Ferromagnétisme et circuits magnétiques : 127 questions de concours corrigées

Faire apparaître sur votre copie l'allure d'un tel cycle en précisant les valeurs de l'aimantation rémanente M_r, de l'aimantation à saturation M_s et de l'excitation coercitive H_c. Laquelle de ces…

Déterminer la dimension de χ. Quelle relation lie H et le champ magnétique B ? Définir puis exprimer la perméabilité magnétique relative µ_r du milieu.

En partant de l'équation de Larmor, donner sans autre forme de justification l'équation d'évolution de l'aimantation M(t) dans son champ magnétique effectif B_eff.

Vérifier que cette équation conserve la norme de l'aimantation.

Définir l'excitation magnétique H.

Justifier qu'il est légitime de négliger, dans l'air, le champ magnétique en dehors des minces entrefers d'épaisseur e.

On suppose dorénavant la perméabilité magnétique du rotor et du stator infinies. Montrer que l'intensité du champ magnétique en un point quelconque des deux entrefers est donnée par la relation Bₐ =…

Citer le théorème d’Ampère dans un tel milieu magnétique idéalisé et dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques. En déduire l’expression de l’intensité i₂(t) du courant…

En d'étaillant les étapes et hypothèses de votre raisonnement, montrer que le champ magnétique dans l'entrefer s'écrit : B(x) = (µ₀ µ_r N I)/(ℓ + 2 µ_r x).

Exprimer la différentielle totale de l'enthalpie libre massique dg en fonction des variations infinitésimales de la température dT et de l'excitation magnétique dH.

À partir de l'égalité (∂² g)/(∂ H ∂ T) = (∂² g)/(∂ T ∂ H) et des propriétés de la différentielle totale de g, montrer que si M dépend de T alors s dépend de H.

Appliquer le théorème d'Ampère sur le contour C.

On effectue un bilan d'énergie magnétique sur le système. Ce bilan est donné par l'équation suivante : dE_mag(T, e_air) = -F_mag de_air - m_MC s dT . (9) En déduire l'expression de la force…

En déduire les inductances propres L₁ et L₂ des deux bobines et leur inductance mutuelle M₀.

En travaillant en coordonnées cylindriques, d'axe l'axe de révolution du tore, justifier que H = He_θ et B = Be_θ.

Exprimer les champs H et B en fonction de µ₀, µ_r, Nₜ, ℓₜ et i. Préciser les orientations choisies.

Pour la ligne de champ moyenne, on note H_air et H_fer les normes du champ d'excitation magnétique dans l'air (entrefer) et dans le fer. Ces normes sont supposées uniformes le long de cette ligne de…

En l'absence de courant de charges libres, j_libres = 0, montrer que Hₘ dérive d'un potentiel tel que µ₀ Hₘ = -∇φₘ, et que le problème se ramène à l'équation de Poisson suivante ∇² φₘ = µ₀ ∇ · M.

En sélectionnant soigneusement une surface fermée à l'interface des milieux 1 et 2, démontrer la relation de passage n · ∇ (φₘ(x₁) - φₘ(x₂)) = µ₀ (M(x₁) - M(x₂)) · n, où n est le vecteur unitaire…

Donner Nₓ, N_y, et N_z dans le cas d'un échantillon sphérique.

En admettant que la solution (11), Hₘ = -Nₓ M₀ₓ uₓ - N_y M_0y u_y - N_z M_0z u_z, est encore valable dans cette géométrie (et N_z < 1), utiliser une équation de Maxwell pour montrer que l'angle θ…

Quelle est la caractéristique principale d'un milieu ferromagnétique doux ? Donner un ordre de grandeur de µ_r pour ces milieux en précisant le milieu.

D'après la figure, que peut-on dire du flux magnétique ?

Quels sont les deux phénomènes associés aux pertes fer ? On d'étaillera l'origine de chaque perte. Quel autre type de perte existe dans ce système ?

Proposer une définition énergétique de l'inductance du système. Déduire des questions 14 et 15 les valeurs minimale L_min et maximale Lₘₐₓ de l'inductance. Comment varie l'inductance entre ces deux…

En ramenant au préalable l'équation précédente à une équation différentielle du premier ordre, calculer explicitement φ(z). On rappelle la primitive ∫x dt 1/sin t = ln tan (x/2) + cste pour 0 < x <…

Montrer que la susceptibilité longitudinale χ = µ₀ mₓ/bₓ et la susceptibilité transverse χ = µ₀ m_y/bₓ sont données par χ₍ω) = (ω₀ ω_M)/(ω₀² - ω²), χ₍ω) = -i (ω ω_M)/(ω₀² - ω²), où la fréquence ω_M…

Montrer que le champ magnétique Bₑ dans l'entrefer vérifie la relation Bₑ = α i avec α une constante à déterminer en fonction de Sₑ, S_f, L, µ₀, N, ℓ et µ_r.

On ajoute un noyau ferromagnétique de perméabilité relative µ_r = 100. Que devient le champ magnétique ? Calculer l'intensité de ce champ si I = 10,0 A, n = 1000 spires par mètre.

Quelles sont les unités usuelles des constantes fondamentales ε₀ et µ₀ ? En déduire qu'une capacité C et une inductance L vérifient les lois d'échelle C ∼ h et L ∼ h.

Rappeler l’équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-flux). Compte-tenu des hypothèses, que peut-on dire du flux magnétique à travers chaque section droite du circuit magnétique ?

Rappeler la définition d'un milieu ferromagnétique linéaire doux. Donner la relation entre les vecteurs B et H au sein d'un tel milieu.

On suppose les normes des champs d'excitation magnétique H et magnétique B uniformes dans le tore. À quelle condition sur la géométrie du tore cette hypothèse est-elle justifiée ?

Exprimer la puissance moyenne P_c consommée dans le tore en fonction de la valeur efficace I_eff de l'intensité i et des caractéristiques du milieu.

Exprimer le champ d'excitation magnétique H dans le barreau. On d'étaillera la méthode utilisée.

Énoncer dans le cadre de ce régime l'équation Maxwell-Ampère reliant le vecteur excitation magnétique H et , on précisera la nature de . En déduire la forme générale de l'énoncé du théorème d'Ampère.

Quels éléments observés en figures 3 et 5 permettent de justifier que l'on puisse considérer le champ magnétique comme uniforme au voisinage du centre du noyau.

Décrire, sans calcul, le trajet des particules de type 2 après leur entrée dans la zone exposée au champ magnétique. Où peut-on recueillir les particules de type 2 ?

La norme du champ magnétique est-elle uniforme dans le circuit magnétique ? Sinon, préciser les zones où le champ magnétique est le plus intense et est le moins intense.

Déterminer l'expression de B en fonction de i₁(t), de e et de µ₀.

On dispose de poêles en aluminium et en fonte. Bien que l'aluminium soit environ 40 fois plus conducteur électriquement que la fonte, on choisira la poêle en fonte : pourquoi ?

Donner les unités d'un moment magnétique |µ| et de l'aimantation spontanée M_s dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Cette interaction favorise-t-elle l'alignement ou l'anti-alignement des moments magnétiques ?

Exprimer ρ, la densité volumique des moments magnétiques, en termes de a.

Quelles configurations de l'aimantation M(x) minimisent E_ech ? (Une démonstration n'est pas requise.)

Quelles configurations de l'aimantation M(x) sont favorisées par E_ani ? (Une démonstration n'est pas requise.)

Quelle configuration de l'aimantation M(x) est favorisée par Eₑₓₜ ? (Une démonstration n'est pas requise.)

À quelle condition géométrique peut-on considérer que les lignes de champ restent parallèles entre elles dans l'entrefer ? On supposera cette condition vérifiée dans tout le sujet.

Laquelle des deux simulations 1 ou 2 donne-t-elle l'intensité |B| du champ magnétique ? On justifiera la réponse.

Quelles sont les propriétés d’un milieu ferromagnétique doux ? Tracer l’allure du cycle d’hystérésis associé et y indiquer l’excitation coercitive H_c et le champ magnétique rémanent B_r. Donner un…

Quelle fonction ce montage réalise-t-il dans ces conditions d’utilisation ? Montrer alors que la tension u_s(t) est proportionnelle au champ magnétique B(t) : u_s(t) = K' · B(t) avec le coefficient…

Rappeler les propriétés d'un matériau ferromagnétique idéal. Déterminer la direction du champ magnétique en un point M de l'entrefer. Donner, en justifiant, la relation entre ω la pulsation des…

À partir du modèle de matériau proposé pour M(T, H), en déduire l'expression de la variation d'entropie massique du matériau, notée Δ s, pour un champ µ₀ H variant de 0 à 1 tesla.

Déterminer l'énergie magnétique dans l'air, en fonction de B_air et des paramètres géométriques, et l'énergie magnétique dans le fer, ces milieux étant supposés linéaires.

Expliquer pourquoi la force magnétique dépend de la température. Indiquer quel coefficient varie en fonction de la température dans l'expression de la force F_mag = -C₃/((e_air + C₄)²).

Montrer que ces trois champs sont uniformes dans ce milieu. En négligeant le champ magnétique à l'extérieur du milieu magnétique, exprimer B₀ en fonction de µ_r, µ₀, N₁, N₂, ℓ et des courants I₁ et…

Dans le modèle de Bohr, un électron possède une trajectoire circulaire autour d'un noyau atomique immobile. Le moment cinétique de l'électron est σₑ = |σₑ| = ħ, où ħ est la constante de Planck…

Un matériau ferromagnétique de masse molaire M, de masse volumique ρ, est formé d'atomes de moment magnétique zµₑ où z N. Quelle est l'expression de l'aimantation de saturation M_sat, valeur de…

En reprenant la valeur précédente de M_sat, quel serait le moment magnétique à saturation mₐ d'un cube de fer de côté 150 ? Quelle serait l'intensité I parcourant une boucle circulaire de diamètre…

En déduire l'expression de l'impédance Z = u/i. Y a-t-il dissipation d'énergie dans le matériau ?

Calculer la puissance moyenne P_diss dissipée dans le tore ferromagnétique. Quelle est la nature de cette perte ?

Dans le cas où le milieu magnétique se comporte linéairement, exprimer le champ magnétique B en fonction de Iₑ, n, µ₀ et µ_r. En déduire l'expression de la tension u_s(t) en fonction de I₀ₑ, ω, n…

Sachant que I₀ₑ est tel que la valeur maximale de l'excitation magnétique Hₘₐₓ = 2H₀, exprimer u_s(t) dans les deux domaines, linéaire et saturé.

Quels éléments observés en figure 3 permettent d'expliquer la diminution de la composante B · u_z du champ observée en figure 5 lorsqu'on se rapproche des bords du noyau ?

À l'aide du formulaire, montrer que l'expression (4) peut finalement s'écrire E_ech = A_ech ∫_V d³x [ [∇ Mₓ(x)]² + [∇ M_y(x)]² + [∇ M_z(x)]² ].

Montrer, en calculant δ(|M|²) = |M + δ M|² - |M|² au premier ordre en δ M, que la norme constante de l'aimantation impose de considérer uniquement des variations transverses de l'aimantation…

Calculer la variation δ Eₑₓₜ(M) = Eₑₓₜ(M + δ M) - Eₑₓₜ(M) et montrer que δ Eₑₓₜ(M) = -∫_V d³x (Bₑₓₜ ∧ M) · δ µ.

Montrer que δ E_ani(M) = -2 Kₐ ∫_V d³x (uₐ · M)(uₐ ∧ M) · δ µ.

Montrer que δ Eₜₒₜ(M) peut s'écrire sous la forme δ Eₜₒₜ(M) = -∫_V d³x (B_eff ∧ M) · δ µ + 2 A_ech ∫_S d²x [(n · ∇)M ∧ M] · δ µ, et donner l'expression du champ magnétique effectif B_eff.

Justifier que les états d'équilibre sont ainsi donnés par les équations suivantes, dites équations de Brown, M₀ ∧ B_eff &= 0 pour tout x V, (n · ∇)M₀ ∧ M₀ &= 0 pour tout x S.

Montrer que les états stationnaires de l'aimantation correspondent aux états d'équilibre solutions de la première équation de Brown (19).

Dans le cas simple où le champ magnétique effectif est statique, soit B_eff = B₀ avec dB₀/dt = 0, montrer que l'énergie Eₜₒₜ = -V M · B₀ est constante. Pour une condition initiale quelconque…

Comment se transforment µ et M par renversement du temps ? Comment se transforme l'équation de Larmor après un renversement du temps ?

Vérifier que l'équation de LLG conserve la norme de l'aimantation.

Représenter les deux moments de l'équation de Landau-Lifshitz agissant sur M sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan (y, z) dans le cas φ = π/2 (on…

Dans le cas simple où le champ effectif est statique, soit B_eff = B₀ avec dB₀/dt = 0, montrer que l'énergie Eₜₒₜ = -VM · B₀ est une fonction décroissante du temps, permettant ainsi la relaxation de…

Donner la forme de l'équation de LLG après un renversement du temps. Quelle est l'influence du terme proportionnel à α sur cette dynamique ?

Montrer, à l'ordre le plus bas en m(t) et b(t), que m(t) obéit à l'équation (dm(t))/dt = -γ [m(t) ∧ B₀ + M₀ ∧ b(t)].

En utilisant le résultat de la Question 14 pour la perturbation initiale m(t = 0) et l'équation ci-dessus pour les temps t > 0, montrer que la perturbation m(t) est perpendiculaire à M₀ à tout temps…

Donner la relation de proportionalité entre m_y et mₓ, à l'ordre 0 en α.

En supposant que le transfert de spin a lieu pour chacun des électrons qui traversent F2, exprimer G en termes du courant I, de la charge électrique d'un electron -e, du moment cinétique échangé par…

En utilisant l'équation (28), donner l'expression G_c de G pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Donner l'expression du courant critique I_c ≤ 0 pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

En se référant à la Partie 1, exprimer l'énergie de la couche de stockage F2 seule, Eₜₒₜ(M₂).

Tracer Eₜₒₜ en fonction des valeurs possibles de M_2z = M₂ · u_z. Identifier les états d'équilibre de l'aimantation, et distinguer les équilibres stables et instables.

Exprimer la barrière d'énergie Δ E > 0, définie comme la différence d'énergie entre état instable et état stable.

Qu'appelle-t-on l'approximation linéaire des ferromagnétiques doux ? En déduire la relation entre le champ magnétique dans le matériau ferromagnétique, noté B_f, et l'excitation magnétique H_f.

On place maintenant un capteur à effet Hall dans l'entrefer. En fixant le plus précisément possible un courant d'intensité I continu, montrer que l'on récupère une tension V_H proportionnelle à…

Afin d'accroître encore le couplage, on trouve dans la littérature d'autres systèmes constitués de plusieurs résonateurs (voir figure 17) ou d'un noyau ferromagnétique (non approprié dans le cas…

Dessiner tout d'abord l'allure de l'entrefer pour θ_r = kπ si k N, déterminer l'expression simplifiée de son volume total (minimal dans cas précis) en fonction de R, ℓ, e et ε. Dessiner maintenant…

Établir l’expression de l’impédance d’entrée Zₑ = -uₑ/i du montage à ALI. Quelle hypothèse raisonnable est-il possible d’émettre concernant l’intensité i₂(t) ? Montrer alors que la tension u_r(t)…

Le temps de chute est Δ t_h = 4,0 s pour un tube de 20 cm de haut. Quel serait le résultat de la même expérience avec un tube de même longueur en aluminium ? en acier ?

Définir l'énergie magnétique E_mag(x) du système noyau+entrefer comme la somme de deux intégrales volumiques exprimées en fonction de B(x), puis la calculer en fonction des paramètres du problème.

À partir du deuxième principe de la thermodynamique et de la différentielle totale de s(T, H), en déduire la variation de température Δ T_adia, dans le cadre d'une transformation adiabatique…

Reproduire la figure 5 et indiquer qualitativement pour les étapes 2, 3 et 4 la position du matériau magnétocalorique (dessiner le matériau), la résultante des forces (flèche simple : →) et le flux…

Simplifier l'expression du champ magnétique et déduire de cette expression que la position du matériau magnétocalorique contrôle en partie le champ appliqué sur le matériau.

Déterminer l'énergie magnétique dans les aimants Eₘ en fonction de Bₘ, Mₘ, Sₘ et eₘ (on rappelle que la relation magnétique est une fonction affine).

Déterminer l'énergie magnétique dans le matériau magnétocalorique E_MC en fonction de B_MC, C₁, C₂, T, S_MC et l_MC.

En déduire l'énergie magnétique dans les aimants Eₘ et dans le matériau magnétocalorique E_MC en fonction de B_air, Mₘ, C₁, C₂ et pour les paramètres géométriques en fonction de S_air, eₘ et l_MC.

Dans le cadre d'un matériau de perméabilité relative complexe, tracer l'allure du cycle B(H) du matériau ferromagnétique. Évaluer le champ magnétique rémanent B_r et l'excitation coercitive H_c. On…

Représenter sur la figure B du document réponse les graphes des fonctions B(t) = B · u_z et u_s(t).

Quelle est l'expression de H dans le barreau ? À l'aide des graphes de B(t) et de u_s(t) fournies figure C du document réponse, déterminer quelle inégalité est vérifiée par la valeur de Hₑₓₜ : a…

Toujours à l'aide des graphes de la figure C, estimer numériquement la valeur du rapport Hₑₓₜ/H₀.

Exprimer H_r = H_r · u_z en fonction de Hₑₓₜ, µ_r et α, dans le domaine de linéarité du matériau. En déduire l'expression de H_r en fonction du champ magnétique extérieur Bₑₓₜ, µ₀, µ_r et α.

Lorsqu'on insère un matériau ferromagnétique dans une bobine, on modifie l'expression du champ créé en le multipliant par µ_r, perméabilité magnétique relative du milieu. En reprenant l'expression…

Dans le cadre de ce modèle, montrer que si |z| < Lₘₐₓ alors L_p est indépendante de z.

En remarquant que dans le cas d'une structure cristalline cubique x_ij prend les valeurs ± a uₓ, ± a u_y, ± a u_z [voir Fig. 1(a)], passer à la limite du continu, c'est-à-dire échanger Σ_i par ∫_V…

En utilisant cette analogie et à l'aide du formulaire, montrer que l'énergie magnétique correspondante, dite énergie de démagnétisation, s'écrit E_dem = -1/2 µ₀ ∫_V d³x M(x) · Hₘ(x).

Réécrire la première équation de Brown (19) dans le repère sphérique local, et montrer que l'angle φ(z) obéit à l'équation 2A_ech (d²φ(z))/dz² - (dε_ani(φ))/dφ = 0, où l'on donnera l'expression de…

Montrer que l'équation de LLG peut se mettre sous la forme suivante, dite de Landau-Lifshitz (LL), dM/dt = -γ_LL M ∧ B_eff - α γ_LL M ∧ ( M/M_s ∧ B_eff ), où γ_LL sera donné en termes de γ et α…

Dans le cas où l'on applique un champ magnétique dépendant du temps, c'est-à-dire dB_eff/dt ≠ 0, la variation dEₜₒₜ/dt donne lieu à deux termes distincts. En argumentant succintement, identifier le…

En utilisant les réponses aux deux dernières questions et en repassant en notation réelle, calculer mₓ(t) et m_y(t) dans le cas où la variation du champ magnétique b(t) est nulle et la perturbation…

Calculer la norme de T_TS, et justifier que G est la quantité maximale de moment cinétique absorbée par la couche F2 par unité de volume et de temps.

Discuter l'action du moment -γ T_TS sur M₂ sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan (y, z) dans le cas φ = π/2.

Quel est l'état stationnaire de l'aimantation lorsque 0 ≥ I > I_c, et lorsque I < I_c ?

Application numérique : estimer le rayon minimal r d'une couche de stockage F2 cylindrique d'épaisseur d ≈ 1 nm qui est ainsi nécessaire pour stocker un de ces bits.

En pratique, comme règle empirique, on considère que les pertes fer sont minimisées si le produit N × i × f (N est le nombre de spires du bobinage, f la fréquence du courant d'intensité i(t)) est le…

Pourquoi doit-on alors être vigilant lorsqu'on utilise ce type de capteur avec un courant d'intensité i(t) périodique non-sinusoïdal quelconque même de faible amplitude ?

Montrer que le champ magnétique dans l'air B_air s'écrit sous la forme : B_air = (a₁ Mₘ + (a₂ C₂(35 - T))/(µ₀(1 + C₁)))/(a₃/µ₀ + a₄/(µ₀(1 + C₁)) + a₅/(µ₀ µ_r)) , (7) avec a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ à…

Montrer que l'énergie magnétique du système, E_mag(T, e_air), peut s'écrire sous la forme : E_mag(T, e_air) = - C₃/(e_air + C₄) , (8) où les expressions de C₃ et C₄ sont à déterminer.

En considérant qu'un signal est détectable si |H_r| dépasse de 10 % le champ d'excitation H_b provoqué par le bruit i_b de l'intensité d'excitation Iₑ, quelle est la plus petite valeur B_min du…

Lorsque les atomes i et j sont "plus proches voisins", en introduisant x_ij = x_i - x_j, montrer que ρ² µ_i · µ_j ≃ M_s² + 1/2 M(x_i) · [ (x_ij · ∇)² M(x_i) ] au premier ordre non-nul en x_ij.

Montrer que δ E_ech(M) = 2 A_ech ∫_S d²x [(n · ∇) M ∧ M] · δ µ - ∫_V d³x [∇² M ∧ M] · δ µ .

Montrer que pour un échantillon magnétique ellipsoïdal δ E_dem(M) = -µ₀ ∫_V d³x (Hₘ ∧ M) · δ µ.

En utilisant la valeur de θ obtenue à la Question 21, refaire le schéma de la Fig. 2 en projection dans le plan (x, y). Exprimer B_eff θ et B_eff φ, les composantes de B_eff dans le repère sphérique…

En prenant maintenant en compte la dissipation telle qu'introduite à l'équation (23), soit α > 0, montrer que mₓ obéit à l'équation d'un oscillateur harmonique amorti forcé avec pour équation…

On rappelle que l'énergie s'écrit Eₜₒₜ = -V M₂ · B₀. Exprimer la variation temporelle de l'énergie, dEₜₒₜ/dt, en fonction de M_2z = M₂ · u_z, G - G_c, B₀, et des autres données du problème.