Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2023

1. Premier principe de la thermodynamique

Pour un système thermodynamique fermé au repos macroscopique (\Delta E_{\text{c,macro}} = 0 et \Delta E_{\text{p,ext}} = 0), le premier principe postule l'existence d'une fonction d'état extensive, l'énergie interne U, telle que lors d'une transformation entre deux états d'équilibre :

où W est le travail mécanique et Q le transfert thermique reçus par le système (comptés algébriquement). Sous forme infinitésimale, ce bilan s'écrit :

Sur un cycle thermodynamique, l'état final est identique à l'état initial. L'énergie interne étant une fonction d'état, sa variation sur le cycle est nulle : \Delta U_{\text{cycle}} = 0. Le premier principe devient alors :

2. Deuxième principe de la thermodynamique

Le deuxième principe postule l'existence d'une fonction d'état extensive, l'entropie S. Pour une transformation quelconque d'un système fermé en contact avec des thermostats à la température T_{\text{ext}}, la variation d'entropie s'écrit :

avec un terme d'échange S_{\text{éch}} = \int \frac{\delta Q}{T_{\text{ext}}} et un terme de création d'entropie lié aux irréversibilités satisfaisant :

Sous forme différentielle, ce bilan s'écrit \mathrm{d}S = \delta S_{\text{éch}} + \delta S_{\text{créée}} = \frac{\delta Q}{T_{\text{ext}}} + \delta S_{\text{créée}}, avec \delta S_{\text{créée}} \ge 0.

Sur un cycle thermodynamique, S étant une fonction d'état, on a \Delta S_{\text{cycle}} = 0, d'où :

Ce qui conduit à l'inégalité de Clausius :

Considérons le système \mathcal{S} décrivant un cycle au contact de deux thermostats à T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}} avec T_{\mathrm{ch}} > T_{\mathrm{fr}}. Les bilans sur un cycle s'écrivent :

• Premier principe : \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_{\mathrm{C}} + Q_{\mathrm{F}} = 0, soit :

  W = -(Q_{\mathrm{C}} + Q_{\mathrm{F}})

• Deuxième principe : \Delta S_{\text{cycle}} = \dfrac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{ch}}} + \dfrac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{fr}}} + S_{\text{créée}} = 0 avec S_{\text{créée}} \ge 0, soit :

  \frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{ch}}} + \frac{Q_{\mathrm{F}}}{T_{\mathrm{fr}}} \le 0

Dans le plan (Q_{\mathrm{F}}, Q_{\mathrm{C}}), ces relations définissent deux droites remarquables passant par l'origine :

• La droite W = 0, d'équation Q_{\mathrm{C}} = -Q_{\mathrm{F}} (pente -1). La région au-dessus correspond à un système moteur (W < 0), et celle en dessous à un système récepteur (W > 0).

• La droite de réversibilité (ou droite de Carnot), correspondant à une machine idéale (S_{\text{créée}} = 0) :

  Q_{\mathrm{C}} = -\frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\,Q_{\mathrm{F}}

  Puisque T_{\mathrm{ch}} > T_{\mathrm{fr}}, la pente -\dfrac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}} est strictement inférieure à -1.

Le deuxième principe impose que tout point de fonctionnement réel se situe sous la droite de Carnot (S_{\text{créée}} \ge 0). Le demi-plan supérieur est le domaine interdit.

Pour une machine thermique idéale, le point de fonctionnement appartient à la droite de Carnot :

1. Moteur thermique idéal (Q_{\mathrm{F}} < 0) :

   Q_{\mathrm{C}} = -\frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\,Q_{\mathrm{F}} > 0 \quad \text{et} \quad W = -Q_{\mathrm{F}}\left(1 - \frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\right) < 0

   Le système emprunte de la chaleur à la source chaude, en rejette une partie à la source froide et fournit un travail utile au milieu extérieur (W < 0).

2. Machine réceptrice idéale (Q_{\mathrm{F}} > 0) :

   Q_{\mathrm{C}} = -\frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\,Q_{\mathrm{F}} < 0 \quad \text{et} \quad W = -Q_{\mathrm{F}}\left(1 - \frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_{\mathrm{fr}}}\right) > 0

   Le système reçoit du travail (W > 0) pour transférer de la chaleur de la source froide vers la source chaude. Deux modes d'utilisation se distinguent selon l'effet utile :

   • Machine frigorifique / climatiseur : l'effet utile est le transfert thermique extrait de la source froide (Q_{\mathrm{F}} > 0).
   • Pompe à chaleur : l'effet utile est le transfert thermique fourni à la source chaude (-Q_{\mathrm{C}} > 0).

Un cycle de Carnot est un cycle ditherme entièrement réversible, constitué de quatre transformations réversibles alternées :

• Deux isothermes réversibles : le système reste en équilibre thermique avec le thermostat correspondant, sa température est rigoureusement uniforme et constante (T = T_{\mathrm{ch}} ou T = T_{\mathrm{fr}}). L'échange thermique s'effectue sans écart fini de température.
• Deux adiabatiques réversibles (isentropiques) : le système est thermiquement isolé de l'extérieur (\delta Q = 0). La réversibilité implique \delta S_{\text{créée}} = 0, d'où \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T} + \delta S_{\text{créée}} = 0 : l'entropie du système reste constante (S = \text{cte}).

Dans le cas d'un fonctionnement moteur (sens horaire dans les diagrammes d'état usuels), en adoptant les notations de la partie II (état 1 à T_{\mathrm{fr}} juste avant la compression adiabatique) :

1. 1 \to 2 : compression adiabatique réversible (isentropique), le système s'échauffe de T_{\mathrm{fr}} à T_{\mathrm{ch}} à entropie constante (S_1 = S_2) ;
2. 2 \to 3 : détente isotherme réversible à la température T_{\mathrm{ch}}, le système reçoit la chaleur Q_{\mathrm{ch}} > 0 et son entropie augmente de S_2 à S_3 ;
3. 3 \to 4 : détente adiabatique réversible (isentropique), le système se refroidit de T_{\mathrm{ch}} à T_{\mathrm{fr}} à entropie constante (S_3 = S_4) ;
4. 4 \to 1 : compression isotherme réversible à la température T_{\mathrm{fr}}, le système cède la chaleur Q_{\mathrm{fr}} < 0 et son entropie diminue de S_4 à S_1.

Dans le diagramme entropique (T, S), les isothermes sont des segments horizontaux et les isentropiques des segments verticaux. Le cycle de Carnot est donc un rectangle.

Considérons le système \mathcal{S} au cours d'un cycle de Carnot moteur.

Bilan d'énergie (premier principe) : L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

Le travail mécanique net fourni par le moteur au milieu extérieur est donc :

Bilan d'entropie (deuxième principe) : L'entropie S étant également une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

Le cycle de Carnot étant constitué de deux isothermes réversibles aux températures des sources (T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}}) et de deux adiabatiques réversibles (sans transfert thermique), la réversibilité globale impose S_{\text{créée}} = 0. Il vient :

Expression du rendement en fonctionnement moteur : Par définition, le rendement thermique \eta d'un moteur correspond au rapport de l'énergie utile fournie par le système au milieu extérieur (-W > 0) sur l'énergie thermique coûteuse absorbée à la source chaude (Q_{\mathrm{ch}} > 0) :

En injectant la relation issue du bilan d'entropie, on obtient le rendement de Carnot :

D'après l'expression du rendement de Carnot obtenue à la question Q4, l'efficacité maximale de conversion d'une chaleur Q_{\mathrm{ch}} en travail utile s'écrit :

L'écart de température \Delta T conditionne directement la proportion d'énergie thermique valorisable (notion d'exergie) : plus \Delta T est élevé, plus le rendement théorique maximal est grand. L'ADEME classe donc ces gisements par écart de température car une même quantité d'énergie thermique présente une valeur de récupération d'autant plus grande que sa température est éloignée de la température ambiante.

La température de la source froide est T_{\mathrm{fr}} = 27 + 273 = 300\text{ K}. L'énergie thermique disponible annuellement pour chaque gisement est Q_{\mathrm{ch}} = 20\text{ TWh} = 20 \times 10^{12}\text{ Wh}.

1. Gisement pour un écart \Delta T_1 = 30\text{ }^\circ\mathrm{C} = 30\text{ K} : La température de la source chaude associée est T_{\mathrm{ch},1} = 300 + 30 = 330\text{ K}. Le rendement de Carnot vaut :

L'énergie maximale récupérable par an est :

2. Gisement pour un écart \Delta T_2 = 75\text{ }^\circ\mathrm{C} = 75\text{ K} : La température de la source chaude associée est T_{\mathrm{ch},2} = 300 + 75 = 375\text{ K}. Le rendement de Carnot vaut :

L'énergie maximale récupérable par an est :

Le système \mathcal{S} décrit un cycle de Carnot moteur réversible constitué de deux isothermes et de deux isentropiques (adiabatiques réversibles). L'état 1 correspond au début de la phase de compression adiabatique à la température T_1 = T_{\text{fr}}.

• Étape 1 \to 2 : Compression adiabatique réversible (isentropique)

  • Le gaz est isolé thermiquement et comprimé : son volume diminue (V_2 < V_1) tandis que sa température s'élève de T_1 = T_{\text{fr}} = 300\text{ K} à T_2 = T_{\text{ch}} = 330\text{ K}.
  • Variation de pression : la pression augmente fortement, passant de P_1 à P_2 (P_2 > P_1).

• Étape 2 \to 3 : Détente isotherme réversible à T_{\text{ch}}

  • Le gaz est mis en contact thermique avec la source chaude à la température constante T_2 = T_3 = T_{\text{ch}} = 330\text{ K}. Il reçoit le transfert thermique Q_{\text{ch}} > 0 et se détend (V_3 > V_2).
  • Variation de pression : pour un gaz parfait à température constante, P \propto 1/V, la pression diminue de P_2 à P_3 (P_3 < P_2). L'énoncé précise une baisse de 0{,}4\text{ bar}.

• Étape 3 \to 4 : Détente adiabatique réversible (isentropique)

  • Le gaz est à nouveau isolé thermiquement et poursuit sa détente (V_4 > V_3) en fournissant du travail, ce qui abaisse sa température de T_3 = T_{\text{ch}} = 330\text{ K} à T_4 = T_{\text{fr}} = 300\text{ K}.
  • Variation de pression : l'augmentation de volume couplée à la baisse de température entraîne une diminution de la pression de P_3 à P_4 (P_4 < P_3).

• Étape 4 \to 1 : Compression isotherme réversible à T_{\text{fr}}

  • Le gaz est mis en contact avec la source froide à température constante T_4 = T_1 = T_{\text{fr}} = 300\text{ K}. Il cède le transfert thermique Q_{\text{fr}} < 0 et subit une compression (V_1 < V_4) pour boucler le cycle.
  • Variation de pression : à température constante, la diminution de volume implique que la pression augmente de P_4 à P_1 (P_1 > P_4).

En résumé, les variations qualitatives de pression sont :

1. Dérivée \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V} le long des transformations

• Transformations isothermes réversibles (2 \to 3 et 4 \to 1) : Le système étant constitué d'un gaz parfait à température T constante, la loi des gaz parfaits donne :

  P V = n R T = \text{cste}

  En différentiant cette relation :

  \mathrm{d}(PV) = P\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}P = 0

  On en déduit :

  \boxed{\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{T} = -\frac{P}{V}}

• Transformations adiabatiques réversibles / isentropiques (1 \to 2 et 3 \to 4) : Pour un gaz parfait de capacités thermiques constantes subissant une transformation isentropique, la loi de Laplace s'écrit :

  P V^\gamma = \text{cste}

  En différentiant :

  \mathrm{d}(PV^\gamma) = V^\gamma \mathrm{d}P + \gamma P V^{\gamma-1}\mathrm{d}V = 0

  D'où :

  \boxed{\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{S} = -\gamma \frac{P}{V}}

2. Représentation du cycle dans le plan (P, V)

Puisque \gamma = 7/5 = 1{,}4 > 1, en tout point (P, V) commun, la pente d'une isentropique est plus forte en valeur absolue que celle d'une isotherme :

Le cycle est parcouru dans le sens horaire car la machine fonctionne en moteur (W < 0).

La seconde identité thermodynamique s'écrit pour le système fermé constitué par le gaz :

L'air étant assimilé à un gaz parfait, son enthalpie ne dépend que de la température (première loi de Joule) :

où m est la masse du système et c_p sa capacité thermique massique à pression constante.

D'après l'équation d'état des gaz parfaits, avec la relation de Mayer c_p - c_v = \frac{R}{\mathcal{M}} :

La variation infinitésimale d'entropie en fonction des différentielles \mathrm{d}T et \mathrm{d}P s'exprime donc sous la forme :

Pour éliminer la masse m, on écrit l'équation d'état dans l'état de référence 1 :

En injectant cette relation dans l'expression de \mathrm{d}S, on obtient :

Les températures absolues des thermostats sont :

L'exposant adiabatique vaut \gamma = 7/5, d'où :

Transformation 1 \to 2 (compression isentropique) : Le gaz passe de T_1 = T_{\mathrm{fr}} à T_2 = T_{\mathrm{ch}}. La loi de Laplace reliant P et T s'écrit T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cte}, soit :

Avec P_1 = 1\text{ bar} et la donnée 1{,}1^{3,5} \approx 1{,}4 :

Transformation 2 \to 3 (détente isotherme à T_{\mathrm{ch}}) : La température reste constante (T_3 = T_2 = T_{\mathrm{ch}}). Il s'agit d'une détente, donc la pression diminue de la quantité imposée par l'énoncé \Delta P_{\mathrm{ch}} = 0{,}4\text{ bar} :

D'où l'application numérique :

Transformation 3 \to 4 (détente isentropique) : Le gaz passe de T_3 = T_{\mathrm{ch}} à T_4 = T_{\mathrm{fr}}. La loi de Laplace donne :

Avec la donnée 1{,}1^{-3,5} \approx 0{,}7 :

On a également rappelé dans l'énoncé que la pression de départ est :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule). Le premier principe sur une transformation isotherme donne donc \Delta U = W + Q = 0, soit Q = -W = \int P\,\mathrm{d}V.

Pour une transformation réversible isotherme d'un gaz parfait entre un état initial i et un état final f à la température T :

D'après l'équation d'état du gaz parfait dans l'état 1, on a :

1. Chaleur échangée avec la source chaude Q_{\mathrm{ch}} : La transformation 2 \to 3 est une détente isotherme à la température T_{\mathrm{ch}} :

2. Chaleur échangée avec la source froide Q_{\mathrm{fr}} : La transformation 4 \to 1 est une compression isotherme à la température T_{\mathrm{fr}} = T_1 :

Puisque T_1 = T_{\mathrm{fr}}, cela se simplifie en :

3. Évaluations numériques :

• V_1 = 1\text{ cm} \times 1\text{ cm} \times 1\text{ mm} = 10^{-2} \times 10^{-2} \times 10^{-3}\text{ m}^3 = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}^3 ;
• P_1 = 1\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, d'où P_1 V_1 = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ J} ;
• \frac{T_{\mathrm{ch}}}{T_1} = \frac{330\text{ K}}{300\text{ K}} = 1{,}1 ;
• \frac{P_2}{P_3} = \frac{1{,}4}{1{,}0} = 1{,}4 \implies \ln\left(\frac{P_2}{P_3}\right) \approx 0{,}3 ;
• \frac{P_4}{P_1} = \frac{0{,}7}{1{,}0} = 0{,}7 \implies \ln\left(\frac{P_4}{P_1}\right) \approx -0{,}3.

On en déduit :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle complet (d'après la question Q1) :

Le travail mécanique récupéré par l'extérieur au cours d'un cycle moteur est donc :

En utilisant les expressions des transferts thermiques établies à la question Q10 (avec T_1 = T_{\text{fr}}) :

Rappelons que les deux transformations isentropiques donnent \frac{P_4}{P_1} = \frac{P_3}{P_2}, soit \ln\left(\frac{P_4}{P_1}\right) = -\ln\left(\frac{P_2}{P_3}\right), ce qui permet d'écrire de manière factorisée :

Application numérique : À partir des valeurs calculées à la question Q10 (Q_{\text{ch}} \approx 3{,}3\text{ mJ} et Q_{\text{fr}} \approx -3{,}0\text{ mJ}) :

Cohérence avec le rendement de Carnot : Le cycle étant réversible et ditherme, son rendement théorique est celui de Carnot (question Q4) :

Le travail récupéré théorique s'écrit alors :

Numériquement :

Les deux démarches mènent exactement à la même expression littérale et à la même valeur numérique : le résultat est donc parfaitement cohérent.

Dans une machine thermique réelle, les échanges de chaleur s'effectuent généralement au sein d'échangeurs ouverts sous une pression fixée (transformations isobares).

• Fluide monophasique (sans changement d'état) :
  L'apport ou la cession de chaleur à pression constante s'accompagne d'une variation continue de la température du fluide (\delta q = c_p \,\mathrm{d}T). L'écart fini de température entre le fluide et les sources thermiques (\Delta T = |T_{\text{source}} - T|) engendre d'importantes irréversibilités thermiques :

  S_{\text{créée}} = \int \delta Q \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{\text{source}}} \right) > 0,

  ce qui dégrade fortement le rendement par rapport au cycle de Carnot (comme dans le cycle de Joule).

• Fluide subissant une transition de phase (corps pur diphasique) :
  D'après la règle des phases de Gibbs, pour un corps pur (c = 1) sous deux phases à l'équilibre (\varphi = 2), la variance est :

  v = c + 2 - \varphi = 1 + 2 - 2 = 1.

  À pression fixée, la température d'équilibre liquide-vapeur T_{\text{sat}}(P) est donc strictement constante. Ainsi, une transformation isobare diphasique est simultanément isotherme.

En choisissant judicieusement les pressions de fonctionnement, la vaporisation peut s'effectuer à une température T_{\text{vap}} \approx T_{\text{ch}} et la condensation à T_{\text{cond}} \approx T_{\text{fr}}. Les échanges thermiques ont lieu avec un écart de température minime, ce qui :

1. minimise l'entropie créée par transfert thermique aux parois ;
2. rapproche le cycle réel du cycle idéal de Carnot (comme dans un cycle de Rankine-Hirn), maximisant ainsi l'efficacité thermique de la machine.

Comparaison des deux cycles :

• Températures d'échange :

  • Pour le cycle de Carnot, les échanges s'effectuent sans gradient thermique avec les sources, soit aux températures T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}}.

  • Pour le cycle endoréversible, le fluide échange à des températures internes T_1 et T_2 telles que :

    \boxed{T_{\mathrm{ch}} > T_1 > T_2 > T_{\mathrm{fr}}}

    Ces écarts de température finis, T_{\mathrm{ch}} - T_1 > 0 et T_2 - T_{\mathrm{fr}} > 0, sont indispensables pour permettre des transferts thermiques conductifs à débit non nul dans le sens naturel (du chaud vers le froid).

• Travail échangé par cycle : Le travail mécanique net produit par le fluide sur un cycle correspond à l'opposé de l'aire intérieure du cycle dans le plan (T, S), soit pour une variation d'entropie donnée \Delta S = S_{\max} - S_{\min} :

  \begin{aligned} |W_{\mathrm{Carnot}}| &= (T_{\mathrm{ch}} - T_{\mathrm{fr}})\,\Delta S \\ |W_{\mathrm{endo}}| &= (T_1 - T_2)\,\Delta S < |W_{\mathrm{Carnot}}| \end{aligned}

  Le travail produit par cycle est donc strictement inférieur pour le cycle endoréversible.

• Rendement thermodynamique : Le cycle intérieur étant réversible, son rendement est donné par :

  \eta_{\mathrm{endo}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}

  Comme T_2 > T_{\mathrm{fr}} et T_1 < T_{\mathrm{ch}}, on a \frac{T_2}{T_1} > \frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}, d'où :

  \boxed{\eta_{\mathrm{endo}} < \eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}}
• Puissance développée : Le cycle de Carnot requiert des temps de contact thermique infinis (\Delta T \to 0), ce qui conduit à une puissance moyenne délivrée nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{Carnot}} = 0). En revanche, les écarts de température finis du cycle endoréversible permettent des échanges thermiques en temps fini, et donc une puissance utile non nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{endo}} > 0).

D'après la loi phénoménologique de conduction (analogue à la loi de Fourier ou à la loi d'Ohm thermique), le flux thermique q entre deux milieux à températures T_{\mathrm{a}} et T_{\mathrm{b}} séparés par une conductance thermique K s'écrit q = K(T_{\mathrm{a}} - T_{\mathrm{b}}), le flux étant orienté de T_{\mathrm{a}} vers T_{\mathrm{b}}.

Flux thermiques instantanés :

• Lors du contact avec la source chaude (durée t_1), la flèche du flux q_{\mathrm{ch}}(t) est orientée du réservoir chaud à la température T_{\mathrm{ch}} vers la substance active à la température T_1. Comme T_{\mathrm{ch}} > T_1, ce flux entrant s'écrit :

  q_{\mathrm{ch}}(t) = K(T_{\mathrm{ch}} - T_1) \quad (\text{pour } t \in [0, t_1])

  et q_{\mathrm{ch}}(t) = 0 le reste du cycle.

• Lors du contact avec la source froide (durée t_2), la flèche du flux q_{\mathrm{fr}}(t) est orientée de la substance active à la température T_2 vers le réservoir froid à la température T_{\mathrm{fr}}. Comme T_2 > T_{\mathrm{fr}}, ce flux sortant s'écrit :

  q_{\mathrm{fr}}(t) = K(T_2 - T_{\mathrm{fr}}) \quad (\text{pour } t \in [t_1, t_1 + t_2])

  et q_{\mathrm{fr}}(t) = 0 le reste du cycle.

Chaleurs échangées sur un cycle : Les températures étant constantes au cours des isothermes du cycle intérieur, les flux thermiques sont constants durant leurs phases de contact respectives. Par intégration temporelle sur la durée d'un cycle, on obtient :

D'où les expressions demandées :

Le cycle étant endoréversible, toutes les irréversibilités ont lieu lors des transferts thermiques à travers la conductance K entre la substance et les réservoirs. Le cycle subi par la substance active entre T_1 et T_2 est donc internement réversible, ce qui implique une entropie créée nulle au sein du fluide :

L'entropie étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle : \Delta S = 0. Durant ce cycle, la substance reçoit la chaleur Q_{\text{ch}} à la température uniforme T_1, puis cède la chaleur Q_{\text{fr}} à la température uniforme T_2 (les deux autres étapes étant isentropiques). Le bilan entropique s'écrit :

soit :

D'après la question Q14, les quantités de chaleur échangées sur le cycle s'expriment par :

En injectant ces expressions dans l'égalité de Clausius réversible, il vient :

On en déduit l'expression du rapport des durées de contact :

D'après la question Q15, la réversibilité du cycle intérieur impose :

Le travail fourni sur un cycle s'écrit donc :

En injectant l'expression de Q_{\mathrm{ch}} = K(T_{\mathrm{ch}} - T_1)t_1 obtenue à la question Q14 :

La durée du cycle est t_p = t_1 + t_2 = t_1\left(1 + \frac{t_2}{t_1}\right). En utilisant l'expression du rapport des durées trouvée à la question Q15 :

on obtient :

La puissance moyenne produite sur un cycle \mathcal{P} = \frac{W}{t_p} s'exprime alors par :

Par comparaison directe avec la relation (2) de l'énoncé :

on identifie sans ambiguïté les indices :

ainsi que l'expression de la puissance :

Le rendement du cycle de Carnot fonctionnant entre les deux réservoirs de température T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}} s'écrit :

Pour le cycle endoréversible, le rendement s'exprime à partir du travail fourni et de la chaleur reçue de la source chaude :

D'après la question Q15, la réversibilité du cycle intérieur impose \dfrac{Q_{\mathrm{fr}}}{Q_{\mathrm{ch}}} = \dfrac{T_2}{T_1}, d'où :

On en déduit l'expression du rendement relatif :

Le rendement de Carnot s'exprime par :

Dans le cadre de la récupération de chaleur fatale, l'écart de température entre les sources est faible devant la température absolue de la source chaude (\Delta T_{\text{res}} \ll T_{\text{ch}}, par exemple \Delta T_{\text{res}} \approx 30\text{ K} pour T_{\text{ch}} \approx 330\text{ K}). Il en résulte immédiatement :

1. Simplification du rendement relatif maximal \eta_{\text{rel}}^{\max} :

D'après l'équation (4) de l'énoncé :

À l'ordre 0 en \eta_{\text{c}}, on a \sqrt{1 - \eta_{\text{c}}} \approx 1. Le terme entre crochets devient :

On obtient ainsi la simplification :

2. Simplification de la puissance maximale \mathcal{P}_{\max} :

Développons la fonction f(\eta_{\text{c}}) au voisinage de \eta_{\text{c}} = 0. À l'ordre 2 pour le numérateur :

Le numérateur de f(\eta_{\text{c}}) s'écrit alors :

Le dénominateur de f(\eta_{\text{c}}) s'écrit au premier ordre :

Il vient donc :

En reportant cette approximation dans l'équation (3), la puissance maximale devient :

D'après les approximations établies à la question Q18 dans le cadre d'un faible écart de température (\eta_{\mathrm{c}} \ll 1) :

En reportant cette relation dans l'expression simplifiée de la puissance maximale obtenue à la question Q18 :

On obtient ainsi :

Justification de l'allure de la courbe (figure 2) et ordonnée du graphique :

• Pour \Delta T_{\mathrm{res}}, T_{\mathrm{ch}} et K fixés, \mathcal{P}_{\max} est une fonction polynomiale du second degré en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max}, de coefficient dominant négatif. La courbe représentative est donc un arc de parabole tourné vers le bas.
• La puissance s'annule en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 0 et \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 1.

• Le sommet de la parabole est atteint en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 0{,}5 (point B), où le facteur \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} (1 - \eta_{\mathrm{rel}}^{\max}) vaut 0{,}25. La puissance maximale absolue vaut alors :

  \mathcal{P}_{\max}^{\mathrm{opt}} = \frac{K (\Delta T_{\mathrm{res}})^2}{16 T_{\mathrm{ch}}}

• L'ordonnée du graphique variant de 0 à 1 avec un maximum égal à 1 atteint précisément en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 0{,}5, l'ordonnée correspond à la puissance maximale normalisée :

  \boxed{\frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\max}^{\mathrm{opt}}} = 4 \, \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} \left(1 - \eta_{\mathrm{rel}}^{\max}\right)}

1. Tracé des cycles dans le plan (T, S) :

D'après le résultat de la question Q18 pour un faible écart de température (\eta_{\text{c}} \ll 1), le rendement relatif maximal s'identifie à :

Par symétrie des écarts de température lors de la maximisation (T_{\text{ch}} - T_1 \approx T_2 - T_{\text{fr}}), on a :

• Point A (\eta_{\text{rel}}^{\max} \approx 0{,}25) : \Delta T_{\text{adia}} \approx \frac{1}{4} \Delta T_{\text{res}} (cycle étroit en température, centré entre T_{\text{ch}} et T_{\text{fr}}) ;
• Point B (\eta_{\text{rel}}^{\max} = 0{,}50) : \Delta T_{\text{adia}} = \frac{1}{2} \Delta T_{\text{res}} (cycle de hauteur intermédiaire) ;
• Point C (\eta_{\text{rel}}^{\max} \approx 0{,}75) : \Delta T_{\text{adia}} \approx \frac{3}{4} \Delta T_{\text{res}} (cycle de grande hauteur, T_1 proche de T_{\text{ch}} et T_2 proche de T_{\text{fr}}).

2. Même puissance pour les cycles A et C :

La puissance moyenne produite s'écrit \mathcal{P} = \frac{W}{t_p}.

• Pour le cycle A : l'écart interne \Delta T_{\text{adia}} est faible, donc le travail mécanique W obtenu par cycle (l'aire du cycle dans le plan (T, S)) est petit. En revanche, les écarts de température avec les sources (T_{\text{ch}} - T_1) et (T_2 - T_{\text{fr}}) sont grands, ce qui assure des flux thermiques instantanés q très élevés et donc des transferts thermiques rapides : la période t_p est courte (fonctionnement rapide).
• Pour le cycle C : l'écart interne \Delta T_{\text{adia}} est important, fournissant un travail mécanique W par cycle élevé. Mais les écarts avec les thermostats sont très réduits, d'où des transferts thermiques très lents et une période t_p longue (fonctionnement lent).

Le rapport \frac{W}{t_p} prend ainsi la même valeur pour ces deux régimes de fonctionnement.

3. Point de fonctionnement le plus intéressant :

À puissance produite \mathcal{P} identique, le flux de chaleur consommé à la source chaude vaut :

Le rendement du point C étant environ trois fois supérieur à celui du point A (\eta_{\text{rel}}^{\text{C}} \approx 0{,}75 contre \eta_{\text{rel}}^{\text{A}} \approx 0{,}25), le cycle C nécessite de prélever trois fois moins d'énergie thermique pour fournir la même puissance utile :

L'enthalpie libre massique est définie par :

La masse volumique \rho étant supposée constante, la différentielle totale de g s'écrit :

D'après l'équation (5) de l'énoncé, la variation infinitésimale d'énergie interne massique est :

En substituant cette relation dans l'expression de \mathrm{d}g, les termes en \mathrm{d}s et en \mathrm{d}M s'annulent :

On obtient ainsi :

D'après la question Q21, la différentielle totale de l'enthalpie libre massique s'écrit :

Puisque g est une fonction d'état de classe \mathcal{C}^2 des variables indépendantes (T, H), les dérivées partielles premières s'identifient terme à terme :

en rappelant que la masse volumique \rho est supposée constante.

En appliquant le théorème de Schwarz sur l'égalité des dérivées partielles secondes croisées :

L'égalité \frac{\partial^2 g}{\partial H \partial T} = \frac{\partial^2 g}{\partial T \partial H} conduit à la relation de Maxwell magnétique :

Si l'aimantation M dépend de la température T, sa dérivée partielle n'est pas identiquement nulle : \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_H \neq 0.

Par conséquent, on a nécessairement :

ce qui démontre que l'entropie massique s dépend de l'excitation magnétique H.

Le modèle proposé pour le matériau magnétocalorique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport à la température T à excitation magnétique H fixée, on obtient :

D'après la relation de Maxwell établie à la question Q22 :

La variation d'entropie massique associée à une variation isotherme du champ magnétique s'obtient par intégration :

Pour un champ \mu_0 H variant de 0 à B_0 = 1\text{ T}, l'expression littérale de la variation d'entropie massique est :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• C_2 = 0{,}03\text{ T}\cdot\text{K}^{-1} ;
• B_0 = 1\text{ T} ;
• \rho = 7{,}9\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 7{,}9 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}.

Considérons l'entropie massique s comme fonction des variables d'état (T, H). Sa différentielle totale s'écrit :

D'après la définition de la capacité thermique massique à excitation constante, on a :

D'après la relation de Maxwell établie à la question Q22 et le modèle d'aimantation linéaire en température \mu_0 M(H, T) = C_1\mu_0 H + C_2(35 - T) :

En introduisant le champ d'induction \mu_0 H, la différentielle s'écrit :

D'après le deuxième principe de la thermodynamique, pour une transformation adiabatique (\delta q = 0) et réversible (s_{\text{créée}} = 0), l'entropie est constante :

On en déduit la relation différentielle :

En intégrant entre l'état initial (T_i, champ nul) et l'état final (T_f = T_i + \Delta T_{\mathrm{adia}}, champ \mu_0 H = B_0 = 1\text{ T}), avec c_H constante :

D'où l'expression exacte de l'écart de température :

Puisque le paramètre sans dimension \varepsilon = \frac{C_2 B_0}{c_H \rho \mu_0} \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre (\mathrm{e}^\varepsilon - 1 \approx \varepsilon) :

Application numérique : Avec T_i = 25^\circ\text{C} = 298\text{ K}, B_0 = 1\text{ T}, C_2 = 0{,}03\text{ T}\cdot\text{K}^{-1}, \rho = 7{,}9 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_H = 3{,}0 \times 10^2\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} :

Ce résultat est bien en accord avec l'ordre de grandeur de 2\text{ K} mentionné à la question suivante.

D'après les résultats de la partie III (questions Q17 et Q18), le rendement relatif du cycle endoréversible par rapport au rendement de Carnot s'écrit pour de faibles écarts de température :

Pour que le fonctionnement du thermogénérateur soit proche de celui du cycle de Carnot, il faut que ce rendement relatif soit proche de 1, c'est-à-dire :

Or, l'effet magnétocalorique du Gadolinium limite l'échauffement ou le refroidissement adiabatique réversible à une valeur modeste :

Par conséquent :

• Si l'écart de température entre les sources est important (par exemple \Delta T_{\mathrm{res}} = 30\text{ K} ou 75\text{ K}, comme dans le tableau 1), le rendement relatif devient très faible (\eta_{\mathrm{rel}} \sim 0{,}03 \text{ à } 0{,}07 \ll 1). Les irréversibilités de transfert thermique entre les sources et le matériau sont alors prépondérantes.
• Si au contraire la chaleur à récupérer présente un très faible écart de température avec la source froide (\Delta T_{\mathrm{res}} de l'ordre de quelques kelvins, proche de \Delta T_{\mathrm{adia}}), le rapport \frac{\Delta T_{\mathrm{adia}}}{\Delta T_{\mathrm{res}}} s'approche de l'unité, rendant le fonctionnement quasi réversible et très proche du cycle de Carnot.

D'après la description des quatre phases de fonctionnement du thermogénérateur :

• Étape 1 (rappel) : Le matériau est en contact avec la source froide (e_{\text{air}} = d). Il cède de la chaleur à la source froide (\Downarrow). En se refroidissant, son aimantation et donc la force d'attraction magnétique augmentent.

• Étape 2 (mouvement ascendant) : L'attraction magnétique devient supérieure à la force de rappel du ressort. Le matériau décolle et effectue une transition rapide vers la source chaude.

  • Position : intermédiaire dans l'entrefer (0 < e_{\text{air}} < d).
  • Résultante des forces : non nulle, dirigée vers le haut (\uparrow) car F_{\text{mag}} > F_{\text{ressort}}.
  • Flux thermique : aucun échange thermique (phase adiabatique dans l'air isolant).

• Étape 3 (échauffement) : Le matériau est en contact direct avec la source chaude (e_{\text{air}} = 0).

  • Position : en haut, plaqué contre les aimants et la source chaude.
  • Résultante des forces : le matériau est maintenu au contact (la force de réaction compense l'attraction).
  • Flux thermique : la source chaude cède de la chaleur au matériau, le flux thermique est dirigé vers le bas (de la source chaude vers le matériau, \Downarrow). En se réchauffant, son aimantation diminue.

• Étape 4 (mouvement descendant) : L'aimantation ayant fortement chuté, la force d'attraction magnétique devient inférieure à la force de rappel du ressort. L'équilibre mécanique est rompu et le matériau retourne rapidement vers la source froide.

  • Position : intermédiaire dans l'entrefer (0 < e_{\text{air}} < d).
  • Résultante des forces : non nulle, dirigée vers le bas (\downarrow) car F_{\text{ressort}} > F_{\text{mag}}.
  • Flux thermique : aucun échange thermique (phase adiabatique).

On reproduit ci-dessous la figure complétée pour les quatre étapes :

Le dispositif ne comporte aucun courant libre (aucun enroulement ni courant de conduction ne traverse une surface s'appuyant sur \mathcal{C}). Le théorème d'Ampère appliqué au champ d'excitation magnétique \vec{H} s'écrit donc :

En choisissant d'orienter le contour fermé \mathcal{C} dans le sens de circulation des lignes de champ magnétique, le champ \vec{H} est supposé uniforme et tangent au contour au sein de chaque milieu homogène :

• dans la culasse de fer doux, sur une longueur l_{\text{fer}} : H_{\text{fer}} \, l_{\text{fer}} ;
• dans les deux aimants permanents, chacun d'épaisseur e_{\mathrm{m}} : 2 \, H_{\mathrm{m}} \, e_{\mathrm{m}} ;
• dans les deux couches d'air (entrefers), chacune d'épaisseur e_{\text{air}} : 2 \, H_{\text{air}} \, e_{\text{air}} ;
• dans le matériau magnétocalorique, sur une longueur l_{\text{MC}} : H_{\text{MC}} \, l_{\text{MC}}.

La somme de ces contributions donne directement :