Feuille d'entraînement : Fluides visqueux

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q23

   L'équation de Navier-Stokes fournie en annexe s'écrit pour une particule fluide de masse volumique \mu et de viscosité dynamique \eta :

   \mu \left[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v} \right] = \vec{f}_{\mathrm{vol}} - \vec{\mathrm{grad}}\,p + \eta \Delta \vec{v}

   Elle correspond au principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide par unité de volume (\mu \frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \vec{f}_{\text{vol, total}}). Chacun de ses termes s'interprète ainsi :

   • \mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} : terme d'accélération locale (par unité de volume), traduisant l'instationnarité temporelle de l'écoulement en un point fixe du référentiel d'étude ;
   • \mu (\vec{v} \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v} : terme d'accélération convective (ou advective) par unité de volume, traduisant le transport de quantité de mouvement par l'écoulement lui-même d'un point à un autre de l'espace ;
   • -\vec{\mathrm{grad}}\,p : force volumique issue des contraintes normales de pression, traduisant l'effet des gradients de pression au sein du fluide ;
   • \eta \Delta \vec{v} : force volumique de viscosité, traduisant la diffusion moléculaire de quantité de mouvement due aux frottements internes pour un fluide newtonien incompressible ;
   • \vec{f}_{\mathrm{vol}} : résultante volumique des forces à distance et d'inertie.

   Dans le référentiel lié au plateau tournant à la vitesse angulaire uniforme \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z, référentiel non galiléen, les forces volumiques \vec{f}_{\mathrm{vol}} appliquées au fluide comprennent :

   1. Le poids volumique dû à la pesanteur :

      \vec{f}_{\text{pes}} = \mu \vec{g} = -\mu g \vec{e}_z

   2. La force d'inertie d'entraînement (purement centrifuge car \vec{\omega} = \text{cte}) :

      \vec{f}_{\mathrm{ie}} = -\mu \left( \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}) \right) = \mu \omega^2 r\,\vec{e}_r

   3. La force d'inertie de Coriolis :

      \vec{f}_{\mathrm{ic}} = -2\mu (\vec{\omega} \wedge \vec{v})

   D'où l'expression globale des forces volumiques :

   \boxed{\vec{f}_{\mathrm{vol}} = -\mu g\,\vec{e}_z + \mu \omega^2 r\,\vec{e}_r - 2\mu (\vec{\omega} \wedge \vec{v})}

   Résultat

   $${\vec{f}}_{\mathrm{vol}}=-\mu g{\vec{e}}_z+\mu {\omega }^{2}r{\vec{e}}_r-2\mu (\vec{\omega }\wedge \vec{v})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q28

   Le nombre de Reynolds \mathrm{Re} est un nombre sans dimension comparant l'ordre de grandeur des forces d'inertie convectives à celui des forces visqueuses :

   \mathrm{Re} = \frac{\|\mu (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}\|}{\|\eta \Delta \vec{v}\|} \sim \frac{\mu V L}{\eta}

   où V est une vitesse caractéristique de l'écoulement, L une dimension caractéristique du système, \mu la masse volumique du fluide et \eta sa viscosité dynamique.

   Estimons les grandeurs caractéristiques :

   • La goutte s'étale sur une distance radiale de l'ordre de R_{\max} = 10\text{ cm} pendant la durée de rotation T = 30\text{ s}, ce qui conduit à une vitesse d'écoulement radial typique :

     V \sim \frac{R_{\max}}{T} = \frac{0{,}10}{30} \simeq 3{,}3 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
   • Dans l'approximation du film mince (h \ll R), le cisaillement visqueux s'établit principalement sur l'épaisseur du film liquide (cf. question Q27). L'échelle spatiale pertinente pour les gradients de vitesse est donc l'épaisseur h \lesssim h_0 = 0{,}5\text{ mm} = 5 \times 10^{-4}\text{ m}.

   L'évaluation numérique du nombre de Reynolds donne :

   \mathrm{Re} \sim \frac{\mu V h_0}{\eta} = \frac{1{,}06 \times 10^3 \times 3{,}3 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-4}}{3{,}6 \times 10^{-2}} \simeq 4{,}9 \times 10^{-2} \ll 1

   Même en choisissant l'échelle macroscopique L \sim R_{\max} \sim 0{,}1\text{ m}, le rapport effectif entre l'inertie convective et le terme visqueux dominant établi en Q27 vaut :

   \frac{\|\mu v_r \frac{\partial v_r}{\partial r}\|}{\|\eta \frac{\partial^2 v_r}{\partial z^2}\|} \sim \frac{\mu \frac{V^2}{R}}{\eta \frac{V}{h^2}} = \left(\frac{\mu V h}{\eta}\right)\left(\frac{h}{R}\right) \ll 1

   Puisque \mathrm{Re} \ll 1, le terme d'inertie convective (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} est tout à fait négligeable devant le terme de viscosité \eta \Delta \vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes.

   L'équation se simplifie ainsi en :

   \boxed{\mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \simeq \vec{f}_{\mathrm{vol}} - \vec{\operatorname{grad}} p + \eta \Delta \vec{v}}

   (Équation de Stokes instationnaire).

   Résultat

   $$\mu \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\simeq {\vec{f}}_{\mathrm{vol}}-\overrightarrow{\mathrm{grad}}p+\eta \Delta \vec{v}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q31

   Condition en z = 0 : Le plan z = 0 correspond à la surface du substrat, immobile dans le référentiel lié au plateau tournant. Pour un fluide visqueux au contact d'une paroi solide, la condition cinétique d'adhérence (non-glissement) impose l'annulation de la vitesse relative du fluide par rapport à la paroi :

   \boxed{v_r(r, z=0, t) = 0}

   Condition en z = h(r, t) : Le plan z = h(r, t) représente l'interface libre entre le liquide organique et l'air.

   • L'air a une viscosité dynamique négligeable devant celle du liquide (\eta_{\text{air}} \sim 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} \ll \eta = 3{,}6 \times 10^{-2}\text{ Pa}\cdot\text{s}) : il n'exerce pratiquement aucun cisaillement sur le film liquide.
   • L'énoncé précise que l'interface présente une pente très faible (\partial h / \partial r \ll 1) ; le vecteur unitaire normal à la surface libre est donc assimilable à \vec{e}_z, et le vecteur tangent est dirigé selon \vec{e}_r.

   La contrainte de cisaillement tangentielle exercée sur le liquide à la surface libre est donc nulle :

   \sigma_{rz}(z = h) = \eta \left( \frac{\partial v_r}{\partial z} + \frac{\partial v_z}{\partial r} \right)_{z=h} = 0

   L'écoulement étant quasi unidirectionnel (v_z \ll v_r) avec des variations radiales bien plus lentes que les variations transverses (\partial/\partial r \ll \partial/\partial z), le gradient \partial v_z/\partial r est négligeable devant \partial v_r/\partial z. On en déduit :

   \boxed{\left(\frac{\partial v_r}{\partial z}\right)_{z=h} = 0}

   Résultat

   $$v_r(r,z=0,t)=0$$

   $${\left(\frac{\partial v_r}{\partial z}\right)}_{z=h}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie PC 2026, Q15

   L'équation de Navier-Stokes (1) s'écrit :

   \rho \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}\right) = \rho\vec{g} - \vec{\nabla}P + \eta \vec{\Delta}\vec{v}

   Évaluons l'ordre de grandeur des forces volumiques d'inertie convective et des forces de diffusion visqueuse :

   • Terme convectif d'inertie :

     \|\rho (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}\| \sim \rho \frac{U^2}{L}

   • Terme de viscosité :

     \|\eta \vec{\Delta}\vec{v}\| \sim \eta \frac{U}{L^2}

   Le nombre de Reynolds R_e est défini par le rapport sans dimension de l'ordre de grandeur des termes inertiels sur celui des termes visqueux :

   R_e = \frac{\|\rho (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}\|}{\|\eta \vec{\Delta}\vec{v}\|} \sim \frac{\rho \dfrac{U^2}{L}}{\eta \dfrac{U}{L^2}}

   On obtient ainsi :

   \boxed{R_e = \frac{\rho U L}{\eta}}

   Signification physique :

   • Le nombre de Reynolds quantifie l'importance relative des effets inertiels devant les forces de dissipation visqueuse au sein de l'écoulement.

   • Il détermine le régime de l'écoulement :

     • si R_e \ll 1, les forces de viscosité dominent très largement (régime laminaire rampant ou écoulement de Stokes) ;
     • si R_e \gg 1, les effets inertiels l'emportent sur la viscosité en dehors des couches limites (l'écoulement peut être modélisé comme parfait, devenant potentiellement turbulent au-delà d'une valeur critique).

   Résultat

   $$R_e=\frac{\rho UL}{\eta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q28

   À haut nombre de Reynolds (Re \sim 10^6 \gg 1), les effets inertiels l'emportent largement devant les forces visqueuses. L'écoulement présente un sillage turbulent à l'arrière de l'obstacle et la traînée est quadratique en vitesse (régime inertiel de Newton).

   Pour une sphère de diamètre d (rayon R = d/2) se déplaçant à la vitesse \vec{U} dans de l'eau au repos (de masse volumique \rho_{\text{eau}}), la force de traînée s'oppose au mouvement et s'écrit vectoriellement :

   \vec{F}_t = -\frac{1}{2}\,\rho_{\text{eau}}\,C_x\,S\,U\,\vec{U}

   où :

   • S = \pi R^2 = \dfrac{\pi d^2}{4} est le maître-couple (section droite frontale perpendiculaire à l'écoulement) ;
   • C_x (ou C_D) est le coefficient de traînée sans dimension (de l'ordre de 0{,}4 à 0{,}5 pour une sphère dans cette gamme de nombre de Reynolds avant la crise de traînée) ;
   • \rho_{\text{eau}} est la masse volumique de l'eau.

   En norme, l'expression scalaire de la force de traînée s'écrit :

   \boxed{F_t = \frac{1}{2}\,\rho_{\text{eau}}\,C_x\,S\,U^2 = \frac{1}{8}\,\pi\,\rho_{\text{eau}}\,C_x\,d^2\,U^2}

   Résultat

   $$F_t=\frac{1}{2}{\rho }_{\text{eau}}{C}_{x}S{U}^2=\frac{1}{8}\pi {\rho }_{\text{eau}}{C}_x{d}^2{U}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q27

   1. Expression du gradient de pression statique

   En l'absence d'onde sonore, le fluide possède une vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x uniforme et constante dans le temps, une masse volumique constante \rho_0, et une pression p_{\text{st}}(z). Toutes les dérivées spatio-temporelles du champ de vitesse s'annulent :

   \frac{\partial \vec{v}_0}{\partial t} = \vec{0}, \quad (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_0 = \vec{0}, \quad \Delta \vec{v}_0 = \vec{0}

   L'équation de Navier–Stokes se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

   \vec{0} = -\vec{\mathrm{grad}}\,p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g}

   Comme \vec{g} = -g \vec{u}_z et que p_{\text{st}} ne dépend que de la cote z, la projection sur l'axe vertical \vec{u}_z donne directement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}p_{\text{st}}}{\mathrm{d}z} = -\rho_0 g}

   (Compte tenu de la condition à la surface libre p_{\text{st}}(0) = p_0, on retrouve la loi hydrostatique p_{\text{st}}(z) = p_0 - \rho_0 g z).

   2. Forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes

   En présence de l'onde acoustique, on décompose les champs sous la forme :

   p = p_{\text{st}}(z) + p_1(\vec{r},t), \quad \rho = \rho_0 + \rho_1(\vec{r},t), \quad \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}_1(\vec{r},t)

   où p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 sont des perturbations acoustiques de petite amplitude (grandeurs du premier ordre).

   L'équation de Navier–Stokes devient :

   (\rho_0 + \rho_1)\left[ \frac{\partial \vec{v}_1}{\partial t} + \left((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}}\right)(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) \right] = -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} - \vec{\mathrm{grad}} p_1 + (\rho_0 + \rho_1)\vec{g} + \eta \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1)

   Procédons aux simplifications :

   • Équilibre de base : D'après le résultat précédent, -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g} = \vec{0}.

   • Terme de pesanteur perturbé : Le terme résiduel de gravité est \rho_1 \vec{g}. En ordre de grandeur, \|\rho_1 \vec{g}\| \sim \rho_1 g \sim \frac{p_1}{c_a^2} g, tandis que le gradient de pression acoustique est de norme \|\vec{\mathrm{grad}} p_1\| \sim k p_1 = \frac{\omega}{c_a} p_1. Le rapport de ces deux termes vaut :

     \frac{\|\rho_1 \vec{g}\|}{\|\vec{\mathrm{grad}} p_1\|} \sim \frac{g}{\omega c_a}

     Pour des ondes acoustiques dans l'eau (c_a \simeq 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), dès que f \ge 10\text{ Hz} (\omega \ge 60\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega c_a \ge 9\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \gg g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. La force de pesanteur sur les surdensités acoustiques est donc négligeable devant la force de pression : \rho_1 \vec{g} \ll \vec{\mathrm{grad}} p_1.

   • Linéarisation du terme d'inertie : Au premier ordre, \rho_0 + \rho_1 \simeq \rho_0. Puisque \vec{v}_0 est uniforme, le terme convectif s'écrit :

     ((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}})(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 + \mathcal{O}(v_1^2)
   • Terme visqueux : \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = \Delta \vec{v}_1.

   On aboutit ainsi à la forme simplifiée (linéarisée) de l'équation de Navier–Stokes pour l'onde acoustique (notée ici avec \underline{p} et \underline{\vec{v}} conformément à la suite de l'énoncé) :

   \boxed{\rho_0 \left[ \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} + (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}} \right] = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}}

   Dans le cas particulier où l'eau est au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}, étudié dans la sous-partie II.1), celle-ci se réduit à :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{p}_{\text{st}}}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{0}g$$

   $${\rho }_0\left[\frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t}+({\vec{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}}\right]=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}+\eta \Delta \underline{\vec{v}}$$

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7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q1

   Par définition, le nombre de Reynolds \mathcal{R}_{\mathrm{e}} adimensionné s'écrit :

   \boxed{\mathcal{R}_{\mathrm{e}} = \frac{\rho v L}{\eta}}

   Dans l'équation de Navier-Stokes (1), les deux termes comparés par ce nombre sans dimension sont le terme convectif d'inertie et le terme visqueux :

   • le terme d'inertie convective \vec{T}_{\mathrm{iner}} = \rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v}, d'ordre de grandeur \rho \dfrac{v^2}{L} ;
   • le terme de diffusion visqueuse \vec{T}_{\mathrm{visq}} = \eta \vec{\Delta}\vec{v}, d'ordre de grandeur \eta \dfrac{v}{L^2}.

   Le nombre de Reynolds estime ainsi le rapport des normes de ces deux termes :

   \frac{\|\rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v}\|}{\|\eta \vec{\Delta}\vec{v}\|} \sim \frac{\rho \frac{v^2}{L}}{\eta \frac{v}{L^2}} = \frac{\rho v L}{\eta} = \mathcal{R}_{\mathrm{e}}

   L'interprétation physique de chacun de ces termes est la suivante :

   • Terme convectif d'inertie \rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v} : il traduit les effets d'inertie de l'écoulement, c'est-à-dire le transport de quantité de mouvement lié au mouvement macroscopique des particules fluides à travers des zones de vitesses différentes.
   • Terme visqueux \eta \vec{\Delta}\vec{v} : il traduit la diffusion moléculaire de la quantité de mouvement due aux frottements internes entre couches de fluide de vitesses différentes, responsable de la dissipation d'énergie mécanique sous forme thermique.

   Résultat

   $${\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}=\frac{\rho vL}{\eta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q5

   L'équation de Navier-Stokes s'écrit de façon générale :

   \rho\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{v}\right] = -\vec{\operatorname{grad}} P + \eta \vec{\Delta} \vec{v}

   Dans le cadre de l'écoulement considéré :

   • l'écoulement est stationnaire dans le référentiel d'étude, d'où \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0} ;
   • le régime de Stokes correspond à un nombre de Reynolds très faible (\mathcal{R}_{\mathrm{e}} \ll 1), de sorte que les effets inertiels (terme convectif (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{v}) sont négligeables devant les effets visqueux \dfrac{\eta}{\rho}\vec{\Delta}\vec{v}.

   Le terme d'accélération particulaire est donc totalement négligé devant les termes de force volumique.

   L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à l'équation de Stokes :

   \boxed{\vec{\operatorname{grad}} P = \eta \vec{\Delta} \vec{v}}

   À cette équation s'ajoute l'équation d'incompressibilité du fluide :

   \operatorname{div} \vec{v} = 0

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{grad}}P=\eta \vec{\Delta }\vec{v}$$

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9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q14

   Le champ de vitesse imposé par la géométrie du problème est unidirectionnel et stationnaire :

   \vec{v}(x,y,z) = u(z)\,\vec{e}_x

   Vérifions tout d'abord la condition d'incompressibilité :

   \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial u}{\partial x} = 0

   Cette condition est bien respectée quelle que soit la fonction u(z).

   Calculons les différents termes de l'équation de Navier-Stokes stationnaire :

   • Le terme temporel est nul en régime permanent : \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}.

   • Le terme convectif (non linéaire) vaut :

     (\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v} = \left(u(z)\frac{\partial}{\partial x}\right)\big(u(z)\,\vec{e}_x\big) = u(z)\frac{\partial u}{\partial x}\,\vec{e}_x = \vec{0}

     L'accélération particulaire est donc strictement nulle.

   • Le laplacien vectoriel s'écrit simplement en coordonnées cartésiennes :

     \vec{\Delta}\vec{v} = \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)\vec{e}_x = \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}z^2}\,\vec{e}_x

   L'équation de Navier-Stokes (1) se réduit ainsi à :

   \vec{0} = -\vec{\operatorname{grad}} P + \eta\,\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}z^2}\,\vec{e}_x

   Projetons cette relation vectorielle selon les trois directions de l'espace :

   \begin{aligned} \text{suivant }\vec{e}_y : \quad & \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \implies P = P(x,z) \\ \text{suivant }\vec{e}_z : \quad & \frac{\partial P}{\partial z} = 0 \implies P = P(x) \\ \text{suivant }\vec{e}_x : \quad & 0 = -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x} + \eta\,\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}z^2} \end{aligned}

   La pression ne dépend donc que de la variable x, et l'énoncé définit le gradient de pression constant par G = -\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}. On en déduit immédiatement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}z^2} = -\frac{G}{\eta}}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{z}^2}=-\frac{G}{\eta }$$

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10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q10

    D'après l'énoncé, la norme de la force exercée par le vent ne dépend que de la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}}, de la vitesse v et du rayon R de la sphère. Cherchons une expression sous la forme :

    F_v = C \, \rho_{\text{air}}^\alpha \, v^\beta \, R^\gamma

    où C est une constante sans dimension.

    Exprimons la dimension de chacune des grandeurs physiques dans le système international :

    • [F_v] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}
    • [\rho_{\text{air}}] = \mathrm{M\cdot L^{-3}}
    • [v] = \mathrm{L\cdot T^{-1}}
    • [R] = \mathrm{L}

    L'égalité dimensionnelle s'écrit :

    [F_v] = [\rho_{\text{air}}]^\alpha \, [v]^\beta \, [R]^\gamma \implies \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}} = \mathrm{M}^\alpha \cdot \mathrm{L}^{-3\alpha + \beta + \gamma} \cdot \mathrm{T}^{-\beta}

    Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

    \begin{aligned} \text{M} &: \alpha = 1 \\ \text{T} &: -\beta = -2 \implies \beta = 2 \\ \text{L} &: -3\alpha + \beta + \gamma = 1 \implies \gamma = 1 + 3(1) - 2 = 2 \end{aligned}

    On en déduit l'expression de la force de vent :

    \boxed{F_v = C\,\rho_{\text{air}} R^2 v^2}

    où C est une constante adimensionnelle de l'ordre de l'unité (liée au maître-couple S = \pi R^2 et au coefficient de traînée C_x par C = \frac{1}{2}\pi C_x).

    Résultat

    $$F_v=C{\rho }_{\text{air}}{R}^2{v}^2$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question