Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2021

Dans une liaison covalente hétéronucléaire comme celle de la molécule de chlorure d'hydrogène (\mathrm{HCl}), les deux atomes présentent une différence d'électronégativité notable : le chlore est plus électronégatif que l'hydrogène (\chi_{\mathrm{Cl}} > \chi_{\mathrm{H}}).

Le doublet d'électrons liants est donc statistiquement déplacé vers l'atome de chlore. Il apparaît ainsi une charge partielle négative -\delta e sur l'atome de chlore et une charge partielle positive +\delta e sur l'atome d'hydrogène (avec \delta > 0). Le barycentre des charges positives G_+ et celui des charges négatives G_- ne coïncident plus (G_+ \neq G_-), conférant à la molécule un moment dipolaire électrostatique permanent.

Pour le dipôle modélisé sur la figure 1, constitué de la charge -q au point N et de la charge +q au point P avec \vec{NP} = a\,\vec{u}_z, le moment dipolaire électrique est défini par :

D'où l'expression :

(soit pour la norme algébrique introduite par l'énoncé : p_1 = q\,a).

L'approximation dipolaire consiste à se placer à une distance d'observation r = OM très grande devant la dimension caractéristique du dipôle a = PN :

Par principe de superposition, en choisissant l'origine des potentiels à l'infini, le potentiel électrostatique créé en M s'écrit :

Le point O étant le milieu du segment [NP], les positions des charges sont \vec{OP} = \frac{a}{2}\vec{u}_z et \vec{ON} = -\frac{a}{2}\vec{u}_z. On exprime la distance PM à l'aide du produit scalaire :

Au premier ordre en a/r, en négligeant le terme en a^2/(4r^2) :

De la même manière pour le point N, en remplaçant a par -a :

En effectuant la différence :

Comme p_1 = q a (d'après la question Q1), on obtient finalement :

D'après la question Q2, le potentiel électrostatique créé en M par le dipôle s'écrit :

En régime électrostatique, le champ électrique dérive du potentiel scalaire selon la relation :

En utilisant l'expression du gradient en coordonnées sphériques fournie en tête de sujet :

Le potentiel V_1 étant indépendant de la variable azimutale \varphi, la composante selon \vec{u}_\varphi est nulle. Calculons les deux autres composantes :

On en déduit l'expression du champ électrostatique :

Au point M, repéré par \theta = 0, le vecteur unitaire radial coïncide avec l'axe dipolaire : \vec{u}_r = \vec{u}_z. D'après l'expression établie à la question Q3, le champ électrostatique créé par la première molécule est :

Ce champ est colinéaire à l'axe (Oz) et orienté dans le même sens que \vec{p}_1.

Effet du couple de forces La molécule étant fixée en M, elle possède uniquement des degrés de liberté de rotation. Le couple de forces de moment :

a pour effet de faire pivoter la molécule de façon à aligner son moment dipolaire \vec{p}_2 parallèlement et de même sens que le champ local \vec{E}_1(M).

Orientation en équilibre stable L'énergie potentielle d'interaction s'écrit, en notant \alpha l'angle entre \vec{p}_2 et \vec{u}_z :

Les positions d'équilibre correspondent aux extremums de l'énergie potentielle :

Pour déterminer la stabilité, on étudie la dérivée seconde :

Comme p_2 > 0 et E_1(M) > 0 :

• pour \alpha = \pi : \dfrac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{12}}{\mathrm{d}\alpha^2} < 0, l'énergie potentielle est maximale, l'équilibre est instable ;
• pour \alpha = 0 : \dfrac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{12}}{\mathrm{d}\alpha^2} > 0, l'énergie potentielle est minimale, l'équilibre est stable.

D'après les résultats de la question Q4, lorsque les deux molécules sont alignées selon l'axe (Oz) dans leur configuration d'équilibre stable (\alpha = 0), les moments dipolaires sont parallèles et de même sens (\vec{p}_1 = \vec{p}_2 = p\,\vec{u}_z). Le champ créé par le dipôle 1 au point M s'écrit :

L'énergie potentielle d'interaction minimale s'exprime donc par :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs fournies :

• p = 1\text{ D} = 3,33\cdot 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m}
• \varepsilon_0 = 8,85\cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• r = 0,5\text{ nm} = 5,0\cdot 10^{-10}\text{ m}

Calculons l'énergie caractéristique d'agitation thermique à la température ambiante T = 293\text{ K} :

En comparant ces deux grandeurs :

Conclusion : L'énergie d'interaction dipolaire reste inférieure à l'énergie d'agitation thermique (|\mathcal{E}_{12}| < k_B T). À température ambiante, les chocs et l'agitation thermique suffisent à détruire spontanément l'alignement stable des dipôles, qui adoptent alors des orientations continuellement fluctuantes. Il est par conséquent indispensable de faire appel à une moyenne statistique sur les orientations (interaction de Keesom).

Effectuons tout d'abord l'application numérique pour déterminer l'ordre de grandeur de la constante de Keesom C_{\mathrm{K}} :

Avec les données de l'énoncé :

• p = 1\text{ D} = 3{,}33 \cdot 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m},
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1},
• k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1},
• T = 293\text{ K}.

On calcule le terme entre parenthèses :

Puis :

L'énergie potentielle d'interaction moyenne ne dépend que de la distance intermoléculaire r. En coordonnées sphériques, l'expression de la force exercée par la molécule 1 sur la molécule 2 s'écrit :

Comme C_{\mathrm{K}} > 0, la force \vec{F}_{1/2} est portée par -\vec{u}_r, c'est-à-dire dirigée vers le dipôle 1 situé en O. La force est donc bien attractive.

D'après l'énoncé, la grandeur f(D) représente une force surfacique, c'est-à-dire une force par unité de surface :

La distance D séparant les deux milieux solides est une longueur, donc [D] = \mathrm{L}.

En utilisant la relation donnée :

la dimension de la constante de Hamaker A s'écrit (le facteur numérique 6\pi étant sans dimension) :

Or, le produit d'une force par une longueur est homogène au travail d'une force, c'est-à-dire à une énergie :

En termes d'unités du Système International :

1. Estimation du pourcentage théorique de sétules

Chaque spatule est modélisée par un carré de côté c = 0{,}2\,\mu\text{m}, soit une surface :

La force d'adhérence exercée par une spatule située à la distance D du plafond vaut :

Le gecko dispose de N_{\text{sét, tot}} = 6\cdot 10^6 sétules, comportant chacune n_{\text{spat}} = 500 spatules. La surface totale de contact théorique est :

Si la totalité des spatules était en contact à la distance D, la force d'adhérence maximale théorique serait :

Le poids du gecko suspendu au plafond vaut :

Le pourcentage de sétules théoriquement nécessaire pour soutenir la masse de l'animal est donc :

2. Origine de l'adhérence et rôle du nombre élevé de sétules

• L'estimation théorique (\tau \approx 0{,}08\,\%) est du même ordre de grandeur que la valeur mesurée expérimentalement (0{,}04\,\%) : les interactions de Van der Waals suffisent amplement à expliquer la sustentation du gecko.

• En conditions réelles, le gecko mobilise certainement bien plus de sétules pour plusieurs raisons :

  • Rugosité du substrat : les surfaces réelles ne sont pas parfaitement planes à l'échelle nanométrique ; seules certaines spatules atteignent la distance optimale D = 1\text{ nm} ;
  • Dynamique du mouvement : lors de la marche ou de la course, le gecko doit compenser des forces d'inertie (accélérations, freinages), résister aux rafales de vent ou s'ancrer solidement face à d'éventuels prédateurs, ce qui impose une marge de sécurité considérable (facteur supérieur à 10^2 voire 10^3).

1. Modélisation, hypothèses et notations

• Système : le gecko, modélisé par un point matériel de masse m = 50\text{ g} = 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ kg}.
• Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un axe vertical (Oz) orienté vers le bas.
• Conditions initiales : le gecko lâche le plafond en z_0 = 0 avec une vitesse nulle (v_0 = 0).
• Phase 1 (chute libre) : sur une hauteur h = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}, le gecko est uniquement soumis à son poids \vec{P} = mg\vec{u}_z. Les frottements de l'air sont négligés au vu des faibles vitesses atteintes.

• Phase 2 (freinage) : le gecko s'agrippe à la paroi verticale à l'aide d'une seule patte sur une distance notée d. La patte exerce une force de cisaillement verticale ascendante (opposée au glissement), supposée constante :

  \vec{F} = - F \vec{u}_z \quad \text{avec} \quad F = \alpha F_{\text{max}}

  où F_{\text{max}} = 10\text{ N} et \alpha = 0{,}50 (soit F = 5{,}0\text{ N}). L'arrêt complet correspond à v_f = 0 à la distance totale parcourue h + d.

2. Bilan énergétique et calcul littéral

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique au gecko entre l'instant initial (lâcher, v_0 = 0) et l'instant final (arrêt complet, v_f = 0) :

Les forces travaillant sur l'ensemble du déplacement sont :

• Le poids \vec{P}, force motrice qui travaille sur la hauteur totale descendue h + d :

  W(\vec{P}) = mg(h + d)

• La force de cisaillement \vec{F}, force résistante qui ne travaille que sur la distance de freinage d :

  W(\vec{F}) = \vec{F} \cdot (d \vec{u}_z) = - F d

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit donc :

En regroupant les termes en d :

D'où l'expression littérale de la distance d'arrêt :

3. Application numérique

Les valeurs numériques données sont :

• m = 5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ kg}
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• P = mg = 5{,}0\cdot 10^{-2} \times 9{,}81 = 0{,}49\text{ N}
• F = 0{,}50 \times 10 = 5{,}0\text{ N}
• h = 0{,}10\text{ m}

Il vient :

Le flux thermique \Phi_{\mathrm{th}} à travers une surface orientée \mathcal{S} est le flux du vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\mathrm{th}} à travers cette surface :

La norme \|\vec{j}_{\mathrm{th}}\| représente ainsi la puissance thermique (ou le transfert d'énergie thermique par unité de temps) traversant une unité de surface perpendiculaire à la direction d'écoulement de la chaleur. Il s'agit d'un flux thermique surfacique.

Le flux \Phi_{\mathrm{th}} s'exprimant en watts (\mathrm{W}) et une surface en mètres carrés (\mathrm{m}^2), l'unité du vecteur densité de courant thermique dans le Système international est :

Dans un milieu homogène et isotrope de conductivité thermique \lambda, le transfert thermique par conduction est régi par la loi de Fourier :

D'après l'énoncé, en négligeant les effets de bord et en exploitant la symétrie cylindrique, la température ne dépend que de la distance \rho à l'axe (O, \vec{u}_z) : T(M) = T(\rho). L'opérateur gradient en coordonnées cylindriques se réduit donc à sa seule composante radiale :

On en déduit immédiatement :

Justification physique du signe moins :

Le gradient \overrightarrow{\operatorname{grad}}\, T pointe vers les zones de température croissante. Conformément au second principe de la thermodynamique, la chaleur diffuse spontanément des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides. Le signe moins garantit ainsi que le vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\mathrm{th}} est orienté dans le sens des températures décroissantes.

Considérons le système fermé constitué par le milieu délimité par les deux cylindres de rayons \rho et \rho + \mathrm{d}\rho, de longueur \ell.

En l'absence de transferts par les parois planes (transfert purement radial, effets de bord négligés) et sans source interne de chaleur, le bilan d'énergie interne pour ce système entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit, d'après le premier principe :

où \Phi(\rho) est le flux thermique orienté selon les \rho croissants traversant la surface cylindrique d'aire S(\rho) = 2\pi\rho\ell.

Le régime étant stationnaire, l'énergie interne du système est constante (\mathrm{d}U = 0), d'où :

D'après la question Q11, la loi de Fourier donne pour la densité de flux :

Le flux thermique à travers le cylindre de rayon \rho s'exprime donc par :

Puisque \Phi(\rho) est constant et que les paramètres géométriques et thermophysiques sont constants, on en déduit l'équation différentielle :

L'intégration conduit successivement à :

où C_1 et C_2 sont des constantes déterminées par les conditions aux limites :

• en \rho = R_1 : T(R_1) = C_2 = T_1 ;

• en \rho = R_2 : T(R_2) = C_1 \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) + T_1 = T_2, d'où :

  C_1 = \frac{T_2 - T_1}{\ln(R_2 / R_1)} = \frac{T_1 - T_2}{-\ln(R_2 / R_1)} = \frac{T_1 - T_2}{\ln(R_1 / R_2)}

On obtient finalement :

Par analogie avec la loi d'Ohm électrique (U = R\,I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un milieu séparant deux surfaces isothermes aux températures T_1 et T_2 traversé par un flux thermique \Phi_{\mathrm{th}} orienté de la surface chaude (1) vers la surface froide (2) est définie par :

Elle s'exprime en \mathrm{K\cdot W^{-1}}.

Le flux thermique sortant à travers un cylindre de rayon \rho \in [R_1, R_2] et de longueur \ell orienté vers l'extérieur s'écrit, d'après la loi de Fourier (Q11) :

D'après le profil de température obtenu en Q12 :

On en déduit la dérivée spatiale :

En injectant cette dérivée dans l'expression du flux thermique :

Ce flux est bien constant et indépendant de \rho en régime stationnaire sans terme source.

En appliquant la définition de la résistance thermique, on obtient :

On modélise le corps du manchot par un cylindre homogène de rayon R, de longueur \ell = 1{,}2\text{ m} et de masse M = 30\text{ kg}, constitué uniquement d'eau de masse volumique \rho_e = 1{,}00\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

Le volume du cylindre s'écrit :

La masse totale du manchot s'en déduit par :

On en déduit l'expression du rayon R :

Application numérique avec les données du préambule de la partie II et de la page 2 :

On retrouve bien l'ordre de grandeur de la valeur adoptée par le modèle :

Considérons le manchot comme un système fermé.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à ce système sous forme locale intégrée en puissance :

où :

• le métabolisme de l'animal libère une puissance interne d'origine biochimique, modélisée comme une puissance thermique volumique intégrée \mathcal{P}_m ;
• le transfert thermique avec l'extérieur correspond à un flux thermique cédé au milieu extérieur, noté \Phi_{\mathrm{th}} (dégagé par le manchot), soit un flux thermique reçu égal à -\Phi_{\mathrm{th}} ;
• aucun travail mécanique macroscopique n'est échangé avec l'extérieur.

Le bilan énergétique s'écrit donc :

En régime stationnaire, toutes les grandeurs d'état du manchot sont indépendantes du temps, en particulier sa température interne T_i et son énergie interne U, d'où :

On en déduit immédiatement :

Le flux thermique dissipé vers le milieu extérieur compense exactement l'énergie thermique produite par le métabolisme.

En régime stationnaire et en l'absence de sources de chaleur au sein des couches isolantes, le même flux thermique radial \Phi_{\mathrm{th}} traverse successivement la couche de graisse, la couche d'air et la couche de plumes.

La chute de température globale entre l'intérieur du manchot (r=R) et la surface externe du plumage (r=R+e_g+e_a+e_p) est la somme des écarts de température aux bornes de chaque couche :

Par analogie électrique, ces trois résistances thermiques sont donc associées en série :

D'après le résultat de la question Q13, la résistance thermique d'un cylindre creux de conductivité \lambda, de longueur \ell, de rayon intérieur R_{\mathrm{int}} et extérieur R_{\mathrm{ext}} s'écrit R_{\mathrm{th}} = \frac{1}{2\pi\lambda\ell}\ln\left(\frac{R_{\mathrm{ext}}}{R_{\mathrm{int}}}\right). Les rayons successifs délimitant les couches sont :

• pour la graisse : R et R + e_g ;
• pour la couche d'air : R + e_g et R + e_g + e_a ;
• pour le plumage : R + e_g + e_a et R + e_g + e_a + e_p.

On en déduit l'expression de la résistance thermique équivalente :

Application numérique :

• R = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m}, \ell = 1{,}2\text{ m} ;
• Graisse : R + e_g = 12\text{ cm}, \lambda_g = 0{,}20\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• Air : R + e_g + e_a = 13\text{ cm}, \lambda_a = 0{,}026\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• Plumes : R + e_g + e_a + e_p = 15\text{ cm}, \lambda_p = 0{,}035\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Calculons la contribution de chaque couche :

D'où, par sommation :

Le flux thermique conducto-convectif \Phi_{\mathrm{th},cc} évacué à travers la surface latérale d'aire S du cylindre orientée par le vecteur normal extérieur \vec{u}_\rho s'écrit :

Les températures de surface T_p et de l'air ambiant T_e, ainsi que le coefficient d'échange h, étant supposés uniformes sur cette surface :

Par définition de la résistance thermique associée à l'écart de température T_p - T_e traversé par le flux \Phi_{\mathrm{th},cc} :

On en déduit immédiatement :

Le flux radiatif surfacique net \varphi_r cédé par le manchot à l'atmosphère est uniforme sur sa surface latérale d'aire S. Le flux thermique radiatif total s'exprime donc par :

Par définition, la résistance thermique associée au transfert entre la surface du plumage à la température T_p et le milieu extérieur à la température T_e est donnée par la relation :

En remplaçant \Phi_r par son expression, on obtient :

1. Association des résistances thermiques

Les transferts conducto-convectif et radiatif ont lieu simultanément et de manière indépendante entre la surface extérieure du manchot à la température T_p et le milieu extérieur à la température T_e.

Le flux thermique total \Phi_{\mathrm{th},2} quittant la surface latérale est donc la somme des deux flux :

En utilisant la relation entre flux et différence de température :

Les résistances thermiques R_{\mathrm{th},cc} et R_r sont donc associées en parallèle.

2. Expression littérale de R_{\mathrm{th},2}

D'après les questions précédentes, on a R_{\mathrm{th},cc} = \frac{1}{h S} et R_r = \frac{1}{4\sigma S T_e^3}. On en déduit :

3. Application numérique

• Température extérieure en kelvins :

  T_e = -17 + 273{,}15 = 256{,}15\text{ K}

• Coefficient conducto-convectif pour V = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

  h = 5{,}7 + 3{,}5 \times 5{,}0 = 23{,}2\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}

• Coefficient radiatif effectif h_r = 4\sigma T_e^3 :

  h_r = 4 \times 5{,}67\cdot 10^{-8} \times (256{,}15)^3 \approx 3{,}81\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}

• Aire de la surface latérale externe S : le rayon extérieur correspond au rayon du corps auquel s'ajoutent les épaisseurs des trois couches :

  R_{\mathrm{ext}} = R + e_g + e_a + e_p = 10 + 2{,}0 + 1{,}0 + 2{,}0 = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m}
  S = 2\pi R_{\mathrm{ext}} \ell = 2\pi \times 0{,}15 \times 1{,}2 \approx 1{,}13\text{ m}^2

On obtient ainsi :

(Remarque : si l'on prend pour surface celle du cylindre central S = 2\pi R\ell \approx 0{,}75\text{ m}^2, on trouve R_{\mathrm{th},2} \approx 4{,}9\cdot 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}.)

En régime stationnaire et en l'absence de source volumique d'énergie dans les couches protectrices et à la surface externe, le flux thermique \Phi_{\mathrm{th}} issu de l'organisme traverse successivement la résistance conductive globale des trois couches R_{\mathrm{th},1}, puis l'interface externe avec l'environnement modélisée par R_{\mathrm{th},2}.

La chute de température totale s'écrit comme la somme des écarts de température intermédiaires :

Le même flux thermique traversant ces deux étages thermiques, les résistances thermiques R_{\mathrm{th},1} et R_{\mathrm{th},2} sont associées en série :

D'après la question Q15, le flux thermique cédé au milieu extérieur compense exactement la puissance métabolique en régime stationnaire, soit \Phi_{\mathrm{th}} = \mathcal{P}_m. Il vient donc :

Application numérique : D'après les résultats des questions Q16 et Q19 :

On en déduit la résistance thermique totale :

Avec T_i = 37{,}7\,^\circ\text{C} et T_e = -17\,^\circ\text{C}, l'écart de température vaut :

On obtient finalement :

La puissance métabolique calculée est bien de l'ordre de 50\text{ W}.

1. Discussion de la modélisation :

• La puissance métabolique calculée à la question Q20 (\mathcal{P}_m \approx 50\text{ W}) est du même ordre de grandeur que les mesures expérimentales (entre 43\text{ W} et 85\text{ W}), ce qui confirme la pertinence globale du modèle thermique (résistances de conduction du manteau multicouche en série avec les résistances de convection et de rayonnement).

• Pour un manchot strictement isolé, la mesure expérimentale donne \mathcal{P}_m = 85\text{ W}. Notre modèle sous-estime donc les déperditions réelles d'un individu isolé d'environ 40\,\%. Plusieurs approximations expliquent cet écart :

  • l'absence de prise en compte des extrémités (pattes, ailes, tête, bec) et des bases du cylindre (contact avec la glace sous les pattes, pertes par la calotte crânienne) ;
  • sous un vent soutenu de 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, le plumage peut être localement désorganisé, comprimant la couche d'air duveteuse (e_a) ou augmentant la perméabilité à l'air, ce qui diminue la résistance d'isolation R_{\mathrm{th},1} ;
  • la modélisation suppose un régime stationnaire et un animal passif, sans prise en compte des dépenses supplémentaires de thermogenèse (frissons) ou des mouvements de l'animal.
• La valeur théorique calculée (50\text{ W}) est en revanche remarquablement proche de celle mesurée pour des individus en petits groupes (52\text{ W}).

2. Explication de l'effet des grands rassemblements (thermorégulation sociale) :

Lorsqu'ils s'agrègent en groupes denses (formation d'un « huddle » ou colonie compacte) :

• Réduction de la surface d'échange : la surface corporelle en contact avec l'environnement froid et venteux diminue considérablement. Les flancs des manchots sont plaqués contre leurs congénères ; la différence de température entre individus voisins étant quasi nulle, le flux thermique latéral s'annule.
• Protection contre le vent : les individus périphériques forment un écran qui réduit la vitesse locale de l'air V à l'intérieur du groupe, abaissant drastiquement le coefficient convectif h.
• Échauffement du microclimat : la chaleur piégée au sein du groupe réchauffe l'air interstitiel, diminuant le gradient global T_i - T_{\mathrm{ext}}.

La puissance métabolique requise chute ainsi de 85\text{ W} à 43\text{ W} (réduction de près de 50\,\%), ce qui permet à l'animal d'économiser crucialement ses réserves de graisse tout au long du rude hiver polaire.

Considérons une coupe verticale passant par l'axe de symétrie et le centre O de la bulle sphérique de rayon R.

• Le sommet de la bulle se trouve à la distance R du centre O.
• La hauteur de la bulle au-dessus du plan de l'ouverture du compte-gouttes valant b, la distance algébrique entre le centre O et le plan de l'ouverture vaut R - b.
• Le bord de l'ouverture du compte-gouttes, de rayon a, est situé sur la surface de la bulle, à une distance R du centre O.

Dans le triangle rectangle formé par le centre O, le centre du cercle d'ouverture du compte-gouttes et un point situé sur le bord de cette ouverture, le théorème de Pythagore s'écrit :

En développant le terme de droite :

Comme b > 0, on en déduit l'expression du rayon de la bulle :

Le manomètre en U contient de l'eau de masse volumique \rho_e.

• La branche reliée au compte-gouttes est au contact de l'air enfermé à l'intérieur de la bulle, à la pression P_{\text{int}}. En négligeant la masse volumique de l'air devant celle de l'eau, la pression au niveau du ménisque de cette branche (noté A sur la figure 5 (a)) est égale à la pression interne :

  P_A = P_{\text{int}}

• L'autre branche est ouverte sur l'air ambiant, à la pression atmosphérique P_{\text{ext}} = P_{\text{atm}}. Au niveau du ménisque libre (noté B), la pression vaut donc :

  P_B = P_{\text{atm}}

D'après la loi fondamentale de la statique des fluides appliquée dans l'eau au repos (en prenant l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut) :

Par définition, la surpression dans la bulle est \Delta P = P_{\text{int}} - P_{\text{atm}} = P_A - P_B, d'où la relation :

D'après la loi de Laplace rappelée dans le préambule de la sous-partie III.1, la surpression dans la bulle d'eau savonneuse s'écrit :

En injectant l'expression du rayon de courbure R = \dfrac{a^2+b^2}{2b} obtenue en Q22 et celle de la surpression \Delta P = \rho_e g h issue de la relation fondamentale de la statique des fluides en Q23, il vient :

Application numérique : Avec b = 2{,}0\text{ mm} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, a = \dfrac{b}{2} = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, h = 9{,}0\text{ mm} = 9{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, \rho_e = 1{,}00\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Comparaison et interprétation : On constate que la tension superficielle de l'eau savonneuse \gamma \approx 28\text{ mN}\cdot\text{m}^{-1} est très inférieure à celle de l'eau pure \gamma_e = 73\text{ mN}\cdot\text{m}^{-1} (d'un facteur d'environ 2,6).

Cette baisse s'explique par la nature des molécules de savon, qui sont des espèces tensioactives constituées d'une tête polaire hydrophile et d'une longue queue hydrophobe. Ces molécules s'adsorbent préférentiellement aux interfaces eau/air en orientant leur chaîne hydrophobe vers l'air, ce qui diminue considérablement l'énergie libre de surface et abaisse la tension superficielle, facilitant ainsi l'étalement du film et la stabilisation de la bulle.

Dénomination « franges d'égale épaisseur » :

L'intensité résultant de l'interférence de deux ondes dépend du déphasage entre ces ondes, donc de la différence de marche optique \delta. Dans le cas présent, l'éclairage s'effectuant sous incidence normale et sans déphasage aux réflexions, la différence de marche s'écrit :

où n_{\ell} est l'indice optique du liquide et e(r) l'épaisseur locale de la goutte.

Une frange d'interférence correspond à un lieu de déphasage constant, c'est-à-dire à une différence de marche \delta fixée. L'indice n_{\ell} étant uniforme, une telle ligne d'isovaleur de \delta correspond à une ligne d'épaisseur constante e(r) = \mathrm{cste} du liquide : c'est pourquoi on qualifie ces franges de franges d'égale épaisseur.

Forme circulaire des franges :

La goutte présente une forme de calotte sphérique posée sur un plan horizontal, ce qui lui confère une symétrie de révolution autour de l'axe vertical (O, \vec{u}_z) passant par son centre.

L'épaisseur e(r) ne dépend donc que de la distance radiale r à cet axe. L'ensemble des points vérifiant la condition d'égale épaisseur e(r) = \mathrm{cste} correspond donc à r = \mathrm{cste}, c'est-à-dire à des cercles centrés sur l'axe (O, \vec{u}_z).

Par conséquent, les franges d'interférences observées sont des anneaux circulaires concentriques.

Les franges d'égale épaisseur étant localisées au niveau de la goutte (au voisinage du plan du substrat), il convient de conjuguer optiquement cette zone avec le plan d'observation :

• Sur un écran ou une caméra : on interpose un système optique convergent (lentille convergente ou objectif de microscope) entre la goutte et le récepteur (écran dépoli ou capteur d'une caméra CCD/CMOS), de façon à ce que le plan du substrat et le récepteur soient conjugués par le système optique selon la relation de conjugaison de Descartes :

  \boxed{\text{Plan du substrat et plan du récepteur conjugués par une lentille ou un objectif}}
• À l'œil nu : un observateur peut les voir directement en accommodant sur la surface du substrat (le cristallin jouant le rôle de lentille projetant l'image nette sur la rétine).

En pratique, les dimensions de la goutte étant microscopiques (diamètre de l'ordre de 170\ \mu\text{m}), l'emploi d'un microscope optique muni d'une caméra numérique s'avère indispensable pour obtenir un grandissement suffisant.

On se place dans une coupe méridienne de la goutte passant par l'axe de symétrie (O, \vec{u}_z), rapportée à un repère d'origine le centre O de la sphère. L'axe vertical est orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_z dirigé vers le haut, et l'axe radial horizontal est orienté par \vec{u}_r.

1. Cote du point P sur la calotte sphérique Le point P situé à la distance radiale r de l'axe (Oz) appartient au cercle de centre O et de rayon R. Ses coordonnées (r, z_P) vérifient donc :

Comme la goutte est située dans le demi-espace z > 0, la cote de P est :

2. Cote du substrat Considérons un point C situé sur la ligne de contact triple (à la périphérie de la goutte). Par définition, l'angle de contact \theta_E est l'angle entre le plan horizontal du substrat et le plan tangent à la calotte sphérique en C.

Le rayon vecteur \vec{OC} étant normal à la surface sphérique et le vecteur unitaire \vec{u}_z étant normal au substrat, l'angle entre les deux normales (\vec{u}_z, \vec{OC}) est égal à l'angle entre les deux plans, c'est-à-dire \theta_E. La projection de \vec{OC} sur l'axe vertical donne ainsi la cote du point C :

Le substrat étant un plan horizontal perpendiculaire à (Oz), tous ses points ont la même cote z_S = z_C = R \cos\theta_E.

3. Épaisseur locale de la goutte L'épaisseur e(r) de la goutte au point P correspond à la distance verticale entre le point P de la surface libre et le point I correspondant situé sur le substrat (z_I = z_S) :

Sur la ligne de contact triple entre le solide, le liquide et l'air (en r = d/2), l'épaisseur de la goutte est nulle : e(d/2) = 0. En utilisant l'expression issue de la question précédente :

Sachant que 1 - \cos^2\theta_E = \sin^2\theta_E, on obtient la relation géométrique exacte :

(Cette relation se lit également de manière directe dans le triangle rectangle reliant le centre O, le centre du disque de contact et la ligne triple).

À l'ordre 2 en \theta_E, le développement de la fonction sinus s'écrit \sin\theta_E = \theta_E + \mathcal{O}(\theta_E^3), le terme d'ordre 2 étant nul. On en déduit :

Développons à présent l'expression de l'épaisseur locale e(r) :

Puisque r \le d/2 \cong R\theta_E \ll R, on a \frac{r^2}{R^2} = \mathcal{O}(\theta_E^2). On peut donc développer la racine carrée et le cosinus au deuxième ordre en \theta_E :

Il vient ainsi :

En remplaçant R par \frac{d}{2\theta_E}, on obtient :

En factorisant par \frac{1}{4}d\theta_E, on parvient bien à l'expression attendue :

D'après l'énoncé, le faisceau laser arrive sous incidence normale au substrat et l'on néglige la déviation par réfraction sur le dioptre air/liquide. Le rayon réfracté effectue un aller-retour dans la goutte sur une épaisseur géométrique e(r) au sein d'un milieu d'indice de réfraction n_\ell. En admettant qu'aucun déphasage supplémentaire n'est introduit lors des réflexions en P et en I, la différence de marche optique \delta(r) entre les deux rayons réfléchis s'écrit :

Par définition, l'ordre d'interférences est donné par :

En utilisant l'expression approchée de l'épaisseur e(r) établie à la question Q28 :

on en déduit l'expression de l'ordre d'interférences :

D'après la question Q29, l'ordre d'interférences s'écrit :

où p_0 \in \mathbb{N} et 0 \le \varepsilon < 1.

La fonction p(r) est une fonction strictement décroissante de r sur [0, d/2], passant de p(0) = p_0 + \varepsilon au centre à p(d/2) = 0 sur la ligne de contact au bord de la goutte.

Un anneau brillant correspond à un ordre d'interférences entier. En s'éloignant du centre (r croissant), l'ordre décroît continûment depuis p_0 + \varepsilon. Le premier entier rencontré est p_0 (pour m=1), le deuxième est p_0 - 1 (pour m=2), et ainsi de suite :

Au bord de la goutte (r = d/2), l'épaisseur est nulle donc p(d/2) = 0. Les anneaux brillants observables à l'intérieur de la calotte sphérique (0 < r_m < d/2) correspondent à des entiers strictement positifs :

Soit, en remplaçant par l'expression de p(r_m) :

Le nombre maximal d'anneaux brillants observables est donc :

D'après la question Q29, l'ordre d'interférences au rayon r s'écrit :

avec p(0) = p_0 + \varepsilon (question Q30).

Au niveau du m-ième anneau brillant de rayon r_m, l'ordre d'interférences vaut p(r_m) = p_0 - m + 1 (d'après Q30). On a donc :

ce qui conduit à :

Le carré du rayon r_m^2 est donc une fonction affine de l'entier m, de la forme :

où la pente de la droite s'écrit :

Pour exploiter graphiquement les mesures :

• on calcule les valeurs de r_m^2 associées à chaque anneau ;
• on trace la droite d'ajustement r_m^2 = f(m) ;
• on détermine graphiquement (ou par régression linéaire) la pente s de cette droite ;
• on en déduit finalement l'angle de contact :

Calculons les valeurs de r_m^2 à partir des données du tableau 2 :

L'accroissement moyen de r_m^2 par ordre est :

(une régression linéaire sur les 6 points donne de même s \approx 1{,}19\cdot 10^{-9}\text{ m}^2).

En utilisant n_\ell = 1{,}4, d = 174\,\mu\text{m} = 174\cdot 10^{-6}\text{ m}, \lambda_0 = 658\text{ nm} = 658\cdot 10^{-9}\text{ m} et s = 1{,}20\cdot 10^{-9}\text{ m}^2 :

L'équation de Navier-Stokes sous sa forme réduite s'écrit :

Tous les termes ont la dimension d'une force par unité de volume (en \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-3}) :

• Terme convectif d'inertie \rho (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} :
  Il représente la densité volumique des forces d'inertie convectives (ou le transport convectif de quantité de mouvement par unité de volume). Il traduit l'accélération subie par une particule fluide en raison de l'hétérogénéité spatiale du champ de vitesse lors de son déplacement. Le terme d'accélération locale \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} est absent car l'écoulement est supposé stationnaire.
• Terme de pression -\vec{\operatorname{grad}}(P) :
  Il correspond à la résultante des forces de pression s'exerçant sur le volume élémentaire de fluide par unité de volume. Le signe « moins » indique que cette force surfacique nette est dirigée des zones de plus haute pression vers les zones de plus basse pression.
• Terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v} :
  Il représente la résultante des forces de frottement visqueux internes (contraintes de cisaillement) par unité de volume, associées aux échanges microscopiques de quantité de mouvement entre couches fluides en glissement relatif, pour un fluide newtonien incompressible de viscosité dynamique \eta.

Le nombre de Reynolds Re compare les effets inertiels aux effets visqueux. Il est défini par :

où :

• \rho_e = 1{,}00 \cdot 10^{3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est la masse volumique de l'eau ;
• v = 1\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est la vitesse caractéristique de l'écoulement ;
• h = 10\,\mu\text{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ m} est la dimension transversale caractéristique du canal ;
• \eta_e = 1{,}00 \cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} est la viscosité dynamique de l'eau à 20\,^\circ\text{C}.

Application numérique :

Puisque Re \ll 1, le terme convectif d'inertie \rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} est tout à fait négligeable devant le terme de diffusion visqueuse \eta \Delta\vec{v}. L'équation de Navier-Stokes se simplifie alors en l'équation de Stokes (régime d'écoulement rampant) :

soit encore :

Le champ des vitesses d'un écoulement unidirectionnel stationnaire s'écrit par hypothèse :

Calculons le terme d'accélération convective (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} en coordonnées cartésiennes :

En appliquant cet opérateur au champ des vitesses :

Or, v_x ne dépend que de la variable d'espace z, si bien que sa dérivée partielle par rapport à x est identiquement nulle :

Le terme d'accélération convective s'annule donc de façon exacte du fait de la cinématique de l'écoulement. L'équation de Navier-Stokes se simplifie ainsi en :

Cette simplification est rigoureusement exacte, quelle que soit la valeur du nombre de Reynolds \mathrm{Re}.

D'après la question Q34, l'équation de Navier-Stokes stationnaire pour un tel écoulement parallèle se simplifie en :

Le champ des vitesses s'écrit \vec{v} = v_x(z)\vec{u}_x. Par définition du laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes donnée dans l'énoncé :

car v_x ne dépend que de la seule variable z, et les composantes v_y et v_z sont identiquement nulles.

En projetant l'équation de Stokes sur les trois axes cartésiens :

• Selon \vec{u}_y : -\dfrac{\partial P}{\partial y} = 0 \implies P est indépendante de y ;
• Selon \vec{u}_z : -\dfrac{\partial P}{\partial z} = 0 \implies P est indépendante de z ;
• Selon \vec{u}_x :

D'après la question Q35, l'équation régissant l'écoulement s'écrit :

Comme le gradient de pression horizontal est imposé constant : \frac{\partial P}{\partial x} = -K avec K > 0, la fonction v_x(z) ne dépend que de z et vérifie :

Une première intégration donne :

Une seconde intégration conduit à la forme générale :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration réelles.

Évaluons la vitesse et son gradient aux deux parois z = \pm h/2 :

Les conditions aux limites proposées par Navier et Maxwell s'écrivent :

Par soustraction de ces deux relations, on obtient :

Or, l'expression générale de v_x(z) donne :

On en déduit :

Ce résultat traduit la parité du profil de vitesse par rapport au plan médian z=0, imposée par la symétrie du canal et des conditions aux limites.

Il vient alors :

En identifiant avec l'expression de v_x(+h/2) :

En réinjectant C_1 et C_2 dans le champ de vitesse :

On regroupe les termes pour faire apparaître le profil sous la forme demandée :

D'après la question Q36, le profil de vitesse s'écrit :

Les plans théoriques où la vitesse s'annulerait vérifient la condition v_x(z_0) = 0, soit :

On en déduit deux positions symétriques par rapport au plan médian :

Dans l'hypothèse où la longueur de glissement est très petite devant la hauteur du canal (L_g \ll h), le terme 4L_g / h \ll 1. On effectue un développement limité à l'ordre 1 :

La valeur absolue de la position z_0 devient donc :

ce qui conduit immédiatement à la relation attendue :

Les parois réelles du canal étant situées en z = \pm h/2, la cote théorique d'annulation |z_0| est strictement supérieure à h/2 : la vitesse du fluide ne s'annule pas à la paroi (il y a glissement), mais s'annulerait si l'on prolongeait fictivement le profil de vitesse parabolique à l'intérieur du solide sur une profondeur égale à L_g.

La grandeur L_g mesure donc la distance d'extrapolation fictive dans la paroi solide au bout de laquelle la vitesse s'annule, ce qui justifie son appellation de longueur de glissement.

Le débit volumique D_v à travers une section droite S normale à \vec{u}_x, de largeur \ell selon l'axe (Oy) et s'étendant de z = -h/2 à z = +h/2, s'écrit :

D'après le résultat de la question Q36, le profil de vitesse est :

Comme la fonction v_x(z) est paire, l'intégrale s'exprime sous la forme :

Calculons séparément chacune des contributions :

En combinant ces deux termes et en multipliant par 2\ell, on obtient :

On peut factoriser cette expression sous la forme usuelle :