Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2024 (page 3/3 : Partie III)

On étudie le mouvement vertical d'un neutron de masse m dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut, l'origine z = 0 étant située sur le miroir horizontal.

Pendant son vol libre, le neutron n'est soumis qu'au poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, force conservative dont dérive l'énergie potentielle de pesanteur :

Le choc sur le miroir étant parfaitement élastique, l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{p}} est conservée au cours de tout le mouvement.

• Juste avant le contact avec le miroir (en z = 0), la vitesse verticale a pour norme v_0, d'où :

  E_{\mathrm{m}}(z = 0) = \frac{1}{2} m v_0^2.

• Au sommet de la trajectoire, à l'altitude maximale z = H, la vitesse verticale s'annule momentanément :

  E_{\mathrm{m}}(z = H) = m g H.

Par conservation de l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}}(z = 0) = E_{\mathrm{m}}(z = H), on obtient :

soit :

On étudie le neutron de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, muni d'un axe vertical (Oz) ascendant dont l'origine z = 0 est située sur le miroir.

Entre deux rebonds, le neutron est soumis uniquement à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z. La seconde loi de Newton donne :

En choisissant pour origine des dates t = 0 l'instant qui suit immédiatement un rebond, le neutron part de l'altitude z(0) = 0 avec la vitesse verticale ascendante \dot{z}(0) = v_0 = \sqrt{2gH} établie à la question Q28. Les équations horaires du mouvement s'écrivent :

Le rebond suivant se produit à l'instant non nul t = T tel que z(T) = 0, ce qui conduit à :

En substituant v_0 = \sqrt{2gH}, on obtient :

Le mouvement du neutron dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{u}_z est conservatif. En prenant comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le niveau du miroir en z = 0, l'énergie mécanique associée au degré de liberté vertical s'écrit, à l'injection :

Lors d'un éventuel contact avec le miroir en z = 0, le rebond est parfaitement élastique (sans perte d'énergie cinétique) : l'énergie mécanique E_{m,z} est donc conservée au cours de tout le mouvement vertical tant que le neutron n'est pas absorbé.

La hauteur maximale H que le neutron peut atteindre verticalement correspond au point d'annulation de sa vitesse verticale (E_{m,z} = mgH) :

Deux situations se présentent selon le signe de la vitesse verticale initiale :

• si v_z > 0, le neutron monte immédiatement et atteindrait l'altitude H s'il n'y avait pas d'obstacle ;
• si v_z < 0, le neutron descend d'abord vers le miroir, y rebondit élastiquement à l'altitude z = 0 avec une vitesse verticale ascendante v_0 = \sqrt{v_z^2 + 2gz}, puis remonte jusqu'à l'altitude maximale H = \frac{v_0^2}{2g} = z + \frac{v_z^2}{2g}.

Dans les deux cas, le neutron atteint l'altitude H. Si les plaques sont suffisamment longues dans la direction horizontale, le neutron dispose du temps nécessaire pour atteindre son altitude maximale avant de sortir du dispositif.

Il heurtera donc la plaque absorbante située en z = \delta dès lors que :

ce qui équivaut à :

La valeur limite cherchée est donc :

D'après la question Q30, un neutron injecté à l'altitude z \in [0, \delta] n'est pas absorbé par la plaque supérieure et parvient au détecteur si et seulement si sa vitesse verticale initiale vérifie :

Le flux incident de neutrons est uniformément distribué en altitude z et en vitesse verticale v_z. Le nombre différentiel de neutrons incidents par unité de temps dans l'élément \mathrm{d}z\,\mathrm{d}v_z s'écrit donc :

où C est une constante caractérisant l'intensité du faisceau incident.

Pour une hauteur d'injection z fixée, l'intervalle de vitesses permettant au neutron d'atteindre le détecteur est [-v_{z,\mathrm{lim}}(z), +v_{z,\mathrm{lim}}(z)], de largeur :

Le nombre de neutrons détectés par unité de temps, noté \dot{N}, s'obtient en intégrant sur toute la hauteur de la fente d'entrée z \in [0, \delta] :

En calculant l'intégrale :

On en déduit l'expression du débit de neutrons détectés :

Le nombre de neutrons vus par le détecteur par unité de temps est donc proportionnel à \delta^\alpha avec :

Les dimensions physiques des trois grandeurs de base sont :

• pour la constante de Planck réduite : [\hbar] = \mathrm{M \cdot L^2 \cdot T^{-1}} ;
• pour la masse du neutron : [m] = \mathrm{M} ;
• pour l'accélération de la pesanteur : [g] = \mathrm{L \cdot T^{-2}}.

Cherchons une grandeur X de la forme X = \hbar^\alpha m^\beta g^\gamma. Sa dimension s'écrit :

1. Construction d'une longueur caractéristique l_0 ([l_0] = \mathrm{L}) :

On obtient ainsi la longueur caractéristique :

2. Construction d'un temps caractéristique t_0 ([t_0] = \mathrm{T}) :

On obtient ainsi le temps caractéristique :

3. Construction d'une vitesse caractéristique v_0 ([v_0] = \mathrm{L \cdot T^{-1}}) :
On peut directement former le rapport l_0 / t_0 :

1. Longueur caractéristique l_0 :

   \begin{aligned} l_0 &= \left(\frac{\hbar^2}{m^2 g}\right)^{1/3} = \left(\frac{(10^{-34})^2}{(10^{-27})^2 \times 10}\right)^{1/3} = \left(\frac{10^{-68}}{10^{-53}}\right)^{1/3} = \left(10^{-15}\right)^{1/3}\text{ m} \end{aligned}
   \boxed{l_0 \sim 10^{-5}\text{ m} = 10\text{ }\mu\text{m}}

2. Temps caractéristique t_0 :

   \begin{aligned} t_0 &= \left(\frac{\hbar}{m g^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{10^{-34}}{10^{-27} \times 10^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{10^{-34}}{10^{-25}}\right)^{1/3} = \left(10^{-9}\right)^{1/3}\text{ s} \end{aligned}
   \boxed{t_0 \sim 10^{-3}\text{ s} = 1\text{ ms}}

3. Vitesse caractéristique v_0 :

   \begin{aligned} v_0 &= \left(\frac{\hbar g}{m}\right)^{1/3} = \frac{l_0}{t_0} = \frac{10^{-5}\text{ m}}{10^{-3}\text{ s}} \end{aligned}
   \boxed{v_0 \sim 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1}}

L'axe vertical Oz étant orienté vers le haut avec l'origine z = 0 prise à la surface du miroir, l'énergie potentielle de pesanteur du neutron de masse m dans le champ de pesanteur uniforme s'écrit, à une constante additive près (choisie nulle en z = 0) :

L'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un état stationnaire d'énergie E, associée à l'hamiltonien \hat{H} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2} + V(z), s'écrit :

soit sous forme canonique :

La paroi de nickel réelle constitue une marche de potentiel finie de hauteur V_0 = \frac{1}{2} m v_c^2, où la vitesse critique pour le nickel a été déterminée à la question Q6 :

Pour un neutron dont la vitesse verticale est de l'ordre de la vitesse caractéristique quantique v_0 \sim 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (établie à la question Q33), l'énergie associée est de l'ordre de E \sim \frac{1}{2} m v_0^2. Comparons cette énergie à la hauteur de la marche de potentiel :

L'énergie E du neutron est donc totalement négligeable devant V_0.

De manière équivalente, la longueur de pénétration de l'onde évanescente dans le miroir vaut :

ce qui est tout à fait négligeable devant l'extension caractéristique spatiale des états gravitationnels l_0 \sim 10\text{ }\mu\text{m} (\delta_{\mathrm{p\acute{e}n}} / l_0 \sim 2 \cdot 10^{-3}).

L'approximation d'une barrière de potentiel infinie (V(z) \to +\infty pour z < 0) est donc parfaitement justifiée.

Le potentiel étant infini pour z < 0, la probabilité de présence du neutron y est rigoureusement nulle, d'où \psi(z) = 0 pour z < 0. Par continuité de la fonction d'onde en z = 0, on obtient la condition aux limites :

D'après la figure fournie :

• pour l'état fondamental (n=1), la densité de probabilité |\psi_1(z)|^2 est confinée entre z = 0 et z \approx 15\text{ }\mu\text{m} ;
• pour les trois premiers états excités (n=2, 3, 4), l'extension spatiale maximale (au-delà de laquelle la fonction d'onde s'annule) atteint respectivement environ 25\text{ }\mu\text{m}, 35\text{ }\mu\text{m} et 45\text{ }\mu\text{m}.

À la question Q33, l'analyse dimensionnelle a fourni la longueur caractéristique du problème :

L'extension des fonctions d'onde est de l'ordre de l_0 pour le niveau fondamental et de quelques fois l_0 pour les premiers niveaux excités.

Pour une particule confinée dans un puits infini de largeur L situé entre z = 0 et z = L, le potentiel est nul pour 0 < z < L et infini ailleurs. Les fonctions d'onde spatiales normalisées des états stationnaires sont :

avec \psi_n(z) = 0 en dehors de cet intervalle. Les énergies associées varient en E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \propto n^2.

La comparaison avec le puits gravitationnel met en évidence plusieurs différences fondamentales :

• Forme du potentiel et asymétrie : Le puits infini est symétrique et rigide, délimité par deux parois verticales infinies en z=0 et z=L. Le puits gravitationnel est asymétrique : il comporte une paroi infinie en z=0, mais une rampe d'énergie potentielle linéaire V(z) = mgz pour z > 0.
• Extension spatiale : Alors que la taille du puits infini est fixée à L pour tous les états, l'extension spatiale d'un état gravitationnel croît avec l'énergie E_n via la position du point tournant classique z_{c,n} = E_n / (mg).

• Longueur d'onde locale et amplitude des oscillations :

  • Dans le puits infini, l'énergie cinétique est constante, ce qui impose une longueur d'onde spatiale uniforme \lambda_n = 2L/n et une amplitude d'oscillation strictement constante sur tout l'intervalle.
  • Dans le cas gravitationnel, l'énergie cinétique E_c(z) = E - mgz diminue avec l'altitude z. Par conséquent, la longueur d'onde locale de de Broglie \lambda_{\mathrm{dB}}(z) = \dfrac{h}{\sqrt{2m(E - mgz)}} augmente avec z (les nœuds s'écartent). De plus, l'amplitude de \psi(z) croît avec z, car classiquement la vitesse de la particule diminue au voisinage du sommet de sa trajectoire, ce qui augmente la densité de probabilité de présence |\psi(z)|^2 près du point tournant.
• Comportement en limite de puits (queue évanescente) : Dans le puits infini, \psi_n s'annule abruptement en z=L sans pénétration. Pour le neutron dans la gravité, la fonction d'onde pénètre dans la zone classiquement interdite (z > z_c) sous forme d'une queue exponentiellement décroissante (solution de type fonction d'Airy \mathrm{Ai}).

L'écart manifeste entre les prédictions classiques et les mesures s'interprète par la quantification du mouvement vertical du neutron dans le puits gravitationnel :

• Seuil d'extinction pour \delta \lesssim 15\text{ }\mu\text{m} : D'après la figure de la question Q36, l'état fondamental (n=1, E_1 = 1{,}4\text{ peV}) possède une densité de probabilité non négligeable jusqu'à une altitude z \approx 15\text{ }\mu\text{m}. Pour \delta < 15\text{ }\mu\text{m}, l'absorbeur supérieur vient recouvrir la région où s'étend la fonction d'onde du fondamental : tout neutron injecté interagit nécessairement avec l'absorbeur et est éliminé. Comme aucun état quantique d'énergie inférieure n'existe, le puits ne peut supporter aucun mode de propagation, d'où un débit rigoureusement nul sous ce seuil (contrairement à la prédiction classique continue en \delta^{3/2}).

• Apparition de sauts et structure par paliers : Chaque état propre quantique n possède une hauteur d'extension verticale z_n \approx E_n / (mg) augmentée de la zone de décroissance exponentielle :

  \begin{aligned} z_1 &\approx 15\text{ }\mu\text{m}, & z_2 &\approx 25\text{ }\mu\text{m}, & z_3 &\approx 33\text{ }\mu\text{m}, & z_4 &\approx 41\text{ }\mu\text{m}. \end{aligned}

  Dès que l'écartement \delta dépasse l'altitude maximale du mode n, ce dernier cesse de subir l'absorption : un nouveau « canal » de transmission s'ouvre, ce qui engendre une brutale augmentation du débit mesuré. Les sauts observés expérimentalement à ces valeurs spécifiques de \delta correspondent précisément à l'admission successive des niveaux discrets n = 1, 2, 3\dots

• Déficit global par rapport au modèle classique : En physique classique, le spectre d'énergie accessible est continu, permettant la transmission de toutes les particules d'énergie cinétique verticale compatible avec \delta. En mécanique quantique, le spectre est discret et la queue évanescente de la fonction d'onde entraîne des pertes par absorption même pour des énergies légèrement inférieures à mg\delta. Le nombre d'états transmis est donc restreint, ce qui explique que les points de mesure se situent systématiquement au-dessous de la courbe classique continue.
• Limite des grands \delta : Pour \delta \gg l_0 (\delta \gtrsim 50\text{ }\mu\text{m}), le nombre d'états quantiques autorisés devient élevé (n \gg 1) et l'espacement relatif entre niveaux consécutifs diminue. On retrouve alors asymptotiquement le comportement classique moyen \dot{N} \propto \delta^{3/2}, conformément au principe de correspondance de Bohr.

Le mouvement horizontal étant uniforme à la vitesse v_x \approx v_c, la durée de transit du neutron au-dessus du miroir de longueur L s'écrit :

Avec L = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} et v_c = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (obtenu à la question Q6) :

D'après la question Q29, la durée classique entre deux rebonds successifs pour une hauteur maximale H est :

D'après la question Q36, les premiers états gravitationnels ont une extension spatiale typique comprise entre H_1 \approx 15\text{ }\mu\text{m} (état fondamental) et H_4 \approx 40\text{ à }50\text{ }\mu\text{m} :

• Pour H \approx 15\text{ }\mu\text{m} :

  T \approx 2\sqrt{\frac{2 \times 15 \cdot 10^{-6}}{10}} = 2\sqrt{3 \cdot 10^{-6}} \approx 3{,}5\text{ ms}

• Pour H \approx 50\text{ }\mu\text{m} :

  T \approx 2\sqrt{\frac{2 \times 50 \cdot 10^{-6}}{10}} = 2\sqrt{10^{-5}} \approx 6{,}3\text{ ms}

Ces durées sont bien du même ordre de grandeur que l'échelle de temps caractéristique quantique t_0 \sim 1\text{ ms} déterminée à la question Q33.

Le nombre de rebonds N effectués lors de la traversée est donc :

Puisque le neutron effectue plusieurs rebonds complets au cours de son passage dans le dispositif (N > 1), l'interaction répétée avec le miroir et l'absorbeur permet la sélection des états propres et l'établissement du régime stationnaire.