Feuille d'entraînement : Électrolyse et accumulateurs

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation PSI 2026, Q20

   À l'anode s'effectue l'oxydation des ions chlorure en dichlore :

   2\,\mathrm{Cl}^-_{(\mathrm{aq})} \longrightarrow \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^-

   À la cathode, le solvant (l'eau) est réduit en dihydrogène :

   2\,\mathrm{H_2O}_{(\ell)} + 2\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

   L'équation-bilan globale de l'électrolyse s'écrit donc :

   \boxed{2\,\mathrm{Cl}^-_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{H_2O}_{(\ell)} \longrightarrow \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{aq})} + \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}}

   L'intensité du courant d'électrolyse traversant l'électrode de surface S vaut :

   I = j \cdot S

   La quantité d'électricité traversant la cellule pendant une durée \mathrm{d}t est \delta Q = I\,\mathrm{d}t. Sachant que la production d'une mole de dichlore libère 2\text{ moles} d'électrons (\delta Q = 2\,\mathrm{d}n(\mathrm{Cl}_2) \cdot F), la vitesse de production de dichlore s'exprime par :

   v_{\mathrm{prod}}(\mathrm{Cl}_2) = \frac{\mathrm{d}n(\mathrm{Cl}_2)}{\mathrm{d}t} = \frac{I}{2\,F} = \frac{j \cdot S}{2\,F}

   Application numérique :

   \begin{aligned} j &= 4{,}0 \cdot 10^3\text{ A}\cdot\text{m}^{-2} \\ S &= 20\text{ cm}^2 = 20 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2 = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 \\ I &= 4{,}0 \cdot 10^3 \times 2{,}0 \cdot 10^{-3} = 8{,}0\text{ A} \\ F &= 96{,}5 \cdot 10^3\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   On obtient ainsi :

   v_{\mathrm{prod}}(\mathrm{Cl}_2) = \frac{8{,}0}{2 \times 96{,}5 \cdot 10^3} \approx 4{,}15 \cdot 10^{-5}\text{ mol}\cdot\text{s}^{-1}

   Soit, en conservant deux chiffres significatifs :

   \boxed{v_{\mathrm{prod}}(\mathrm{Cl}_2) = 4{,}1 \cdot 10^{-5}\text{ mol}\cdot\text{s}^{-1}} \quad \left(\text{soit } 0{,}15\text{ mol}\cdot\text{h}^{-1}\right)

   Résultat

   $$2{\mathrm{Cl}}_{(\mathrm{aq})}^{-}+2{{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}}_{(\ell )}⟶{\mathrm{Cl}}_{2(\mathrm{aq})}+{\mathrm{H}}_{2(\mathrm{g})}+2{\mathrm{HO}}_{(\mathrm{aq})}^{-}$$

   $$v_{\mathrm{prod}}({\mathrm{Cl}}_2)=4,1\cdot 10^{-5}\text{ mol}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Modelisation PSI 2026, Q39

   Le vecteur des résidus s'écrit sous forme matricielle :

   \varepsilon = U_{\mathrm{PEMFC}} - \widetilde{U}_{\mathrm{PEMFC}} = U_{\mathrm{PEMFC}} - R p

   Le carré de la norme euclidienne de l'erreur est égal au produit scalaire canonique du vecteur des résidus avec lui-même :

   \begin{aligned} \|\varepsilon\|_2^2 &= \varepsilon^{\mathrm{t}} \varepsilon \\ &= \left(U_{\mathrm{PEMFC}} - R p\right)^{\mathrm{t}} \left(U_{\mathrm{PEMFC}} - R p\right) \\ &= \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} - p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}}\right) \left(U_{\mathrm{PEMFC}} - R p\right) \\ &= U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} - U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p - p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} + p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p \end{aligned}

   Le terme U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p étant un scalaire, il est égal à sa transposée :

   U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p = \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p\right)^{\mathrm{t}} = p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}

   On en déduit :

   \|\varepsilon\|_2^2 = U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} - 2\, U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p + p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p

   On dérive cette fonction par rapport au vecteur de paramètres p en utilisant les règles de dérivation fournies par l'énoncé :

   • \dfrac{\partial}{\partial p}\left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}\right) = 0 (terme indépendant de p) ;

   • avec y = U_{\mathrm{PEMFC}}, A = R et x = p :

     \frac{\partial}{\partial p} \left(U_{\mathrm{PEMFC}}^{\mathrm{t}} R p\right) = R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}

   • avec A = R et x = p :

     \frac{\partial}{\partial p} \left(p^{\mathrm{t}} R^{\mathrm{t}} R p\right) = 2 R^{\mathrm{t}} R p

   Le gradient de l'erreur quadratique par rapport à p vaut donc :

   \frac{\partial \|\varepsilon\|_2^2}{\partial p} = -2 R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} + 2 R^{\mathrm{t}} R p

   La fonction étant strictement convexe, le minimum global est atteint lorsque ce gradient s'annule, ce qui conduit à :

   -2 R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}} + 2 R^{\mathrm{t}} R p = 0

   d'où l'équation normale :

   \boxed{\left(R^{\mathrm{t}} R\right) p = R^{\mathrm{t}} U_{\mathrm{PEMFC}}}

   Résultat

   $$\left(R^{\mathrm{t}}R\right)p=R^{\mathrm{t}}{U}_{\mathrm{PEMFC}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2021, Q36

   Le volume de nickel à déposer sur la surface S_r de l'aimant est :

   V = S_r h

   La masse correspondante vaut m = \rho_{\mathrm{Ni}} S_r h, ce qui correspond à une quantité de matière :

   n(\mathrm{Ni}) = \frac{\rho_{\mathrm{Ni}} S_r h}{M(\mathrm{Ni})}

   À la cathode, les ions nickel(II) sont réduits selon la demi-équation :

   \mathrm{Ni}^{2+}_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{Ni}_{(\mathrm{s})}

   Le dépôt d'une mole de nickel consomme donc z = 2 moles d'électrons.

   En considérant un rendement faradique unitaire, la charge électrique Q totale traversant le circuit pendant la durée \Delta t sous le courant I s'écrit :

   Q = I \Delta t = z\,n(\mathrm{Ni})\,\mathcal{F} = \frac{2\,\rho_{\mathrm{Ni}} S_r h \mathcal{F}}{M(\mathrm{Ni})}

   On en déduit l'expression de la durée \Delta t :

   \Delta t = \frac{2\,\rho_{\mathrm{Ni}} S_r h \mathcal{F}}{I\,M(\mathrm{Ni})}

   Application numérique : Avec les données fournies :

   • \rho_{\mathrm{Ni}} = 8{,}9 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
   • S_r = 6{,}3\text{ dm}^2 = 6{,}3 \times 10^{-2}\text{ m}^2
   • h = 50\text{ }\mu\text{m} = 5{,}0 \times 10^{-5}\text{ m}
   • \mathcal{F} = 9{,}65 \times 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}
   • I = 4{,}0\text{ A}
   • M(\mathrm{Ni}) = 58{,}7\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 58{,}7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}

   On calcule :

   \begin{aligned} m &= 8{,}9 \times 10^3 \times 6{,}3 \times 10^{-2} \times 5{,}0 \times 10^{-5} = 2{,}80 \times 10^{-2}\text{ kg} = 28{,}0\text{ g} \\ n(\mathrm{Ni}) &= \frac{28{,}035}{58{,}7} \approx 0{,}478\text{ mol} \\ Q &= 2 \times 0{,}4776 \times 9{,}65 \times 10^4 \approx 9{,}22 \times 10^4\text{ C} \end{aligned}

   D'où la durée d'électrolyse théorique :

   \Delta t = \frac{9{,}22 \times 10^4}{4{,}0} \approx 2{,}3 \times 10^4\text{ s} \approx 6{,}4\text{ h} \quad (6\text{ h } 24\text{ min})

   \boxed{\Delta t = \frac{2\,\rho_{\mathrm{Ni}} S_r h \mathcal{F}}{I\,M(\mathrm{Ni})} \approx 2{,}3 \times 10^4\text{ s} \approx 6{,}4\text{ h}}

   Résultat

   $$\Delta t=\frac{2{\rho }_{\mathrm{Ni}}{S}_{r}h\mathcal{F}}{IM(\mathrm{Ni})}\approx 2,3\times 10^4\text{ s}\approx 6,4\text{ h}$$

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4. Exercice 4CCINP Modelisation PSI 2026, Q27

   1. Influence sur le pH de l'eau

   • À l'échelle de la réaction de dismutation du dichlore (établie en Q24) :

     \mathrm{Cl_2(aq)} + \mathrm{H_2O(\ell)} \rightleftharpoons \mathrm{HClO(aq)} + \mathrm{Cl^-(aq)} + \mathrm{H^+(aq)}

     Cette réaction s'accompagne d'une libération d'ions \mathrm{H^+}, ce qui tend localement à diminuer le pH (acidification).

   • À l'échelle du système d'électrolyse global : À la cathode, la réduction de l'eau libère du dihydrogène gazeux et des ions hydroxyde :

     2\,\mathrm{H_2O(\ell)} + 2\,e^- \longrightarrow \mathrm{H_2(g)} + 2\,\mathrm{HO^-(aq)}

     En sommant avec l'oxydation anodique des chlorures (2\,\mathrm{Cl^-} \to \mathrm{Cl_2} + 2\,e^-) et la dismutation de \mathrm{Cl_2}, le bilan global de fonctionnement s'écrit :

     \mathrm{Cl^-(aq)} + 2\,\mathrm{H_2O(\ell)} \longrightarrow \mathrm{HClO(aq)} + \mathrm{H_2(g)} + \mathrm{HO^-(aq)}

     La production d'ions hydroxyde \mathrm{HO^-} tend au contraire à augmenter le pH de l'eau du bassin.

   2. Conséquences

   Dans les deux cas, la production de dichlore induit une dérive du \mathrm{pH} du bassin :

   1. Sur la désinfection et le confort : le \mathrm{pH} modifie la spéciation du chlore libre via l'équilibre acide-base :

      \mathrm{HClO} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{ClO^-} + \mathrm{H_3O^+} \quad (\mathrm{p}K_a \approx 7{,}5)

      Une augmentation du \mathrm{pH} favorise la forme basique \mathrm{ClO^-}, nettement moins désinfectante que le chlore actif \mathrm{HClO}. Inversement, un \mathrm{pH} trop bas provoque des irritations cutanées et oculaires pour les baigneurs ainsi qu'une corrosion des canalisations.

   2. Sur le procédé d'entretien : il est indispensable d'asservir le pH (maintien dans la plage requise [7{,}0\,;\,7{,}4]) en injectant une solution correctrice (usuellement du correcteur acide « pH minus ») à l'aide d'une pompe doseuse péristaltique pilotée par la chaîne de mesure du \mathrm{pH}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Modelisation PSI 2026, Q38

   Lors du fonctionnement de l'électrolyseur, les ions chlorure sont oxydés à l'anode selon la demi-équation électronique :

   2\,\mathrm{Cl^-_{(aq)}} = \mathrm{Cl_{2(aq)}} + 2\,\mathrm{e^-}

   La quantité d'électrons échangée par unité de temps est reliée à l'intensité du courant I = j \cdot S. La vitesse molaire de production du dichlore (établie en Q20) s'écrit donc :

   v_{\mathrm{prod}}(\mathrm{Cl}_2) = \frac{I}{2F} = \frac{j \cdot S}{2F}

   D'après la question Q24, le dichlore ainsi formé se dismute instantanément et totalement dans l'eau de la piscine à \mathrm{pH} = 7{,}2 selon l'équation de réaction :

   \mathrm{Cl_{2(aq)}} + \mathrm{H_2O_{(\ell)}} = \mathrm{HClO_{(aq)}} + \mathrm{Cl^-_{(aq)}} + \mathrm{H^+_{(aq)}}

   Chaque mole de dichlore consommée produit exactement une mole d'acide hypochloreux \mathrm{HClO}. La vitesse molaire de production v_p en acide hypochloreux apportée par l'électrolyseur (en \text{mol}\cdot\text{s}^{-1}) est donc égale à la vitesse de production de dichlore :

   \boxed{v_p = \frac{I}{2F} = \frac{j \cdot S}{2F}}

   Résultat

   $$v_p=\frac{I}{2F}=\frac{j\cdot S}{2F}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q12

   1. Caractère de la réaction (1) à 298\text{ K} :

   L'enthalpie libre standard de la réaction (1) à T = 298\text{ K} s'écrit :

   \Delta_\mathrm{r}G_1^\circ(T) = \Delta_\mathrm{r}H_1^\circ(T) - T\,\Delta_\mathrm{r}S_1^\circ(T)

   D'après les questions Q10 et Q11 :

   • \Delta_\mathrm{r}H_1^\circ(298\text{ K}) = -877{,}4\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = -877\,400\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}
   • \Delta_\mathrm{r}S_1^\circ(298\text{ K}) = -182{,}0\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}

   À l'aide de la donnée numérique 182 \times 298 = 54\,236 :

   \begin{aligned} T\,\Delta_\mathrm{r}S_1^\circ &= -298 \times 182{,}0 = -54\,236\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} \\ \Delta_\mathrm{r}G_1^\circ(298\text{ K}) &= -877\,400 - (-54\,236) = -823\,164\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} \approx -823{,}2\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   La constante thermodynamique d'équilibre K^\circ vérifie :

   K^\circ(298\text{ K}) = \exp\left(-\frac{\Delta_\mathrm{r}G_1^\circ}{R T}\right)

   Puisque \Delta_\mathrm{r}G_1^\circ \ll 0, on a K^\circ(298\text{ K}) \gg 10^4 (de l'ordre de 10^{144}).

   Dans l'atmosphère ambiante (P_{\mathrm{O}_2} \approx 0{,}2\text{ bar}), le quotient réactionnel initial vaut Q_\mathrm{r} = \frac{1}{P_{\mathrm{O}_2}/P^\circ} = 5 \ll K^\circ. La réaction d'oxydation du silicium est donc spontanée et totale.

   \boxed{\text{À } T = 298\text{ K}\text{ et } P = 10^5\text{ Pa, la réaction (1) est quantitative.}}

   2. Opération d'électrométallurgie pour obtenir le silicium libre :

   Dans la silice \mathrm{SiO}_{2(\mathrm{s})}, le silicium est au nombre d'oxydation +\mathrm{IV}, alors que dans le silicium solide \mathrm{Si}_{(\mathrm{s})}, son nombre d'oxydation est 0. L'opération nécessaire consiste donc en une réduction.

   En électrométallurgie, l'obtention de silicium s'effectue par :

   • Électrothermie (procédé industriel principal) : réduction carbothermique de la silice par le carbone dans un four électrique à arc à haute température (T > 1800\text{ }^\circ\text{C}) :

     \mathrm{SiO}_{2(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{C}_{(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{Si}_{(\mathrm{l})} + 2\,\mathrm{CO}_{(\mathrm{g})}

     suivie de procédés de purification poussée (zone fondue, tirage Czochralski) pour atteindre la pureté électronique requise ;

   • ou Électrolyse (procédé électrochimique) : réduction cathodique d'un précurseur de silicium en milieu de sels fondus :

     \mathrm{Si}^{\mathrm{IV}} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{Si}_{(\mathrm{s})}

   \boxed{\text{Il s'agit d'une opération de \textbf{réduction} (par électrothermie en four à arc électrique ou par électrolyse).}}

   Résultat

   $$\text{Aˋ }T=298\text{ K}\text{ et }P=10^5\text{ Pa, la reˊaction (1) est quantitative.}$$

   $$\text{Il s’agit d’une opeˊration de reˊduction (par eˊlectrothermie en four aˋ arc eˊlectrique ou par eˊlectrolyse).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q40

   Lors de la décharge, le système fonctionne comme un générateur électrochimique (pile) :

   • Polarités des électrodes : D'après la question Q39, E_{\mathrm{Li}} \approx -3{,}10\text{ V} < E_{\mathrm{O}_2} \approx 0{,}39\text{ V}.

     • L'électrode de lithium constitue le pôle négatif (-).
     • L'électrode de carbone poreux constitue le pôle positif (+).

   • Nature des électrodes et réactions associées :

     • Électrode de lithium (pôle -) : Anode (siège d'une oxydation) :

       \boxed{\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{e}^-}

     • Électrode de carbone poreux (pôle +) : Cathode (siège d'une réduction) :

       \boxed{\mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow 4\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}}

   • Sens de circulation dans le circuit extérieur :

     • Les électrons circulent du pôle négatif vers le pôle positif, c'est-à-dire de l'électrode de lithium vers l'électrode de carbone poreux.
     • Le courant électrique conventionnel circule en sens inverse, du pôle positif vers le pôle négatif, c'est-à-dire de l'électrode de carbone poreux vers l'électrode de lithium à travers la résistance R.

   • Déplacement des ions dans l'électrolyte : Pour assurer la fermeture du circuit électrique et la neutralité des compartiments :

     • Les cations \mathrm{Li}^+ migrent vers la cathode (de la gauche vers la droite).
     • Les anions \mathrm{HO}^- migrent vers l'anode (de la droite vers la gauche).

   Résultat

   $${\mathrm{Li}}_{(\mathrm{s})}⟶{\mathrm{Li}}_{(\mathrm{aq})}^{+}+{\mathrm{e}}^{-}$$

   $${\mathrm{O}}_{2(\mathrm{aq})}+2{\mathrm{H}}_2{\mathrm{O}}_{(\ell )}+4{\mathrm{e}}^{-}⟶4{\mathrm{HO}}_{(\mathrm{aq})}^{-}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q41

   1. Condition d'apparition du précipité : Le précipité d'hydroxyde de lithium se forme selon l'équilibre :

   \mathrm{Li}^+_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} \rightleftharpoons \mathrm{LiOH}_{(\mathrm{s})}

   Ce phénomène a lieu en décharge. En effet, au cours de la décharge :

   • le lithium métallique est oxydé à l'anode (\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})} \to \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-), augmentant la concentration globale en ions \mathrm{Li}^+ dans l'électrolyte ;
   • le dioxygène est réduit à la cathode (\mathrm{O}_{2} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} + 4\,\mathrm{e}^- \to 4\,\mathrm{HO}^-), ce qui produit des ions hydroxyde.

   Le produit des concentrations [\mathrm{Li}^+][\mathrm{HO}^-] augmente donc en décharge jusqu'à atteindre et dépasser le produit de solubilité de \mathrm{LiOH}.

   2. Endroit de formation : Le précipité se forme dans l'électrolyte, préférentiellement :

   • à la surface du revêtement protecteur (côté électrolyte), à l'endroit précis où les ions \mathrm{Li}^+ émergent de la membrane pour entrer dans la solution basique (gradient de concentration maximal en \mathrm{Li}^+) ;
   • et/ou à la surface de l'électrode à oxygène, lieu de génération des ions \mathrm{HO}^-.

   3. Problème posé : La précipitation de lithine solide \mathrm{LiOH}_{(\mathrm{s})} sur ces surfaces entraîne :

   • un colmatage des pores du revêtement protecteur perméable aux ions \mathrm{Li}^+ (passivation de l'interface) ;
   • un blocage de la diffusion des ions \mathrm{Li}^+ et une forte augmentation de la résistance interne de l'accumulateur ;
   • une chute brutale de la tension délivrée, limitant la capacité utile de la batterie et pouvant compromettre la réversibilité du système lors de la recharge si le précipité ne peut être convenablement dissous.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q42

   1. Énergie totale et volume de la batterie

   Pour parcourir la distance d'autonomie maximale D = 600\text{ km} avec une consommation de 15\text{ kW}\cdot\text{h} pour 100\text{ km}, l'énergie électrique totale à stocker est :

   \mathcal{E}_{\text{tot}} = \frac{600}{100} \times 15\text{ kW}\cdot\text{h} = 90\text{ kW}\cdot\text{h} = 90 \times 3{,}6 \times 10^6\text{ J} = 3{,}24 \times 10^8\text{ J}

   Le volume total de batterie correspondant à la densité volumique maximale W_{\max} = 2{,}2\text{ kW}\cdot\text{h}\cdot\text{L}^{-1} vaut :

   V = \frac{\mathcal{E}_{\text{tot}}}{W_{\max}} = \frac{90}{2{,}2} \approx 40{,}9\text{ L}

   2. Quantité totale d'ions \text{Li}^+ produite

   La batterie est constituée d'une association série de N_{\text{cell}} cellules de f.e.m. e = 3\text{ V}, sous une tension totale U_{\text{bat}} = 400\text{ V}, soit :

   N_{\text{cell}} = \frac{U_{\text{bat}}}{e}

   Lors d'une décharge complète, la charge totale ayant traversé le circuit vaut Q = \frac{\mathcal{E}_{\text{tot}}}{U_{\text{bat}}}. Dans chaque cellule, chaque mole d'électrons échangée (\text{Li} = \text{Li}^+ + \text{e}^-) correspond à une mole d'ions \text{Li}^+ produite :

   n_{\text{cell}}(\text{Li}^+) = \frac{Q}{\mathcal{F}} = \frac{\mathcal{E}_{\text{tot}}}{U_{\text{bat}}\mathcal{F}}

   La quantité de matière totale d'ions \text{Li}^+ produite dans l'ensemble des N_{\text{cell}} cellules s'écrit alors :

   n_{\text{tot}}(\text{Li}^+) = N_{\text{cell}} \times n_{\text{cell}}(\text{Li}^+) = \frac{\mathcal{E}_{\text{tot}}}{e\,\mathcal{F}}

   n_{\text{tot}}(\text{Li}^+) = \frac{3{,}24 \times 10^8}{3 \times 9{,}6485 \times 10^4} \approx 1{,}119 \times 10^3\text{ mol}

   3. Masse de lithine \text{LiOH} précipitée

   Les ions \text{Li}^+ restent d'abord en solution jusqu'à atteindre la concentration limite de précipitation c_{\max} = 5{,}25\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}. En supposant la concentration initiale négligeable, la quantité maximale d'ions \text{Li}^+ soluble dans le volume V de l'électrolyte est :

   n_{\text{sol}} = c_{\max} \, V = 5{,}25 \times 40{,}91 \approx 215\text{ mol}

   La quantité de matière de précipité \text{LiOH} formée vaut donc :

   n_{\text{LiOH}} = n_{\text{tot}}(\text{Li}^+) - n_{\text{sol}} \approx 1119 - 215 = 904\text{ mol}

   La masse molaire de la lithine \text{LiOH} est :

   M_{\text{LiOH}} = M_{\text{Li}} + M_{\text{O}} + M_{\text{H}} = 6{,}9 + 16{,}0 + 1{,}0 = 23{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   On en déduit la masse maximale de lithine qui peut se déposer :

   m_{\max} = n_{\text{LiOH}} \times M_{\text{LiOH}} = 904 \times 23{,}9 \times 10^{-3}\text{ kg} \approx 21{,}6\text{ kg}

   \boxed{m_{\max} \approx 22\text{ kg}}

   Résultat

   $$m_{\max }\approx 22\text{ kg}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Modelisation PSI 2026, Q36

    L'approximation polynomiale de degré K de la tension U_{\mathrm{PEMFC}} pour la i-ème mesure de densité de courant J_{\mathrm{PEMFC}}[i] s'écrit sous forme développée :

    \begin{aligned} \widetilde{U}_{\mathrm{PEMFC}}[i] &= \sum_{k=0}^{K} p_k \left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)^k \\ &= p_0 \cdot 1 + p_1 \cdot J_{\mathrm{PEMFC}}[i] + p_2 \cdot \left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)^2 + \dots + p_K \cdot \left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)^K \end{aligned}

    Cette relation se met sous la forme du produit d'un vecteur ligne r^{\mathrm{t}}[i] de dimension 1 \times (K+1) et du vecteur colonne des coefficients p de dimension (K+1) \times 1 :

    \widetilde{U}_{\mathrm{PEMFC}}[i] = r^{\mathrm{t}}[i] \, p = \begin{pmatrix} r_0 & r_1 & \cdots & r_K \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_K \end{pmatrix}

    Par identification terme à terme pour chaque indice k \in \{0, \dots, K\} :

    r_k = \left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)^k

    L'expression matricielle recherchée pour la mesure i est donc :

    \boxed{\widetilde{U}_{\mathrm{PEMFC}}[i] = \begin{pmatrix} 1 & J_{\mathrm{PEMFC}}[i] & \left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)^2 & \cdots & \left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)^K \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_K \end{pmatrix}}

    Résultat

    $${\tilde{U}}_{\mathrm{PEMFC}}[i]=\left(\begin{array}{ccccc}1& J_{\mathrm{PEMFC}}[i]& {\left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)}^2& \cdots & {\left(J_{\mathrm{PEMFC}}[i]\right)}^K\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_0\\ p_1\\ ⋮\\ p_K\end{array}\right)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question