Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2023

• Référentiel galiléen : Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout point matériel isolé ou pseudo-isolé (soumis à un système de forces dont la somme vectorielle est nulle) y possède un vecteur vitesse constant (mouvement rectiligne uniforme ou repos).

• Définition du poids : Le poids \vec{P} d'un corps de masse m au voisinage de la Terre est l'action mécanique exercée par la Terre sur ce corps dans le référentiel terrestre ; il correspond à la résultante de l'attraction gravitationnelle terrestre et de la force d'inertie d'entraînement axifuge liée à la rotation de la Terre :

  \vec{P} = m\vec{g}

• Expression du poids de la goutte : La goutte est modélisée par une sphère homogène de diamètre D et de masse volumique \rho. Son volume vaut V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{\pi D^3}{6}, d'où sa masse :

  m = \rho V = \frac{\pi}{6}\,\rho D^3

  L'accélération de la pesanteur étant \vec{g} = g\,\vec{e}_z, le poids de la goutte s'écrit :

Effectuons une analyse dimensionnelle des deux membres de l'égalité régissant la force de frottement.

Pour le membre de gauche, la force \vec{F}_{\text{frott}} a la dimension d'une force, reliée à la masse et à l'accélération par la seconde loi de Newton :

Pour le membre de droite, déterminons la dimension du produit C \pi \rho_a D^2 v^2 sachant que le coefficient C et le nombre \pi sont sans dimension ([C] = [\pi] = 1) :

• [\rho_a] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-3} (masse volumique de l'air),
• [D^2] = \mathrm{L}^2 (carré d'une longueur),
• [v^2] = [v]^2 = (\mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-1})^2 = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-2} (carré d'une vitesse),
• [\vec{e}_z] = 1 (vecteur unitaire adimensionné).

On en déduit la dimension du membre de droite :

Les deux membres ont la dimension d'une force :

La formule proposée est donc bien homogène.

On étudie la goutte d'eau modélisée par un point matériel de masse m = \frac{\pi}{6}\rho D^3 dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après les questions précédentes, les forces appliquées à la goutte en mouvement descendant à la vitesse \vec{v} = v\vec{e}_z (v > 0) sont :

• son poids : \vec{P} = mg\vec{e}_z = \frac{\pi}{6}\rho g D^3 \vec{e}_z ;
• la force de frottement de l'air : \vec{F}_{\text{frott}} = -C\pi \rho_a D^2 v^2 \vec{e}_z.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

En projection sur l'axe vertical descendant Oz :

Lorsque la vitesse limite est atteinte, la vitesse est constante au cours du temps, d'où \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. Il vient :

La vitesse étant dirigée vers le bas (v_{\lim} > 0), on en déduit :

avec :

Applications numériques :

Calculons tout d'abord la valeur numérique du coefficient K :

Pour les différents diamètres :

• Pour D = 1\text{ mm} = 1,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  v_{\lim}(1\text{ mm}) = 145 \times \sqrt{1,0 \cdot 10^{-3}} \approx 4,6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

• Pour D = 3\text{ mm} = 3,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  v_{\lim}(3\text{ mm}) = 145 \times \sqrt{3,0 \cdot 10^{-3}} \approx 7,9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

• Pour D = 5\text{ mm} = 5,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  v_{\lim}(5\text{ mm}) = 145 \times \sqrt{5,0 \cdot 10^{-3}} \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

La comparaison entre la courbe expérimentale et le modèle théorique sur la figure 1 met en évidence deux désaccords majeurs :

1. Pour les grosses gouttes (D \gtrsim 2\text{ à }3\text{ mm}) : la vitesse limite mesurée sature autour de 9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} alors que le modèle prédit une croissance continue en \sqrt{D}. En réalité, l'hypothèse d'une goutte sphérique n'est plus valable : la pression aérodynamique exercée par l'écoulement d'air aplatit la goutte (elle adopte une forme d'ellipsoïde aplati, voire d'ombrelle), ce qui augmente notablement son maître-couple (section frontale effective) ainsi que le coefficient de traînée C. La force de frottement s'en trouve accrue, freinant davantage la goutte (les gouttes de diamètre supérieur à 5\text{ mm} finissent même par se fractionner).

2. Pour les petites gouttes (D \lesssim 1\text{ mm}) : le modèle suppose un frottement purement quadratique avec un coefficient C constant. Or, le régime d'écoulement dépend du nombre de Reynolds :

   \mathrm{Re} = \frac{\rho_a v D}{\eta_{\text{air}}}

   Pour les très petites gouttes, le nombre de Reynolds devient faible (\mathrm{Re} \ll 10^3) : le frottement tend vers un régime linéaire (force de Stokes proportionnelle à v et non à v^2), et le coefficient de traînée adimensionné dépend fortement de \mathrm{Re} au lieu d'être constant.

On étudie la platine de masse M dans le référentiel lié au support fixe, supposé galiléen.

À l'équilibre, en l'absence de goutte, la platine est immobile (\vec{v}_{\text{platine}} = \vec{0}, donc la force d'amortissement fluide est nulle) et soumise à deux forces :

• son poids vertical descendant :

  \vec{P} = M g \vec{e}_z

• la force de rappel élastique exercée par le ressort. Le support fixe étant situé sous la platine (figure 2), le ressort soutient celle-ci et travaille en compression (l_{\text{équ}} < l_0). Il exerce une force dirigée vers le haut :

  \vec{F}_{\text{él}} = -k(l_0 - l_{\text{équ}}) \vec{e}_z

D'après le principe fondamental de la statique :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{e}_z :

On en déduit l'expression de la longueur à l'équilibre :

On applique la seconde loi de Newton à la platine, assimilée à un point matériel de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen lié au support fixe.

L'axe Oz étant orienté verticalement vers le bas, la position de la platine est repérée par son écart à l'équilibre Z(t). La platine est soumise à :

• son poids : \vec{P} = M g \vec{e}_z ;

• la force de rappel du ressort : la platine étant située au-dessus du support fixe, un déplacement Z(t) > 0 vers le bas comprime davantage le ressort. Sa longueur s'écrit l(t) = l_{\text{équ}} - Z(t). Le ressort pousse la platine vers le haut avec une force :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = -k\left(l_0 - l(t)\right)\vec{e}_z = -k\left(l_0 - l_{\text{équ}} + Z(t)\right)\vec{e}_z

  D'après la question Q5, à l'équilibre statique on a k(l_0 - l_{\text{équ}}) = Mg, d'où :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = -\left(Mg + k Z(t)\right)\vec{e}_z

• la force d'amortissement fluide :

  \vec{f} = -\lambda \vec{v}_{\text{platine}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} \vec{e}_z
• la force exercée par l'impact de la goutte : \vec{F}(t) = F(t)\vec{e}_z.

La seconde loi de Newton s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z :

En divisant par la masse M, on obtient l'équation différentielle demandée :

par identification des termes :

Signification physique de \tau :
La durée \tau représente la durée de l'impact (ou temps d'écrasement) de la goutte d'eau sur la platine du disdromètre. Pendant cet intervalle de temps, la quantité de mouvement de la goutte passe de m v_{\lim} à 0, ce qui se traduit d'après le théorème de l'impulsion par une force moyenne F_0 \approx \frac{m v_{\lim}}{\tau}.

Justification de l'ordre de grandeur :
Considérons une goutte sphérique de diamètre D arrivant à la vitesse v_{\lim}(D). Le contact s'établit dès que le bas de la goutte touche la surface plane de la platine ; l'impact se termine lorsque le sommet de la goutte rejoint la platine. Pendant cette phase d'écrasement, la matière parcourt une distance caractéristique de l'ordre de sa taille initiale D à une vitesse de l'ordre de v_{\lim}(D). Par conséquent :

Calcul numérique de \tau pour D = 2{,}5\text{ mm} :
D'après la loi donnée en début de partie II :

Avec K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} et D = 2{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

On en déduit la durée de l'impact :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

a) L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle homogène établie en Q6 s'écrit :

Son discriminant est \Delta = \gamma^2 - 4\beta. Pour obtenir le retour ou la réponse la plus rapide possible sans oscillations (qui allongeraient le temps de réponse et risqueraient de fausser les mesures), le système doit être réglé dans le régime critique (\Delta = 0). La relation cherchée est donc :

b) Pour 0 \le t \le \tau, la force est constante et vaut F(t) = F_0. L'équation différentielle de Q6 devient :

• Une solution particulière constante est :

  Z_p = \frac{F_0}{M \beta} = \frac{F_0}{k} \quad \left(\text{car } \beta = \frac{k}{M}\right)

• La solution générale de l'équation homogène en régime critique (racine double r = -\gamma/2) est :

  Z_h(t) = (A + B t) \,\mathrm{e}^{-\gamma t / 2}

La solution complète s'écrit donc :

Les conditions initiales imposent que la platine est au repos à sa position d'équilibre à t = 0^- :

On en déduit l'expression de la réponse de la platine pour 0 \le t \le \tau :

c) Pour réaliser Z(\tau) \approx \dfrac{F_0}{k}, il faut que le terme transitoire soit devenu négligeable à l'instant t = \tau, soit :

Le temps de réponse propre du disdromètre est alors très court devant la durée \tau de l'impact de la goutte.

Exprimons alors F_0 en fonction de D. D'après l'expression donnée :

En utilisant \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)} (d'après Q7) :

Comme v_{\lim}(D) = K \sqrt{D}, il vient v_{\lim}^2(D) = K^2 D, d'où :

Avec la masse de la goutte m(D) = \rho \dfrac{\pi D^3}{6} (d'après Q1), la force maximale s'écrit :

Par conséquent, à t = \tau :

d) Pour 0 \le t \le \tau, Z(t) croît depuis 0 avec une tangente horizontale et atteint un palier de valeur F_0/k. Pour t > \tau, F(t) = 0 : le système retourne vers sa position d'équilibre Z = 0 selon le régime critique libre (décroissance apériodique).

e) La valeur maximale atteinte par le déplacement de la platine au cours de l'impact est :

La mesure expérimentale de l'amplitude Z_{\max} permet donc de déterminer directement le diamètre D de la goutte par la relation :

On repère l'espace en coordonnées cartésiennes (x,y,z), le plan infini chargé étant situé en z = e/2 et parallèle au plan (Oxy).

1. Invariances : La distribution de charge surfacique est uniforme et infinie dans le plan z = e/2. Elle est donc invariante par toute translation selon \vec{e}_x et selon \vec{e}_y :

Le champ électrique ne dépend que de la seule coordonnée z.

2. Symétries : Soit M(x, y, z) un point quelconque de l'espace.

• Le plan \Pi_{1} passant par M et dirigé par (\vec{e}_x, \vec{e}_z) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Par conséquent, \vec{E}(M) \in \Pi_{1}.
• Le plan \Pi_{2} passant par M et dirigé par (\vec{e}_y, \vec{e}_z) est également un plan de symétrie de la distribution de charges. Par conséquent, \vec{E}(M) \in \Pi_{2}.

Le champ électrique appartient à l'intersection de ces deux plans de symétrie sécants selon la droite (M, \vec{e}_z) :

En combinant symétries et invariances, le champ électrique en tout point M(x,y,z) s'écrit :

De plus, le plan z = e/2 étant lui-même un plan de symétrie de la distribution, la composante E_z est impaire par rapport à z = e/2, soit :

Énoncé du théorème de Gauss :
Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée orientée vers l'extérieur \mathcal{S}_G est égal au quotient de la charge électrique totale Q_{\text{int}} contenue dans le volume délimité par \mathcal{S}_G par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

Calcul du champ électrostatique :
Le plan infini situé en z = e/2 porte une charge Q répartie uniformément sur une surface S, soit une densité surfacique de charge uniforme :

On choisit comme surface de Gauss \mathcal{S}_G un cylindre fermé d'axe vertical (Oz), de section droite d'aire \mathcal{A}, dont les bases planes sont situées symétriquement par rapport au plan z = e/2, aux cotes z_2 = e/2 + u et z_1 = e/2 - u (avec u > 0).

Le flux de \vec{E} à travers cette surface fermée se décompose en :

• Le flux à travers la surface latérale : en tout point de cette surface, le vecteur normal extérieur unitaire est orthogonal à \vec{e}_z. D'après la question précédente, \vec{E} = E_z(z)\,\vec{e}_z, donc \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{lat}} = 0, et le flux latéral est nul.

• Le flux à travers la base supérieure (z = e/2 + u) : la normale unitaire sortante est +\vec{e}_z, d'où :

  \Phi_{\text{sup}} = \iint \vec{E}\left(\frac{e}{2}+u\right) \cdot (\vec{e}_z\,\mathrm{d}S) = E_z\left(\frac{e}{2}+u\right) \mathcal{A}

• Le flux à travers la base inférieure (z = e/2 - u) : la normale unitaire sortante est -\vec{e}_z. En utilisant la relation d'antisymétrie E_z(e/2 - u) = - E_z(e/2 + u) :

  \Phi_{\text{inf}} = \iint \vec{E}\left(\frac{e}{2}-u\right) \cdot (-\vec{e}_z\,\mathrm{d}S) = - E_z\left(\frac{e}{2}-u\right) \mathcal{A} = E_z\left(\frac{e}{2}+u\right) \mathcal{A}

Le flux total s'écrit donc :

La charge contenue à l'intérieur de \mathcal{S}_G est la charge découpée par le cylindre sur le plan z = e/2 :

D'après le théorème de Gauss :

Par conséquent, le champ électrique créé en tout point de l'espace par cette distribution s'écrit :

ce qui peut également s'écrire sous forme condensée :

D'après la question Q10, le plan supérieur situé en z = e/2, portant la charge +Q (densité surfacique \sigma = Q/S > 0), crée en tout point M(z) tel que z < e/2 le champ électrique :

De même, l'électrode inférieure située en z = -e/2 porte la charge -Q, correspondant à la densité surfacique -\sigma = -Q/S. En un point situé au-dessus de ce plan (z > -e/2), le champ qu'elle crée s'écrit :

Par application du principe de superposition, le champ électrostatique total entre les deux électrodes (-e/2 < z < e/2) dans le vide est la somme de ces deux contributions :

Dans le matériau piézoélectrique de permittivité diélectrique \varepsilon, on remplace \varepsilon_0 par \varepsilon selon la prescription de l'énoncé :

D'après la question Q11, le champ électrique régnant dans le matériau piézoélectrique d'épaisseur e est uniforme et s'écrit :

La différence de potentiel u(t) = V(e/2) - V(-e/2) entre l'électrode positive et l'électrode négative vaut donc :

La tension u(t) est ainsi proportionnelle à la charge Q(t) (le capteur se comporte comme un condensateur plan de capacité C = \frac{\varepsilon S}{e}).

L'énoncé indique que la charge Q(t) est proportionnelle à la force F(t), ce qui implique :

Pendant la durée de l'impact (0 < t < \tau), la modélisation de la page 5 donne :

Or :

• la masse de la goutte sphérique est m(D) = \rho \dfrac{\pi D^3}{6} ;
• la durée de l'impact est modélisée par \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)} (question Q7) ;
• la vitesse limite s'écrit v_{\lim}(D) = K\sqrt{D} (question Q3).

En injectant l'expression de \tau(D), le rapport d'accélération moyenne devient :

Ce terme est donc rigoureusement indépendant du diamètre D. Il en résulte :

Puisque u(t) \propto Q(t) \propto F(t), on en déduit que pendant le choc :