Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2024 (page 2/3 : Partie II)

On étudie le système isolé \{\text{neutron} + \text{noyau}\} dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. Lors de la collision, les forces extérieures sont négligées devant les forces d'interaction mutuelle (approximation d'un choc instantané), de sorte que la quantité de mouvement totale du système est conservée :

Soit un axe (Ox) orienté suivant la direction et le sens de la vitesse incidente du neutron, de vecteur unitaire \vec{u}_x :

• Avant la collision :

  \begin{aligned} \vec{v}_n &= v\,\vec{u}_x \quad (v > 0) \\ \vec{v}_{\text{noyau}} &= \vec{0} \end{aligned}

  La quantité de mouvement initiale s'écrit :

  \vec{P}_{\text{initial}} = m v\,\vec{u}_x

• Après la collision :

  \begin{aligned} \vec{v}'_n &= -v'\,\vec{u}_x \quad (v' > 0 \text{ car le neutron repart en sens inverse}) \\ \vec{v}_R &= v_R\,\vec{u}_x \quad (v_R > 0) \end{aligned}

  La quantité de mouvement finale s'écrit :

  \vec{P}_{\text{final}} = -m v'\,\vec{u}_x + A m v_R\,\vec{u}_x

Par projection sur l'axe (Ox), la conservation de la quantité de mouvement donne :

soit, en simplifiant par la masse m du neutron :

Le choc étant élastique, l'énergie cinétique totale du système isolé \{\text{neutron} + \text{noyau}\} est conservée au cours de la collision :

En simplifiant par \frac{1}{2}m, on obtient :

D'après la question Q9, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

En injectant cette expression dans la conservation de l'énergie cinétique :

En reconnaissant une identité remarquable et sachant que v + v' > 0 :

On en déduit l'expression du rapport des vitesses :

D'après la question Q10, le rapport des vitesses du neutron s'écrit :

Limite A \to \infty :

Un noyau infiniment lourd (Am \gg m) est équivalent à un obstacle fixe. Lors d'un choc élastique frontal contre une paroi indéformable au repos, le neutron rebondit en inversant simplement sa vitesse sans perdre d'énergie cinétique, la vitesse de recul du noyau tendant vers zéro (v_R = \frac{2v}{A+1} \to 0).

Limite A \to 1 :

Lorsque la masse du noyau est égale à celle du neutron (collision frontale élastique entre deux particules identiques, comme un neutron incident sur un proton), le neutron incident cède l'intégralité de sa quantité de mouvement et de son énergie cinétique à la particule cible (v_R = v). Le neutron s'immobilise complètement, réalisant un « carreau ».

Ces deux limites sont donc parfaitement conformes aux lois de la mécanique des chocs élastiques :

1. Choix du dideutérium (A=2) :

• D'après le résultat de la question Q10, le rapport des vitesses après collision frontale est :

  \frac{v'}{v} = \frac{A-1}{A+1}

  Pour que le transfert d'énergie soit le plus efficace possible, il faut que A soit le plus proche possible de 1. Pour A=2, on a v'/v = 1/3, ce qui correspond à une perte de près de 89\,\% de l'énergie cinétique du neutron dès le premier choc frontal.

• Le noyau le plus léger existant est le proton (A=1, hydrogène ordinaire), qui permettrait théoriquement une perte d'énergie encore plus rapide (v'=0). Cependant, l'hydrogène ordinaire présente une section efficace de capture neutronique non négligeable (\mathrm{n} + {}^1\mathrm{H} \to {}^2\mathrm{H} + \gamma), ce qui entraînerait une perte importante du flux de neutrons. Le deutérium (A=2) présente une section efficace de capture radiative extrêmement faible : il ralentit très efficacement les neutrons sans les absorber.

2. Choix de la phase liquide :

• La densité volumique atomique n du dideutérium liquide est de l'ordre de 10^3 fois supérieure à celle du gaz dans les conditions usuelles.
• Le libre parcours moyen d'un neutron entre deux collisions, donné par \ell = \frac{1}{n\sigma} (où \sigma est la section efficace de diffusion élastique), est donc considérablement plus faible en phase liquide qu'en phase gazeuse. Cela permet d'obtenir le nombre requis de collisions dans un volume compact.

D'après la question Q10, le rapport de la vitesse après collision sur la vitesse avant collision pour un choc frontal avec un noyau de nombre de masse A s'écrit :

Pour le deutérium (A = 2), chaque collision frontale réduit la vitesse d'un facteur :

En supposant que le neutron subit N collisions frontales successives, sa vitesse après N chocs vaut :

On cherche le nombre minimal N de collisions nécessaires pour que la vitesse passe de v_0 = 10^7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à une valeur v_N \le v_f = 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Calculons les puissances successives de 3 :

Après 8 collisions, la vitesse est encore de l'ordre de 10^7 / 6\,561 \approx 1\,524\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} > 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Il faut donc 9 collisions pour passer sous le seuil fixé :

Les trois modes de transfert thermique sont :

• La conduction thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de celle-ci, régi par la loi de Fourier ;
• La convection : transfert d'énergie thermique couplé à un déplacement macroscopique de matière au sein d'un fluide, modélisé localement par la loi de refroidissement de Newton ;
• Le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques émises par tout corps porté à une température T, sans support matériel nécessaire.

D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique totale rayonnée par un corps est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température absolue :

Tandis que les transferts par conduction et par convection dépendent linéairement d'une différence de température \Delta T (au premier ordre), le flux radiatif net s'effondre très rapidement à très basse température (le dideutérium est maintenu à T \sim 20\text{ K}, où (20/300)^4 \approx 2\cdot 10^{-5}).

L'évacuation de la chaleur doit alors reposer exclusivement sur la conduction ou la convection forcée (circulation d'hélium ou de deutérium fluide cryogénique).

Le passage à l'état solide (T < 18\text{ K}) présente des avantages et des inconvénients notables pour la modération des neutrons :

Avantages :

• Diminution de l'agitation thermique : à température plus basse (T < 18\text{ K}), l'énergie thermique moyenne des noyaux k_B T est encore plus faible. Le phénomène de réchauffement des neutrons lents par collision avec les noyaux en mouvement (« up-scattering ») est fortement réduit, ce qui permet d'obtenir des neutrons à des vitesses encore plus faibles.
• Augmentation de la densité : la densité volumique du solide est supérieure à celle du liquide, ce qui réduit le libre parcours moyen des neutrons et rend le modérateur plus compact et efficace.

Inconvénients :

• Évacuation thermique dégradée : dans un solide, la convection et la circulation de fluide sont impossibles ; le transfert thermique repose uniquement sur la conduction. La conductivité thermique du dideutérium solide étant médiocre, le dépôt d'énergie par le flux intense de neutrons et de rayonnements gamma du réacteur crée d'importants gradients thermiques (points chauds) et risque de faire fondre ou sublimer localement le solide.
• Endommagement sous irradiation : le réseau cristallin accumule des défauts et des espèces radicalaires créées par radiolyse. Leur recombinaison peut libérer brutalement de l'énergie (effet Wigner), posant des problèmes majeurs de sûreté. De plus, un solide ne peut pas être renouvelé ou filtré en continu par pompage, contrairement à un liquide.

Les quatre parois du tube de section carrée sont délimitées par y \in [0, a] et z \in [0, a], l'axe x étant l'axe longitudinal du tube.

• Pour avancer vers la sortie du tube (située à x > 0), la composante longitudinale de la vitesse doit être strictement positive :

  v_x > 0
• Les parois latérales sont orthogonales à l'axe y (en y = 0 et y = a). Lors d'un choc sur l'une de ces parois, la vitesse normale est |v_y|. D'après l'énoncé, la réflexion est totale si et seulement si cette composante est inférieure à la vitesse critique v_c. Lors d'une réflexion spéculaire élastique, les composantes tangentielles v_x et v_z sont conservées, tandis que la vitesse normale est inversée : v_y \leftarrow -v_y. La norme |v_y| est donc invariante au cours des réflexions. Ainsi, si |v_y| < v_c, toutes les réflexions ultérieures sur ces parois restent totales ; si |v_y| \ge v_c, le neutron traverse la paroi dès le premier impact et s'échappe du tube.
• De même, les parois supérieure et inférieure sont orthogonales à l'axe z (en z = 0 et z = a). La composante normale de la vitesse est |v_z|, et la condition de réflexion totale s'écrit de manière identique : |v_z| < v_c.

Dans la limite d'un tube infiniment long, pour que le neutron ne soit jamais perdu par transmission à travers les parois et atteigne la sortie, il faut et il suffit que :

Entre deux collisions, le mouvement est rectiligne uniforme. Lors d'un choc sur une paroi y = \text{cste}, v_x reste constant et v_y change de signe : dans le plan (x,y), la trajectoire est une ligne brisée en zigzag de pente alternée \pm v_y / v_x. Le comportement est parfaitement analogue dans le plan (x,z), avec une pente \pm v_z / v_x. Les mouvements selon y et selon z étant indépendants, les périodes spatiales des rebonds dans ces deux plans sont en général différentes.

Dans un tube rectiligne, des neutrons très rapides se propageant parallèlement ou quasi-parallèlement à l'axe du tube le traversent sans jamais subir de réflexion, ou avec une composante de vitesse transverse inférieure à v_c : ils ne sont donc pas éliminés.

La courbure du guide supprime toute ligne de visée directe entre l'entrée et la sortie :

• Tout neutron est contraint d'effectuer au moins une collision avec la paroi concave (extérieure) pour être guidé et dévié le long de l'arc de cercle.
• Au point d'impact, la trajectoire rectiligne incidente forme un angle non nul avec la paroi tangente. La composante de la vitesse normale à la paroi est donc proportionnelle à la vitesse totale du neutron.
• Si le neutron est trop rapide, cette vitesse normale dépasse la vitesse critique v_c : la réflexion totale n'a plus lieu, le neutron traverse la paroi de nickel et s'échappe du tube.

Seuls les neutrons suffisamment lents subissent une réflexion totale et peuvent ainsi être guidés jusqu'à la sortie.

Le neutron se propage en ligne droite à vitesse constante dans la direction de l'axe horizontal x, tangent à la courbure du tube à l'entrée.

Notons C le centre de courbure de la paroi extérieure du guide, de rayon R. À l'entrée du tube (x = 0), le neutron se trouve à une distance z de la paroi extérieure, donc à la distance R - z du centre de courbure C.

Sa vitesse étant perpendiculaire au rayon vecteur initial reliant C au point d'entrée, la distance du neutron au centre C, après avoir parcouru l'abscisse x, s'écrit d'après le théorème de Pythagore :

Le neutron heurte la paroi extérieure lorsque cette distance atteint le rayon R :

Comme z \ll R, on néglige le terme d'ordre supérieur z^2, ce qui donne au premier ordre :

Le neutron entre dans le tube avec une vitesse horizontale \vec{v} = v\,\vec{u}_x.

La paroi extérieure est un arc de cercle de rayon R. Notons \theta l'angle au centre interceptant l'arc entre l'entrée (x = 0) et le point d'impact d'abscisse x. Par orthogonalité, la tangente à la paroi au point d'impact est inclinée de l'angle \theta par rapport à l'horizontale. L'angle entre la direction de la vitesse et la paroi est donc exactement cet angle \theta.

D'après la géométrie du cercle :

Comme z \ll R, l'angle \theta est très petit (\theta \ll 1). En effectuant un développement limité à l'ordre 2 de \cos\theta :

On en déduit immédiatement :

ce qui donne pour l'angle d'incidence rasant :

Remarque : On retrouve le même résultat en utilisant le résultat de la question précédente x = \sqrt{2Rz} et l'approximation \theta \approx \sin\theta = \frac{x}{R} = \frac{\sqrt{2Rz}}{R} = \sqrt{\frac{2z}{R}}.

Au point d'impact sur la paroi externe, l'angle entre le vecteur vitesse du neutron et le plan tangent à la paroi est noté \theta. La composante de la vitesse perpendiculaire à la paroi s'écrit donc :

Comme z \ll R, l'angle \theta déterminé à la question 19 est très petit (\theta \ll 1), ce qui permet d'effectuer l'approximation au premier ordre :

La vitesse normale au moment du choc vaut ainsi :

D'après l'énoncé, le neutron est réfléchi si sa composante de vitesse normale est strictement inférieure à la vitesse critique v_c, soit :

Le neutron est donc réfléchi si et seulement si sa vitesse v est inférieure à une vitesse limite notée v_{\mathrm{lim}}(z) :

Le mouvement entre deux rebonds s'effectue en ligne droite dans le plan horizontal du tube.

• La paroi extérieure étant un cylindre d'axe vertical et de section circulaire de rayon R, toute trajectoire rectiligne reliant deux points d'impact constitue une corde de ce cercle.
• Par symétrie géométrique d'un cercle, l'angle formé par une corde avec la tangente au cercle est identique à ses deux extrémités.
• La réflexion étant élastique et spéculaire (conservation de la norme de la vitesse et égalité des angles d'incidence et de réflexion), le neutron repart après chaque choc sous le même angle \theta par rapport à la paroi extérieure.

L'angle d'impact et la composante normale de la vitesse restent donc strictement identiques à chaque rebond successif.

De plus, l'éloignement maximal du neutron par rapport à la paroi extérieure au cours de chaque trajet rectiligne vaut z \le a : le neutron ne heurte donc jamais la paroi interne et reste guidé le long de la paroi externe par des rebonds successifs (effet de « galerie des murmures »).

La condition de réflexion totale étant vérifiée au premier impact (v_\perp < v_c), elle le demeure à chacun des impacts suivants : le neutron est guidé sans perte jusqu'à l'extrémité du tube.

D'après la question Q20 et la question Q21, un neutron injecté à une distance z de la paroi extérieure du tube est réfléchi (et parvient jusqu'à la sortie du guide) si sa vitesse vérifie :

Les neutrons entrent dans le guide sur toute la section de côté a, c'est-à-dire pour z \in [0, a].

La fonction z \mapsto v_{\mathrm{lim}}(z) est strictement décroissante avec z : plus un neutron pénètre loin du bord extérieur, plus l'angle d'impact \theta = \sqrt{2z/R} est grand, et plus la composante normale de sa vitesse v_\perp \approx v\theta est importante.

Le cas le plus défavorable correspond donc à la distance maximale à la paroi extérieure, soit z = a. Pour que tous les neutrons soient transmis, quelle que soit leur position d'entrée z \in [0, a], il faut et il suffit que la condition de réflexion soit vérifiée pour z = a :

La vitesse limite recherchée est ainsi :

D'après la question 22, la vitesse maximale en deçà de laquelle tous les neutrons incidents sont transmis par le guide courbé s'écrit :

Les données numériques sont :

• v_c = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (déterminée à la question 6) ;
• R = 14\text{ m} ;
• a = 0{,}07\text{ m}.

On calcule le rapport sans dimension :

Il vient ainsi directement :

D'après les questions Q20 et Q21, un neutron injecté à une distance z de la paroi extérieure avec une vitesse v suivant x est réfléchi (et parvient jusqu'à l'extrémité du tube) si et seulement si :

D'après la question Q22, la vitesse caractéristique v^* est définie par v^* = v_c \sqrt{\dfrac{R}{2a}}, ce qui permet de réécrire cette condition sous la forme :

Les neutrons étant uniformément répartis sur la section carrée du tube et la condition de transmission étant indépendante de la coordonnée selon l'axe transverse y, la variable spatiale z est distribuée uniformément sur l'intervalle [0, a].

• Si v \le v^* : on a a\left(\dfrac{v^*}{v}\right)^2 \ge a. Tous les neutrons entrants satisfont la condition de réflexion quel que soit z \in [0, a], d'où :

  P(v) = 1

• Si v > v^* : seuls les neutrons entrant avec z \in \left[0, a\left(\dfrac{v^*}{v}\right)^2\right] sont transmis. La probabilité vaut alors :

  P(v) = \frac{a \left(\frac{v^*}{v}\right)^2}{a} = \left(\frac{v^*}{v}\right)^2

On obtient donc la probabilité de transmission :

Élimination des neutrons rapides :
Non, le guide courbé ne permet pas d'éliminer complètement les neutrons rapides. Pour toute vitesse v > v^*, la probabilité de transmission reste strictement positive (P(v) > 0). Les neutrons injectés extrêmement près de la paroi externe (z \to 0) l'abordent sous un angle rasant \theta \approx \sqrt{2z/R} si faible que la composante normale de leur vitesse vérifie v_\perp = v\theta < v_c : ils subissent une réflexion totale et cheminent le long de la paroi externe jusqu'à la sortie (mode dit de « galerie acoustique » ou whispering gallery).

Les grandeurs physiques intervenant dans le mouvement du neutron sont la vitesse v^*, la dimension spatiale caractéristique de courbure R, et l'accélération de la pesanteur g, de dimensions respectives :

La seule combinaison adimensionnelle indépendante (à une puissance près) que l'on peut former à partir de v^*, R et g est :

Physiquement, ce rapport compare l'accélération centripète caractéristique liée à la trajectoire courbée a_c \sim \frac{{v^*}^2}{R} à l'accélération de la pesanteur g (ou, de façon équivalente, la déflexion verticale sous l'effet de la gravité \Delta z \sim g \tau^2 \sim g \frac{R^2}{{v^*}^2} à la dimension R, sur un temps de parcours typique \tau \sim \frac{R}{v^*}).

Il est donc légitime de négliger les effets de la pesanteur devant l'effet de guidage si l'accélération de pesanteur est très inférieure à l'accélération caractéristique de la courbure :

Application numérique : Avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et R = 14\text{ m} :

Comme v^* = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est significativement supérieur à \sqrt{gR} \approx 12\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (le rapport vaut environ 18 \gg 1), la condition est bien vérifiée ici.

Le référentiel \mathcal{R}_t lié à la turbine est en translation rectiligne et uniforme à la vitesse v_t \vec{u}_x par rapport au référentiel du laboratoire (supposé galiléen) : il s'agit donc d'un référentiel galiléen.

Dans ce référentiel, la vitesse initiale relative du neutron s'écrit, d'après la loi de composition des vitesses :

Comme v_n > v_t, le neutron pénètre dans la turbine avec une vitesse relative horizontale dirigée vers la droite, tangentiellement au bord inférieur de la plaque.

En l'absence de gravité et de frottements, le neutron subit le long de la surface concave une série continue de réflexions élastiques spéculaires sous incidence rasante. Sa trajectoire épouse donc la paroi et décrit un demi-cercle.

Par conservation de l'énergie cinétique dans \mathcal{R}_t, la norme de la vitesse relative reste constante au cours du guidage. Le neutron ressort ainsi au niveau du bord supérieur après avoir effectué un demi-tour (180^\circ), avec une vitesse relative horizontale dirigée vers la gauche :

D'après la loi classique de composition des vitesses, la vitesse \vec{v}_{\mathrm{lab}} du neutron à la sortie de la turbine dans le référentiel du laboratoire s'écrit en fonction de sa vitesse relative \vec{v}_{\mathrm{rel}} dans le référentiel lié à la turbine et de la vitesse d'entraînement \vec{v}_t = v_t\,\vec{u}_x :

D'après le résultat de la question précédente (Q26), le demi-tour élastique du neutron sur la paroi impose :

On en déduit l'expression de la vitesse du neutron dans le référentiel du laboratoire à la sortie :

Pour que la vitesse du neutron soit nulle (ou presque nulle en tenant compte de la dispersion en vitesse du faisceau incident), il faut donc choisir :