Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2024

La longueur d'onde de de Broglie associée au neutron de quantité de mouvement p = mv s'écrit :

Avec les données numériques fournies par l'énoncé (\hbar = 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}, m = 10^{-27}\text{ kg} et v = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), on obtient :

La taille d'un atome et la distance interatomique typique au sein d'un réseau cristallin sont de l'ordre de a \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm} (1 Å). On constate que :

Pour une particule non relativiste de masse m, se déplaçant à une dimension suivant l'axe x et soumise au potentiel indépendant du temps V(x), l'équation de Schrödinger dépendante du temps régissant la fonction d'onde \psi(x,t) s'écrit :

Pour un état stationnaire d'énergie E, la fonction d'onde se factorise sous la forme :

En injectant cette forme dans l'équation de Schrödinger dépendante du temps établie à la question Q2, on obtient l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour la partie spatiale \psi(x) :

Pour x < 0 : le potentiel est nul (V(x) = 0), l'équation différentielle s'écrit :

Pour x > 0 : le potentiel est constant et vaut V_0 (V(x) = V_0), l'équation différentielle s'écrit :

Conditions de continuité en x = 0 :
Le potentiel V(x) présentant une discontinuité finie (discontinuité de première espèce) en x = 0, l'intégration de l'équation différentielle au voisinage immédiat de l'origine impose que :

• la fonction d'onde spatiale est continue en x = 0 :

  \boxed{\psi(0^-) = \psi(0^+)}

• la dérivée première spatiale de la fonction d'onde est continue en x = 0 :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}(0^-) = \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}(0^+)}

On pose le vecteur d'onde dans la région libre (x < 0) :

Pour un neutron incident se propageant selon les x croissants, l'onde incidente s'écrit A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_1 x} (avec A \neq 0). Dans la zone x < 0, la fonction d'onde est la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

1. Cas E > V_0 :

On introduit le vecteur d'onde pour x > 0 :

Dans le demi-espace x > 0, il n'y a pas d'onde se propageant vers la gauche (pas de source à +\infty), la solution s'écrit donc :

En appliquant les conditions de continuité en x = 0 (question Q3) :

En résolvant ce système linéaire, on obtient :

L'expression de la fonction d'onde pour E > V_0 est donc :

2. Cas E < V_0 :

On introduit la constante d'atténuation :

La forme générale de la solution pour x > 0 est \psi(x) = C\,\mathrm{e}^{-\kappa x} + D\,\mathrm{e}^{\kappa x}. La fonction d'onde devant rester bornée lorsque x \to +\infty, on a nécessairement D = 0. Il ne subsiste qu'une onde évanescente :

Les conditions de continuité en x = 0 donnent :

Ce qui conduit à :

L'expression de la fonction d'onde pour E < V_0 est ainsi :

Dans la région incidente x < 0, l'énergie potentielle est nulle (V(x) = 0). L'énergie totale E du neutron se réduit donc à son énergie cinétique :

D'après la question 4, la réflexion est totale lorsque le coefficient de réflexion en intensité vaut R = |r|^2 = 1, ce qui correspond à la condition :

Pour E > V_0, une onde transmise progressive existe pour x > 0 et la réflexion n'est que partielle (R < 1).

La vitesse critique v_c délimitant ces deux régimes correspond à l'égalité E_c = V_0, soit :

On en déduit l'expression de la vitesse limite de réflexion totale :

L'angle \theta étant défini entre la paroi et la direction du faisceau (angle rasant), la composante de la vitesse du neutron normale à la paroi s'écrit :

D'après l'énoncé et le résultat de la question 5, la réflexion sur la paroi est totale dès lors que la composante normale de la vitesse vérifie :

L'angle critique \theta_c en deçà duquel le coefficient de réflexion vaut R = 1 vérifie donc \sin\theta_c = \frac{v_c}{v_0}. Comme \theta_c \ll 1\text{ rad}, on utilise l'approximation aux petits angles \sin\theta_c \approx \theta_c, ce qui donne :

Sur la courbe représentant le coefficient de réflexion en fonction de \theta, on observe un plateau de réflexion totale (R = 1) pour \theta \in [0 \,;\, \theta_c], suivi d'une chute brutale du coefficient de réflexion. On lit précisément à la cassure :

Avec v_0 = 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient l'application numérique :

D'après l'énoncé, la composante de la vitesse parallèle à la paroi est conservée. Le mouvement selon la normale x à la paroi est donc régi par l'équation de Schrödinger unidimensionnelle établie aux questions précédentes, avec pour énergie cinétique normale :

L'angle critique \theta_c correspond au seuil de réflexion totale, pour lequel l'énergie normale incidente compense exactement la hauteur de marche V_0 = \frac{1}{2}m v_c^2, soit :

Les angles mis en jeu étant très petits (\theta \sim \theta_c \approx 10^{-2}\text{ rad} \ll 1), on utilise l'approximation des angles rasants : \sin\theta \approx \theta et \sin\theta_c \approx \theta_c = \frac{v_c}{v_0}.

La fraction de neutrons réfléchis est donnée par le coefficient de réflexion en intensité R(\theta) = |r|^2 :

• Si \theta \leqslant \theta_c : l'énergie normale est inférieure à la hauteur de marche (E_\perp \leqslant V_0). Il y a réflexion totale, d'où :

  R(\theta) = 1

• Si \theta > \theta_c : l'énergie normale dépasse la marche (E_\perp > V_0). D'après la question Q4, l'amplitude de réflexion s'écrit r = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} avec :

  k_1 = \frac{\sqrt{2m E_\perp}}{\hbar} \approx \frac{m v_0 \theta}{\hbar} \quad \text{et} \quad k_2 = \frac{\sqrt{2m(E_\perp - V_0)}}{\hbar} \approx \frac{m v_0}{\hbar}\sqrt{\theta^2 - \theta_c^2}

  Le coefficient de réflexion vaut alors :

  R(\theta) = \left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right)^2 = \left(\frac{\theta - \sqrt{\theta^2 - \theta_c^2}}{\theta + \sqrt{\theta^2 - \theta_c^2}}\right)^2

En résumé, la fraction de neutrons réfléchis s'exprime par :

Remarque : sans l'approximation des petits angles, il suffirait de remplacer \theta et \theta_c par \sin\theta et \sin\theta_c.

Soit un rayon arrivant sous un angle de rasance \theta par rapport à la surface du milieu. L'angle d'incidence classique par rapport à la normale à la surface est i = \frac{\pi}{2} - \theta.

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction au dioptre séparant le vide (ou l'air d'indice 1) et la paroi d'indice n < 1 :

où i_t est l'angle de réfraction par rapport à la normale.

La réfraction n'est possible que si \sin i_t \le 1, c'est-à-dire \cos\theta \le n. Il y a réflexion totale dès que :

L'angle critique \theta_c, en deçà duquel la réflexion est totale (\theta \le \theta_c), vérifie donc :

Or, d'après la question Q6, la réflexion totale a lieu lorsque la composante normale de la vitesse est inférieure à la vitesse critique v_c :

On en déduit :

Remarque : Comme \theta_c \ll 1 (ici \theta_c \approx 10^{-2}\text{ rad}), l'indice est très légèrement inférieur à 1 :

On étudie le système isolé \{\text{neutron} + \text{noyau}\} dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. Lors de la collision, les forces extérieures sont négligées devant les forces d'interaction mutuelle (approximation d'un choc instantané), de sorte que la quantité de mouvement totale du système est conservée :

Soit un axe (Ox) orienté suivant la direction et le sens de la vitesse incidente du neutron, de vecteur unitaire \vec{u}_x :

• Avant la collision :

  \begin{aligned} \vec{v}_n &= v\,\vec{u}_x \quad (v > 0) \\ \vec{v}_{\text{noyau}} &= \vec{0} \end{aligned}

  La quantité de mouvement initiale s'écrit :

  \vec{P}_{\text{initial}} = m v\,\vec{u}_x

• Après la collision :

  \begin{aligned} \vec{v}'_n &= -v'\,\vec{u}_x \quad (v' > 0 \text{ car le neutron repart en sens inverse}) \\ \vec{v}_R &= v_R\,\vec{u}_x \quad (v_R > 0) \end{aligned}

  La quantité de mouvement finale s'écrit :

  \vec{P}_{\text{final}} = -m v'\,\vec{u}_x + A m v_R\,\vec{u}_x

Par projection sur l'axe (Ox), la conservation de la quantité de mouvement donne :

soit, en simplifiant par la masse m du neutron :

Le choc étant élastique, l'énergie cinétique totale du système isolé \{\text{neutron} + \text{noyau}\} est conservée au cours de la collision :

En simplifiant par \frac{1}{2}m, on obtient :

D'après la question Q9, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

En injectant cette expression dans la conservation de l'énergie cinétique :

En reconnaissant une identité remarquable et sachant que v + v' > 0 :

On en déduit l'expression du rapport des vitesses :

D'après la question Q10, le rapport des vitesses du neutron s'écrit :

Limite A \to \infty :

Un noyau infiniment lourd (Am \gg m) est équivalent à un obstacle fixe. Lors d'un choc élastique frontal contre une paroi indéformable au repos, le neutron rebondit en inversant simplement sa vitesse sans perdre d'énergie cinétique, la vitesse de recul du noyau tendant vers zéro (v_R = \frac{2v}{A+1} \to 0).

Limite A \to 1 :

Lorsque la masse du noyau est égale à celle du neutron (collision frontale élastique entre deux particules identiques, comme un neutron incident sur un proton), le neutron incident cède l'intégralité de sa quantité de mouvement et de son énergie cinétique à la particule cible (v_R = v). Le neutron s'immobilise complètement, réalisant un « carreau ».

Ces deux limites sont donc parfaitement conformes aux lois de la mécanique des chocs élastiques :

1. Choix du dideutérium (A=2) :

• D'après le résultat de la question Q10, le rapport des vitesses après collision frontale est :

  \frac{v'}{v} = \frac{A-1}{A+1}

  Pour que le transfert d'énergie soit le plus efficace possible, il faut que A soit le plus proche possible de 1. Pour A=2, on a v'/v = 1/3, ce qui correspond à une perte de près de 89\,\% de l'énergie cinétique du neutron dès le premier choc frontal.

• Le noyau le plus léger existant est le proton (A=1, hydrogène ordinaire), qui permettrait théoriquement une perte d'énergie encore plus rapide (v'=0). Cependant, l'hydrogène ordinaire présente une section efficace de capture neutronique non négligeable (\mathrm{n} + {}^1\mathrm{H} \to {}^2\mathrm{H} + \gamma), ce qui entraînerait une perte importante du flux de neutrons. Le deutérium (A=2) présente une section efficace de capture radiative extrêmement faible : il ralentit très efficacement les neutrons sans les absorber.

2. Choix de la phase liquide :

• La densité volumique atomique n du dideutérium liquide est de l'ordre de 10^3 fois supérieure à celle du gaz dans les conditions usuelles.
• Le libre parcours moyen d'un neutron entre deux collisions, donné par \ell = \frac{1}{n\sigma} (où \sigma est la section efficace de diffusion élastique), est donc considérablement plus faible en phase liquide qu'en phase gazeuse. Cela permet d'obtenir le nombre requis de collisions dans un volume compact.

D'après la question Q10, le rapport de la vitesse après collision sur la vitesse avant collision pour un choc frontal avec un noyau de nombre de masse A s'écrit :

Pour le deutérium (A = 2), chaque collision frontale réduit la vitesse d'un facteur :

En supposant que le neutron subit N collisions frontales successives, sa vitesse après N chocs vaut :

On cherche le nombre minimal N de collisions nécessaires pour que la vitesse passe de v_0 = 10^7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à une valeur v_N \le v_f = 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Calculons les puissances successives de 3 :

Après 8 collisions, la vitesse est encore de l'ordre de 10^7 / 6\,561 \approx 1\,524\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} > 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Il faut donc 9 collisions pour passer sous le seuil fixé :

Les trois modes de transfert thermique sont :

• La conduction thermique : transfert d'énergie de proche en proche au sein de la matière sans déplacement macroscopique de celle-ci, régi par la loi de Fourier ;
• La convection : transfert d'énergie thermique couplé à un déplacement macroscopique de matière au sein d'un fluide, modélisé localement par la loi de refroidissement de Newton ;
• Le rayonnement thermique : transfert d'énergie sous forme d'ondes électromagnétiques émises par tout corps porté à une température T, sans support matériel nécessaire.

D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique totale rayonnée par un corps est proportionnelle à la puissance quatrième de sa température absolue :

Tandis que les transferts par conduction et par convection dépendent linéairement d'une différence de température \Delta T (au premier ordre), le flux radiatif net s'effondre très rapidement à très basse température (le dideutérium est maintenu à T \sim 20\text{ K}, où (20/300)^4 \approx 2\cdot 10^{-5}).

L'évacuation de la chaleur doit alors reposer exclusivement sur la conduction ou la convection forcée (circulation d'hélium ou de deutérium fluide cryogénique).

Le passage à l'état solide (T < 18\text{ K}) présente des avantages et des inconvénients notables pour la modération des neutrons :

Avantages :

• Diminution de l'agitation thermique : à température plus basse (T < 18\text{ K}), l'énergie thermique moyenne des noyaux k_B T est encore plus faible. Le phénomène de réchauffement des neutrons lents par collision avec les noyaux en mouvement (« up-scattering ») est fortement réduit, ce qui permet d'obtenir des neutrons à des vitesses encore plus faibles.
• Augmentation de la densité : la densité volumique du solide est supérieure à celle du liquide, ce qui réduit le libre parcours moyen des neutrons et rend le modérateur plus compact et efficace.

Inconvénients :

• Évacuation thermique dégradée : dans un solide, la convection et la circulation de fluide sont impossibles ; le transfert thermique repose uniquement sur la conduction. La conductivité thermique du dideutérium solide étant médiocre, le dépôt d'énergie par le flux intense de neutrons et de rayonnements gamma du réacteur crée d'importants gradients thermiques (points chauds) et risque de faire fondre ou sublimer localement le solide.
• Endommagement sous irradiation : le réseau cristallin accumule des défauts et des espèces radicalaires créées par radiolyse. Leur recombinaison peut libérer brutalement de l'énergie (effet Wigner), posant des problèmes majeurs de sûreté. De plus, un solide ne peut pas être renouvelé ou filtré en continu par pompage, contrairement à un liquide.

Les quatre parois du tube de section carrée sont délimitées par y \in [0, a] et z \in [0, a], l'axe x étant l'axe longitudinal du tube.

• Pour avancer vers la sortie du tube (située à x > 0), la composante longitudinale de la vitesse doit être strictement positive :

  v_x > 0
• Les parois latérales sont orthogonales à l'axe y (en y = 0 et y = a). Lors d'un choc sur l'une de ces parois, la vitesse normale est |v_y|. D'après l'énoncé, la réflexion est totale si et seulement si cette composante est inférieure à la vitesse critique v_c. Lors d'une réflexion spéculaire élastique, les composantes tangentielles v_x et v_z sont conservées, tandis que la vitesse normale est inversée : v_y \leftarrow -v_y. La norme |v_y| est donc invariante au cours des réflexions. Ainsi, si |v_y| < v_c, toutes les réflexions ultérieures sur ces parois restent totales ; si |v_y| \ge v_c, le neutron traverse la paroi dès le premier impact et s'échappe du tube.
• De même, les parois supérieure et inférieure sont orthogonales à l'axe z (en z = 0 et z = a). La composante normale de la vitesse est |v_z|, et la condition de réflexion totale s'écrit de manière identique : |v_z| < v_c.

Dans la limite d'un tube infiniment long, pour que le neutron ne soit jamais perdu par transmission à travers les parois et atteigne la sortie, il faut et il suffit que :

Entre deux collisions, le mouvement est rectiligne uniforme. Lors d'un choc sur une paroi y = \text{cste}, v_x reste constant et v_y change de signe : dans le plan (x,y), la trajectoire est une ligne brisée en zigzag de pente alternée \pm v_y / v_x. Le comportement est parfaitement analogue dans le plan (x,z), avec une pente \pm v_z / v_x. Les mouvements selon y et selon z étant indépendants, les périodes spatiales des rebonds dans ces deux plans sont en général différentes.

Dans un tube rectiligne, des neutrons très rapides se propageant parallèlement ou quasi-parallèlement à l'axe du tube le traversent sans jamais subir de réflexion, ou avec une composante de vitesse transverse inférieure à v_c : ils ne sont donc pas éliminés.

La courbure du guide supprime toute ligne de visée directe entre l'entrée et la sortie :

• Tout neutron est contraint d'effectuer au moins une collision avec la paroi concave (extérieure) pour être guidé et dévié le long de l'arc de cercle.
• Au point d'impact, la trajectoire rectiligne incidente forme un angle non nul avec la paroi tangente. La composante de la vitesse normale à la paroi est donc proportionnelle à la vitesse totale du neutron.
• Si le neutron est trop rapide, cette vitesse normale dépasse la vitesse critique v_c : la réflexion totale n'a plus lieu, le neutron traverse la paroi de nickel et s'échappe du tube.

Seuls les neutrons suffisamment lents subissent une réflexion totale et peuvent ainsi être guidés jusqu'à la sortie.

Le neutron se propage en ligne droite à vitesse constante dans la direction de l'axe horizontal x, tangent à la courbure du tube à l'entrée.

Notons C le centre de courbure de la paroi extérieure du guide, de rayon R. À l'entrée du tube (x = 0), le neutron se trouve à une distance z de la paroi extérieure, donc à la distance R - z du centre de courbure C.

Sa vitesse étant perpendiculaire au rayon vecteur initial reliant C au point d'entrée, la distance du neutron au centre C, après avoir parcouru l'abscisse x, s'écrit d'après le théorème de Pythagore :

Le neutron heurte la paroi extérieure lorsque cette distance atteint le rayon R :

Comme z \ll R, on néglige le terme d'ordre supérieur z^2, ce qui donne au premier ordre :

Le neutron entre dans le tube avec une vitesse horizontale \vec{v} = v\,\vec{u}_x.

La paroi extérieure est un arc de cercle de rayon R. Notons \theta l'angle au centre interceptant l'arc entre l'entrée (x = 0) et le point d'impact d'abscisse x. Par orthogonalité, la tangente à la paroi au point d'impact est inclinée de l'angle \theta par rapport à l'horizontale. L'angle entre la direction de la vitesse et la paroi est donc exactement cet angle \theta.

D'après la géométrie du cercle :

Comme z \ll R, l'angle \theta est très petit (\theta \ll 1). En effectuant un développement limité à l'ordre 2 de \cos\theta :

On en déduit immédiatement :

ce qui donne pour l'angle d'incidence rasant :

Remarque : On retrouve le même résultat en utilisant le résultat de la question précédente x = \sqrt{2Rz} et l'approximation \theta \approx \sin\theta = \frac{x}{R} = \frac{\sqrt{2Rz}}{R} = \sqrt{\frac{2z}{R}}.

Au point d'impact sur la paroi externe, l'angle entre le vecteur vitesse du neutron et le plan tangent à la paroi est noté \theta. La composante de la vitesse perpendiculaire à la paroi s'écrit donc :

Comme z \ll R, l'angle \theta déterminé à la question 19 est très petit (\theta \ll 1), ce qui permet d'effectuer l'approximation au premier ordre :

La vitesse normale au moment du choc vaut ainsi :

D'après l'énoncé, le neutron est réfléchi si sa composante de vitesse normale est strictement inférieure à la vitesse critique v_c, soit :

Le neutron est donc réfléchi si et seulement si sa vitesse v est inférieure à une vitesse limite notée v_{\mathrm{lim}}(z) :

Le mouvement entre deux rebonds s'effectue en ligne droite dans le plan horizontal du tube.

• La paroi extérieure étant un cylindre d'axe vertical et de section circulaire de rayon R, toute trajectoire rectiligne reliant deux points d'impact constitue une corde de ce cercle.
• Par symétrie géométrique d'un cercle, l'angle formé par une corde avec la tangente au cercle est identique à ses deux extrémités.
• La réflexion étant élastique et spéculaire (conservation de la norme de la vitesse et égalité des angles d'incidence et de réflexion), le neutron repart après chaque choc sous le même angle \theta par rapport à la paroi extérieure.

L'angle d'impact et la composante normale de la vitesse restent donc strictement identiques à chaque rebond successif.

De plus, l'éloignement maximal du neutron par rapport à la paroi extérieure au cours de chaque trajet rectiligne vaut z \le a : le neutron ne heurte donc jamais la paroi interne et reste guidé le long de la paroi externe par des rebonds successifs (effet de « galerie des murmures »).

La condition de réflexion totale étant vérifiée au premier impact (v_\perp < v_c), elle le demeure à chacun des impacts suivants : le neutron est guidé sans perte jusqu'à l'extrémité du tube.

D'après la question Q20 et la question Q21, un neutron injecté à une distance z de la paroi extérieure du tube est réfléchi (et parvient jusqu'à la sortie du guide) si sa vitesse vérifie :

Les neutrons entrent dans le guide sur toute la section de côté a, c'est-à-dire pour z \in [0, a].

La fonction z \mapsto v_{\mathrm{lim}}(z) est strictement décroissante avec z : plus un neutron pénètre loin du bord extérieur, plus l'angle d'impact \theta = \sqrt{2z/R} est grand, et plus la composante normale de sa vitesse v_\perp \approx v\theta est importante.

Le cas le plus défavorable correspond donc à la distance maximale à la paroi extérieure, soit z = a. Pour que tous les neutrons soient transmis, quelle que soit leur position d'entrée z \in [0, a], il faut et il suffit que la condition de réflexion soit vérifiée pour z = a :

La vitesse limite recherchée est ainsi :

D'après la question 22, la vitesse maximale en deçà de laquelle tous les neutrons incidents sont transmis par le guide courbé s'écrit :

Les données numériques sont :

• v_c = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (déterminée à la question 6) ;
• R = 14\text{ m} ;
• a = 0{,}07\text{ m}.

On calcule le rapport sans dimension :

Il vient ainsi directement :

D'après les questions Q20 et Q21, un neutron injecté à une distance z de la paroi extérieure avec une vitesse v suivant x est réfléchi (et parvient jusqu'à l'extrémité du tube) si et seulement si :

D'après la question Q22, la vitesse caractéristique v^* est définie par v^* = v_c \sqrt{\dfrac{R}{2a}}, ce qui permet de réécrire cette condition sous la forme :

Les neutrons étant uniformément répartis sur la section carrée du tube et la condition de transmission étant indépendante de la coordonnée selon l'axe transverse y, la variable spatiale z est distribuée uniformément sur l'intervalle [0, a].

• Si v \le v^* : on a a\left(\dfrac{v^*}{v}\right)^2 \ge a. Tous les neutrons entrants satisfont la condition de réflexion quel que soit z \in [0, a], d'où :

  P(v) = 1

• Si v > v^* : seuls les neutrons entrant avec z \in \left[0, a\left(\dfrac{v^*}{v}\right)^2\right] sont transmis. La probabilité vaut alors :

  P(v) = \frac{a \left(\frac{v^*}{v}\right)^2}{a} = \left(\frac{v^*}{v}\right)^2

On obtient donc la probabilité de transmission :

Élimination des neutrons rapides :
Non, le guide courbé ne permet pas d'éliminer complètement les neutrons rapides. Pour toute vitesse v > v^*, la probabilité de transmission reste strictement positive (P(v) > 0). Les neutrons injectés extrêmement près de la paroi externe (z \to 0) l'abordent sous un angle rasant \theta \approx \sqrt{2z/R} si faible que la composante normale de leur vitesse vérifie v_\perp = v\theta < v_c : ils subissent une réflexion totale et cheminent le long de la paroi externe jusqu'à la sortie (mode dit de « galerie acoustique » ou whispering gallery).

Les grandeurs physiques intervenant dans le mouvement du neutron sont la vitesse v^*, la dimension spatiale caractéristique de courbure R, et l'accélération de la pesanteur g, de dimensions respectives :

La seule combinaison adimensionnelle indépendante (à une puissance près) que l'on peut former à partir de v^*, R et g est :

Physiquement, ce rapport compare l'accélération centripète caractéristique liée à la trajectoire courbée a_c \sim \frac{{v^*}^2}{R} à l'accélération de la pesanteur g (ou, de façon équivalente, la déflexion verticale sous l'effet de la gravité \Delta z \sim g \tau^2 \sim g \frac{R^2}{{v^*}^2} à la dimension R, sur un temps de parcours typique \tau \sim \frac{R}{v^*}).

Il est donc légitime de négliger les effets de la pesanteur devant l'effet de guidage si l'accélération de pesanteur est très inférieure à l'accélération caractéristique de la courbure :

Application numérique : Avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et R = 14\text{ m} :

Comme v^* = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est significativement supérieur à \sqrt{gR} \approx 12\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (le rapport vaut environ 18 \gg 1), la condition est bien vérifiée ici.

Le référentiel \mathcal{R}_t lié à la turbine est en translation rectiligne et uniforme à la vitesse v_t \vec{u}_x par rapport au référentiel du laboratoire (supposé galiléen) : il s'agit donc d'un référentiel galiléen.

Dans ce référentiel, la vitesse initiale relative du neutron s'écrit, d'après la loi de composition des vitesses :

Comme v_n > v_t, le neutron pénètre dans la turbine avec une vitesse relative horizontale dirigée vers la droite, tangentiellement au bord inférieur de la plaque.

En l'absence de gravité et de frottements, le neutron subit le long de la surface concave une série continue de réflexions élastiques spéculaires sous incidence rasante. Sa trajectoire épouse donc la paroi et décrit un demi-cercle.

Par conservation de l'énergie cinétique dans \mathcal{R}_t, la norme de la vitesse relative reste constante au cours du guidage. Le neutron ressort ainsi au niveau du bord supérieur après avoir effectué un demi-tour (180^\circ), avec une vitesse relative horizontale dirigée vers la gauche :

D'après la loi classique de composition des vitesses, la vitesse \vec{v}_{\mathrm{lab}} du neutron à la sortie de la turbine dans le référentiel du laboratoire s'écrit en fonction de sa vitesse relative \vec{v}_{\mathrm{rel}} dans le référentiel lié à la turbine et de la vitesse d'entraînement \vec{v}_t = v_t\,\vec{u}_x :

D'après le résultat de la question précédente (Q26), le demi-tour élastique du neutron sur la paroi impose :

On en déduit l'expression de la vitesse du neutron dans le référentiel du laboratoire à la sortie :

Pour que la vitesse du neutron soit nulle (ou presque nulle en tenant compte de la dispersion en vitesse du faisceau incident), il faut donc choisir :

On étudie le mouvement vertical d'un neutron de masse m dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut, l'origine z = 0 étant située sur le miroir horizontal.

Pendant son vol libre, le neutron n'est soumis qu'au poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, force conservative dont dérive l'énergie potentielle de pesanteur :

Le choc sur le miroir étant parfaitement élastique, l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{p}} est conservée au cours de tout le mouvement.

• Juste avant le contact avec le miroir (en z = 0), la vitesse verticale a pour norme v_0, d'où :

  E_{\mathrm{m}}(z = 0) = \frac{1}{2} m v_0^2.

• Au sommet de la trajectoire, à l'altitude maximale z = H, la vitesse verticale s'annule momentanément :

  E_{\mathrm{m}}(z = H) = m g H.

Par conservation de l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}}(z = 0) = E_{\mathrm{m}}(z = H), on obtient :

soit :

On étudie le neutron de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, muni d'un axe vertical (Oz) ascendant dont l'origine z = 0 est située sur le miroir.

Entre deux rebonds, le neutron est soumis uniquement à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z. La seconde loi de Newton donne :

En choisissant pour origine des dates t = 0 l'instant qui suit immédiatement un rebond, le neutron part de l'altitude z(0) = 0 avec la vitesse verticale ascendante \dot{z}(0) = v_0 = \sqrt{2gH} établie à la question Q28. Les équations horaires du mouvement s'écrivent :

Le rebond suivant se produit à l'instant non nul t = T tel que z(T) = 0, ce qui conduit à :

En substituant v_0 = \sqrt{2gH}, on obtient :

Le mouvement du neutron dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{u}_z est conservatif. En prenant comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur le niveau du miroir en z = 0, l'énergie mécanique associée au degré de liberté vertical s'écrit, à l'injection :

Lors d'un éventuel contact avec le miroir en z = 0, le rebond est parfaitement élastique (sans perte d'énergie cinétique) : l'énergie mécanique E_{m,z} est donc conservée au cours de tout le mouvement vertical tant que le neutron n'est pas absorbé.

La hauteur maximale H que le neutron peut atteindre verticalement correspond au point d'annulation de sa vitesse verticale (E_{m,z} = mgH) :

Deux situations se présentent selon le signe de la vitesse verticale initiale :

• si v_z > 0, le neutron monte immédiatement et atteindrait l'altitude H s'il n'y avait pas d'obstacle ;
• si v_z < 0, le neutron descend d'abord vers le miroir, y rebondit élastiquement à l'altitude z = 0 avec une vitesse verticale ascendante v_0 = \sqrt{v_z^2 + 2gz}, puis remonte jusqu'à l'altitude maximale H = \frac{v_0^2}{2g} = z + \frac{v_z^2}{2g}.

Dans les deux cas, le neutron atteint l'altitude H. Si les plaques sont suffisamment longues dans la direction horizontale, le neutron dispose du temps nécessaire pour atteindre son altitude maximale avant de sortir du dispositif.

Il heurtera donc la plaque absorbante située en z = \delta dès lors que :

ce qui équivaut à :

La valeur limite cherchée est donc :

D'après la question Q30, un neutron injecté à l'altitude z \in [0, \delta] n'est pas absorbé par la plaque supérieure et parvient au détecteur si et seulement si sa vitesse verticale initiale vérifie :

Le flux incident de neutrons est uniformément distribué en altitude z et en vitesse verticale v_z. Le nombre différentiel de neutrons incidents par unité de temps dans l'élément \mathrm{d}z\,\mathrm{d}v_z s'écrit donc :

où C est une constante caractérisant l'intensité du faisceau incident.

Pour une hauteur d'injection z fixée, l'intervalle de vitesses permettant au neutron d'atteindre le détecteur est [-v_{z,\mathrm{lim}}(z), +v_{z,\mathrm{lim}}(z)], de largeur :

Le nombre de neutrons détectés par unité de temps, noté \dot{N}, s'obtient en intégrant sur toute la hauteur de la fente d'entrée z \in [0, \delta] :

En calculant l'intégrale :

On en déduit l'expression du débit de neutrons détectés :

Le nombre de neutrons vus par le détecteur par unité de temps est donc proportionnel à \delta^\alpha avec :

Les dimensions physiques des trois grandeurs de base sont :

• pour la constante de Planck réduite : [\hbar] = \mathrm{M \cdot L^2 \cdot T^{-1}} ;
• pour la masse du neutron : [m] = \mathrm{M} ;
• pour l'accélération de la pesanteur : [g] = \mathrm{L \cdot T^{-2}}.

Cherchons une grandeur X de la forme X = \hbar^\alpha m^\beta g^\gamma. Sa dimension s'écrit :

1. Construction d'une longueur caractéristique l_0 ([l_0] = \mathrm{L}) :

On obtient ainsi la longueur caractéristique :

2. Construction d'un temps caractéristique t_0 ([t_0] = \mathrm{T}) :

On obtient ainsi le temps caractéristique :

3. Construction d'une vitesse caractéristique v_0 ([v_0] = \mathrm{L \cdot T^{-1}}) :
On peut directement former le rapport l_0 / t_0 :

1. Longueur caractéristique l_0 :

   \begin{aligned} l_0 &= \left(\frac{\hbar^2}{m^2 g}\right)^{1/3} = \left(\frac{(10^{-34})^2}{(10^{-27})^2 \times 10}\right)^{1/3} = \left(\frac{10^{-68}}{10^{-53}}\right)^{1/3} = \left(10^{-15}\right)^{1/3}\text{ m} \end{aligned}
   \boxed{l_0 \sim 10^{-5}\text{ m} = 10\text{ }\mu\text{m}}

2. Temps caractéristique t_0 :

   \begin{aligned} t_0 &= \left(\frac{\hbar}{m g^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{10^{-34}}{10^{-27} \times 10^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{10^{-34}}{10^{-25}}\right)^{1/3} = \left(10^{-9}\right)^{1/3}\text{ s} \end{aligned}
   \boxed{t_0 \sim 10^{-3}\text{ s} = 1\text{ ms}}

3. Vitesse caractéristique v_0 :

   \begin{aligned} v_0 &= \left(\frac{\hbar g}{m}\right)^{1/3} = \frac{l_0}{t_0} = \frac{10^{-5}\text{ m}}{10^{-3}\text{ s}} \end{aligned}
   \boxed{v_0 \sim 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1}}

L'axe vertical Oz étant orienté vers le haut avec l'origine z = 0 prise à la surface du miroir, l'énergie potentielle de pesanteur du neutron de masse m dans le champ de pesanteur uniforme s'écrit, à une constante additive près (choisie nulle en z = 0) :

L'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un état stationnaire d'énergie E, associée à l'hamiltonien \hat{H} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2} + V(z), s'écrit :

soit sous forme canonique :

La paroi de nickel réelle constitue une marche de potentiel finie de hauteur V_0 = \frac{1}{2} m v_c^2, où la vitesse critique pour le nickel a été déterminée à la question Q6 :

Pour un neutron dont la vitesse verticale est de l'ordre de la vitesse caractéristique quantique v_0 \sim 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (établie à la question Q33), l'énergie associée est de l'ordre de E \sim \frac{1}{2} m v_0^2. Comparons cette énergie à la hauteur de la marche de potentiel :

L'énergie E du neutron est donc totalement négligeable devant V_0.

De manière équivalente, la longueur de pénétration de l'onde évanescente dans le miroir vaut :

ce qui est tout à fait négligeable devant l'extension caractéristique spatiale des états gravitationnels l_0 \sim 10\text{ }\mu\text{m} (\delta_{\mathrm{p\acute{e}n}} / l_0 \sim 2 \cdot 10^{-3}).

L'approximation d'une barrière de potentiel infinie (V(z) \to +\infty pour z < 0) est donc parfaitement justifiée.

Le potentiel étant infini pour z < 0, la probabilité de présence du neutron y est rigoureusement nulle, d'où \psi(z) = 0 pour z < 0. Par continuité de la fonction d'onde en z = 0, on obtient la condition aux limites :

D'après la figure fournie :

• pour l'état fondamental (n=1), la densité de probabilité |\psi_1(z)|^2 est confinée entre z = 0 et z \approx 15\text{ }\mu\text{m} ;
• pour les trois premiers états excités (n=2, 3, 4), l'extension spatiale maximale (au-delà de laquelle la fonction d'onde s'annule) atteint respectivement environ 25\text{ }\mu\text{m}, 35\text{ }\mu\text{m} et 45\text{ }\mu\text{m}.

À la question Q33, l'analyse dimensionnelle a fourni la longueur caractéristique du problème :

L'extension des fonctions d'onde est de l'ordre de l_0 pour le niveau fondamental et de quelques fois l_0 pour les premiers niveaux excités.

Pour une particule confinée dans un puits infini de largeur L situé entre z = 0 et z = L, le potentiel est nul pour 0 < z < L et infini ailleurs. Les fonctions d'onde spatiales normalisées des états stationnaires sont :

avec \psi_n(z) = 0 en dehors de cet intervalle. Les énergies associées varient en E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \propto n^2.

La comparaison avec le puits gravitationnel met en évidence plusieurs différences fondamentales :

• Forme du potentiel et asymétrie : Le puits infini est symétrique et rigide, délimité par deux parois verticales infinies en z=0 et z=L. Le puits gravitationnel est asymétrique : il comporte une paroi infinie en z=0, mais une rampe d'énergie potentielle linéaire V(z) = mgz pour z > 0.
• Extension spatiale : Alors que la taille du puits infini est fixée à L pour tous les états, l'extension spatiale d'un état gravitationnel croît avec l'énergie E_n via la position du point tournant classique z_{c,n} = E_n / (mg).

• Longueur d'onde locale et amplitude des oscillations :

  • Dans le puits infini, l'énergie cinétique est constante, ce qui impose une longueur d'onde spatiale uniforme \lambda_n = 2L/n et une amplitude d'oscillation strictement constante sur tout l'intervalle.
  • Dans le cas gravitationnel, l'énergie cinétique E_c(z) = E - mgz diminue avec l'altitude z. Par conséquent, la longueur d'onde locale de de Broglie \lambda_{\mathrm{dB}}(z) = \dfrac{h}{\sqrt{2m(E - mgz)}} augmente avec z (les nœuds s'écartent). De plus, l'amplitude de \psi(z) croît avec z, car classiquement la vitesse de la particule diminue au voisinage du sommet de sa trajectoire, ce qui augmente la densité de probabilité de présence |\psi(z)|^2 près du point tournant.
• Comportement en limite de puits (queue évanescente) : Dans le puits infini, \psi_n s'annule abruptement en z=L sans pénétration. Pour le neutron dans la gravité, la fonction d'onde pénètre dans la zone classiquement interdite (z > z_c) sous forme d'une queue exponentiellement décroissante (solution de type fonction d'Airy \mathrm{Ai}).

L'écart manifeste entre les prédictions classiques et les mesures s'interprète par la quantification du mouvement vertical du neutron dans le puits gravitationnel :

• Seuil d'extinction pour \delta \lesssim 15\text{ }\mu\text{m} : D'après la figure de la question Q36, l'état fondamental (n=1, E_1 = 1{,}4\text{ peV}) possède une densité de probabilité non négligeable jusqu'à une altitude z \approx 15\text{ }\mu\text{m}. Pour \delta < 15\text{ }\mu\text{m}, l'absorbeur supérieur vient recouvrir la région où s'étend la fonction d'onde du fondamental : tout neutron injecté interagit nécessairement avec l'absorbeur et est éliminé. Comme aucun état quantique d'énergie inférieure n'existe, le puits ne peut supporter aucun mode de propagation, d'où un débit rigoureusement nul sous ce seuil (contrairement à la prédiction classique continue en \delta^{3/2}).

• Apparition de sauts et structure par paliers : Chaque état propre quantique n possède une hauteur d'extension verticale z_n \approx E_n / (mg) augmentée de la zone de décroissance exponentielle :

  \begin{aligned} z_1 &\approx 15\text{ }\mu\text{m}, & z_2 &\approx 25\text{ }\mu\text{m}, & z_3 &\approx 33\text{ }\mu\text{m}, & z_4 &\approx 41\text{ }\mu\text{m}. \end{aligned}

  Dès que l'écartement \delta dépasse l'altitude maximale du mode n, ce dernier cesse de subir l'absorption : un nouveau « canal » de transmission s'ouvre, ce qui engendre une brutale augmentation du débit mesuré. Les sauts observés expérimentalement à ces valeurs spécifiques de \delta correspondent précisément à l'admission successive des niveaux discrets n = 1, 2, 3\dots

• Déficit global par rapport au modèle classique : En physique classique, le spectre d'énergie accessible est continu, permettant la transmission de toutes les particules d'énergie cinétique verticale compatible avec \delta. En mécanique quantique, le spectre est discret et la queue évanescente de la fonction d'onde entraîne des pertes par absorption même pour des énergies légèrement inférieures à mg\delta. Le nombre d'états transmis est donc restreint, ce qui explique que les points de mesure se situent systématiquement au-dessous de la courbe classique continue.
• Limite des grands \delta : Pour \delta \gg l_0 (\delta \gtrsim 50\text{ }\mu\text{m}), le nombre d'états quantiques autorisés devient élevé (n \gg 1) et l'espacement relatif entre niveaux consécutifs diminue. On retrouve alors asymptotiquement le comportement classique moyen \dot{N} \propto \delta^{3/2}, conformément au principe de correspondance de Bohr.

Le mouvement horizontal étant uniforme à la vitesse v_x \approx v_c, la durée de transit du neutron au-dessus du miroir de longueur L s'écrit :

Avec L = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} et v_c = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (obtenu à la question Q6) :

D'après la question Q29, la durée classique entre deux rebonds successifs pour une hauteur maximale H est :

D'après la question Q36, les premiers états gravitationnels ont une extension spatiale typique comprise entre H_1 \approx 15\text{ }\mu\text{m} (état fondamental) et H_4 \approx 40\text{ à }50\text{ }\mu\text{m} :

• Pour H \approx 15\text{ }\mu\text{m} :

  T \approx 2\sqrt{\frac{2 \times 15 \cdot 10^{-6}}{10}} = 2\sqrt{3 \cdot 10^{-6}} \approx 3{,}5\text{ ms}

• Pour H \approx 50\text{ }\mu\text{m} :

  T \approx 2\sqrt{\frac{2 \times 50 \cdot 10^{-6}}{10}} = 2\sqrt{10^{-5}} \approx 6{,}3\text{ ms}

Ces durées sont bien du même ordre de grandeur que l'échelle de temps caractéristique quantique t_0 \sim 1\text{ ms} déterminée à la question Q33.

Le nombre de rebonds N effectués lors de la traversée est donc :

Puisque le neutron effectue plusieurs rebonds complets au cours de son passage dans le dispositif (N > 1), l'interaction répétée avec le miroir et l'absorbeur permet la sélection des états propres et l'établissement du régime stationnaire.