Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2023

D'après le théorème de Bernoulli, pour l'écoulement permanent (régime stationnaire), incompressible et homogène (de masse volumique \rho) d'un fluide parfait soumis au seul champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z (l'axe vertical (Oz) étant orienté vers le haut), la charge volumique se conserve le long d'une ligne de courant.

Cette constante du mouvement \mathcal{C}, homogène à une pression, s'exprime sous la forme :

où :

• P est la pression statique locale ;
• \frac{1}{2}\rho v^2 est la pression dynamique ;
• \rho g z est le terme de pesanteur lié à l'altitude z.

Oui, la grandeur \mathcal{C} = P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z n'est pas conservée dans plusieurs situations :

1. Présence d'une machine hydraulique (pompe ou turbine) : Sur le schéma de puisage (figure 1), le fluide traverse une pompe. Celle-ci fournit un travail mécanique au fluide (w_i > 0) pour lui permettre de vaincre la pesanteur sur la hauteur h et d'augmenter sa pression de P_E = P_0 à P_S > P_0. Lors de la traversée de la pompe, la charge volumique augmente :

   \Delta \mathcal{C} = \mathcal{C}_S - \mathcal{C}_E = \rho\, w_i > 0
2. Écoulement d'un fluide réel (visqueux) : Si le fluide n'est plus supposé parfait, les frottements visqueux dissipent de l'énergie mécanique sous forme thermique (pertes de charge régulières le long de la conduite de longueur h et pertes de charge singulières au niveau des coudes et raccords), ce qui entraîne une diminution de \mathcal{C} dans le sens de l'écoulement.
3. Régime non stationnaire : Si l'écoulement dépend explicitement du temps, l'intégration de l'équation d'Euler fait apparaître un terme supplémentaire \int \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}, brisant l'invariance temporelle de \mathcal{C}.

Sur l'installation proposée, c'est principalement la présence de la pompe (échange de travail) et, secondairement, les pertes de charge visqueuses dans la conduite qui empêchent la conservation globale de \mathcal{C} entre le point de captage E et la sortie S.

L'eau est modélisée comme un fluide incompressible (\rho = \text{cste}) et l'écoulement est stationnaire (ou permanent).

En vertu de l'équation de continuité, le débit volumique Q est conservé le long de la conduite :

En supposant l'écoulement unidimensionnel de vitesse uniforme sur chaque section droite de la conduite, le débit volumique s'exprime par :

La conduite possédant une section droite constante \Sigma_E = \Sigma_S = \Sigma, on obtient directement :

On applique le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire d'un fluide incompressible (théorème de Bernoulli généralisé) à une particule fluide entre le point d'aspiration E et le point de refoulement S, le long d'une ligne de courant traversant la pompe. En l'absence de pertes de charge, le bilan s'écrit :

D'après la question Q3, la section de la conduite étant constante, on a v_E = v_S. De plus, la différence d'altitude est z_S - z_E = h, et la pression au point E est P_E = P_0. Il vient ainsi :

Application numérique :

• P_S - P_0 = 1{,}5 \times 10^5 - 1{,}0 \times 10^5 = 0{,}5 \times 10^5 \text{ Pa}
• \rho_{\text{eau}} = 1000 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• g = 9{,}8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• h = 30 \text{ m}

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

La puissance mécanique P_{\text{meca}} fournie par la pompe au fluide s'exprime comme le produit du débit massique D_m par le travail massique w_i déterminé à la question Q4 :

Le débit massique de l'eau s'écrit en fonction du débit volumique Q :

On en déduit l'expression littérale de la puissance mécanique :

Application numérique :

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

Le rendement \eta de la pompe est défini par le rapport de la puissance utile fournie au fluide, qui est la puissance mécanique P_{\text{meca}} déterminée à la question Q5, sur la puissance électrique consommée (absorbée) P_{\text{elec}} :

On en déduit l'expression de la puissance électrique absorbée :

En utilisant la valeur non arrondie P_{\text{meca}} = 344\text{ W} issue de la question Q5 :

Compte tenu des précisions des données (\eta = 0{,}8 et Q = 1{,}0\text{ L}\cdot\text{s}^{-1}), on retient deux chiffres significatifs :

La hauteur manométrique nécessaire s'exprime selon l'énoncé par :

En effectuant l'application numérique avec les grandeurs données :

Le débit volumique doit être converti en \text{m}^3\cdot\text{h}^{-1} :

Sur la figure 2, on recherche le point de fonctionnement de coordonnées :

Pour l'abscisse Q = 3{,}6\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} :

• la pompe \text{n}^\circ 5 fournit une hauteur manométrique d'environ 33\text{ m}, ce qui est insuffisant pour vaincre la dénivellation et assurer la surpression requise (H < 35{,}1\text{ m}) ;
• la pompe \text{n}^\circ 6 fournit quant à elle une hauteur manométrique d'environ 40\text{ m}, supérieure à 35{,}1\text{ m}.

Le point de fonctionnement se situe donc entre les courbes 5 et 6. Pour garantir le débit et la pression de consigne, il convient de choisir la pompe dont la caractéristique passe immédiatement au-dessus de ce point (l'excédent de charge pouvant être régulé par vannage ou variation de vitesse).

Déterminons le nombre d'oxydation (n.o.) du manganèse dans chacune des espèces :

• \mathrm{Mn}_{(s)} : \text{n.o.} = 0 ;
• \mathrm{Mn}^{2+}_{(aq)} et \mathrm{Mn(OH)}_{2(s)} : \text{n.o.} = +\text{II} ;
• \mathrm{Mn}^{3+}_{(aq)} et \mathrm{Mn(OH)}_{3(s)} : \text{n.o.} = +\text{III}.

1. Classement vertical selon le nombre d'oxydation :

• L'espèce de plus bas degré d'oxydation (\text{n.o.} = 0) est située tout en bas du diagramme, ce qui identifie immédiatement le domaine 1 comme étant celui du métal :

  \text{Domaine 1} : \mathrm{Mn}_{(s)}
• Les espèces au degré +\text{II} se situent aux potentiels intermédiaires (domaines 2 et 3).
• Les espèces au degré le plus élevé +\text{III} se situent en haut du diagramme (domaines 4 et 5).

2. Classement horizontal selon le pH (propriétés acido-basiques) :

• Pour le degré d'oxydation +\text{II} : l'ion libre \mathrm{Mn}^{2+}_{(aq)} est stable en milieu acide (bas pH), tandis que l'hydroxyde \mathrm{Mn(OH)}_{2(s)} précipite en milieu plus basique, après la frontière verticale à \mathrm{pH}_2 = 8{,}6. Ainsi :

  \begin{aligned} \text{Domaine 2} &: \mathrm{Mn}^{2+}_{(aq)} \\ \text{Domaine 3} &: \mathrm{Mn(OH)}_{2(s)} \end{aligned}

• Pour le degré d'oxydation +\text{III} : de même, l'ion \mathrm{Mn}^{3+}_{(aq)} n'existe qu'à très bas pH (milieu très acide, \mathrm{pH} < \mathrm{pH}_1), puis précipite sous forme d'hydroxyde \mathrm{Mn(OH)}_{3(s)} dès que le pH augmente. Par conséquent :

  \begin{aligned} \text{Domaine 4} &: \mathrm{Mn}^{3+}_{(aq)} \\ \text{Domaine 5} &: \mathrm{Mn(OH)}_{3(s)} \end{aligned}

On peut également remarquer que la frontière entre les domaines 4 (\mathrm{Mn}^{3+}) et 2 (\mathrm{Mn}^{2+}) est horizontale (potentiel standard E^\circ = 1{,}51\text{ V}), ce qui est en parfait accord avec le fait que la demi-équation d'oxydoréduction \mathrm{Mn}^{3+} + \mathrm{e}^- = \mathrm{Mn}^{2+} ne fait intervenir aucun ion \mathrm{H}^+.

L'équilibre hétérogène de dissolution de l'hydroxyde de manganèse(III) s'écrit :

La condition d'existence du précipité impose :

À la limite d'apparition du premier cristal de précipité (début de précipitation), la concentration en ions manganèse(III) non précipités est égale à la concentration de tracé :

La concentration en ions hydroxyde vérifie alors :

En utilisant la relation du produit ionique de l'eau K_e = [\text{H}_3\text{O}^+][\text{HO}^-], il vient :

En prenant le cologarithme décimal :

avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

Application numérique : Avec \text{p}K_e = 14{,}0, \text{p}K_s = 35{,}6 et c_T = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} (\log(c_T/c^\circ) = -2{,}0) :

1. Couple \text{O}_{2(\text{g})}/\text{H}_2\text{O}_{(\text{l})}

La demi-équation électronique s'écrit :

D'après la formule de Nernst à T = 298\text{ K} :

À la frontière, la pression partielle vaut P(\text{O}_2) = P^\circ = 1\text{ bar}. Avec la valeur E^\circ_{\text{O}_{2(\text{g})}/\text{H}_2\text{O}_{(\text{l})}} = 1{,}23\text{ V} fournie :

2. Couple \text{H}_2\text{O}_{(\text{l})}/\text{H}_{2(\text{g})} (ou \text{H}^+_{(\text{aq})}/\text{H}_{2(\text{g})})

La demi-équation électronique s'écrit :

D'après la formule de Nernst à T = 298\text{ K} :

À la frontière, P(\text{H}_2) = P^\circ = 1\text{ bar} et E^\circ_{\text{H}_2\text{O}_{(\text{l})}/\text{H}_{2(\text{g})}} = 0{,}00\text{ V} :

Dans le couple considéré, le manganèse est au nombre d'oxydation +\text{III} dans \text{Mn(OH)}_{3(\text{s})} et au nombre d'oxydation +\text{II} dans \text{Mn(OH)}_{2(\text{s})}. La demi-équation électronique s'écrit :

À T = 298\text{ K}, la formule de Nernst donne :

Les deux espèces de manganèse sont des solides purs non miscibles (a = 1) et l'eau est le solvant (a = 1). En posant a(\text{H}^+) = 10^{-\text{pH}}, le potentiel de la frontière devient :

La frontière entre ces deux phases solides est indépendante de la concentration de tracé c_T. La pente de cette droite frontière vaut :

(ou -0{,}06\text{ V}\cdot\text{pH}^{-1} en prenant la valeur approchée usuelle de \frac{RT\ln 10}{F}).

La frontière séparant le domaine 1 (\text{Mn}_{(\text{s})}) et le domaine 2 (\text{Mn}^{2+}_{(\text{aq})}) correspond à la demi-équation électronique :

D'après la formule de Nernst à 298\text{ K}, le potentiel d'électrode s'écrit :

avec c^{\circ} = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

Cette frontière est indépendante du pH (droite horizontale). Selon la convention adoptée pour le diagramme, la concentration en espèce dissoute à la frontière vaut :

Le potentiel de frontière vaut donc :

Par lecture graphique sur la figure 3, le potentiel de cette droite horizontale est :

On en déduit l'expression puis la valeur du potentiel standard :

(En retenant la valeur approchée 0{,}06\text{ V} au lieu de 0{,}059\text{ V}, on obtient également -1{,}19\text{ V}.)

Une espèce chimique est thermodynamiquement stable dans l'eau si son domaine d'existence ou de prédominance présente une frontière commune ou un recouvrement avec le domaine de stabilité thermodynamique de l'eau, délimité par les deux droites en pointillés :

• frontière supérieure : E_{\text{O}_{2(\text{g})}/\text{H}_2\text{O}_{(\text{l})}} = 1{,}23 - 0{,}059\,\text{pH} (oxydation de l'eau en \text{O}_2) ;
• frontière inférieure : E_{\text{H}_2\text{O}_{(\text{l})}/\text{H}_{2(\text{g})}} = -0{,}059\,\text{pH} (réduction de l'eau en \text{H}_2).

1. Espèces thermodynamiquement instables dans l'eau pure :

• Le manganèse métallique \mathrm{Mn_{(s)}} (domaine 1) : son domaine est intégralement situé sous la droite de réduction de l'eau (E < E_{\text{H}_2\text{O}/\text{H}_2}). Il est instable dans l'eau à tout pH : il s'oxyde spontanément en réduisant l'eau avec dégagement de dihydrogène \mathrm{H}_{2(\text{g})}.
• L'ion manganèse(III) \mathrm{Mn^{3+}_{(aq)}} (domaine 4) : son domaine (\mathrm{pH} < \mathrm{pH}_1 \approx 2{,}8 et E > 1{,}51\text{ V}) est intégralement situé au-dessus de la droite d'oxydation de l'eau (E > E_{\text{O}_2/\text{H}_2\text{O}}). Il est instable dans l'eau : il se réduit spontanément en \mathrm{Mn^{2+}} en oxydant l'eau avec dégagement de dioxygène \mathrm{O}_{2(\text{g})}.

2. Espèces stables dans l'eau pure désaérée :

• \mathrm{Mn^{2+}_{(aq)}} (domaine 2 pour \mathrm{pH} < \mathrm{pH}_2 = 8{,}6), \mathrm{Mn(OH)_{2(s)}} (domaine 3 pour \mathrm{pH} > 8{,}6) et \mathrm{Mn(OH)_{3(s)}} (domaine 5 pour \mathrm{pH} > \mathrm{pH}_1 = 2{,}8) possèdent tous un domaine de stabilité commun avec celui de l'eau pure.

3. Stabilité dans l'eau aérée (en présence de dioxygène dissous) :

• Pour \mathrm{pH} \lesssim 6{,}6 : la droite frontière du couple \mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O} se situe sous la frontière supérieure de \mathrm{Mn^{2+}}. L'ion \mathrm{Mn^{2+}_{(aq)}} ne peut pas être oxydé par le dioxygène dissous : il est stable en eau aérée acide.
• Pour \mathrm{pH} \gtrsim 6{,}6 (et en particulier en milieu basique à \mathrm{pH} > 8{,}6) : la droite du couple \mathrm{O}_2/\mathrm{H}_2\mathrm{O} est située au-dessus de la frontière séparant le manganèse(III) du manganèse(II). Le dioxygène dissous oxyde spontanément le manganèse(II) (\mathrm{Mn^{2+}} ou \mathrm{Mn(OH)}_{2\text{(s)}}) en hydroxyde de manganèse(III) \mathrm{Mn(OH)}_{3\text{(s)}}.