Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2025

La loi phénoménologique de Fourier relie localement le vecteur densité de flux thermique au gradient de température dans un milieu conducteur isotrope :

Dans le cas unidimensionnel où le champ de température ne dépend que de la coordonnée spatiale x et du temps t, elle s'écrit selon le vecteur unitaire \vec{e}_x :

Les grandeurs physiques intervenant dans cette loi sont :

• \vec{j}_{\text{th}} : le vecteur densité volumique de flux thermique (ou densité de courant thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}) ;
• \lambda : la conductivité thermique du matériau, exprimée en watt par mètre et par kelvin (\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}) ;
• T : la température absolue, exprimée en kelvin (\mathrm{K}) ;
• \vec{\operatorname{grad}}(T) : le gradient de température, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K\cdot m^{-1}}).

Considérons le système fermé constitué par la tranche élémentaire de paroi située entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section S_0 orthogonale à l'axe (Ox), et de masse :

Le matériau étant une phase condensée indéformable et en l'absence de source interne, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les dates t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

La variation d'énergie interne s'exprime par :

Le transfert thermique élémentaire reçu par conduction à travers les faces en x et en x+\mathrm{d}x orientées suivant \vec{e}_x vaut :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle (question Q1), la projection du vecteur densité de flux thermique selon l'axe (Ox) est :

En supposant la conductivité thermique \lambda uniforme :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U et \delta Q, puis en simplifiant par S_0\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

soit l'équation de la diffusion thermique :

où D = \dfrac{\lambda}{\rho\,c} désigne la diffusivité thermique du matériau (en \text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}).

En régime stationnaire (ou permanent), la température est indépendante du temps :

D'après l'équation de la diffusion établie à la question Q2, le champ de température ne dépend que de x et vérifie :

Par intégration successive par rapport à x, on obtient une fonction affine :

où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

On en déduit l'expression du profil de température dans la paroi :

Le flux thermique \Phi traversant une section de surface S_0 orientée par le vecteur unitaire \vec{e}_x s'écrit par définition :

D'après la loi de Fourier rappelée à la question Q1, le vecteur densité de courant thermique est :

En utilisant le profil de température établi à la question Q3, la dérivée spatiale vaut :

Comme cette grandeur est uniforme sur toute la section de surface S_0, on obtient :

Par analogie thermoélectrique avec la loi d'Ohm (U_1 - U_2 = R\,I), la résistance thermique R_{\text{th}} est définie par la relation :

On en déduit immédiatement :

En régime stationnaire unidimensionnel (selon l'axe Ox) et sans source interne de chaleur, le flux thermique \Phi traversant les différentes couches est conservé. Les transferts thermiques s'effectuent à travers cinq domaines successifs montés en série :

• L'interface air extérieur – verre (échange conducto-convectif) :

  R_{cv,e} = \frac{1}{h_e S_f}

• La première paroi vitrée en 0 \le x \le e (conduction) :

  R_{V} = \frac{e}{\lambda_V S_f}

• La lame d'argon statique en e \le x \le 2e (conduction) :

  R_{\text{Ar}} = \frac{e}{\lambda_{\text{Ar}} S_f}

• La seconde paroi vitrée en 2e \le x \le 3e (conduction) :

  R_{V} = \frac{e}{\lambda_V S_f}

• L'interface verre – air intérieur (échange conducto-convectif) :

  R_{cv,i} = \frac{1}{h_i S_f}

Les résistances thermiques mises en jeu sont ainsi :

L'analogie électrothermique associe la différence de température à une tension électrique et le flux thermique \Phi à une intensité de courant. Le schéma électrique équivalent est représenté ci-dessous :

Le profil de température qui correspond à cette fenêtre double vitrage est le profil b.

Lorsque la température de la pièce s'est stabilisée à sa valeur finale T_{\text{fin}}, le régime stationnaire est atteint. Le bilan d'énergie thermique sur la pièce s'écrit alors :

où P est la puissance fournie par le radiateur et \Phi_{\text{pertes}} le flux thermique perdu vers l'extérieur. Par définition de la résistance thermique globale R_1 de la pièce :

On en déduit l'expression de la résistance thermique :

Application numérique avec T_{\text{fin}} = 294\text{ K}, T_{\text{ext}} = 274\text{ K} et P = 500\text{ W} :

On choisit comme système thermodynamique fermé l'intérieur de la pièce (air, mobilier, doublages intérieurs) à la température uniforme T(t), de capacité thermique C.

Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation d'énergie interne du système s'écrit :

Le système échange de l'énergie thermique sous deux formes :

• la puissance fournie par le radiateur : \mathcal{P}_{\text{rad}} = P ;

• les pertes thermiques vers l'extérieur à travers les parois modélisées par la résistance thermique R_1. Dans le cadre de l'ARQS, le temps de diffusion à travers les parois est très court devant le temps caractéristique d'évolution de la pièce : le profil de température s'adapte instantanément, de sorte que le flux thermique cédé vers l'extérieur s'écrit :

  \Phi_{\text{pertes}}(t) = \frac{T(t) - T_{\text{ext}}}{R_1}

Le premier principe appliqué au système entre t et t + \mathrm{d}t donne :

D'où l'équation différentielle vérifiée par T(t) :

En introduisant la température finale de régime permanent T_{\text{fin}}, pour laquelle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = 0, on a P = \dfrac{T_{\text{fin}} - T_{\text{ext}}}{R_1} (d'après la question Q7), ce qui permet de réécrire l'équation différentielle sous la forme canonique :

Cette équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec second membre constant admet pour solution générale :

où A est une constante déterminée par la condition initiale : à t = 0, la pièce est à la température extérieure, soit T(0) = T_{\text{ext}}, d'où A = T_{\text{ext}} - T_{\text{fin}}.

L'expression de la température est donc :

D'après la question Q4, la résistance thermique conductive du plafond de surface S_p, d'épaisseur e_p et de conductivité \lambda_p s'écrit :

Avec e_p = 5\text{ cm} = 5\times 10^{-2}\text{ m}, \lambda_p = 0{,}1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et S_p = 10\text{ m}^2, on obtient :

Le plafond et l'ensemble mur-fenêtre sont tous deux en contact entre l'air intérieur (à la température uniforme T) et le milieu extérieur (à T_{\text{ext}}). Ils sont donc soumis à la même différence de température : les flux thermiques s'additionnent, ce qui correspond à une association en parallèle des résistances thermiques :

On en déduit l'expression littérale de R_{mf} :

D'après la question Q7, R_1 = 0{,}040\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}. L'application numérique donne :

Pour un même écart de température \Delta T, le flux thermique perdu s'écrit \Phi = \frac{\Delta T}{R_{\text{th}}}. Comme :

on a :

Les déperditions thermiques sont donc plus importantes par le plafond que par l'ensemble mur-fenêtre.

La couche d'isolant, d'épaisseur e_{\mathrm{isol}}, de surface S_p et de conductivité \lambda_{\mathrm{isol}}, présente une résistance thermique conductive :

L'isolant étant disposé directement contre le plafond, ces deux parois sont traversées par le même flux thermique surfacique : elles sont donc associées en série. La nouvelle résistance thermique de l'ensemble plafond-isolant est ainsi :

Pour un écart de température fixé \Delta T = T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}} entre l'intérieur et l'extérieur, les pertes thermiques (ou flux de déperdition) de la pièce s'écrivent :

Avant l'ajout de l'isolant, les pertes valent \Phi_1 = \dfrac{\Delta T}{R_1}, et après l'ajout, elles valent \Phi_2 = \dfrac{\Delta T}{R_2}.

Le coefficient multiplicatif de réduction des pertes thermiques est donc le rapport :

D'après la question Q7, on a R_1 = 0{,}040\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}, et l'énoncé donne R_2 = 0{,}12\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} :