Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2025

L'équation bilan de la combustion complète du méthane avec un coefficient stœchiométrique unitaire pour \mathrm{CH}_4 s'écrit, l'eau étant produite sous forme vapeur :

Déterminons l'enthalpie libre standard de réaction à T_0 = 298\text{ K}. D'après la loi de Hess appliquée aux enthalpies standard de formation :

De même, l'entropie standard de réaction s'exprime par :

On en déduit l'enthalpie libre standard de réaction à 298\text{ K} :

La constante d'équilibre standard K^\circ(T_0) vaut alors :

Comme K^\circ(T_0) \gg 10^4, la réaction de combustion est quantitative (totale).

Pour une mole de méthane brûlée à pression constante et température constante T_0, le premier principe donne Q_p = \Delta H = \Delta_r H^\circ(T_0). L'énergie thermique libérée au milieu extérieur par mole de méthane est donc -\Delta_r H^\circ(T_0). La masse molaire du méthane vaut :

Le pouvoir calorifique inférieur (PCI) q_{\text{gn}} représente l'énergie libérée par unité de masse de combustible :

Application numérique :

D'après l'équation de la réaction établie en question Q1 :

la combustion complète d'une mole de méthane nécessite 2\text{ moles} de dioxygène.

Le débit molaire de méthane alimentant la chambre de combustion vaut :

Le débit molaire de dioxygène nécessaire dans les proportions stœchiométriques est donc :

L'air étant constitué de 1/5 de dioxygène et 4/5 de diazote en proportions molaires, le débit molaire de diazote associé vaut :

Le débit molaire total d'air stœchiométrique est F_{\text{air},0} = 5\,F_{\mathrm{O}_2,0} = 10\,F_{\mathrm{CH}_4}, et la masse molaire moyenne de l'air est :

Le débit massique d'air stœchiométrique D_{m0} s'écrit alors :

Application numérique :

La puissance thermique \mathcal{P}_{\text{th}0} libérée à T_0 = 298\text{ K} par la réaction sous pression constante s'exprime directement à l'aide du pouvoir calorifique inférieur q_{\text{gn}} calculé en Q1 :

Application numérique :

Le système ouvert est la chambre de combustion fonctionnant en régime stationnaire, à la pression constante P = 12\text{ bar}. Elle est parfaitement calorifugée (\dot{Q} = 0) et ne comporte aucune partie mobile fournissant du travail utile (\dot{W}_u = 0).

Le premier principe pour un système ouvert en régime permanent s'écrit :

Rapporté à une mole de méthane consommé, avec les proportions stœchiométriques (la combustion complète consomme 1\text{ mol} de \mathrm{CH}_4, 2\text{ mol} de \mathrm{O}_2 et entraîne 8\text{ mol} de \mathrm{N}_2 spectateur), l'état initial est formé de :

L'état final est constitué des gaz brûlés :

On décompose la transformation en deux étapes fictives à pression constante :

1. Étape 1 : Réaction de combustion complète isotherme à T_0 = 298\text{ K} :

   \Delta H_1 = \Delta_r H^\circ(T_0) = - M(\mathrm{CH}_4)\,q_{\text{gn}}

2. Étape 2 : Échauffement isobare des produits formés de T_0 à T_s, en considérant dans un premier temps les capacités thermiques molaires indépendantes de la température :

   \Delta H_2 = C_{p,\text{prod}}(T_s - T_0)

   avec :

   C_{p,\text{prod}} = C_{pm,\mathrm{CO}_2} + 2\,C_{pm,\mathrm{H}_2\mathrm{O}} + 8\,C_{pm,\mathrm{N}_2}

Le bilan enthalpique global \Delta H = \Delta H_1 + \Delta H_2 = 0 conduit à :

D'où l'expression de la température de sortie des gaz :

Application numérique :

Commentaires : Cette température de flamme adiabatique théorique est extrêmement élevée :

• Elle dépasse largement la limite d'apparition massive des oxydes d'azote \mathrm{NO}_x (1300^\circ\text{C}), ce qui serait critique sur le plan environnemental.
• Elle dépasse également de beaucoup la température maximale admissible par le revêtement céramique des aubes de la turbine (1600^\circ\text{C}), ce qui conduirait à leur destruction rapide.

Il est donc indispensable en pratique de faire fonctionner la chambre de combustion avec un fort excès d'air afin de diluer et refroidir les gaz.

1. Influence du débit d'air sur la température de sortie :

• En excès d'air (D_{m,\text{air}} > D_{m0}) : la quantité de dioxygène est suffisante pour assurer la combustion intégrale du méthane. L'énergie thermique libérée reste donc constante et maximale, mais elle doit chauffer une quantité supplémentaire de gaz inertes ou non réagis (\mathrm{O}_2 résiduel et flux accru de \mathrm{N}_2). L'augmentation de la capacité thermique de flux des gaz entraîne une dilution thermique et par conséquent une diminution de la température finale T_s.
• En défaut d'air (D_{m,\text{air}} < D_{m0}) : le dioxygène est le réactif limitant. Une fraction du méthane ne brûle pas ou subit une combustion incomplète, ce qui diminue la puissance thermique libérée et abaisse également la température des gaz.

La température de sortie présente ainsi un maximum aux proportions stœchiométriques (D_{m0}) et diminue lorsqu'on s'en écarte.

2. Justification du choix D_{m,\text{air}} > D_{m0} en pratique :

• Rendement énergétique et combustion complète : travailler en excès d'air garantit la consommation totale du méthane injecté, valorisant ainsi l'intégralité du pouvoir calorifique du combustible, contrairement au fonctionnement en défaut d'air où du combustible imbrûlé serait gaspillé.
• Aspect sanitaire et environnemental : un défaut d'air provoquerait une combustion incomplète générant des suies et surtout du monoxyde de carbone \mathrm{CO}, gaz toxique et polluant atmosphérique réglementé. L'excès d'air élimine ces sous-produits toxiques tout en abaissant la température sous le seuil critique de 1300\,^\circ\mathrm{C} pour bloquer la formation thermique des \mathrm{NO}_x.
• Rôle dans le cycle combiné : les gaz d'échappement de la turbine à gaz doivent servir de comburant pour brûler les fumées sidérurgiques dans la chaudière en aval (voir figure 1) ; ils doivent donc impérativement contenir du dioxygène résiduel non consommé.

L'air atmosphérique est constitué d'une fraction molaire x_{\mathrm{O}_2} = 1/5 de dioxygène et x_{\mathrm{N}_2} = 4/5 de diazote. Sa masse molaire moyenne s'écrit :

Le débit molaire total d'air admis dans la chambre de combustion est :

Les débits molaires d'entrée pour le dioxygène et le diazote sont donc :

Par définition du débit massique stœchiométrique D_{m0} établi à la question Q2, l'apport stœchiométrique en dioxygène pour consommer la totalité du méthane entrant vérifie :

Dans le cas d'un fonctionnement en excès d'air (D_{m,\text{air}} > D_{m0}), la réaction de combustion est totale et le méthane est le réactif limitant. Le bilan molaire pour chaque espèce en régime stationnaire conduit à :

• Méthane : entièrement consommé,

  F_{\mathrm{CH}_4} = 0

• Dioxygène : l'excès par rapport à la stœchiométrie sort sans avoir réagi,

  F_{\mathrm{O}_2} = F_{\text{in},\mathrm{O}_2} - F_{\text{in},\mathrm{O}_2}^{\text{st}} = \frac{D_{m,\text{air}} - D_{m0}}{5\,M_{\text{air}}}

• Dioxyde de carbone : produit selon la stœchiométrie unitaire \mathrm{CH}_4 \to \mathrm{CO}_2,

  F_{\mathrm{CO}_2} = F_{\text{in},\mathrm{CH}_4} = \frac{D_{m0}}{10\,M_{\text{air}}} = \frac{D_{m,\text{gn}}}{M(\mathrm{CH}_4)}

• Eau : produite selon la stœchiométrie \mathrm{CH}_4 \to 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O},

  F_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} = 2\,F_{\text{in},\mathrm{CH}_4} = \frac{D_{m0}}{5\,M_{\text{air}}} = \frac{2\,D_{m,\text{gn}}}{M(\mathrm{CH}_4)}

• Diazote : espèce spectatrice traversant le réacteur sans réagir,

  F_{\mathrm{N}_2} = F_{\text{in},\mathrm{N}_2} = \frac{4}{5} \frac{D_{m,\text{air}}}{M_{\text{air}}}

On regroupe les débits molaires de sortie dans le tableau suivant :

où M_{\text{air}} = \frac{1}{5}M(\mathrm{O}_2) + \frac{4}{5}M(\mathrm{N}_2) = 28{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

D'après l'énoncé, la formation des oxydes d'azote \mathrm{NO}_x débute dès que la température dépasse 1300\text{ }^\circ\mathrm{C}. La turbine fonctionne donc à sa température maximale sans produire de \mathrm{NO}_x lorsque la température de sortie vaut :

En régime stationnaire et pour un réacteur adiabatique à pression constante (12 bar), le premier principe pour un système ouvert s'écrit \Delta H = 0. Le bilan d'enthalpie sur le chemin fictif (réaction complète à T_0 puis échauffement des espèces sortantes de T_0 à T_{\max}) donne :

D'après les résultats de la question Q5, le flux de capacité thermique des gaz de sortie s'écrit :

En regroupant les termes en D_{m1} - D_{m0} correspondant à l'air en excès et en rappelant que le débit molaire de méthane injecté est F_{\mathrm{CH}_4,\mathrm{in}} = \frac{D_{m,\mathrm{gn}}}{M(\mathrm{CH}_4)} = \frac{D_{m0}}{10 M_{\mathrm{air}}}, il vient :

avec :

Le bilan enthalpique s'écrit donc :

On en déduit l'expression littérale du débit massique d'air D_{m1} :

Application numérique :

• T_{\max} - T_0 = 1573 - 298 = 1275\text{ K}
• C_{p,\mathrm{prod}} = 37{,}1 + 2 \times 33{,}6 + 8 \times 29{,}1 = 337{,}1\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}
• C_{pm,\mathrm{air}} = 0{,}2 \times 29{,}4 + 0{,}8 \times 29{,}1 = 29{,}16\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}
• \dfrac{D_{m,\mathrm{gn}} q_{\mathrm{gn}}}{T_{\max} - T_0} = \dfrac{9{,}66 \times 50{,}1 \times 10^6}{1275} \approx 3{,}80 \times 10^5\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}
• \dfrac{D_{m,\mathrm{gn}}}{M(\mathrm{CH}_4)} C_{p,\mathrm{prod}} = \dfrac{9{,}66}{16{,}0 \times 10^{-3}} \times 337{,}1 \approx 2{,}04 \times 10^5\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}
• D_{m1} - D_{m0} = \dfrac{28{,}8 \times 10^{-3}}{29{,}16} \times (3{,}80 \times 10^5 - 2{,}04 \times 10^5) = 174\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

Comme D_{m0} = 174\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (question Q2), on obtient :

Le réacteur fonctionne en régime stationnaire, à pression constante (p = 12\text{ bar}) et est parfaitement calorifugé, sans échange de travail utile avec l'extérieur. Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert s'écrit :

En prenant comme état intermédiaire de référence les réactifs totalement consommés à la température d'entrée T_0 = 298\text{ K}, la puissance thermique libérée par la combustion complète du méthane à T_0 est intégralement reçue sous forme d'enthalpie par le mélange gazeux sortant pour porter sa température de T_0 à T_s :

D'après le tableau des débits molaires établi à la question Q5, les espèces présentes en sortie pour D_{m,\text{air}} > D_{m0} sont \mathrm{CO}_2, \mathrm{H}_2\mathrm{O}, \mathrm{O}_2 et \mathrm{N}_2, avec :

En séparant dans le débit de diazote la part stœchiométrique \dfrac{4\,D_{m0}}{5 M_{\text{air}}} = \dfrac{8\,D_{m,\text{gn}}}{M(\mathrm{CH}_4)} et la part associée à l'air en excès \dfrac{4(D_{m,\text{air}} - D_{m0})}{5 M_{\text{air}}}, le flux enthalpique d'échauffement se décompose en deux contributions :

En égalant cette somme à D_{m,\text{gn}} \, q_{\text{gn}}, on isole directement le débit massique d'air :

On peut également regrouper directement tous les termes dépendant de D_{m,\text{air}} au dénominateur :

1. Unités des coefficients de la formule de Shomate

D'après les données et l'ordonnée de la figure 2, la capacité thermique molaire à pression constante C_{pm}(T) s'exprime en \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, tandis que la température T est en kelvins (\mathrm{K}).

Chaque terme de la somme dans l'expression :

doit avoir la dimension d'une capacité thermique molaire. On en déduit directement les unités associées dans le Système International :

• pour A : \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1} ;
• pour B : \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-2}\cdot\mathrm{mol}^{-1} ;
• pour C : \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-3}\cdot\mathrm{mol}^{-1} ;
• pour D : \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-4}\cdot\mathrm{mol}^{-1} ;
• pour E : \mathrm{J}\cdot\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.

2. Implémentation de la fonction d'intégration numérique en Python

On discrétise l'intervalle [T_1, T_2] à l'aide de N = 1000 rectangles de largeur :

En choisissant la méthode des rectangles à gauche (ou des rectangles au point milieu), la valeur approchée de l'intégrale s'écrit :

Le code complétant l'« Extrait 3 » est le suivant :

def int_Cpm(gaz, T1, T2):
    N = 1000
    dT = (T2 - T1) / N
    somme = 0.0
    for k in range(N):
        T = T1 + k * dT
        somme += Cpm(T, gaz)
    return somme * dT

1. Description du graphe et sens physique des grandeurs remarquables

Le graphe présente l'évolution de la température de sortie T_s en fonction du débit massique d'air D_{m,\text{air}} injecté :

• Pour D_{m,\text{air}} < D_{m0} (mélange riche, défaut d'air) : le dioxygène est le réactif limitant. Une augmentation du débit d'air permet de brûler une plus grande fraction du débit constant de méthane D_{m,\text{gn}}, ce qui libère davantage d'énergie thermique et fait croître rapidement la température de sortie T_s.

• Maximum pour D_{m,\text{air}} = D_{m0} \approx 174\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (stœchiométrie) : tout le méthane est consommé et il n'y a aucun gaz comburant excédentaire pour diluer l'énergie libérée. La température atteint sa valeur maximale absolue :

  T_{s,\text{max}} \approx 2260\text{ K} \quad (\approx 1990^\circ\text{C})

  Cette température est inférieure aux 2680\text{ K} estimés en question Q3 à capacités thermiques constantes, car les capacités thermiques réelles augmentent avec la température.

• Pour D_{m,\text{air}} > D_{m0} (mélange pauvre, excès d'air) : la totalité du méthane est brûlée, la puissance thermique libérée \mathcal{P}_{\text{th}0} reste constante. L'air introduit en excès ne réagit pas : il agit comme un ballast thermique (fluide caloporteur passif) qui absorbe une partie de l'enthalpie de réaction, ce qui entraîne une diminution continue de T_s.

2. Détermination du débit massique d'air réel

Pour éviter la formation de \mathrm{NO}_x, la température ne doit pas dépasser :

Comme justifié en question Q4, le fonctionnement industriel se fait nécessairement en régime d'excès d'air (D_{m,\text{air}} > D_{m0}) afin de garantir l'absence d'imbrûlés toxiques et d'optimiser le rendement de combustion.

Sur la branche décroissante de la figure 3, à l'ordonnée T_s = 1573\text{ K} (légèrement en dessous de la ligne des 1600\text{ K}), on lit :

3. Comparaison avec D_{m1} et prévisibilité

En question Q6, l'approximation de capacités thermiques constantes prises à 298\text{ K} conduisait à :

On constate donc que :

Ce résultat était parfaitement prévisible : d'après la figure 2, les capacités thermiques molaires C_{pm}(T) de toutes les espèces gazeuses (\mathrm{N}_2, \mathrm{O}_2, \mathrm{CO}_2, \mathrm{H}_2\mathrm{O}) augmentent nettement avec la température. Les gaz brûlés absorbent donc davantage d'énergie par kelvin à haute température qu'à température ambiante. Ainsi, une masse d'air inférieure suffit à absorber l'énergie libérée et à limiter l'élévation de température sous le seuil des 1300^\circ\mathrm{C}.

4. Débit massique de gaz en sortie de la turbine

En régime stationnaire, la conservation globale de la masse dans la chambre de combustion impose :

Avec D_{m,\text{gn}} = 9{,}66\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et D_{m,\text{air}} \approx 300\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} :

Par définition, le rendement thermodynamique (ou rendement de conversion électrique) de la centrale s'écrit :

D'après le descriptif de la figure 1 et le texte introductif :

• Pour une tranche de production, la puissance électrique totale produite est :

  \mathcal{P}_{\text{élec}} = \mathcal{P}_{\text{élec, TAG}} + \mathcal{P}_{\text{élec, TAV}} = 165\text{ MW} + 230\text{ MW} = 395\text{ MW}

  (Pour les deux tranches identiques de la centrale, la puissance électrique totale vaut bien \mathcal{P}_{\text{élec, tot}} = 2 \times 395\text{ MW} = 790\text{ MW}).

• La puissance thermique primaire injectée sous forme de gaz naturel pour une tranche est (question Q2) :

  \mathcal{P}_{\text{th}} = D_{m,\text{gn}}\,q_{\text{gn}} = 484\text{ MW}

On en déduit l'estimation du rendement global de la centrale :

Remarque : Si l'on s'intéresse au rendement de la seule turbine à gaz (étudiée spécifiquement dans cette partie A), on obtient :

Pour chaque état du fluide, on utilise le couple de coordonnées (p, T) donné par la figure 4 pour positionner le point sur le diagramme de Mollier (h en ordonnée, s en abscisse) :

• Point A (entrée THP) : p_A = 144\text{ bar} (légèrement en dessous de l'isobare 150\text{ bar}) et T_A = 565^\circ\text{C} (entre les isothermes 550^\circ\text{C} et 600^\circ\text{C}).

  s_A \approx 6{,}53\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \quad ; \quad h_A \approx 3500\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Point B (sortie THP) : p_B = 30\text{ bar} et T_B = 330^\circ\text{C}.

  s_B \approx 6{,}53\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \quad ; \quad h_B \approx 3070\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Point C (sortie du surchauffeur / entrée TMP) : p_C = 30\text{ bar} et T_C = 565^\circ\text{C}.

  s_C \approx 7{,}25\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \quad ; \quad h_C \approx 3600\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Point D (sortie TMP / entrée TBP) : p_D = 4{,}0\text{ bar} et T_D = 320^\circ\text{C}.

  s_D \approx 7{,}52\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \quad ; \quad h_D \approx 3110\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Point E (sortie TBP) : p_E = 30\text{ mbar} = 0{,}030\text{ bar} et T_E = 26^\circ\text{C}. Le texte précisant que la vapeur est « juste saturante » en sortie de la TBP, le point se situe sur la courbe de saturation (x = 1{,}00) à l'intersection avec l'isobare p = 0{,}030\text{ bar} :

  s_E \approx 8{,}50\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \quad ; \quad h_E \approx 2550\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

L'évolution de la vapeur dans le circuit est représentée par les segments fléchés suivants :

• A \to B : détente dans la turbine haute pression (THP). Le segment est vertical descendant (s_B = s_A), ce qui correspond à une détente isentropique.
• B \to C : réchauffage dans le surchauffeur (SC). L'évolution suit l'isobare p = 30\text{ bar} vers les enthalpies croissantes.
• C \to D : détente dans la turbine moyenne pression (TMP). Le segment descend vers la droite (s_D > s_C), traduisant une détente avec création d'entropie due aux frottements.
• D \to E : détente dans la turbine basse pression (TBP) jusqu'à la courbe de saturation x=1 à p = 0{,}030\text{ bar} (s_E > s_D).

1. Caractère isentropique de la détente :

D'après le repérage effectué sur le diagramme de Mollier à la question Q11 :

• à l'entrée (point A : p_A = 144\text{ bar}, T_A = 565^\circ\text{C}), on lit s_A \approx 6{,}53\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• à la sortie (point B : p_B = 30\text{ bar}, T_B = 330^\circ\text{C}), on lit s_B \approx 6{,}53\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Le segment reliant A à B est une droite verticale sur le diagramme (h, s), ce qui montre que :

La détente à travers la turbine haute pression est donc isentropique.

2. Température de sortie sous hypothèse de gaz parfait :

Pour un gaz parfait de rapport de capacités thermiques \gamma = 1{,}30 subissant une évolution isentropique, la loi de Laplace s'écrit :

Avec T_A = 565 + 273{,}15 = 838{,}15\text{ K}, p_A = 144\text{ bar} et p_B = 30\text{ bar} :

En degrés Celsius :

3. Discussion de la validité du modèle du gaz parfait :

La température réelle de sortie est T_B = 330^\circ\text{C} = 603\text{ K}. L'écart relatif sur la température absolue est :

L'hypothèse du gaz parfait fournit une approximation tout à fait acceptable pour un premier dimensionnement (erreur de l'ordre de 3\%).

Cependant, sous une pression initiale de 144\text{ bar} (comparable à la pression critique de l'eau p_c \approx 221\text{ bar}), les interactions moléculaires et le volume propre des molécules ne sont plus strictement négligeables. De plus, pour un gaz parfait, la masse volumique à l'entrée serait \rho_{A,\text{GP}} = \frac{p_A M}{R T_A} = \frac{144\cdot 10^5 \times 18{,}0\cdot 10^{-3}}{8{,}31 \times 838{,}15} \approx 37\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, différente de la valeur réelle fournie \rho_A = 33\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}. Le recours au diagramme de Mollier (fluide réel) est donc indispensable pour obtenir un calcul thermodynamique précis.

En régime stationnaire, le débit massique traversant une section droite S normale à la vitesse débitante moyenne v s'écrit :

À l'entrée de la turbine haute pression (point A), le fluide s'écoule dans l'espace annulaire délimité par l'arbre de rayon R_0 et l'extrémité des aubes de hauteur a (document 1). La section de passage est :

On en déduit l'expression de la vitesse débitante à l'entrée :

Remarque : Comme a \ll R_0, on peut également approximer la section par S_A \approx 2\pi R_0 a, ce qui conduit à une expression approchée très proche.

Application numérique :

• D_m = 534 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{534 \times 10^3}{3600}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} \approx 148{,}3\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \rho_A = 33\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• R_0 = 296\text{ mm} = 0{,}296\text{ m} et a = 41\text{ mm} = 0{,}041\text{ m} ;
• S_A = \pi \times 0{,}041 \times (2 \times 0{,}296 + 0{,}041) = \pi \times 0{,}041 \times 0{,}633 \approx 8{,}15 \times 10^{-2}\text{ m}^2 (avec l'approximation de l'anneau mince, S_A \approx 7{,}63 \times 10^{-2}\text{ m}^2).

Si la turbine conservait une section constante (S_B = S_A), la conservation du débit massique D_m = \rho_A S_A v_A = \rho_B S_B v_B imposerait :

Avec \rho_A = 33\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \rho_B = 11\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, le rapport vaut \frac{\rho_A}{\rho_B} = 3. Ainsi :

Nécessité de conserver une vitesse débitante à peu près constante :

• L'adaptation de l'angle d'incidence de l'écoulement sur les profils d'aubes (triangle des vitesses) requiert un rapport fixé entre la vitesse axiale d'écoulement et la vitesse périphérique d'entraînement des aubes U = R_0\Omega. Une variation excessive de la vitesse débitante dégraderait l'angle d'attaque, induisant décollements, turbulences et chute du rendement aérodynamique.
• Une vitesse trop élevée en fin de turbine engendrerait d'importantes pertes par frottement visqueux ainsi qu'une perte d'énergie cinétique non récupérée en sortie.

Réalisation pratique : Comme \rho diminue le long de la détente (la vapeur se détend), pour maintenir le produit \rho \, S \, v constant avec v \approx \text{cste}, il faut augmenter progressivement la section de passage : S \propto \frac{1}{\rho}. En pratique, on augmente la longueur radiale (hauteur) des aubes d'un étage au suivant. Sur le document 1, la hauteur des aubes passe ainsi de a = 41\text{ mm} en entrée à a' = 113\text{ mm} en sortie de la THP, soit un facteur \frac{113}{41} \approx 2{,}76, très proche du rapport de détente \frac{\rho_A}{\rho_B} = 3.

On applique le premier principe de la thermodynamique en écoulement stationnaire à la masse unité de vapeur d'eau traversant la turbine haute pression entre l'entrée A et la sortie B :

où w_u est le travail massique utile reçu par le fluide et q le transfert thermique massique reçu.

• La turbine est supposée parfaitement calorifugée, d'où q = 0.
• L'écoulement a lieu à altitude sensiblement constante, donc \Delta e_p \approx 0.
• La variation d'énergie cinétique massique reste de l'ordre de grandeur de \frac{1}{2}v_A^2 \sim \frac{1}{2} \times 55^2 \approx 1{,}5\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (cf. question Q13), ce qui est tout à fait négligeable devant la chute d'enthalpie massique |h_B - h_A| \approx 430\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

Le travail massique utile reçu par la vapeur se réduit donc à :

La puissance mécanique transmise par le fluide à l'axe de rotation de la turbine est l'opposée de la puissance utile reçue par le fluide, soit :

Application numérique :

• Débit massique de vapeur : D_m = \dfrac{534 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1}}{3600\text{ s}\cdot\text{h}^{-1}} \approx 148{,}3\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}
• D'après la question Q11 : h_A \approx 3500\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_B \approx 3070\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, soit h_A - h_B \approx 430\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

L'énoncé stipule que le fluide doit rester exclusivement sous forme de vapeur sèche tout au long de la détente :

Partant de l'état d'entrée A caractérisé par :

une détente isentropique dans une unique turbine correspond à une évolution verticale à entropie massique constante s = s_A = 6{,}53\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

La détente maximale sans apparition de gouttelettes liquides s'interrompt précisément lorsque la vapeur atteint la courbe de rosée (x = 1{,}00, frontière du domaine diphasique). À l'intersection de la verticale s = 6{,}53\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et de la courbe de saturation x = 1{,}00 sur le diagramme de Mollier, on lit pour cet état limite noté A' :

D'après le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire sans échange thermique (\dot{Q} = 0) et en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, la puissance mécanique maximale utile transmise par le fluide à l'arbre s'écrit :

Le débit massique de vapeur est :

Application numérique :

Le débit massique de vapeur dans le circuit vaut :

1. Puissance thermique fournie par le surchauffeur

Dans le surchauffeur (entre B et C), le fluide ne fournit aucun travail utile (w_u = 0) et les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligeables. Le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire s'écrit :

D'où la puissance thermique reçue par le fluide dans le surchauffeur :

Avec les enthalpies massiques relevées sur le diagramme de Mollier (question Q11) :

• h_B \approx 3070\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_C \approx 3600\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

2. Puissance mécanique totale transmise à l'arbre

Les trois turbines (THP, TMP, TBP) sont montées sur le même arbre et sont parfaitement calorifugées (q = 0). En négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques entre les entrées et sorties des étages :

• Dans la turbine haute pression (THP) : w_{u,\text{THP}} = h_B - h_A
• Dans la turbine moyenne pression (TMP) : w_{u,\text{TMP}} = h_D - h_C
• Dans la turbine basse pression (TBP) : w_{u,\text{TBP}} = h_E - h_D

La puissance mécanique cédée par la vapeur à l'axe de rotation s'écrit donc :

Avec les valeurs obtenues à la question Q11 :

• h_A \approx 3500\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_B \approx 3070\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \implies h_A - h_B \approx 430\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_C \approx 3600\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_D \approx 3110\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \implies h_C - h_D \approx 490\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_E \approx 2550\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \implies h_D - h_E \approx 560\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

La chute enthalpique totale vaut :

L'application numérique donne :

3. Commentaire

• La puissance mécanique obtenue (220\text{ MW}) est plus du double de la puissance maximale théorique issue d'une détente sans surchauffeur (105\text{ MW}, calculée en Q15). La resurchauffe permet d'extraire bien plus de travail tout en garantissant une sortie à l'état de vapeur saturante sèche sans liquide corrosif.
• Cette puissance mécanique alimente un alternateur dont la puissance électrique en sortie est annoncée à 230\text{ MW} sur la figure 1 (et de valeur nominale 240\text{ MW} dans les données de la partie C). Les valeurs sont en excellent accord, compte tenu de la précision de lecture sur le diagramme de Mollier et d'un rendement de génératrice proche de l'unité (> 95\,\%).

D'après les résultats de la question Q11, l'état de la vapeur à l'entrée de la turbine moyenne pression (point C) est caractérisé par :

Si la détente à travers la TMP était adiabatique et réversible, elle s'effectuerait à entropie massique constante :

Sur le diagramme de Mollier (figure 1 du document réponse), en suivant la droite verticale s = 7{,}25\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} jusqu'à la courbe isobare p_D = 4{,}0\text{ bar}, on lit pour l'état théorique D_{\text{is}} :

En appliquant le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire (les variations d'énergie cinétique et potentielle étant négligeables), la puissance mécanique idéale transmise à l'arbre vaut :

Le débit massique de vapeur étant D_m = \frac{534 \times 10^3}{3600} \approx 148{,}3\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} :

En fonctionnement réel, l'état en sortie est le point D (p_D = 4{,}0\text{ bar}, T_D = 320^\circ\text{C}), pour lequel on avait déterminé h_D \approx 3110\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. La puissance mécanique réellement reçue par l'arbre s'élève à :

La puissance des pertes introduites par les frottements sur les aubes (pertes adiabatiques) correspond à la différence :

Numériquement :

On applique le premier principe de la thermodynamique en système ouvert et en régime stationnaire à l'ensemble du condenseur. L'échangeur étant parfaitement calorifugé avec l'extérieur et ne comportant aucune pièce mobile (\mathcal{P}_u = 0), le bilan d'enthalpie global s'écrit :

Ce bilan fait intervenir les deux écoulements indépendants :

• La vapeur du circuit : elle entre sous forme de vapeur saturante à T_E = 26\text{ }^\circ\text{C} et se liquéfie totalement de manière isobare à cette même température. La variation d'enthalpie massique correspond au changement d'état liquide-vapeur :

  \Delta h_{\text{circuit}} = -l_{\text{vap}}

  Le flux enthalpique associé est donc -D_m \, l_{\text{vap}}.

• L'eau de mer de refroidissement : son débit massique s'exprime à partir de sa masse volumique et de son débit volumique selon D_{m,\text{mer}} = \rho_{\text{eau}} \, Q. En modélisant l'eau de mer comme une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique massique c_{\text{eau}}, son échauffement de \theta_e à \theta_s correspond à une variation d'enthalpie massique \Delta h_{\text{mer}} = c_{\text{eau}} (\theta_s - \theta_e). Le flux enthalpique reçu vaut ainsi :

  \rho_{\text{eau}} \, Q \, c_{\text{eau}} (\theta_s - \theta_e)

Le bilan énergétique stationnaire s'écrit alors :

d'où l'expression de la température de sortie de l'eau de mer :

Application numérique : Les débits D_m et Q étant tous deux exprimés par heure, la conversion en secondes n'est pas nécessaire :

• D_m = 534 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1}
• Q = 33 \times 10^3\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}
• \rho_{\text{eau}} = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• c_{\text{eau}} = 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• l_{\text{vap}} = 2{,}30 \times 10^3\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• \theta_e = 15\text{ }^\circ\text{C}

Commentaire : La température de rejet de l'eau de mer en milieu naturel est de l'ordre de 24\text{ }^\circ\text{C}. Elle est strictement inférieure au seuil maximal réglementaire imposé de 30\text{ }^\circ\text{C} : le dimensionnement du débit d'eau de mer garantit ainsi la préservation des écosystèmes marins aux abords de la centrale.

Considérons une particule fluide traversant l'aubage fixe (stator) de largeur axiale b à une vitesse moyenne de l'ordre de v :

• Le temps de transit (ou temps de séjour) du fluide dans le stator s'écrit :

  \tau_{\text{transit}} \sim \frac{b}{v}

  Avec b = 32\text{ mm} (d'après le document 1) et une vitesse d'entrée v_A \approx 55\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (établie en Q13), on a :

  \tau_{\text{transit}} \sim \frac{3{,}2 \times 10^{-2}}{60} \sim 0{,}5\text{ ms}

• Le temps caractéristique de transfert thermique \tau_{\text{th}} (par diffusion au sein du fluide ou conduction à travers les parois calorifugées de la turbine) est régi par la diffusion thermique sur une échelle spatiale L :

  \tau_{\text{th}} \sim \frac{L^2}{D_{\text{th}}}

  Ce temps est de l'ordre de quelques secondes à plusieurs dizaines de secondes, compte tenu des propriétés thermiques des métaux et des fluides gazeux.

Le transfert d'énergie thermique n'a donc pas le temps de s'effectuer de manière significative pendant le passage de la vapeur si le temps de transit est très inférieur au temps caractéristique de transfert thermique :

L'évolution du fluide dans le stator est ainsi parfaitement modélisable par une transformation adiabatique (q = 0).

1. Expression et calcul de la variation de température \Delta T_1

Dans le stator, la détente de la vapeur (assimilée à un gaz parfait) est supposée isentropique. La loi de Laplace s'écrit :

Au premier ordre en \Delta p_1 / p_A \ll 1 :

On en déduit l'expression de la variation de température :

Application numérique : Avec T_A = 565 + 273{,}15 = 838{,}15\text{ K}, p_A = 144\text{ bar}, \Delta p_1 = -7{,}3\text{ bar} et \gamma = 1{,}30 :

2. Expression et calcul de la vitesse v_1 en sortie de stator

Appliquons le premier principe pour un système ouvert en écoulement stationnaire à la traversée du stator entre l'entrée A et la sortie 1 :

• L'écoulement est adiabatique d'après la question Q19 : q = 0.
• Le stator est constitué d'aubes fixes, il n'échange aucun travail mécanique utile avec le fluide : w_u = 0.
• La variation d'énergie potentielle de pesanteur est négligeable devant les variations d'enthalpie et d'énergie cinétique : \Delta(gz) \approx 0.

Le bilan d'énergie massique se réduit à :

Pour un gaz parfait, la seconde loi de Joule donne h_1 - h_A = c_p (T_1 - T_A) = c_p \Delta T_1. On obtient :

D'où l'expression de la vitesse v_1 :

Application numérique : D'après la question Q13, la vitesse d'entrée vaut v_A \approx 55{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Avec c_p = 2{,}00\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 2{,}00 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \Delta T_1 = -9{,}805\text{ K} :

1. Justification de l'angle d'inclinaison choisi

D'après le document 2, pour un nombre de Reynolds Re = 6\cdot 10^6 (courbe en pointillés gras correspondant à Re > 1\cdot 10^6), le coefficient de portance C_L croît de façon quasi linéaire avec l'incidence i jusqu'à atteindre sa valeur maximale :

Au-delà de cet angle, l'aube entre en régime de décrochage aérodynamique (décollement de la couche limite), entraînant une chute brutale de portance et une très forte augmentation de la traînée C_D. La valeur i = 15^\circ permet donc d'exploiter la force motrice maximale disponible sans risquer le décrochage.

2. Puissance mécanique transmise au rotor du premier étage

La vitesse d'entraînement des aubes à la surface de l'arbre est :

Le triangle des vitesses en entrée du rotor (figure 6a) impose une vitesse relative axiale \vec{w}_1 = w_1 \vec{e}_z. Par composition des vitesses :

Avec v_1 \approx 206\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après la question Q20 :

L'écoulement relatif abordant les aubes selon la direction axiale \vec{e}_z, la force de portance \vec{L}_1 est orthogonale à l'écoulement incident, donc dirigée selon la direction orthoradiale motrice \vec{e}_\theta :

La surface d'une aube vaut d'après le document 1(c) :

En assimilant la masse volumique du fluide à celle d'entrée de la THP \rho \approx \rho_A = 33\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (la détente dans le premier stator étant de l'ordre de 5%), la force tangentielle totale exercée sur les N = 80 aubes du rotor s'écrit :

La puissance mécanique transmise au rotor du premier étage est donc :

3. Estimation du nombre d'étages de détente n

La puissance mécanique totale transmise par l'ensemble de la turbine haute pression a été évaluée à \mathcal{P}_{\text{méc, THP}} \approx 64\text{ MW} à la question Q14. En supposant que les différents étages de détente fournissent des puissances comparables :

Ce résultat est bien de l'ordre de grandeur de la « dizaine d'étages » annoncée dans le texte.

4. Force axiale exercée sur le rotor

La force de traînée est colinéaire à la vitesse incidente relative \vec{w}_1, donc dirigée selon l'axe du rotor \vec{e}_z. À i = 15^\circ, le document 2 donne C_D \approx 0{,}06. La force axiale totale subie par le rotor du premier étage est :

Considérons le système fermé constitué par le fluide présent dans l'ensemble des canaux inter-aubes du rotor au temps t, complété par la masse de fluide \mathrm{d}m = D_m\,\mathrm{d}t qui entre dans le rotor entre t et t+\mathrm{d}t.

À l'instant t+\mathrm{d}t, ce système fermé est constitué du fluide présent dans les canaux à t+\mathrm{d}t et de la même masse \mathrm{d}m sortie du rotor.

En régime permanent, le moment cinétique du fluide présent dans le volume intérieur des canaux est indépendant du temps : \vec{L}_{\text{int}}(t+\mathrm{d}t) = \vec{L}_{\text{int}}(t). La variation du moment cinétique du système fermé par rapport à l'axe de rotation (Oz) orienté par \vec{e}_z entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit donc :

Puisque les aubes sont courtes devant le rayon R_0, on assimile le rayon de la veine fluide à R_0.

• À l'entrée du rotor : le triangle des vitesses donne \vec{v}_1 = \vec{w}_1 + \vec{U} avec \vec{w}_1 = w_1\,\vec{e}_z (vitesse relative axiale) et \vec{U} = R_0\,\Omega\,\vec{e}_\theta = U\,\vec{e}_\theta. La vitesse absolue est donc :

  \vec{v}_1 = w_1\,\vec{e}_z + U\,\vec{e}_\theta

  Le moment cinétique de la masse entrante \mathrm{d}m par rapport à l'axe (Oz) vaut :

  L_{z,\text{entrée}} = \left[ (R_0\,\vec{e}_r) \wedge (\mathrm{d}m\,\vec{v}_1) \right] \cdot \vec{e}_z = \mathrm{d}m\,R_0\,U

• À la sortie du rotor : la forme des aubes impose une vitesse absolue axiale \vec{v}_2 = v_2\,\vec{e}_z. Sa composante orthoradiale est donc nulle (v_{2\theta} = 0), d'où :

  L_{z,\text{sortie}} = 0

Il en résulte :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué au système fermé dans le référentiel du stator (galiléen), la dérivée temporelle de L_z est égale au moment par rapport à (Oz) des forces extérieures appliquées au fluide. Les forces de pression sur les sections droites d'entrée et de sortie sont purement axiales, leur moment par rapport à (Oz) est donc nul. Les seules forces ayant un moment non nul selon (Oz) sont les actions de contact exercées par les parois des aubes du rotor sur le fluide :

Par le principe des actions réciproques, le couple mécanique exercé par l'ensemble du fluide sur le rotor du premier étage est :

Ce couple est moteur (\Gamma > 0). La puissance mécanique transmise au rotor en rotation à la vitesse angulaire \Omega s'en déduit :

Sachant que U = R_0\,\Omega, on obtient directement :

Application numérique :

• D_m = \frac{534 \times 10^3}{3600} \approx 148{,}3\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• R_0 = 0{,}296\text{ m} ;
• \Omega = 3000 \times \frac{2\pi}{60} = 100\pi \approx 314{,}2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• U = R_0\,\Omega = 0{,}296 \times 100\pi \approx 93{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après l'énoncé, chaque étage de la turbine est modélisé par une turbine à action parfaite calorifugée, pour laquelle le travail utile massique reçu par le fluide vaut :

Le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire appliqué à un étage s'écrit :

L'étage étant calorifugé (q = 0) et les étages étant identiques, la vitesse débitante est maintenue constante d'un étage au suivant, soit \Delta e_{c,\text{étage}} \approx 0. La variation d'enthalpie massique par étage est donc :

La chute d'enthalpie massique totale à travers la turbine haute pression étant répartie équitablement sur les n étages, on a :

ce qui conduit à l'expression de n :

D'après les questions Q11 et Q14, on a h_A - h_B \approx 430\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
D'après la question Q21, la vitesse périphérique de rotation vaut :

On en déduit l'enthalpie cédée par étage :

Le nombre d'étages s'élève donc à :

Comme le nombre d'étages doit être un nombre entier :

Dans une turbine à action parfaite, le travail massique utile reçu par le fluide à travers chaque étage est w_{u,\text{étage}} = -2U^2. Par le principe des actions réciproques, le travail massique cédé par le fluide à l'arbre est :

La puissance mécanique transmise à l'arbre par un étage s'écrit donc :

Numériquement, avec D_m = \frac{534 \times 10^3}{3600} \approx 148{,}3\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et U = R_0 \Omega \approx 93{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Pour les n = 25 étages identiques de la turbine haute pression (résultat de Q23), la puissance mécanique totale transmise à l'arbre vaut :

Commentaires :

• Cohérence avec le bilan enthalpique : On retrouve exactement la puissance mécanique de la turbine haute pression évaluée à la question Q14 par application du premier principe industriel (\mathcal{P}_{\text{méc, THP}} = D_m (h_A - h_B) \approx 64\text{ MW}). Le modèle cinétique/dynamique d'aubage à action est donc en parfait accord avec le bilan thermodynamique global.
• Part dans le cycle de détente : Cette turbine HP fournit environ 29\% de la puissance mécanique totale du train de turbines (\mathcal{P}_{\text{méc, tot, circuit}} \approx 220\text{ MW}, calculée en Q16), le reste étant apporté par la turbine moyenne pression (TMP) et la turbine basse pression (TBP) pour entraîner le générateur de 230\text{ MW}.

1. Nature des courants dans les enroulements :

• Rotor (inducteur) : il est alimenté par une source de tension continue et est donc parcouru par un courant continu d'intensité notée I_e (courant d'excitation).
• Stator (induit) : le rotor en rotation entraîne la rotation du champ inducteur, induisant dans les bobinages fixes du stator des forces électromotrices alternatives. En charge, le stator est donc parcouru par des courants alternatifs sinusoïdaux de fréquence f = 50\text{ Hz}.

2. Organisation spatiale des circuits :

• Circuit rotorique : le bobinage d'excitation est logé dans des encoches réparties à la périphérie du rotor cylindrique à pôles lisses. Il est enroulé de manière à créer, lorsqu'il est parcouru par le courant continu I_e, une répartition spatiale de champ magnétique à 2 pôles (p = 1 paire de pôles, soit un pôle Nord et un pôle Sud) symétrique par rapport à un axe diamétral.

• Circuit statorique : les conducteurs sont répartis dans des encoches régulièrement espacées sur la surface interne du cylindre statorique ferromagnétique fixe :

  • pour le modèle diphasé équivalent étudié ici (m = 2 phases, p = 1 paire de pôles), le stator comporte deux enroulements identiques spatialement décalés d'un angle géométrique de :

    \theta_0 = \frac{\pi}{2p} = \frac{\pi}{2} = 90^\circ ;

  • pour la machine triphasée réelle (m = 3 phases, p = 1), le stator comprend trois enroulements identiques décalés géométriquement de :

    \theta_0 = \frac{2\pi}{3p} = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ.

Pour une phase du stator, la tension instantanée aux bornes de l'enroulement et le courant instantané qui en sort s'écrivent :

où U et I sont les valeurs efficaces, et \varphi = \mathrm{Arg}(\underline{U}) - \mathrm{Arg}(\underline{I}) est le retard de phase du courant sur la tension.

La puissance active moyenne délivrée par une phase est :

L'alternateur étudié est modélisé par un système diphasé équivalent comportant m = 2 phases indépendantes et équilibrées. La puissance moyenne totale délivrée par l'ensemble des circuits statoriques est donc la somme des puissances fournies par chaque phase :

Au point de fonctionnement nominal, cette relation s'écrit pour les grandeurs nominales P_n, I_n et \cos\varphi_n :

Application numérique : Avec les données du tableau pour l'alternateur diphasé :

• P_n = 240\text{ MW} = 240 \times 10^6\text{ W} ;
• I_n = 11{,}1\text{ kA} = 11{,}1 \times 10^3\text{ A} ;
• \cos\varphi_n = 0{,}85.

1. Propriétés d'un matériau ferromagnétique idéal et champ dans l'entrefer

Un matériau ferromagnétique idéal se caractérise par :

• une perméabilité magnétique relative infinie (\mu_r \to \infty), ce qui implique que pour une induction \vec{B} finie, l'excitation magnétique est nulle dans le matériau : \vec{H}_{\text{fer}} = \vec{0} ;
• un cycle d'hystérésis d'aire nulle (absence de champ rémanent et de champ coercitif, pas de pertes par hystérésis) ;
• l'absence de courants de Foucault (matériau parfaitement feuilleté ou de conductivité électrique nulle).

À l'interface entre le matériau ferromagnétique et l'air de l'entrefer (assimilé au vide de perméabilité \mu_0), en l'absence de courants surfaciques libres, la composante tangentielle de l'excitation magnétique est continue :

Par conséquent, dans l'entrefer, la composante tangentielle de l'induction magnétique est nulle : B_t = \mu_0 H_{\text{entrefer}, t} = 0. Comme l'entrefer est d'épaisseur très faible devant le rayon r, les lignes de champ sont partout orthogonales aux surfaces cylindriques en regard. Le champ magnétique en tout point M de l'entrefer est donc purement radial :

2. Relation entre \omega et \Omega

Le rotor tourne à la vitesse angulaire mécanique \Omega. Le champ magnétique créé par l'enroulement d'excitation tourne à la même vitesse \Omega dans le référentiel du stator.

Pour une machine comportant p paires de pôles, une rotation mécanique complète du rotor (2\pi\text{ rad}) correspond à p alternances électriques complètes de la force électromotrice induite dans chaque enroulement statorique. Le synchronisme entre le champ tournant et les courants alternatifs de pulsation \omega impose donc la condition :

D'après le tableau de données, la machine possède 2 pôles, soit p = 1 paire de pôles. La relation de synchronisme devient simplement :

3. Application numérique pour la vitesse nominale \Omega_n

La pulsation des courants est liée à la fréquence nominale f = 50\text{ Hz} par \omega = 2\pi f :

En exprimant cette vitesse en tours par minute :

D'après le schéma de la figure 8, la phase de l'alternateur est représentée en convention générateur :

• la force électromotrice à vide est modélisée par la source idéale de f.é.m. complexe \underline{E} ;

• l'enroulement statorique présente une impédance interne constituée de sa résistance R en série avec son inductance synchrone L, soit une impédance complexe totale :

  \underline{Z} = R + \mathrm{j}L\omega = R + \mathrm{j}X
• le courant de phase \underline{I} sort par la borne positive de la phase vers la charge extérieure (convention générateur) ;
• la tension disponible aux bornes de la phase est notée \underline{U}.

La loi des mailles (ou relation tension-courant d'un dipôle actif en convention générateur) s'écrit alors :

ou, de manière équivalente :

1. Essai à vide et détermination de k :

En fonctionnement à vide, aucun courant ne circule dans le stator (I = 0). D'après l'équation électrique établie à la question Q28 :

En valeurs efficaces, la tension à vide aux bornes d'une phase est donc directement égale à la force électromotrice : E = U_v.

Sur la caractéristique à vide (figure 9, à gauche), la courbe représentant la tension réduite U/U_n en fonction du courant d'excitation réduit I_e/I_{en} est une droite passant par l'origine, de pente égale à 1 (on lit U/U_n = 1{,}0 pour I_e/I_{en} = 1{,}0) :

On a donc bien une relation de proportionnalité E = k I_e avec :

D'après la question Q26, U_n = \dfrac{P_n}{2 I_n \cos\varphi_n} = \dfrac{240 \times 10^6}{2 \times 11{,}1 \times 10^3 \times 0{,}85} \approx 12{,}72\text{ kV}, et la valeur nominale à vide donnée est I_{en} = 498\text{ A} :

2. Essai en court-circuit et calcul de la réactance X :

Lors de l'essai en court-circuit, la tension aux bornes de chaque phase est nulle (\underline{U} = 0). L'équation électrique devient :

En prenant le module des grandeurs efficaces, on obtient :

Sur la caractéristique en court-circuit (figure 9, à droite), la courbe représentant le courant de court-circuit réduit I_{cc}/I_n en fonction de I_e/I_{en} est une droite passant par l'origine. On lit avec précision pour I_e / I_{en} = 2{,}0 la valeur I_{cc} / I_n = 1{,}0, soit une pente de 0{,}50 :

L'impédance synchrone Z_s s'exprime donc sous la forme :

Numériquement :

Si l'on néglige la résistance R devant X (hypothèse introduite dès la partie suivante) :

Si l'on tient compte de la valeur R = 0{,}9\ \Omega indiquée dans les données :

3. Commentaire :

• La réactance synchrone X est nettement supérieure à la résistance d'induit R (X \gg R), ce qui justifie de négliger R devant X dans l'étude des régimes de fonctionnement couplés au réseau (comme spécifié au début de la sous-partie II).
• Cette réactance X = L\omega ne correspond pas seulement à l'inductance propre de fuite des bobinages statoriques, mais modélise principalement la réaction magnétique d'induit (champ magnétique créé dans l'entrefer par les courants statoriques).

D'après la question Q28, l'équation électrique d'une phase de l'alternateur s'écrit :

En prenant la tension \underline{U} comme origine des phases (\underline{U} = U) et en tenant compte du retard de phase du courant (\underline{I} = I\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi} avec \varphi > 0) :

En développant l'expression complexe :

Le module de la force électromotrice s'exprime donc par :

Au fonctionnement nominal :

• U = U_n = 12{,}7\text{ kV} (d'après Q26),
• I = I_n = 11{,}1\text{ kA},
• \cos\varphi = 0{,}85 \implies \sin\varphi = \sqrt{1 - 0{,}85^2} \approx 0{,}527,
• R = 0{,}9\ \Omega et X \approx 2{,}1\ \Omega (ou X = 2{,}3\ \Omega selon l'arrondi de Q29).

Calcul des composantes avec X = 2{,}1\ \Omega :

On obtient :

(En prenant X = 2{,}3\ \Omega, on trouve de même E \approx 38{,}3\text{ kV} ; et en négligeant R, E \approx 34{,}0\text{ kV}.)

D'après la loi linéaire établie en Q29 (E = k\,I_e avec k = 25{,}6\ \Omega) :

Interprétation de la chute de tension en charge : En charge inductive (\varphi > 0), la circulation du courant statorique induit une chute de tension interne due à la résistance R et surtout à la réactance synchrone X (qui modélise la réaction magnétique d'induit démagnétisante). Pour maintenir la tension aux bornes de la machine à sa valeur nominale U_n = 12{,}7\text{ kV}, il est impératif de sur-exciter l'alternateur afin d'augmenter la f.é.m. (E \approx 37\text{ kV} \gg U_n), ce qui nécessite un courant d'excitation bien supérieur à sa valeur à vide (I_e \approx 2{,}9\,I_{en}).

1. Puissance P délivrée par l'alternateur :

L'alternateur est couplé au réseau électrique, qui impose une pulsation \omega = 2\pi f constante, et par conséquent une vitesse de rotation du rotor \Omega = \omega / p rigoureusement constante (synchronisme).

Par ailleurs, les turbines exercent sur l'arbre un couple mécanique \Gamma_{\text{turb}} supposé constant. La puissance mécanique fournie au rotor est donc :

Comme toutes les pertes énergétiques sont négligées (pertes Joule statoriques car R \ll X, pertes mécaniques et magnétiques), le bilan de puissance en régime stationnaire impose que la puissance active électrique totale P délivrée au réseau soit égale à la puissance mécanique reçue :

2. Proportionnalité entre O'A et P :

D'après le modèle diphasé équivalent (question Q26), la puissance active totale délivrée par les deux phases s'écrit :

où U_n est la tension efficace imposée par le réseau, I l'intensité efficace dans une phase et \varphi le déphasage tension/courant.

Sur le diagramme de Fresnel (figure 10), le point O' est situé à l'extrémité du vecteur tension \underline{U} (porté par l'axe réel). Le vecteur joignant O' à M représente la chute de tension inductive :

L'axe vertical passant par O' est parallèle à l'axe imaginaire. La projection du vecteur \vec{O'M} sur cet axe donne le point A. La longueur du segment O'A correspond à la composante imaginaire de \mathrm{j}X\underline{I} :

En remplaçant I\cos\varphi par son expression issue de la puissance active I\cos\varphi = \frac{P}{2 U_n}, on obtient :

La longueur O'A est donc bien proportionnelle à la puissance active P délivrée, avec pour constante de proportionnalité :

Remarque : si l'on raisonne sur la puissance d'une seule phase P_1 = U_n I \cos\varphi = P/2, la constante s'écrit K_1 = \frac{X}{U_n}.

3. Lieu des points M :

La puissance P étant imposée par la turbine et constante, l'ordonnée de M par rapport à l'axe réel vaut :

Le lieu des points M est donc la droite horizontale parallèle à l'axe réel, située à la distance constante O'A au-dessus de l'axe réel (droite de puissance active constante).

4. Action pratique sur les paramètres :

Pour déplacer le point M sur cette droite horizontale, on fait varier la norme de la force électromotrice E = \|\vec{OM}\|. Puisque E = k I_e (question Q29), il suffit d'agir sur le courant d'excitation rotorique I_e :

• en augmentant I_e (surexcitation), E augmente et le point M se déplace vers la droite (fourniture de puissance réactive au réseau) ;
• en diminuant I_e (sousexcitation), E diminue et le point M se déplace vers la gauche (absorption de puissance réactive).

La puissance active délivrée au réseau par l'alternateur diphasé s'écrit (d'après la question Q26) :

La tension U_n étant imposée par le réseau, pour une puissance P et une valeur efficace du courant de phase I identiques, on a nécessairement :

Dans le quadrant de fonctionnement en alternateur (P > 0, soit -\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}), cette équation admet deux solutions. Le point M correspondant au cas \varphi > 0 (courant en retard sur la tension, régime inductif), le second point de fonctionnement M' correspond à :

Le courant \underline{I}' est alors en avance de phase sur la tension \underline{U} (régime capacitif).

Expression de E' Dans le plan complexe avec \underline{U} = U_n comme origine des phases, le courant pour le point M' s'écrit :

En négligeant la résistance R, la force électromotrice devient :

Le module de \underline{E}' s'en déduit directement :

Application numérique au point nominal Au régime nominal, avec U_n \approx 12{,}7\text{ kV}, I = I_n = 11{,}1\text{ kA}, X = 2{,}3\ \Omega et \cos\varphi = 0{,}85 :

On calcule ainsi les composantes de \underline{E}' :

D'après la relation établie en Q29, E' = k I_e' avec k = 25{,}6\ \Omega :

En valeur réduite, cela correspond à \frac{I_e'}{I_{en}} = \frac{848}{498} \approx 1{,}70.

1. Positionnement des points M et M' sur le document réponse

Pour un fonctionnement à la puissance nominale P_n, l'alternateur évolue sur la courbe de Mordey étiquetée P = P_n. Comme le courant efficace de phase est égal à sa valeur nominale (I = I_n), son ordonnée réduite vaut :

La droite horizontale d'ordonnée I/I_n = 1{,}0 coupe la courbe en V relative à P = P_n en deux points :

• Le point M correspond au fonctionnement nominal étudié en question Q30, pour lequel la charge impose un retard du courant sur la tension (\varphi > 0). L'alternateur fournit de la puissance réactive au réseau : il fonctionne en régime sur-excité (courant d'excitation plus élevé). Le point M se situe donc sur la branche droite de la courbe en V.
• Le point M' correspond à un courant en avance (\varphi' < 0) : l'alternateur consomme de la puissance réactive et fonctionne en régime sous-excité. Le point M' se situe donc sur la branche gauche de la courbe en V.

Sur la figure 2 du document réponse, on place :

• le point M à l'intersection de la branche droite de la courbe P = P_n et de l'isovaleur I/I_n = 1{,}0 ;
• le point M' à l'intersection de la branche gauche de la courbe P = P_n et de l'isovaleur I/I_n = 1{,}0.

2. Détermination graphique de E et E'

D'après la question Q29, la force électromotrice à vide s'écrit E = k I_e avec k = U_n / I_{en}. On a donc directement :

avec U_n \approx 12{,}7\text{ kV}.

Par lecture graphique sur la figure 2 du document réponse :

• Pour le point M (branche de droite) :

  \left(\frac{I_e}{I_{en}}\right)_{\!M} \approx 2{,}50 \implies E = 12{,}7 \times 2{,}50 \approx 31{,}8\text{ kV} \approx 32\text{ kV}

• Pour le point M' (branche de gauche) :

  \left(\frac{I_e'}{I_{en}}\right)_{\!M'} \approx 2{,}22 \implies E' = 12{,}7 \times 2{,}22 \approx 28{,}2\text{ kV} \approx 28\text{ kV}

3. Relation entre les phases \varphi et \varphi'

La puissance active fournie par l'alternateur diphasé s'écrit :

Les points M et M' correspondant à la même puissance P = P_n, à la même tension U = U_n et au même courant I = I_n, leurs facteurs de puissance sont identiques :

Comme M et M' correspondent à deux régimes magnétiques distincts (l'un sur-excité avec \varphi > 0, l'autre sous-excité avec \varphi' < 0), on en déduit la relation :

En l'absence de puissance mécanique reçue ou fournie et en négligeant toutes les pertes énergétiques (R \ll X), la puissance active totale échangée avec le réseau est nulle :

Comme la machine est connectée au réseau sous tension U = U_n \neq 0 et parcourt un courant non nul I = I_n / 10 \neq 0, il vient :

1. Adaptation du diagramme de Fresnel :

D'après la question Q31, l'ordonnée du point M vaut y_M = X I \cos\varphi. Pour \cos\varphi = 0, on a y_M = 0 : le point M se trouve sur l'axe réel. L'équation de maille \underline{E} = \underline{U} + \mathrm{j}X\underline{I} s'écrit, en prenant \underline{U} = U_n comme origine des phases :

• Si \varphi = +\frac{\pi}{2} : \underline{I} = I\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\pi/2} = -\mathrm{j}I, donc \mathrm{j}X\underline{I} = +XI \in \mathbb{R}^+. Le vecteur \mathrm{j}X\underline{I} est collinéaire et de même sens que \underline{U} :

  E = U_n + XI

• Si \varphi = -\frac{\pi}{2} : \underline{I} = I\,\mathrm{e}^{+\mathrm{j}\pi/2} = +\mathrm{j}I, donc \mathrm{j}X\underline{I} = -XI \in \mathbb{R}^-. Le vecteur \mathrm{j}X\underline{I} est collinéaire et de sens opposé à \underline{U} :

  E = |U_n - XI| = U_n - XI \quad (\text{car } U_n > XI)

2. Calcul numérique des valeurs de E :

Avec U_n \approx 12{,}7\text{ kV} (question Q26) et I = \frac{I_n}{10} = \frac{11{,}1\times 10^3}{10} = 1{,}11\times 10^3\text{ A} :

On en déduit :

3. Comportement capacitif :

Le courant circulant vers la machine (convention récepteur pour la machine vue depuis le réseau) vaut \underline{I}_{\text{réc}} = -\underline{I}.

• Pour \varphi = +\frac{\pi}{2} : \operatorname{Arg}(\underline{I}) = -\frac{\pi}{2}, donc \operatorname{Arg}(\underline{I}_{\text{réc}}) = +\frac{\pi}{2}. Le courant absorbé par la machine est en avance de phase de \pi/2 sur la tension \underline{U} : l'impédance équivalente vue par le réseau est \underline{Z}_{\text{éq}} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}_{\text{réc}}} = -\mathrm{j}\frac{U_n}{I} = \frac{1}{\mathrm{j}C_{\text{éq}}\omega} avec C_{\text{éq}} > 0.
• De façon équivalente, la puissance réactive fournie au réseau par la machine vaut Q = 2\,U_n I \sin\varphi = +2\,U_n I > 0, ce qui correspond à la fourniture de réactif par un banc de condensateurs.

La machine se comporte donc comme un condensateur pour la valeur :