Corrigé détaillé Banque PT Physique B PT 2023

Donnons les ordres de grandeur usuels de puissance électrique produite pour chaque installation :

• Centrale thermique à flamme (charbon, gaz ou fioul) : la puissance électrique d'une tranche ou d'une centrale est typiquement comprise entre quelques centaines de mégawatts et le gigawatt, soit :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{thermique}} \sim 500\text{ MW à } 1\text{ GW} \quad (10^8 \text{ à } 10^9\text{ W})}

• Tranche de centrale nucléaire (constituée d'un réacteur et de son groupe turbo-alternateur) : les réacteurs du parc français ont des puissances unitaires de 900\text{ MW}, 1\,300\text{ MW} ou 1\,450\text{ MW} (et 1\,650\text{ MW} pour l'EPR), soit :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{nucléaire}} \sim 1\text{ GW} \quad (10^9\text{ W})}

• Parc éolien en mer (offshore) : une éolienne en mer actuelle délivre une puissance unitaire de l'ordre de 5\text{ à }10\text{ MW}. Un parc regroupant plusieurs dizaines d'éoliennes présente une puissance globale installée de :

  \boxed{\mathcal{P}_{\text{éolien en mer}} \sim 500\text{ MW} \quad (10^8 \text{ à } 10^9\text{ W})}

Le principal inconvénient de la production électrique issue de l'éolien et du solaire est son intermittence (ou son caractère aléatoire et non pilotable) :

• la production dépend directement des conditions météorologiques (vitesse du vent, ensoleillement, nébulosité) ainsi que du cycle jour/nuit (production solaire nulle la nuit) ;
• cette production ne coïncide pas nécessairement avec les pointes de consommation (par exemple en hiver en début de soirée).

L'électricité ne se stockant pas massivement de façon directe sur le réseau, cette variabilité impose le recours à des moyens de stockage (comme les stations de transfert d'énergie par pompage, STEP) ou à des centrales d'appoint pilotables (hydrauliques, thermiques ou nucléaires) afin d'assurer à tout instant l'équilibre offre-demande.

L'électricité ne pouvant pas être stockée massivement à l'échelle d'un réseau de transport sans passer par une autre forme d'énergie, l'intérêt du pompage-turbinage (STEP) repose sur plusieurs aspects essentiels :

• Stockage massif d'énergie : lors des périodes de faible demande (heures creuses : la nuit, les fins de semaine) ou de surproduction (énergies renouvelables intermittentes, nucléaire en base), l'électricité excédentaire et bon marché est utilisée pour pomper l'eau vers la retenue amont, convertissant ainsi l'énergie électrique en énergie potentielle de pesanteur.
• Écrêtement des pointes de consommation : lors des pics de demande (heures de pointe), l'eau stockée est relâchée dans les conduites forcées pour actionner les turbines. La puissance électrique ainsi restituée est mobilisable en quelques minutes, ce qui compense rapidement le déficit de production.
• Régulation et stabilité du réseau : le pompage-turbinage garantit à tout instant l'équilibre offre-demande nécessaire au maintien de la fréquence du réseau (50\text{ Hz} en France) et facilite l'intégration des énergies renouvelables intermittentes (éolien, solaire).

D'après le document 2, le débit volumique maximal prélevé est D_v = 0{,}65\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}. L'eau étant considérée comme incompressible de masse volumique \rho = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, le débit massique maximal dans la conduite après confluence s'écrit :

Soit numériquement :

D'après le document 3, la conduite unique après confluence a pour diamètre intérieur D_2 = 0{,}70\text{ m}. Sa section droite est donc :

La vitesse moyenne maximale de l'écoulement dans cette conduite vaut alors :

Numériquement, avec \pi \approx 3{,}14 :

Dans l'hypothèse d'une conversion intégrale et sans frottement, la puissance maximale brute correspond au débit d'énergie potentielle de pesanteur cédée par la masse d'eau pendant sa chute depuis le niveau d'exploitation jusqu'à la côte de restitution :

où m est la masse d'eau ayant chuté de la hauteur brute H_{\mathrm{mb}}.

Pour un écoulement caractérisé par un débit volumique maximal D_v (soit un débit massique D_m = \rho D_v), la puissance maximale brute associée s'écrit :

Application numérique : Avec \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, D_v = 0{,}65\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, H_{\mathrm{mb}} = 683{,}20\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

En respectant la consigne d'un chiffre significatif :

Conclusion : Le calcul direct redonne exactement la valeur de 4\,356\text{ kW} annoncée dans le document 2. Cette puissance brute est une borne supérieure théorique : en pratique, la puissance disponible est réduite par les pertes de charge dans la conduite forcée ainsi que par les rendements de la turbine Pelton et de l'alternateur, d'où une puissance maximale disponible annoncée plus faible (\mathscr{P}_{\mathrm{md}} = 3\,380\text{ kW}, soit un rendement global d'environ 78\,\%).

La viscosité dynamique \eta est liée au phénomène de transport diffusionnel de quantité de mouvement au sein du fluide.

À l'échelle microscopique, l'agitation thermique et les interactions moléculaires transfèrent de la quantité de mouvement entre couches de fluide se déplaçant à des vitesses différentes.

À l'échelle macroscopique, ce phénomène se traduit par des forces de frottement visqueux (ou contraintes de cisaillement) s'opposant au mouvement relatif des couches de fluide, responsables d'une dissipation d'énergie mécanique sous forme de chaleur.

D'après l'énoncé, la force visqueuse par unité de volume s'écrit \vec{f}_v = -\eta\,\Delta\vec{v}.

• \vec{f}_v est une force par unité de volume :

  [f_v] = \frac{[F]}{[V]} = \frac{\mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^3}} = \mathrm{M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}}

• Le laplacien vectoriel \Delta\vec{v} correspond spatialement à une dérivée seconde d'une vitesse :

  [\Delta\vec{v}] = \frac{[v]}{\mathrm{L^2}} = \frac{\mathrm{L\cdot T^{-1}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{L^{-1}\cdot T^{-1}}

On en déduit la dimension de la viscosité dynamique :

Par ailleurs, une pression P correspond à une force surfacique, de dimension :

On constate immédiatement que :

L'unité de viscosité dynamique du Système International faisant intervenir la pression est donc le pascal-seconde (\mathrm{Pa\cdot s}).

• La grandeur \ell représente la dimension caractéristique transversale de l'écoulement. Pour l'écoulement en conduite circulaire, il s'agit du diamètre intérieur de la conduite après confluence :

  \ell = D_2 = 0{,}70\text{ m}.

• La grandeur \mu désignant la masse volumique de l'eau (\mu = \rho \approx 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), calculons le nombre de Reynolds avec les valeurs issues de la question précédente (v \approx 1{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \eta = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}) :

  R_e = \frac{\mu \, D_2 \, v}{\eta} = \frac{1{,}0\cdot 10^3 \times 0{,}70 \times 1{,}7}{1{,}0\cdot 10^{-3}} \approx 1{,}2\cdot 10^6.

  En ne conservant qu'un seul chiffre significatif :

  \boxed{R_e \sim 10^6}

• Pour un écoulement dans une conduite cylindrique, le seuil critique de transition entre écoulement laminaire et turbulent est de l'ordre de R_{e,\mathrm{c}} \approx 2\,000. Comme ici R_e \gg 2\,000, on en déduit que :

  \boxed{\text{L'écoulement est pleinement turbulent.}}

Les pertes de charge représentent la dissipation irréversible d'énergie mécanique du fluide sous forme d'énergie thermique (liée aux frottements visqueux et aux turbulences), exprimée ici sous la forme d'une hauteur d'eau équivalente en mètres de colonne d'eau :

• Pertes de charge linéaires (ou régulières) : il s'agit des pertes réparties de façon continue tout au long des tronçons rectilignes de section constante de la conduite. Elles résultent du frottement visqueux au sein du fluide et du frottement contre la paroi rugueuse de la conduite forcée.
• Pertes de charge accidentelles (ou singulières / localisées) : il s'agit des pertes localisées au niveau des singularités géométriques de la conduite (coudes, bifurcations, vannes, réductions ou élargissements de section, entonnements). Elles sont provoquées par les décollements de la couche limite, les recirculations et la création de tourbillons turbulents induits par ces changements de géométrie.

L'équation de Darcy-Weisbach donnée dans le document 3 s'écrit :

Analysons la dimension de chacun des termes intervenant dans cette relation :

• la perte de charge \Delta H_{\mathrm{pcl}} est une hauteur de colonne de fluide, homogène à une longueur : [\Delta H_{\mathrm{pcl}}] = \mathrm{L} ;
• le rapport L/D est le quotient de deux longueurs, il est donc sans dimension : [L/D] = 1 ;

• le terme cinétique \dfrac{v^2}{2g} a pour dimension :

  \left[ \frac{v^2}{2g} \right] = \frac{[v]^2}{[g]} = \frac{(\mathrm{L\cdot T^{-1}})^2}{\mathrm{L\cdot T^{-2}}} = \frac{\mathrm{L^2\cdot T^{-2}}}{\mathrm{L\cdot T^{-2}}} = \mathrm{L}

Par homogénéité de la formule :

On en déduit que :

Le coefficient de perte de charge linéaire \lambda (aussi appelé coefficient de frottement de Darcy) est donc une grandeur adimensionnée (sans dimension).

Pour un fluide parfait (viscosité négligée), incompressible et homogène (masse volumique \rho constante), en écoulement stationnaire dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, la quantité appelée charge est conservée le long d'une même ligne de courant :

où :

• P est la pression statique locale ;
• v est la vitesse locale du fluide ;
• z est l'altitude repérée sur un axe vertical ascendant.

En divisant par \rho g, cette relation s'exprime de manière équivalente sous forme de hauteur de charge H (homogène à une longueur, exprimée en mètres de colonne de fluide) :

Pour un fluide réel newtonien, la viscosité engendre des frottements internes et vis-à-vis des parois, responsables d'une dissipation d'énergie mécanique en énergie thermique. La charge totale H n'est donc plus conservée : elle décroît strictement dans le sens de l'écoulement.

Entre une section amont (1) et une section aval (2), en l'absence de machine hydraulique (pompe ou turbine) entre ces deux sections, la relation de Bernoulli généralisée s'écrit sous forme de hauteurs de fluide (en mètres de colonne d'eau) :

où \Delta H_{\mathrm{pc}} = \Delta H_{\mathrm{pcl}} + \Delta H_{\mathrm{pca}} > 0 représente la perte de charge totale entre l'amont et l'aval, somme des pertes de charge régulières (ou linéaires) et singulières (ou accidentelles).

Exprimée en termes de pression volumique (en pascals), cette relation équivaut à :

D'après la question Q.8, le nombre de Reynolds dans la conduite après confluence est de l'ordre de R_e \approx 1{,}2\cdot 10^6 \approx 10^6. Le constructeur indique un coefficient de perte de charge linéaire \lambda = 0{,}03.

Sur l'abaque de Moody (figure 1) :

• en abscisse, on se place à R_e \approx 10^6 ;
• en ordonnée à gauche, on repère la valeur \lambda = 0{,}03.

À l'intersection de ces deux coordonnées, la courbe correspondante atteint son palier horizontal (régime turbulent rugueux) et conduit, sur l'échelle de droite, à la valeur de la rugosité relative :

Le diamètre de la conduite après confluence étant D_2 = 0{,}70\text{ m}, la rugosité absolue e vaut :

Avec un chiffre significatif :

Commentaire :

• La valeur obtenue (e \approx 3{,}5\text{ mm}) est bien supérieure à la rugosité d'une conduite neuve en acier lisse (typiquement de l'ordre de 0{,}05 à 0{,}1\text{ mm}). Elle est caractéristique d'une conduite en acier corrodé, d'une paroi en béton ou en fonte brute.
• Ce choix de valeur par le constructeur intègre vraisemblablement une marge de sécurité vis-à-vis du vieillissement de la conduite (entartrage, encrassement et corrosion au fil du temps).
• Par ailleurs, à ce nombre de Reynolds élevé (R_e \approx 10^6), le point se situe sur la partie horizontale des courbes de Moody : le régime est turbulent totalement rugueux, où \lambda devient indépendant de R_e et ne dépend plus que de la rugosité relative e/D.

Considérons l'écoulement stationnaire de l'eau (masse volumique \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) entre la surface libre de la retenue amont (1) et le point de restitution à l'air libre (2). Les vitesses aux surfaces libres sont négligeables et les pressions sont égales à la pression atmosphérique (P_1 = P_2 = P_{\mathrm{atm}}).

La relation de Bernoulli généralisée avec échanges de travail et pertes de charge s'écrit :

où w_i est le travail massique indiqué reçu par le fluide (w_i < 0 car le fluide est moteur et cède du travail à la turbine). Le travail massique extrait par la turbine est donc :

avec H_{\mathrm{nette}} = 650{,}00\text{ m} d'après le document 3.

Numériquement, en prenant g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

D'après le document 2, la puissance électrique maximale disponible au réseau est \mathscr{P}_{\mathrm{md}} = 3380\text{ kW} pour un débit massique maximal D_m = \rho D_v = 650\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} (établi à la question Q.4). L'énergie électrique massique disponible s'écrit :

Numériquement :

Comparaison et conclusion : L'énergie massique disponible e_{\mathrm{md}} est inférieure au travail hydraulique massique disponible |w_i|. Le rapport définit le rendement de conversion électromécanique de l'ensemble turbine Pelton et alternateur :

Ce rendement de l'ordre de 80\% est tout à fait typique et satisfaisant pour une installation hydroélectrique de cette échelle, tenant compte des rendements hydrauliques de la turbine Pelton et des pertes mécaniques et électriques de l'alternateur.

Pour rediriger le rayonnement solaire incident vers la chaudière au sommet de la tour, la normale \vec{n} au miroir plan doit être orientée selon la bissectrice de l'angle entre la direction d'incidence des rayons solaires et la direction de la tour (d'après la loi de Snell-Descartes de la réflexion).

Soit \theta l'angle d'incidence entre les rayons solaires et la normale \vec{n} au miroir. L'angle entre la direction du Soleil et celle de la tour est donc égal à 2\theta.

La puissance solaire interceptée par le miroir dépend de sa surface projetée orthogonalement aux rayons incidents, appelée surface efficace :

Le flux thermique capté par un héliostat de surface physique S s'écrit alors :

Puisque \theta > 0 dès que le Soleil, le miroir et la tour ne sont pas alignés, on a \cos\theta < 1. La puissance captée et renvoyée est ainsi réduite par le facteur géométrique \cos\theta, ce qui justifie l'appellation d'effet cosinus.

Le rendement global maximal de la centrale solaire correspond au rapport de la puissance électrique maximale produite P_{\mathrm{e}} sur la puissance radiative solaire maximale incidente sur l'ensemble du champ d'héliostats :

Le champ est constitué de N héliostats de surface unitaire S, recevant un flux surfacique solaire direct \Phi_{\mathrm{S}} mesuré perpendiculairement aux rayons solaires. En considérant la puissance maximale captée par héliostat \Phi_h = \Phi_{\mathrm{S}} S (cas idéal où les rayons sont normaux au plan du miroir), la puissance solaire maximale incidente totale s'écrit :

On en déduit l'expression littérale du rendement maximal de la centrale :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• P_{\mathrm{e}} = 2{,}5\text{ MW} = 2{,}5\cdot 10^6\text{ W} ;
• N = 201 ;
• S = 54\text{ m}^2 ;
• \Phi_{\mathrm{S}} = 1{,}0\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}0\cdot 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}.

La puissance solaire incidente maximale est :

D'où le rendement maximal :

Avec un chiffre significatif :

L'énergie solaire présente une intermittence temporelle (nuit, passage de nuages) et des variations au cours de la journée, alors que la demande sur le réseau électrique nécessite une production pilotable et continue. L'utilisation de ces milieux permet d'assurer un stockage thermique intermédiaire entre la captation solaire et le cycle thermodynamique :

• Stockage sous forme de chaleur sensible (sels fondus à haute température) :
  Les mélanges de sels (ex. nitrates de sodium et de potassium) restent liquides sur une large plage de températures (typiquement de 250\text{ \textdegree C} à 550\text{ \textdegree C} ou plus) sous pression atmosphérique, avec une capacité thermique volumique élevée. En période d'ensoleillement, le fluide est chauffé par le flux concentré ; l'énergie emmagasinée vaut :

  Q = m\, c\,\Delta T

• Stockage sous forme de chaleur latente (matériaux à changement de phase solide-liquide) :
  Lorsqu'un matériau fond à haute température, il absorbe son enthalpie de fusion à température constante :

  Q = m\, L_{\mathrm{f}}

  Ce procédé offre une densité énergétique de stockage particulièrement élevée et permet de restituer la chaleur à température isotherme fixée par le point de fusion.

Compensation de l'intermittence :

• En période d'excédent solaire (jour) : une partie de l'énergie thermique collectée sert à produire de l'électricité, tandis que le surplus est stocké dans ces accumulateurs thermiques (chauffage des sels ou fusion du milieu solide).
• En période de déficit ou d'absence d'ensoleillement (nuit, nébulosité) : la chaleur accumulée est restituée par refroidissement des sels ou solidification du milieu au fluide caloporteur alimentant la turbine.

La pression d'admission P_{\mathrm{a}} = 0{,}85\text{ bar} correspond à la pression atmosphérique locale régnant sur le site de la centrale Thémis (Pyrénées-Orientales).

En effet, la pression atmosphérique décroît avec l'altitude conformément à la loi de la statique des fluides dans l'atmosphère :

Le site de Thémis (situé à Targassonne) se trouve en moyenne montagne, à une altitude voisine de 1\,650\text{ m}. À cette altitude, la pression atmosphérique moyenne n'est plus égale à la pression standard au niveau de la mer (P_0 \approx 1{,}013\text{ bar} \approx 1\text{ bar}), mais est abaissée à environ 850\text{ hPa} = 0{,}85\text{ bar}.

L'air prélevé étant directement l'air ambiant à l'entrée du compresseur, la pression d'admission est donc fixée par la pression barométrique du site d'implantation :

Pour une mole de gaz parfait, la relation de Mayer relie les capacités thermiques molaires isobare C_{p\mathrm{m}} et isochore C_{v\mathrm{m}} :

Par définition du coefficient isentropique \gamma, on a :

En injectant cette relation dans celle de Mayer, on obtient :

La capacité thermique isobare massique de l'air c_{\mathrm{pa}} est reliée à la capacité thermique molaire C_{p\mathrm{m}} par la masse molaire M_{\mathrm{air}} selon c_{\mathrm{pa}} = \frac{C_{p\mathrm{m}}}{M_{\mathrm{air}}}, ce qui conduit à :

Le cycle de Brayton idéal est constitué d'une succession de quatre transformations réversibles pour un gaz parfait :

• 1 \to 2 : compression adiabatique réversible (isentropique) de (P_{\mathrm{a}}, T_{\mathrm{i}1}) à (P_2, T_{\mathrm{i}2}) ;
• 2 \to 3 : apport thermique isobare à la pression P_2 jusqu'à la température T_{\mathrm{i}3} ;
• 3 \to 4 : détente adiabatique réversible (isentropique) de (P_2, T_{\mathrm{i}3}) à (P_{\mathrm{a}}, T_{\mathrm{i}4}) ;
• 4 \to 1 : évacuation thermique isobare à la pression P_{\mathrm{a}} jusqu'à la température initiale T_{\mathrm{i}1} = T_{\mathrm{a}}.

Le cycle étant moteur, il est parcouru dans le sens horaire dans les deux diagrammes.

1. Diagramme de Clapeyron (p, v)

• Les isobares sont des droites horizontales (p = \text{cste}).
• Les isothermes vérifient p\,v = \text{cste}, d'où une pente \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{\!T} = -\frac{p}{v}.
• Les isentropes vérifient la loi de Laplace p\,v^\gamma = \text{cste}, d'où une pente \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{\!s} = -\gamma \frac{p}{v}. Comme \gamma > 1, la pente de l'isentrope est plus raide que celle de l'isotherme au même point.

2. Diagramme entropique (T, s)

L'entropie massique vérifie \mathrm{d}s = c_{\mathrm{pa}}\frac{\mathrm{d}T}{T} - r\frac{\mathrm{d}P}{P}, soit pour une isobare :

Les isobares sont donc des courbes strictement croissantes et convexes, l'isobare P_2 étant au-dessus de l'isobare P_{\mathrm{a}} (car à température fixée, une augmentation de pression diminue l'entropie).

• Les isentropes sont des segments verticaux (s = \text{cste}).
• Les isothermes sont des droites horizontales (T = \text{cste}).

L'apport thermique provenant de la source chaude (récepteur solaire ou chaudière d'appoint) a lieu lors de l'évolution isobare 2 \to 3 à la pression P_2, entre les températures T_{\mathrm{i}2} et T_{\mathrm{i}3}.

Pour un écoulement stationnaire en système ouvert à travers la zone de chauffe, en l'absence de parties mobiles (travail transvasé ou indiqué nul, w_{\mathrm{i}} = 0) et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques, le premier principe s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait (seconde loi de Joule), la variation d'enthalpie massique s'exprime par :

La puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{ich}} reçue par le fluide en régime permanent vaut donc :

En utilisant l'expression de c_{\mathrm{pa}} établie à la question Q.19, c_{\mathrm{pa}} = \dfrac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}}, on obtient :

Le refroidissement de l'air s'effectue au cours de la transformation isobare 4 \to 1 à la pression P_{\mathrm{a}}, entre la sortie de turbine à la température T_{\mathrm{i}4} et l'admission dans le compresseur à la température T_{\mathrm{i}1}.

Pour un écoulement stationnaire sans parties mobiles (w_{\mathrm{u}} = 0) et en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert s'écrit, en grandeurs massiques :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, la seconde loi de Joule donne :

En multipliant par le débit massique D_{\mathrm{m}} et en réutilisant l'expression de la capacité thermique massique c_{\mathrm{pa}} établie à la question Q.19 :

la puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{ifr}} reçue depuis la source froide s'écrit :

Considérons le fluide décrivant le cycle complet en régime stationnaire. D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système ouvert en écoulement permanent, la variation massique d'enthalpie sur l'ensemble du cycle fermé est nulle :

En multipliant par le débit massique D_{\text{m}}, le bilan des puissances échangées par le fluide s'écrit :

Puisque \mathscr{P}_{\text{u}} désigne la puissance mécanique produite par le cycle (cédée par le fluide à l'extérieur pour entraîner le compresseur et l'alternateur), on a \mathscr{P}_{\text{m,reçue}} = -\mathscr{P}_{\text{u}}. Il vient ainsi :

Origine physique : Cette relation résulte du premier principe de la thermodynamique (principe de conservation de l'énergie). L'enthalpie étant une fonction d'état, sa variation globale au cours d'un cycle complet (ou dans le système global en régime permanent) est nulle. La puissance mécanique utile produite provient donc de la conversion de la puissance thermique nette reçue par le fluide.

Le rendement thermique d'un moteur thermique cyclique correspond au rapport entre l'énergie utile obtenue (ici la puissance mécanique produite \mathscr{P}_{\mathrm{u}}) et l'énergie thermique qu'il a fallu lui fournir (la puissance thermique reçue de la source chaude \mathscr{P}_{\mathrm{ich}}) :

En utilisant la relation issue du premier principe établie à la question Q.23, \mathscr{P}_{\mathrm{u}} = \mathscr{P}_{\mathrm{ich}} + \mathscr{P}_{\mathrm{ifr}}, on peut également exprimer le rendement uniquement à l'aide des puissances thermiques échangées :

D'après la question Q.24, le rendement thermodynamique du cycle idéal de Brayton s'écrit :

En substituant les expressions des puissances thermiques établies aux questions Q.21 et Q.22 :

le terme D_{\mathrm{m}} c_{\mathrm{pa}} se simplifie au numérateur et au dénominateur, ce qui conduit à :

ou, sous forme factorisée usuelle :

Dans le cycle de Brayton idéal, le fluide est un gaz parfait subissant des transformations isentropiques réversibles dans le compresseur et dans la turbine.

Pour une transformation isentropique d'un gaz parfait dont le rapport des capacités thermiques \gamma est supposé constant, la loi de Laplace s'écrit sous la forme :

1. Compression isentropique 1 \to 2 : L'air passe de l'état initial (T_{\mathrm{i}1}, P_{\mathrm{a}}) à l'état (T_{\mathrm{i}2}, P_2) :

D'où l'expression de T_{\mathrm{i}2} :

2. Détente isentropique 3 \to 4 : L'air se détend dans la turbine de l'état (T_{\mathrm{i}3}, P_2) à l'état (T_{\mathrm{i}4}, P_{\mathrm{a}}) :

En inversant le rapport des pressions pour exprimer T_{\mathrm{i}3}, on obtient :

D'après la question Q.25, le rendement du cycle idéal de Brayton s'écrit :

D'après les relations établies à la question Q.26 :

En soustrayant ces deux relations terme à terme, on obtient :

En injectant cette relation dans l'expression du rendement, le terme (T_{\mathrm{i}4} - T_{\mathrm{i}1}) se simplifie :

Application numérique :

Avec P_{\mathrm{a}} = 0{,}85\text{ bar}, P_2 = 2{,}2\text{ bar} et \gamma = 1{,}4, la donnée numérique de l'énoncé fournit :

D'où :

En respectant la consigne générale d'un seul chiffre significatif :

1. Intérêt de multiples petits tubes : Le flux thermique transféré entre l'air et l'huile s'exprime sous la forme :

   \Phi = U \, S \, \Delta T_{\mathrm{ml}}

   où U est le coefficient global d'échange, S la surface totale d'échange thermique et \Delta T_{\mathrm{ml}} l'écart de température moyen logarithmique.

   Pour un volume global d'échangeur ou une section de passage donnés, remplacer un unique gros tuyau par un faisceau de N petits tubes permet d'augmenter considérablement la surface d'échange S (le rapport surface sur volume variant en 1/d, où d est le diamètre d'un tube). Cela permet également de réduire la distance caractéristique de diffusion thermique au sein du fluide, améliorant ainsi l'efficacité du transfert thermique tout en conservant un encombrement réduit.

2. Inconvénient en termes de pertes : La réduction du diamètre des tubes et l'augmentation de la surface mouillée engendrent une hausse importante des pertes de charge (visqueuses le long des parois d'après la loi de Darcy-Weisbach en 1/d, et singulières aux entrées et sorties des tubes).

   Cela nécessite d'augmenter la puissance fournie à la pompe de circulation de l'huile, ce qui induit une perte d'énergie mécanique préjudiciable au rendement global du système.

Considérons le système ouvert constitué par l'échangeur de chaleur en régime stationnaire. Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle des fluides sont négligeables devant les variations d'enthalpie. De plus, aucun travail mécanique n'est échangé avec l'extérieur (\mathscr{P}_{\mathrm{u}} = 0).

L'échangeur étant estimé « sans perte », il est thermiquement isolé du milieu extérieur (\mathscr{P}_{\mathrm{ext}} = 0). La puissance thermique cédée par l'air chaud est intégralement absorbée par l'huile thermique :

En notant que pour un écoulement monophasique à capacité thermique constante, le débit enthalpique s'écrit \Delta \dot{H} = D_{\mathrm{m}} c_p \Delta T :

• la puissance thermique reçue par l'huile s'exprime par :

  \mathscr{P}_{\mathrm{huile}} = D_{\mathrm{mh}}\, c_{\mathrm{ph}}\,(T_{sh} - T_{eh})

• la puissance thermique reçue par l'air s'exprime par :

  \mathscr{P}_{\mathrm{air}} = D_{\mathrm{ma}}\, c_{\mathrm{pa}}\,(T_{sa} - T_{ea})

Le bilan thermique global conduit donc à la relation :

D'après la relation obtenue à la question précédente :

On en déduit l'expression de la température d'entrée de l'huile thermique :

Application numérique : Les grandeurs numériques fournies sont :

• T_{\mathrm{sh}} = 350\,^\circ\mathrm{C},
• T_{\mathrm{ea}} - T_{\mathrm{sa}} = 495 - 100 = 395\,^\circ\mathrm{C},
• D_{\mathrm{ma}} c_{\mathrm{pa}} = 0{,}82 \times 1{,}0 = 0{,}82\text{ kW}\cdot\mathrm{K}^{-1},
• D_{\mathrm{mh}} c_{\mathrm{ph}} = 0{,}6 \times 2{,}1 = 1{,}26\text{ kW}\cdot\mathrm{K}^{-1}.

L'élévation de température de l'huile vaut :

On en déduit :

Conformément à la consigne générale demandant un chiffre significatif :

Dans le réseau cubique à faces centrées (cfc) formé par les anions \mathrm{O}^{2-} :

• Les anions \mathrm{O}^{2-} occupent les 8 sommets et les 6 centres des faces de la maille cubique de côté a.

• Les sites octaédriques (\mathrm{[O]}) sont situés :

  • au centre de la maille (coordonnées réduites (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})) ;
  • au milieu des 12 arêtes (coordonnées réduites du type (\frac{1}{2}, 0, 0)).
• Les sites tétraédriques (\mathrm{[T]}) sont situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2 constituant la maille, soit aux coordonnées réduites (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}) et leurs équivalents par symétrie (à une distance \frac{a\sqrt{3}}{4} de chaque sommet le long des grandes diagonales).

Les ions oxyde \mathrm{O^{2-}} forment un réseau cubique à faces centrées (cfc). Dans la maille conventionnelle, ils occupent :

• les 8 sommets du cube, chaque sommet étant partagé entre 8 mailles adjacentes ;
• le centre des 6 faces du cube, chaque centre de face étant partagé entre 2 mailles adjacentes.

Le nombre d'ions \mathrm{O^{2-}} appartenant en propre à la maille (multiplicité) est donc :

Dans un réseau cubique à faces centrées (cfc) :

• Sites tétraédriques : la maille se divise en 8 sous-cubes d'arête a/2. Le centre de chacun de ces sous-cubes est un site tétraédrique, situé entièrement à l'intérieur de la maille (multiplicité 1). Le nombre total de sites tétraédriques par maille est donc :

  N_{[\mathrm{T}]} = 8 \times 1 = 8

• Sites octaédriques : ils sont situés au centre de la maille (1 site, multiplicité 1) et au milieu de chaque arête (12 sites, partagés chacun entre 4 mailles adjacentes, multiplicité 1/4). Le nombre total de sites octaédriques par maille est donc :

  N_{[\mathrm{O}]} = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 4

D'après les taux d'occupation donnés :

• Les ions \mathrm{Fe}^{2+} occupent \frac{1}{8} des sites tétraédriques, soit par maille :

  N(\mathrm{Fe}^{2+}) = \frac{1}{8} \times N_{[\mathrm{T}]} = \frac{1}{8} \times 8 = 1

• Les ions \mathrm{Cr}^{t+} occupent la moitié des sites octaédriques, soit par maille :

  N(\mathrm{Cr}^{t+}) = \frac{1}{2} \times N_{[\mathrm{O}]} = \frac{1}{2} \times 4 = 2

D'après les résultats des questions Q2 et Q3, une maille élémentaire contient :

• N(\mathrm{Fe^{2+}}) = 1 ion fer(II) ;
• N(\mathrm{Cr}^{t+}) = 2 ions chrome ;
• N(\mathrm{O^{2-}}) = 4 ions oxyde.

Les proportions stœchiométriques respectent donc le rapport :

La formule statistique minimale de la chromite est par conséquent :

Le cristal étant globalement électriquement neutre, la somme algébrique des charges par unité formulaire s'annule :

Le degré d'oxydation du chrome dans le minerai est donc +\mathrm{III}, et la formule de l'ion du chrome dans le cristal est :

Dans la maille cubique de paramètre a, les anions \mathrm{O}^{2-} ne se touchent pas le long de la diagonale des faces (a\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 297\text{ pm} > 2\,r(\mathrm{O}^{2-}) = 280\text{ pm}). Les dimensions maximales des sites dépendent donc directement de la distance géométrique entre le centre du site et le centre des anions voisins.

1. Site octaédrique :

Les sites octaédriques sont situés au milieu des arêtes et au centre du cube. La distance minimale entre le centre d'un site octaédrique et le centre d'un anion \mathrm{O}^{2-} voisin est :

À la limite du contact cation-anion, on a la relation de tangence :

Application numérique :

2. Site tétraédrique :

Les sites tétraédriques sont situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, c'est-à-dire au quart des grandes diagonales du cube. La distance entre le centre d'un site tétraédrique et l'un des quatre anions formant le tétraèdre est :

À la limite de tangence cation-anion, on a :

Application numérique (avec \sqrt{3} \approx 1{,}732) :

D'après la question précédente, les rayons maximaux des cations susceptibles de s'insérer dans les sites sans modifier le paramètre de maille sont :

1. Comparaison des rayons ioniques :

• Pour l'ion chrome \mathrm{Cr^{3+}} occupant la moitié des sites octaédriques :

  r(\mathrm{Cr}^{3+}) = 61{,}5\text{ pm} < r_{\mathrm{oct}} = 70\text{ pm}

  Le rayon de \mathrm{Cr^{3+}} est inférieur au rayon maximal de l'interstice octaédrique.

• Pour l'ion fer(II) \mathrm{Fe^{2+}} occupant un huitième des sites tétraédriques :

  r(\mathrm{Fe}^{2+}) = 76\text{ pm} > r_{\mathrm{tet}} \approx 42\text{ pm}

  Le rayon de \mathrm{Fe^{2+}} est nettement supérieur au rayon maximal de l'interstice tétraédrique (et même supérieur à r_{\mathrm{oct}}).

2. Commentaires :

• L'insertion de l'ion \mathrm{Cr^{3+}} dans les sites octaédriques se fait sans contrainte d'encombrement stérique, les anions pouvant maintenir le contact avec le cation.
• L'ion \mathrm{Fe^{2+}} est bien trop volumineux pour la cavité tétraédrique théorique d'un réseau cubique compact non déformé. Dans le cristal réel (structure spinelle \mathrm{FeCr_2O_4}), les anions oxyde s'écartent localement pour agrandir les cavités tétraédriques (déplacement des anions caractérisé par le paramètre de position u). Le modèle des sphères dures indéformables trouve ici ses limites : il existe une relaxation du réseau anionique ainsi qu'un caractère partiellement covalent des liaisons métal-oxygène.

La masse volumique \rho d'un cristal est le rapport de la masse m_{\text{maille}} des entités appartenant à la maille sur le volume V de cette maille :

La maille conventionnelle cubique a pour volume :

D'après les dénombrements effectués aux questions Q2 et Q3, la maille contient :

• 1 ion \mathrm{Fe^{2+}} ;
• 2 ions \mathrm{Cr^{3+}} ;
• 4 ions \mathrm{O^{2-}}.

Cela correspond exactement à Z = 1 groupement formulaire \mathrm{FeCr_2O_4} par maille.

La masse contenue dans la maille s'écrit donc :

où N_{\mathrm{A}} désigne la constante d'Avogadro et M les masses molaires atomiques respectives.

On en déduit l'expression de la masse volumique de la chromite :

La réaction d'oxydoréduction étudiée s'écrit :

Si la réaction admet un ordre courant, la loi de vitesse relie la vitesse volumique de réaction v aux concentrations des réactifs à l'instant considéré. En désignant par k la constante de vitesse (qui ne dépend que de la température), l'expression générale de la loi de vitesse s'écrit :

où \alpha, \beta et \gamma sont respectivement les ordres partiels de la réaction par rapport au propan-2-ol \mathrm{A}, à l'ion hydrogénochromate \mathrm{HCrO}_4^- et à l'ion oxonium \mathrm{H}^+.

D'après les données du tableau 1, les concentrations initiales des différents réactifs sont :

Comparons les quantités initiales en tenant compte de la stœchiométrie de la réaction :

Si la réaction était totale, la consommation maximale de \mathrm{A} et de \mathrm{H}^+ serait :

Les réactifs \mathrm{A} (propan-2-ol) et \mathrm{H}^+ sont donc introduits en très large excès par rapport à l'ion \mathrm{HCrO}_4^-. Leurs concentrations restent quasi constantes tout au long de la réaction :

En appliquant le principe de dégénérescence de l'ordre à la loi générale v = k\,[\mathrm{A}]^\alpha\,[\mathrm{HCrO}_4^-]^\beta\,[\mathrm{H}^+]^\gamma, l'expression de la vitesse se simplifie sous la forme :

avec la constante de vitesse apparente :

La réaction considérée s'écrit :

1. Définition de la vitesse utile

Le suivi cinétique du tableau 1 porte sur la concentration en ions hydrogénochromate \mathrm{HCrO_4^-}. Le nombre stœchiométrique algébrique de cette espèce étant \nu(\mathrm{HCrO_4^-}) = -2, la vitesse volumique de réaction s'exprime par :

2. Détermination de l'ordre partiel \beta

D'après la question Q9, la dégénérescence de l'ordre conduit à la loi simplifiée :

Si l'ordre partiel est \beta = 1, l'équation différentielle s'écrit :

Par intégration entre t = 0 et t, on obtient :

La grandeur \ln[\mathrm{HCrO_4^-}] est donc une fonction affine décroissante du temps t.

D'après la figure 1, la courbe \ln[\mathrm{HCrO_4^-}] = f(t) est parfaitement modélisée par une droite de régression :

La linéarité étant vérifiée de façon excellente (R^2 = 1), l'hypothèse est validée :

3. Calcul de la constante de vitesse apparente k_1

Par identification de la pente de la droite expérimentale (le temps étant exprimé en minutes) :

D'où :

En exprimant cette constante dans le Système international d'unités (\text{s}^{-1}) :

En conservant les chiffres significatifs adéquats :

D'après la question 8, la loi de vitesse générale s'écrit :

Dans les conditions expérimentales du tableau 2, les concentrations initiales valent :

• a' = [\mathrm{A}]_0 = 15\cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} ;
• b' = [\mathrm{HCrO}_4^-]_0 = 10\cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} ;
• [\mathrm{H^+}]_{0,2} = 0{,}405\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

L'avancement volumique maximal de la réaction est :

La quantité maximale d'ions \mathrm{H^+} consommée au cours de la réaction vaut ainsi :

Les ions \mathrm{H^+} sont donc en large excès, ce qui permet de considérer leur concentration comme pratiquement constante tout au long de la réaction :

Il y a dégénérescence de l'ordre par rapport aux ions \mathrm{H^+}. Sachant de plus que \beta = 1 d'après la question 10, la loi de vitesse se simplifie sous la forme :

avec la constante apparente intermédiaire k' = k\,[\mathrm{H^+}]_{0,2}^\gamma.

D'après les données du tableau 2, les concentrations initiales valent :

En comparant ces valeurs aux coefficients stœchiométriques des réactifs dans l'équation-bilan :

on constate que :

Les réactifs \mathrm{A} et \mathrm{HCrO}_4^- sont donc introduits dans les proportions stœchiométriques, ce qui se traduit par la relation :

D'après le bilan de matière (avec x_v l'avancement volumique) :

En utilisant la relation stœchiométrique a' = \frac{3}{2}\,b' :

Cette proportionnalité reste vérifiée à tout instant t.

D'après la question Q11, les ions \mathrm{H}^+ étant en large excès, la loi de vitesse avec \beta = 1 (établi en Q10) s'écrit :

En y substituant l'expression de [\mathrm{A}](t) :

La vitesse se met donc sous la forme demandée :

avec la constante de vitesse apparente :

D'après la question précédente, dans les proportions stœchiométriques du mélange 2, la vitesse de réaction s'écrit :

Par définition de la vitesse de réaction par rapport au réactif limitant \mathrm{HCrO}_4^- (coefficient stœchiométrique -2) :

D'après le tableau d'avancement, [\mathrm{Cr}^{3+}] = 2x et [\mathrm{HCrO}_4^-] = b' - 2x = b' - [\mathrm{Cr}^{3+}], avec [\mathrm{HCrO}_4^-]_0 = b'.

Établissement de la relation intégrée pour \alpha = 1 : Si l'ordre partiel vaut \alpha = 1, l'ordre global apparent en \mathrm{HCrO}_4^- est \alpha + 1 = 2. L'équation différentielle devient :

En intégrant entre t = 0 (où [\mathrm{HCrO}_4^-] = b') et la date t :

Comme [\mathrm{HCrO}_4^-](t) = b' - [\mathrm{Cr}^{3+}], on obtient bien la relation demandée :

Validation de l'ordre \alpha = 1 : Cette relation s'écrit également :

La figure 2 représente précisément \dfrac{1}{b' - [\mathrm{Cr}^{3+}]} en fonction du temps t (en minutes). La régression linéaire donne une droite d'équation :

• L'ordonnée à l'origine vaut 99{,}924\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}, ce qui est en parfait accord avec \dfrac{1}{b'} = \dfrac{1}{10\cdot 10^{-3}} = 100\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}.

• Le coefficient de détermination R^2 = 1 confirme l'alignement rigoureux des points expérimentaux, ce qui valide l'hypothèse :

  \boxed{\alpha = 1}

Calcul de la constante k_2 : La pente de la droite s'identifie à 2 k_2 :

On en déduit :

En unités du Système International (seconde) :