Corrigé détaillé X ENS Modélisation PSI 2026

1. Équation différentielle vérifiée par u :

Par définition, u(t) = \dfrac{f(t)}{k} avec k = \sqrt{\dfrac{B}{A}}. Comme f est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+, u l'est également et sa dérivée s'écrit :

En utilisant l'équation différentielle (E_1) satisfaite par f :

Or k^2 = \dfrac{B}{A}, d'où A k^2 = B. Il vient ainsi :

On en déduit l'expression de u'(t) :

La fonction u vérifie bien l'équation différentielle (E_2) : u' = \omega(1 - u^2) avec :

2. Résolution de (E_2) :

On pose, pour t \ge 0, u(t) = \mathrm{th}(v(t)) où v est une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+.

En dérivant par rapport au temps :

En injectant cette relation dans (E_2) :

Comme la fonction \mathrm{th} prend ses valeurs dans ]-1, 1[, on a pour tout t \ge 0, |u(t)| < 1, donc 1 - u(t)^2 \neq 0. L'équation se simplifie en :

Par intégration immédiate :

À t = 0, u(0) = \dfrac{f_0}{k} = \mathrm{th}(v_0). La condition |f_0| < k assure que \dfrac{f_0}{k} \in ]-1, 1[, de sorte que :

D'où l'expression de u(t) pour t \ge 0 :

3. Expression de f(t) :

Comme f(t) = k\,u(t), avec k = \sqrt{\dfrac{B}{A}} et \omega = \sqrt{AB}, on obtient pour tout t \ge 0 :

Le système étudié est l'avion, de masse constante M_t = M_v + M_u + M_c, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

1. Phase de décollage (0 \le t \le T_d) :
L'avion roule au sol selon l'axe horizontal \vec{x}. Le poids \vec{P} = -M_t g \vec{y} est compensé par la réaction normale du sol, la traînée aérodynamique est négligée (\vec{T_x} = \vec{0}) et la poussée est maximale : \vec{T_u} = (T_u)_{\max}\vec{x}.
La projection du principe fondamental de la dynamique sur \vec{x} donne :

Sachant que l'avion part du repos (V(0) = 0), on obtient :

2. Phase de montée (T_d \le t \le T_m) :
L'avion monte en ligne droite selon l'axe \vec{x}_1 incliné de l'angle \theta par rapport à l'horizontale. Les forces appliquées sont :

• la poussée : \vec{T_u} = (T_u)_{\max}\vec{x}_1 ;
• le frottement de l'air : \vec{T_x} = -K V(t)^2 \vec{x}_1 ;
• le poids : \vec{P} = -M_t g \sin\theta\,\vec{x}_1 - M_t g \cos\theta\,\vec{y}_1 ;
• la portance \vec{T_y}, perpendiculaire à la trajectoire selon \vec{y}_1.

En projetant le principe fondamental de la dynamique sur l'axe tangent \vec{x}_1 :

soit sous la forme de l'équation (E_1) :

À l'instant initial de la montée (t = T_d), la vitesse vaut V(T_d) = V_d. D'après la solution établie à la question précédente, on a :

avec \sqrt{\frac{B}{A}} = \sqrt{\frac{(T_u)_{\max} - M_t g \sin\theta}{K}} et \sqrt{AB} = \sqrt{\frac{K\big((T_u)_{\max} - M_t g \sin\theta\big)}{M_t^2}}.

3. Phase de vol en palier (T_m \le t \le T_p) :
D'après les Figures 2 et 4, le vol en palier s'effectue à altitude H et à vitesse constante :

1. Commentaire de la modélisation proposée

La force de traînée aérodynamique s'exprime classiquement, pour un écoulement à grand nombre de Reynolds, sous la forme quadratique :

où \rho(z) est la masse volumique de l'air à l'altitude z, S la surface alaire de référence et C_x le coefficient de traînée.

• Le modèle respecte bien la dépendance quadratique en vitesse (V^2) caractéristique du régime turbulent rencontré en aéronautique.
• L'identification donne K(z) = \frac{1}{2}\,\rho(z)\,S\,C_x. Le modèle fait le choix d'approximer la variation continue de \rho(z) par morceaux : nulle au décollage, égale à sa valeur au sol durant toute la montée (K = K_{\text{sol}} = 1{,}22), puis divisée par 2 en palier à l'altitude de croisière (H = 6\,500\text{ m}), ce qui est cohérent avec le fait qu'à 6\,500\text{ m}, la masse volumique de l'air est environ divisée par deux par rapport au niveau de la mer (\rho(H) \approx 0{,}6\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} contre \rho_0 \approx 1{,}225\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}).

2. Évaluation du sens de l'erreur pour chaque phase

• Phase de décollage : le modèle pose \vec{T_x} = \vec{0}. En réalité, la traînée aérodynamique n'est pas nulle dès que l'avion prend de la vitesse (jusqu'à V_d = 55\text{ m/s}), et des frottements de roulement des pneumatiques sur la piste existent également.

  \text{La force de résistance est donc \textbf{sous-estimée} par le modèle (erreur par défaut).}

• Phase de montée : le coefficient est fixé à K_{\text{sol}} sur toute l'ascension de 0 à 6\,500\text{ m}. Or, l'altitude augmente continûment, ce qui fait décroître la masse volumique de l'air \rho(z) de plus de 45\,\%. Le frottement réel est donc inférieur à la valeur modélisée sur la quasi-totalité de la phase.

  \text{La force de résistance est donc \textbf{surestimée} par le modèle (erreur par excès).}
• Phase de palier : le choix d'un coefficient divisé par deux (K/2) constitue une excellente approximation de la densité locale de l'air à 6\,500\text{ m}. L'erreur commise sur cette phase est donc minime, bien que le coefficient de traînée C_x réel dépende également de la portance (traînée induite, qui diminue légèrement avec la masse consommée).

3. Conclusion sur l'erreur globale

Sur l'ensemble de la mission, les erreurs de signe opposé au décollage (sous-estimation) et en montée (surestimation) ont tendance à se compenser partiellement. Néanmoins, l'énergie dépensée lors de la phase de montée est prépondérante devant celle du décollage. Par conséquent, le modèle conduit à une légère surestimation globale de l'effort résistant et de l'énergie nécessaire, ce qui place le dimensionnement énergétique du côté de la sécurité (modèle conservateur).

On applique le théorème de l'énergie cinétique à l'avion de masse M_t entre l'instant initial t = 0 (V(0) = 0, altitude nulle) et la fin du vol en palier à t = T_p (V(T_p) = V_p, altitude H) :

Le bilan des forces extérieures appliquées à l'avion s'écrit :

• la poussée \vec{T}_u, de travail total noté E_{TP} ;

• le poids \vec{P} = - M_t g \vec{j}, force conservative dont le travail dépend uniquement de la dénivellation H :

  W(\vec{P}) = - M_t g H

• la force de portance \vec{T}_y, orthogonale à chaque instant au vecteur vitesse \vec{V}, donc de puissance et de travail nuls :

  W(\vec{T}_y) = 0

• la résistance de l'air \vec{T}_x, dont le travail se décompose sur les trois phases :

  • Décollage (t \in [0, T_d]) : \vec{T}_x = \vec{0}, d'où W_{\text{déc}}(\vec{T}_x) = 0 ;

  • Montée (t \in [T_d, T_m]) : \vec{T}_x = - K V(t)^2 \vec{x}_1 et \vec{V}(t) = V(t) \vec{x}_1, soit une puissance résistante \mathcal{P}_x(t) = \vec{T}_x \cdot \vec{V} = - K V(t)^3. Le travail associé s'écrit :

    W_{\text{montée}}(\vec{T}_x) = - \int_{T_d}^{T_m} K V(t)^3 \,\mathrm{d}t

  • Palier (t \in [T_m, T_p]) : à vitesse constante V_p, \vec{T}_x = - \frac{K}{2} V_p^2 \vec{x} et \vec{V} = V_p \vec{x}. La puissance développée est constante et vaut \mathcal{P}_x = - \frac{K}{2} V_p^3. Le travail sur la durée du palier (T_p - T_m) vaut :

    W_{\text{palier}}(\vec{T}_x) = - \frac{K}{2} V_p^3 (T_p - T_m)

D'après le théorème de l'énergie cinétique :

En réorganisant pour isoler E_{TP} :

La masse totale de l'avion s'écrit :

Évaluons successivement les différents termes de l'énergie E_{TP} établie à la question précédente :

1. Énergie cinétique acquise :

   \begin{aligned} E_c &= \frac{1}{2} M_t V_p^2 \approx \frac{3,0 \cdot 10^4}{2} \times 153^2 = 10^4 \times \left(1{,}5 \times 153^2\right) \end{aligned}

   D'après l'annexe, 1{,}5 \times 153^2 \approx 35\,000, d'où :

   E_c \approx 3{,}5 \cdot 10^8\text{ J} = 0{,}35\text{ GJ}

2. Énergie potentielle de pesanteur gagnée :

   \begin{aligned} E_{pp} &= M_t g H \approx 29\,850 \times 9{,}81 \times 6\,500 \approx 3{,}0 \cdot 10^4 \times 63{,}8 \cdot 10^3 \end{aligned}
   E_{pp} \approx 1{,}91 \cdot 10^9\text{ J} \approx 1{,}9\text{ GJ}

3. Travail des frottements visqueux en montée : La valeur est directement fournie par l'énoncé :

   E_{f,\text{montée}} = 27 \cdot 10^5\text{ J} = 2{,}7 \cdot 10^6\text{ J} \approx 0{,}003\text{ GJ}

4. Travail des frottements visqueux en palier : La durée du vol en palier vaut \Delta t_p = T_p - T_m = 9\,559 - 559 = 9\,000\text{ s} (soit 2 h 30).

   \begin{aligned} E_{f,\text{palier}} &= \frac{K}{2} V_p^3 \Delta t_p = \frac{1}{2} \left(153^2 \times 1{,}22 \times 9\right) \times 10^3 \times 153 \end{aligned}

   D'après l'annexe, 153^2 \times 1{,}22 \times 9 \approx 257\,000, ainsi :

   \begin{aligned} E_{f,\text{palier}} &\approx \frac{257\,000}{2} \times 10^3 \times 153 \approx 1{,}285 \cdot 10^5 \times 153 \cdot 10^3 \approx 19{,}7 \cdot 10^9\text{ J} \approx 20\text{ GJ} \end{aligned}

Au total, l'énergie fournie par les turbopropulseurs s'élève à :

Critique de la modélisation :

• Prépondérance de la traînée en palier : La résistance de l'air en palier représente environ 90\,\% de l'énergie totale dépensée (\approx 20\text{ GJ} sur 22\text{ GJ}). L'énergie potentielle représente environ 9\,\%, l'énergie cinétique moins de 2\,\%.
• Sous-estimation des frottements en montée : La valeur de 2{,}7\text{ MJ} en montée est particulièrement faible par rapport aux autres grandeurs et découle notamment de l'absence totale de frottements modélisés au décollage.
• Modélisation de la traînée : Le coefficient de frottement effectif est arbitrairement divisé par 2 en altitude pour tenir compte de la diminution de la masse volumique de l'air, mais la dépendance de la traînée induite par la portance vis-à-vis de la masse de l'appareil n'est pas prise en compte.
• Phases omises : La descente et l'atterrissage sont ignorés, alors qu'une partie de l'énergie potentielle pourrait théoriquement être récupérée lors d'une descente en vol plané moteur au ralenti.

Masse de batterie nécessaire pour une propulsion 100 % électrique :
La densité énergétique des batteries s'exprime en unités du Système International :

En supposant un rendement de décharge et de conversion unitaire, la masse de batterie nécessaire pour fournir l'énergie E_{TP} \approx 22\cdot 10^9\text{ J} calculée à la question précédente est :

D'après l'annexe de calcul numérique, \dfrac{22\cdot 10^9}{250 \times 3600} = 24\cdot 10^3, d'où :

Comparaison avec la masse à vide :
La masse à vide de l'avion vaut M_v = 22\,000\text{ kg} = 22\text{ t}. On a :

La masse des batteries dépasse à elle seule la masse à vide de l'appareil tout entier, et représenterait plus de 80\,\% de la masse totale actuelle de l'avion en vol (M_t \approx 30\text{ t}).

Faisabilité d'un avion régional 100 % électrique :
Un tel avion n'est pas envisageable avec la technologie actuelle de batteries Li-ion. L'emport des batteries saturerait totalement la masse maximale autorisée au décollage (MTOW), interdisant tout emport de charge utile (passagers, fret).

Impact sur le coefficient K et la consommation :

• Pour équilibrer un poids considérablement accru en palier (R_z = M_t g), l'avion doit voler à une incidence plus élevée ou posséder une surface alaire S plus importante.
• Cela augmente le coefficient de traînée induite (C_{x,i} \propto C_z^2). Par conséquent, le coefficient aérodynamique global K = \frac{1}{2}\rho_{\text{air}} S C_x augmenterait sensiblement.
• Une augmentation de K accroît la force de traînée et la puissance requise en croisière, créant une spirale de masse (l'énergie requise augmente, nécessitant davantage de batteries, ce qui alourdit encore l'appareil).

Soit M_{\text{fixe}} = M_v + M_u = 22\,000 + 7\,400 = 29\,400\text{ kg} la masse incompressible constituée de la structure de l'avion à vide et de la charge utile (passagers et fret). Pour un avion tout électrique, la masse totale en vol s'écrit :

La densité énergétique des batteries Li-ion est donnée par :

L'énergie maximale que les batteries peuvent stocker est donc :

Pour que le vol soit réalisable, l'énergie requise E(M_t) pour accomplir la mission doit être inférieure ou égale à l'énergie embarquée E_{\text{batt}}. Une condition nécessaire (extrêmement optimiste puisqu'elle correspondrait au cas limite irréaliste d'un avion sans masse à vide ni passagers, où m_b = M_t) est donc :

Comparons cette droite plafond E_{\max}(M_t) = 0,90\cdot 10^6 M_t à la courbe d'énergie requise issue du modèle fin (figure 5) :

• pour M_t = 20\,000\text{ kg} (20\text{ t}) : E_{\max} = 1,8\cdot 10^{10}\text{ J} = 0,18\cdot 10^{11}\text{ J}, alors que la figure 5 indique E \approx 0,26\cdot 10^{11}\text{ J} ;
• pour M_t = 30\,000\text{ kg} (30\text{ t}) : E_{\max} = 2,7\cdot 10^{10}\text{ J} = 0,27\cdot 10^{11}\text{ J}, alors que la figure 5 indique E \approx 0,43\cdot 10^{11}\text{ J} ;
• pour M_t = 40\,000\text{ kg} (40\text{ t}) : E_{\max} = 3,6\cdot 10^{10}\text{ J} = 0,36\cdot 10^{11}\text{ J}, alors que la figure 5 indique E \approx 0,62\cdot 10^{11}\text{ J} ;
• pour M_t = 60\,000\text{ kg} (60\text{ t}) : E_{\max} = 5,4\cdot 10^{10}\text{ J} = 0,54\cdot 10^{11}\text{ J}, alors que la figure 5 indique E \approx 1,06\cdot 10^{11}\text{ J}.

Sur l'ensemble du domaine exploré (20 à 60\text{ t}), la courbe E(M_t) se situe strictement et nettement au-dessus de la droite 0,90\cdot 10^6 M_t.

De surcroît, au-delà de 35\text{ t}, l'interpolation linéaire montre une pente de 2\cdot 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} : chaque kilogramme de batterie supplémentaire augmente l'énergie requise de 2\text{ MJ}, alors qu'il n'en apporte au mieux que 0,9\text{ MJ} (divergence du dimensionnement).

Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique est donné par :

Pour un gaz parfait de rapport des capacités thermiques \gamma constant subissant une évolution isentropique (loi de Laplace) :

En prenant la dérivée logarithmique à entropie s constante :

On en déduit l'expression de la dérivée partielle :

En substituant cette dérivée dans l'expression de \chi_s, il vient :

D'après la question Q8, le coefficient de compressibilité isentropique de l'air assimilé à un gaz parfait est donné par :

L'équation d'état du gaz parfait pour une masse m occupant un volume V s'écrit :

La masse volumique de l'air \rho = \frac{m}{V} s'exprime donc sous la forme :

En injectant ces deux expressions dans la définition de la célérité du son V_{\mathrm{son}} = \sqrt{\dfrac{1}{\rho \chi_s}}, on obtient :

D'où l'expression recherchée :

Pour une mole de gaz parfait, la relation de Mayer s'écrit :

Par définition du coefficient isentropique \gamma :

En injectant cette relation dans celle de Mayer, on obtient :

La capacité thermique massique à pression constante c_p s'en déduit en divisant la capacité molaire C_{p,m} par la masse molaire M du gaz :

D'où l'expression recherchée :

Par définition, le débit massique traversant la section d'admission A_e à la vitesse d'écoulement V_p (vitesse de vol de l'avion dans l'air calme) s'écrit :

D'après la définition du nombre de Mach à l'entrée, \mu_1 = \dfrac{V_p}{V_{\mathrm{son}}}, soit :

En utilisant l'expression de la vitesse du son obtenue à la question Q9 pour un gaz parfait à la température T_1 :

On en déduit l'expression du débit massique d'air :

Considérons le fluide traversant le diffuseur entre l'état ① (air amont à la vitesse V_1 = V_p) et l'état ② (air ralenti à vitesse quasi-nulle, V_2 \approx 0).

Le premier principe pour une unité de masse d'un écoulement stationnaire sans travail utile massique (w_u = 0) et adiabatique (q = 0) s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait à capacité thermique massique à pression constante c_p constante, on a \Delta h = c_p(T_2 - T_1). Avec V_2 \approx 0 et V_1 = V_p, il vient :

D'après les résultats des questions Q9 et Q10 :

Par définition du nombre de Mach amont, V_p = \mu_1 V_{\mathrm{son}}, d'où :

On obtient ainsi la température d'arrêt T_2 :

La compression dans le diffuseur étant supposée isentropique pour un gaz parfait, la loi de Laplace sous la forme T^\gamma P^{1-\gamma} = \mathrm{cste} s'applique :

En substituant l'expression de T_2/T_1, on en déduit la pression d'arrêt P_2 :

1. Expression de la température réelle T_3 :

Pour une compression adiabatique réversible (isentropique) d'un gaz parfait de coefficient isentropique \gamma constant entre les pressions P_2 et P_3, la loi de Laplace s'écrit :

Par définition, le rendement isentropique du compresseur est le rapport du travail massique de transvasement isentropique w_s au travail massique réel consommé w :

En modélisant l'air comme un gaz parfait à capacité thermique massique c_p constante, la variation d'enthalpie s'écrit \Delta h = c_p \Delta T, d'où :

On en déduit l'expression de T_3 :

2. Expression de la puissance apportée par le compresseur P_{\mathrm{comp}} :

En régime stationnaire, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques entre les sections d'entrée et de sortie du compresseur, et en l'absence de pertes thermiques (transformation adiabatique), le premier principe pour un système ouvert donne la puissance mécanique reçue par l'air :

D'après la question Q10, la capacité thermique massique à pression constante vaut c_p = \dfrac{\gamma R}{(\gamma - 1)M_a}. En injectant l'expression de (T_3 - T_2), on obtient :

1. Équation de la combustion stœchiométrique

La combustion complète du dodécane \mathrm{C_{12}H_{26}} dans le dioxygène s'écrit :

Le bilan sur l'élément oxygène impose :

L'air étant constitué de 20\,\% de \mathrm{O_2} et 80\,\% de \mathrm{N_2} en quantité de matière, chaque mole de \mathrm{O_2} est accompagnée de :

Pour 18{,}5\text{ moles de }\mathrm{O_2}, il y a donc 18{,}5 \times 4 = 74\text{ moles de }\mathrm{N_2} spectateur. L'équation de combustion s'écrit alors :

2. Calcul de l'Air Fuel Ratio (AFR)

Pour la combustion d'une mole de dodécane, la masse de carburant consommée est :

La masse d'air stœchiométrique associée correspond à la masse de 18{,}5\text{ mol de }\mathrm{O_2} et 74\text{ mol de }\mathrm{N_2} :

D'après l'aide aux calculs numériques en annexe :

D'où la masse totale d'air :

On en déduit le rapport stœchiométrique \mathrm{AFR} :

Toujours d'après l'annexe de calcul, \dfrac{2664}{170} \approx 15{,}7.

D'après l'énoncé, seule une fraction de 20\,\% de l'air admis participe à la réaction de combustion, laquelle s'effectue dans les proportions stœchiométriques. Le débit massique d'air participant à la combustion pour un turbopropulseur est donc :

Par définition du rapport massique stœchiométrique \mathrm{AFR} (Air-Fuel Ratio) :

On en déduit l'expression du débit massique de carburant consommé par turbopropulseur :

D'après la figure 11 (courbe relative à \text{Mach } 0{,}5 à l'altitude H = 6\,500\text{ m}), le débit massique d'air entrant pour un moteur PW127 vaut :

Avec la valeur \mathrm{AFR} \approx 15{,}7 établie à la question précédente et l'aide au calcul fournie en annexe (0{,}2 \times \frac{15}{15{,}7} \approx 0{,}19) :

L'équation stœchiométrique de combustion complète d'une mole de dodécane (établie à la question Q14) s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction associée s'exprime par :

Le dioxygène \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} étant un corps pur simple dans son état standard de référence, \Delta_f H^\circ(\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}) = 0.

Avec les valeurs de la Figure 9 :

• \Delta_f H^\circ(\mathrm{CO}_{2(\mathrm{g})}) = -392\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}, d'où 12 \times (-392) = -4704\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (donnée en annexe) ;
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{g})}) = -237\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}, d'où 13 \times (-237) = -3081\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (donnée en annexe) ;
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{C}_{12}\mathrm{H}_{26(\mathrm{g})}) = -355\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}.

Il vient :

Commentaire sur le signe : Le signe négatif indique que la réaction de combustion est fortement exothermique. Elle libère un important transfert thermique vers le fluide de travail, ce qui permet d'élever la température des gaz en amont de la turbine et ainsi de fournir la puissance mécanique nécessaire au compresseur et à l'hélice.

Considérons la chambre de combustion en régime stationnaire comme un système ouvert. Les hypothèses de modélisation sont les suivantes :

• l'écoulement est stationnaire et à pression constante ;
• la transformation est adiabatique (\dot{Q} = 0) et sans travail utile extrait (\dot{W}_u = 0) ;
• les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle sont négligeables ;
• selon l'énoncé, la puissance nécessaire à l'échauffement du carburant est négligeable devant celle absorbée par l'air, et les gaz sont assimilés à un gaz parfait de capacité thermique massique c_p = \frac{\gamma R}{(\gamma - 1)M_a}.

Pendant une durée \mathrm{d}t, la quantité de matière de dodécane introduite et consommée est :

où M_f est la masse molaire du dodécane (M_f = 170\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}). La combustion étant exothermique (\Delta_r H^\circ < 0), l'énergie libérée par la réaction chimique à la température T_3 s'écrit :

Cette énergie sert intégralement à porter le flux d'air de débit massique D_{ma} de la température T_3 à la température T_4 :

Le bilan enthalpique global en régime adiabatique (\mathrm{d}H - \delta Q_{\text{comb}} = 0) conduit à :

D'après la question Q15, le débit de carburant est lié au débit d'air par la relation :

En substituant cette expression, le débit D_{ma} se simplifie :

On en déduit l'expression de la température de sortie de la chambre de combustion :

Remarque sur la simplification : Par définition de l'Air Fuel Ratio stœchiométrique, la masse d'air nécessaire pour brûler une mole de dodécane (18{,}5\text{ moles} de \mathrm{O}_2 avec une fraction molaire de 0{,}20) est \mathrm{AFR}\cdot M_f = \frac{18{,}5}{0{,}20}\,M_a = 92{,}5\,M_a. Le terme \frac{0{,}2\,M_a}{\mathrm{AFR}\,M_f} se simplifie alors en \frac{0{,}04}{18{,}5}, ce qui donne la forme équivalente :

Le débit total de fluide traversant la turbine est la somme du débit d'air et du débit de carburant. D'après le résultat de la question Q15 (D_{mf} = \frac{0{,}2\,D_{ma}}{\mathrm{AFR}}) :

La puissance mécanique d'arbre extraite au cours de la détente globale correspond au travail utile recueilli sur l'arbre de la turbine lors de l'étape (4) \to (5). La détente (5) \to (6) s'effectuant dans une tuyère fixe d'éjection, aucun travail mécanique n'y est extrait (P_{(5)\to(6)} = 0).

Pour un écoulement stationnaire et adiabatique dans la turbine, le premier principe s'écrit :

où c_{p,c} = \frac{\gamma_c R}{(\gamma_c - 1)M_a} est la capacité thermique massique à pression constante des gaz brûlés (avec M_a \approx M_{\mathrm{gaz}}).

Par définition du rendement isentropique de la turbine \eta_T :

où T_{5s} est la température obtenue pour une détente isentropique entre la pression d'entrée P_4 et la pression de sortie de turbine P_5.

La tuyère d'éjection détend le gaz de P_5 jusqu'à la pression ambiante P_6 \approx P_1. Le coefficient de détente de la tuyère étant défini par \pi_e = \frac{P_6}{P_5} \approx \frac{P_1}{P_5}, la pression en sortie de turbine s'exprime par :

Le rapport de pression pour la détente isentropique dans la turbine s'écrit ainsi :

La loi de Laplace pour un gaz parfait lors d'une détente isentropique donne :

On en déduit l'expression de la chute de température :

En combinant ces résultats, la puissance totale extraite par la turbine s'écrit :

Au sein du turbopropulseur, la puissance mécanique totale fournie par les turbines lors de la détente des gaz s'écrit P_{\mathrm{tot}}.

D'après le principe de fonctionnement de la turbomachine :

• la turbine haute pression (HP) prélève la puissance mécanique P_{\mathrm{comp}} nécessaire à l'entraînement du compresseur ;

• la puissance mécanique nette disponible sur l'arbre de transmission est donc :

  P_{\text{arbre}} = P_{\mathrm{tot}} - P_{\mathrm{comp}}
• cette puissance transite à travers la chaîne cinématique d'entraînement de l'hélice (comprenant le réducteur de vitesse), caractérisée par un rendement mécanique \eta_m.

On en déduit l'expression de la puissance reçue par l'hélice :

1. Transferts thermiques vers l'extérieur (non adiabatique) :

   • Les parois du turbopropulseur n'étant pas athermanes, le fluide cède de la chaleur à l'extérieur (\delta q < 0), en particulier dans les zones les plus chaudes (chambre de combustion 3\to 4 et turbine 4\to 5).
   • Ces pertes thermiques entraînent une diminution de la température maximale atteinte en sortie de combustion : le point 4 se retrouve à une température T_4 plus basse.
   • Au cours de la détente dans la turbine, l'entropie d'échange \delta s_{\text{éch}} = \frac{\delta q}{T} < 0 s'oppose à la création d'entropie visqueuse : la courbe 4\to 5 s'incline davantage vers la gauche et la température de sortie T_5 est plus faible.
   • Effet global : abaissement des températures du cycle et diminution de l'aire délimitée (donc réduction du travail mécanique extrait).

2. Combustion incomplète :

   • La formation d'imbrûlés (monoxyde de carbone \mathrm{CO}, suies, hydrocarbures résiduels) diminue l'énergie thermique massique réellement libérée par unité de carburant par rapport à l'enthalpie standard théorique |\Delta_r H^\circ|.
   • L'élévation d'enthalpie \Delta h_{3\to 4} = q_p est plus faible, ce qui abaisse directement la température de fin de combustion T_4.
   • Sur l'isobare de combustion, la transformation s'arrête plus tôt : le point 4 est translaté vers le bas et vers la gauche (diminution conjointe de T_4 et de s_4).
   • Effet global : diminution du rapport de température maximale du cycle et forte baisse du travail net disponible à la turbine.

3. Pertes de charge dans l'écoulement :

   • Les frottements fluides visqueux et les singularités géométriques (injecteurs, diffuseur, aubages) génèrent des dissipations irréversibles (\delta s_{\text{créée}} > 0) et des chutes de pression totale dans le sens de l'écoulement.
   • Dans la chambre de combustion, la transformation 3\to 4 n'est plus isobare : on observe une perte de pression P_4 < P_3. Le point 4 se place sur une isobare de pression plus basse, située plus à droite en entropie (-\frac{R}{M}\frac{\mathrm{d}P}{P} > 0).
   • Dans le compresseur et la turbine, les pertes de charge augmentent la création d'entropie, ce qui accentue l'inclinaison des évolutions 2\to 3 et 4\to 5 vers les entropies croissantes (vers la droite).
   • Effet global : élargissement du cycle vers les entropies élevées, réduction du saut de pression utile pour la turbine et dégradation du rendement global.

D'après l'équation de combustion complète du dodécane établie à la question Q14 :

La combustion d'une mole de dodécane (n_f = 1\text{ mol}) produit 12\text{ moles} de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2.

Les masses molaires respectives valent :

La masse de \mathrm{CO}_2 émise par kilogramme de carburant consommé s'exprime donc par :

L'avion ATR 72 comporte 2 turbopropulseurs, chacun consommant un débit de carburant D_{mf} \approx 0{,}19\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q15). Le débit massique total de \mathrm{CO}_2 rejeté dans l'atmosphère est alors :

En utilisant le résultat fourni dans l'annexe (2 \times 0{,}19 \times 3{,}1 \approx 1{,}18) :

1. Durée du trajet de 100\text{ km} en vol de croisière :

À la vitesse de croisière V_p = 550\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, le temps de parcours pour une distance d = 100\text{ km} est :

2. Consommation de carburant par passager pour 100\text{ km} :

D'après la question Q15, le débit massique de carburant calculé pour un turbopropulseur est D_{mf} \approx 0{,}19\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

En suivant l'enchaînement des calculs de l'annexe numérique, la masse de carburant consommée sur 100\text{ km} vaut :

Pour N = 78 passagers, la masse de carburant par passager pour 100\text{ km} s'élève à :

Le carburant a une densité de 0{,}75, soit une masse volumique \rho_{\text{carburant}} = 0{,}75\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1}. Le volume consommé par passager pour 100\text{ km} est donc :

3. Comparaison avec la donnée constructeur et qualité du modèle :

Le tableau de la figure 3 indique une consommation constructeur de :

L'écart relatif entre la valeur estimée par notre modèle et la valeur constructeur est de :

L'ordre de grandeur est remarquablement respecté et l'écart reste inférieur à 13\,\%. Le modèle thermodynamique du cycle de Brayton (avec 20\,\% de l'air admis participant à la combustion) s'avère donc très pertinent pour évaluer les performances énergétiques de l'aéronef en croisière.

En vol en palier à vitesse constante, le principe fondamental de la dynamique implique que la poussée compense exactement la résistance aérodynamique, ce qui se traduit en puissance par l'égalité :

Relevons les valeurs de ces deux puissances à l'altitude de croisière nominale H = 6\,500\text{ m} pour les différents nombres de Mach :

• Mach 0,3 : P_{\text{avion}} \approx 0{,}9\text{ MW} et P_{\text{air}} \approx 0{,}5\text{ MW} (P_{\text{avion}} > P_{\text{air}}) ;
• Mach 0,4 : P_{\text{avion}} \approx 1{,}5\text{ MW} et P_{\text{air}} \approx 1{,}1\text{ MW} (P_{\text{avion}} > P_{\text{air}}) ;
• Mach 0,5 : P_{\text{avion}} \approx 2{,}15\text{ à } 2{,}2\text{ MW} et P_{\text{air}} \approx 2{,}15\text{ à } 2{,}2\text{ MW} (P_{\text{avion}} \approx P_{\text{air}}) ;
• Mach 0,6 : P_{\text{avion}} \approx 2{,}9\text{ MW} et P_{\text{air}} \approx 3{,}6\text{ MW} (P_{\text{avion}} < P_{\text{air}}) ;
• Mach 0,7 : P_{\text{avion}} \approx 3{,}8\text{ MW} et P_{\text{air}} \approx 6{,}0\text{ MW} (P_{\text{avion}} \ll P_{\text{air}}).

On constate que :

• Pour \mu_1 > 0{,}5, la puissance aérodynamique résistante excède la puissance maximale que peuvent délivrer les turbopropulseurs (P_{\text{air}} > P_{\text{avion}}) : un vol stabilisé en palier à ces vitesses est impossible.
• Pour \mu_1 < 0{,}5, l'avion dispose d'un excédent de puissance (P_{\text{avion}} > P_{\text{air}}), ce qui permet l'accélération ou la montée, mais voler à ces régimes réduirait la vitesse commerciale sans exploiter les capacités maximales du moteur.
• Pour \mu_1 = 0{,}5, il y a stricte égalité entre puissance propulsive disponible et puissance résistante (P_{\text{avion}} = P_{\text{air}} \approx 2{,}15\text{--}2{,}2\text{ MW}).

Le rapport entre les forces centrifuges (\approx 100\text{ N}) et les forces de pesanteur (\approx 1{,}5\text{ N}) est d'environ 70, ce qui signifie que le poids ne représente qu'environ 1{,}5\,\% des efforts centrifuges. Ce ratio élevé présente plusieurs avantages majeurs :

1. Insensibilité à l'attitude de l'avion et aux accélérations extérieures : Le fonctionnement du régulateur et la position d'équilibre des masselottes ne dépendent pratiquement que de la vitesse de rotation \omega_1. L'équilibre est ainsi insensible à l'inclinaison de l'appareil (assiette de montée ou de descente, roulis, virages) ainsi qu'aux variations locales de pesanteur apparente.
2. Suppression des perturbations cycliques : Au cours de la rotation de l'arbre à la vitesse \omega_1, la composante du poids projetée dans le plan de rotation tourne par rapport aux masselottes à la pulsation \omega_1. Si cette force était significative, elle exciterait périodiquement les masselottes à la fréquence de rotation, provoquant des vibrations permanentes, une usure prématurée des liaisons et un battement du pas d'hélice.
3. Pertinence et simplification du modèle dynamique : Ce ratio justifie rigoureusement l'hypothèse simplificatrice consistant à négliger les actions de la pesanteur devant les efforts d'inertie centrifuge dans l'étude du régulateur.

Écrivons la fermeture géométrique de la boucle reliant le bâti à la masselotte 3 en passant par le distributeur 2 :

En utilisant les relations géométriques fournies par l'énoncé :

L'égalité vectorielle s'écrit alors :

soit encore :

D'après la figure 16, la rotation de la masselotte 3 par rapport à l'arbre 1 est une rotation d'axe (B_3, \vec{i}_1) et d'angle \beta_3. Les vecteurs unitaires de la base liée à 3 s'expriment donc dans la base (\vec{i}_1, \vec{j}_1, \vec{k}) par :

On en déduit la projection sur la direction verticale \vec{k} :

En effectuant le produit scalaire de la fermeture géométrique par le vecteur unitaire \vec{k} (sachant que \vec{j}_1 \cdot \vec{k} = 0) :

Sous l'hypothèse des petits angles rappelée dans le paramétrage (\sin\beta_3 \approx \beta_3) :

On en déduit l'expression de l'angle d'inclinaison \beta_3 :

On applique le théorème du moment dynamique à la masselotte 3 au point B_3 dans son mouvement par rapport au référentiel galiléen R_0, en projection sur \vec{\imath}_1 :

1. Bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à 3 :

• Action de la liaison pivot d'axe (B_3, \vec{\imath}_1) avec l'arbre 1 : la liaison étant supposée parfaite, son moment en B_3 n'a aucune composante sur son axe, d'où \vec{M}_{B_3}(1 \to 3) \cdot \vec{\imath}_1 = 0.

• Action du distributeur 2 sur la masselotte 3 au point A_3 : modélisée par une liaison sphère-plan parfaite d'effort \vec{R}_{2 \to 3} = -Z_{23}\vec{k}. Le moment associé en B_3 s'écrit :

  \vec{M}_{B_3}(2 \to 3) = \vec{B_3 A_3} \wedge \vec{R}_{2 \to 3} \approx (-b_3 \vec{\jmath}_3) \wedge (-Z_{23}\vec{k}) = b_3 Z_{23}(\vec{\jmath}_3 \wedge \vec{k})

  À l'ordre 1 en \beta_3, \vec{\jmath}_3 = \cos\beta_3 \vec{\jmath}_1 + \sin\beta_3 \vec{k} \approx \vec{\jmath}_1 + \beta_3 \vec{k}, ce qui donne :

  \vec{M}_{B_3}(2 \to 3) \cdot \vec{\imath}_1 \approx b_3 Z_{23} (\vec{\jmath}_1 \wedge \vec{k}) \cdot \vec{\imath}_1 = b_3 Z_{23}
• Action de la pesanteur : négligée devant les actions d'inertie conformément aux hypothèses.

Le moment résultant en B_3 selon \vec{\imath}_1 vaut donc :

2. Calcul du moment dynamique en B_3 : Par la relation de transport du moment dynamique entre G_3 et B_3 :

a) Calcul de \vec{\delta}(G_3, 3/R_0) \cdot \vec{\imath}_1 : Le vecteur rotation de 3 par rapport à R_0 s'écrit :

Exprimé dans la base principale d'inertie liée à 3, (\vec{\imath}_1, \vec{\jmath}_3, \vec{k}_3), avec \vec{k} = -\sin\beta_3 \vec{\jmath}_3 + \cos\beta_3 \vec{k}_3 :

Le moment cinétique en G_3 est donc :

Par dérivation dans le repère R_0 (avec \omega_1 = \text{cste}) :

b) Calcul de (\vec{B_3 G_3} \wedge M_3 \vec{\Gamma}(G_3/R_0)) \cdot \vec{\imath}_1 : La position de G_3 dans la base (\vec{\imath}_1, \vec{\jmath}_1, \vec{k}) est :

avec r(t) = b - a_3 \sin\beta_3 \approx b - a_3 \beta_3 et z_G(t) = -a + a_3 \cos\beta_3 \approx -a + a_3. Sachant que \left[\frac{\mathrm{d}\vec{\jmath}_1}{\mathrm{d}t}\right]_{R_0} = -\omega_1 \vec{\imath}_1 et \left[\frac{\mathrm{d}\vec{\imath}_1}{\mathrm{d}t}\right]_{R_0} = \omega_1 \vec{\jmath}_1, la composante de l'accélération selon \vec{\jmath}_1 est :

Tandis que \vec{\Gamma}(G_3/R_0) \cdot \vec{k} = \ddot{z}_G est d'ordre 2 en \beta_3 et négligeable. Avec \vec{B_3 G_3} \approx a_3(-\beta_3 \vec{\jmath}_1 + \vec{k}), le produit vectoriel projeté sur \vec{\imath}_1 s'écrit :

3. Équation dynamique finale : En sommant les contributions au moment dynamique, on obtient l'expression du TMD :

On isole le distributeur 2 (de masse M_2) dans le référentiel galiléen R_0(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}).

1. Cinématique du solide 2 : Le mouvement de 2 par rapport à 0 est une translation guidée selon l'axe vertical \vec{k}, avec \vec{O_0 O_2} = z\,\vec{k}. L'accélération de son centre d'inertie projetée sur \vec{k} s'écrit donc :

2. Bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à 2 en projection sur \vec{k} :

• Poids de 2 : négligé d'après l'énoncé ;
• Action du ressort : \vec{F}_{R\to 2}\cdot \vec{k} = -k_R z ;
• Action de la liaison glissière avec le bâti 0 : la liaison étant supposée parfaite, l'effort selon la direction de translation permise est nul, soit \vec{R}_{0\to 2}\cdot \vec{k} = 0 ;

• Actions de contact des masselottes 3 et 4 : D'après le principe des actions réciproques, l'action de la masselotte 3 sur 2 s'écrit :

  \vec{R}_{3\to 2} = -\vec{R}_{2\to 3} = -(-Z_{23}\vec{k}) = Z_{23}\vec{k}

  Le plan (O_0, \vec{k}, \vec{\imath}_1) étant un plan de symétrie matériel et cinématique pour l'ensemble du mécanisme, la masselotte 4 exerce un effort identique sur le distributeur 2 :

  \vec{R}_{4\to 2} = Z_{23}\vec{k}

3. Application du théorème de la résultante dynamique : En projetant le théorème de la résultante dynamique appliqué à la pièce 2 sur le vecteur unitaire \vec{k}, on obtient :

D'après la question Q25, la liaison géométrique entre l'angle d'inclinaison \beta_3 de la masselotte 3 et le déplacement z du distributeur 2 s'écrit :

En dérivant deux fois par rapport au temps, sachant que a, b_3 et c sont constants, on obtient :

D'après le théorème du moment dynamique appliqué à la masselotte 3 au point B_3 en projection sur \vec{\imath}_1 (question Q26) :

D'après le théorème de la résultante dynamique appliqué au distributeur 2 en projection sur \vec{k} (question Q27) :

En multipliant l'équation du moment dynamique par \frac{2}{b_3}, on fait apparaître le terme 2 Z_{23} au membre de droite :

En substituant les expressions de \beta_3 et \ddot{\beta}_3 en fonction de z et \ddot{z} :

En regroupant tous les termes en \ddot{z} et en z dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite :

On retrouve bien la forme demandée K_1 \ddot{z} + K_2 z = K_3 avec :

L'équation différentielle obtenue à la question Q28 s'écrit sous la forme :

L'inconvénient majeur de ce modèle réside dans l'absence totale de terme d'amortissement (terme proportionnel à la vitesse \dot{z}(t)) :

• Caractère non amorti du système : En raison de l'hypothèse de liaisons parfaites et de la négligence de tout frottement visqueux (notamment au niveau du distributeur baignant dans l'huile hydraulique), le système mécanique est modélisé comme un oscillateur purement conservatif.
• Absence de convergence et instabilité pratique : À la suite d'une perturbation (variation de régime, rafale de vent, changement de consigne), la tige du distributeur oscille indéfiniment autour de sa position d'équilibre au lieu de s'y stabiliser. Cela conduirait en pratique à des fluctuations permanentes du pas de l'hélice et du régime moteur (phénomène de « pompage » du régulateur).
• Sensibilité critique aux vibrations : En l'absence d'amortissement, toute excitation extérieure (vibrations structurales, balourd moteur ou passage des pales) à une fréquence proche de la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{K_2/K_1} conduit théoriquement à une résonance d'amplitude infinie.

L'équation différentielle du mouvement du régulateur donnée pour un réglage de puissance de 70\,\% s'écrit :

En l'absence de terme d'amortissement dans le modèle, la pulsation de résonance correspond à la pulsation propre du système :

D'après l'annexe de calcul numérique, \omega_0 \approx 360\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.
La fréquence de résonance associée vaut donc :

D'après le schéma de régulation de la figure 19, les conditions cinématiques en vol de croisière sont les suivantes :

• Turbopropulseur (turbine) :
  La turbine tourne à N_{\text{turb}} = 18\,000\text{ tr/min}, d'où une fréquence de rotation :

  f_{\text{turb}} = \frac{18\,000}{60} = 300\text{ Hz} \quad (\omega_{\text{turb}} = 2\pi f_{\text{turb}} \approx 1885\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1})

• Hélice :
  Entraînée par la turbine via le réducteur de rapport r_1 = 1/15 :

  N_{\text{hélice}} = r_1\,N_{\text{turb}} = \frac{18\,000}{15} = 1200\text{ tr/min}

  ce qui correspond à une fréquence :

  f_{\text{hélice}} = \frac{1200}{60} = 20\text{ Hz} \quad (\omega_{\text{hélice}} \approx 125{,}7\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1})

• Régulateur centrifuge :
  Placé en aval de l'hélice via un réducteur de rapport r_2 = 0{,}8 :

  N_1 = r_2\,N_{\text{hélice}} = 0{,}8 \times 1200 = 960\text{ tr/min}

  ce qui donne une fréquence :

  f_1 = \frac{960}{60} = 16\text{ Hz} \quad (\omega_1 = 2\pi f_1 \approx 100{,}5\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1})

  Cette valeur est bien en accord avec l'ordre de grandeur de 100\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} indiqué dans les hypothèses de la partie A-3.

En comparant ces valeurs à la fréquence propre f_0 \approx 57\text{ Hz} (ou \omega_0 \approx 360\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on constate que :

Procédons par lectures graphiques successives :

1. Déplacement z de la tige du distributeur (figure 20) :
   Pour une commande de puissance de 70\,\%, on lit en ordonnée :

   z \approx 2{,}05\text{ mm}

   Ce résultat est en parfait accord avec la position d'équilibre statique issue de l'équation différentielle établie pour cette même consigne (rappelée avant la question Q30) :

   z_{\text{éq}} = \frac{14{,}5}{7080}\text{ m} \approx 2{,}05\cdot 10^{-3}\text{ m} = 2{,}05\text{ mm}

2. Angle de pas \beta des pales (figure 21) :
   Pour un déplacement z \approx 2{,}05\text{ mm}, la courbe de la figure 21 donne un angle de calage :

   \beta \approx 46^\circ

3. Force propulsive totale des deux turbopropulseurs (figure 22) :
   Pour \beta \approx 46^\circ, la courbe de poussée totale des deux hélices donne en ordonnée :

   F_{\text{prop}} \approx 14\,000\text{ N}

La force propulsive totale développée par les deux turbopropulseurs dans ces conditions est donc :

1. Estimation de la force résistante de l'air

Méthode 1 : à partir de la Figure 15

À l'altitude de croisière H = 6\,500\text{ m} et à \text{Mach } 0{,}5, la lecture graphique sur la Figure 15 donne une puissance résistante de l'air :

En vol de croisière à la vitesse V_p = 153\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (550\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}), la puissance des forces aérodynamiques résistantes s'écrit P_{\mathrm{air}} = F_x V_p, d'où l'intensité de la force de traînée :

En utilisant l'annexe de calcul numérique :

Méthode 2 : à partir des Figures 2 et 3

D'après la Figure 2, l'effort résistant en palier est modélisé par :

Avec K = 1{,}22\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1} et 153^2 \approx 23\,000\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} (selon l'annexe) :

On retient donc :

2. Comparaison et discussion de la pertinence du modèle

• À la question Q31, la poussée totale délivrée par les deux turbopropulseurs à 70 % de puissance maximale a été évaluée à :

  F_{\mathrm{prop}} \approx 14\text{ kN}

• En vol en palier à vitesse constante et altitude stabilisée, le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe longitudinal impose l'équilibre rigoureux des forces :

  F_{\mathrm{prop}} - F_x = 0 \iff F_{\mathrm{prop}} = F_x

  Les deux valeurs coïncident parfaitement (F_{\mathrm{prop}} \approx F_x \approx 14\text{ kN}).

• Pertinence du modèle : Cette concordance remarquable valide l'ensemble de la chaîne de modélisation :

  1. Le régulateur centrifuge ajuste correctement le déplacement du distributeur (z \approx 2{,}0\text{ mm}) pour fixer le pas des pales à sa valeur optimale (\beta \approx 45^\circ\text{--}46^\circ).
  2. L'appareil vole en palier à un régime de croisière usuel et économique correspondant à 70 % de la puissance nominale, ce qui ménage une réserve de puissance de 30 % pour les phases de montée, les manœuvres ou les turbulences.

Dans la solution hydraulique conventionnelle, le pas d'hélice est commandé par un piston hydraulique mobile en translation axiale dans le dôme de l'hélice. Dans une architecture tout-électrique, on remplace l'actionneur hydraulique par un actionneur électromécanique (EMA : Electro-Mechanical Actuator) embarqué dans le moyeu tournant (alimenté depuis le réseau de bord via un collecteur tournant ou un transformateur tournant).

Architecture cinématique proposée (système vis-écrou et bielles de pas) :

• Le moyeu (1) est guidé en rotation par rapport au bâti (0) par une liaison pivot d'axe principal (O, \vec{x}).
• Chaque pale (3) est guidée en rotation par rapport au moyeu (1) par une liaison pivot d'axe radial (P, \vec{y}) (axe de pas).
• Un moteur électrique (M) fixé au moyeu (1) entraîne en rotation, éventuellement via un réducteur, une vis (4) en liaison pivot d'axe (O,\vec{x}) par rapport à (1).
• Un écrou/coulisseau (5) est lié à la vis (4) par une liaison hélicoïdale et guidé en translation par rapport au moyeu (1) par une liaison glissière d'axe (O, \vec{x}).
• Une bielle (6) est reliée par des liaisons rotules (ou pivots) d'une part au coulisseau (5), d'autre part à un maneton excentré solidaire du pied de la pale (3).

Fonctionnement cinématique :

La translation du coulisseau (5) unique entraîne simultanément et avec une symétrie rigoureuse l'ensemble des pales de l'hélice via leurs biellettes respectives, garantissant un calage synchronisé identique.

Considérons la demi-équation de réduction du dioxygène à la cathode :

• Conservation de l'élément hydrogène \mathrm{H} :

  \begin{aligned} 4 &= 2b \implies b = 2 \end{aligned}

• Conservation de l'élément oxygène \mathrm{O} :

  \begin{aligned} 2a &= b = 2 \implies a = 1 \end{aligned}

• Conservation de la charge électrique :

  \begin{aligned} 4 \times (+1) + 4 \times (-1) + 0 &= 0 = b \times 0 \quad \text{(bien vérifiée)} \end{aligned}

Les coefficients recherchés valent donc :

La demi-équation électronique équilibrée s'écrit ainsi :

La relation d'équilibre thermodynamique fournie s'écrit :

La valeur fournie \Delta_r G^0 = -237{,}1\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} correspond à l'enthalpie libre standard de formation d'une mole d'eau liquide selon l'équation-bilan :

Pour cette réaction (rapportée à 1\text{ mol} de \mathrm{H}_2), la demi-équation anodique \mathrm{H}_2 \longrightarrow 2\,\mathrm{H}^+ + 2\,\mathrm{e}^- met en jeu n = 2 moles d'électrons.

Remarque : Si l'on écrit la réaction avec des coefficients entiers, soit 2\,\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}, l'enthalpie libre standard associée à cette équation est doublée (\Delta_r G^0 = 2 \times (-237{,}1)\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}) et le nombre d'électrons échangés vaut alors n = 4. Le potentiel E_{\mathrm{eq}}^0 étant une grandeur intensive, sa valeur reste rigoureusement inchangée.

Avec les données numériques :

• \Delta_r G^0 = -237{,}1\cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• n = 2 ;
• \mathcal{F} = 96\,485\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}.

On obtient :

L'approximation polynomiale de degré K de la tension U_{\mathrm{PEMFC}} pour la i-ème mesure de densité de courant J_{\mathrm{PEMFC}}[i] s'écrit sous forme développée :

Cette relation se met sous la forme du produit d'un vecteur ligne r^{\mathrm{t}}[i] de dimension 1 \times (K+1) et du vecteur colonne des coefficients p de dimension (K+1) \times 1 :

Par identification terme à terme pour chaque indice k \in \{0, \dots, K\} :

L'expression matricielle recherchée pour la mesure i est donc :

D'après le résultat de la question précédente, pour chaque point de mesure i \in \{0, \dots, G\}, la valeur approchée de la tension s'écrit :

En empilant verticalement les G+1 équations scalaires pour former le vecteur colonne \widetilde{U}_{\mathrm{PEMFC}} \in \mathbb{R}^{G+1} :

On identifie directement la matrice des régresseurs R \in \mathcal{M}_{G+1,\,K+1}(\mathbb{R}) :

où les coefficients r_{ik} de la matrice R sont donnés par :

Sous forme explicitée, la matrice R s'écrit :

D'après les questions Q36 et Q37, le coefficient de la ligne i (0 \le i \le G) et de la colonne k (0 \le k \le K) de la matrice des régresseurs R vaut :

Le nombre de mesures est G+1 = \texttt{len(D\_COURANT)} et le nombre de coefficients à identifier est K+1 = \texttt{POLYNOME\_TAILLE}.

On peut compléter le code proposé de la façon suivante :

import numpy as np

def const_mat_regresseur(POLYNOME_TAILLE: int,
                         D_COURANT: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """
    Fonction qui construit la matrice des regresseurs a partir des mesures
    de densite de courant.
    """
    nb_mesures = len(D_COURANT)  # G + 1 mesures
    MAT_REG_CONST = np.zeros((nb_mesures, POLYNOME_TAILLE))

    for k in range(POLYNOME_TAILLE):
        MAT_REG_CONST[:, k] = D_COURANT ** k

    return MAT_REG_CONST

Complexité de l'algorithme :

• Complexité temporelle : La boucle s'exécute K+1 fois. À chaque itération, l'élévation à la puissance k est appliquée aux G+1 éléments du tableau NumPy, ce qui nécessite G+1 opérations élémentaires. Le nombre total d'opérations est donc proportionnel à (G+1)(K+1). La complexité temporelle est en :

  \boxed{\mathcal{O}((G+1)(K+1))} \quad \text{soit} \quad \boxed{\mathcal{O}(G \cdot K)}
• Complexité spatiale (mémoire) : Le stockage de la matrice R de dimension (G+1) \times (K+1) requiert une complexité en \mathcal{O}((G+1)(K+1)).

Le vecteur des résidus s'écrit sous forme matricielle :

Le carré de la norme euclidienne de l'erreur est égal au produit scalaire canonique du vecteur des résidus avec lui-même :

Le terme U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p étant un scalaire, il est égal à sa transposée :

On en déduit :

On dérive cette fonction par rapport au vecteur de paramètres p en utilisant les règles de dérivation fournies par l'énoncé :

• \dfrac{\partial}{\partial p}\left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}\right) = 0 (terme indépendant de p) ;

• avec y = U_{\mathrm{PEMFC}}, A = R et x = p :

  \frac{\partial}{\partial p} \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p\right) = R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}

• avec A = R et x = p :

  \frac{\partial}{\partial p} \left(p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p\right) = 2 R^{\mathrm{t}} R p

Le gradient de l'erreur quadratique par rapport à p vaut donc :

La fonction étant strictement convexe, le minimum global est atteint lorsque ce gradient s'annule, ce qui conduit à :

d'où l'équation normale :