Fonction d'onde et équation de Schrödinger : 125 questions de concours corrigées

En mécanique quantique, l'électron est décrit par une fonction d'onde complexe Ψ(M,t). Donner (selon le postulat de Born) l'interprétation physique de la quantité réelle |Ψ(M,t)|².

Établir l'équation différentielle vérifiée par φ(x), puis rappeler l'écriture de la condition de normalisation sur cette fonction.

Qu'appelle-t-on état stationnaire d'un système isolé ? Dans votre réponse à cette question, vous veillerez à aborder les points suivants : (i) Si l'atome est dans l'état stationnaire φₐ, comment…

Quelles sont l'interprétation physique et la dimension de la fonction d'onde Ψ(r, t) ?

On cherche des solutions de l'équation de Schrödinger de la forme Ψ(r, t) = Φ(x, y, z) W(t). Quelle est la forme de W(t) ? Comment s'appelle ce type de solution ?

Pour cette question et la suivante, on suppose que λ(t) = cste. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par les cₙ(t), puis la résoudre. En déduire l'expression de la fonction d'onde ψ(x, t) à…

Que peut-on dire dans le cas cₙ(0) = δ_np ? Que peut-on dire de la densité de probabilité de présence de la particule ? On suppose maintenant que les paramètres λ(t) évoluent lentement dans le temps.

Exprimer ρ(r) en fonction de R et r puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de R ?

Montrer que la fonction d'onde spatiale φ(x) vérifie l'équation différentielle : (d²φ(x))/dx² + µ/ħ² (2E - µω₀² x²)φ(x) = 0.

En déduire une expression de (d²φ(x))/dx² en fonction de dx, φ(x), φ(x - dx) et de φ(x + dx).

Compléter l'instruction 3.1 qui calcule ∫_-LL φ(x)² dx par la méthode des rectangles à gauche et l'appelle norm. On pourra le faire en une seule ligne (en utilisant l'annexe) ou en plusieurs lignes…

Montrer que les fonctions φ et ζ vérifient deux équations différentielles indépendantes.\ En déduire que ψ peut finalement s'écrire sous la forme ψ(z,t) = φ(z) e⁻i E/ħ t, et justifier que E est une…

Montrer que s = s₀ f(φ), où s₀ est la valeur maximale du signal s et φ f(φ) une fonction que l'on précisera.

On considère un état stationnaire d'énergie E. Écrire l'équation différentielle satisfaite par la partie spatiale de la fonction d'onde ψ(x) pour x < 0 et x > 0, et rappeler les conditions de…

Rappeler l'interprétation physique de la fonction d'onde ψ(r) et en déduire que la valeur de la constante A (à une phase près) vaut A = √(3/(4π r₀³)).

Donner les équations différentielles vérifiées par les coefficients a_i(t) (i = 1, 2).

Nous étudions d'abord le cas simple, à une dimension, de l'état stationnaire d'énergie E d'une particule quantique de masse m, qui rencontre une marche de potentiel. L'énergie potentielle vaut 0…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction φ(x), puis exprimer la solution φ_II(x) de cette équation dans la région II, en introduisant deux constantes A_II et B_II, qu'on ne…

Pour quel type de potentiel V(x) une onde plane sinusoïdale ψ(x,t) = ψ₀ e⁻i⁽ω t ⁻ kx⁾ est-elle solution de cette équation ? Quelle est alors la relation de dispersion de cette onde ?

a) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire d'énergie E. On notera φ(x) la partie spatiale de la fonction d'onde. b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par φ(x)…

Déterminer l'expression complète de ψ(x) pour un neutron incident sur la marche de potentiel, arrivant de la direction x < 0. On distinguera les cas E > V₀ et E < V₀.

En analysant la parité de la fonction φ(x), justifier que x = 0 dans un état stationnaire lié du puits de potentiel harmonique.

À l'aide d'un développement limité à l'ordre deux (rappelé en annexe), exprimer φ(x + dx) d'une part et φ(x - dx) d'autre part au second ordre par rapport à dx.

En reformulant le résultat de la question Q17, écrire une relation entre φ_i+1, φ_i-1, φ_i, (d²φ(x))/dx² et dx.

Donner l'instruction 1.1 qui permet de calculer L.

Écrire l'instruction 1.2 qui crée un tableau unidimensionnel (ou vecteur) appelé X contenant les N positions discrètes accessibles à la particule dans l'intervalle [-L, L].

Écrire l'instruction 1.3 qui calcule le pas d'espace dx à partir du vecteur X défini en Q21.

Compléter l'instruction 3.2 qui divise chaque élément du tableau phi par la racine carrée de cette intégrale.

Définir un état stationnaire en physique quantique.

Rappeler l'équation de Schrödinger dépendante du temps.

Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension pour la fonction d'onde ψ(x,t) du neutron dans le potentiel V(x).

Déterminer la vitesse v_c au-dessous de laquelle un neutron est totalement réfléchi par la marche de potentiel, qu'on exprimera en fonction de m et V₀.

Par analogie avec la fonction d'onde spatiale ψ(r), on introduit la fonction d'onde en quantité de mouvement, χ(p) pour décrire la densité de probabilité dans l'espace des quantités de mouvement. On…

Initialement on a a(t = 0) = (1, 0), autrement dit l'atome est dans l'état stationnaire d'énergie E₁. Justifier que l'atome demeure dans cet état d'énergie E₁ à tous les instants ultérieurs.

Quel est l'élément optique analogue à une "impulsion π" ?

Interpréter les résultats de la question précédente en relation avec l'expression de l'énergie en mécanique classique et les relations de de Broglie et de Planck-Einstein.

Quelle est l'interprétation physique de ∫_D |Ψ(x,t)|² S dx ? En déduire la dimension de Ψ(x,t). Quelle est l'équation différentielle vérifiée par ψ(x) ? Donner l'expression de l'énergie de la…

À quelle condition y a-t-il propagation sans atténuation ? Déterminer alors la forme générale de ψ et la longueur d'onde λ associée. En déduire l'impulsion de la particule dans le cas d'un sens…

Exprimer ρ(r) en fonction de R et r puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de R ?

Quelle est l'interprétation physique de ∫_D |Ψ(x, t)|² S dx ? En déduire la dimension de Ψ(x, t). Quelle est l'équation différentielle vérifiée par ψ(x) ? Donner l'expression de l'énergie de la…

À quelle condition y a-t-il propagation sans atténuation ? Déterminer alors la forme générale de ψ et la longueur d'onde λ associée. En déduire l'impulsion de la particule dans le cas d'un sens…

Quelle est l'interprétation physique de ∫_D |Ψ(x,t)|² S dx ? En déduire la dimension de Ψ(x,t). Quelle est l'équation différentielle vérifiée par ψ(x) ? Donner l'expression de l'énergie de la…

À quelle condition y a-t-il propagation sans atténuation ? Déterminer alors la forme générale de ψ et la longueur d'onde λ associée. En déduire l'impulsion de la particule dans le cas d'un sens…

Montrer que f(t) est solution de l'équation différentielle : iħ (f'(t))/(f(t)) = A où A est une constante. Justifier que A est homogène à une énergie. On admet que A = E, l'énergie de la particule…

Rappeler la forme de χ(t). Obtenir la relation vérifiée par φ(u), sa dérivée seconde φ''(u), u et ε.

Montrer que H vérifie l'équation différentielle : H''(u) - 2u H'(u) + (2ε - 1) H(u) = 0.

Justifier également que pₓ = 0.

En déduire une expression de l'énergie E en fonction de Δ x, Δ pₓ, m et ω₀.

Compléter les instructions 4 qui permettent d'afficher les courbes d'évolution de la fonction d'onde spatiale normalisée selon la variable x pour v 0; 1; 2 sur un seul graphique comme représenté sur…

Pour les radiations du domaine visible, n = 2. On donne : λ_3→ 2 = 656,3 nm et λ_4→ 2 = 486,2 nm. La raie verte trouvée par Ångström lors de ses études spectroscopiques des aurores boréales…

L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase v_φ et de groupe v_g en…

Exprimer p(E) et v_g(E) dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de Schrödinger dans un domaine où V est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation…

L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase v_φ et de groupe v_g en…

Exprimer p(E) et v_g(E) dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de SCHRÖDINGER dans un domaine où V est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation…

Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de KLEIN–GORDON (5).

Déterminer l'expression de la longueur d'onde de de Broglie λ_dB associée à une particule de quantité de mouvement p.\ Exprimer, en fonction de dλ_dB/dz, la condition légitimant l'approximation…

Évaluer le rapport m² g d_1,a / p₀².\ Conclure quant à la légitimité de l'approximation A₀.

Le phénomène de réflexion totale peut se décrire par une analogie optique, en assimilant le faisceau de neutrons de vitesse v₀ à un rayon lumineux, et la paroi à un milieu transparent d'indice n <…

On suppose dans un premier temps le mouvement purement vertical. Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension pour un état stationnaire d'énergie E du neutron dans le champ de pesanteur…

Comme précédemment, calculer la constante B et la « dispersion en quantité de mouvement » Δ p.

Montrer de même que l'énergie cinétique moyenne E_c de l'électron décrit par la fonction d'onde χ(p) s'écrit E_c = 3/10p₀²/m.

La figure 3 représente graphiquement les énergies des états stationnaires en fonction de V₀. Au vu de cette figure, conjecturer l'expression de Eₙ⁽b⁾ en fonction de n pour tout n N.

Résoudre ces équations, et mettre les solutions sous la forme : a(t) = A(t)a(0) avec a(t) = (a₁(t), a₂(t)) et A(t) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux (que l'on explicitera)…

Exprimer R(Ωτ) pour une "impulsion π/2", c'est-à-dire à une impulsion laser de durée τ avec Ωτ = π/2. Donner également l'expression de cette matrice pour une "impulsion π" (qui correspond à Ωτ = π).

Toujours dans le cas d'une "impulsion π/2", exprimer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude dans le cas où on a initialement a(t = 0) = (0, 1).

On effectue une mesure en accélérant les atomes vers le haut (+ = Δ ve_z), puis une autre en les accélérant vers le bas ( = -Δ ve_z). Expliquer comment ces deux mesures permettent de compenser le…

L'atome étant toujours isolé, on envisage maintenant la situation où il est dans une superposition d'états stationnaires φₐ et φ_b ; sa fonction d'onde ψ(x, t) est donc une combinaison linéaire des…

On pose dₙ(t) = cₙ(t) ei/ħ ∫₀^t Eₙ⁽λ⁽t'⁾⁾ dt'. Dans le cas où λ(t) = cste, montrer que dₙ(t) est indépendant du temps.

Déterminer l'équation d'évolution temporelle vérifiée par d_p en fonction des dₙ. On introduira les quantités ω_ij = (E_i - E_j)/ħ.

Dans le cas où ni α_pℓ, ni ω_pℓ ne dépendent du temps, exprimer d_p(t), toujours pour p ≠ ℓ.

Pour une solution stationnaire ψ(x, t) = φ(x)χ(t), établir l'équation vérifiée par la fonction d'amplitude φ(x) en faisant apparaitre l'énergie E de la particule.

Quelles sont la dimension et l'interprétation physique du vecteur J = |Ψ|² p/mₑ ? En déduire l'expression de ψ₀ en fonction de Φ₀, p et mₑ. Y a-t-il eu perte de généralité en supposant ψ₀ > 0 ?

Exprimer R et l'énergie E de l'électron en fonction des constantes physiques h, e, mₑ et ε₀ ; comparer au modèle de BOHR.

Quelles sont la dimension et l'interprétation physique du vecteur J = |Ψ|² p/mₑ ? En déduire l'expression de ψ₀ en fonction de Φ₀, p et mₑ. Y a-t-il eu perte de généralité en supposant ψ₀ > 0 ?

Exprimer ρ(r) en fonction de R et r puis tracer la courbe représentative de cette fonction. Quelle est l'interprétation géométrique de R ?

Déterminer l'énergie potentielle moyenne de l'électron V . En déduire son énergie cinétique moyenne K à partir de la valeur de son énergie totale E ; commenter.

Quelles sont la dimension et l'interprétation physique du vecteur J = |Ψ|² p/mₑ ? En déduire l'expression de ψ₀ en fonction de Φ₀, p et mₑ. Y a-t-il eu perte de généralité en supposant ψ₀ > 0 ?

Exprimer R et l'énergie E de l'électron en fonction des constantes physiques h, e, mₑ et ε₀ ; comparer au modèle de BOHR.

Déterminer l'équation différentielle vérifiée par φ(x) puis donner la forme générale des solutions dans les 3 zones de l'espace : φ₁(x), φ₂(x) et φ₃(x).

En raisonnant sur le monôme de degré n de cette équation, montrer qu'il existe une relation simple entre ε et n. En déduire l'expression des énergies de vibration de la molécule.

À partir des questions Q15 et Q18, montrer que : φ_i+1 = (2 + 2µω₀/ħ² dx² ( 1/2 µω₀ x_i² - ħ (v + 1/2)))φ_i - φ_i-1.

Compléter les instructions 2 qui créent le tableau phi, le remplissent à 0, puis le remplissent par les valeurs de la fonction d'onde spatiale pour chaque valeur de X.

Déterminer, dans l'approximation A₀, les expressions k₁ₐ, k_1b, k₂ₐ et k_2b des grandeurs k₁ et k₂ en fonction de p₀ et p_γ pour chacune des étapes (a) et (b).\ Déterminer les expressions de φₐ⁰ et…

On désire pouvoir mesurer l'intensité de la pesanteur g avec une incertitude relative δ g/g = 10⁻⁹. Déterminer la précision minimale avec laquelle on doit être capable de déterminer le déphasage φ…

Montrer que φₐ = F(p₀ + p_γ, d_2,a) - F(p₀, d_1,a) où F : (x,y) K [(x² + ν y)³/² - x³], on précisera les expressions de ν et K en fonction notamment de m, g et ħ.

On envoie un faisceau parallèle de neutrons monocinétiques de vitesse v₀ = 500 m⁻¹ sous incidence oblique sur une paroi de nickel. On admet que les composantes de la vitesse parallèles à la paroi…

On modélise l'interaction avec le miroir par une barrière de potentiel infinie. Expliquer pourquoi cette approximation est justifiée, si la vitesse verticale du neutron est de l'ordre de grandeur de…

La figure ci-dessous représente, par ordre croissant d'énergie, les carrés des fonctions d'onde des quatre premiers états stationnaires, obtenus en résolvant l'équation de Schrödinger. L'extension…

Calculer la valeur moyenne de la position r et du carré de la distance |r|² . Montrer alors que la « dispersion en position » définie par la relation Δ r = √( |r|² - | r |²) vaut Δ r = √(3/5) r₀.

Montrer que l'énergie potentielle moyenne E_p de l'électron décrit par la fonction d'onde ψ(r) s'écrit E_p = -3/2e²/r₀ où e² = qₑ²/4πε₀ avec qₑ est la charge élémentaire.

En éliminant p₀ grâce à la relation obtenue à la question Q 29 (on remplacera le signe ∼ par une égalité pour effectuer ce calcul), établir l'expression de Eₘ en fonction uniquement de r₀.

Pour quelles valeurs de m peut-on montrer sans calculs que Eₘ appartient à l'ensemble Eₙ⁽b⁾ ; n N ? Vérifier la cohérence avec la réponse à la question précédente.

Montrer que les Eₙ⁽b⁾ sont les énergies des états stationnaires d'une particule dans un potentiel harmonique de pulsation 2ω, décalées d'une constante à déterminer.

Montrer sans calculs que pour tout m N, l'énergie (2m + 3/2)ħω fait partie de l'ensemble des énergies Eₙ⁽d⁾ ; n N.

Initialement on a a(t = 0) = (1, 0). À t = 0 on soumet l'atome à une "impulsion π/2" de durée τ. Exprimer la fonction d'onde Ψ(r, t) à l'instant t = τ, et donner l'évolution de la fonction d'onde…

À partir de l'interférogramme expérimental présenté en Fig. 5, donner la valeur de T choisie dans l'expérience.

Justifier que la phase cumulée due aux énergies potentielle E_p et électronique E_i (i = a, b) est la même sur chacun des trajets ABCD et AB'C'D.

En déduire que : ΔΦ = m/ħ∫₀³T(v_II(t) - v_I(t))((v_I(t) + v_II(t))/2)dt où v_I(t) et v_II(t) sont les vitesses instantanées respectives des atomes sur les trajets ABCD et AB'C'D.

En exprimant dans un premier temps v_II(t) - v_I(t) et [v_I(t) + v_II(t)]/2 sur les intervalles [0, T], [T, 2T], [2T, 3T], montrer que : ΔΦ = 2Tk · On se souviendra à cet effet de la relation entre…

En déduire δ_laser*, la valeur de δ_laser associée la frange centrale. L'exprimer en fonction de k, m et N, et d'autres constantes fondamentales éventuelles.

Déduire, à partir de la valeur de δ_laser* associée à l'interférogramme de la Fig. 5, la valeur de N choisie lors de la mesure.

La fréquence ω/2π = kc/2π est mesurée avec une incertitude de 1 kHz. Justifier que la mesure de δ_laser* permet de mesurer m, et que l'incertitude relative sur m est environ égale à l'incertitude…

Un interférogramme expérimental comme celui de la Fig. 5 est typiquement obtenu en une minute. Il est possible de faire des mesures les unes à la suite des autres. Pendant combien de temps doit-on…

L'énergie potentielle d'un atome n'est pas constante au cours de la trajectoire. Montrer néanmoins que l'Éq. (14) reste valable lorsque le champ de pesanteur est uniforme.

Évaluer ces intégrales pourrait être délicat, car nous ne connaissons pas les fonctions φₐ et φ_b. Néanmoins nous savons qu'elles peuvent être choisies réelles. Et nous avons pu déterminer les états…

Écrire les équations différentielles vérifiées par α(t) et β(t), en veillant à développer cos (ω t) en exponentielles complexes, de façon à clairement mettre en évidence les termes contribuant à des…

L'atome est dans une superposition d'états stationnaires ψ(x, t) = a(t)φₐ(x) + b(t)φ_b(x). 16-a) Exprimer la densité de probabilité de présence en x de l'électron en fonction de ψ(x, t). En déduire…

Exprimer le membre de gauche de l'équation de Schrödinger (5). En déduire qu'un coefficient c_p(t) pour 1 ≤ p ≤ N vérifie l'équation différentielle iħ dc_p/dt = c_p E_p - ħ Σ_1 ≤ n ≤ N α_pn(t) cₙ…

Montrer que pour p ≠ ℓ : dd_p/dt = iα_pℓ(t) ei ∫₀^t ω_pℓ⁽t'⁾ dt'. (8) On pourra par exemple partir de l'équation (6) en ne conservant que le premier ordre non-nul.

On suppose dans la suite que les Eₙ(λ(t)) sont deux à deux distincts à tout instant t. Déduire du résultat précédent les paramètres sans dimension qui permettent de contrôler l'approximation (7)…

En cherchant une solution de la forme c_ℓ(t) = eiF_ℓ⁽t⁾, résoudre l'équation différentielle précédente. On fera apparaître les deux termes suivants : Φ_dyn(t) = -1/ħ ∫₀t E_ℓ(λ(t')) dt' et Φ_geom(t)…

Quel est l'effet de la phase géométrique sur la densité de probabilité de présence de la particule ? Même question dans le cas où l'état initial est de la forme ψ(x, 0) = 1/√(2) ( φ_ℓ(x; λ(0)) +…

Afin de fixer les idées, on prend m = 3 par la suite, donc λ est un vecteur de R³. On suppose que l'ensemble des paramètres décrit une boucle γ fermée entre t = 0 et t = T : λ(T) = λ(0). Exprimer…

Quelles similitudes voyez-vous entre la situation étudiée dans cette partie et l'évolution du pendule de Foucault ? On pourra répondre sous forme d'un tableau.

Avec ce choix d'origine de l'énergie potentielle, l'énergie E de la particule peut-elle être négative ?

Nous nous intéresserons par la suite aux états stationnaires d'énergie E > V₀. Justifier, en précisant les expressions des grandeurs positives k et K, la forme des solutions φ(x), où n est un entier…

En rappelant les conditions aux limites vérifiées par la fonction d'onde pour une particule évoluant dans un potentiel fini, justifier le système homogène suivant : Aₙ + Bₙ - Cₙ - Dₙ &= 0 Aₙ₊₁e⁻ika…

Déterminer l'énergie potentielle moyenne de l'électron V . En déduire son énergie cinétique moyenne K à partir de la valeur de son énergie totale E ; commenter.

Exprimer R et l'énergie E de l'électron en fonction des constantes physiques h, e, mₑ et ε₀ ; comparer au modèle de BOHR.

Montrer que σ est solution de l'équation différentielle ħ/i σ'' + σ'² = 2m[E - V(z)] def= ħ² k²(z). En se limitant à l'ordre 1 en ħ/i et en écrivant qu'un nombre complexe est nul si et seulement si…

Exprimer la fraction de neutrons réfléchis en fonction de θ et de l'angle θ_c en-dessous duquel il y a réflexion totale.

Exprimer l'amplitude de probabilité de présence d'un atome de Rubidium en sortie de l'interféromètre en fonction de Ψ₀, Φ_I, Φ_II et des phases lasers φ_laser(t) à t = 0, T, 2T ou 3T. En déduire la…

Exprimer les vitesses v_I(t) et v_II(t) le long des trajets ABCD et AB'C'D en prenant cette fois en compte l'effet de la pesanteur. En déduire le déphasage ΔΦ', et l'exprimer sous la forme ΔΦ' = ΔΦ…

Pour décrire le milieu amplificateur en régime permanent, nous nous intéressons à l'état stationnaire de ce système. 17-a) Écrire les équations vérifiées en régime permanent par les variables pₐ…

En utilisant le résultat de la question 25, montrer que l'équation vérifiée par c_ℓ(t) se met sous la forme : iħ dc_ℓ/dt = ( E_ℓ - dλ/dt · A_ℓ ) c_ℓ(t) (10) avec A_ℓ un vecteur à m composantes qui…