Rayonnement thermique : 125 questions de concours corrigées

Comparer la densité spectrale U(ν) prévue par le modèle de Rayleigh-Jeans aux données de la figure 3. Expliquer pourquoi l'on parlait de « catastrophe ultraviolette » jusqu'au début du XXème siècle…

En pratique, ce mécanisme ne permet pas de diminuer indéfiniment la vitesse des neutrons, car les noyaux ne sont pas immobiles, mais ont un petit mouvement dû à l'agitation thermique. Pour le…

Exprimer la puissance totale émise par la surface du Soleil, notée P_s,e.

Exprimer la puissance totale absorbée par la planète, notée P_m,a.

Exprimer la puissance émise par la planète, notée P_m,e.

Indiquer à quel domaine du rayonnement électromagnétique correspond le rayonnement émis par le Soleil. Préciser également à quel domaine du rayonnement électromagnétique doit correspondre le…

On note Φ la puissance surfacique moyenne reçue du Soleil par la Terre, dont une fraction α est réfléchie vers l'espace. Quelle est la température T_E d'un corps noir qui rayonne une puissance…

Quelle est la dépendance en température de l'aire sous un spectre de corps noir ?

Comment varie la position du maximum nₘₐₓ du spectre de corps noir en fonction de T ?

Donner la valeur numérique de la longueur d'onde pour laquelle l'émission de rayonnement terrestre est maximale. Donner les bornes du domaine de longueurs d'onde où est émis l'essentiel de l'énergie.

Dans un premier modèle, on considère que la surface terrestre absorbe un flux solaire incident I = 220 W⁻², considéré uniforme et indépendant du temps. À l'équilibre, la Terre ré-émet l'intégralité…

Le flux radiatif surfacique à la surface du Soleil, considéré comme un corps noir, est donné par la loi de Stéfan φ = σ T⁴ où σ est la constante de Stéfan-Boltzmann et T la température de sa…

À l'aide d'un bilan énergétique entre t et t+dt, établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la température du filament T(t) (supposée uniforme). On pourra négliger le flux…

En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie appliqué au champ électromagnétique contenu dans la cavité en contact avec un thermostat de température fixée T, déterminer l'expression de la…

Calculer l'énergie moyenne E(ν) du mode électromagnétique de fréquence ν. Montrer que la densité spectrale d'énergie moyenne associée U(ν) s'écrit U(ν) = (8πν² V)/c³hν/(eβ hν - 1).

En comparant deux énergies caractéristiques, déterminer les expressions asymptotiques de la densité spectrale d'énergie électromagnétique moyenne d'un mode dans la cavité dans les régimes basse et…

Justifier que la puissance absorbée doit être égale à la puissance émise, puis en déduire l'expression et la valeur de la température d'équilibre Tₘ pour la surface de Mars en l'absence…

Montrer que l'énergie E₁₂ du rayonnement électromagnétique prisonnier de la cavité et de fréquences comprises entre ν₁ et ν₂, s'exprime comme suit, moyennant un changement de variable : E₁₂ = V (8π…

La loi de Wien permet de relier la longueur d'onde correspondant au maximum d'irradiance lumineuse donné par la loi de Planck en fonction de la température de surface du corps noir chauffé : λₘₐₓ ×…

On peut également démontrer une autre loi à partir de la loi de Planck, la loi de Stefan-Boltzmann. En intégrant la loi de Planck sur l'ensemble du spectre électromagnétique, montrer que la…

Finalement il faut ajouter les pertes par rayonnements étudiées dans la partie 1, qui sont données par la loi de Stefan-Boltzmann corrigée : P_ray = ε σ₀ T⁴, où l'on a introduit les grandeurs…

Déterminer comment varie la température au sol en fonction de la fraction x de CO₂ dans l'atmosphère.

Nous admettons que la tranche d'atmosphère émet un rayonnement thermique dans toutes les directions. Le rayonnement émis dans la direction e_z vaut A_λ k_λ ρ dz (voir partie 1.4). En effectuant un…

La fraction du rayonnement solaire réfléchie par les nuages, l'atmosphère et le sol est appelée albédo α. Nous prendrons α = 0,3. En utilisant la valeur de la constante solaire, déterminer la valeur…

Un raffinement du modèle consiste à inclure une atmosphère infiniment fine située à une hauteur h au-dessus de la surface de la Terre. Cette atmosphère est transparente au rayonnement solaire…

On s'intéresse au maximum de la densité spectrale de rayonnement pour une température T fixée. En posant x = hc/(λ k_B T), déterminer l'équation vérifiée par x qui assure un extremum à la fonction…

Indiquer quels sont les différents modes de transfert thermique possibles. Préciser, avec justification, celui qui est mis en jeu lors du chauffage de la cathode par le filament.

Rappeler quelle est la signification de la grandeur φ.

En déduire l'expression et la valeur numérique de la température d'équilibre T_éq du filament en régime stationnaire.

Déterminer la couleur du filament lorsqu'il est chaud.

À quel moment de la journée le chauffage par le Soleil est-il le plus efficace ? Justifier la réponse.

À quel moment de la journée le chauffage par le Soleil est-il le plus efficace ? Justifier la réponse.

Exprimer la puissance moyenne surfacique reçue par le sol martien, p_m,i, au niveau de l'orbite de Mars.

Préciser l'unité dans le système international de la densité spectrale d'énergie u(ν) qui intervient dans l'équation II.1.

Calculer les valeurs des fréquences ν₁ et ν₂.

En déduire une estimation de la valeur du facteur de réduction de la puissance émise dans l'infrarouge par les différents éléments du télescope lorsque la température de celui-ci passe de la valeur…

Donner au moins un argument qui justifie que le télescope JWST ait été placé au point L₂.

Dans le cas du premier modèle, où l'émissivité est supposée constante, décrire comment évoluent les lois de Wien et de Stefan-Boltzmann. Tracer alors sur un même graphique l'allure du spectre du…

En utilisant le tableau 3 et la figure 6, calculer, dans le cas de l'ensoleillement moyen (500 W⁻²), la puissance reçue par le panneau.

À l'équilibre thermodynamique, en effectuant un bilan de puissance sur la Terre, déterminer sa température T_T,eq en fonction de celle du Soleil T_S et de β. Donner la valeur numérique (avec 3…

En utilisant Q6, donner l'expression de P_O→ Sys en fonction de T, σ, r et α.

Comparer au spectre solaire en haut de l'atmosphère (figure 8) et commenter.

Dans quel autre contexte rencontre-t-on une expression similaire à I_λ k_λ ρ dz pour l'absorption du rayonnement ?

Calculer avec deux chiffres significatifs la température en haut de l'atmosphère Tₜ pour la valeur de U_Lt trouvée à la question précédente.

Tracer le profil de température en vous servant des questions précédentes.

Nous considérons que l'atmosphère est saturée en eau. Est-ce que le profil de la question Q47 est stable ?

L'émissivité pour l'eau est donnée en figure 12. Commenter brièvement cette courbe.

Déterminer la température de la surface de l'étoile naine LAWD 21.

En considérant que le manchot et l'atmosphère rayonnent comme des corps noirs de températures respectives T_p et Tₑ très proches, on admet que le flux radiatif surfacique φ_r émis par le manchot…

Calculer la valeur du rapport du flux radiatif d'une tache solaire sur celui d'une zone normale. Commenter ce résultat.

Évaluer l'ordre de grandeur du temps nécessaire pour que le filament atteigne la température T_éq qui permet une émission thermoïonique stabilisée (les grandeurs µ_W, γ, λ et c pourront être…

En supposant que la cathode reçoit la totalité de la puissance émise par le filament, et en négligeant toute autre forme de transfert thermique reçu, déterminer la température T_c de la cathode.

Le Soleil est un corps noir (voir formulaire) dont la température de surface est T_S = 5800 K. Estimer la valeur de H_ω. Sachant que l'épaisseur caractéristique de l'atmosphère est de l'ordre de 100…

En respectant les conventions de notations adoptées, réaliser un schéma faisant apparaître les puissances surfaciques incidentes, absorbées et émises par la surface du sol martien et par son…

À partir de deux bilans de puissances, déterminer la température d'équilibre du sol martien, T'ₘ, en présence d'une atmosphère en fonction de P_s,e, α, ε et rₘ, puis en fonction uniquement de Tₘ et ε.

Calculer la valeur du coefficient d'absorption ε qu'il faudrait pour obtenir une température moyenne au sol de 298 K sur Mars. Commenter le résultat.

Déterminer la température d'équilibre du sol martien maximale envisageable en supposant que l'on soit capable d'optimiser les coefficients α et ε. Conclure.

Établir que le nombre N₁₂ de photons contenus dans la cavité, et dont la fréquence associée est comprise entre ν₁ et ν₂, s'exprime comme suit : N₁₂ = V (8π k_B³ T³)/(h³ c³) J_[ξ_1, ξ_2], où J_[ξ_1…

Déduire des équations II.2 et II.3 une expression de l'énergie moyenne individuelle des photons contenus dans la cavité et dont les fréquences associées sont comprises entre ν₁ et ν₂. Préciser…

Au regard des résultats établis aux questions 21 à 23, justifier qualitativement que la puissance émise par chacun des éléments du télescope, dans l'intervalle de fréquences considéré, est…

Le refroidissement a pour effet de réduire à la fois le nombre de photons émis et leur énergie moyenne. Identifier, parmi ces deux effets, celui qui a l'influence la plus importante sur la réduction…

Pour une seule des cinq parois modélisées par une couche de tartre et une couche de béton, exprimer R_conv et R_ray. Déterminer leurs valeurs numériques.

Calculer la résistance thermique de la paroi de verre 1 en tenant compte des transferts thermiques par conduction, convection et rayonnement. On donne, pour l'interface verre-air, h_conv,v = 30…

D'après la loi de Planck, quelle est la longueur d'onde maximale d'émission pour une température de chauffe de 1000 K ? Quelle puissance surfacique de ce spectre est située dans le domaine visible ?…

Le spectre observé à 1000 K est-il en accord avec la couleur jaune-orangée observée ?

Dans le cas du deuxième modèle, on suppose que l'émissivité dépend de la température. Cette variation est caractérisée par la loi empirique suivante : hc/(λ'ₘₐₓ k_B T) = a - bT avec a = 5 et b = 6·…

Représenter l'allure du spectre d'un corps noir chauffé à 1000 K. Superposer sur le même graphique l'allure des fonctions colorimétriques de l'œil. Interpréter la couleur rouge-orangée observée de…

Le forgeron observe la couleur de son métal avant que celui-ci ne fonde vers 1500 ^. Est-ce cohérent avec les comportements trouvés ? Quel rôle joue le rayonnement vis-à-vis de la puissance à…

Exprimer µ(z) en fonction de P(z), x, M et g. En déduire la pression P(h) à l'altitude h.

À partir de la figure 1, estimer numériquement la puissance que la Terre rayonne vers l'espace par unité de surface.

En préservant l'équilibre avec le flux reçu du Soleil, comment est modifié le spectre émis par la Terre si on augmente la teneur de l'atmosphère en CO₂ ?

En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann, fournie en fin de sujet, déterminer l'expression de la puissance solaire absorbée par la Lune. En l'assimilant à un corps noir, déterminer ensuite…

Évaluer le nombre de foyers que peut satisfaire cette ferme solaire sans aucun autre apport.

Montrer que le rapport η entre la puissance reçue par un objet et la puissance émise par un corps noir sphérique situé à une distance d de l'objet (d est supposée très grande devant la taille…

Si la température de la Terre passe uniformément à T_T = T_T,eq + Δ T, donner la différence de puissance Δ P entre les puissances alors reçue et émise par la Terre (on supposera que |Δ T| ≪ T_T,eq…

Préciser dans quelle mesure considérer que la température de la Terre reste uniforme, dans le cadre précédent, est recevable.

Montrer que l'aire de la surface interne S_int de l'enceinte est S_int = 2π R² (1+cos (α)). En déduire la puissance P_E→ int émise par l'enceinte vers l'intérieur de celle-ci. En admettant que la…

En utilisant le fait que le rayonnement de corps noir d'un objet sphérique est émis de façon isotrope, quelle est la puissance P_O→ E émise par l'objet et qui est reçue par l'enceinte ? En déduire…

En utilisant Q5, en déduire la température T de l'objet à l'équilibre. On exprimera le résultat en fonction des températures de la Terre T_T et du Soleil T_S, ainsi que de β, r, R et α. En utilisant…

En déduire le flux radiatif Φ₂ entre l'objet et le Soleil. Par convention, nous orienterons ce flux du Soleil vers l'objet. On exprimera le résultat sous la forme : Φ₂ = σ T_S⁴ π (Rsin (α))² β² - σ…

On admet que la fraction ξ du flux traversant le système optique et rejoignant le Soleil ne dépend pas de la température. En considérant que le Soleil et l'objet sont à la même température et que le…

Préciser l'inégalité que doit vérifier ξ. En utilisant la question précédente, en déduire une inégalité sur la taille r de l'objet. On note que la fonction f(α)=(sin ²(α))/(2(1-cos (α))) est une…

Montrer qu'avec le modèle qui a été développé, à l'aide de Q11, on obtient : C ≤ 2sin ²(α)/β².

En utilisant Q7, déterminer l'inégalité que doit alors vérifier T⁴. On fera apparaître T_T⁴, T_S⁴ et α. Sachant que T_S ≫ T_T, pour quel angle α la température de l'objet est-elle maximale ?…

Donner l'expression de la puissance radiative P_c traversant la lentille. Donner sa valeur avec un chiffre significatif. Donner la valeur du rayon r_c de la tache lumineuse où le faisceau solaire…

Montrer que la concentration obtenue n'est pas compatible avec la limite thermodynamique C ≤ (sin ²(α))/β². Préciser dans quelles conditions on se rapproche toutefois de cette limite.

Expliquer qualitativement pourquoi ζ > 1 en 2 phrases maximum.

Nous appelons D_λ le flux énergétique vers le bas et nous choisissons la convention D_λ > 0, avec ce flux vers le bas orienté selon -e_z (voir figure 9) Donner l'équation pour D_λ, en s'inspirant de…

Nous considérons le rayonnement infrarouge et nous supposons pour simplifier que τ_λ est indépendant de λ (la dépendance en longueur d'onde sera discutée en partie 5.4). Nous notons alors τ_λ = τ…

Nous considérons que l'atmosphère est à l'équilibre radiatif local, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'échauffement ni de refroidissement des tranches d'air liés à l'inhomogénéité du rayonnement…

Nous appelons U_Lt = U_L(τ = 0) la valeur de U_L en haut de l'atmosphère. Quelle est la valeur de D_L(τ = 0) ? On pourra utiliser la figure 8.

Montrer l'égalité suivante, toujours dans l'hypothèse de l'équilibre radiatif local : (d²(U_L + D_L))/dτ² = 0. En déduire une expression de D_L, U_L et B en fonction de τ et U_Lt.

Nous prenons comme forme pour τ : τ(z) = τ₀ exp (-z/Hₐ), avec Hₐ = 2 km, τ₀ = 5. Il s'agit de paramètres effectifs, une «moyenne» sur les spectres et les espèces chimiques. Justifier qualitativement…

Montrer que la température T est reliée à z selon l'expression : σ T⁴ = U_Lt/2(1 + τ₀ exp (-z/Hₐ)).

Calculer numériquement la température à la surface (remarque : il est normal de trouver une température de surface différente de T₀ = 288 K dans cette question). Calculer numériquement le gradient…

On définit la température d'émission Tₑ par σ Tₑ⁴ = U_Lt. Calculer Tₑ en fonction de la température en haut de l'atmosphère, Tₜ, puis calculer numériquement Tₑ avec deux chiffres significatifs…

Quel est d'après vous l'ordre de grandeur de la baisse typique de la température pendant une nuit claire ? En comparant cette valeur à la température T₀, déduire un temps de relaxation typique lié…

Justifier que nous prenons comme gradient thermique le gradient correspondant à la convection (humide) plutôt que le profil radiatif.

Montrer que l'équation (23) est cohérente avec la valeur de B/U_L en z = 0 et en z = Hₜ.

Calculer en fonction de z et de Hₜ l'expression suivante : (dln U_L)/dτ.

En déduire une expression de : (dln U_L)/dz.

D'autre part, exprimer U_L(Hₜ) en fonction notamment de Tₜ.

En déduire la valeur numérique de la hauteur de la tropopause Hₜ dans ce modèle. Indications : 16 × 6,5 = 104 et (2ln (2))² = 1,9. La valeur trouvée est-elle en accord avec les observations dans…

Les modèles numériques montrent que les émissions de vapeur d'eau d'origine humaine (irrigation, combustion, tours de refroidissement des centrales thermiques, ...) n'affectent pas le climat, au…

À partir notamment de la figure 11, déterminer (approximativement) les valeurs de τ_λ sur toute la hauteur de l'atmosphère, pour λ₁ = 15 (soit environ 650 cm⁻¹) et pour λ₂ = 11 (soit environ 900…

Estimer l'altitude où est émise le rayonnement pour ces deux longueurs d'onde, à partir notamment de la figure 10. Faire le lien avec la question précédente.

Nous introduisons la coordonnée u_v (pour l'eau) définie par : u_v = ∫₀z ρ_v(z') dz', où ρ_v est la masse volumique de vapeur d'eau. Nous notons uₜ la valeur en haut de l'atmosphère. Comme à la…

Nous introduisons l'émissivité globale isotherme ε(u, T) par : ε(u, T) = ∫_λ*⁺∞ B_λ(T)[1 - T_λ(u)] dλ/(σ T⁴). Exprimer U_L et D_L en fonction de ε(u, T). Les expressions obtenues ne devront pas…

S. Manabe et R. Wetherald [4] trouvent une augmentation de la température de surface de 1,33 K pour une doublement de la concentration en CO₂ en considérant que la concentration massique en vapeur…

On représente sur la figure 3 la circulation de Hadley, qui est le principal courant méridional de l'atmosphère au voisinage de l'équateur. Pourquoi la température de surface est-elle supérieure au…

Montrer, moyennant une approximation raisonnable, que u est maximale pour une valeur entière de x. En déduire, dans cette approximation, une expression du produit λₘₐₓ T de la longueur d'onde λₘₐₓ…

Comment sont associées les résistances thermiques correspondant aux transferts conducto-convectifs et radiatifs ? Justifier. Donner l'expression de la résistance thermique R_th,2 équivalente à cette…

En supposant qu'on peut considérer seulement l'émission thermique des étoiles, donner un ordre de grandeur de la puissance totale émise sous forme de rayonnement électromagnétique par la Galaxie.

Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x+dx ; en déduire la relation liant l'intensité I(x+dx) de…

Montrer qu'il est possible d'écrire I(x) sous la forme suivante : I(x) = I(0) exp [-dₒ(x)] où dₒ(x) est un facteur, appelé « densité optique », que l'on exprimera en fonction des quantités…

Proposer une estimation du temps minimal envisageable pour qu'une sonde atteigne une distance de 500 unités astronomiques du Soleil, compte tenu des contraintes thermiques et dans les conditions des…

L'expression de l'écart-type Δ n trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de Nₘ modes de fréquences…

Montrer l'égalité approchée suivante, en supposant Hₐ ≪ Hₜ : ln ((U_L(Hₜ))/(U_L(0))) ≈ -(τ₀ Hₐ)/(2 Hₜ).

En utilisant une condition d'équilibre thermique à la surface, montrer l'égalité suivante : ln ((U_L(Hₜ))/(U_L(0))) ≈ ln (2) - (4Γ Hₜ)/Tₜ, où Γ est le gradient thermique, supposé constant (Γ = 6,5…

Déduire des questions précédentes : Hₜ = 1/16Γ(C Tₜ + √(C² Tₜ² + 32Γ τ₀ Hₐ Tₜ)), avec C = 2ln (2) = 1,39.

Justifier qualitativement que Hₜ augmente si la concentration en CO₂ augmente. Tracer les profils verticaux de température pour la concentration de CO₂ initiale et une concentration plus élevée. On…

Nous étudions qualitativement l'effet d'un doublement de la concentration en CO₂ dans l'atmosphère, c'est-à-dire le passage de 300 ppm à 600 ppm. Nous considérons dans cette question que la…

En utilisant notamment le résultat de la question Q37, et en multipliant par exp (τ), montrer que : D_λ = ∫₀τ B_λ(τ') d/(dτ') T_λ(τ - τ') dτ', où pour simplifier nous notons τ la variable notée τ_λ…

La dimension d'espace (selon z) est discrétisée en 18 niveaux notés par un exposant n (n [1, 18]). Le temps discrétisé est noté par un indice i. La condition initiale est une température constante…

À l'aide des deux schémas de la figure 12, déterminer quelques points du spectre de la lumière reçue par la Lune en N permettant de représenter la courbe correspondante sur la feuille réponse…