Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2021

1. Estimation du supplément de consommation électrique annuelle

D'après le document 1, le parc de voitures particulières en France métropolitaine se décompose en :

• Véhicules essence : N_{\text{ess}} = 12{,}7 \times 10^6 véhicules, roulant en moyenne d_{\text{ess}} = 8\,935\text{ km}\cdot\text{an}^{-1} ;
• Véhicules diesel : N_{\text{dies}} = 19{,}8 \times 10^6 véhicules, roulant en moyenne d_{\text{dies}} = 15\,910\text{ km}\cdot\text{an}^{-1}.

La distance totale parcourue annuellement par l'ensemble de ces véhicules est :

Un véhicule électrique particulier présente une consommation moyenne typique à la prise comprise entre c_e = 15\text{ kWh}/100\text{ km} et 20\text{ kWh}/100\text{ km} (soit 0{,}15 à 0{,}20\text{ kWh}\cdot\text{km}^{-1}, en intégrant les pertes du chargeur et de la batterie). En prenant une valeur médiane c_e \approx 0{,}17\text{ kWh}\cdot\text{km}^{-1} :

Vérification par l'approche thermique (document 1) : La consommation d'énergie finale du secteur des transports est de 43{,}8\text{ Mtep}, dont 80\,\% pour le transport routier, les voitures particulières représentant 62\,\% de ce sous-total :

Avec 1\text{ tep} = 42\text{ GJ} = \frac{42 \times 10^9}{3{,}6 \times 10^{12}}\text{ TWh} \approx 11{,}67\text{ TWh}, cela représente :

Avec un rendement moyen du moteur thermique \eta_{\text{th}} \approx 25\,\% à 30\,\%, l'énergie mécanique utile nécessaire aux roues est E_{\text{méc}} \approx 253 \times 0{,}25 \approx 63\text{ TWh}. La chaîne de traction électrique (batterie, onduleur, moteur) et la recharge présentant un rendement global \eta_{\text{elec}} \approx 85\,\%, l'énergie électrique requise est :

Les deux méthodes conduisent au même ordre de grandeur :

2. Nécessité de créer de nouvelles unités de production

D'après le document 2, la production totale d'électricité en France en 2019 était de E_{\text{tot}} = 537{,}7\text{ TW}\cdot\text{h}. Le supplément nécessaire représente donc :

Ce volume est significatif :

• À l'échelle annuelle de l'énergie : la France dispose historiquement d'un solde exportateur net d'électricité (souvent de l'ordre de 40 à 60\text{ TWh}\cdot\text{an}^{-1}). Si une fraction de cette énergie pouvait théoriquement être conservée sur le territoire national, elle ne suffirait pas à combler la totalité des besoins sans réduire la sécurité d'approvisionnement lors des périodes tendues (hiver).
• À l'échelle de la puissance instantanée (document 3) : en l'absence de pilotage intelligent de la recharge, un million de VE engendre un appel de puissance supplémentaire pouvant atteindre 700 à 900\text{ MW} lors de la pointe du soir (19h–20h). Pour les 32{,}5\text{ millions} de véhicules du parc, cela représenterait un appel de crête théorique de l'ordre de 25 à 30\text{ GW}, ce qui est incompatible avec les capacités actuelles de production et de distribution.

1. Évaluation de la puissance de crête de recharge

D'après le document 3, pour un échantillon de 10^6 véhicules électriques non pilotés, l'appel de puissance de pointe (situé vers 19 h – 20 h) vaut selon les scénarios :

• Scénario Opera : P_{\text{crête, 1M}} \approx 600\text{ MW} ;
• Scénario Crescendo : P_{\text{crête, 1M}} \approx 700\text{ MW} ;
• Scénario Forte : P_{\text{crête, 1M}} \approx 850\text{ MW}.

En retenant une valeur représentative moyenne sans pilotage de P_{\text{crête, 1M}} \approx 700\text{ à }800\text{ MW} pour 10^6 véhicules, la puissance de crête requise pour la totalité du parc de N_{\text{tot}} \approx 32{,}5\times 10^6 véhicules (question Q1) est :

2. Estimation de la surface d'un champ éolien

Pour assurer la production énergétique annuelle moyenne calculée à la question Q1 (\Delta E_{\text{elec}} \approx 75\text{ TW}\cdot\text{h}\cdot\text{an}^{-1}), la puissance moyenne à délivrer en continu est :

D'après le document 4, le facteur de charge moyen de l'éolien terrestre en France est f_c \approx 24{,}7\% \approx 0{,}25. La puissance nominale totale installée nécessaire est donc :

D'après le document 5, une éolienne terrestre moderne standard présente typiquement :

• un diamètre de rotor D \approx 100\text{ m} ;
• une puissance nominale unitaire P_n \approx 3{,}0\text{ MW}.

Le nombre total d'éoliennes à implanter est alors :

Selon le document 4, pour limiter les perturbations de sillage aérodynamique entre machines, l'espacement préconisé entre éoliennes est de d \approx 8 D (compris entre 6 D et 10 D, voire 15 D pour de très grands parcs). La surface attribuée à chaque machine en maille carrée est donc :

La surface totale du champ éolien est ainsi :

3. Commentaires

• Emprise territoriale : rapportée à la surface de la France métropolitaine (S_F = 550\,000\text{ km}^2), la surface du parc représente :

  \frac{S_{\text{parc}}}{S_F} \approx \frac{7\,400}{550\,000} \approx 1{,}3\%

  Bien que l'emprise physique au sol des fondations soit faible (les terrains interstitiels restent exploitables pour l'agriculture), une telle surface (équivalente à un ou deux départements français) soulève de fortes contraintes d'acceptabilité paysagère et environnementale.

• Impact sur le réseau et pilotage de la charge : l'appel de puissance de crête sans pilotage (\approx 25\text{ GW}) est colossal comparé au pic historique français (\approx 102\text{ GW}). Il survient précisément lors de la pointe du soir (19 h). Il est donc indispensable d'instaurer un pilotage intelligent de la recharge (tarification incitative heures creuses, recharge nocturne, bornes intelligentes, technologie Vehicle-to-Grid / V2G).
• Intermittence : l'éolien étant fatal et fluctuant, il ne peut garantir la puissance lors des pics de consommation (notamment en période de grand froid anticyclonique sans vent). Cette production doit impérativement être couplée à du stockage, au parc nucléaire ou à d'autres moyens de régulation pilotables.

Le tableau 1 fournit la puissance moyenne P_i pour chaque plage de vitesse de vent ainsi que la fraction du temps f_i passée dans cette plage.

La puissance moyenne produite par l'éolienne est la moyenne pondérée par les pourcentages de temps d'occurrence :

Remarque : si l'on effectue la pondération exacte par le nombre de mesures (N_{\text{tot}} = 8350 + 12460 + 2060 = 22870), on obtient de façon très voisine :

Justification du raisonnement pour l'extrapolation annuelle : Les mesures ayant été réalisées sur une période de 6 mois, déterminer la production sur une année suppose que :

• la distribution des vents observée sur ces 6 mois est statistiquement représentative de l'année entière (on néglige d'éventuelles fortes variations saisonnières du régime des vents) ;
• l'éolienne fonctionne continûment avec un taux de disponibilité de 100\,\% (pas de pannes ni d'arrêts de maintenance prolongés).

Une année compte une durée :

L'énergie électrique produite sur une année s'en déduit :

En joules, cela correspond à :

Dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_0, le vent incident au niveau de l'éolienne est uniforme :

Il est donc représenté en tout point par un vecteur horizontal dirigé vers la droite, de longueur constante v_0.

Le centre de poussée P_1 décrit un cercle de rayon R à la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta} > 0 (sens trigonométrique). Sa vitesse dans \mathcal{R}_0 s'écrit :

Le vecteur -\vec{u} = -R\omega\,\vec{e}_\theta est tangent au cercle, orienté dans le sens horaire (opposé au mouvement de rotation), et de norme :

La norme de -\vec{u} est donc constante et environ 3,8 fois plus grande que celle de \vec{v}_0.

La vitesse relative du vent par rapport à la pale s'obtient par composition des vitesses :

Détaillons l'orientation pour les 6 positions représentées sur la figure A :

• \theta = 0 : \vec{v}_0 = v_0\vec{e}_x (vers la droite) et -\vec{u} = -R\omega\vec{e}_y (vers le bas) ; \vec{w} est incliné vers le bas et la droite.
• \theta = \frac{\pi}{4} : \vec{v}_0 est vers la droite, -\vec{u} est tangentiel descendant vers la droite ; \vec{w} pointe vers le bas et la droite.
• \theta = \frac{\pi}{2} : -\vec{u} = R\omega\vec{e}_x et \vec{v}_0 = v_0\vec{e}_x sont colinéaires et de même sens ; \vec{w} = (v_0 + R\omega)\vec{e}_x est horizontal vers la droite, de norme maximale.
• \theta = \pi : \vec{v}_0 = v_0\vec{e}_x (vers la droite) et -\vec{u} = R\omega\vec{e}_y (vers le haut) ; \vec{w} pointe vers le haut et la droite.
• \theta = \frac{5\pi}{4} : -\vec{u} est tangentiel montant vers la gauche ; comme |-\vec{u}_x| = \frac{\sqrt{2}}{2}R\omega \approx 2{,}7\,v_0 > v_0, la composante horizontale de \vec{w} est négative : \vec{w} pointe vers le haut et la gauche.
• \theta = \frac{3\pi}{2} : -\vec{u} = -R\omega\vec{e}_x (vers la gauche) et \vec{v}_0 = v_0\vec{e}_x (vers la droite) ; puisque R\omega > v_0, \vec{w} = (v_0 - R\omega)\vec{e}_x est horizontal dirigé vers la gauche, de norme minimale.

Le centre de poussée P_1 est animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon R à la vitesse angulaire \omega autour de l'axe Oz. Sa vitesse dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_0 s'écrit :

Par définition du coefficient de vitesse de pointe (TSR), on a \lambda = \dfrac{R\omega}{v_\infty}, soit R\omega = \lambda v_\infty. Sachant que la vitesse du vent au niveau du rotor vérifie v_0 = (1-a)v_\infty, il vient :

Le vent au niveau du rotor est dirigé selon \vec{e}_x : \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x. En projetant le vecteur unitaire \vec{e}_x dans la base polaire locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta), on a :

La vitesse apparente \vec{w} = \vec{v}_0 - \vec{u} s'exprime donc dans la base (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) sous la forme :

La base (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) étant orthonormée, le carré de la norme de \vec{w} vaut :

Comme w \ge 0, on obtient bien en prenant la racine carrée :

D'après le résultat de la question Q5, l'opposé du vecteur vitesse relative s'écrit dans la base orthonormée directe (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) liée à la pale :

D'après la figure 4, l'angle d'attaque \alpha est l'angle orienté par \vec{e}_z entre \vec{e}_\theta et -\vec{w}, soit \alpha = (\vec{e}_\theta, -\vec{w}).

Considérons la base orthonormée directe du plan (\vec{e}_\theta, -\vec{e}_r), orientée par \vec{e}_z puisque \vec{e}_\theta \wedge (-\vec{e}_r) = \vec{e}_z. Dans cette base, -\vec{w} se décompose sous la forme :

Par définition des fonctions trigonométriques dans cette base orthonormée directe :

Comme \lambda_0 = \frac{\lambda}{1-a} \approx 3{,}81 > 1, la quantité \sin\theta + \lambda_0 ne s'annule jamais et reste strictement positive. On en déduit l'expression de la tangente de l'angle d'attaque :

D'après la question Q5, avec \lambda = 2{,}4 et a = 0{,}37 :

Comme \sin\theta \ge -1, le dénominateur \sin\theta + \lambda_0 \ge \lambda_0 - 1 > 0 reste strictement positif pour tout \theta \in \mathbb{R}. Par conséquent, \cos\alpha > 0 et l'angle d'attaque appartient à l'intervalle \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[.

La fonction \arctan étant strictement croissante sur \mathbb{R}, l'angle \alpha(\theta) = \arctan\bigl(g(\theta)\bigr) a les mêmes variations que :

1. Recherche des extrema de \alpha(\theta)
Dérivons g(\theta) par rapport à \theta :

La dérivée s'annule lorsque 1 + \lambda_0\sin\theta = 0, soit :

Comme \lambda_0 \approx 3{,}81 > 1, cette équation admet deux solutions sur [0, 2\pi[ :

En ces points, \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{\lambda_0^2} = \frac{\lambda_0^2 - 1}{\lambda_0^2}, d'où \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{\lambda_0^2 - 1}}{\lambda_0}. Les valeurs extrémales de \tan\alpha sont donc :

On en déduit les extrema de \alpha :

• En \theta_1 \in [\pi, 3\pi/2], \cos\theta_1 < 0 : c'est un minimum local et global,

  \alpha_{\min} = -\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{\lambda_0^2 - 1}}\right)

• En \theta_2 \in [3\pi/2, 2\pi], \cos\theta_2 > 0 : c'est un maximum local et global,

  \alpha_{\max} = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{\lambda_0^2 - 1}}\right)

2. Application numérique

L'intervalle de variation de \alpha est donc :

3. Allure de la courbe \alpha(\theta)
Les points remarquables sont :

• \theta = 0 : \tan\alpha = \frac{1}{\lambda_0} \approx 0{,}262 \implies \alpha \approx 14{,}7^\circ ;
• \theta = \frac{\pi}{2} = 90^\circ : \cos\theta = 0 \implies \alpha = 0^\circ ;
• \theta = \pi = 180^\circ : \tan\alpha = -\frac{1}{\lambda_0} \implies \alpha \approx -14{,}7^\circ ;
• \theta_1 \approx 195^\circ : minimum \alpha_{\min} \approx -15{,}2^\circ ;
• \theta = \frac{3\pi}{2} = 270^\circ : \cos\theta = 0 \implies \alpha = 0^\circ ;
• \theta_2 \approx 345^\circ : maximum \alpha_{\max} \approx +15{,}2^\circ.

1. Évaluation du nombre de Reynolds :

Le nombre de Reynolds associé à la pale s'écrit :

D'après les questions Q4 et Q5, la vitesse relative w(\theta) varie dans l'intervalle :

Avec v_0 = (1 - a)v_\infty = (1 - 0,37) \times 6,0 \approx 3,78\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \lambda_0 \approx 3,81, on a :

En retenant une vitesse moyenne typique w \approx 14\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient :

On se réfère donc à la courbe correspondant à Re = 5,0 \times 10^5 sur la figure 6.

2. Justification des approximations :

D'après la question Q7, l'angle d'attaque oscille entre -15{,}2^\circ et +15{,}2^\circ.

• Sur l'essentiel de cet intervalle (typiquement pour |\alpha| \le 10^\circ à 12^\circ), la courbe C_L(\alpha) est une droite passant par l'origine (du fait de la symétrie du profil NACA 0012) avant l'amorce du décrochage. On peut donc approcher la portance par :

  C_L(\alpha) \approx k\alpha

• Sur la figure 6, pour |\alpha| \le 12^\circ, le coefficient de traînée reste très faible (C_D \approx 0,01 à 0,02) alors que C_L atteint des valeurs de l'ordre de 1. En dehors du voisinage immédiat de \alpha = 0 où les deux coefficients s'annulent, on a bien :

  C_D \ll C_L

3. Estimation de la constante k :

Par lecture graphique sur la courbe C_L(\alpha) à Re = 5,0 \times 10^5, on relève pour \alpha = 10^\circ :

La pente s'exprime ainsi :

Exprimée en radians (unité du Système International) :

D'après l'énoncé, la force de traînée est négligée (C_D = 0), de sorte que la résultante aérodynamique se réduit à la force de portance :

D'après la figure 4, l'angle d'attaque \alpha = (\vec{e}_\theta, -\vec{w}) repère la direction de -\vec{w} par rapport à \vec{e}_\theta. Le vecteur tangent unitaire \vec{t} = \vec{w}/w s'écrit donc :

Le vecteur unitaire \vec{n}, normal à \vec{t} dans le plan (xOy) et orienté vers l'extérieur de l'éolienne (\vec{n} \cdot \vec{e}_r > 0, sachant que |\alpha| \le 15{,}2^\circ, donc \cos\alpha > 0), s'en déduit directement :

On en déduit l'expression de la force \vec{F}_1 dans la base (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) :

Dans l'approximation des petits angles vue à la question Q8 (\cos\alpha \approx 1 et \sin\alpha \approx \alpha), cette expression se simplifie en :

Commentaires sur l'effet des composantes :

• Composante radiale F_{1,r}\,\vec{e}_r : Sa ligne d'action passe par l'axe de rotation Oz (\vec{OP}_1 \times \vec{e}_r = \vec{0}). Son moment par rapport à Oz est donc rigoureusement nul : elle ne contribue aucunement au couple moteur et n'a aucun effet direct sur la rotation de l'éolienne. Elle sollicite en revanche la pale en traction ou compression radiale ainsi qu'en flexion des bras supports.
• Composante tangentielle (orthoradiale) F_{1,\theta}\,\vec{e}_\theta : Elle est orthogonale au rayon vecteur et parallèle à la vitesse d'entraînement \vec{u} = R\omega\vec{e}_\theta. Son moment par rapport à l'axe Oz vaut \mathcal{M}_{z,1} = R F_{1,\theta}. Comme \alpha et \sin\alpha sont de même signe, le produit \alpha\sin\alpha est toujours positif ou nul : cette force crée ainsi un couple orienté selon +\vec{e}_z, fournissant une puissance motrice instantanée \mathcal{P}_1 = F_{1,\theta} R \omega \ge 0 qui entretient la rotation du rotor.

Le centre de poussée P_1 est repéré par \vec{OP}_1 = R\,\vec{e}_r. Le moment de la force \vec{F}_1 par rapport au point O s'écrit :

Le moment scalaire par rapport à l'axe fixe Oz est donc :

D'après le résultat de la question Q9, la composante orthoradiale s'exprime selon :

Comme montré à la question Q7, l'angle d'attaque reste faible sur l'ensemble de la trajectoire (|\alpha| \le \alpha_{\max} \approx 15{,}2^\circ \approx 0{,}27\text{ rad}). On effectue ainsi l'approximation au premier ordre :

Il vient alors :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q5 et Q6 :

Le produit w^2 \tan^2\alpha prend la forme :

On obtient bien la forme demandée :

avec :

Les trois pales étant identiques et réparties symétriquement autour de l'axe de rotation Oz, leurs positions angulaires respectives à un instant donné sont :

D'après la question Q10, le moment par rapport à l'axe Oz de la force exercée par le vent sur la pale repérée par l'angle \theta_n s'écrit :

Le couple total \Gamma_z exercé par les trois pales sur le rotor est la somme des moments appliqués par chacune d'elles :

En introduisant la fonction F(\theta) définie dans l'énoncé, on obtient :

où la constante \kappa, établie à la question Q10, vaut \kappa = \dfrac{1}{2}\rho_{\text{air}} S R k v_0^2 = \dfrac{1}{2}\rho_{\text{air}} S R k (1-a)^2 v_\infty^2.

D'après la question Q11, le couple total exercé par les trois pales sur le rotor s'écrit :

où \kappa = \frac{1}{2}\rho_{\text{air}} S R k v_0^2 = \frac{1}{2}\rho_{\text{air}} (\ell L) R k (1-a)^2 v_\infty^2 (d'après la question Q10).

La vitesse angulaire de rotation \omega s'obtient à partir de la définition du coefficient de vitesse \lambda :

La puissance moyenne transférée au rotor est donc :

Estimation numérique :

• La vitesse angulaire vaut :

  \omega = \frac{2{,}4 \times 6{,}0}{4{,}0} = 3{,}6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
• La surface alaire d'une pale est S = \ell L = 0{,}45 \times 8{,}0 = 3{,}6\text{ m}^2.
• La vitesse du vent au niveau du rotor est v_0 = (1 - 0{,}37) \times 6{,}0 = 3{,}78\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

• Le facteur \kappa vaut alors :

  \kappa = \frac{1}{2} \times 1{,}2 \times 3{,}6 \times 4{,}0 \times 6{,}3 \times (3{,}78)^2 \approx 7{,}78 \times 10^2\text{ N}\cdot\text{m}

• Sur la figure 7, pour \lambda_0 = \lambda/(1-a) = 3{,}81 \approx 3{,}8, la fonction F(\theta) est périodique et oscille de manière quasi-sinusoïdale entre 1{,}56 et 1{,}62. On évalue sa valeur moyenne à :

  \langle F \rangle \approx 1{,}59 \approx 1{,}6

• Le couple moyen développé est donc :

  \langle \Gamma_z \rangle = \kappa \langle F \rangle \approx 778 \times 1{,}59 \approx 1{,}24 \times 10^3\text{ N}\cdot\text{m}

On en déduit la puissance mécanique moyenne transférée au rotor :

Exemples d'installations susceptibles d'être alimentées : Une puissance de l'ordre de 4 à 5\text{ kW} permet typiquement d'alimenter :

• une borne de recharge lente/standard pour véhicule électrique (borne monophasée domestique de 3{,}7\text{ kW}) ;
• les besoins électriques de base d'un logement individuel (hors chauffage tout électrique) ;
• un système de pompage d'eau pour l'irrigation agricole.

Le débit d'énergie cinétique D_{E_c} (ou puissance cinétique disponible dans le vent) représente l'énergie cinétique du fluide non perturbé traversant par unité de temps la section balayée par le rotor éolien :

En l'absence de l'éolienne, le vent est uniforme et unidirectionnel, de vitesse constante \vec{v}_\infty = v_\infty \vec{e}_x.

La surface apparente (section droite frontale perpendiculaire à \vec{e}_x) délimitée par le cylindre éolien de rayon R et de hauteur L est un rectangle de dimensions 2R par L, de surface :

Le débit massique d'air traversant cette section s'écrit :

L'énergie cinétique massique du vent étant e_c = \frac{1}{2} v_\infty^2, le débit d'énergie cinétique s'obtient par :

Application numérique : Avec \rho_{\text{air}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, R = 4{,}0\text{ m}, L = 8{,}0\text{ m} (soit S_{\text{front}} = 64\text{ m}^2) et v_\infty = 6{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Le coefficient de puissance \eta (également noté C_p) représente la fraction de la puissance cinétique du vent incident interceptée et convertie en puissance mécanique par le rotor :

D'après la question Q12, la puissance mécanique moyenne s'écrit :

où, en utilisant S = \ell L, \kappa = \dfrac{1}{2}\rho_{\text{air}} \ell L R k (1-a)^2 v_\infty^2 et \omega = \dfrac{\lambda v_\infty}{R}, on a :

D'après la question Q13, le débit d'énergie cinétique traversant la section frontale S_{\text{front}} = 2 R L du cylindre éolien vaut :

En faisant le rapport, la hauteur L et la vitesse v_\infty se simplifient :

où \langle F \rangle est la valeur moyenne de la fonction sans dimension F(\theta) tracée en figure 7.

Application numérique : Pour \lambda_0 = 3{,}8, la figure 7 indique une fonction F(\theta) quasi constante de valeur moyenne \langle F \rangle \approx 1{,}58. Avec \ell = 0{,}45\text{ m}, R = 4{,}0\text{ m}, k = 6{,}3\text{ rad}^{-1}, \lambda = 2{,}4 et a = 0{,}37 (soit 1-a = 0{,}63) :

soit de façon équivalente, avec \mathcal{P} \approx 4{,}4\text{ kW} et D_{E_c} \approx 8{,}3\text{ kW} :

Commentaires :

• La valeur obtenue reste inférieure à la limite théorique de Betz pour un capteur éolien idéal en écoulement libre :

  \eta_{\text{Betz}} = \frac{16}{27} \approx 59{,}3\,\%

  ce qui est physiquement cohérent.

• Cette valeur est remarquablement élevée pour une éolienne à axe vertical réelle (dont le rendement effectif se situe habituellement entre 30\,\% et 40\,\%). Cela s'explique par les simplifications du modèle : traînée négligée (C_D = 0), absence de décrochage dynamique, écoulement purement bidimensionnel (effets de bord aux extrémités des pales omis).
• D'après la courbe de la figure 2, la puissance électrique produite à v_\infty = 6{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est d'environ 2{,}9\text{ kW}, ce qui correspond à un rendement global réel \eta_{\text{réel}} \approx \dfrac{2{,}9}{8{,}3} \approx 35\,\%, en bon accord avec les pertes mécaniques, électriques et de traînée non prises en compte ici.

Le couple aérodynamique total exercé sur le rotor est donné d'après la question Q11 par :

La fonction f(\theta), associée à une seule pale, est 2\pi-périodique et admet une décomposition en série de Fourier :

En sommant sur les trois pales déphasées spatialement de 2\pi/3, on obtient :

Or, la somme des trois termes trigonométriques s'annule par interférence destructive sauf lorsque p est un multiple de 3 (p = 3m avec m \in \mathbb{N}^*), auquel cas les trois pales oscillent en phase et les amplitudes s'ajoutent :

La fonction F(\theta) est donc périodique de période angulaire :

ce que confirme directement la figure 7 de l'énoncé, sur laquelle le motif se répète 3 fois sur un tour complet (360^\circ).

En régime permanent, les pales tournent à la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta}, d'où \theta(t) = \omega t. La fréquence de rotation du rotor est :

Les composantes sinusoïdales du couple n'existent donc qu'aux fréquences multiples de la fréquence de passage des pales (dite fréquence 3\text{P}) :

La composante fondamentale du couple oscillant correspond à m = 1 :

ainsi que ses harmoniques d'ordres supérieurs f_m = m f (m \ge 2).

Application numérique : Avec \lambda = 2,4 et R = 4,0\text{ m} :

Dans la plage de fonctionnement nominale allant de v_\infty = 0 à 16\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

• pour v_\infty = 0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : f = 0\text{ Hz} ;
• pour v_\infty = 16\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : f = \frac{0,90}{\pi} \times 16 \approx 4,6\text{ Hz}.

La fréquence fondamentale varie donc dans la plage :

Les composantes harmoniques associées varient dans les plages multiples : [0 \, ; \, 9,2\text{ Hz}] pour m = 2, [0 \, ; \, 13,7\text{ Hz}] pour m = 3, etc.

La force de traînée exercée sur la pale n°1 s'écrit :

où \vec{t} = \frac{\vec{w}}{w} est le vecteur unitaire colinéaire et de même sens que la vitesse relative \vec{w}.

Le point d'application P_1 se déplace dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_0 à la vitesse \vec{u} = R\omega \vec{e}_\theta. La puissance mécanique instantanée développée par la traînée sur cette pale est donc :

Or, par définition de la vitesse relative \vec{w} = \vec{v}_0 - \vec{u}, et sachant que \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x = v_0(\cos\theta\vec{e}_r - \sin\theta\vec{e}_\theta), le produit scalaire vaut :

car \lambda_0 = \frac{R\omega}{v_0}. On en déduit l'expression de la puissance instantanée :

Dans les conditions de fonctionnement de l'éolienne, \lambda_0 = \frac{\lambda}{1-a} = \frac{2{,}4}{1-0{,}37} \approx 3{,}81 > 1. Ainsi :

Comme C_D > 0, \rho_{\text{air}} > 0, S > 0, R\omega > 0, v_0 > 0 et w(\theta) > 0, la puissance instantanée est strictement négative à chaque instant : \mathcal{P}_{D,1}(\theta) < 0.

La puissance moyenne de la force de traînée sur un tour, qu'on considère une pale ou l'ensemble des trois pales, est donc strictement négative :

Discussion de l'influence de C_D :

• La force de traînée est une force résistive qui dissipe de l'énergie mécanique par frottements aérodynamiques.
• La puissance moyenne totale récupérable par le rotor vaut \mathcal{P}_{\text{tot}} = \mathcal{P}_L + \langle \mathcal{P}_D \rangle = \mathcal{P}_L - |\langle \mathcal{P}_D \rangle| < \mathcal{P}_L. La prise en compte d'un coefficient de traînée non nul C_D > 0 entraîne donc une diminution de la puissance mécanique utile et abaisse le rendement énergétique \eta.
• Comme les pertes par traînée croissent en w^3 \sim (R\omega)^3 aux grands TSR (\lambda \gg 1), le choix d'un profil très profilé à faible traînée (tel que le NACA 0012) et à fort rapport de finesse \frac{C_L}{C_D} est primordial pour maximiser l'énergie extraite.

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), appliquons le théorème d'Ampère au champ d'excitation magnétique \vec{H} tel que \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H}.

• Dans le ferromagnétique (rotor et stator) : la perméabilité relative étant supposée infinie (\mu_r \to \infty) avec un champ \vec{B} d'intensité finie, le champ d'excitation magnétique y est négligeable :

  \vec{H}_{\text{fer}} = \frac{\vec{B}}{\mu_0 \mu_r} \approx \vec{0}

• Dans l'entrefer (air, µ_r = 1) : le champ est radial et uniforme sur la faible épaisseur e \ll D_i :

  \vec{B}(\theta) = B(\theta)\,\vec{e}_r \quad \text{et} \quad \vec{H}(\theta) = \frac{B(\theta)}{\mu_0}\,\vec{e}_r

Par conservation du flux magnétique à travers le rotor et par symétrie par rapport au plan (yOz) de la spire, le champ magnétique dans l'entrefer a une amplitude uniforme B_0. D'après la règle de la main droite appliquée au courant I (circulant selon +\vec{e}_z en \theta = \pi/2 et selon -\vec{e}_z en \theta = -\pi/2) :

• pour x > 0, c'est-à-dire \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, le champ sort du stator : \vec{B}(\theta) = + B_0\,\vec{e}_r (centrifuge) ;
• pour x < 0, c'est-à-dire \theta \in \left]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right[, le champ rentre dans le stator : \vec{B}(\theta) = - B_0\,\vec{e}_r (centripète).

Considérons un contour fermé orienté \mathcal{C} composé de :

1. la traversée de l'entrefer à une position angulaire \theta_1 \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[, du stator vers le rotor selon +\vec{e}_r (longueur e) ;
2. un arc dans le rotor jusqu'à \theta_2 \in \left]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right[ (où \vec{H} = \vec{0}) ;
3. la traversée de l'entrefer à la position \theta_2, du rotor vers le stator selon -\vec{e}_r (longueur e) ;
4. un arc de retour dans le stator jusqu'à \theta_1 (où \vec{H} = \vec{0}).

Ce contour fermé enlace une seule fois le courant I du conducteur situé en \theta = \pi/2. Le théorème d'Ampère s'écrit :

On en déduit :

Sens du champ magnétique :

D'après la question Q17, la première spire, située dans le plan (y, z) de vecteur normal orienté selon \vec{e}_x, crée dans l'entrefer un champ magnétique purement radial et uniforme en norme valant B_0 = \frac{\mu_0 I}{2e}, dont le sens dépend du demi-espace considéré :

• pour \theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ (soit x > 0), le champ est centrifuge : B_1(\theta) = +B_0 ;
• pour \theta \in \left]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right[ (soit x < 0), le champ est centripète : B_1(\theta) = -B_0.

On peut ainsi écrire : B_1(\theta) = B_0 \operatorname{sgn}(\cos\theta).

La deuxième spire est parcourue par le même courant I, mais disposée dans le plan (x, z) de vecteur normal orienté selon \vec{e}_y. Elle se déduit géométriquement de la première spire par une rotation d'angle +\frac{\pi}{2} autour de l'axe Oz. Le champ B_2(\theta) = \vec{B}_2 \cdot \vec{e}_r s'en déduit par translation angulaire :

Soit explicitement :

• pour \theta \in ]0, \pi[ (soit y > 0), B_2(\theta) = +B_0 ;
• pour \theta \in ]\pi, 2\pi[ (soit y < 0), B_2(\theta) = -B_0.

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires et en supposant les matériaux magnétiques linéaires non saturés, le théorème de superposition donne le champ total dans l'entrefer :

En évaluant cette somme quart de cercle par quart de cercle :

L'enroulement statorique fournissant une puissance électrique constante \mathcal{P}_{\text{elec}} sous une tension continue U, l'intensité I du courant électrique s'en déduit par :

Avec \mathcal{P}_{\text{elec}} = 5{,}0\text{ kW} = 5{,}0 \times 10^3\text{ W} et U = 230\text{ V} :

D'après la relation (III.2), le champ magnétique statorique dans l'entrefer est radial et varie selon :

L'intensité (ou norme) maximale de ce champ est atteinte aux positions angulaires où |\cos\theta| = 1 :

Avec N = 21, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}, e = 2\text{ mm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m} et I = \frac{5000}{230}\text{ A} \approx 21{,}74\text{ A} :