Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2023 (page 4/4 : Partie III)

1. Définition de la convention récepteur

Un dipôle est orienté en convention récepteur lorsque la flèche représentant la tension U à ses bornes et la flèche indiquant le sens de comptage positif de l'intensité I sont de sens opposés : le courant entre par la borne correspondant au potentiel le plus élevé dans la définition de U.

Pour une tension U = V_1 - V_2, le courant I entre par la borne 1 et ressort par la borne 2.

2. Expression de la loi d'Ohm

Dans cette convention, la loi d'Ohm pour une résistance électrique R_e s'écrit :

3. Puissance algébrique reçue par un récepteur

La puissance électrique algébrique reçue par un dipôle récepteur est donnée par le produit de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse :

Pour une résistance ohmique vérifiant la loi d'Ohm, cette puissance s'exprime également sous la forme \mathcal{P} = R_e I^2 \ge 0, illustrant la dissipation d'énergie par effet Joule.

1. Association en série

Deux résistances sont associées en série lorsqu'elles sont traversées par le même courant électrique I.

Par additivité des tensions (loi des mailles) :

En appliquant la loi d'Ohm en convention récepteur à chaque conducteur ohmique (rappelée à la question précédente) :

Il vient :

Par identification avec la relation définissant la résistance équivalente U = R_{e,\mathrm{\acute{e}q}} I, on obtient :

2. Association en parallèle

Deux résistances sont associées en parallèle lorsqu'elles sont soumises à la même différence de potentiel U = V_A - V_B.

D'après la loi des nœuds au point A :

En appliquant la loi d'Ohm à chacune des deux branches :

Il vient :

Par identification avec I = \frac{U}{R_{e,\mathrm{\acute{e}q}}}, on obtient la loi d'association en parallèle :

Le schéma inspiré de la figure 15, faisant apparaître les grandeurs électriques, est représenté ci-dessous :

D'après les hypothèses de l'énoncé, le champ électrique \vec{E} = E \vec{e}_x et la densité de courant \vec{j} = j \vec{e}_x sont unidirectionnels et uniformes dans tout le volume du barreau.

En orientant le vecteur déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}x\,\vec{e}_x du point 1 (x=0) au point 2 (x=\ell), la relation (7) donne :

soit :

D'après la loi d'Ohm locale, on a \vec{j} = \gamma \vec{E}, d'où j = \gamma E.

Le courant électrique I traversant une section droite S, orientée par \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_x, s'écrit d'après la relation (7) :

En identifiant avec la loi d'Ohm macroscopique V_1 - V_2 = R_{e,\mathrm{Cu}}\,I (rappelée à la question Q45), on en déduit l'expression de la résistance électrique du barreau :

La loi phénoménologique de Fourier régit la conduction thermique au sein d'un milieu matériel isotrope.

Sous sa forme locale tridimensionnelle générale, elle relie le vecteur densité de flux thermique \vec{j}_{\mathrm{th}} au gradient de température :

où :

• \vec{j}_{\mathrm{th}} est la densité surfacique de flux thermique (en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}) ;
• \lambda_{\mathrm{th}} est la conductivité thermique du milieu (en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}), avec \lambda_{\mathrm{th}} > 0 ;
• T est la température locale (en \mathrm{K}).

Dans le cas unidimensionnel selon l'axe (Ox) décrit par le texte, où la température ne dépend que de l'abscisse x, cette relation s'écrit de façon scalaire :

Par analogie entre conduction électrique et conduction thermique :

• la différence de potentiel V_1 - V_2 (cause du courant électrique) correspond à la différence de température T_1 - T_2 (cause du transfert thermique) ;
• l'intensité du courant électrique I = \iint_S \vec{j} \cdot \vec{\mathrm{d}S} correspond à la puissance thermique (ou flux thermique) \mathcal{P}_{\mathrm{th}} = \iint_S \vec{j}_{\mathrm{th}} \cdot \vec{\mathrm{d}S} ;
• la loi d'Ohm locale \vec{j} = -\gamma\, \vec{\nabla} V correspond à la loi de Fourier \vec{j}_{\mathrm{th}} = -\lambda_{\mathrm{th}}\, \vec{\nabla} T, la conductivité électrique \gamma correspondant à la conductivité thermique \lambda_{\mathrm{th}}.

Par analogie avec la loi d'Ohm macroscopique V_1 - V_2 = R_e I, on définit la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un conducteur reliant deux parois à températures imposées T_1 et T_2 (T_1 > T_2) traversé par un flux thermique \mathcal{P}_{\mathrm{th}} orienté de 1 vers 2 par :

Dans le barreau cylindrique d'axe (Ox), le flux thermique \vec{j}_{\mathrm{th}} = j_{\mathrm{th}} \vec{e_x} est uniforme et traverse la section S orthogonale à \vec{e_x}. La puissance thermique s'exprime ainsi :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle (question Q48) :

En intégrant entre l'extrémité gauche x = 0 (à la température T_1) et l'extrémité droite x = \ell (à la température T_2) :

Par identification avec la relation de définition T_1 - T_2 = R_{\mathrm{th}} \mathcal{P}_{\mathrm{th}}, on retrouve l'expression annoncée :

On remarque que cette formule se déduit également de l'expression de la résistance électrique R_{e,\mathrm{Cu}} = \frac{\ell}{\gamma S} établie à la question Q47 par simple substitution de \gamma par \lambda_{\mathrm{th}}.

On étudie l'écoulement stationnaire, laminaire et unidirectionnel d'un fluide incompressible selon l'axe (Ox) :

1. Choix du système et bilan de quantité de mouvement : Considérons le volume de fluide contenu dans le cylindre d'axe (Ox), de rayon r \in [0, R] et s'étendant entre x = 0 et x = \ell.

• En régime stationnaire, la quantité de mouvement totale du fluide contenu dans ce volume de contrôle est constante dans le temps.
• L'écoulement étant invariant selon x, le flux de quantité de mouvement sortant par la base en x = \ell compense exactement le flux de quantité de mouvement entrant par la base en x = 0. Le flux convectif net à travers la frontière est donc nul.

Le théorème de la quantité de mouvement appliqué à ce domaine se réduit donc à l'équilibre des forces extérieures exercées sur le fluide :

2. Inventaire des forces extérieures : En négligeant la pesanteur, les forces s'exerçant sur le cylindre de fluide sont :

• Forces de pression sur les bases :

  • en x = 0 (entrée) : \vec{F}_{P,1} = P_1 (\pi r^2)\,\vec{e}_x ;
  • en x = \ell (sortie) : \vec{F}_{P,2} = - P_2 (\pi r^2)\,\vec{e}_x.

  Leur résultante vaut :

  \vec{F}_P = (P_1 - P_2)\pi r^2\,\vec{e}_x = \Delta P\,\pi r^2\,\vec{e}_x

• Forces de viscosité sur la surface latérale : La normale extérieure au cylindre de rayon r est \vec{e}_r. Pour un fluide newtonien, la contrainte de cisaillement exercée par le fluide extérieur (r^+ > r) sur le fluide intérieur est tangentielle à la surface et orientée selon \vec{e}_x :

  \sigma_{rx} = \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}

  La surface latérale ayant pour aire S_{\mathrm{lat}} = 2\pi r \ell, la force visqueuse totale s'écrit :

  \vec{F}_{\mathrm{visq}} = 2\pi r \ell\,\sigma_{rx}\,\vec{e}_x = 2\pi r \ell\,\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\,\vec{e}_x

3. Équilibre et intégration : La projection selon l'axe (Ox) donne :

Une première intégration par rapport à r conduit à :

La condition aux limites d'adhérence du fluide visqueux à la paroi fixe impose v(R) = 0, d'où :

La vitesse du fluide s'écrit donc :

4. Allure graphique du profil de vitesse : La constante A = v(0) représente la vitesse maximale au centre de la conduite (v_{s,\max}). Le profil de vitesse est parabolique :

Le débit de volume Q_v à travers une section transversale S de la conduite est défini par le flux du vecteur vitesse :

L'écoulement étant purement longitudinal selon \vec{e}_x et invariant par rotation d'axe (Ox), la vitesse ne dépend que de la distance radiale r. On choisit comme élément de surface une couronne d'aire \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r orientée selon \vec{e}_x.

D'après le profil de vitesse obtenu à la question Q50 :

Le débit s'exprime donc sous la forme :

En remplaçant la constante A par son expression en fonction de \Delta P, R, \eta et \ell, on aboutit à la loi de Hagen-Poiseuille :

Par analogie avec la conduction électrique (question Q45) et la conduction thermique (question Q49) :

• la différence de pression \Delta P = P_1 - P_2 joue le rôle de la différence de potentiel U = V_1 - V_2 (force motrice de l'écoulement) ;
• le débit volumique Q_v traversant la section de la conduite joue le rôle de l'intensité du courant électrique I (flux volumique de matière).

La résistance hydraulique R_{\mathrm{h}} est alors définie par la relation constitutive analogue à la loi d'Ohm :

D'après le résultat de la question Q51, le débit volumique pour un écoulement de Poiseuille s'écrit :

On en déduit immédiatement l'expression de la résistance hydraulique :

Par définition, la vitesse moyenne v_s du fluide à travers une section droite S = \pi R^2 de la conduite cylindrique est reliée au débit volumique Q_v par :

D'après le résultat de la question Q51, le débit volumique s'écrit :

d'où l'expression de la vitesse moyenne :

Par ailleurs, d'après la question Q50, le profil de vitesse est donné par :

La vitesse est maximale sur l'axe de la conduite, en r = 0 :

En comparant les expressions de v_s et de v_{s,\max}, on obtient la relation :

Le nombre de Reynolds, grandeur adimensionnelle comparant l'ordre de grandeur des forces d'inertie à celui des forces de viscosité au sein du fluide, est défini par :

où :

• \rho est la masse volumique du fluide (pour une solution aqueuse, \rho \approx 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) ;
• v est la vitesse caractéristique de l'écoulement (v \sim 100\text{ }\mu\text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• L_c est la dimension transverse caractéristique du canal (L_c \sim 100\text{ }\mu\text{m} = 10^{-4}\text{ m}) ;
• \eta est la viscosité dynamique du fluide (\eta \approx \eta_{\text{eau}} = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}).

L'évaluation numérique donne :

Puisque \mathrm{Re} \ll 2000 (et même \mathrm{Re} \ll 1), les forces de viscosité dominent très largement les forces d'inertie : l'écoulement est strictement laminaire (régime d'écoulement rampant ou de Stokes).

L'analogie formelle entre l'hydrodynamique laminaire stationnaire et l'électrocinétique repose sur la loi d'Ohm hydraulique \Delta P = R_{\mathrm{h}} Q_v et la loi d'Ohm électrique U = R_e I. Les correspondances sont les suivantes :

• la pression P est analogue au potentiel électrique V ;
• la différence de pression \Delta P = P_1 - P_2 est analogue à la tension électrique U = V_1 - V_2 ;
• le débit volumique Q_v est analogue à l'intensité du courant électrique I ;
• la résistance hydraulique R_{\mathrm{h}} est analogue à la résistance électrique R_e.

Pour le circuit microfluidique étudié :

• la pression de sortie P_s, prise comme référence de pression et reliée à la masse, correspond au potentiel nul :

  P_s \quad \longleftrightarrow \quad V_S = 0

• la pression d'entrée P_e correspond au potentiel :

  P_e \quad \longleftrightarrow \quad V_E

• les pressions des deux canaux d'entraînement P_f = \alpha P_e correspondent au potentiel :

  P_f = \alpha P_e \quad \longleftrightarrow \quad V_{E'} = \alpha V_E

• la pression au carrefour central N correspond au potentiel du nœud :

  P_N \quad \longleftrightarrow \quad V_N

Le circuit électrique équivalent est constitué d'un nœud central N relié à :

• la branche d'entrée de résistance \gamma R, soumise au potentiel V_E en E ;
• les deux branches d'entraînement identiques, chacune de résistance R, soumises au même potentiel V_{E'} = \alpha V_E en E' ;
• la branche de sortie de résistance \sigma R, connectée à la masse (V_S = 0) en S.

Dans le cadre de l'analogie électrique établie à la question précédente, le nœud N est relié à :

• l'entrée E au potentiel V_E = P_e par la résistance R_e = \gamma R ;
• deux entrées d'entraînement E' au même potentiel V_{E'} = P_f = \alpha P_e, chacune via une résistance R ;
• la sortie S reliée à la masse (V_S = P_s = 0) par la résistance R_s = \sigma R.

D'après le théorème de Millman au nœud N :

En simplifiant par R et sachant que V_S = 0, le potentiel V_N (associé à la pression P_N) s'écrit :

Les conditions sur les sens d'écoulement se traduisent par :

1. Écoulement dans le sens E \to N \implies P_e > P_N :

   \begin{aligned} P_e > P_e \, \frac{\dfrac{1}{\gamma} + 2\alpha}{\dfrac{1}{\gamma} + 2 + \dfrac{1}{\sigma}} &\iff \frac{1}{\gamma} + 2\alpha < \frac{1}{\gamma} + 2 + \frac{1}{\sigma} \\ &\iff 2\alpha < 2 + \frac{1}{\sigma} \\ &\iff \alpha < 1 + \frac{1}{2\sigma} \end{aligned}

2. Écoulement dans le sens E' \to N \implies P_f > P_N, soit \alpha P_e > P_N :

   \begin{aligned} \alpha > \frac{\dfrac{1}{\gamma} + 2\alpha}{\dfrac{1}{\gamma} + 2 + \dfrac{1}{\sigma}} &\iff \alpha\left(\frac{1}{\gamma} + 2 + \frac{1}{\sigma}\right) > \frac{1}{\gamma} + 2\alpha \\ &\iff \alpha\left(\frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\sigma}\right) > \frac{1}{\gamma} \\ &\iff \alpha > \frac{\dfrac{1}{\gamma}}{\dfrac{1}{\gamma} + \dfrac{1}{\sigma}} = \frac{\sigma}{\gamma + \sigma} \end{aligned}

Dès lors que ces deux conditions sont vérifiées, les débits entrants au nœud N étant strictement positifs, le débit sortant vers S est lui aussi strictement positif (P_N > 0 = P_s), ce qui assure bien l'écoulement dans le sens N \to S.

On en déduit la condition :

avec :

Le fluide étant supposé incompressible et l'écoulement stationnaire, la conservation du débit volumique au niveau de la jonction (nœud N) s'écrit :

où Q_e est le débit issu du canal d'entrée et 2 Q_f est le débit cumulé issu des deux canaux d'entraînement identiques.

Expression de w_s : La section droite rectangulaire du canal de sortie a pour aire S = w_s h. Par définition de la vitesse moyenne v_s sur cette section, le débit volumique total traversant le canal de sortie est :

On en déduit l'expression de la largeur w_s du canal de sortie :

Expression de w_c : L'écoulement entrant étant supposé fortement focalisé, le fluide d'intérêt est confiné dans une bande centrale de largeur w_c \ll w_s et de hauteur h. Au voisinage immédiat du centre (y = 0), le profil de Poiseuille présente un extremum : la vitesse y varie très peu et peut être considérée comme uniforme et égale à sa valeur maximale sur l'axe, v_{s,\max}.

Le débit volumique Q_e de fluide d'intérêt transporté à travers la section centrale S_c = w_c h s'exprime donc par :

On en déduit l'expression de la largeur w_c du filet focalisé :

D'après la question Q57, les largeurs w_c et w_s s'écrivent :

où Q_s = Q_e + 2 Q_f est le débit volumique total s'écoulant dans le canal de sortie. L'énoncé précise que pour cette géométrie rectangulaire :

Le rapport des largeurs s'écrit donc :

Par analogie électrique (établie aux questions Q55 et Q56), les débits volumiques Q_e et Q_s s'expriment à partir de la loi d'Ohm hydraulique :

Le rapport des débits vaut ainsi :

D'après l'expression de la pression P_N au nœud N obtenue à la question Q56 :

On en déduit :

En injectant ce résultat dans le rapport des débits :

On obtient finalement :

Améliorer la focalisation hydrodynamique consiste à obtenir un filet de fluide d'intérêt le plus fin possible au centre du canal de sortie, c'est-à-dire à minimiser le rapport \frac{w_c}{w_s}.

D'après le résultat de la question Q58 :

1. Évolution de la pression appliquée au fluide d'entraînement :

• Il faut augmenter la pression P_f appliquée au fluide d'entraînement (ce qui correspond à augmenter \alpha = P_f / P_e).
• Explication qualitative : en augmentant la pression P_f, on augmente le débit Q_f issu des deux canaux latéraux d'entraînement par rapport au débit d'entrée Q_e. Les deux flux latéraux exercent ainsi une poussée latérale plus intense sur le fluide d'intérêt au niveau de la jonction N, ce qui « pince » plus étroitement le filet central le long de l'axe (Ox) et réduit sa largeur w_c.
• Justification analytique : lorsque \alpha croît, le numérateur (2\sigma + 1 - 2\alpha\sigma) décroît tandis que le dénominateur (1 + 2\alpha\gamma) augmente ; le rapport \frac{w_c}{w_s} est donc une fonction strictement décroissante de \alpha.
• Limite pratique : pour maintenir un écoulement vers l'aval sans refoulement dans le canal d'entrée (Q_e > 0), il convient toutefois de rester sous la valeur limite supérieure \alpha_{\max} = 1 + \frac{1}{2\sigma} déterminée à la question Q56.

2. Choix du paramètre \gamma :

• Il faut choisir \gamma le plus grand possible (\gamma \gg 1).
• Explication qualitative : le paramètre \gamma = R_e / R mesure la résistance hydraulique du canal d'entrée par rapport à celle des canaux d'entraînement. En augmentant la résistance du canal d'entrée, on limite fortement le débit d'injection Q_e du fluide d'intérêt pour une pression P_e donnée, ce qui conduit à un filet central beaucoup plus mince (w_c \propto Q_e).
• Justification analytique : \gamma n'apparaît qu'au dénominateur de l'expression de \frac{w_c}{w_s}, affecté d'un signe positif (1 + 2\alpha\gamma). Augmenter \gamma diminue donc la largeur relative w_c/w_s. De plus, cela abaisse la borne inférieure \alpha_{\min} = \frac{\sigma}{\gamma + \sigma}, élargissant ainsi la plage de pressions utilisables.