Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2026

Le patin de masse m est en équilibre statique sur le plan incliné d'un angle \alpha par rapport à l'horizontale. Il est soumis à deux actions mécaniques :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;

• l'action de contact exercée par le plan sur le patin, décomposée en :

  • une composante normale \vec{N}, orthogonale au plan incliné et dirigée vers le haut ;
  • une composante tangentielle \vec{T} (force de frottement statique), contenue dans le plan, orientée vers le haut de la pente pour s'opposer à la tendance au glissement induite par la pesanteur.

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique impose :

On étudie le patin de masse m, modélisé par un point matériel, dans le référentiel lié au plan incliné, supposé galiléen.

Le patin est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} ;
• la réaction normale du plan \vec{N}, orthogonale au plan et dirigée vers le haut ;
• la force de frottement statique \vec{T}, parallèle au plan et dirigée vers le haut pour s'opposer au glissement vers le bas.

À l'équilibre statique, la résultante des forces est nulle :

En projetant cette relation sur un axe Ox parallèle au plan et descendant, et sur un axe Oy perpendiculaire au plan et orienté vers le haut :

On en déduit la norme des deux composantes :

D'après les lois d'Amontons-Coulomb, la condition de non-glissement s'écrit :

Le glissement s'amorce dès que \alpha > \alpha_c, où l'angle critique \alpha_c vérifie :

D'après le résultat de la question précédente, à la limite du glissement, le coefficient de frottement s'exprime par :

Convertissons l'angle en radians :

L'angle étant petit devant 1\text{ rad}, on peut effectuer un développement limité de la fonction tangente :

En respectant la consigne d'un à deux chiffres significatifs sans calculatrice :

On choisit pour système l'ensemble du milieu granulaire (masse totale M_{\text{tot}}) contenu dans le tube, étudié dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

1. Bilan des forces extérieures s'exerçant sur le milieu granulaire :

• Le poids de l'ensemble des grains :

  \vec{P} = - M_{\text{tot}}\,g\,\vec{e}_z

  (avec \vec{e}_z le vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut).

• L'action de contact normale exercée par le piston inférieur sur la base de la colonne :

  \vec{R}_{\text{piston}} = M_{\text{eff}}\,g\,\vec{e}_z

  puisque le piston coulisse sans frottement et transmet intégralement cette force à la balance.

• L'action de contact exercée par la paroi latérale cylindrique du tube sur les grains :

  • une composante normale aux parois (radiale centripète), dont la résultante globale est nulle par symétrie de révolution : \vec{N}_{\text{paroi}} = \vec{0} ;
  • une résultante tangentielle de frottement solide le long de la paroi, notée \vec{T}_{\text{paroi}}.

2. Origine du « défaut de masse » :

À l'étape (b), l'abaissement du support entraîne une tendance au déplacement du milieu granulaire vers le bas par rapport aux parois du tube. D'après les lois du frottement de Coulomb, la force de frottement exercée par la paroi sur les grains s'oppose à ce mouvement relatif et est donc dirigée vers le haut :

À l'équilibre (ou lors du mouvement quasi-statique à vitesse constante), le principe fondamental de la statique appliqué au milieu granulaire donne :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z :

Le « défaut de masse » \Delta M = M_{\text{tot}} - M_{\text{eff}} = \frac{T_{\text{paroi}}}{g} provient ainsi du fait qu'une fraction importante du poids de la colonne granulaire est reprise par les parois latérales du tube grâce aux forces de frottement solide.

En l'absence d'effet d'écran dû aux frottements latéraux (comme pour un liquide parfait dans un récipient vertical), la balance mesurerait l'intégralité du poids versé, soit :

Sur la figure 2, cela correspond à la première bissectrice passant par l'origine et de pente égale à 1.

• Pour les très faibles masses versées (M_{\text{tot}} \lesssim 2\text{ à }3\text{ g}), les points expérimentaux suivent d'assez près cette droite : par exemple, pour M_{\text{tot}} \approx 1\text{ g}, on lit M_{\text{eff}} \approx 1\text{ g}, puis à M_{\text{tot}} \approx 2{,}5\text{ g}, M_{\text{eff}} \approx 2\text{ g}.
• À partir de M_{\text{tot}} \approx 3\text{ à }5\text{ g}, la courbe s'infléchit nettement : pour M_{\text{tot}} = 5\text{ g}, on mesure M_{\text{eff}} \approx 4\text{ g}, ce qui représente déjà un écart relatif de l'ordre de 20\,\%, bien supérieur aux incertitudes de lecture.

On peut ainsi estimer que l'écart entre la masse versée et la masse mesurée devient significatif à partir de :

Le verre a une masse volumique intrinsèque de l'ordre de \rho \sim 2{,}5\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}. Pour un empilement granulaire aléatoire de sphères, la compacité est de l'ordre de \phi \sim 0{,}6. La masse volumique apparente du milieu granulaire vaut donc :

La colonne de grains étant cylindrique de diamètre D = 20\text{ mm}, sa section droite vaut :

D'après la question Q5, l'écart devient significatif pour une masse versée de l'ordre de M_{\text{tot}} \approx 3\text{ à } 5\text{ g} \approx 4\cdot 10^{-3}\text{ kg}. La hauteur H correspondante s'exprime par :

Numériquement, avec un chiffre significatif :

Le diamètre du tube étant D = 20\text{ mm} = 2\text{ cm}, on constate que :

La hauteur à partir de laquelle le report de charge sur les parois devient notable est du même ordre de grandeur que le diamètre du tube.

Considérons une tranche de colonne granulaire de section circulaire S et d'épaisseur infinitésimale \mathrm{d}z. Le diamètre du cylindre étant D, l'aire de la section droite s'écrit :

Le volume total occupé par cette tranche vaut :

Par définition, la compacité \phi relie le volume réel occupé par les grains \mathrm{d}V_{\text{grains}} au volume total \mathrm{d}V_{\text{tot}} :

La masse \mathrm{d}m de cette tranche est portée uniquement par la matière constituante des grains (de masse volumique \rho) :

Le poids \mathrm{d}\vec{P} de la tranche infinitésimale s'exprime alors, en orientant l'axe vertical (Oz) vers le bas selon le vecteur unitaire \vec{e}_z (tel que \vec{g} = g\,\vec{e}_z) :

En norme, on a donc :

On note \vec{e}_z le vecteur unitaire vertical orienté vers le bas (dans le sens de la profondeur z). La tranche de milieu granulaire comprise entre les profondeurs z et z+\mathrm{d}z possède une section droite horizontale d'aire :

Les forces de pression verticale exercées par l'extérieur sur cette tranche s'appliquent sur ses deux faces horizontales :

• Sur la face supérieure (située en z), le milieu situé au-dessus exerce une force pressante dirigée vers le bas :

  \vec{F}_{\text{sup}} = P_v(z)\,S\,\vec{e}_z

• Sur la face inférieure (située en z+\mathrm{d}z), le milieu situé en dessous exerce une force pressante dirigée vers le haut :

  \vec{F}_{\text{inf}} = - P_v(z+\mathrm{d}z)\,S\,\vec{e}_z

La résultante des forces de pression verticale agissant sur la tranche s'écrit donc :

Au premier ordre en \mathrm{d}z, le développement de Taylor donne P_v(z+\mathrm{d}z) = P_v(z) + \dfrac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z}\,\mathrm{d}z, d'où :

On se place dans le repère cylindro-polaire d'axe (Oz) confondu avec l'axe de symétrie du tube, orienté vers le bas, muni de la base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z). Le vecteur unitaire radial \vec{e}_r est dirigé de l'axe vers l'extérieur (vers la paroi).

L'élément de paroi cylindrique de hauteur \mathrm{d}z, d'angle d'ouverture \mathrm{d}\theta et de rayon R = D/2 possède une aire :

Par définition de la pression horizontale P_h, le milieu granulaire exerce sur la paroi une force de pression dirigée vers l'extérieur :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la réaction normale \mathrm{d}^2\vec{N} exercée par cet élément de paroi sur le milieu granulaire s'oppose à cette force et est donc dirigée vers l'axe du tube (vers l'intérieur) :

On peut également poser le vecteur unitaire normal rentrant \vec{n}_{\text{int}} = -\vec{e}_r, ce qui donne \mathrm{d}^2\vec{N} = P_h\,\mathrm{d}^2 S\,\vec{n}_{\text{int}}.

Lors de l'étape (b) du protocole expérimental, le support élévateur (boy) est abaissé lentement et continûment. Le piston descend, ce qui entraîne l'ensemble de la colonne granulaire vers le bas : il y a donc un mouvement relatif continu des grains par rapport aux parois immobiles du tube.

La vitesse de glissement du milieu granulaire par rapport à la paroi est dirigée vers le bas :

La mesure de la masse s'effectue par conséquent en régime de glissement.

D'après les lois d'Amontons-Coulomb rappelées dans l'énoncé :

• la force tangentielle \mathrm{d}^2\vec{T} exercée par l'élément de paroi sur les grains est opposée à la vitesse de glissement, elle est donc dirigée vers le haut, c'est-à-dire selon -\vec{e}_z ;

• sa norme atteint la valeur limite de frottement :

  \|\mathrm{d}^2\vec{T}\| = f\,\|\mathrm{d}^2\vec{N}\|

En utilisant l'expression de la norme de la force normale obtenue à la question précédente, \|\mathrm{d}^2\vec{N}\| = P_h\,\mathrm{d}^2S = P_h \frac{D}{2}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z, on obtient :

D'après les questions Q9 et Q10, les actions de contact exercées par un élément de paroi d'aire \mathrm{d}^2 S = \frac{D}{2}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z sur le milieu granulaire s'écrivent :

Pour obtenir les résultantes sur toute la tranche d'épaisseur \mathrm{d}z, on intègre ces contributions sur l'angle azimutal \theta de 0 à 2\pi, à cote z fixée.

1. Résultante normale \mathrm{d}\vec{N} :

La pression P_h(z) ne dépend pas de l'angle \theta. En exprimant le vecteur radial en coordonnées cartésiennes, \vec{e}_r(\theta) = \cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y, on a :

Par conséquent, la résultante des forces normales s'annule par symétrie cylindrique :

2. Résultante tangentielle \mathrm{d}\vec{T} :

Le vecteur unitaire \vec{e}_z est uniforme et sort de l'intégrale :

La résultante des forces de frottement exercées par la paroi sur la tranche s'écrit donc :

D'après la question Q11, la résultante des forces de frottement solide exercées par la paroi sur une tranche infinitésimale s'écrit :

L'axe vertical Oz étant orienté vers le bas, cette force élémentaire est dirigée verticalement vers le haut (-\vec{e}_z). En intégrant sur l'ensemble de la colonne de grains de hauteur H, la force tangentielle totale exercée par la paroi sur le milieu granulaire vaut :

Par ailleurs, la résultante des actions normales est nulle (\vec{N}_{\text{tot}} = \int \mathrm{d}\vec{N} = \vec{0}) en raison de la symétrie cylindrique, ce qui assure l'absence de force latérale nette sur la colonne.

À l'équilibre mécanique de la colonne granulaire lors de l'abaissement du piston (étape b), le bilan des forces verticales s'écrit :

En projection sur l'axe Oz descendant, avec \vec{P}_{\text{tot}} = M_{\text{tot}} g\,\vec{e}_z et \vec{R}_{\text{piston}} = - M_{\text{eff}} g\,\vec{e}_z, on obtient :

soit encore :

Ce résultat est en parfait accord avec les observations expérimentales :

• La paroi du tube reprend, par frottement solide dirigé vers le haut, une fraction non négligeable du poids des grains, ce qui décharge le piston et explique que la masse apparente mesurée M_{\text{eff}} soit strictement inférieure à la masse totale versée M_{\text{tot}}.
• Plus la hauteur H (et donc M_{\text{tot}}) est grande, plus l'intégrale de la force de frottement est importante, ce qui explique l'écart croissant entre M_{\text{tot}} et M_{\text{eff}} mis en évidence sur la figure 2.

Considérons le grain (i) à l'équilibre dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Il est soumis à trois forces :

• son poids : \vec{P} = - m g\,\vec{e}_z ;
• la force de contact exercée par le grain (j) : \vec{F}_{j \to i} ;
• la force de contact exercée par le grain (k) : \vec{F}_{k \to i}.

Les contacts étant sans frottement, les forces de contact sont purement normales aux surfaces sphériques au point de contact, c'est-à-dire dirigées selon la droite reliant les centres des grains :

• la droite des centres reliant (j) à (i) est inclinée de l'angle \beta = \widehat{ijk} par rapport à l'horizontale (jk) ;

• par symétrie de la configuration par rapport au plan vertical médian passant par le centre de (i), la droite reliant (k) à (i) forme également un angle \beta avec l'horizontale, et les normes des forces sont égales :

  \|\vec{F}_{j \to i}\| = \|\vec{F}_{k \to i}\|

En projetant le principe fondamental de la statique appliqué au grain (i) (\vec{P} + \vec{F}_{j \to i} + \vec{F}_{k \to i} = \vec{0}) sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z, on obtient :

soit :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), \vec{F}_{i \to j} = -\vec{F}_{j \to i}, d'où :

Considérons le grain j à l'équilibre dans le référentiel d'étude supposé galiléen.

Le grain j est soumis aux actions suivantes (les frottements étant négligés) :

• son poids \vec{P}_j = -mg\,\vec{e}_z ;
• la force pressante normale exercée par le grain i : \vec{F}_{i \to j}, dirigée selon la droite reliant les centres des grains i et j, orientée vers le bas et la gauche, et faisant un angle \beta avec l'horizontale ;
• la réaction normale exercée par le fond horizontal de la boîte : \vec{N}_{\text{fond}} = N_{\text{fond}}\,\vec{e}_z ;
• la réaction normale exercée par la paroi verticale latérale : \vec{N}_{\text{paroi}} = N_{\text{paroi}}\,\vec{e}_x (où \vec{e}_x est le vecteur unitaire horizontal dirigé vers la droite).

Le grain k étant séparé du grain j (\delta > 0), il n'y a aucun contact direct entre j et k.

À l'équilibre mécanique, le principe fondamental de la statique appliqué au grain j donne :

En projetant cette relation sur l'axe horizontal dirigé vers la droite, seuls \vec{N}_{\text{paroi}} et la composante horizontale de \vec{F}_{i \to j} interviennent :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force horizontale \vec{F}_h exercée par le grain j sur la paroi verticale est l'opposée de la force normale exercée par la paroi sur le grain :

Sa norme est donc :

En utilisant le résultat de la question 13, \|\vec{F}_{i \to j}\| = \dfrac{mg}{2\sin\beta}, on obtient :

D'après la question précédente (Q14), la composante horizontale de la force exercée par le grain j sur le support vertical vaut :

En injectant cette expression dans la définition du coefficient de redirection k donnée par l'énoncé, on obtient :

soit :

D'après la question Q15, le coefficient de redirection s'écrit :

1. Domaine géométriquement accessible pour \beta :

• Borne supérieure : les grains j et k, de diamètre d, reposent sur le fond. L'impénétrabilité impose que la distance entre leurs centres vérifie d + \delta \ge d, soit \delta \ge 0. Dans le triangle isocèle formé par les trois centres, la projection horizontale donne :

  \cos\beta = \frac{d+\delta}{2d} \ge \frac{1}{2} \implies \beta \le \frac{\pi}{3} = 60^\circ

  La valeur maximale \beta_{\max} = 60^\circ correspond au contact direct entre les grains inférieurs (\delta = 0, empilement compact).

• Borne inférieure : le centre du grain supérieur i se situe à l'altitude y_i = \dfrac{d}{2} + d\sin\beta au-dessus du fond. Le grain i repose sur j et k sans toucher le fond tant que y_i > \dfrac{d}{2}, c'est-à-dire \sin\beta > 0 \implies \beta > 0. Lorsque \beta \to 0 (\delta \to d), le grain i s'enfonce jusqu'à toucher le fond.

Le domaine physique strict de l'empilement à trois grains est donc \left]0\,;\, \frac{\pi}{3}\right]. Mathématiquement, la fonction peut être prolongée sur \left]0\,;\, \frac{\pi}{2}\right[.

2. Valeurs remarquables :

• Pour \beta \to 0^+ : k(\beta) \to +\infty (effet de coin : une faible force verticale génère une très forte poussée latérale).
• Pour \beta = \dfrac{\pi}{6} = 30^\circ : k\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \approx 1{,}73.
• Pour \beta = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ : k\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 (redirection isotrope des contraintes).
• Pour \beta = \dfrac{\pi}{3} = 60^\circ (\delta = 0) : k\left(\frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58.
• Pour \beta \to \dfrac{\pi}{2}^- : k(\beta) \to 0 (grains empilés verticalement, aucune force latérale transmise).

3. Tracé de l'allure :

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique appliqué à la tranche infinitésimale de milieu granulaire comprise entre z et z + \mathrm{d}z s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues précédemment :

• le poids de la tranche (d'après la question Q7) :

  \mathrm{d}\vec{P} = \rho \phi S g\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

• la résultante des forces de pression verticale (d'après la question Q8) :

  \mathrm{d}\vec{F}_{p,v} = - S \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

• la résultante des forces de frottement de la paroi (d'après la question Q11) :

  \mathrm{d}\vec{T} = - \pi D f P_h(z)\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

En injectant la loi de redirection des contraintes P_h(z) = k P_v(z), la force de frottement s'écrit :

En projetant le bilan des forces selon l'axe vertical ascendant/descendant \vec{e}_z et en divisant par \mathrm{d}z :

La section transversale étant un disque de diamètre D, on a S = \dfrac{\pi D^2}{4}, soit :

En divisant toute l'équation par S, on obtient :

Puis en divisant par \dfrac{4 k f}{D} :

Cette équation est bien de la forme :

par identification :

et :

La pression verticale P_v(z) modélise la contrainte normale moyenne transmise par le squelette solide, c'est-à-dire la résultante par unité de section des forces de contact intergranulaires :

• Condition à la surface libre : à la surface du lit granulaire (z=0), aucun grain n'est présent au-dessus de la première couche pour exercer une action mécanique de contact dirigée vers le bas. La contrainte de contact solide est donc nulle :

  \boxed{P_v(0) = 0}
• Non-intervention de la pression atmosphérique : contrairement à un liquide continu ou à un milieu étanche, le milieu granulaire est poreux et perméable. L'air ambiant pénètre librement dans tout le réseau interstitiel reliant les grains. La pression atmosphérique P_{\text{atm}} s'exerce ainsi de façon isotrope et quasi-uniforme autour de chaque grain individuel (n'engendrant qu'une poussée d'Archimède dans l'air, négligeable devant le poids des billes de verre). Elle s'applique de surcroît identiquement sur toutes les parois et sur la balance (qui est tarée à l'air libre) : elle ne contribue donc pas aux contraintes mécaniques de contact au sein de la colonne de grains.

L'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants établie à la question 17 s'écrit :

La solution générale de cette équation est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C est une constante d'intégration déterminée par la condition aux limites à la surface libre justifiée à la question 18, soit P_v(0) = 0 :

On en déduit l'expression du profil de pression verticale au sein de la colonne granulaire :

D'après la question Q19, la pression verticale s'exprime sous la forme :

Ses caractéristiques géométriques remarquables sont :

• À la surface libre (z = 0) : P_v(0) = 0.

• Pente à l'origine :

  \left.\frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z}\right|_{z=0} = \frac{P_\infty}{\lambda} = \rho \phi g

  La tangente à l'origine correspond au profil hydrostatique usuel et croise l'asymptote P_v = P_\infty au point d'abscisse z = \lambda.

• À la profondeur caractéristique z = \lambda :

  P_v(\lambda) = P_\infty \left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right) \approx 0{,}63\,P_\infty
• Comportement asymptotique : pour z \gg \lambda, la pression tend vers la valeur seuil P_\infty (asymptote horizontale). Pour z \ge 3\lambda, on a déjà P_v \ge 0{,}95\,P_\infty.

Considérons le piston coulissant situé à la base du tube, en z = H.

• Le milieu granulaire exerce sur la face supérieure du piston, de section plane S = \dfrac{\pi D^2}{4}, une force pressante verticale descendante :

  \vec{F}_{\text{grains}\to\text{piston}} = P_v(H) S \, \vec{e}_z

• Le piston coulisse sans frottement et sa masse est soit négligeable, soit prise en compte dans la tare initiale de la balance. À l'équilibre statique vertical, la force exercée par le plateau de la balance sur le piston compense exactement la poussée des grains :

  \vec{F}_{\text{balance}\to\text{piston}} = - P_v(H) S \, \vec{e}_z

Par définition, la balance indique une masse effective M_{\text{eff}} proportionnelle à la norme de cette force normale de soutien :

On en déduit immédiatement la relation fondamentale :

En utilisant la solution établie à la question Q19 pour P_v(z) évaluée en z = H :

on obtient l'expression de la masse effective en fonction de la hauteur H :

La masse totale de billes versées dans le tube cylindrique de section S = \frac{\pi D^2}{4} sur une hauteur H s'exprime, avec une compacité uniforme \phi, par :

D'après le résultat de la question Q21, la masse effective mesurée s'écrit :

On introduit naturellement la masse caractéristique M_\infty, limite de M_{\mathrm{eff}} lorsque la hauteur H tend vers l'infini :

En rappelant que P_\infty = \rho \phi g \lambda (d'après la question Q17), cette masse caractéristique s'interprète comme la masse d'une colonne de grains de hauteur caractéristique \lambda :

Le rapport des hauteurs s'identifie donc directement au rapport des masses :

On en déduit l'expression demandée pour la masse effective :

D'après la question Q22, la loi théorique décrivant la masse effective est :

On distingue deux régimes asymptotiques caractéristiques :

• Régime des faibles masses versées (M_{\text{tot}} \ll M_\infty) :
  En effectuant un développement limité au premier ordre de l'exponentielle :

  M_{\text{eff}} \approx M_\infty \left[ 1 - \left(1 - \frac{M_{\text{tot}}}{M_\infty}\right) \right] = M_{\text{tot}}

  La courbe part de l'origine avec une pente unitaire (\mathrm{d}M_{\text{eff}}/\mathrm{d}M_{\text{tot}} = 1). Sur la figure 2, pour M_{\text{tot}} \lesssim 3\text{ g}, les points expérimentaux s'alignent remarquablement le long de la première bissectrice : le poids de la colonne est intégralement supporté par le piston, les parois ne reprenant encore qu'une part négligeable de la charge.

• Régime de saturation pour les fortes masses (M_{\text{tot}} \gg M_\infty) :
  Le terme exponentiel tend vers zéro, si bien que :

  \lim_{M_{\text{tot}} \to +\infty} M_{\text{eff}} = M_\infty = \text{cte}

  La masse mesurée devient indépendante de la hauteur de grains versée. Sur la figure 2, la courbe expérimentale fléchit dès M_{\text{tot}} \sim 5\text{ g} et présente un palier très net au-delà de 20\text{ g}. Tout grain supplémentaire versé voit alors son poids intégralement repris par le frottement statique/glissant exercé par les parois verticales du tube.

Sur la figure 2, la lecture de l'asymptote horizontale permet d'estimer la masse caractéristique de saturation :

L'accord qualitatif et quantitatif entre le profil théorique de Janssen (croissance exponentielle avec saturation) et les données expérimentales est excellent.

D'après les résultats des questions Q17 et Q22, la masse caractéristique de saturation M_\infty s'écrit :

En remplaçant la longueur caractéristique \lambda = \dfrac{D}{4 k f}, on obtient :

On en déduit l'expression littérale du coefficient de frottement f :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \rho = 2500\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \phi = 0{,}6 ;
• D = 20\text{ mm} = 2{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• k = 1 ;
• M_\infty \approx 8\text{ g} = 8 \cdot 10^{-3}\text{ kg} (lu sur la figure 2, question Q23).

Le calcul donne :

Commentaire : La valeur trouvée f \approx 0{,}3 est en excellent accord avec le coefficient de frottement verre-verre calculé à la question Q3 (f = \tan(18^\circ) \approx 0{,}32 \approx 0{,}3). Cela confirme la validité du modèle continu de Janssen pour décrire la saturation des contraintes, ainsi que la pertinence de l'ordre de grandeur choisi pour le coefficient de redirection (k \approx 1).

On se place dans le référentiel terrestre muni du repère orthonormé direct (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) tel que :

• l'axe (Ox) est colinéaire à l'axe du canal et orienté de l'amont vers l'aval (vers la droite sur la figure 5 de l'énoncé), dans le sens de poussée du navire ;
• l'axe (Oy) est horizontal et transversal (perpendiculaire aux berges) ;
• l'axe (Oz) est vertical ascendant.

Le système étudié est la tranche de glace comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, occupant toute la largeur \ell du canal et présentant une épaisseur immergée e. Sa section transversale est S = \ell e.

Description du schéma (vue de dessus dans le plan horizontal (Oxy)) :

• Le canal est délimité par deux parois latérales rectilignes parallèles à (Ox) aux ordonnées y = 0 et y = \ell.
• La tranche de glace est représentée par une bande rectangulaire de longueur \mathrm{d}x et de largeur \ell.
• Sur la face transversale amont en x, la force de pression interne \vec{F}_p(x) est dirigée vers la droite (+\vec{e}_x).
• Sur la face transversale aval en x+\mathrm{d}x, la force de pression interne \vec{F}_p(x+\mathrm{d}x) est dirigée vers la gauche (-\vec{e}_x).
• Sur la paroi latérale en y = \ell (paroi haute), s'exercent une réaction normale \mathrm{d}\vec{N}_1 dirigée vers le bas (-\vec{e}_y) et une force de frottement de paroi \mathrm{d}\vec{T}_1 dirigée vers la gauche (-\vec{e}_x).
• Sur la paroi latérale en y = 0 (paroi basse), s'exercent une réaction normale \mathrm{d}\vec{N}_2 dirigée vers le haut (+\vec{e}_y) et une force de frottement de paroi \mathrm{d}\vec{T}_2 dirigée vers la gauche (-\vec{e}_x).
• Au centre de la tranche (s'exerçant sur toute la face inférieure immergée), la force de traînée exercée par le courant d'eau \mathrm{d}\vec{F}_{\text{traînée}} est dirigée vers la gauche (-\vec{e}_x).

Justification de la direction et du sens des forces horizontales :

1. Forces de pression interne de la glace : Le milieu granulaire étant en compression (P_x(x) > 0), la force pressante exercée par les blocs extérieurs est orthogonale aux surfaces de coupe et dirigée vers l'intérieur de la tranche :

   \begin{aligned} \vec{F}_p(x) &= P_x(x)\,\ell e\,\vec{e}_x \quad (\text{poussée vers les } x \text{ croissants}), \\ \vec{F}_p(x+\mathrm{d}x) &= - P_x(x+\mathrm{d}x)\,\ell e\,\vec{e}_x \quad (\text{poussée vers les } x \text{ décroissants}). \end{aligned}

2. Réactions normales des parois latérales du canal : Les berges maintiennent latéralement le paquet de glace. La glace exerce une pression horizontale latérale P_y sur les parois ; par le principe des actions réciproques, les parois exercent des forces répulsives normales dirigées vers l'intérieur du canal :

   \mathrm{d}\vec{N}_1 = - P_y\,e\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_y \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\vec{N}_2 = + P_y\,e\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_y.

3. Frottements solides aux deux parois latérales : Le navire évacue la glace en la repoussant vers les x croissants : la vitesse de glissement de la glace par rapport aux berges est donc dirigée selon +\vec{e}_x. D'après les lois de Coulomb du frottement solide en régime de glissement, la force de frottement exercée par les parois sur la glace s'oppose à la vitesse de glissement relatif :

   \mathrm{d}\vec{T}_1 = - f\|\mathrm{d}\vec{N}_1\|\,\vec{e}_x \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\vec{T}_2 = - f\|\mathrm{d}\vec{N}_2\|\,\vec{e}_x \quad (\text{dirigées selon } -\vec{e}_x).

4. Force de traînée hydrodynamique du courant d'eau : L'eau sous la glace s'écoule avec une vitesse relative \vec{U} = - U\,\vec{e}_x opposée à l'avancée du navire (à contre-courant). L'entraînement visqueux de l'eau sur la face inférieure des blocs de glace produit une force de traînée dirigée dans le sens de l'écoulement du fluide :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\text{traînée}} \quad \text{est dirigée selon } -\vec{e}_x.

Dans la colonne granulaire verticale (Partie 1), l'action mécanique motrice motrice s'exerçant de manière distribuée sur chaque tranche de matière est le poids (dû au champ de pesanteur \vec{g}), qui tend à faire descendre les grains et engendre une pression longitudinale P_v(z).

Dans le canal horizontal, les blocs de glace sont soumis à l'écoulement continu de l'eau sous leur face inférieure. L'analogue de la pesanteur est donc la force de traînée hydrodynamique (frottement fluide) exercée par le courant d'eau sur la surface inférieure des blocs de glace, qui pousse la glace dans le sens de l'écoulement.

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'eau autour d'un obstacle immergé est défini par :

où :

• U = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est la vitesse de l'eau sous la glace ;
• \eta = 1\times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} est la viscosité dynamique de l'eau ;
• \rho_{\text{eau}} \approx 1{,}0\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est la masse volumique de l'eau liquide ;
• L_c est la dimension caractéristique d'un bloc de glace, soit son diamètre d = 1\text{ m} (ou alternativement son épaisseur immergée e = 0{,}3\text{ m}).

En choisissant le diamètre d = 1\text{ m} comme dimension caractéristique :

Si l'on prenait l'épaisseur e = 0{,}3\text{ m}, on obtiendrait Re = 6\times 10^5.

À un chiffre significatif, l'ordre de grandeur typique du nombre de Reynolds est :

À haut nombre de Reynolds (Re \sim 10^6 \gg 1), les effets inertiels l'emportent largement devant les forces visqueuses. L'écoulement présente un sillage turbulent à l'arrière de l'obstacle et la traînée est quadratique en vitesse (régime inertiel de Newton).

Pour une sphère de diamètre d (rayon R = d/2) se déplaçant à la vitesse \vec{U} dans de l'eau au repos (de masse volumique \rho_{\text{eau}}), la force de traînée s'oppose au mouvement et s'écrit vectoriellement :

où :

• S = \pi R^2 = \dfrac{\pi d^2}{4} est le maître-couple (section droite frontale perpendiculaire à l'écoulement) ;
• C_x (ou C_D) est le coefficient de traînée sans dimension (de l'ordre de 0{,}4 à 0{,}5 pour une sphère dans cette gamme de nombre de Reynolds avant la crise de traînée) ;
• \rho_{\text{eau}} est la masse volumique de l'eau.

En norme, l'expression scalaire de la force de traînée s'écrit :

Dans la direction verticale, les blocs de glace flottent en équilibre avec une épaisseur immergée e : le poids et la poussée d'Archimède se compensent rigoureusement.

Dans le plan horizontal, la tranche de glace située entre x et x+\mathrm{d}x (de largeur \ell et d'épaisseur immergée e) est soumise aux actions suivantes :

1. Forces de pression axiale (en x et x+\mathrm{d}x) :
   La section transversale occupée par la glace immergée est S = \ell \, e. Les forces pressantes exercées par le reste de la banquise sur les deux faces transversales s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{F}_p(x) &= P_x(x)\,\ell\,e\,\vec{e}_x, \\ \vec{F}_p(x+\mathrm{d}x) &= - P_x(x+\mathrm{d}x)\,\ell\,e\,\vec{e}_x. \end{aligned}

   La résultante des forces de pression axiale sur la tranche vaut donc :

   \boxed{\mathrm{d}\vec{F}_{p,x} = - \frac{\mathrm{d}P_x}{\mathrm{d}x}\,\ell\,e\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x}

2. Forces normales exercées par les parois latérales (en y = 0 et y = \ell) :
   Chaque berge présente une surface de contact immergée \mathrm{d}S_{\text{paroi}} = e\,\mathrm{d}x. Par analogie avec la colonne granulaire, la pression transversale exercée sur les parois latérales est redirigée à partir de la pression axiale selon la relation P_y(x) = k\,P_x(x).
   Les forces normales exercées par les parois sur la glace s'écrivent donc :

   \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{N}_{y=0} &= + k\,P_x(x)\,e\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_y, \\ \mathrm{d}\vec{N}_{y=\ell} &= - k\,P_x(x)\,e\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_y. \end{aligned}

   Par symétrie, leur résultante est nulle :

   \boxed{\mathrm{d}\vec{N} = \mathrm{d}\vec{N}_{y=0} + \mathrm{d}\vec{N}_{y=\ell} = \vec{0}}

3. Forces de frottement de Coulomb sur les deux parois latérales :
   Lorsque le navire pousse la banquise dans le sens des x croissants, la glace glisse le long des berges. D'après la loi de Coulomb en régime de glissement, les forces de frottement sont opposées au mouvement (donc dirigées selon -\vec{e}_x) et ont pour norme f\,\|\mathrm{d}\vec{N}_i\|. En sommant les contributions des deux parois :

   \boxed{\mathrm{d}\vec{T} = - 2\,f\,k\,P_x(x)\,e\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x}

4. Force de traînée hydrodynamique due au courant d'eau :
   L'eau s'écoule à la vitesse relative \vec{U} = - U\,\vec{e}_x sous les blocs. D'après l'énoncé, la traînée s'exerce sur la face inférieure des cylindres. La surface de glace effective en contact avec l'eau sous la tranche vaut S_{\text{inf}} = \phi\,\ell\,\mathrm{d}x, où \phi = 0{,}8 est la compacité. En adaptant la loi quadratique établie à la question précédente :

   \boxed{\mathrm{d}\vec{F}_t = - \frac{1}{2}\,\rho_{\text{eau}}\,C_x\,U^2\,\phi\,\ell\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x}

Le navire pousse l'ensemble de la glace vers les x croissants à vitesse quasi-nulle. À la limite du glissement (régime permanent lent), la tranche de glace comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x est en équilibre sous l'action des forces horizontales établies en question 29 :

En projetant sur l'axe horizontal \vec{e}_x, sachant que les frottements aux parois et la traînée hydrodynamique s'opposent tous deux à l'avancée de la glace :

En divisant cette relation par 2 f k e\,\mathrm{d}x, on obtient :

On identifie ainsi la longueur caractéristique \lambda et la pression caractéristique P_\infty :

L'équation différentielle vérifiée par P_x(x) s'écrit alors :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est :

où C est une constante déterminée par la condition aux limites à l'extrémité libre aval du banc de glace (en contact avec l'eau libre) :

On en déduit l'expression de la pression axiale au sein de la banquise :

Différence avec l'effet Janssen granulaire : Dans la colonne granulaire verticale, le poids volumique (moteur) et la force de frottement pariétal (résistante) sont de sens opposés. La contrainte sature exponentiellement vers une valeur finie en profondeur selon une loi en 1 - \exp(-z/\lambda).

Ici, le navire pousse la glace contre le courant : la traînée hydrodynamique et le frottement sur les rives s'exercent tous deux dans le même sens (vers l'amont, à l'opposé du mouvement). La pression P_x(x) augmente ainsi de manière exponentielle lorsqu'on se rapproche du navire (x \to 0). Ce phénomène d'auto-coincement (arc-boutement) rend l'effort de poussée extrêmement sensible à la longueur L du bouchon.

L'équation différentielle régissant la pression axiale P_x(x) s'écrit (d'après la question précédente) :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec second membre constant est la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C est une constante déterminée par la condition aux limites.

À l'extrémité aval libre du banc de glace (x = L), la glace est au contact de l'eau libre et ne subit aucune contrainte axiale externe, d'où :

En réinjectant cette constante dans l'expression générale, on obtient :

Commentaire sur la différence avec l'effet Janssen granulaire :

• Dans la colonne granulaire verticale sous pesanteur, la pression part de zéro au sommet (z = 0) et sature à grande profondeur selon P_v(z) = P_\infty [1 - \exp(-z/\lambda)]. Les parois exercent un effet de voûte et soutiennent le poids excédentaire : la contrainte ne peut dépasser une valeur asymptotique finie P_\infty.

• Dans le canal de glace, la contrainte nulle se situe à l'extrémité aval (x = L). En remontant vers le pousseur (x < L), la contrainte axiale croît exponentiellement :

  P_x(0) = P_\infty \left[ \exp\left(\frac{L}{\lambda}\right) - 1 \right]

  Les forces de frottement latéral s'opposent au déplacement et augmentent avec la pression, ce qui nécessite une pression en amont d'autant plus forte pour continuer à pousser. Il s'agit d'un phénomène d'« effet Janssen inverse » ou de coincement par arc-boutement (analogue à la formule du cabestan d'Euler).

Le bateau pousse l'ensemble du banc de glace à l'aide d'une plaque verticale située en x = 0. La section transversale offerte par la glace sur toute la largeur du canal et sur toute son épaisseur immergée vaut :

À la limite du glissement (mise en mouvement de la glace), la contrainte normale exercée par la plaque sur la glace correspond à la pression axiale P_x(0). La force exercée par le bateau sur la glace est dirigée selon l'axe longitudinal \vec{e}_x :

En utilisant l'expression de la pression axiale obtenue à la question Q30 (ou Q31) en x = 0, P_x(0) = P_\infty \left[ \exp\left(\frac{L}{\lambda}\right) - 1 \right], la norme de la force nécessaire pour vaincre les frottements et la traînée hydrodynamique s'écrit :

En remplaçant la pression caractéristique P_\infty = \dfrac{\rho_{\text{eau}} C_x U^2 \phi}{2e} \lambda = \dfrac{\rho_{\text{eau}} C_x U^2 \phi \ell}{4 f k e}, on obtient également la forme développée :

D'après la question Q32, la force exercée par le bateau sur l'ensemble de la banquise s'écrit :

où \lambda = \dfrac{\ell}{2fk} est la longueur caractéristique associée au canal.

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• Pour L = 0, F_{\text{bateau}}(0) = 0.

• Au voisinage de l'origine (L \ll \lambda), un développement limité à l'ordre 1 donne :

  F_{\text{bateau}}(L) \underset{L \to 0}{\sim} \frac{F_0}{\lambda} L = \left(\frac{1}{2}\rho_{\text{eau}} C_x U^2 \phi \ell\right) L

  La tangente à l'origine est de pente non nulle : elle correspond à la résultante directe de la force de traînée hydrodynamique exercée par le courant sur la surface \phi \ell L de glace, en l'absence d'amplification par frottement aux parois.

• Pour L \sim \lambda, F_{\text{bateau}}(\lambda) = F_0 (\mathrm{e} - 1) \approx 1{,}72\, F_0.
• Pour L \gg \lambda, la force diverge de façon exponentielle en \mathrm{e}^{L/\lambda}.

D'après la question Q32, la force exercée par le bateau s'exprime par :

avec une longueur caractéristique \lambda = \dfrac{\ell}{2 f k}.

1. Choix et justification des paramètres :

• Données fournies par l'énoncé : \ell = 5\text{ m}, L = 30\text{ m}, U = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \phi = 0{,}8.
• Masse volumique de l'eau liquide : \rho_{\text{eau}} \approx 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.
• Coefficient de traînée hydrodynamique C_x : pour un écoulement à grand nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \sim 10^6, régime inertiel turbulent établi à la question Q27), la valeur usuelle pour un obstacle émoussé (sphère ou disque) est de l'ordre de C_x \approx 0{,}5 (rappel de la question Q28).
• Coefficient de redirection : conformément à la modélisation granulaire (question Q24), on prend k \approx 1.
• Coefficient de frottement glace/paroi f : le glissement de la glace sur une berge (béton, roche ou palplanches) s'accompagne d'un faible coefficient de frottement solide, typiquement f \approx 0{,}1 (ou f \approx 0{,}3 si l'on reprenait la valeur trouvée pour le milieu modèle en verre à la question Q24).

2. Évaluation numérique : Avec le jeu de valeurs k = 1, f = 0{,}1 et C_x = 0{,}5 :

Le préfacteur vaut :

On en déduit :

(Remarque : avec f = 0{,}3, on obtiendrait \lambda \approx 8{,}3\text{ m}, L/\lambda \approx 3{,}6, \mathrm{e}^{3{,}6} \approx 36 et F_{\text{bateau}} \sim 1\cdot 10^6\text{ N}.)

3. Commentaire du résultat :

• Une force de 2\cdot 10^5\text{ N} correspond au poids d'une masse d'environ 20\text{ tonnes} (traction au point fixe d'un remorqueur de taille moyenne). Pour une longueur d'embâcle modérée (L = 30\text{ m}), l'opération est donc mécaniquement réalisable par un brise-glace ou un pousseur puissant.
• En revanche, la croissance exponentielle en \mathrm{e}^{L/\lambda} montre qu'un doublement de la longueur du bouchon (L = 60\text{ m} \implies L/\lambda = 2{,}4) multiplierait cette force par plus de 4, et un triplement la rendrait rédhibitoire : l'effet de voûte et le frottement latéral ancrent le banc de glace sur les berges, provoquant un blocage total (« coincement granulaire ») impossible à dégager par simple poussée frontale.

1. Monoxyde d'azote \mathrm{NO}

• Dénombrement des électrons de valence :

  n_v = n_v(\mathrm{N}) + n_v(\mathrm{O}) = 5 + 6 = 11\ \mathrm{e}^-

  Il s'agit d'une molécule à nombre impair d'électrons (espèce radicalaire).

• Structure de Lewis : L'oxygène étant plus électronégatif que l'azote (\chi_{\mathrm{O}} > \chi_{\mathrm{N}}), il satisfait préférentiellement la règle de l'octet (8 électrons autour de \mathrm{O}). L'atome d'azote possède alors 7 électrons dans son environnement de valence (un doublet non liant, un électron célibataire et une double liaison) :

  \begin{aligned} q(\mathrm{N}) &= 5 - 2 - 1 - 2 = 0 \\ q(\mathrm{O}) &= 6 - 4 - 2 = 0 \end{aligned}

  Toutes les charges formelles sont nulles.

2. Ion nitrate \mathrm{NO}_3^-

• Dénombrement des électrons de valence :

  n_v = n_v(\mathrm{N}) + 3\,n_v(\mathrm{O}) + 1 = 5 + 3 \times 6 + 1 = 24\ \mathrm{e}^- \quad \text{soit } 12 \text{ doublets}.

• Structure de Lewis : L'azote est l'atome central. N'appartenant qu'à la deuxième période de la classification périodique, il ne peut pas excéder l'octet. Il est engagé dans une double liaison \mathrm{N}=\mathrm{O} et deux liaisons simples \mathrm{N}-\mathrm{O}^-, sans doublet non liant propre :

  \begin{aligned} q(\mathrm{N}) &= 5 - 4 = +1 \\ q(\mathrm{O}_{\text{double liaison}}) &= 6 - 4 - 2 = 0 \\ q(\mathrm{O}_{\text{simple liaison}}) &= 6 - 6 - 1 = -1 \end{aligned}

  La somme des charges formelles vaut bien (+1) + 2 \times (-1) + 0 = -1.

• Mésomérie : La double liaison se délocalise de façon équivalente sur les trois atomes d'oxygène, conduisant à trois formes mésomères limites en résonance.

Le monoxyde d'azote \mathrm{NO} est constitué des atomes d'azote \mathrm{N} (Z=7) et d'oxygène \mathrm{O} (Z=8), dont les configurations électroniques sont :

• Azote \mathrm{N} : 1s^2\,2s^2\,2p^3, soit n_v(\mathrm{N}) = 5 électrons de valence ;
• Oxygène \mathrm{O} : 1s^2\,2s^2\,2p^4, soit n_v(\mathrm{O}) = 6 électrons de valence.

La molécule de \mathrm{NO} possède donc au total :

D'après les règles de remplissage (Aufbau et Pauli), les 11 électrons occupent par ordre d'énergie croissante :

• 2 électrons dans l'orbitale \phi_1 (\uparrow\downarrow) ;
• 2 électrons dans l'orbitale \phi_2 (\uparrow\downarrow) ;
• 4 électrons dans les deux orbitales dégénérées \phi_3 et \phi_4 (\uparrow\downarrow et \uparrow\downarrow) ;
• 2 électrons dans l'orbitale \phi_5 (\uparrow\downarrow) ;
• 1 électron (célibataire) dans le doublet dégénéré formé par \phi_6 et \phi_7 (placé par convention dans \phi_7 conformément au texte introduisant la question 39).

À l'issue de ce remplissage :

• La dernière orbitale doublement occupée (DODO) est :

  \boxed{\text{DODO} : \phi_5}
• L'orbitale contenant l'unique électron célibataire est l'orbitale simplement occupée (SOMO) : \phi_7.

• Concernant la première orbitale vacante (POV / BV) :

  • Au sein du doublet dégénéré \{\phi_6, \phi_7\}, si l'électron célibataire est attribué à \phi_7, l'orbitale vacante de plus basse énergie est :

    \boxed{\text{POV} : \phi_6}

  • Si l'on considère la première orbitale entièrement vacante située à un niveau d'énergie strictement supérieur à celui de la SOMO, il s'agit de :

    \boxed{\phi_8}

1. Comparaison entre les orbitales de l'oxygène et de l'azote

L'atome d'oxygène (Z = 8) et l'atome d'azote (Z = 7) appartiennent à la même deuxième période du tableau périodique. L'oxygène étant situé plus à droite, il possède une charge nucléaire plus élevée et une électronégativité supérieure à celle de l'azote (\chi_{\mathrm{O}} \approx 3{,}44 > \chi_{\mathrm{N}} \approx 3{,}04 dans l'échelle de Pauling).

D'après les règles de Slater, la charge nucléaire effective Z^* vue par les électrons de valence de l'oxygène est plus importante que celle vue par ceux de l'azote. Les orbitales atomiques (OA) de l'oxygène sont donc plus fortement stabilisées (énergie plus basse) que celles de l'azote :

2. Placement relatif des OA et des orbitales moléculaires (OM)

L'écart énergétique entre les sous-couches 2s et 2p d'un même atome est grand (de l'ordre de 15 à 25\text{ eV}), ce qui sépare nettement les deux blocs d'interaction.

• Bloc 2s : L'interaction des OA 2s donne une OM liante \sigma_s (\phi_1) stabilisée et une OM antiliante \sigma_s^* (\phi_2) déstabilisée. Les niveaux des OA 2s sont donc encadrés par \phi_1 et \phi_2 :

  \boxed{E(\phi_1) < E(2s, \mathrm{O}) < E(2s, \mathrm{N}) < E(\phi_2)}

• Bloc 2p : L'interaction des OA 2p génère le bloc liant (\phi_3, \phi_4 de symétrie \pi et \phi_5 de symétrie \sigma) ainsi que le bloc antiliant (\phi_6, \phi_7 de symétrie \pi^* et \phi_8 de symétrie \sigma^*). Par conséquent :

  • Les orbitales liantes \phi_3, \phi_4 et \phi_5 sont stabilisées par rapport aux OA parentes : elles se situent en dessous des OA 2p de départ.
  • Les orbitales antiliantes \phi_6, \phi_7 et \phi_8 sont déstabilisées par rapport aux OA parentes : elles se situent au-dessus des OA 2p.

  Les niveaux 2p des deux atomes sont donc situés dans la fenêtre d'énergie comprise entre l'orbitale liante la plus haute (\phi_5) et l'orbitale antiliante la plus basse (\phi_6, \phi_7) :

  \boxed{E(\phi_5) < E(2p, \mathrm{O}) < E(2p, \mathrm{N}) < E(\phi_6, \phi_7)}

3. Diagramme énergétique qualitatif complété

La coordination d'un ligand sur un centre métallique fait intervenir les orbitales frontières du ligand :

• la donation d'électrons vers les orbitales vacantes du métal (\sigma-donation depuis la DODO \phi_5 ou donation depuis la SOMO \phi_7) ;
• la rétrodonation éventuelle depuis des orbitales d occupées du métal vers les orbitales basses vacantes ou semi-occupées du ligand (\pi-acceptation dans \phi_6 ou \phi_7).

Deux arguments complémentaires justifient que la coordination s'effectue par l'atome d'azote :

1. Analyse orbitalaire (figure 6) : L'atome d'azote étant situé à droite sur la figure 6 :

   • Les orbitales \phi_6 et \phi_7, de nature antiliante \pi^*, présentent des lobes nettement plus volumineux sur l'atome d'azote que sur l'atome d'oxygène. En effet, dans une molécule hétéronucléaire, les orbitales antiliantes sont polarisées vers l'atome le moins électronégatif (l'azote).
   • L'orbitale \phi_5 (DODO de symétrie \sigma) présente également un volumineux lobe pointant vers l'extérieur le long de l'axe de la liaison, très majoritairement localisé sur l'atome d'azote (caractère de doublet non liant sur N).

   Le recouvrement spatial avec les orbitales d du centre métallique est donc maximal lorsque l'approche se fait du côté de l'azote.

2. Considérations d'électronégativité : L'azote est moins électronégatif que l'oxygène (\chi_{\text{Pauling}}(\mathrm{N}) \approx 3{,}0 < \chi_{\text{Pauling}}(\mathrm{O}) \approx 3{,}4). Ses doublets et son électron célibataire sont donc plus hauts en énergie, moins fortement retenus par le noyau et plus disponibles pour être cédés au métal : l'azote est un meilleur donneur de Lewis (\sigma-donneur) que l'oxygène.