Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2024 (page 4/4 : Parties IV et V)

Dans un problème unidimensionnel le long de l'axe (Ox), la loi de Fourier s'écrit :

où :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique (en \text{W}\cdot\text{m}^{-2}) ;
• \lambda est la conductivité thermique du milieu (en \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, ici le verre) ;
• \frac{\partial T}{\partial x} est le gradient de température selon la direction x (en \text{K}\cdot\text{m}^{-1}).

D'après les données de l'énoncé, la température initiale du vin est T_i = 8{,}0\,^\circ\text{C} et celle de l'air ambiant est T_A = 22\,^\circ\text{C}. En l'absence de convection superficielle, la température de surface extérieure est T_S = T_A = 22\,^\circ\text{C}.

On a donc T_S > T_i. Le transfert thermique s'effectuant spontanément du milieu le plus chaud vers le milieu le plus froid :

L'analogie électrothermique repose sur l'équivalence formelle entre la conduction électrique régie par la loi d'Ohm et le transfert conductif régi par la loi de Fourier en régime stationnaire.

Les correspondances entre les grandeurs thermiques et les grandeurs électriques sont :

• la température T (exprimée en \mathrm{K} ou en ^\circ\mathrm{C}) est l'analogue du potentiel électrique V (en \mathrm{V}) ; une différence de température \Delta T = T_1 - T_2 correspond ainsi à une tension électrique U = V_1 - V_2 ;
• le flux thermique \varphi (débit d'énergie thermique, en \mathrm{W} ou \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1}) est l'analogue de l'intensité du courant électrique I (débit de charges électriques, en \mathrm{A} ou \mathrm{C}\cdot\mathrm{s}^{-1}) ;
• la résistance thermique R_{\mathrm{th}} (en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}) est l'analogue de la résistance électrique R (en \Omega).

Ces correspondances se résument par l'analogie entre la relation thermique et la loi d'Ohm :

associées aux lois respectives \Delta T = R_{\mathrm{th}}\,\varphi et U = R\,I.

D'après l'analogie électrothermique dégagée à la question Q48, la loi d'Ohm électrique s'écrit :

où le courant I circule du potentiel le plus élevé V_1 vers le potentiel le plus bas V_2, avec une résistance électrique R > 0.

Par analogie, la « loi d'Ohm thermique » relie la différence de température entre la zone chaude et la zone froide au flux thermique \varphi qui la traverse, du milieu le plus chaud vers le milieu le plus froid.

Dans la situation étudiée, le vin est initialement à la température de la cave (T_i = 8{,}0\text{ \textdegree C}) et la surface extérieure est à la température ambiante (T_S \approx T_A = 22\text{ \textdegree C}). On a donc T_S > T_i.

Le flux thermique positif \varphi traverse la paroi latérale de l'extérieur vers l'intérieur (du chaud vers le froid). La relation s'écrit ainsi :

On en déduit l'expression littérale de la résistance thermique :

Le flux thermique \varphi à travers une surface orientée \Sigma est le flux du vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} :

Dans la paroi de verre, en l'absence de source interne d'énergie et en régime stationnaire, l'équation de la diffusion thermique s'écrit :

En utilisant les conditions aux limites T(0) = T_i et T(e) = T_S, on obtient le gradient thermique constant :

D'après la loi de Fourier (question Q47), le vecteur densité de flux thermique s'écrit :

Puisque T_S > T_i, le flux thermique circule spontanément de l'extérieur vers l'intérieur (selon -\vec{u}_x). En orientant la normale à la surface S dans ce sens (\mathrm{d}\vec{S} = -S\,\vec{u}_x), le flux thermique traversant la paroi s'exprime par :

En utilisant la relation établie à la question Q49, R_{\mathrm{th}} = \frac{T_S - T_i}{\varphi}, on en déduit :

La bouteille parallélépipédique à base carrée possède 4 faces latérales identiques, chacune de surface S = L \, l. La surface latérale totale offerte au transfert thermique est donc :

Chacune des quatre parois étant soumise à la même différence de température (T_{\mathrm{S}} - T_{\mathrm{i}}), les flux thermiques traversant chaque paroi s'additionnent : les quatre parois sont associées en parallèle. La conductance thermique totale s'écrit donc :

D'où l'expression littérale de la résistance thermique totale de conduction des faces latérales :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• e = 3{,}0\text{ mm} = 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} ;
• \lambda = 1{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• L = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} ;
• l = 7{,}5\text{ cm} = 7{,}5 \times 10^{-2}\text{ m}.

La surface totale vaut :

On en déduit :

D'après l'expression fournie par l'énoncé pour le flux thermique conducto-convectif :

on isole le coefficient d'échange conducto-convectif h :

En analysant les unités des différentes grandeurs :

• le flux thermique \varphi, correspondant à une puissance thermique, s'exprime en watts (\mathrm{W}) ;
• la surface d'échange S s'exprime en mètres carrés (\mathrm{m}^2) ;
• l'écart de température (T_S - T_A) s'exprime en kelvins (\mathrm{K}).

Par conséquent, l'unité de h dans le Système International est :

Remarque : Exprimée en unités fondamentales du Système International (\mathrm{W} = \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-3}), cette unité s'écrit également \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-3}\cdot\mathrm{K}^{-1}.

D'après l'énoncé, le flux thermique surfacique échangé par conducto-convection à travers une surface S s'écrit :

Par analogie électrothermique (analysée aux questions Q48 et Q49), la résistance thermique de convection associée à une surface plane S s'exprime par le rapport de l'écart de température au flux thermique échangé :

La bouteille à section carrée comporte 4 faces latérales identiques, chacune de longueur L et de largeur l, soit une aire unitaire S = L \times l. La surface latérale totale d'échange avec l'air ambiant est donc :

Ces quatre parois étant soumises au même écart de température |T_S - T_A| entre la surface du verre et l'air ambiant, elles se trouvent en parallèle thermiquement :

On en déduit directement l'expression de la résistance thermique de convection R_2 relative à la totalité des surfaces latérales :

Le transfert thermique entre le vin à la température T_{\mathrm{i}} (ou T(t)) et l'air ambiant à la température T_{\mathrm{A}} s'effectue à travers la paroi de verre par conduction, puis entre la surface extérieure du verre et l'air ambiant par conducto-convection.

Ces deux phénomènes ayant lieu en série pour l'ensemble des parois latérales, les résistances thermiques s'additionnent :

D'après les questions précédentes :

• R_1 = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} (d'après Q51) ;
• R_2 = \frac{1}{4 \times 10 \times 0{,}20 \times 0{,}075} = \frac{1}{0{,}60} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} (d'après Q53).

On en déduit :

Conclusion : On constate que R_1 \ll R_2 (R_1 ne représente que 3\,\% de la résistance totale). La résistance thermique globale est donc très largement dominée par la résistance d'échange convectif superficiel (R_{\text{tot}} \approx R_2) : le transfert thermique entre l'air ambiant et le vin est limité par la convection extérieure et non par la conduction au sein de la paroi en verre.

Considérons le système fermé \{\text{vin} + \text{bouteille}\}, de température uniforme T(t) et de capacité thermique C.

Le système est en phase condensée indéformable, de sorte que le travail des forces de pression est nul : \delta W = 0.

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

La variation d'énergie interne s'exprime à l'aide de la capacité thermique C par :

Le transfert thermique reçu par le système pendant la durée \mathrm{d}t provient de l'air ambiant à la température T_{\mathrm{A}}, à travers la résistance thermique totale R_{\text{tot}} calculée à la question Q54 :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U, on obtient :

Soit, en divisant par C et en réorganisant les termes :

avec les constantes :

D'après la question Q55, la température T(t) du système vérifie l'équation différentielle :

La solution générale s'écrit sous la forme :

où A est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale T(0) = T_i :

On en déduit l'évolution temporelle de la température :

À la date t_D, le vin atteint la température de dégustation T_D = T(t_D) :

L'expression de la durée nécessaire s'écrit donc :

Application numérique : D'après l'énoncé, \tau K = 295\text{ K}, ce qui correspond à 295 - 273 = 22\text{ }^\circ\mathrm{C} = T_A. Les écarts de température s'expriment indifféremment en kelvins ou en degrés Celsius :

Le rapport des écarts vaut donc :

En utilisant la donnée \ln\left(\frac{7}{3}\right) \approx 0{,}8 :

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

D'après la question Q56, la durée nécessaire pour atteindre la température T_D s'écrit :

où l'on a utilisé \tau K = T_A (question Q55). Le terme logarithmique ne dépend que des températures fixées T_i, T_D et T_A ; il est donc indépendant de h.

D'après les questions Q54 et Q55, la constante de temps \tau s'exprime sous la forme :

Lorsque le coefficient conducto-convectif h augmente :

• la résistance thermique de convection R_2 = \dfrac{1}{4 h L l} diminue ;
• la résistance thermique totale R_{\mathrm{tot}} = R_1 + R_2 diminue ;
• la constante de temps \tau = R_{\mathrm{tot}} C diminue.

Le terme logarithmique restant strictement positif et invariant, on en déduit que :

1. Lien entre le champ électrique et les zones de fonte

D'après le document 1, le champ électrique de l'onde stationnaire dans la cavité s'écrit :

avec k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi f}{c}.

L'échauffement diélectrique du chocolat est dû à l'absorption de l'énergie électromagnétique (polarisation et réorientation des molécules d'eau et de graisse). La puissance volumique moyenne absorbée est proportionnelle au carré moyen du champ électrique :

Le chocolat commence donc à fondre préférentiellement aux ventres de champ électrique, là où \sin^2(kx) est maximal (égal à 1), soit pour :

La distance \Delta x séparant deux zones de fusion consécutives est la demi-longueur d'onde de l'onde stationnaire :

D'où l'expression de la fréquence :

2. Évaluation de la distance \Delta x par lecture de l'expérience

Sur le document 2, la tablette de chocolat a une largeur connue de 70\text{ mm} (selon la direction verticale de la photo).

En mesurant sur la photographie :

• la largeur de la tablette correspond à une dimension apparente mesurée de 22\text{ mm} ;
• la distance entre les centres des deux zones de fonte consécutives le long de l'axe (Ox) mesure environ 19\text{ mm} à 20\text{ mm}.

Par proportionnalité, la distance réelle entre les deux ventres est :

3. Calcul de la fréquence des micro-ondes

Avec c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et en prenant \Delta x \approx 6{,}1\text{ cm} = 6{,}1 \cdot 10^{-2}\text{ m} (ou 6{,}0\text{ cm}) :

4. Commentaires

• Ordre de grandeur : la valeur obtenue est en parfait accord avec la fréquence standard normalisée des fours à micro-ondes grand public (f = 2{,}45\text{ GHz}). Cette fréquence appartient à la bande ISM (industrielle, scientifique et médicale) et correspond à un bon compromis entre absorption par les molécules d'eau et profondeur de pénétration au cœur des aliments.
• Rôle du plateau tournant : l'expérience montre l'existence de nœuds (zones non chauffées) et de ventres (points chauds) due au caractère stationnaire de l'onde. La rotation du plateau tournant permet aux aliments de traverser successivement des nœuds et des ventres, assurant ainsi un chauffage beaucoup plus homogène.