Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2026

À partir des configurations électroniques fondamentales :

• \mathrm{H}\ (Z=1) : 1\mathrm{s}^1 \implies 1 électron de valence ;
• \mathrm{C}\ (Z=6) : 1\mathrm{s}^2\,2\mathrm{s}^2\,2\mathrm{p}^2 \implies 4 électrons de valence ;
• \mathrm{N}\ (Z=7) : 1\mathrm{s}^2\,2\mathrm{s}^2\,2\mathrm{p}^3 \implies 5 électrons de valence ;
• \mathrm{O}\ (Z=8) : 1\mathrm{s}^2\,2\mathrm{s}^2\,2\mathrm{p}^4 \implies 6 électrons de valence.

1. Dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 : Le nombre total d'électrons de valence est n_v = 4 + 2 \times 6 = 16, soit 8 doublets. Le carbone central forme deux doubles liaisons avec les oxygènes, et chaque atome d'oxygène possède deux doublets non liants. Chaque atome respecte la règle de l'octet et aucune charge formelle n'apparaît :

2. Méthane \mathrm{CH}_4 : Le nombre total d'électrons de valence est n_v = 4 + 4 \times 1 = 8, soit 4 doublets. Le carbone forme quatre liaisons simples covalentes avec les quatre atomes d'hydrogène :

3. Protoxyde d'azote \mathrm{N}_2\mathrm{O} : L'énoncé précise que l'atome central est un atome d'azote, ce qui correspond à l'enchaînement atomique \mathrm{N}-\mathrm{N}-\mathrm{O}. Le nombre total d'électrons de valence est n_v = 5 + 5 + 6 = 16, soit 8 doublets. Pour respecter la règle de l'octet pour les trois atomes, deux formes mésomères limites principales peuvent être proposées :

• Forme à triple liaison \mathrm{N}\equiv \mathrm{N} et simple liaison \mathrm{N}-\mathrm{O} :

• Forme à deux doubles liaisons \mathrm{N}=\mathrm{N}=\mathrm{O} :

Le schéma privilégié (contributeur prépondérant) est le premier, car la charge formelle négative est portée par l'atome d'oxygène, qui est plus électronégatif que l'azote :

Le diagramme de phases (P, T) de l'eau est reproduit ci-dessous :

• Phases de l'eau :

  • Le domaine solide (glace) se situe à basse température et haute pression (à gauche de la courbe de fusion et au-dessus de la courbe de sublimation).
  • Le domaine liquide se situe à des températures intermédiaires et hautes pressions (entre les courbes de fusion et de vaporisation).
  • Le domaine gazeux (vapeur d'eau) se situe à plus haute température et plus faible pression (en dessous des courbes de sublimation et de vaporisation).

• Points à pression atmosphérique (P_{\text{atm}} = 1{,}0\text{ bar}) :

  • Le point de fusion se situe à l'intersection de l'isobare P = 1\text{ bar} et de la courbe d'équilibre solide-liquide, soit à la température T_{\text{fus}} = 273{,}15\text{ K} \approx 273\text{ K} (0\text{ }^\circ\text{C}).
  • Le point de vaporisation (ébullition) se situe à l'intersection de l'isobare P = 1\text{ bar} et de la courbe d'équilibre liquide-vapeur, soit à la température T_{\text{eb}} = 373{,}15\text{ K} \approx 373\text{ K} (100\text{ }^\circ\text{C}).

• Noms des points remarquables :

  \boxed{A \text{ est le point triple}}

  où coexistent les trois phases solide, liquide et vapeur en équilibre thermodynamic (T_A \approx 273{,}16\text{ K} et P_A \approx 6{,}1\times 10^{-3}\text{ bar}).

  \boxed{B \text{ est le point critique}}

  au-delà duquel disparaît la distinction entre la phase liquide et la phase gazeuse (état fluide supercritique, avec T_B \approx 647\text{ K} et P_B \approx 221\text{ bar}).

D'après les données de l'énoncé, la température dans l'atmosphère varie dans le domaine :

La pression totale décroît avec l'altitude et est donc partout inférieure ou égale à la pression au niveau du sol : P \le P_{\text{atm}} = 1{,}0\text{ bar}.

Sur les diagrammes d'équilibre (P, T) de la figure 2, le domaine de stabilité de la phase gazeuse se situe aux températures les plus élevées et aux pressions les plus faibles (à droite et sous les courbes d'équilibre diphasique) :

• Pour le méthane \mathrm{CH}_4 : à la pression maximale P = 1\text{ bar}, la température d'ébullition lue sur la courbe en pointillés est d'environ 110\text{ K}. Comme T_{\min} = 188\text{ K} > 110\text{ K}, les conditions atmosphériques se situent systématiquement à droite de la courbe : le méthane est exclusivement à l'état gazeux.
• Pour le protoxyde d'azote \mathrm{N}_2\mathrm{O} : à P = 1\text{ bar}, la température de vaporisation lue sur la courbe en traits pleins est d'environ 185\text{ K}. On a encore T_{\min} = 188\text{ K} > 185\text{ K}, de sorte que pour toute pression P \le 1\text{ bar}, \mathrm{N}_2\mathrm{O} se trouve dans le domaine gazeux.
• Pour le dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 : sous P = 1\text{ bar}, la température de sublimation lue sur la courbe en tirets est d'environ 195\text{ K}. Toutefois, la température minimale (188\text{ K}) est atteinte en haute altitude (mésopause), où la pression de l'air est très inférieure à 1\text{ bar}. De surcroît, le changement d'état d'un constituant au sein d'un mélange gazeux est régi par sa pression partielle P_i. Le dioxyde de carbone étant un constituant minoritaire (P_{\mathrm{CO}_2} \ll 0{,}01\text{ bar}), la figure 2 montre que pour P \le 0{,}01\text{ bar}, la température de sublimation est inférieure à 150\text{ K}, valeur bien en dessous de T_{\min} = 188\text{ K}.

L'eau liquide constitue une phase condensée pure. En faisant l'approximation classique d'une phase condensée idéale, incompressible et indilatable sous pression modérée, l'activité d'un corps pur en phase condensée est égale à l'unité :

L'expression générale du potentiel chimique s'écrit :

On en déduit donc simplement :

En assimilant la phase gazeuse à un mélange idéal de gaz parfaits, le potentiel chimique de l'eau sous forme vapeur à la température T s'exprime en fonction de sa pression partielle p_{\text{eau}} par :

où :

• \mu_g^\circ(T) est le potentiel chimique standard de l'eau à l'état gazeux à la température T ;
• p_{\text{eau}} est la pression partielle de la vapeur d'eau dans le mélange gazeux ;
• P^\circ = 1\text{ bar} est la pression standard de référence ;
• R est la constante molaire des gaz parfaits.

À l'équilibre physico-chimique entre l'eau liquide pure et la vapeur d'eau à la température T, il y a égalité des potentiels chimiques de l'eau dans les deux phases :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q4 et Q5, il vient :

Soit :

En prenant l'exponentielle, on obtient l'expression de la pression partielle en eau à l'équilibre (qui s'identifie à la pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T)) :

Sous la pression atmosphérique P_{\text{atm}} = 1{,}0\text{ bar}, la température de fusion de l'eau est T_{\text{fus}} = 0\text{ }^\circ\mathrm{C} (273\text{ K}) et sa température d'ébullition est T_{\text{eb}} = 100\text{ }^\circ\mathrm{C} (373\text{ K}). À la température ambiante T = 25\text{ }^\circ\mathrm{C} (298\text{ K}), on a T_{\text{fus}} < T < T_{\text{eb}} :

Dans l'atmosphère, l'eau n'est pas un corps pur sous la pression totale P_{\text{atm}}, mais un constituant d'un mélange gazeux (l'air). La condition d'équilibre liquide-vapeur ne porte pas sur la pression totale de l'air, mais sur la pression partielle p_{\text{eau}} de la vapeur d'eau :

• à 25\text{ }^\circ\mathrm{C}, la pression de vapeur saturante vaut P_{\text{sat}} = p_{\text{eau}} = 0{,}04\text{ bar} ;
• comme cette valeur est strictement positive (bien qu'inférieure à P_{\text{atm}} = 1{,}0\text{ bar}), de l'eau liquide en contact avec l'air s'évapore spontanément jusqu'à ce que sa pression partielle atteigne l'équilibre de saturation (p_{\text{eau}} \le 0{,}04\text{ bar}).

Il existe donc en permanence de l'eau sous forme vapeur dans l'air, en proportion compatible avec l'hygrométrie ambiante (p_{\text{eau}} \le P_{\text{sat}}).

Les trois modes de transfert thermique sont :

1. La conduction thermique (ou diffusion thermique) : transfert d'énergie thermique de proche en proche au sein de la matière sous l'effet de l'agitation microscopique (chocs intermoléculaires, vibrations du réseau cristallin, électrons libres), sans déplacement macroscopique de matière. Il régit les transferts au sein des solides et des fluides immobiles.
2. La convection : transfert d'énergie thermique au sein d'un fluide en écoulement, s'effectuant avec déplacement macroscopique de matière. On distingue la convection naturelle (induite par les gradients de masse volumique d'origine thermique) et la convection forcée (mise en mouvement par un dispositif mécanique externe tel qu'un ventilateur ou une pompe).
3. Le rayonnement thermique : transfert d'énergie thermique par émission et absorption d'ondes électromagnétiques (ou photons) par tout corps à température non nulle. C'est le seul mode de transfert pouvant s'effectuer dans le vide, sans support matériel, à l'image du rayonnement solaire atteignant la Terre.

Dans le vide, en l'absence de charges électriques (\rho = 0) et de courants électriques (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations locales de Maxwell s'écrivent :

• Équation de Maxwell-Gauss :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

D'après la question Q9, les équations de Maxwell dans le vide en l'absence de charges et de courants s'écrivent :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En permutant les dérivations spatiale et temporelle (théorème de Schwarz), puis en injectant l'équation de Maxwell-Ampère :

Par ailleurs, d'après l'identité vectorielle fournie dans l'énoncé :

Or \operatorname{div}\vec{E} = 0 (Maxwell-Gauss dans le vide), d'où :

En égalant les deux expressions du double rotationnel, on obtient :

On introduit la célérité de la lumière dans le vide c, définie par :

Le champ électrique vérifie ainsi l'équation de d'Alembert :

L'expression du champ électrique de l'onde s'écrit :

Chaque terme de la dénomination s'associe à une caractéristique de cette expression :

• Plane : le champ électrique ne dépend spatialement que de la seule coordonnée z (les plans d'onde équiphases, définis par \omega t - kz = \text{cste}, sont les plans orthogonaux à l'axe (Oz)) ;
• Progressive : la dépendance en temps et en espace intervient via la combinaison (\omega t - kz), ce qui traduit une propagation selon l'axe (Oz) dans le sens des z croissants à la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} ;
• Monochromatique : la dépendance temporelle est purement sinusoïdale (fonction \cos) avec une pulsation unique bien définie \omega (fréquence unique f = \frac{\omega}{2\pi}) ;
• Polarisée rectilignement : la direction du vecteur champ électrique est constante au cours du temps et en tout point de l'espace, fixée par le vecteur unitaire \vec{e}_x (direction de l'axe (Ox)).

D'après l'équation de Maxwell-Faraday énoncée à la question Q9 :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(M, t) = E_x(z, t)\,\vec{e}_x avec E_x(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz). En coordonnées cartésiennes, le rotationnel s'exprime par :

On calcule la dérivée spatiale :

L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

En intégrant par rapport au temps t, et en écartant toute composante statique uniforme indépendante de l'onde, il vient :

Comme l'onde se propage dans le vide à la célérité c, la relation de dispersion donne \frac{\omega}{k} = c, soit \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}. On obtient finalement :

Le vecteur de Poynting dans le vide est défini par :

En utilisant les expressions du champ électrique (équation (1)) et du champ magnétique obtenues à la question Q12 :

Comme \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z, le produit vectoriel s'écrit :

En utilisant la relation c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} établie à la question Q10, soit \frac{1}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c, on peut également écrire :

La moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} de la fonction \cos^2(\omega t - kz) vaut :

On en déduit l'expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

Le rayonnement solaire arrive sur la Terre sous forme de rayons parallèles. La surface projetée de la Terre orthogonale à la direction de propagation des rayons incidents est un disque de rayon R_T, d'aire :

Le flux moyen du vecteur de Poynting incident à travers cette section apparente donne la puissance totale reçue par la Terre :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé :

• \Pi_{m,s} = 1,4\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 1,4\cdot 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
• R_T = 6,37\cdot 10^3\text{ km} = 6,37\cdot 10^6\text{ m}.

En utilisant les approximations 6,37^2 \approx 40 et \pi \approx 3 :

L'ordre de grandeur de la puissance reçue par la Terre est ainsi :

Considérons le système fermé constitué par la Terre (sans atmosphère).

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre deux instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit sous forme différentielle :

L'énoncé précise que les variations d'énergie cinétique et potentielle n'interviennent pas dans le bilan thermique (\mathrm{d}E_c = 0, \mathrm{d}E_p = 0). De plus, la Terre n'échange aucun travail mécanique avec l'extérieur (\delta W = 0).

En dérivant par rapport au temps, le bilan d'énergie s'exprime sous forme de bilan de puissances :

Les transferts thermiques avec l'espace extérieur sont d'origine radiative :

• la Terre reçoit la puissance solaire P_s, dont seule une fraction de 70\,\% est absorbée, les 30\,\% restants étant immédiatement réfléchis (albédo) :

  \mathcal{P}_{\text{reçue, abs}} = 0{,}70\,P_s

• la Terre émet vers l'espace une puissance thermique par rayonnement notée P_c, comptée négativement car cédée par le système :

  \mathcal{P}_{\text{cédée}} = - P_c

En régime permanent, l'état thermodynamique de la planète est stationnaire, donc son énergie interne est constante au cours du temps :

On en déduit :

d'où la relation demandée :

D'après la question Q14, la puissance solaire totale interceptée par la Terre s'écrit :

D'après le bilan en régime permanent établi à la question Q15, la puissance thermique émise par la Terre vérifie :

Par ailleurs, la Terre étant assimilée à une sphère de rayon R_T, sa surface totale d'émission est donnée par le formulaire :

En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann donnée par l'équation (2) de l'énoncé, la puissance émise s'exprime également selon :

En égalant les deux expressions de P_c :

Le rayon terrestre R_T se simplifie, ce qui conduit à :

D'où l'expression de la température de surface :

La température de surface théorique obtenue en l'absence d'atmosphère est :

Cette valeur est nettement inférieure à la température de fusion de la glace (0^\circ\text{C} = 273\text{ K}) sous la pression atmosphérique usuelle : sans atmosphère, l'eau liquide ne pourrait pas subsister durablement en surface et la Terre serait un astre glacé hostile au vivant.

En réalité, la température moyenne observée à la surface de la Terre est de l'ordre de 15^\circ\text{C} (soit environ 288\text{ K} à 290\text{ K}).

L'atmosphère terrestre, par l'intermédiaire des gaz à effet de serre qui la composent, absorbe une partie du rayonnement infrarouge thermique émis par le sol et en réémet une fraction vers la surface. Cet effet de serre naturel permet de maintenir une température moyenne tempérée compatible avec la présence d'eau liquide et le développement de la vie.

D'après les spectres fournis en annexe 1, les mesures d'absorbance sont effectuées pour des longueurs d'onde comprises entre environ 2\ \mu\text{m} et 20\ \mu\text{m}.

Le domaine du visible s'étendant d'environ 0{,}4\ \mu\text{m} (400\text{ nm}) à 0{,}8\ \mu\text{m} (800\text{ nm}), ces longueurs d'onde se situent au-delà du rouge. Il s'agit donc du domaine de :

Plus précisément, cette gamme correspond à l'infrarouge moyen (ou infrarouge thermique).

Le spectre théorique sans atmosphère (en pointillés) modélise le rayonnement thermique infrarouge émis directement par la surface terrestre. Le spectre mesuré en surface de l'atmosphère (en trait plein) présente une puissance surfacique nettement plus faible sur plusieurs domaines de longueur d'onde.

Cet écart s'explique par l'absorption d'une partie du rayonnement terrestre par les molécules des gaz à effet de serre (GES) présents dans l'atmosphère, visible sur les spectres de l'annexe 1 :

• Zone de 4 à 8\ µ\mathrm{m} : la puissance émise vers l'espace chute fortement. Cela correspond aux bandes d'absorption de :

  • \mathrm{CO_2} (pic très intense vers 4{,}3\ \mu\mathrm{m}) ;
  • \mathrm{N_2O} (pics vers 4{,}5\ \mu\mathrm{m} et 7{,}8\ \mu\mathrm{m}) ;
  • \mathrm{CH_4} (pic vers 7{,}7\ \mu\mathrm{m}) ;
  • \mathrm{H_2O} (bande d'absorption intense vers 6{,}3\ \mu\mathrm{m}).
• Zone de 13 à 17\ µ\mathrm{m} : on observe un creux très marqué centré autour de 15\ \mu\mathrm{m}, qui correspond précisément à la large et intense bande d'absorption du dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} (centrée à 15\ \mu\mathrm{m}), renforcée par l'absorption de \mathrm{N_2O} (17\ \mu\mathrm{m}) et le continuum d'absorption de la vapeur d'eau \mathrm{H_2O}.
• Zone au-delà de 17\ µ\mathrm{m} : la transmission reste inférieure à l'émission théorique en raison de l'absorption continue par la vapeur d'eau \mathrm{H_2O}.
• Zone intermédiaire de 8 à 13\ µ\mathrm{m} : les spectres sans et avec atmosphère coïncident presque parfaitement, car aucun des quatre gaz n'y présente de pic d'absorption notable : c'est la « fenêtre atmosphérique », par laquelle l'infrarouge terrestre s'échappe directement vers l'espace.

Considérons la méthode d'intégration numérique par la méthode des rectangles à gauche (ou méthode du point gauche) pour approcher l'intégrale :

1. Discrétisation du domaine : On subdivise l'intervalle [a, b] en N sous-intervalles de même largeur (le pas d'intégration) :

Les points de discrétisation sont définis par :

2. Approximation locale : Sur chaque tranche [x_k, x_{k+1}], la fonction f est approchée par une constante égale à sa valeur à la borne gauche, f(x_k). L'intégrale élémentaire est alors assimilée à l'aire d'un rectangle de base h et de hauteur f(x_k) :

3. Sommation globale : L'intégrale totale s'obtient en sommant les aires de tous les rectangles :

L'atmosphère est modélisée par un gaz parfait de masse molaire M_{\text{air}}, à la température uniforme T_0. L'équation d'état du gaz parfait s'écrit pour une masse m occupant un volume V sous la pression P(z) :

On en déduit l'expression de la masse volumique \mu = \frac{m}{V} :

La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit, selon l'axe vertical ascendant Oz (équation 3) :

En remplaçant \mu(z) par son expression, on obtient :

En introduisant la hauteur caractéristique d'échelle :

l'équation différentielle régissant le champ de pression s'écrit sous forme canonique :

D'après la question Q21, le champ de pression P(z) vérifie l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants :

La solution générale de cette équation différentielle s'écrit sous la forme :

où C est une constante d'intégration.
En prenant pour référence au niveau du sol (z = 0) la pression atmosphérique P(0) = P_{\text{atm}}, on détermine la constante :

On obtient ainsi l'expression du profil de pression (loi du nivellement barométrique) :

L'air étant modélisé comme un gaz parfait à la température uniforme T_0, l'équation d'état s'écrit pour un volume V contenant une quantité de matière n :

En introduisant la densité molaire (quantité de matière par unité de volume) n_v(z) = \dfrac{n}{V} = \dfrac{\mu(z)}{M_{\text{air}}}, il vient directement :

En utilisant l'expression de la pression P(z) établie à la question Q22 :

On en déduit l'expression de la densité de quantité de matière en fonction de l'altitude :

D'après la question Q23, la densité volumique de matière d'air (et donc la densité de chacun des gaz à effet de serre) décroît de façon exponentielle avec l'altitude selon la loi :

avec une hauteur caractéristique d'échelle H \approx 8\text{ km}.

Pour l'altitude maximale retenue z_{\max} = 40\text{ km}, on a :

Le rapport entre la densité à cette altitude et celle au sol vaut donc :

La fraction de la masse totale de l'atmosphère située entre le sol et l'altitude z_{\max} s'écrit :

Au-delà de cette altitude, l'air est extrêmement raréfié ; la quantité de gaz à effet de serre y est infime et sa contribution à l'absorption du rayonnement thermique terrestre est tout à fait négligeable. Il est donc amplement suffisant de borner l'intégration numérique à z = 40\text{ km}.

D'après la loi affine de température donnée par l'équation (5) :

À l'altitude du sol (z = 0), la température vaut :

La température décroissant avec l'altitude dans la troposphère (\alpha > 0), la valeur maximale est atteinte au sol. La rubrique des données fournit la température maximale dans l'atmosphère : T_{\max} = 15\text{ }^\circ\text{C} = 288\text{ K}. On prend donc :

Remarque : Une valeur usuelle de température de surface telle que T_0 \approx 290\text{ K} ou T_0 = 298\text{ K} (25\text{ }^\circ\text{C}) est également tout à fait recevable.

Pour la dimension de \alpha : le terme 1 - \alpha z est sans dimension car il intervient comme facteur multiplicatif d'une température. Le produit \alpha z est donc adimensionné :

Comme z est une altitude, sa dimension est celle d'une longueur ([z] = \mathrm{L}). On en déduit :

La grandeur \alpha a la dimension de l'inverse d'une longueur (elle s'exprime en \text{m}^{-1} dans le Système International).

D'après la question Q21, la hauteur caractéristique d'échelle s'écrit :

L'équation différentielle (6) devient alors :

En séparant les variables :

Intégrons cette relation entre le niveau du sol (z' = 0, P = P_{\text{atm}}) et l'altitude z :

En prenant l'exponentielle, on obtient le profil de pression :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, on a à chaque altitude P(z) = n_v(z) R T(z), d'où :

En remplaçant T(z) par son expression T(z) = T_0 (1 - \alpha z) et P(z) par celle trouvée précédemment :

La température de surface obtenue avec ce modèle affiné est :

Commentaire sur la valeur obtenue :

• Cette valeur est en excellent accord avec la température moyenne réelle mesurée à la surface de la Terre, qui est d'environ 15^\circ\text{C} (soit 288\text{ K}, valeur correspondant à T_{\max} mentionnée dans les données de l'énoncé).
• Elle permet le maintien de l'eau à l'état liquide sur une grande partie du globe, condition essentielle au développement de la vie.
• Par rapport au modèle sans atmosphère (T_S = 257\text{ K}, question Q17) et au modèle avec atmosphère isotherme (T_s' = 260\text{ K}), l'introduction d'un gradient thermique réaliste permet de restituer l'élévation de température d'environ +33\text{ K} due à l'effet de serre naturel.

Conclusion sur la validité de la modélisation :

La prise en compte conjointe des bandes d'absorption infrarouge des gaz à effet de serre (vapeur d'eau, \mathrm{CO_2}, \mathrm{CH_4}, \mathrm{N_2O}) et de la décroissance de la température avec l'altitude décrit de façon quantitativement satisfaisante le bilan radiatif terrestre.

Dans le cadre de la modélisation du cycle de Beau de Rochas (fermé sur les états 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1) :

• Source chaude : l'apport thermique est fourni au fluide lors de la phase de combustion isochore (2 \to 3). La source chaude est constituée par la réaction chimique de combustion du mélange carburé (gaz en combustion). La température associée à cette source chaude est la température maximale atteinte à l'issue de la combustion :

  \boxed{T_c = T_3 = 1\,800\text{ K}}

• Source froide : le fluide cède de l'énergie thermique lors du refroidissement isochore (4 \to 1), qui modélise le renouvellement de la charge vers l'extérieur (échappement). La source froide est le milieu extérieur (l'air ambiant). Sa température est la température ambiante :

  \boxed{T_f = T_1 = 300\text{ K}}

Le système \{\text{GP}\} décrit un cycle moteur (moteur thermique à allumage commandé) :

• Signe de Q_c : Lors de la phase de combustion isochore 2 \to 3, le mélange s'échauffe de T_2 = 614\text{ K} à T_3 = 1\,800\text{ K} au contact de la source chaude. Le système reçoit donc de l'énergie thermique de la part de la source chaude :

  \boxed{Q_c > 0}

• Signe de Q_f : Lors de la phase de refroidissement isochore 4 \to 1, le gaz se refroidit de T_4 = 879\text{ K} à la température ambiante T_1 = 300\text{ K}. Le système cède donc de l'énergie thermique à la source froide :

  \boxed{Q_f < 0}

• Signe de W : Par définition d'un moteur thermique, le système fournit un travail utile au milieu extérieur (vers le rotor et les roues) au cours d'un cycle. En convention récepteur, le travail reçu par le système sur un cycle complet est donc négatif :

  \boxed{W < 0}

Ces signes sont cohérents avec le premier principe appliqué au cycle (\Delta U = W + Q_c + Q_f = 0, soit -W = Q_c + Q_f > 0) et avec l'inégalité de Clausius (\frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} \le 0).

Le cycle thermodynamique de Beau de Rochas suivi par le mélange \{\text{GP}\} est constitué des transformations suivantes :

• 1 \to 2 : compression adiabatique réversible (isentropique), le volume passe de V_h à V_b (V_b < V_h) ;
• 2 \to 3 : combustion isochore au volume V_b, la pression augmente de P_2 à P_3 ;
• 3 \to 4 : détente adiabatique réversible (isentropique), le volume passe de V_b à V_h ;
• 4 \to 1 : refroidissement isochore au volume V_h, la pression diminue de P_4 à P_1.

Les phases d'admission (0 \to 1) et d'éjection (1 \to 0), isobares à la pression atmosphérique, se superposent et présentent des bilans de travail opposés qui s'annulent.

Commentaire sur le sens de parcours :

L'intégrale cyclique \oint P\,\mathrm{d}V, correspondant à l'aire géométrique délimitée par le cycle, est donc strictement positive. Par conséquent, le travail total reçu par le fluide sur un cycle :

est strictement négatif. Le système fournit du travail mécanique utile au milieu extérieur : il s'agit bien d'un cycle moteur.

Pour un système fermé constitué d'une quantité de matière n_e de gaz parfait, la relation de Mayer reliant les capacités thermiques à pression constante C_p et à volume constant C_v s'écrit :

où R est la constante molaire des gaz parfaits.

Par définition du coefficient isentropique \gamma, le rapport des capacités thermiques à pression et à volume constants s'écrit :

En injectant cette relation dans la relation de Mayer établie à la question Q31 (C_p - C_v = n_e R), il vient :

Comme \gamma > 1, on en déduit immédiatement l'expression de C_v :

Puis celle de C_p :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au système fermé \{\text{GP}\} lors de la transformation 2 \rightarrow 3 :

La transformation étant isochore (V = \text{cte} = V_b), le travail des forces de pression s'annule :

On en déduit que le transfert thermique s'identifie à la variation d'énergie interne :

Le mélange étant modélisé par un gaz parfait, il suit la première loi de Joule (\mathrm{d}U = C_v\,\mathrm{d}T). La capacité thermique C_v étant constante sur la plage de température considérée :

En utilisant l'expression de C_v établie à la question Q32, on obtient :

La transformation 4 \rightarrow 1 correspond au refroidissement modélisé par une évolution isochore à volume constant V = V_h.

Le travail des forces de pression reçu par le système \{\text{GP}\} au cours de cette étape est donc nul :

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé \{\text{GP}\} entre les états 4 et 1 s'écrit :

D'après la première loi de Joule pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne s'exprime uniquement à l'aide de la capacité thermique à volume constant C_v :

En utilisant l'expression de C_v établie à la question Q32, on en déduit l'expression du transfert thermique Q_{41} :

Par définition, le rendement thermodynamique \eta d'un moteur thermique correspond au rapport entre le travail net fourni à l'extérieur -W (énergie utile) et le transfert thermique Q_c = Q_{23} reçu de la source chaude (énergie payante) :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé \{\text{GP}\} sur le cycle fermé 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1 :

Le rendement s'écrit alors :

En utilisant les expressions des transferts thermiques obtenues aux questions Q33 et Q34 :

La capacité thermique à volume constant C_v étant supposée constante, elle se simplifie :

La transformation 3 \to 4 est une détente adiabatique réversible subie par le système {GP}, assimilé à un gaz parfait de coefficient isentropique \gamma constant.

D'après la loi de Laplace sous la forme reliant la température et le volume :

En appliquant cette loi entre l'état 3 (où le volume est V_3 = V_2 = V_b, la combustion 2 \to 3 étant isochore) et l'état 4 (où le volume est V_4 = V_h) :

On en déduit l'expression de la température T_4 :

La phase 1 \to 2 est une compression adiabatique et réversible d'un gaz parfait à capacités thermiques constantes (coefficient isentropique \gamma supposé constant).

Le gaz subit donc une transformation isentropique, ce qui permet d'appliquer la première loi de Laplace reliant température et volume :

D'après l'énoncé, le volume à l'état 1 (fin d'admission) correspond au volume maximal V_1 = V_h, et le volume à l'état 2 (fin de compression) correspond au volume minimal V_2 = V_b. Il vient ainsi :

On en déduit l'expression de la température T_1 :

D'après la question Q35, le rendement du cycle de Beau de Rochas s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q36 et Q37 :

On en déduit par soustraction :

Par définition du rapport volumétrique de compression \delta = \dfrac{V_h}{V_b}, le rapport des volumes s'écrit :

En reportant cette relation dans l'expression de \eta, il vient :

Considérons un moteur thermique décrivant un cycle réversible en contact avec deux thermostats : une source froide à T_f et une source chaude à T_c (T_c > T_f).

D'après le premier principe de la thermodynamique, l'énergie interne étant une fonction d'état, sur un cycle complet :

Le rendement thermodynamique s'écrit alors :

D'après le second principe de la thermodynamique, pour un cycle réversible, l'entropie créée est nulle (S_{\text{cr}} = 0) :

On en déduit l'expression du rendement de Carnot \eta_c :

D'après la question Q28, la source froide est l'air ambiant à T_f = 300\text{ K} et la source chaude est constituée par les gaz de combustion atteignant T_c = T_3 = 1\,800\text{ K}.

Commentaires :

• Conformément au théorème de Carnot, le rendement d'un moteur thermique est strictement inférieur au rendement de Carnot associé aux deux mêmes températures extrêmes : on vérifie bien que \eta = 0{,}59 < \eta_c \approx 0{,}83.
• Bien que les quatre temps du cycle de Beau de Rochas soient modélisés par des évolutions réversibles au sein du fluide (adiabatiques et isochores), les transferts thermiques lors des phases isochores se font avec une différence finie de température entre le gaz et les sources, ce qui génère de l'irréversibilité thermique externe et explique pourquoi \eta < \eta_c.

D'après l'équation (7) de l'énoncé, la force de frottement quadratique s'écrit :

En projetant sur l'axe du mouvement ou en prenant la norme, on a :

Par analyse dimensionnelle :

Or, d'après la deuxième loi de Newton, une force est homogène au produit d'une masse par une accélération :

La vitesse v_0 a pour dimension :

On en déduit la dimension du coefficient \kappa :

Dans le Système International, les unités de base associées à la masse et à la longueur sont respectivement le kilogramme (\mathrm{kg}) et le mètre (\mathrm{m}).

L'unité du coefficient \kappa dans les unités de base du Système International est donc :

On étudie la voiture, assimilée à un point matériel de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le véhicule se déplace sur une route horizontale rectiligne à vitesse constante \vec{v}_0 = v_0\vec{e}_x, avec v_0 > 0. Son accélération est donc nulle :

Le bilan des forces extérieures appliquées à la voiture s'écrit :

• le poids du véhicule et la réaction normale du sol, verticaux et dont la résultante est nulle ;
• la force de frottement fluide quadratique exercée par l'air : \vec{f} = -\kappa v_0 \vec{v}_0 = -\kappa v_0^2 \vec{e}_x ;
• la force de propulsion \vec{F}_p exercée par la route sur les roues motrices.

D'après le principe fondamental de la dynamique (ou première loi de Newton) appliqué au véhicule en translation rectiligne uniforme :

On en déduit l'expression de la force de propulsion :

L'énoncé précise que l'intégralité de la puissance fournie par le moteur est transmise aux roues pour générer la force de propulsion \vec{F}_p.

La puissance mécanique \mathcal{P} développée par la force de propulsion \vec{F}_p s'écrit :

En utilisant l'expression établie à la question Q41, \vec{F}_p = \kappa v_0^2 \vec{e}_x, et le vecteur vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x :

On en déduit :

Soit X = v_0^3. Par propagation des incertitudes relatives pour une puissance (ou par différentiation logarithmique \mathrm{d}(\ln X) = 3\,\frac{\mathrm{d}v_0}{v_0}), l'incertitude relative sur v_0^3 s'écrit :

Calculons les incertitudes relatives à partir des mesures du tableau 2 :

• Sur la vitesse et son cube :

  \begin{aligned} v_0 = 10{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} &\implies \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{0{,}1}{10{,}0} = 1{,}0\,\% \implies \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 3{,}0\,\% \\ v_0 = 20{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} &\implies \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{0{,}1}{20{,}0} = 0{,}5\,\% \implies \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 1{,}5\,\% \\ v_0 = 50{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} &\implies \frac{\Delta v_0}{v_0} = \frac{0{,}1}{50{,}0} = 0{,}2\,\% \implies \frac{\Delta(v_0^3)}{v_0^3} \approx 0{,}6\,\% \end{aligned}

  L'incertitude relative sur v_0^3 est donc comprise entre 0{,}6\,\% et 3{,}0\,\%, et devient inférieure à 1\,\% dès les vitesses moyennes.

• Sur la puissance \mathcal{P} :

  \begin{aligned} \text{À } v_0 = 10{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} : \quad \frac{\Delta \mathcal{P}}{\mathcal{P}} &= \frac{1}{14} \approx 7{,}1\,\% \\ \text{À } v_0 = 30{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} : \quad \frac{\Delta \mathcal{P}}{\mathcal{P}} &= \frac{0{,}1\cdot 10^2}{3{,}4\cdot 10^2} = \frac{1}{34} \approx 2{,}9\,\% \\ \text{À } v_0 = 50{,}0\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} : \quad \frac{\Delta \mathcal{P}}{\mathcal{P}} &= \frac{0{,}1\cdot 10^3}{1{,}3\cdot 10^3} = \frac{1}{13} \approx 7{,}7\,\% \end{aligned}

Comme les points de grande vitesse sont ceux qui ont le plus de poids dans la détermination de la pente \kappa, l'incertitude sur la variable explicative v_0^3 peut être légitimement négligée devant celle sur la réponse \mathcal{P}, ce qui justifie l'utilisation d'une régression linéaire ordinaire.

La notation \mathcal{P}_{100,\mathrm{th}} = 10\text{ kW} désigne la puissance théorique nécessaire pour maintenir le véhicule à la vitesse v_0 = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}.

D'après le tableau 2 et la régression linéaire fournie, le coefficient \kappa a été déterminé à partir des vitesses exprimées en \text{km}\cdot\text{h}^{-1}, avec une puissance en watts. À la vitesse v_0 = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la puissance déduite de ce modèle s'écrit :

Numériquement :

L'incertitude associée à cette estimation vaut :

Ainsi, l'expérience extrapolée donne :

L'écart relatif entre la valeur expérimentale et la valeur théorique est de :

La combustion complète d'un hydrocarbure de formule brute \mathrm{C}_x\mathrm{H}_y dans le dioxygène produit exclusivement du dioxyde de carbone et de l'eau :

Pour l'octane \mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18} (x = 8 et y = 18), en imposant un nombre stœchiométrique algébrique de -1 pour l'octane :

• conservation de l'élément carbone : 8\,\mathrm{CO}_2\mathrm{(g)} ;
• conservation de l'élément hydrogène : \frac{18}{2} = 9\,\mathrm{H}_2\mathrm{O(g)} ;
• conservation de l'élément oxygène : 8 \times 2 + 9 \times 1 = 25 atomes d'oxygène du côté des produits, soit \frac{25}{2} molécules de \mathrm{O}_2\mathrm{(g)}.

Tous les réactifs et produits étant à l'état gazeux, l'équation-bilan s'écrit :

D'après l'équation-bilan de la combustion complète de l'octane établie à la question Q45 :

La loi de Hess permet d'exprimer l'enthalpie standard de réaction \Delta_r H^\circ à partir des enthalpies standard de formation \Delta_f H^\circ :

D'après les données thermodynamiques à 298\text{ K} fournies par l'énoncé :

• \Delta_f H^\circ(\mathrm{CO}_2(\mathrm{g})) = -400\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}(\mathrm{g})) = -240\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18}(\mathrm{g})) = -210\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{O}_2(\mathrm{g})) = 0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (corps pur simple dans son état standard de référence)

On en déduit :

Commentaire du signe :
L'enthalpie standard de réaction est strictement négative (\Delta_r H^\circ < 0) : la réaction de combustion est fortement exothermique. Elle dégage une quantité considérable d'énergie thermique vers l'extérieur (le fluide de travail du moteur), ce qui correspond bien au rôle de combustible de l'octane.

Considérons le milieu réactionnel comme un système thermodynamique fermé subissant une transformation isobare (à la pression standard P^\circ = 1\text{ bar}) et isotherme (à la température T = 298\text{ K}), sans autre travail que celui des forces de pression.

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à une évolution monobare (ou isobare), la variation d'enthalpie du système est égale au transfert thermique Q reçu par celui-ci :