizontal observé sur la figure 4 à E \approx -0{,}6\text{ V}.

En abaissant le potentiel de la conduite à E = -800\text{ mV} = -0{,}80\text{ V} :

• le point de fonctionnement se situe nettement en dessous de la frontière d'oxydation : l'acier se trouve placé au sein de son domaine d'immunité, ce qui rend la réaction d'oxydation du fer (corrosion) thermodynamiquement impossible ;
• l'écart d'environ 180\text{ mV} en dessous de la frontière constitue une marge de sécurité suffisante pour pallier d'éventuelles chutes ohmiques dans le sol ou de légères fluctuations locales d'acidité.

On veille toutefois à ne pas choisir un potentiel excessivement bas (fortement négatif) : cela favoriserait une réduction trop intense des molécules d'eau avec formation de dihydrogène gazeux \mathrm{H_2(g)}, entraînant une fragilisation de l'acier (« fragilisation par l'hydrogène ») et une surconsommation électrique inutile.

1. Demi-équation à l'anode (borne positive)

L'anode déversoir étant inattaquable, le matériau de l'électrode ne peut pas s'oxyder. L'espèce du milieu (sol/eau) susceptible d'être oxydée est l'eau, selon le couple \mathrm{O_2(g)/H_2O(l)} :

2. Demi-équation à la cathode (borne négative)

La conduite joue le rôle de cathode, siège d'une réduction. L'oxydant thermodynamiquement le plus fort présent dans le sol humide est le dioxygène dissous \mathrm{O_2(aq)}. Sa réduction à la surface de la conduite s'écrit, en milieu proche de la neutralité :

(ou sous forme basique : \mathrm{O_2(aq)} + 2\,\mathrm{H_2O(l)} + 4\,\mathrm{e^-} = 4\,\mathrm{HO^-(aq)}).

3. Équation de la réaction globale

En sommant les deux demi-équations électroniques, le bilan global de la transformation chimique s'écrit :

Le passage du courant consomme le dioxygène dissous au contact immédiat de la conduite (ce qui supprime l'agent oxydant responsable de la corrosion du fer) et déporte la production de dioxygène à l'anode déversoir, située à distance de l'ouvrage.

Sur la figure 5, les lignes en pointillés fléchées relient l'anode déversoir (borne positive du générateur) à la structure métallique à protéger (cathode, reliée à la borne négative) à travers le sol (qui joue le rôle d'électrolyte conducteur ionique).

Ces lignes orientées représentent les lignes de courant électrique (ou lignes de champ du vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath}) circulant dans l'électrolyte.

En vertu de la loi d'Ohm locale dans l'électrolyte homogène de conductivité \gamma,

elles représentent également les lignes de champ électrique \vec{E} dans le milieu conducteur, orientées selon les potentiels décroissants depuis l'anode vers la cathode.

On étudie le tronçon numéro n, assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel d'étude supposé galiléen muni du repère d'axe horizontal (Ox) orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_x.

À l'équilibre, l'abscisse du tronçon n est X_n^{\text{éq}} = n a. Lors du passage de l'onde, son abscisse devient :

La dérivée seconde de sa position est simplement l'accélération du déplacement algébrique :

Le tronçon n est soumis aux actions mécaniques suivantes :

• son poids et la réaction verticale du support, qui se compensent d'après l'énoncé ;

• la force exercée par le ressort de droite (reliant le tronçon n au tronçon n+1) : la longueur de ce ressort est L_{n, n+1} = X_{n+1} - X_n = a + x_{n+1} - x_n. La force de rappel exercée sur le tronçon n s'écrit :

  \vec{F}_{\text{droite} \to n} = K (L_{n, n+1} - a)\,\vec{u}_x = K \bigl(x_{n+1}(t) - x_n(t)\bigr)\,\vec{u}_x

• la force exercée par le ressort de gauche (reliant le tronçon n-1 au tronçon n) : la longueur de ce ressort est L_{n-1, n} = X_n - X_{n-1} = a + x_n - x_{n-1}. La force de rappel exercée sur le tronçon n s'écrit :

  \vec{F}_{\text{gauche} \to n} = -K (L_{n-1, n} - a)\,\vec{u}_x = K \bigl(x_{n-1}(t) - x_n(t)\bigr)\,\vec{u}_x

En appliquant la seconde loi de Newton au tronçon n et en projetant sur l'axe (Ox) :

En divisant par la masse m, on obtient directement :

Par identification avec l'équation (II.1), on en déduit l'expression de \Gamma :

Dans l'expression du déplacement du tronçon numéro n,

la position d'équilibre du tronçon est z_n = n a. Cette onde se propage le long de la chaîne dans le sens des z croissants. Les trois constantes positives représentent :

• X_0 est l'amplitude de l'onde (ou déplacement maximal d'un tronçon par rapport à sa position d'équilibre), exprimée en mètres (\text{m}).

• \omega est la pulsation temporelle (ou pulsation angulaire de l'onde), exprimée en \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}. Elle caractérise la périodicité temporelle du mouvement et est reliée à la période temporelle T et à la fréquence f par :

  T = \frac{2\pi}{\omega} \quad \text{et} \quad f = \frac{\omega}{2\pi}.

• k est le nombre d'onde (ou pulsation spatiale), exprimé en \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}. Il caractérise la périodicité spatiale de l'onde continue sous-jacente et est relié à la longueur d'onde \lambda par :

  \lambda = \frac{2\pi}{k}.

À la solution réelle x_n(t) = X_0 \cos(\omega t - kna), on associe la grandeur complexe :

En dérivant deux fois par rapport au temps, il vient :

Les déplacements des tronçons voisins s'écrivent :

En injectant ces grandeurs complexes dans l'équation différentielle (II.1) :

Pour une onde non nulle (\underline{x}_n(t) \neq 0), on simplifie par \underline{x}_n(t) :

En utilisant l'identité trigonométrique 1 - \cos(ka) = 2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right), on obtient directement :

D'après la question Q26, la pulsation \omega et le vecteur d'onde k sont reliés par :

Comme \omega et k sont choisis positifs, et en considérant ka/2 \in [0, \pi], on a :

Sous l'hypothèse des grandes longueurs d'onde devant le pas du réseau (ka \ll 1), la quantité ka/2 est petite devant 1. Au premier ordre de développement, on a :

La relation de dispersion se simplifie donc sous la forme linéaire :

La célérité c de l'onde (vitesse de phase) est définie par c = \dfrac{\omega}{k}, ce qui donne directement :

Un tronçon d'oléoduc de longueur au repos L = a = 12\text{ m} soumis à un effort de traction T s'allonge de \Delta L. D'après la loi de Hooke :

Par analogie avec la force de rappel d'un ressort élastique T = K \Delta L, on identifie la raideur équivalente du tronçon :

Le volume d'acier constituant un tronçon est V_a = S L, de sorte que la masse m de ce tronçon s'écrit :

D'après les données du préambule, N = 150\,000 sections de tube représentent une masse totale M_{\text{tot}} = 594\,000\text{ tonnes}. La masse d'un tronçon est donc :

En injectant l'expression de S dans celle de K, il vient :

Application numérique : Avec E = 200\text{ GPa} = 2{,}00 \times 10^{11}\text{ Pa}, \rho_a = 8000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, L = 12\text{ m} et m = 3{,}96 \times 10^3\text{ kg} :

(ou K \approx 6{,}94 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} \approx 7 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} avec m = 4\text{ tonnes}).

D'après la question Q27 et la question Q24, la célérité des ondes longitudinales dans la limite des grandes longueurs d'onde (ka \ll 1) s'écrit :

Les données fournies sont :

• a = 12\text{ m} ;
• K = 7 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} ;
• m = 4\text{ tonnes} = 4 \times 10^3\text{ kg}.

L'application numérique donne :

En ne retenant qu'un nombre raisonnable de chiffres significatifs compte tenu des données (K et m à un chiffre significatif) :

1. Détermination de la célérité c de l'onde

Sur la figure 8, on peut repérer l'avancée du front d'onde (tronçon le plus avancé commençant à bouger) aux trois dates données :

• à t_1 = 40\text{ ms}, le front atteint le tronçon n_1 \approx 17 ;
• à t_2 = 80\text{ ms}, le front atteint le tronçon n_2 \approx 34 ;
• à t_3 = 120\text{ ms}, le front atteint le tronçon n_3 \approx 51.

En un intervalle \Delta t = 40\text{ ms}, le front progresse de \Delta n \approx 17 tronçons, soit une distance parcourue :

On en déduit la vitesse de propagation de l'onde :

On vérifie sur la figure 9 que le tronçon n°20 (situé à x = 20 a = 240\text{ m}) commence à bouger à t \approx 48\text{ ms}, ce qui conduit à c \approx \frac{240}{48 \times 10^{-3}} = 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

2. Détermination de la longueur d'onde \lambda

Sur le profil spatial à t = 120\text{ ms} (figure 8), les oscillations en arrière du front d'onde présentent des crêtes bien définies. En repérant les pics :

• le premier pic est situé à n \approx 47 ;
• le cinquième pic est situé à n \approx 23.

Sur 4 pseudo-périodes spatiales, l'écart est de \Delta n_{\text{tot}} \approx 47 - 23 = 24 tronçons, soit en moyenne \Delta n \approx 6 tronçons par période spatiale. Avec a = 12\text{ m} :

3. Détermination de la période T

Sur la figure 9 représentant le déplacement du tronçon n°20 en fonction du temps, on observe des oscillations dont les crêtes successives sont situées à :

Sur 4 périodes complètes, la durée écoulée est \Delta t = 112 - 56 = 56\text{ ms}, d'où :

L'analyse des résultats obtenus à la question précédente appelle trois commentaires principaux :

1. Accord entre théorie et simulation sur la célérité : La célérité déduite du déplacement du front de l'onde (c \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) est en parfait accord avec la valeur théorique calculée à la question Q29 (c = \sqrt{\Gamma}a \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). On retrouve par ailleurs la vitesse de propagation des ondes acoustiques longitudinales dans une barre d'acier :

   c_{\text{acier}} = \sqrt{\frac{E}{\rho_a}} = \sqrt{\frac{200 \times 10^9}{8000}} = 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

2. Cohérence de la relation fondamentale de propagation : Le rapport de la longueur d'onde mesurée sur la période mesurée donne :

   \frac{\lambda}{T} \approx \frac{72}{14 \times 10^{-3}} \approx 5{,}1 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx c.

   Les mesures spatiales et temporelles effectuées sur les graphiques sont donc mutuellement très cohérentes.

3. Manifestation de la dispersion du réseau : La longueur d'onde mesurée vaut \lambda \approx 6\,a, ce qui conduit à :

   ka = \frac{2\pi a}{\lambda} \approx \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05.

   L'approximation des grandes longueurs d'onde (ka \ll 1) n'est donc pas vérifiée pour ces composantes oscillatoires. La chaîne discrète est alors dispersive : la vitesse de groupe s'écrit

   v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \sqrt{\Gamma}a\cos\left(\frac{ka}{2}\right) = c\cos\left(\frac{ka}{2}\right) < c.

   Les composantes spectrales de plus haute fréquence se propagent ainsi plus lentement que le front raide (qui avance à la célérité maximale c), ce qui explique l'apparition et l'étalement du train d'oscillations en arrière du front sur la figure 8.

Soit \vec{u}_{B \to A} = \frac{\vec{BA}}{\|\vec{BA}\|} le vecteur unitaire orienté de la source B vers le point d'observation A, et notons r = AB = \|\vec{BA}\| la distance séparant les deux points.

• Force d'interaction électrostatique (loi de Coulomb) :

  La force exercée par la charge q_B sur la charge q_A s'écrit :

  \boxed{\vec{F}_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_A q_B}{r^3} \, \vec{BA}}

  où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide. Cette interaction est répulsive si les charges sont de même signe (q_A q_B > 0) et attractive si elles sont de signes opposés (q_A q_B < 0).

• Force d'attraction gravitationnelle (loi de Newton) :

  La force exercée par la masse m_B sur la masse m_A est toujours attractive, dirigée de A vers B (donc opposée à \vec{u}_{B \to A}) :

  \boxed{\vec{F}_g = - G \frac{m_A m_B}{r^2} \, \vec{u}_{B \to A} = - G \frac{m_A m_B}{r^3} \, \vec{BA}}

  où G est la constante gravitationnelle universelle.

D'après les lois d'interaction établies à la question Q32, le champ électrostatique \vec{E} créé en un point A par une charge ponctuelle q_B située en B et le champ gravitationnel \vec{g} créé par une masse ponctuelle m_B située en B s'écrivent :

La comparaison terme à terme de ces deux expressions conduit au dictionnaire d'analogie suivant :

• Champ : \vec{E} \longleftrightarrow \vec{g} ;
• Source ponctuelle (ou intérieure) : q \longleftrightarrow m (et Q_{\text{int}} \longleftrightarrow M_i) ;
• Facteur de couplage : \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \longleftrightarrow -G, ce qui équivaut à \dfrac{1}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi G.

Le théorème de Gauss pour le champ électrostatique à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur s'écrit :

En remplaçant \vec{E} par \vec{g}, Q_{\text{int}} par la masse intérieure M_i et \dfrac{1}{\varepsilon_0} par -4\pi G, on obtient le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :

Soit un point de l'espace M repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).

1. Étude des invariances : La distribution de masse est une couche plane homogène d'épaisseur H, d'extension infinie selon les axes (Ox) et (Oy). Elle est donc invariante par :

• translation de vecteur quelconque \delta x \, \vec{u}_x selon l'axe (Ox) ;
• translation de vecteur quelconque \delta y \, \vec{u}_y selon l'axe (Oy).

En vertu du principe de Curie, le champ gravitationnel créé possède les mêmes invariances que sa source. Les composantes de \vec{g}_c(M) ne dépendent donc ni de x ni de y, mais uniquement de la coordonnée z :

2. Étude des symétries : Considérons les deux plans passant par le point M(x, y, z) et perpendiculaires à la couche :

• le plan \Pi_1 = (M, \vec{u}_x, \vec{u}_z) ;
• le plan \Pi_2 = (M, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

La distribution de masse étant invariante par translation dans le plan (Oxy), ces deux plans sont des plans de symétrie plane de la distribution de masse.

Le champ gravitationnel \vec{g}_c étant un champ vectoriel polaire (au même titre que le champ électrostatique \vec{E}), il appartient à tout plan de symétrie de sa distribution de source passant par le point considéré :

Le champ \vec{g}_c(M) est donc dirigé selon l'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la droite passant par M et de vecteur directeur \vec{u}_z.

En combinant l'étude des invariances et des symétries, on en déduit la forme recherchée :

Considérons une surface de Gauss \Sigma constituée d'un cylindre fermé d'axe (Oz), de section droite d'aire S, délimité par :

• une base supérieure S_{\text{haut}} située à l'altitude z > H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = +\vec{u}_z ;
• une base inférieure S_{\text{bas}} située à l'altitude -z < -H/2, de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{u}_z ;
• une surface latérale S_{\text{lat}} cylindrique de génératrices parallèles à (Oz), de normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} \perp \vec{u}_z.

Le flux sortant du champ gravitationnel à travers \Sigma se décompose en :

D'après la question Q34 :

• sur la surface latérale, \vec{g}_c(z) \parallel \vec{u}_z \perp \vec{n}_{\text{lat}}, d'où \vec{g}_c \cdot \vec{n}_{\text{lat}} = 0 et le flux latéral est nul ;
• sur la base supérieure (z > H/2), \vec{g}_c(z) \cdot \vec{u}_z = g_c(z), donc le flux vaut g_c(z) S ;
• sur la base inférieure (-z < -H/2), \vec{g}_c(-z) \cdot (-\vec{u}_z) = -g_c(-z).

Par antisymétrie par rapport au plan (Oxy), g_c(-z) = -g_c(z), d'où :

Puisque z > H/2, le cylindre intercepte toute l'épaisseur H de la couche plane. La masse intérieure est donc :

En appliquant le théorème de Gauss gravitationnel (question Q33) :

On simplifie par 2S, ce qui donne la composante g_c :

Ce résultat est indépendant de l'altitude z dans toute la région z > H/2.

Par application du principe de superposition linéaire du champ gravitationnel, la configuration avec nappe de pétrole (figure 10 droite) est équivalente à la somme :

• du sol homogène non perturbé créant le champ -g\,\vec{u}_z ;

• d'une tranche plane d'épaisseur H, infinie selon (Ox) et (Oy), de masse volumique apparente :

  \rho_c = \rho_p - \rho_s.

D'après le résultat de la question Q35, cette couche crée en tout point situé au-dessus d'elle (z > H/2) un champ gravitationnel additionnel :

Le champ gravitationnel total mesuré par l'avion s'écrit donc :

Par identification avec l'expression donnée par l'énoncé, \vec{g}' = -(g - \Delta g)\,\vec{u}_z, on en déduit l'expression de l'anomalie gravitationnelle :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2},
• \rho_s = 2800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• \rho_p = 800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \implies \rho_s - \rho_p = 2000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• H = 200\text{ m}.

La tige étant homogène et de longueur 2\ell, son centre d'inertie G est situé en son milieu, soit à une distance OG = \ell du point d'attache O.

La liaison pivot d'axe \Delta contraint la tige à se déplacer dans un plan \mathcal{P} orthogonal à \Delta. Dans ce plan, le point G décrit un cercle de centre O et de rayon \ell.

Soit \vec{u}_z le vecteur unitaire vertical ascendant et \vec{u}_\Delta le vecteur unitaire le long de l'axe \Delta. D'après l'énoncé, l'axe \Delta est incliné d'un angle \alpha par rapport à la verticale, donc :

La composante du champ de pesanteur (ou de la verticale) dans le plan du mouvement \mathcal{P} correspond à la ligne de plus grande pente de ce plan, inclinée de \alpha par rapport au plan horizontal.

Décomposons le vecteur unitaire vertical \vec{u}_z dans une base adaptée au plan \mathcal{P} :

• une direction \vec{e}_1 orthogonale à \Delta, située dans le plan (Oyz), dirigée vers le bas le long de la ligne de plus grande pente : \vec{u}_z \cdot \vec{e}_1 = -\sin\alpha ;
• une direction \vec{e}_2 = \vec{u}_x horizontale, contenue dans le plan \mathcal{P} : \vec{u}_z \cdot \vec{e}_2 = 0.

Le centre d'inertie G a pour vecteur position dans le plan \mathcal{P} :

où \theta = 0 correspond à la position d'équilibre stable (altitude minimale de G).

L'altitude z_G de G (en prenant z_O = 0) s'écrit alors :

L'énergie potentielle de pesanteur de la tige s'en déduit à une constante additive près :

En choisissant conventionnellement l'origine des énergies potentielles à la position d'équilibre \theta = 0 (E_p(0) = 0) :

Le référentiel d'étude lié au laboratoire est supposé galiléen. La tige, de masse m et de longueur 2\ell, effectue un mouvement de rotation pure autour de l'axe fixe \Delta avec la vitesse angulaire \dot{\theta}(t).

Son énergie cinétique s'écrit :

D'après le résultat de la question Q37, l'énergie potentielle de pesanteur s'exprime (à une constante additive près) par :

L'énergie mécanique totale de la tige est donc :

La liaison pivot d'axe \Delta en O étant parfaite et les frottements étant négligés, la puissance des forces de liaison est nulle. Le poids étant une force conservative, le système est conservatif :

En dérivant l'énergie mécanique par rapport au temps :

Cette égalité étant vérifiée à tout instant pour un mouvement quelconque (\dot{\theta}(t) non identiquement nulle), on simplifie par \frac{4}{3} m\ell^2 \dot{\theta}, ce qui conduit directement à :

Dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (\theta \ll 1), on effectue le développement limité \sin\theta \approx \theta. L'équation différentielle établie à la question Q38 devient :

La période propre T des petites oscillations s'écrit alors :

Pour un axe de rotation horizontal, soit une oscillation de la tige dans un plan vertical (\alpha = 90^\circ et \sin\alpha = 1), la période vaut T_0 :

On en déduit l'expression de la période T en fonction de \alpha et de T_0 :

Commentaire sur le choix d'un angle \alpha faible :

• Lorsque l'angle \alpha est choisi faible (\alpha \to 0), \sin\alpha est petit devant 1, ce qui conduit à une période T nettement supérieure à T_0 (T \gg T_0).

• Une période plus grande présente un double intérêt expérimental :

  • elle permet de chronométrer les oscillations avec une incertitude relative plus faible, l'erreur absolue sur la mesure temporelle étant fixée par l'instrument ;
  • elle amplifie la variation absolue de période \Delta T engendrée par une très faible anomalie \Delta g du champ gravitationnel, rendant celle-ci beaucoup plus facile à détecter.

D'après la question Q39, la période des petites oscillations s'écrit :

Comme \Delta T \ll T et \Delta g \ll g, on peut assimiler le rapport des variations finies à la valeur absolue de la dérivée :

En prenant le logarithme népérien de l'expression de T :

Par différentiation par rapport à g, tous les autres paramètres étant maintenus constants :

On en déduit l'expression de la sensibilité :

En remplaçant T par son expression littérale :

D'après la question précédente, la sensibilité du gravimètre s'écrit :

En élevant au carré, on en déduit l'expression de \sin\alpha :

La tige a pour longueur totale L = 2\ell = 1\text{ m}, d'où la demi-longueur :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \Delta g = 1 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \Delta T = 1\text{ ms} = 1 \times 10^{-3}\text{ s} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \ell = 0{,}5\text{ m}.

Le rapport vaut \dfrac{\Delta g}{\Delta T} = 0{,}10\text{ s}^{-1}, ce qui donne :

L'angle étant très petit, on a \sin\alpha \approx \alpha (avec \alpha en radians) :

En convertissant en degrés (\alpha(^{\circ}) = \alpha(\text{rad}) \times \frac{180}{\pi}) :

Remarque : Si l'on interprétait la longueur de la tige comme étant \ell = 1\text{ m}, on obtiendrait \sin\alpha \approx 1{,}4 \times 10^{-4}, soit \alpha \approx 8{,}0 \times 10^{-3\circ}.

Commentaire :

• L'angle d'inclinaison requis est extrêmement faible : \alpha \approx 4 \times 10^{-3\circ} \approx 14'' d'arc. Un réglage d'une telle précision et sa stabilité mécanique vis-à-vis des vibrations parasites sont techniquement très difficiles à réaliser.

• De plus, la période d'oscillation correspondante vaut :

  T = 2g \frac{\Delta T}{\Delta g} = 2 \times 9{,}8 \times 10 \approx 196\text{ s} \approx 3{,}3\text{ minutes}

  Une mesure exigerait plusieurs périodes d'observation (soit plusieurs dizaines de minutes), ce qui rend le dispositif très sensible aux dérives thermiques et aux frottements (pourtant négligés ici).

• Ce dispositif rudimentaire n'est donc pas adapté pour mesurer de si faibles anomalies de pesanteur sur le terrain, ce qui justifie l'emploi de gravimètres interférométriques plus précis et plus rapides.

Pour pouvoir observer des interférences lumineuses stables et contrastées à partir de deux faisceaux, plusieurs conditions pratiques doivent être satisfaites :

1. Cohérence mutuelle (source unique) : les deux ondes lumineuses doivent avoir une différence de phase constante au cours du temps à l'émission. En pratique, cela impose d'utiliser une même source primaire (ici un laser) dédoublée par division d'amplitude (à l'aide de lames séparatrices dans un interféromètre) ou par division du front d'onde.

2. Cohérence temporelle (différence de marche bornée) : la différence de marche \delta entre les deux faisceaux doit rester très inférieure à la longueur de cohérence \ell_c = c\tau_c de la source lumineuse :

   |\delta| \ll \ell_c

   Cette condition est d'autant plus facile à respecter que la source est quasi-monochromatique (un laser présente une longueur de cohérence pouvant aller de quelques centimètres à plusieurs mètres).

3. Recouvrement spatial : les deux faisceaux doivent se superposer géométriquement sur la zone de détection (ici la photodiode).
4. Polarisations non orthogonales : d'après les lois de Fresnel-Arago, deux ondes polarisées selon des directions orthogonales n'interfèrent pas. Les états de polarisation des deux faisceaux doivent donc avoir une composante commune (idéalement, des polarisations identiques).
5. Intensités comparables : pour obtenir un contraste V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} proche de 1, les intensités I_1 et I_2 des deux faisceaux doivent être du même ordre de grandeur.

On étudie le coin de cube, assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'axe (Oz) est orienté selon la verticale descendante, avec pour vecteur unitaire \vec{u}_z.

L'objet étant lâché dans une enceinte sous vide, il est en chute libre et n'est soumis qu'à son propre poids :

D'après la deuxième loi de Newton :

Une première intégration avec la condition initiale d'une vitesse initiale nulle, \dot{z}(0) = 0, conduit à la vitesse instantanée :

Une seconde intégration avec la condition initiale d'une position de départ à l'origine, z(0) = 0, donne la loi horaire du mouvement :

D'après la formule de Fresnel avec deux faisceaux de même intensité I_1 = I_2 = I_0, l'intensité lumineuse résultante s'écrit :

En utilisant l'expression du déphasage fournie et la loi horaire de chute libre z(t) = \frac{1}{2}gt^2 (question Q43), on obtient :

La tension mesurée par la photodiode, proportionnelle à l'intensité lumineuse, présente les caractéristiques suivantes :

• Bornes et contraste : le terme en cosinus oscille entre -1 et +1. L'intensité oscille donc entre une valeur minimale I_{\min} = 0 et une valeur maximale I_{\max} = 4I_0. Le contraste est maximal (V = 1), ce qui correspond sur la figure 14 à une tension oscillant entre 0\text{ V} et 8\text{ V}.

• Évolution temporelle et fréquence instantanée : la pulsation instantanée du signal est donnée par :

  \omega_{\text{inst}}(t) = \frac{\mathrm{d}\Delta\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{4\pi}{\lambda_0}\dot{z}(t) = \frac{4\pi g}{\lambda_0}t

  soit une fréquence instantanée :

  f_{\text{inst}}(t) = \frac{\omega_{\text{inst}}(t)}{2\pi} = \frac{2g}{\lambda_0}t = \frac{2v(t)}{\lambda_0}

  La vitesse de chute v(t) = gt du catadioptre augmente linéairement avec le temps sous l'effet de la pesanteur. Par conséquent, la fréquence instantanée croît linéairement au cours du temps (et la pseudo-période diminue) : le défilement des franges d'interférence sur le détecteur est de plus en plus rapide, ce qui se traduit par des oscillations de plus en plus resserrées sur l'enregistrement.

L'ordre d'interférence est défini par :

À l'instant initial t = 0, on a z(0) = 0, donc p(0) = 0. Le signal est alors à un maximum d'intensité (U = 8\text{ V}, correspondant à \cos(\Delta\varphi) = 1).

Chaque passage successif par un maximum d'intensité correspond à une augmentation de l'ordre d'interférence d'une unité (\Delta p = 1). En comptant les maxima sur la figure 14 à partir de t = 0 exclu jusqu'à la fin de l'acquisition à t_f = 1{,}0\text{ ms} :

• le premier maximum se situe vers t \approx 0{,}25\text{ ms} ;
• on dénombre 15 maxima successifs sur la durée de l'enregistrement, le 15e pic se trouvant juste avant la fin de l'enregistrement (t \approx 0{,}99\text{ ms}) ;
• à t_f = 1{,}0\text{ ms}, le signal est au début de sa décroissance, ce qui correspond à une fraction de frange supplémentaire négligeable.

L'ordre d'interférence a donc varié de :

(ou plus finement \Delta p \approx 15{,}3 à 15{,}4 en estimant la position exacte de la fin du signal).

De la relation p(t_f) - p(0) = \Delta p = \dfrac{g t_f^2}{\lambda_0}, on déduit l'expression de l'accélération de la pesanteur :

Application numérique avec \lambda_0 = 638\text{ nm} = 638 \times 10^{-9}\text{ m}, t_f = 1{,}0\text{ ms} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ s} et \Delta p = 15 :

En tenant compte de la fraction de frange à t = 1{,}0\text{ ms} (\Delta p \approx 15{,}36) :

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, le coin de cube de masse m n'est soumis qu'à son poids (la chute ayant lieu sous vide) :

Par projection sur l'axe vertical descendant (Oz), l'équation différentielle régissant le mouvement s'écrit :

Une première intégration temporelle donne la vitesse verticale du coin de cube en tenant compte de la condition initiale \dot{z}(0) = v_0 :

Une seconde intégration avec la condition initiale z(0) = z_0 conduit immédiatement à l'expression de la position :

L'ordre d'interférence p(t) est défini par :

où p_0 est une constante de phase.

En utilisant l'expression de z(t) établie à la question Q46, z(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0, l'ordre d'interférence s'écrit sous la forme d'un polynôme du second degré en t :

avec C = \frac{2z_0}{\lambda_0} + p_0.

Pour les trois instants de mesure t_1, t_2 et t_3, on a ainsi :

Soustrayons p_1 à p_2 et p_3 afin d'éliminer la constante inconnue C :

En divisant respectivement par (t_2 - t_1) et (t_3 - t_1), les taux de variation moyens s'écrivent :

Par soustraction membre à membre de ces deux relations, le terme contenant la vitesse initiale v_0 s'élimine :

En réduisant le membre de gauche au même dénominateur :

On en déduit l'expression demandée pour l'accélération de la pesanteur g :