Cinématique et dynamique du point : 752 questions de concours corrigées

Écrire l'équation du mouvement pour la n-ième masse.

Quel est le sens physique de la grandeur R_C ? Donner une relation géométrique entre R_C, θ et L.

Montrer que le mouvement est uniforme. Exprimer la vitesse v(r) et la période τ du mouvement de l'étoile en fonction de r et des données. Pour le Soleil, situé à 8 kpc du centre galactique, des…

Représenter, sur une figure, l'électron dans sa base cartésienne (eₓ, e_y, e_z) ainsi qu'un point M dont les coordonnées sphériques sont telles que r > 0, θ [0, π/2] et φ [0, π/2[, on précisera…

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ℓ(t). Introduire une pulsation propre ω₀, à exprimer en fonction de k et µ.

Donner les expressions des trois forces s'exerçant sur une particule en mouvement durant la décantation.

Exprimer, dans la base polaire (e_r, e_θ), la vitesse v puis l'accélération γ du point S relativement au référentiel R₀.

Reproduire le schéma simplifié du looping sur votre copie, et y représenter en M la base polaire (e_r, e_θ). Établir l’expression du vecteur accélération de M dans la base polaire (e_r, e_θ). On…

Exprimer les composantes de la vitesse de M : A) v_r = r₀/τ e⁻t/τ B) v_r = -r₀/τ e⁻t/τ C) v_θ = r₀ Ω e⁻t/τ D) v_θ = r₀ Ω

Exprimer les composantes de l'accélération de M ; A) a_r = r₀ (1/τ² - Ω²) e⁻t/τ B) a_r = r₀/τ(1/τ + Ω) e⁻t/τ C) a_θ = (2r₀ Ω)/τ D) a_θ = -(2r₀ Ω)/τ e⁻t/τ

Dans cette question on suppose que U est de la forme U(r) = U(r) = U₀ + 1/2 k r² où U₀ et k sont des constantes et k > 0. On pose ω = √(k/m). Montrer que chacune des fonctions x(t), y(t) et z(t)…

Établir que la vitesse v⁺ de la balle s'exprime selon la relation suivante : v⁺ = -rv⁻ + (1+r)v_s(t_i) où t_i est l'instant de l'impact balle-surface considéré.

Rappeler l'expression de la force exercée par un ressort sur un système attaché à son extrémité en prenant soin de définir toutes les grandeurs utiles et en utilisant un vecteur unitaire adapté…

Montrer que le mouvement est plan.

On note un élargissement des franges « vers le bas » que l'on attribue à l'action de la pesanteur sur la trajectoire initialement horizontale des molécules. Montrer par un calcul simple de mécanique…

Exprimer L_O en fonction de mₑ, r et de dθ/dt.

Exprimer les vecteurs vitesse v et accélération a du point M dans la base polaire u_r, u_θ.

Établir l'équation différentielle vérifiée par θ. On posera ω₀ = √(g/ℓ₀).

Quelle relation v₀ et θ doivent-ils satisfaire pour que la cible soit atteinte? A) -gd²/2v₀²cos ²θ + dtan θ = h B) gd²/2v₀²cos ²θ - dtan θ = h C) gd²/v₀²sin ²θ + dtan θ = h D) gd²/2v₀²sin ²θ - dtan…

Que peut-on dire du mouvement du centre de masse des trois atomes ?

Établir les équations horaires du mouvement. Montrer que le mouvement est plan.

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).

Représenter sur un schéma l'association de deux ressorts en parallèle et donner l'expression de la raideur équivalente à cette association.

En explicitant les lignes concernées du programme de la figure 4, expliquer son principe. Quelle méthode de résolution utilise-t-il ?

Déterminer la vitesse moyenne v_c et l'incertitude-type de type A u( v_c ) sur cette moyenne dans le cas du casque classique.

Sans résoudre l'équation, déduire de la question précédente l'expression de la vitesse limite théorique pouvant être atteinte par la sonde avec cette hypothèse, au bout d'un temps infiniment long.

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. À quelle(s) condition(s) peut-on considérer le référentiel terrestre comme galiléen ?

Exprimer, en fonction de g et τ^, la vitesse limite de chute v_z^. Calculer la valeur de |v_z| pour chacun des rayons R = 20 et R = 100 .

Écrire l'équation vectorielle du mouvement de la masse m, puis la projeter dans la base mobile (e_r, e_α) définie sur la Fig. 1(b) (on supposera son mouvement plan).

Dans quelle limite le pendule simple peut-il être approximé par un oscillateur harmonique ? On se placera dans cette limite par la suite. Exprimer sa pulsation propre ω₀. Déterminer la période…

Quelle est la dimension de E ? Montrer que, dans ce régime, le comportement mécanique du fil peut être assimilé à celui d'un ressort de constante de raideur k que l'on exprimera en fonction des…

On note z(t) = ℓ(t) - ℓ₀ la position de la masselotte. Établir l'équation différentielle dont z(t) est solution pour t > 0.

Exprimer le vecteur position et le vecteur vitesse du point M en fonction de R, θ, z et de leurs dérivées temporelles θ, z.

On note a_C le vecteur accélération du skieur au point C. Que peut-on affirmer : A) a_C = 0 B) a_C · eₓ = 0 C) a_C · e_z = 0 D) |a_C| = v_C²/b

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse xₘ(t) de la masse m. On fera apparaître la variable L(U) définie par L(U) = (F(U))/k. En régime quasi-statique, que représente L(U) ?

Établir l'équation différentielle d'évolution de l'abscisse x_M de la masse M.

Établir l'équation différentielle dont est solution l'abscisse s de l'aimant.

Linéariser l'équation précédente en considérant θ « petit » ; en déduire l'équation horaire θ(t).

En supposant que l'expression statique de la poussée d'Archimède reste applicable dans ces conditions, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse V de la sphère.

En déduire l'évolution de la vitesse en fonction du temps t en supposant que la sphère est lâchée sans vitesse initiale. Montrer enfin que la sphère tombe dans la direction de la pesanteur et…

En écrivant le principe fondamental de la dynamique à cet électron, déterminer sa vitesse limite dans ce modèle. En déduire l'expression de la conductivité électrique γ du matériau.

Justifier que le mouvement de C₁ est plan.

Définir une fonction `euler(u0,F,dt,N)` qui applique le schéma d'Euler explicite pour résoudre numériquement une équation différentielle du premier ordre.

Montrer que la longueur de la liaison ℓ(t) = x_B(t) - x_A(t) est solution de la même équation différentielle obtenue à la question Q16. Exprimer µ, appelée masse réduite du système, en fonction de…

Déterminer la vitesse v de l'ensemble constitué du mouton, de l'enclume et de la tige juste après le choc.

Établir l'expression de la durée du plongeon t₁ (durée de la phase de vol jusqu'au point E d'entrée dans l'eau) en fonction des variables H₀, v₀, g et α. Déduire l'expression de la distance L₁…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la norme de la vitesse du plongeur après son entrée dans l'eau.

En combinant les relations (1) et (2), montrer que la variable x vérifie l'équation différentielle : µ x + kx = kxₑ où µ est la masse réduite du système AB. Exprimer µ en fonction de m_A et de m_B.

Exprimer la relation entrée-sortie entre x₃ et θ₁ sous la forme x₃ = f(θ₁, R, L). Justifier que la relation entrée-sortie donnée ci-dessous est la seule solution possible. x₃ = R cos θ₁ + √(L² - (R…

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par θ(t). Indiquer comment mesurer la valeur de l'intensité du champ de gravitation gₒ grâce à un chronomètre.

À partir de la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle sur v_z, projection selon e_z de la vitesse de la particule. Déterminer alors, en fonction de ρ₀, ρₑ, r, η et de…

Déterminer l'équation du mouvement de A : A) θ-ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gsin α/b)¹/² B) θ+ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gsin α/b)¹/² C) θ-ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gcos α/b)¹/² D) θ+ω₀²sin θ=0 avec ω₀=(gcos α/b)¹/²

Le palet est abandonné sans vitesse initiale depuis la position θ(0)=θ₀. Déterminer θ(θ) : A) θ(θ)=±√(2)ω₀(cos θ-cos θ₀)¹/² B) θ(θ)=±√(2)ω₀(cos θ+cos θ₀)¹/² C) θ(θ)=±√(2)ω₀(sin θ₀-sin θ)¹/² D)…

Établir l'expression, dans le cadre de cette approximation, de la vitesse limite de sédimentation v_s d'une particule solide dans le nuage, soumise à l'accélération de la pesanteur g. On exprimera…

On s'intéresse aux trajectoires pour lesquelles l'électron s'échappe de l'atome. On reprend l'équation du mouvement déterminée à la question 14, dans laquelle on néglige désormais le champ du noyau…

On admet que le résultat obtenu à la question 1 reste valable lorsque la densité de charges dépend du temps. Écrire l'équation du mouvement d'un électron de la plaque, de masse m, sous l'effet du…

En négligeant tout frottement, montrer que la trajectoire des gouttes est parabolique et que la portée maximale est atteinte lors d'un tir sous un angle de 45° (figure 2). Exprimer v₀ en fonction de…

Montrer que les grandeurs i(t) et z(t) vérifient l'équation différentielle : (d² z)/(d t²)+ω₀/Qₘ (d z)/(d t)+ω₀² z(t)=-β i(t) où ω₀, Qₘ et β sont à exprimer en fonction de K, M, λ, r, N et B₀.

Exprimer la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un nano-satellite. En déduire l’expression de la vitesse v_s des satellites de Kinéis dans le référentiel géocentrique. Calculer v_s.

En d'étaillant votre raisonnement, exprimer, puis calculer la distance horizontale d depuis B parcourue par l’enfant lorsqu’il arrive au contact avec l’eau au point C.

Exprimer F_j→ i en fonction de r_i, r_j, r_ij et α.

L'énergie cinétique du système est conservée dans la collision. Écrire l'équation correspondante. En déduire le rapport v'/v en fonction du nombre de masse A du noyau.

Il s'agit d'accéder à la valeur du coefficient de restitution en vitesse r caractérisant les rebonds d'une balle de tennis de table sur une surface rigide horizontale et immobile. À cette fin, on…

On pose τ = t - t₀. Préciser les valeurs de x_A, de X_H et de sa dérivée V_H = dX_H/dτ à l'instant τ = 0 avant d'expliciter l'équation différentielle vérifiée par X_H(τ) sous la forme : (d² X_H)/dτ²…

Montrer que la vitesse de chute est régie par l'équation dv/dt = (v_∞² - v²)/(v_∞ τ) ; interpréter les constantes v_∞ et τ et exprimer v_∞ / τ et v_∞ τ.

On considère l'association de deux ressorts mis bout à bout (voir figure 4). On note l₀₁ et l₀₂ les longueurs à vide respectives des deux ressorts, k₁ et k₂ leurs constantes de raideur respectives…

Obtenir l'expression de la vitesse v = |v| de l'électron en fonction de e, mₑ, ε₀ et du rayon R de sa trajectoire.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la composante v(t) de la vitesse de la gouttelette projetée sur l'axe (Oz) vertical descendant.

On fixe v₀ (jusqu'à la fin de cet exercice), θ devenant alors le seul paramètre variable. La cible n'est atteinte que lorsque: K₁ tan ²θ - dtan θ + K₂ = 0 où K₁ et K₂ sont des coefficients…

La cible peut être atteinte si son altitude h ne dépasse pas une altitude limite h_ℓ(d, v₀). Exprimer h_ℓ(d, v₀) : A) h_ℓ(d, v₀) = -gd²/2v₀² B) h_ℓ(d, v₀) = v₀²/2g C) h_ℓ(d, v₀) = v₀²/2g - gd²/2v₀²…

On prend en compte l'« effet de recul ». Donner les relations de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement lors du processus d'absorption du photon, en notant v_r la variation de…

On note v₁ et v₂ les vitesses des protons, en valeur algébrique, sur l'axe x. On note v_G la vitesse de leur barycentre et v = v₁ - v₂ leur vitesse relative. Exprimer la somme de leurs énergies…

Nous modélisons les oscillations en traitant chacun des atomes comme une masse ponctuelle, en décrivant la liaison entre un atome de carbone et un atome d'oxygène par un ressort de raideur k. Écrire…

Montrer qu'il existe une solution telle que x₂(t) = 0, x₁(t) et x₃(t) oscillant à la même pulsation. Déterminer cette pulsation, qu'on notera ω_s.

Déterminer les coordonnées du sommet S de la trajectoire. Définir la portée ℓ du tir et établir son expression. Quel est l'angle θ₀ assurant un tir de portée maximale ?

Établir, en fonction g, τ, v₀ = |v₀|, θ₀ et t, les nouvelles équations horaires du mouvement.

Déterminer l'expression générale de dθ/dt sans faire l'approximation des petits angles. En déduire que la période T des oscillations du pendule est donnée par : T = 2T₀/π ∫₀θ₀ dθ/(√(2(cos θ - cos…

Établir les équations horaires du mouvement. Montrer que le mouvement est plan.

Déterminer les coordonnées du sommet S de la trajectoire. Définir la portée ℓ du tir et établir son expression. Quel est l'angle θ₀ assurant un tir de portée maximale ?

Établir, en fonction g, τ, v₀ = |v₀|, θ₀ et t, les nouvelles équations horaires du mouvement.

Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction θ(t).

Établir les équations différentielles vérifiées par x₁(t) et x₂(t).

Exprimer, en fonction notamment des abscisses x_P, x_A et x_M les forces de tension exercées par les deux ressorts. En déduire qu'ils sont équivalents à un unique ressort donc on déterminera la…

En précisant les hypothèses nécessaires, déterminer l'expression de la force f associée à l'impact d'une molécule.

En précisant les hypothèses nécessaires, déterminer l'expression de la force f associée à l'impact d'une molécule.

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par v, la norme de la vitesse du système cycliste + vélo. On l'écrira sous la forme suivante, en précisant les expressions littérales et les valeurs…

Établir que l'équation du mouvement de la nième masse, se met sous la forme : uₙ = ωₒ² [uₙ₊₁ + uₙ₋₁ - α uₙ] avec α, constante réelle à déterminer.

En appliquant la seconde loi de Newton à la goutte dans le référentiel terrestre, montrer que sa vitesse limite, donc indépendante du temps, s'écrit : v_lim = K √(D) e_z où K est un coefficient à…

En appliquant la seconde loi de Newton à la goutte dans le référentiel terrestre, montrer que sa vitesse limite, donc indépendante du temps, s'écrit : v_lim = K √(D) e_z où K est un coefficient à…

Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est : (d² Z(t))/dt² + γ (dZ(t))/dt + β Z(t) = (F(t))/M et exprimer les coefficients γ et β en fonction de k, M et de λ.

À partir de la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la projection de la vitesse v de la sonde sur l'axe vertical et la mettre sous la forme : dv/dt + Av = B, où A et…

Le point P étant en mouvement (fig 9b), établir l'équation différentielle à laquelle obéit Z(t) = L(t) - L_eq.

Quelles sont les équations du mouvement de A ? Dans les expressions ci-dessous, Rₙ désigne la composante normale de la force de réaction du support hémisphérique. A) -m r φ² = -m g sin φ + Rₙ r φ =…

Déduire de ce qui précède l'expression de la composante normale Rₙ de la force de réaction. A) Rₙ = m[g(3sin φ - 2) - v₀²/r] B) Rₙ = m[g(3sin φ - 2) + v₀²/r] C) Rₙ = m[g(sin φ - 1) - v₀²/r] D) Rₙ = 0

Déduire, du principe fondamental de la dynamique appliqué à une gouttelette, l'équation différentielle vérifiée par chacune des composantes vₓ et v_z de sa vitesse. On fera apparaître, dans chacune…

Compte tenu des résultats précédents, la relation de Stokes (équation (1)) semble-t-elle avoir été utilisée dans le bon cadre d'approximation ?

Faire le bilan des forces appliquées à l'électron et justifier que l'on peut écrire, en notation complexe, r + γ(ω)r + ω₀² r = qE₀/m e⁻iω t eₓ (6)

Montrer qu'après un régime transitoire, le mouvement de l'électron atteint un régime stationnaire r(t) = r_ω e⁻iω t, où l'amplitude complexe r_ω vérifie qr_ω = α_c(ω) E₀ eₓ (7) avec α_c(ω) =…

On considère ici le problème de deux oscillateurs harmoniques couplés. On imagine deux masses m attachées à deux ressorts de raideur k₀ et k₁, et connectées entre elles par un troisième ressort de…

Établir les relations GB = m_A/(m_A + m_B)R et GA = -m_B/(m_A + m_B)R. En déduire la relation d²/dt²R = -KR/Rⁿ et expliciter les constantes K et n.

Écrire les équations du mouvement de SPIDERMAN. En déduire, en fonction de m et g, l'expression de la tension maximale que doit supporter ce fil si l'on suppose qu'il est inextensible.

Lorsque le point G est en mouvement, établir l'équation différentielle vérifiée par Z(t).

On suppose qu'à l'instant t = 0, la masse m est lachée sans vitesse initiale d'une position Z_i ≠ Z₀. Quelle est la valeur minimale λ_min qu'il faut imposer à λ afin que la masse retrouve sa…

Donner l'équation mécanique du système liant v(t), F, i(t) et les paramètres du problème.

À partir de l'équation différentielle du mouvement, issue de la seconde loi de Newton, établir, en fonction de ρ₀, ρₑ, r, η et de l'accélération g de la pesanteur, la vitesse limite v_l = v_l e_z…

Le skieur quitte le tremplin en O. On note F le sommet de sa trajectoire (Fig. précédente). En tenant compte de la valeur numérique de β, quelle est l'altitude z_F de F ? A) z_F = v_O²/g B) z_F =…

En déduire qu'il existe une intégrale première du mouvement A(s, v) = Cste que l'on exprimera.

On note v(t) = -v(t)e_z la vitesse de chute du grain, e_z étant l'axe vertical ascendant, et v(t) > 0. Établir l'équation différentielle vérifiée par v(t) puis donner sa solution. Montrer qu'une…

On note v(t) = -v(t)e_z la vitesse de chute du grain, e_z étant l'axe vertical ascendant, et v(t) > 0. Établir l'équation différentielle vérifiée par v(t) puis donner sa solution. Montrer qu'une…

Ecrire les équations différentielles vérifiées par les vecteurs OS₀ et OS₁. En déduire que le référentiel R_K centré sur le point K tel que (M + m)OK = MOS₀ + mOS₁ est galiléen. Sous quelle…

En appliquant la seconde loi de Newton au tronçon numéro n, établir l'équation xₙ(t) = Γ(xₙ₊₁(t) + xₙ₋₁(t) - 2xₙ(t)) (II.1) et donner l'expression de Γ en fonction de K et m.

Écrire l'équation différentielle qui relie z(t), z_s(t), m, g, λ, h, k et l₀. Préciser l'expression de z_éq, puis l'équation différentielle qui relie u(t), z_s(t), m, λ et k.

Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'ensemble barre + haut-parleur de masse m_T. En déduire l'équation différentielle mécanique relative au mouvement de la barre (équation E.M.).

Déterminer l'équation différentielle régissant l'écartement angulaire θ du pendule pesant par rapport à sa position au repos.

Établir, par rapport à R, l'équation différentielle du mouvement de A, le cadre étant supposé être en translation rectiligne, au cours de sa chute pour les instants compris entre l'instant initial…

Plutôt que de travailler avec θ(r), on préférera introduire la vitesse orthoradiale v_θ, composante de la vitesse sur e_θ. Obtenir que la dynamique sur le plan (r, θ) d'une étoile suivant le…

Déterminer la loi d'évolution de a_Λ(t) pour un Univers dominé par l'énergie noire, en prenant comme condition initiale a_Λ(t₀) = a₀. Tracer a_Λ(t). Est-ce compatible avec une expansion accélérée de…

En négligeant pour un temps le caractère quantique de l'électron, c'est-à-dire son spin, et en considérant un électron de charge -e et de masse mₑ sur une trajectoire circulaire uniforme autour d'un…

Établir l'équation différentielle traduisant l'équilibre mécanique du tronçon élémentaire ds, en projection sur l'axe (Ox). En déduire que la tension T vérifie la relation algébrique : T(s) = A/(cos…

Établir l'équation différentielle traduisant l'équilibre mécanique du tronçon élémentaire ds, en projection sur l'axe (Oy).

Donner l'expression littérale du nombre de photons nécessaire pour ralentir un atome de sodium à la sortie du four (lignes 27–32). On notera λ la longueur d'onde du laser. Estimer l'ordre de…

Sur la base de considérations physiques et d'arguments dimensionnels, établir la dépendance de ω₀² avec les différents paramètres du problème. On d'étaillera chaque étape du raisonnement.

Dans cette question, on se propose d'interpréter physiquement ce que les professionnels de l'aéronautique appellent la finesse f = C_z/Cₓ d'une aile. Pour cela, on considère la situation d'un avion…

À partir de ħ, m et g, construire par analyse dimensionnelle une longueur, un temps et une vitesse.

Estimer la valeur du dévers lors de la réalisation de cette expérience. Préciser à l'aide d'un schéma clair lequel des deux rails, intérieur ou extérieur au virage, est surélevé.

Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point matériel B, puis A. En déduire que l'équation différentielle à laquelle obéit la distance inter-nucléaire R(t) s'écrit d²/dt² R + ω₀²(R-Rₑ)…

Aurions-nous pu accéder à la fonction F à partir d'une analyse dimensionnelle ? Cette question, en particulier, attend une argumentation claire et rigoureuse.

On suppose que les variables x et fₓ sont indépendantes. À partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule, établir l'équation différentielle vérifiée par xx .

Nous supposons que la longueur Lₒ de l'objet, selon l'axe (Ox), vérifie kLₒ ≪ 1. Traduire la condition limite en x = L. Préciser en quoi l'hypothèse adoptée ici conditionne son écriture.

On commence par considérer un Univers de matière, décrit par un gaz de poussière non collisionnel, dont le paramètre d'état a été déterminé dans les questions précédentes. Déterminer la loi…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel lié à la voiture, montrer que l'équation différentielle du mouvement en X(t) = x(t) - L₀ peut être mise sous la forme…

On suppose que l'ion de vitesse v subit, outre la force magnétique et la force d'excitation, une force de frottement -(m/τ)v, qui modélise son interaction avec le gaz contenu dans la cellule. Quelle…

Exprimer la vitesse V du mouton juste avant le choc.

Quelle est l'épaisseur de la couche de terre meuble ?

Peut-on mettre la base des fondations dans la couche de remblais ?

Justifier grâce aux résultats de la modélisation en figure 15, le choix d'une profondeur de 5 m pour le bassin du centre aquatique olympique destiné à accueillir le plongeon de haut vol.

On considère comme système l'atome B repéré par l'abscisse x_B. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir la relation entre x_B, m_B, k, x et xₑ (relation 2).

Sans démonstration, exprimer alors, en fonction de la constante k, la constante de raideur du ressort unique équivalent à trois ressorts en parallèle.

Donner l'expression de x₃/L en fonction de θ₁. Tracer l'allure de x₃/L en fonction de θ₁ sur [0, 4π] pour un ratio R/L = 1/2. Préciser les valeurs de x₃/L pour θ₁ = 0 et θ₁ = π.

Exprimer la norme g du champ de pesanteur en fonction de h, k et de m.

Quelle est l'origine physique des forces F_r et f_v introduites dans ce modèle ?

Le corps C₁ tombe en chute libre, sans vitesse initiale, parallèlement à lui-même à l'intérieur d'une chambre vide. a) Justifier l'hypothèse de la norme g constante en donnant une estimation de la…

Le corps C₁ tombe en chute libre, sans vitesse initiale, parallèlement à lui-même à l'intérieur d'une chambre vide. a) Justifier l'hypothèse de la norme g constante en donnant une estimation de la…

Donner, en justifiant, l'unité du coefficient κ. On utilisera les unités de base du Système International.

En considérant que la voiture se déplace en ligne droite à une vitesse v₀ constante, établir l'expression de la force de propulsion F_p.

Que penser du champ de pesanteur terrestre g à l’échelle d’un barrage ou d’une retenue d’eau de hauteur de l’ordre de quelques dizaines de mètres ? On rappelle que les grandeurs utiles et leurs…

Introduire un temps caractéristique τ_c que l'on exprimera en fonction de ρ₀, r et de η puis donner la solution v_z(t) de l'équation différentielle en supposant qu'initialement v_z(t = 0) = 0.

Déterminer l'évolution de z(t) en supposant une particule initialement à la surface z(t = 0) = 0 avec une vitesse nulle v_z(t = 0) = 0.

Montrer que le temps de sédimentation τ_s est à chercher comme solution de l'équation : v_ℓ [τ_s + τ_c exp (-τ_s/τ_c) - 1] = p On ne cherchera pas à résoudre cette équation.

Faire une approximation de f(x) lorsque x ≫ 1. Cela se confirme-t-il sur le graphe de la figure 3 ?

Indiquer la ou les réponses correcte(s). A) Lorsque A se déplace, la composante radiale (normale au cercle) de son vecteur vitesse est nulle. B) Lorsque A se déplace, la composante orthoradiale…

Exprimer OA ainsi que le poids P de A : A) OA=bsin θ e_X-bcos θ e_Y B) OA=bcos θ e_X-bsin θ e_Y C) P=-mgsin α e_Y-mgcos α e_Z D) P=mgcos α e_Y-mgsin α e_Z

Dans le nuage, la fraction volumique solide φ est définie comme le volume V_s occupé par les particules solides contenues dans un volume total V, ramené au volume total considéré, soit : φ = V_s/V…

Exprimer la fraction volumique solide minimale φ_min pour laquelle g' = 0. Calculer sa valeur.

Cette même particule (avec la même condition initiale que précédemment) est cette fois-ci soumise à un frottement fluide (caractérisé par la constante K) à la place du champ électrique. Établir…

Déterminer une relation entre θ₀, ωₘₐₓ et T. En déduire la valeur de la vitesse angulaire maximale ωₘₐₓ en °/s, pour θ₀ = 30° et T = 0,5 s.

On appelle énergie de repos d'une particule la valeur E₀ de l'énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer E₀ pour un proton et calculer sa valeur numérique.

En supposant l'accélération a constante à l'intérieur du canon, exprimer la durée Δ t du tir en fonction de ℓ et a puis a en fonction de m, p_s et ℓ. Dans le cas d'un tir en direction non…

On confond les champs de pesanteur et de gravitation terrestre et on admet pour la Terre une symétrie sphérique de répartition des masses. Montrer que l'intensité g du champ de pesanteur dans la…

En déduire la valeur numérique du temps nécessaire pour effectuer le looping.

Évaluer, en ordre de grandeur, le poids d'un électron et la force électrostatique subie par un électron circulant depuis la cathode vers l'anode. Conclure.

Donner les expressions en coordonnées polaires du vecteur position r, du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a du point matériel M qui modélise le vaisseau.

À la ligne 17, proposer une instruction à la place de `instruction 1` permettant de définir le tableau numpy `T` contenant n valeurs de t, séparées par le pas de temps constant `dt` et comprises…

Exprimer la longueur de cette fraction de trajectoire en fonction du rayon R et de θ'.

Faire figurer sur un schéma, sans souci d’échelle, les forces appliquées sur le point M en un endroit quelconque de la glissade.

En déduire dans ce cas l’expression d’un temps caractéristique de ralentissement τ.

Proposer une méthode simple utilisant la mesure de l'élongation d'un ressort de raideur k connue pour mesurer la masse d'un objet sur Terre. Faire un schéma explicatif et établir la formule…

Expliquer pourquoi la méthode proposée à la question Q4 ne peut pas convenir pour peser un spationaute dans l'ISS.

L'utilisation du BMMD exige du spationaute qu'il se maintienne fortement à la barre, que ses pieds et ses genoux soient coincés et son menton collé à la planche. Expliquer pourquoi.

Expliquer pourquoi la méthode proposée à la question Q4 ne peut pas convenir pour peser un spationaute dans l'ISS.

À quelle date t₁ la composante radiale du vecteur OM vaut-elle le dixième de sa valeur initiale ? A) t₁ = τ B) t₁ = τ ln (10) C) t₁ = 10τ D) t₁ = τ/(ln (10))

On note v(0) la vitesse de l'atome à t = 0. Exprimer r(t) en fonction de t, ω, r(0) et v(0).

On considère un atome de lithium 6. On utilisera les données numériques figurant en bas de la page 1, en particulier la valeur de k. On fait l'hypothèse que pour décrire le mouvement de l'atome, on…

On note u_i le vecteur unitaire r_i/r_i. Exprimer F_ext,i en fonction de u_i et de F_ext,i = |F_ext,i|.

Pour simplifier, on considère que le neutron heurte de plein fouet, à la vitesse v, un noyau atomique immobile de masse Am, avec A > 1, et qu'il repart dans la même direction, mais en sens inverse…

On suppose qu'à t=0 l'électron se situe à une distance r₀ du centre O, barycentre des charges positives, et sans vitesse initiale. En l'absence de toute autre force, montrer que r(t) = r₀ cos (ω₀…

Indiquer à quelle condition générale, portant sur la raison µ, la suite (εₙ) converge vers zéro.

Exprimer la force de traction exercée par le ressort sur le mobile en fonction de k, v₀, t et de X_H(t) = x_H(t) + ℓ₀. Exprimer aussi la composante normale R_N de la force de contact exercée sur la…

Calculer la distance D_GT entre la Terre et le barycentre G du système Terre–Lune (voir figure 1). Quelle remarque peut-on faire, au vu de la valeur de R_T ?

Dans le cas, où on néglige tous les frottements, exprimer puis calculer la durée Δ t_h de traversée du tube sans vitesse initiale ainsi que la vitesse moyenne de chute vₘ.

Cette descente est souvent obtenue au moyen d'un système de fusées qui exerce sur le satellite une force constante Ma_fr, pratiquement tangente à chaque instant à la trajectoire circulaire…

On étudie le mouvement d'une molécule de l'atmosphère terrestre, point matériel de masse m soumis d'une part à son poids et d'autre part à la résultante des collisions de cette molécule avec le…

Obtenir une expression de g(M) en fonction de Rₘ, r et g₀, accélération de la pesanteur au niveau du sol. Déterminer et calculer l'intensité g₀ de cette dernière.

Faire un autre schéma où figurent les forces qui s'exercent sur Σ₂. On négligera toute force de frottement fluide due à l'air.

Déterminer le rayon R_C du cercle C en fonction des données.

Calculer la valeur numérique de l'accélération a_C entre les points A et B dans le cas où d_AB = 2 km et V₀ = 300 km⁻¹.

Exprimer la loi de Hubble (equation I.1) en faisant intervenir le décalage vers le rouge z.

Rappeler l'expression de l'élément de surface infinitésimal dS en coordonnées polaires.

Justifier le fait que le mouvement de l'électron est uniforme.

Déterminer l'expression vectorielle de la variation _γ de la quantité de mouvement d'un photon lors d'un rebond sur la surface métallique en fonction de E_γ et de c. On fait l'hypothèse d'un rebond…

Obtenir une valeur numérique limite de E₀ permettant de négliger le poids de l'électron par rapport à la force de Lorentz électrique. On fera intervenir l'accélération de pesanteur g.

Déterminer, à l'aide d'une analyse dimensionnelle, la dimension des coefficients Cₓ et C_z.

En déduire la force de propulsion, puis la puissance de la force associées à cette vitesse.

Calculer numériquement le rapport, en norme, de la poussée d'Archimède sur le poids de la gouttelette, puis justifier qu'il est possible de négliger la poussée d'Archimède dans cette modélisation.

À partir de cette équation différentielle, définir un temps caractéristique τ en fonction de R, ρₑ et ηₐ, puis calculer sa valeur numérique.

En déduire l'expression de v(t) en fonction de g, τ et t.

Calculer numériquement la vitesse limite vers laquelle tend la gouttelette au cours de sa chute.

Exprimer dm/dt en fonction de ρₑ, r₀, k et t.

Quelle condition doivent satisfaire v₀ et θ pour que l'altitude maximale, h_M, atteinte par A vérifie h_M > h ? A) gh = v₀¹/² / 2 B) v₀ cos θ > (gh)¹/² C) v₀ sin θ > (gh)¹/² D) v₀ sin θ > (2gh)¹/²

Exprimer K₂. A) K₂ = h + gd²/2v₀² B) K₂ = h C) K₂ = gd²/v₀² D) K₂ = h - gd²/v₀²

La condition précédente étant respectée, combien de trajectoires contiennent la cible? A) Une seule trajectoire. B) Deux trajectoires (ou une seule dans un cas limite). C) Trois trajectoires (ou…

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. Dans quelle mesure le référentiel terrestre peut-il être supposé galiléen ?

Quelle est la dimension du coefficient α ? Définir à partir de α un temps caractéristique τ. Le mouvement reste-t-il plan ?

On fait l'approximation des petits angles tels que sin θ ∼ θ. Établir dans ces conditions la période T₀ des oscillations. Quelle est la propriété remarquable de la période dans le cadre de cette…

Établir l'équation de la trajectoire. Quelle est la forme de la trajectoire ? Est-elle symétrique ?

Quelle est la dimension du coefficient α ? Définir à partir de α un temps caractéristique τ. Le mouvement reste-t-il plan ?

Dans quelle situation courante rencontre-t-on la cycloïde ?

Montrer que le mouvement des électrons est plan.

Exprimer, en fonction de a, L et s le nombre N de cubes élémentaires de côté a à l'intérieur de la tige.

À la même période, Ératosthène mesure qu'un arc de 7,2° de la circonférence terrestre mesure environ 800 km. En déduire la valeur du diamètre terrestre.

En déduire l'expression de la force propulsive F exercée dans la voile par le vent en fonction de ρₐ, v_v et S.

Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse v_p, quelle est l'expression de la vitesse du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la planche ? Ce vent…

Montrer que si 0 < β₀ < π/2 alors σ₁ > 1.

En déduire l'expression de la force propulsive F exercée dans la voile par le vent en fonction de ρₐ, v_v et S.

Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse v_p, quelle est l'expression de la vitesse du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la planche ? Ce vent…

Montrer que si 0 < β₀ < π/2 alors σ₁ > 1.

En utilisant l'équation différentielle précédemment établie, déterminer la norme de la vitesse limite atteinte en régime permanent, que l'on écrira sous la forme v_lim = √(K/(S Cₓ)) (I.2) où K est…

Calculer la valeur numérique de v_lim . Commenter.

À partir de l'unité de h, expliquer pourquoi fixer définitivement la valeur de la constante de Planck permet de redéfinir le kilogramme.

On admet que la valeur de l'angle maximal atteint par la partie mobile est de 0,096 rad. En déduire l'amplitude du mouvement de l'aiguille.

Pour n N, écrire la position initiale de la nième masse (xₙ(0)) en fonction de n et de a. En déduire son écart uₙ(t) par rapport à sa position d'équilibre en fonction de xₙ(t), n et de a.

Définir "référentiel galiléen". Définir et exprimer le poids d'une goutte d'eau.

Exprimer la longueur l_équ du ressort à l'équilibre de la platine, sans impact de goutte.

Donner la signification physique de τ et justifier que son ordre de grandeur est : τ(D) ≈ D/(v_lim (D)). On utilise en pratique un facteur correctif ξ = 0,65 tel que : τ(D) = ξ D/(v_lim (D))…

Expliquer comment il est possible de calculer R à l'aide de ces données (le calcul n'est pas demandé).

Quel avantage présente le disdromètre optique par rapport au disdromètre à impact ?

Définir "référentiel galiléen". Définir et exprimer le poids d'une goutte d'eau.

On admet que la seule autre force mise en jeu est la force de frottement, due à l'air, proportionnelle au carré de la vitesse v de la goutte. Elle s'écrit : F_frott = -C π ρₐ D² v² e_z avec C = 6,0…

Exprimer la longueur l_équ du ressort à l'équilibre de la platine, sans impact de goutte.

Donner la signification physique de τ et justifier que son ordre de grandeur est : τ(D) ≈ D/(v_lim (D)). On utilise en pratique un facteur correctif ξ = 0,65 tel que : τ(D) = ξ D/(v_lim (D))…

On considère tout d'abord une averse dont toutes les gouttes ont le même diamètre D₀, tombant à la vitesse v_lim (D₀) et réparties en volume de manière homogène avec une densité volumique N…

Calculer la vitesse de chute de la goutte en expliquant la démarche.

Quel avantage présente le disdromètre optique par rapport au disdromètre à impact ?

Soit l'axe (Oz), vertical et orienté vers le bas, dont l'origine O se situe au point d'ouverture du parachute. Faites un schéma sur lequel figurent la sonde spatiale matérialisée par son centre de…

La descente de la sonde peut-elle être qualifiée de chute libre ? Justifier.

À l'aide d'une analyse dimensionnelle, justifier que F_f peut s'écrire : F_f = -m/ℓ_f v v, avec m la masse du boulet. Quelle est la dimension du paramètre ℓ_f qui apparaît alors dans l'expression de…

Montrer que lors de la phase descendante la vitesse tend vers une vitesse limite asymptotique v_lim. Est-ce le cas pour la phase ascendante ? Justifier.

Exprimer v_lim en fonction des données du problème.

Rappeler la définition d'un référentiel galiléen. À quelle(s) condition(s) peut-on considérer le référentiel terrestre comme galiléen ?

À l'aide d'une analyse dimensionnelle, justifier que F_f peut s'écrire : F_f = -m/ℓ_f v v, avec m la masse du boulet. Quelle est la dimension du paramètre ℓ_f qui apparaît alors dans l'expression de…

Justifier par un argument physique que le boulet atteint une hauteur maximale hₘₐₓ puis retombe, comme les courbes en témoignent.

Exprimer v_lim en fonction des données du problème.

Dans le référentiel de la capsule (C), lister les forces qui s'exercent sur M.

Définir le terme " impesanteur " (figure 7) et justifier qu'il s'applique au point M.

Justifier que l'action " peser un astre " est l'action de mesure de sa masse et non de son poids.

Que vaut la longueur L_eq du ressort à l'équilibre (fig 9a) ?

Quelle est l'expression du vecteur vitesse v de M dans R ? A) v = Rω[1 - cos (ω t)]eₓ + R (ω t)e_y B) v = R[1 - cos (ω t)]eₓ + Rsin (ω t)e_y C) v = Rω[1 + cos (ω t)]eₓ - R (ω t)e_y D) v = R (ω t)eₓ…

Quelle est l'expression du vecteur accélération a de M dans R ? A) a = Rω²cos (ω t)eₓ + Rω²sin (ω t)e_y B) a = R (ω t)eₓ + R (ω t)e_y C) a = R (ω t)eₓ + R (ω t)e_y D) a = Rω²sin (ω t)eₓ + Rω²cos (ω…

Quelle est la distance parcourue par le centre C de la roue lorsque t = 2π/ω ? A) π R B) 2π R C) 2R D) R

Quel est le sinus de l'angle φ pour lequel A quitte la piste hémisphérique si v₀ = 0. Dans la suite de l'exercice, on prendra v₀ = 0. A) sin φ = 1/2 B) sin φ = 1/3 C) sin φ = 2/3 D) sin φ = 1/√(2)

Lorsque l'électron quitte la région où règne le champ magnétique, que peut-on dire de son vecteur vitesse v_s et de sa trajectoire (on négligera l'influence du poids) ? A) Le vecteur v_s possède une…

Exprimer la longueur ℓ de la fibre ainsi que l'angle θ en fonction du pas p et du rayon R du cylindre.

Exprimer en fonction de m_A, m_B, G et R les forces F_B et F_A exercées sur les deux étoiles. Ces forces dépendent-elles du référentiel d'étude ?

Montrer que le référentiel (Gxyz) est également galiléen. Toute la suite de l'étude sera menée relativement à ce nouveau référentiel.

En utilisant une schématisation sphérique rudimentaire pour modéliser ces araignées, estimer un ordre de grandeur m_g pour leur masse.

Calculer le module de la force électrique s'exerçant sur l'araignée au niveau du sol pour une charge dont le module est de l'ordre du nanocoulomb. Par temps clair et uniquement par la force…

Calculer le module de la force électrique s'exerçant sur l'araignée au niveau du sol pour une charge dont le module est de l'ordre du nanocoulomb. Par temps clair et uniquement par la force…

Déterminer la valeur Z₀ de Z à l'équilibre. Comme dans la première partie, on note z la position du centre C du noyau mobile (voir figure 2). La position du capteur LVDT est ajustée de telle manière…

Déterminer l'unité SI de µ en utilisant les unités des grandeurs de base.

La portion parabolique de la trajectoire de l'avion doit être confondue avec la parabole de chute libre de même sommet. a) Expliquer pourquoi il y a apesanteur dans cette partie de la trajectoire…

Définir en fonction de L_b et de u, un temps de traversée τ_T du bassin. À quelle condition, portant sur τ_T et τ_S, la clarification dynamique est-elle efficace ?

Reproduire sommairement le schéma de la figure 2 en y faisant apparaître les forces exercées sur le crochet et calculer la tension T du câble lorsque la charge est à l'équilibre.

Quel phénomène physique la force f modélise-t-elle ? Justifier par un argument énergétique le signe de la constante λ.

Que représente le coefficient λ dans l'expression de f ? Quelle est son unité ?

La longueur à vide du ressort est notée ℓ₀. On considère dans cette question que le sol ne vibre pas. Appliquer la seconde loi de Newton à la masse m dans le référentiel R' lié au boîtier qui est…

Les équations de la trajectoire sont données par les relations : r(θ) = R et z(θ) = γ · θ où γ est une constante positive. Exprimer h en fonction de γ.

On note a₁ la norme de l'accélération de Mₐ sur la portion BC. Que vaut a₁ ? A) a₁ = 0 m⁻² B) a₁ = 0,2 m⁻² C) a₁ = 1,3 m⁻² D) a₁ = 13 m⁻²

On note a₂ la norme de l'accélération de Mₐ sur la portion CD. Quelle relation existe-t-il entre a₁ et a₂ ? A) a₂ = 0 m⁻² B) a₂ = a₁ C) a₂ = 2/3a₁ D) a₂ = 3/2a₁

Quelle est alors la distance dₐ parcourue par Mₐ sur la piste DE ? A) dₐ ≈ 40 cm B) dₐ ≈ 67 cm C) dₐ ≈ 1 m D) dₐ ≈ 1,5 m

Exprimer la force F_l = F(U(t-t_l)) en fonction de la différence t-t_l, pour une phase lente. On fera apparaître les paramètres k, τ_l et Lₘₐₓ définie par Lₘₐₓ = F(Uₘₐₓ)/k.

Exprimer la force F_r = F(U(t-t_r)) en fonction de la différence t-t_r, pour une phase rapide. On fera apparaître les paramètres k, τ_r et Lₘₐₓ.

Estimer la valeur du module |v_0c|.

Indiquer quelle signification physique il convient d'attribuer aux «ressorts» représentés sur la figure (2). Préciser alors la condition, portant sur la variable x_B, que cette modélisation…

Faire le bilan des forces exercées sur un des grains lors de sa chute dans l'eau sucrée.

Écrire le produit xdv/dt en fonction de (d(xv))/dt et v².

Faire le bilan des forces exercées sur un des grains lors de sa chute dans l'eau sucrée.

Écrire le produit x dv/dt en fonction de (d(xv))/dt et v².

A l'aide du document 1, indiquer dans quelle constellation se trouve GRS 1915+105. Avec un seul chiffre significatif, quelle est sa distance à la Terre en années-lumière ?

Exprimer la position z(t) du coin de cube à une date t quelconque.

Exprimer à nouveau z(t) avec ces nouvelles conditions initiales.

En supposant que la boîte et la plaque sont immobiles, exprimer la longueur x_eq du ressort à la position d'équilibre dans ces conditions, en fonction de m, g, k et ℓ₀.

Déterminer les expressions du vecteur position r et du vecteur vitesse v_P/R dans la base polaire (u_r, u_θ).

Déterminer la longueur du pendule permettant d'obtenir une période des oscillations égale à 2 s. Pourquoi dit-on dans ce cas que le pendule bat la seconde ?

À quel objet familier dans les habitations d'il y a quelques vingtaines d'années, correspond à ce type d'oscillateur ? Quel est a priori l'inconvénient d'un tel système pour pouvoir garder avec soi…

Pour cette question uniquement, on considère la chute d'une bille de silice de rayon r₀ = 1 et de masse volumique ρ₀ = 2,6 g⁻³ chutant dans de l'eau. Déterminer la vitesse stationnaire de chute…

Calculer numériquement ces deux grandeurs pour L = 10 m et pour des trajectoires correspondant à une balle de volley (v_h = 5 m⁻¹) et de fusil (v_h = 500 m⁻¹).

La relativité générale est la théorie qui décrit la gravitation au-delà du formalisme newtonien. Préciser à quelle époque et par qui cette théorie a été élaborée, ainsi que les limites de validité…

Donner les unités d'un moment cinétique J dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Nous notons T = T(z)u_z la force que fait subir la partie [z, L] de corde à la partie [0, z], au point M(z). Exprimer la tension T = T(z) lorsque la corde est au repos. Sous l'hypothèse adoptée des…

Donner un argument pour justifier que le mouvement du noyau peut être négligé devant celui de l'électron.

Calculer la valeur numérique de l'accélération moyenne durant la phase d'arrêt de la voiture.

Calculer la valeur numérique de l'accélération moyenne durant la phase d'arrêt de la voiture.

Déterminer, dans les deux cas précédents, la valeur numérique de l'intensité de la force d'inertie d'entrainement.

Que représente le terme M d²z/dt² ?

On considère un vol en palier, c'est-à-dire avec un vecteur vitesse et une altitude de l'avion constants. Représenter l'ensemble des forces s'exerçant sur l'avion et expliquer comment la force de…

Calculer l'angle de correction θ que le pilote doit imposer à son avion lorsque φ = 20°, sachant que v_v = 56 km⁻¹ et Vₐ = 445 km⁻¹.

Décrire qualitativement les deux phases successives du mouvement de l'ensemble en précisant pour chacune d'elles si le fil est tendu ou non tendu.

Choisir un référentiel afin d'étudier le mouvement du palet durant la propulsion et le préciser. Peut-il être considéré comme galiléen dans le cadre de cet entraînement ?

Montrer que la distance d parcourue par le palet avant de s'arrêter est donnée par la relation : d = v₀²/2gsin α où v₀ est la vitesse initiale selon l'axe (Ox) au début de la deuxième phase.

On considère maintenant deux masses ponctuelles m₁ et m₂ en P₁ et P₂. Exprimer la force de m₁ sur m₂.

A partir de la définition de C, montrer que R₁ = -1/2r.

En déduire que le mouvement de C₁ est uniforme.

Décrire le mouvement de C₁. Faire un schéma où sont représentés, à un instant donné C, C₁ et C₂ ainsi que leurs vecteurs vitesse respectifs.

Lister toutes les forces qui s'exercent sur le milieu granulaire. Expliquer d'où pourrait provenir le « défaut de masse » mesuré à l'issue du protocole.

Exprimer la norme de F_i → j en fonction de mg et de l'angle β.

En déduire la norme de la force F_h que le grain j exerce sur le support.

Exprimer k en fonction de l'angle β.

Pour les 3 phases de vol, donner l'expression de la vitesse V(t) en fonction des paramètres présentés sur les Figures 2 et 3. On notera Mₜ la masse totale de l'avion : Mₜ = M_v + M_u + M_c. Le vol…

Appliquer le théorème de la résultante dynamique à 2, en projection sur k.

Déterminer la force propulsive en vol en palier (6 500 m - Mach 0,5), à 70

La force produite par le moteur ionique est F = 0,2 N, et la masse de l'engin spatial est M = 600 kg. Pendant combien de jours faut-il faire fonctionner le moteur pour obtenir la modification de…

En milliards d'années, quelle durée s'est écoulée depuis le Big Bang, pour des mesures effectuées à z = 2 ?

Déterminer les équations du mouvement en vₓ = v · eₓ et v_z = v · e_z.

Définir alors les listes temporelles des positions `X` et `Z` à partir des listes des vitesses `Vx` et `Vz`.

Définir alors deux fonctions : • `fleche(X,Z)` qui renvoie la hauteur maximale atteinte par la trajectoire. • `portee(X,Z)` qui renvoie la distance parcourue par le projectile au moment où il…

Exprimer, dans la base polaire, la résultante des forces subies par l'électron en fonction notamment de E_p(r).

Si F_noy = -mₑ ω₀² r e_r, déterminer L_O(t) pour un moment cinétique initial L_O(0) donné. Quelle est la durée caractéristique de décroissance du moment cinétique ? Où « passe » le moment cinétique…

Déterminer la constante de raideur k de la liaison covalente liant les atomes de carbone et d'oxygène. Commenter la valeur obtenue.

Déterminer un ordre de grandeur de la résistance dynamique de pointe dans la couche de remblais.

L'essai met-il en évidence une profondeur acceptable pour la base des fondations ?

Sachant que le nageur est plus rapide en dehors de l'eau, estimer, grâce à la figure 3, la valeur de la distance L₁ idéale pour le plongeon étudié, ainsi que celle de l'angle α correspondant en…

Déterminer l'expression de l'angle d'entrée dans l'eau β au point E (figure 2) en fonction des variables L₁, v₀, g et α. L'évaluer dans le cadre de la question Q2. Cette valeur de β constitue un…