Corrigé détaillé Banque PT Physique B PT 2023

Donnons les ordres de grandeur usuels de puissance électrique produite pour chaque installation :

• Centrale thermique à flamme (charbon, gaz ou fioul) : la puissance électrique d'une tranche ou d'une centrale est typiquement comprise entre quelques centaines de mégawatts et le gigawatt, soit :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{thermique}} \sim 500\text{ MW à } 1\text{ GW} \quad (10^8 \text{ à } 10^9\text{ W})}

• Tranche de centrale nucléaire (constituée d'un réacteur et de son groupe turbo-alternateur) : les réacteurs du parc français ont des puissances unitaires de 900\text{ MW}, 1\,300\text{ MW} ou 1\,450\text{ MW} (et 1\,650\text{ MW} pour l'EPR), soit :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{nucléaire}} \sim 1\text{ GW} \quad (10^9\text{ W})}

• Parc éolien en mer (offshore) : une éolienne en mer actuelle délivre une puissance unitaire de l'ordre de 5\text{ à }10\text{ MW}. Un parc regroupant plusieurs dizaines d'éoliennes présente une puissance globale installée de :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{éolien en mer}} \sim 500\text{ MW} \quad (10^8 \text{ à } 10^9\text{ W})}

Le principal inconvénient de la production électrique issue de l'éolien et du solaire est son intermittence (ou son caractère aléatoire et non pilotable) :

• la production dépend directement des conditions météorologiques (vitesse du vent, ensoleillement, nébulosité) ainsi que du cycle jour/nuit (production solaire nulle la nuit) ;
• cette production ne coïncide pas nécessairement avec les pointes de consommation (par exemple en hiver en début de soirée).

L'électricité ne se stockant pas massivement de façon directe sur le réseau, cette variabilité impose le recours à des moyens de stockage (comme les stations de transfert d'énergie par pompage, STEP) ou à des centrales d'appoint pilotables (hydrauliques, thermiques ou nucléaires) afin d'assurer à tout instant l'équilibre offre-demande.

L'électricité ne pouvant pas être stockée massivement à l'échelle d'un réseau de transport sans passer par une autre forme d'énergie, l'intérêt du pompage-turbinage (STEP) repose sur plusieurs aspects essentiels :

• Stockage massif d'énergie : lors des périodes de faible demande (heures creuses : la nuit, les fins de semaine) ou de surproduction (énergies renouvelables intermittentes, nucléaire en base), l'électricité excédentaire et bon marché est utilisée pour pomper l'eau vers la retenue amont, convertissant ainsi l'énergie électrique en énergie potentielle de pesanteur.
• Écrêtement des pointes de consommation : lors des pics de demande (heures de pointe), l'eau stockée est relâchée dans les conduites forcées pour actionner les turbines. La puissance électrique ainsi restituée est mobilisable en quelques minutes, ce qui compense rapidement le déficit de production.
• Régulation et stabilité du réseau : le pompage-turbinage garantit à tout instant l'équilibre offre-demande nécessaire au maintien de la fréquence du réseau (50\text{ Hz} en France) et facilite l'intégration des énergies renouvelables intermittentes (éolien, solaire).

D'après le document 2, le débit volumique maximal prélevé est D_v = 0{,}65\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}. L'eau étant considérée comme incompressible de masse volumique \rho = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, le débit massique maximal dans la conduite après confluence s'écrit :

Soit numériquement :

D'après le document 3, la conduite unique après confluence a pour diamètre intérieur D_2 = 0{,}70\text{ m}. Sa section droite est donc :

La vitesse moyenne maximale de l'écoulement dans cette conduite vaut alors :

Numériquement, avec \pi \approx 3{,}14 :

Dans l'hypothèse d'une conversion intégrale et sans frottement, la puissance maximale brute correspond au débit d'énergie potentielle de pesanteur cédée par la masse d'eau pendant sa chute depuis le niveau d'exploitation jusqu'à la côte de restitution :

où m est la masse d'eau ayant chuté de la hauteur brute H_{\mathrm{mb}}.

Pour un écoulement caractérisé par un débit volumique maximal D_v (soit un débit massique D_m = \rho D_v), la puissance maximale brute associée s'écrit :

Application numérique : Avec \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, D_v = 0{,}65\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, H_{\mathrm{mb}} = 683{,}20\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

En respectant la consigne d'un chiffre significatif :

Conclusion : Le calcul direct redonne exactement la valeur de 4\,356\text{ kW} annoncée dans le document 2. Cette puissance brute est une borne supérieure théorique : en pratique, la puissance disponible est réduite par les pertes de charge dans la conduite forcée ainsi que par les rendements de la turbine Pelton et de l'alternateur, d'où une puissance maximale disponible annoncée plus faible (\mathscr{P}_{\mathrm{md}} = 3\,380\text{ kW}, soit un rendement global d'environ 78\,\%).

La viscosité dynamique \eta est liée au phénomène de transport diffusionnel de quantité de mouvement au sein du fluide.

À l'échelle microscopique, l'agitation thermique et les interactions moléculaires transfèrent de la quantité de mouvement entre couches de fluide se déplaçant à des vitesses différentes.

À l'échelle macroscopique, ce phénomène se traduit par des forces de frottement visqueux (ou contraintes de cisaillement) s'opposant au mouvement relatif des couches de fluide, responsables d'une dissipation d'énergie mécanique sous forme de chaleur.

D'après l'énoncé, la force visqueuse par unité de volume s'écrit \vec{f}_v = -\eta\,\Delta\vec{v}.

• \vec{f}_v est une force par unité de volume :

  [f_v] = \frac{[F]}{[V]} = \frac{\mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^3}} = \mathrm{M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}}

• Le laplacien vectoriel \Delta\vec{v} correspond spatialement à une dérivée seconde d'une vitesse :

  [\Delta\vec{v}] = \frac{[v]}{\mathrm{L^2}} = \frac{\mathrm{L\cdot T^{-1}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{L^{-1}\cdot T^{-1}}

On en déduit la dimension de la viscosité dynamique :

Par ailleurs, une pression P correspond à une force surfacique, de dimension :

On constate immédiatement que :

L'unité de viscosité dynamique du Système International faisant intervenir la pression est donc le pascal-seconde (\mathrm{Pa\cdot s}).

• La grandeur \ell représente la dimension caractéristique transversale de l'écoulement. Pour l'écoulement en conduite circulaire, il s'agit du diamètre intérieur de la conduite après confluence :

  \ell = D_2 = 0{,}70\text{ m}.

• La grandeur \mu désignant la masse volumique de l'eau (\mu = \rho \approx 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), calculons le nombre de Reynolds avec les valeurs issues de la question précédente (v \approx 1{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \eta = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}) :

  R_e = \frac{\mu \, D_2 \, v}{\eta} = \frac{1{,}0\cdot 10^3 \times 0{,}70 \times 1{,}7}{1{,}0\cdot 10^{-3}} \approx 1{,}2\cdot 10^6.

  En ne conservant qu'un seul chiffre significatif :

  \boxed{R_e \sim 10^6}

• Pour un écoulement dans une conduite cylindrique, le seuil critique de transition entre écoulement laminaire et turbulent est de l'ordre de R_{e,\mathrm{c}} \approx 2\,000. Comme ici R_e \gg 2\,000, on en déduit que :

  \boxed{\text{L'écoulement est pleinement turbulent.}}

Les pertes de charge représentent la dissipation irréversible d'énergie mécanique du fluide sous forme d'énergie thermique (liée aux frottements visqueux et aux turbulences), exprimée ici sous la forme d'une hauteur d'eau équivalente en mètres de colonne d'eau :

• Pertes de charge linéaires (ou régulières) : il s'agit des pertes réparties de façon continue tout au long des tronçons rectilignes de section constante de la conduite. Elles résultent du frottement visqueux au sein du fluide et du frottement contre la paroi rugueuse de la conduite forcée.
• Pertes de charge accidentelles (ou singulières / localisées) : il s'agit des pertes localisées au niveau des singularités géométriques de la conduite (coudes, bifurcations, vannes, réductions ou élargissements de section, entonnements). Elles sont provoquées par les décollements de la couche limite, les recirculations et la création de tourbillons turbulents induits par ces changements de géométrie.

L'équation de Darcy-Weisbach donnée dans le document 3 s'écrit :

Analysons la dimension de chacun des termes intervenant dans cette relation :

• la perte de charge \Delta H_{\mathrm{pcl}} est une hauteur de colonne de fluide, homogène à une longueur : [\Delta H_{\mathrm{pcl}}] = \mathrm{L} ;
• le rapport L/D est le quotient de deux longueurs, il est donc sans dimension : [L/D] = 1 ;

• le terme cinétique \dfrac{v^2}{2g} a pour dimension :

  \left[ \frac{v^2}{2g} \right] = \frac{[v]^2}{[g]} = \frac{(\mathrm{L\cdot T^{-1}})^2}{\mathrm{L\cdot T^{-2}}} = \frac{\mathrm{L^2\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L\cdot T^{-2}}} = \mathrm{L}

Par homogénéité de la formule :

On en déduit que :

Le coefficient de perte de charge linéaire \lambda (aussi appelé coefficient de frottement de Darcy) est donc une grandeur adimensionnée (sans dimension).

Pour un fluide parfait (viscosité négligée), incompressible et homogène (masse volumique \rho constante), en écoulement stationnaire dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, la quantité appelée charge est conservée le long d'une même ligne de courant :

où :

• P est la pression statique locale ;
• v est la vitesse locale du fluide ;
• z est l'altitude repérée sur un axe vertical ascendant.

En divisant par \rho g, cette relation s'exprime de manière équivalente sous forme de hauteur de charge H (homogène à une longueur, exprimée en mètres de colonne de fluide) :

Pour un fluide réel newtonien, la viscosité engendre des frottements internes et vis-à-vis des parois, responsables d'une dissipation d'énergie mécanique en énergie thermique. La charge totale H n'est donc plus conservée : elle décroît strictement dans le sens de l'écoulement.

Entre une section amont (1) et une section aval (2), en l'absence de machine hydraulique (pompe ou turbine) entre ces deux sections, la relation de Bernoulli généralisée s'écrit sous forme de hauteurs de fluide (en mètres de colonne d'eau) :

où \Delta H_{\mathrm{pc}} = \Delta H_{\mathrm{pcl}} + \Delta H_{\mathrm{pca}} > 0 représente la perte de charge totale entre l'amont et l'aval, somme des pertes de charge régulières (ou linéaires) et singulières (ou accidentelles).

Exprimée en termes de pression volumique (en pascals), cette relation équivaut à :

D'après la question Q.8, le nombre de Reynolds dans la conduite après confluence est de l'ordre de R_e \approx 1{,}2\cdot 10^6 \approx 10^6. Le constructeur indique un coefficient de perte de charge linéaire \lambda = 0{,}03.

Sur l'abaque de Moody (figure 1) :

• en abscisse, on se place à R_e \approx 10^6 ;
• en ordonnée à gauche, on repère la valeur \lambda = 0{,}03.

À l'intersection de ces deux coordonnées, la courbe correspondante atteint son palier horizontal (régime turbulent rugueux) et conduit, sur l'échelle de droite, à la valeur de la rugosité relative :

Le diamètre de la conduite après confluence étant D_2 = 0{,}70\text{ m}, la rugosité absolue e vaut :

Avec un chiffre significatif :

Commentaire :

• La valeur obtenue (e \approx 3{,}5\text{ mm}) est bien supérieure à la rugosité d'une conduite neuve en acier lisse (typiquement de l'ordre de 0{,}05 à 0{,}1\text{ mm}). Elle est caractéristique d'une conduite en acier corrodé, d'une paroi en béton ou en fonte brute.
• Ce choix de valeur par le constructeur intègre vraisemblablement une marge de sécurité vis-à-vis du vieillissement de la conduite (entartrage, encrassement et corrosion au fil du temps).
• Par ailleurs, à ce nombre de Reynolds élevé (R_e \approx 10^6), le point se situe sur la partie horizontale des courbes de Moody : le régime est turbulent totalement rugueux, où \lambda devient indépendant de R_e et ne dépend plus que de la rugosité relative e/D.

Considérons l'écoulement stationnaire de l'eau (masse volumique \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) entre la surface libre de la retenue amont (1) et le point de restitution à l'air libre (2). Les vitesses aux surfaces libres sont négligeables et les pressions sont égales à la pression atmosphérique (P_1 = P_2 = P_{\mathrm{atm}}).

La relation de Bernoulli généralisée avec échanges de travail et pertes de charge s'écrit :

où w_i est le travail massique indiqué reçu par le fluide (w_i < 0 car le fluide est moteur et cède du travail à la turbine). Le travail massique extrait par la turbine est donc :

avec H_{\mathrm{nette}} = 650{,}00\text{ m} d'après le document 3.

Numériquement, en prenant g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

D'après le document 2, la puissance électrique maximale disponible au réseau est \mathscr{P}_{\mathrm{md}} = 3380\text{ kW} pour un débit massique maximal D_m = \rho D_v = 650\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (établi à la question Q.4). L'énergie électrique massique disponible s'écrit :

Numériquement :

Comparaison et conclusion : L'énergie massique disponible e_{\mathrm{md}} est inférieure au travail hydraulique massique disponible |w_i|. Le rapport définit le rendement de conversion électromécanique de l'ensemble turbine Pelton et alternateur :

Ce rendement de l'ordre de 80\% est tout à fait typique et satisfaisant pour une installation hydroélectrique de cette échelle, tenant compte des rendements hydrauliques de la turbine Pelton et des pertes mécaniques et électriques de l'alternateur.

Pour rediriger le rayonnement solaire incident vers la chaudière au sommet de la tour, la normale \vec{n} au miroir plan doit être orientée selon la bissectrice de l'angle entre la direction d'incidence des rayons solaires et la direction de la tour (d'après la loi de Snell-Descartes de la réflexion).

Soit \theta l'angle d'incidence entre les rayons solaires et la normale \vec{n} au miroir. L'angle entre la direction du Soleil et celle de la tour est donc égal à 2\theta.

La puissance solaire interceptée par le miroir dépend de sa surface projetée orthogonalement aux rayons incidents, appelée surface efficace :

Le flux thermique capté par un héliostat de surface physique S s'écrit alors :

Puisque \theta > 0 dès que le Soleil, le miroir et la tour ne sont pas alignés, on a \cos\theta < 1. La puissance captée et renvoyée est ainsi réduite par le facteur géométrique \cos\theta, ce qui justifie l'appellation d'effet cosinus.

Le rendement global maximal de la centrale solaire correspond au rapport de la puissance électrique maximale produite P_{\mathrm{e}} sur la puissance radiative solaire maximale incidente sur l'ensemble du champ d'héliostats :

Le champ est constitué de N héliostats de surface unitaire S, recevant un flux surfacique solaire direct \Phi_{\mathrm{S}} mesuré perpendiculairement aux rayons solaires. En considérant la puissance maximale captée par héliostat \Phi_h = \Phi_{\mathrm{S}} S (cas idéal où les rayons sont normaux au plan du miroir), la puissance solaire maximale incidente totale s'écrit :

On en déduit l'expression littérale du rendement maximal de la centrale :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• P_{\mathrm{e}} = 2{,}5\text{ MW} = 2{,}5\cdot 10^6\text{ W} ;
• N = 201 ;
• S = 54\text{ m}^2 ;
• \Phi_{\mathrm{S}} = 1{,}0\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0\cdot 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}.

La puissance solaire incidente maximale est :

D'où le rendement maximal :

Avec un chiffre significatif :

L'énergie solaire présente une intermittence temporelle (nuit, passage de nuages) et des variations au cours de la journée, alors que la demande sur le réseau électrique nécessite une production pilotable et continue. L'utilisation de ces milieux permet d'assurer un stockage thermique intermédiaire entre la captation solaire et le cycle thermodynamique :

• Stockage sous forme de chaleur sensible (sels fondus à haute température) :
  Les mélanges de sels (ex. nitrates de sodium et de potassium) restent liquides sur une large plage de températures (typiquement de 250\text{ \textdegree C} à 550\text{ \textdegree C} ou plus) sous pression atmosphérique, avec une capacité thermique volumique élevée. En période d'ensoleillement, le fluide est chauffé par le flux concentré ; l'énergie emmagasinée vaut :

  Q = m\, c\,\Delta T

• Stockage sous forme de chaleur latente (matériaux à changement de phase solide-liquide) :
  Lorsqu'un matériau fond à haute température, il absorbe son enthalpie de fusion à température constante :

  Q = m\, L_{\mathrm{f}}

  Ce procédé offre une densité énergétique de stockage particulièrement élevée et permet de restituer la chaleur à température isotherme fixée par le point de fusion.

Compensation de l'intermittence :

• En période d'excédent solaire (jour) : une partie de l'énergie thermique collectée sert à produire de l'électricité, tandis que le surplus est stocké dans ces accumulateurs thermiques (chauffage des sels ou fusion du milieu solide).
• En période de déficit ou d'absence d'ensoleillement (nuit, nébulosité) : la chaleur accumulée est restituée par refroidissement des sels ou solidification du milieu au fluide caloporteur alimentant la turbine.