Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2023

L'énergie potentielle d'interaction de Morse est donnée par :

Dérivons cette fonction par rapport à la variable x :

À la position d'équilibre x_{\text{éq}}, la force dérivant de l'énergie potentielle s'annule :

Puisque a > 0 et V_o > 0, l'unique solution est :

De plus, V(x_o) = 0 et V(x) \geqslant 0 pour tout x, ce qui assure qu'il s'agit bien d'un minimum d'énergie potentielle (équilibre stable).

La position s'écrit x = x_o + \varepsilon avec |\varepsilon| \ll x_o. Développons le terme exponentiel à l'ordre 1 en \varepsilon :

En injectant ce développement dans l'expression du potentiel de Morse :

Puis en élevant au carré, le terme dominant est directement d'ordre 2 :

L'énergie potentielle au second ordre en \varepsilon s'écrit donc :

La force d'interaction conservative dérivant de cette énergie potentielle s'obtient par dérivation par rapport à \varepsilon :

Cette force est de la forme F = -k\varepsilon, caractéristique d'une force de rappel élastique exercée par un ressort de longueur à vide x_o et de constante de raideur :

Dans le référentiel galiléen d'étude, appliquons le principe fondamental de la dynamique à la particule de masse m soumise à la force de rappel élastique F = -k\varepsilon établie à la question Q2 :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique linéaire non amorti. La pulsation propre des oscillations \omega_o s'identifie immédiatement :

En utilisant l'expression de la raideur k = 2V_oa^2 obtenue à la question Q2, on a :

La forme générale du mouvement s'écrit :

La vitesse s'en déduit par dérivation temporelle :

La condition sur la vitesse initiale donne \dot{\varepsilon}(0) = \omega_o B = 0, soit B = 0. La condition sur la position initiale donne \varepsilon(0) = A = \beta. La loi horaire du déplacement s'écrit donc :

La période temporelle des oscillations associées est notée T_0 = \frac{2\pi}{\omega_o}.

L'énergie potentielle de Morse et son approximation harmonique au second ordre obtenue à la question Q2 s'écrivent respectivement :

Les caractéristiques principales de ces deux fonctions sont les suivantes :

• À l'équilibre (x = x_o) : les deux potentiels s'annulent (V(x_o) = V_{\text{harm}}(x_o) = 0) et admettent un minimum avec une tangente horizontale (\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}(x_o) = 0). Au voisinage immédiat de x_o, la parabole osculatrice et la courbe de Morse se confondent au second ordre en (x - x_o).

• À grande distance (x \to +\infty) :

  • Le potentiel de Morse tend vers une asymptote horizontale : \lim_{x\to +\infty} V(x) = V_o. Cette valeur correspond à l'énergie de dissociation de la molécule.
  • L'approximation harmonique diverge vers +\infty : \lim_{x\to +\infty} V_{\text{harm}}(x) = +\infty.

• À courte distance (x < x_o) :

  • Le potentiel de Morse présente une répulsion très raide (croissance exponentielle due au recouvrement des nuages électroniques et à la répulsion internucléaire).
  • L'approximation harmonique est symétrique par rapport à la verticale x = x_o.

À l'instant initial t = 0, la chaîne infinie est au repos, ce qui signifie que chaque masse se trouve à sa position d'équilibre.

La distance entre deux masses consécutives à l'équilibre est constante et égale à a, et l'origine de l'axe (Ox) est choisie à la position de la masse d'indice n = 0. La position initiale (qui est également la position d'équilibre) de la n^{\text{ième}} masse s'écrit donc :

Par définition, u_n(t) représente le déplacement algébrique de la n^{\text{ième}} masse par rapport à sa position d'équilibre x_n(0) = na. On en déduit :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la n^{\text{ième}} masse de masse m, repérée par sa position x_n(t) le long de l'axe (Ox), dans le référentiel galiléen du laboratoire.

La masse n est soumise aux forces de rappel exercées par :

• le ressort de gauche, reliant la masse n-1 à la masse n, de longueur instantanée x_n - x_{n-1} et de longueur à vide \ell_0 = a :

  \vec{F}_{n-1 \to n} = -k\left[(x_n - x_{n-1}) - a\right]\vec{u}_x

• le ressort de droite, reliant la masse n à la masse n+1, de longueur instantanée x_{n+1} - x_n et de longueur à vide \ell_0 = a :

  \vec{F}_{n+1 \to n} = +k\left[(x_{n+1} - x_n) - a\right]\vec{u}_x

En sommant ces deux forces selon l'axe (Ox), les termes constants a s'annulent :

D'après la relation établie à la question Q5, la position s'écrit x_n(t) = na + u_n(t). Par dérivation temporelle, on a :

De plus, la combinaison des positions s'exprime directement en fonction des écarts u_n :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur (Ox) donne alors :

En introduisant la pulsation propre \omega_o = \sqrt{\frac{k}{m}} définie à la question Q3, il vient :

Par identification avec la relation proposée, on en déduit :

La grandeur physique réelle associée à la notation complexe est la partie réelle de \underline{u_n}(t) :

• Caractère harmonique : Pour chaque masse n, l'évolution temporelle du déplacement est purement sinusoïdale à la pulsation unique \omega. L'onde est donc bien harmonique (ou monochromatique).
• Signification de U_o : U_o est l'amplitude de vibration (déplacement maximal des masses par rapport à leur position d'équilibre).
• Signification de \omega : \omega est la pulsation temporelle (ou pulsation angulaire) de l'onde, liée à la période temporelle T et à la fréquence f par \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f.

D'après l'expression de l'onde proposée par l'énoncé :

La condition de périodicité spatiale \underline{u_p(t)} = \underline{u_n(t)} pour deux masses p > n se traduit par :

La distance au repos séparant ces deux masses est :

La longueur d'onde \lambda est définie comme la plus petite distance au repos non nulle séparant deux masses vibrant en phase, ce qui correspond à k = 1 :

Puisque \lambda est un multiple entier de la distance interatomique au repos (\lambda = (p-n)a), cela s'écrit également :

On en déduit que q représente le nombre d'onde (ou la norme du vecteur d'onde) associé à la propagation de l'onde dans le réseau discret :

D'après la question Q6 (avec \alpha = 2), l'équation du mouvement de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

En notation complexe, en posant \underline{u_n}(t) = U_o \exp(i(\omega t - qna)), les grandeurs nécessaires valent :

En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement et en simplifiant par \underline{u}_n(t) \neq 0, on obtient :

D'après la formule de duplication rappelée dans le formulaire (\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)), on a :

On en déduit immédiatement la relation de dispersion demandée :

Puisque \omega > 0 et \omega_o > 0, on a de manière générale \omega(q) = 2\omega_o \left| \sin\frac{qa}{2} \right|.
Sur l'intervalle prescrit q \in \left[0, \frac{2\pi}{a}\right], on a \frac{qa}{2} \in [0, \pi], d'où \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \ge 0. L'expression se simplifie donc en :

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• pour q = 0 : \omega(0) = 0, avec une tangente de pente \left.\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}\right|_{q=0} = \omega_o a ;
• pour q = \frac{\pi}{a} : \omega atteint un maximum égal à \omega_{\max} = 2\omega_o, avec une tangente horizontale ;
• pour q = \frac{2\pi}{a} : \omega\left(\frac{2\pi}{a}\right) = 0, avec une tangente de pente -\omega_o a.

1. Vitesse de phase

• Définition : Pour une composante harmonique de pulsation \omega et de nombre d'onde q, la vitesse de phase est définie par :

  \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{q}}
• Signification physique : Elle correspond à la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase (ou fronts d'onde), c'est-à-dire à la vitesse apparente de translation des crêtes et des creux de la sinusoïde.
• Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q) établi à la question Q9, la vitesse de phase v_\varphi associée au point (q, \omega(q)) est égale à la pente de la droite sécante joignant l'origine (0,0) au point de fonctionnement (q, \omega(q)).

2. Vitesse de groupe

• Définition : Pour un groupe d'ondes ou un paquet d'ondes centré autour du nombre d'onde q, la vitesse de groupe est définie par :

  \boxed{v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}}
• Signification physique : Elle représente la vitesse à laquelle se déplace l'enveloppe du paquet d'ondes. Dans un milieu transparent ou peu absorbant, elle correspond à la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information (ou signal).
• Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q), la vitesse de groupe v_g est égale à la pente de la tangente à la courbe de dispersion au point d'abscisse q.

D'après la question Q9, la relation de dispersion pour une onde se propageant dans le sens des x croissants s'écrit :

La vitesse de phase associée est donc :

La vitesse de phase dépend du nombre d'onde q (et donc de la pulsation \omega), ou de façon équivalente v_g \neq v_\varphi :

Pour qu'une onde se propage sans amortissement, le nombre d'onde q doit être réel. La relation de dispersion impose :

Pour q \in \mathbb{R}, la fonction sinus est bornée par 1. La pulsation \omega étant strictement positive d'après l'énoncé, l'existence d'une solution réelle q nécessite :

La condition sur \omega s'écrit donc :

Les ondes de pulsation inférieure ou égale à la pulsation de coupure \omega_c = 2\omega_o peuvent se propager dans la chaîne, tandis que les ondes de pulsation supérieure à \omega_c sont spatialement atténuées (ondes évanescentes car q possède une partie imaginaire non nulle).

La chaîne d'oscillateurs constitue ainsi un :

de pulsation de coupure \omega_c = 2\omega_o.

D'après les questions Q9 et Q10, pour q \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right], la pulsation s'écrit \omega(q) = 2\omega_o \sin\left(\frac{qa}{2}\right). Les vitesses de phase et de groupe valent donc :

1. Cas des grandes longueurs d'onde : q \ll \frac{\pi}{a} Dans cette limite, on a \frac{qa}{2} \ll 1. Au premier ordre :

On obtient ainsi :

Nature de l'onde : Comme v_g \approx v_\varphi = \text{cte}, la dispersion est négligeable : il s'agit d'une onde progressive non dispersive (branche acoustique du réseau). Les perturbations se propagent sans déformation à la vitesse du son dans le milieu c_s = \omega_o a = a\sqrt{\frac{k}{m}}.

2. Cas limite de coupure : q = \frac{\pi}{a} Pour q = \frac{\pi}{a}, l'argument vaut \frac{qa}{2} = \frac{\pi}{2}. Par conséquent :

Nature de l'onde : Puisque la vitesse de groupe s'annule (v_g = 0), l'onde ne transporte aucune énergie le long de la chaîne : il s'agit d'une onde stationnaire. En effet, pour q = \frac{\pi}{a}, le déplacement de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

Les masses consécutives oscillent en opposition de phase parfaite sans transfert net de quantité de mouvement ni d'énergie.

Le potentiel de Lennard-Jones s'écrit sous la forme :

La force d'interaction entre les deux atomes dérive de cette énergie potentielle :

• Le terme en -\dfrac{B}{x^6} (terme attractif) :
  Il correspond à une force attractive (F_{\text{att}} < 0) prépondérante à moyenne et longue distances. Il modélise les interactions attractives interatomiques de type van der Waals, plus particulièrement les forces de dispersion de London (interactions dipôle induit – dipôle induit).
• Le terme en +\dfrac{A}{x^{12}} (terme répulsif) :
  Il correspond à une force répulsive (F_{\text{rép}} > 0) fortement divergente à courte distance (x \to 0). Il modélise la répulsion stérique due à l'interpénétration des nuages électroniques et au principe d'exclusion de Pauli (deux électrons ne peuvent occuper le même état quantique), à laquelle s'ajoute la répulsion électrostatique entre les noyaux atomiques.

L'énergie potentielle d'interaction de Lennard-Jones s'écrit :

La position d'équilibre x = a correspond à l'annulation de la force conservative associée, soit à un extremum de l'énergie potentielle :

Calculons la dérivée première de V(x) :

En x = a, cette condition impose :

En réinjectant cette expression de A dans V(x), on obtient :

On identifie alors la forme demandée en posant :

et l'expression de V(x) s'écrit bien :

Posons la variable adimensionnée u = \frac{x}{a}. Les trois fonctions à identifier s'écrivent :

• f_1(u) = \frac{V(x)}{\Theta_o} = \left(\frac{a}{x}\right)^{12} - 2\left(\frac{a}{x}\right)^6 = u^{-12} - 2u^{-6} ;
• f_2(u) = \left(\frac{a}{x}\right)^{12} = u^{-12} ;
• f_3(u) = 2\left(\frac{a}{x}\right)^6 = 2u^{-6}.

Évaluons ces grandeurs pour la position d'équilibre u = 1 (soit x = a) :

En observant le graphique et en suivant les lignes de rappel :

• La flèche de la Courbe 1 pointe vers le fond du puits de potentiel, où la fonction atteint son minimum négatif d'ordonnée -1 en \frac{x}{a} = 1. Il s'agit donc du potentiel de Lennard-Jones réduit.
• La flèche de la Courbe 2 pointe vers la courbe passant par l'ordonnée 1 en \frac{x}{a} = 1, qui décroît très rapidement vers zéro pour x > a : c'est le terme répulsif.
• La flèche de la Courbe 3 pointe vers la courbe passant par l'ordonnée 2 en \frac{x}{a} = 1 : c'est le terme attractif (en valeur absolue).

On en déduit l'identification :

Soit \varepsilon = x - a l'écart à la position d'équilibre, avec |\varepsilon| \ll a. Posons la variable sans dimension \eta = \frac{\varepsilon}{a} \ll 1.

L'énergie potentielle issue de la question Q14 s'écrit :

En utilisant le développement limité (1 + \eta)^\alpha = 1 + \alpha\eta + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\eta^2 + o(\eta^2) au second ordre :

En combinant ces deux termes :

Sous la forme canonique d'une énergie potentielle harmonique V(x) = V(a) + \frac{1}{2}k\varepsilon^2, on identifie :

soit :

La force d'interaction entre les deux atomes s'en déduit selon :

Il s'agit bien de la force exercée par un ressort linéaire de raideur k et de longueur à vide a.

D'après la question Q16, la constante de raideur équivalente est donnée par :

En convertissant la profondeur du puits de potentiel en joules à l'aide de la charge élémentaire e \approx 1,60 \cdot 10^{-19}\text{ C} :

L'application numérique donne :

Avec deux chiffres significatifs, on obtient :

D'après la question Q3, la pulsation propre associée à la particule de masse m est :

Avec m = 1,0 \cdot 10^{-25}\text{ kg} et la valeur non arrondie de k :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

D'après l'expression complexe donnée entre les questions Q6 et Q7, le déplacement réel de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

La vitesse de cet atome à l'instant t est obtenue par dérivation temporelle :

L'énergie cinétique instantanée de l'atome indicé par n est donc :

En prenant la valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}, et sachant que la moyenne temporelle d'un sinus au carré vaut \frac{1}{2} :

On obtient ainsi :

Cette valeur moyenne temporelle est strictement indépendante de l'indice n de l'atome (invariance par translation dans le milieu infini). Par linéarité de la moyenne, l'énergie cinétique moyenne pour un ensemble de N atomes est la somme des énergies cinétiques moyennes de chacun d'eux :

L'atome n est relié à ses deux plus proches voisins :

• à l'atome n+1 par un ressort de raideur k, dont l'allongement par rapport à l'équilibre est \Delta \ell_{n,n+1} = u_{n+1}(t) - u_n(t) ;
• à l'atome n-1 par un ressort de raideur k, dont l'allongement est \Delta \ell_{n-1,n} = u_n(t) - u_{n-1}(t).

L'énergie potentielle élastique associée aux interactions de l'atome n avec ses voisins s'écrit de manière instantanée :

Le mouvement étant harmonique, les grandeurs réelles s'expriment à partir des amplitudes complexes associées : u_n(t) = \mathrm{Re}(\underline{u}_n(t)). Pour tout signal sinusoïdal s(t) = \mathrm{Re}(\underline{s}_0 e^{i\omega t}) = S_0 \cos(\omega t + \varphi), la valeur moyenne temporelle du carré vaut :

En appliquant ce résultat aux deux termes d'allongement :

En injectant ces moyennes temporelles dans l'expression de \langle E_p \rangle, il vient :

L'onde se propageant dans la chaîne s'écrit sous forme complexe :

Calculons les écarts relatifs entre atomes voisins :

En utilisant la factorisation par l'arc moitié :

Le carré du module de ces deux termes vaut donc :

D'après la formule de l'énergie potentielle moyenne établie à la question Q19 :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q9, on a :

En reportant cette relation dans l'expression de \langle E_p \rangle, il vient :

Remarque sur la modélisation : Si l'on tient compte du fait que l'énergie potentielle de chaque ressort reliant deux atomes doit être partagée pour moitié entre chacun d'eux (ou si l'on applique strictement le théorème du viriel à une onde progressive harmonique), l'énergie potentielle moyenne par atome vaut :

D'après les questions Q18 et Q20, l'énergie mécanique totale moyenne d'un atome vibrant selon la direction (Ox) s'écrit :

D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, pour un système classique à l'équilibre thermodynamique à la température T, chaque terme quadratique indépendant dans l'hamiltonien apporte en moyenne une contribution égale à \frac{1}{2}k_B T :

• le degré de liberté de translation selon (Ox) (terme cinétique \frac{1}{2}m\dot{u}^2) apporte \langle E_c \rangle = \frac{1}{2}k_B T ;
• l'interaction harmonique (terme d'énergie potentielle élastique) apporte \langle E_p \rangle = \frac{1}{2}k_B T.

L'énergie moyenne d'un oscillateur selon un axe est donc :

Selon les hypothèses de l'énoncé, « les trois dimensions de l'espace sont découplées et l'étude sera faite sur l'une d'elles selon le modèle d'un cristal à une dimension ». Chaque atome du cristal 3D effectue ainsi des vibrations indépendantes selon les trois directions de l'espace (Ox, Oy, Oz), portant son énergie moyenne de vibration à :

Pour un cristal constitué de N atomes (soit n = \frac{N}{N_A} moles), en prenant l'énergie du cristal au repos à T=0\text{ K} comme référence (U(0) = 0), l'énergie interne thermique s'écrit :

Remarque : si l'on ne considère strictement que le modèle unidimensionnel à N atomes, l'énergie interne s'écrirait \boxed{U(T) = N k_B T = n R T}.

D'après la question Q9, la pulsation \omega et le nombre d'onde q sont reliés sur la première zone de Brillouin (q \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right]) par :

En utilisant la relation entre le nombre d'onde et la longueur d'onde issue de la question Q8, q = \frac{2\pi}{\lambda}, il vient :

Pour q \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right], on a \frac{\pi a}{\lambda} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], d'où par inversion de la fonction sinus :

L'expression exacte de la longueur d'onde est donc :

Pour f = 500\text{ kHz}, la pulsation vaut \omega = 2\pi f \approx 3,14 \cdot 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. Avec la valeur \omega_0 \approx 1,7 \cdot 10^{13}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} calculée en Q17, on a :

On peut donc effectuer un développement limité au premier ordre \arcsin(x) \approx x :

Application numérique :

Commentaire : On constate que la longueur d'onde calculée est macroscopique et immensément grande devant la distance interatomique :

À cette échelle, l'onde ultrasonore ne « voit » pas la structure discrète du réseau cristallin : les variations spatiales du déplacement u_n(t) d'une masselotte à la suivante sont infimes. Cela justifie pleinement le passage à la limite continue a \to 0 (approximation acoustique), dans laquelle le cristal se comporte comme un milieu élastique continu régi par l'équation de d'Alembert.

L'équation de propagation établie dans l'approximation des milieux continus s'écrit sous la forme canonique de l'équation d'onde de d'Alembert :

Par identification directe avec l'équation fournie par l'énoncé :

on en déduit l'expression de la célérité c de l'onde dans le cristal :

Cette célérité est indépendante de la fréquence tant que \lambda \gg a (domaine acoustique non dispersif, où la vitesse de phase coïncide avec la vitesse de groupe déterminée à la question Q12).

Application numérique : Avec a = 2,0 \cdot 10^{-10}\text{ m} et \omega_o \approx 1,70 \cdot 10^{13}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} (calculé à la question Q17) :

Comme la distance entre les armatures est très faible devant leurs dimensions (d \ll \sqrt{S}), on néglige les effets de bord et on modélise les deux plaques par des plans infinis parallèles à (xOy), situés en z = 0 et z = d.

Direction du champ électrique :

• Invariances : La distribution de charges est invariante par toute translation parallèlement au plan (xOy). Par conséquent, le champ électrique ne dépend ni de x ni de y :

  \vec{E}(M) = \vec{E}(z)

• Symétries : En tout point M, les plans (M, \vec{u}_x, \vec{u}_z) et (M, \vec{u}_y, \vec{u}_z) sont des plans de symétrie de la distribution de charges. Le vecteur champ électrique en M appartient nécessairement à chacun de ces plans de symétrie, donc à leur intersection, qui est la droite (M, \vec{u}_z) :

  \vec{E}(M) = E(z)\,\vec{u}_z

Expression du champ électrique pour 0 < z < d :

L'armature supérieure (en z = d) porte la densité surfacique \sigma_{\text{air}} = \sigma_o > 0, tandis que le sol (en z = 0) porte -\sigma_o. D'après le théorème de Gauss, un plan infini portant une densité surfacique uniforme \sigma crée un champ électrique \vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\vec{n}_{\text{ext}}, où \vec{n}_{\text{ext}} est le vecteur unitaire normal sortant du plan.

Dans l'espace compris entre les armatures (0 < z < d) :

• le plan supérieur en z = d crée un champ \vec{E}_+ = -\dfrac{\sigma_o}{2\varepsilon_o}\,\vec{u}_z ;
• le plan inférieur en z = 0 crée un champ \vec{E}_- = -\dfrac{\sigma_o}{2\varepsilon_o}\,\vec{u}_z (car \sigma_{\text{sol}} = -\sigma_o et le vecteur normal sortant est +\vec{u}_z).

Par le principe de superposition :

Le champ est donc uniforme entre les armatures, et sa composante algébrique E selon \vec{u}_z vaut :

En électrostatique, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire selon la relation :

Compte tenu de la géométrie unidimensionnelle du problème, \vec{E} = E \vec{u}_z avec E = -\frac{\sigma_o}{\varepsilon_o} (résultat établi en Q24), la projection sur l'axe vertical (Oz) donne :

Le champ étant uniforme entre les deux armatures, on intègre cette relation entre le sol (z = 0) où U(0) = U_{\text{sol}} = 0 et la couche d'air (z = d) où U(d) = U_{\text{air}} = U_o :

On en déduit l'expression de la différence de potentiel U_o :

D'après la relation entre potentiel et champ électrique établie à la question Q25, le champ électrique régnant entre le sol et la couche d'air chargée s'écrit :

La composante algébrique du champ électrique selon l'axe vertical ascendant (Oz) vaut donc :

Application numérique :

Le champ est dirigé verticalement vers le bas, avec une norme de :

D'après le résultat de la question Q25, la densité surfacique de charge \sigma_o sur la nappe d'air supérieure s'exprime par :

Avec \varepsilon_o = 8,85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}, U_o = 1,0 \cdot 10^5\text{ V} et d = 5,0\text{ m} :

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

Le claquage diélectrique de l'air (formation d'un arc électrique ou d'un éclair) se produit lorsque la norme du champ électrique dépasse le champ disruptif du milieu :

D'après le résultat de la question Q26, le champ électrique régnant entre le sol et la couche d'air chargée vaut :

En comparant cette valeur au champ disruptif fourni :

soit un champ environ 180 fois inférieur au seuil d'ionisation de l'air.

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (basse fréquence), la relation entre le champ électrique et le potentiel scalaire reste la même qu'en régime statique :

Le potentiel varie linéairement entre le sol (z = 0, V(0,t) = U_{\text{sol}} = 0) et la couche supérieure (z = d, V(d,t) = U_{\text{air}}(t) = U_o \cos(\omega t)) :

Le champ électrique s'en déduit immédiatement :

Par identification avec la forme \vec{E} = E_o \cos(\omega t)\,\vec{u}_z, on obtient :

Dans un milieu quelconque caractérisé par une densité volumique de charge \rho et un vecteur densité volumique de courant \vec{j}, le champ électromagnétique (\vec{E}, \vec{B}) vérifie les quatre équations de Maxwell locales :

• Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}

• Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \mu_0 \vec{j} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

où \varepsilon_0 est la permittivité diélectrique du vide, \mu_0 la perméabilité magnétique du vide, et c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} la célérité de la lumière dans le vide. Le terme \vec{j}_d = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} représente la densité de courant de déplacement de Maxwell.

1. Existence du champ magnétique \vec{B}

Entre les armatures du condensateur, le milieu est assimilé au vide, il n'y a donc pas de courant de conduction (\vec{j} = \vec{0}). En revanche, le champ électrique dépend du temps d'après la question Q28 :

D'après l'équation de Maxwell-Ampère établie en Q29 :

Le rotationnel de \vec{B} étant non nul, un champ magnétique \vec{B} variable dans le temps est nécessairement induit par le courant de déplacement (la variation temporelle du champ électrique).

2. Symétries et invariances

On se place en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe (Oz) :

• Invariances : le système présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). La distribution des charges et le courant de déplacement sont invariants par toute rotation d'angle \theta autour de cet axe. Par conséquent, les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de la coordonnée angulaire \theta :

  \vec{B}(M,t) = \vec{B}(r, z, t)
• Symétries : considérons le plan méridien \Pi_s = (M, \vec{e}_r, \vec{u}_z) passant par le point M(r,\theta,z) et contenant l'axe (Oz). Ce plan contient le vecteur \vec{u}_z, donc le vecteur courant de déplacement \vec{j}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est contenu dans \Pi_s. Ainsi, \Pi_s est un plan de symétrie pour la distribution des sources du champ magnétique.

Le champ magnétique étant un vecteur axial (ou pseudovecteur), en tout point d'un plan de symétrie des sources, le champ magnétique est orthogonal à ce plan :

On en déduit l'expression recherchée :

Dans l'espace entre les armatures, le milieu est assimilé au vide : il ne contient pas de charges libres en mouvement, d'où une densité volumique de courant de conduction nulle :

D'après la question Q29, l'équation de Maxwell-Ampère locale se réduit alors à :

Considérons un contour fermé orienté C situé dans l'espace entre les armatures et s'appuyant sur une surface ouverte S, orientée conformément à la règle de la main droite (ou du tire-bouchon). En appliquant le théorème de Stokes-Ampère rappelé dans le formulaire :

La surface S étant géométriquement fixe au cours du temps, la dérivation temporelle commute avec l'intégration spatiale :

On obtient bien la forme intégrale demandée :

avec :

• \displaystyle \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_o \mu_o}}} la célérité de la lumière dans le vide ;
• \displaystyle \boxed{\Phi_{\vec{E}} = \iint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}} le flux du champ électrique à travers une surface ouverte S s'appuyant sur le contour C, le vecteur élément de surface \mathrm{d}\vec{S} étant orienté selon la règle de la main droite par rapport au sens de parcours du contour C.

Une particule de charge électrique q, plongée dans un champ électrostatique dérivant d'un potentiel U(r), possède une énergie potentielle électrostatique E_p définie à une constante additive près par :

En choisissant l'origine des potentiels et de l'énergie potentielle à l'infini (U(r\to\infty) = 0 \implies E_p(r\to\infty) = 0), l'énergie potentielle d'une charge q = e située à la distance r de l'origine s'écrit :

À l'équilibre thermodynamique à la température T, la distribution spatiale des particules suit la loi de Maxwell-Boltzmann : la densité volumique locale de probabilité de présence est proportionnelle au facteur de Boltzmann \exp\left(-\frac{E_p}{k_B T}\right).

Pour un ion \mathrm{X}^+ de charge q = +e, l'énergie potentielle électrostatique en un point où règne le potentiel U(r) vaut (d'après la question Q32) :

La densité volumique d'ions s'écrit donc :

Loin de l'ion central (r \to \infty), le potentiel électrostatique s'annule (U \to 0) et le plasma retrouve sa densité volumique moyenne non perturbée n_e. Par continuité :

D'où l'expression exacte de la densité d'ions :

La notion de « très haute température » signifie que l'agitation thermique domine largement l'énergie d'interaction électrostatique, ce qui se traduit par l'inégalité :

Sous cette condition, on peut effectuer un développement limité au premier ordre de l'exponentielle (\mathrm{e}^x \underset{x \to 0}{=} 1 + x + o(x)), ce qui conduit directement à :

Les électrons portent une charge électrique q_e = -e. L'énergie potentielle électrostatique d'un électron situé en un point où règne le potentiel U(r) vaut donc :

À l'équilibre thermodynamique à la température T, la distribution de Boltzmann donne la densité volumique locale d'électrons :

où n_e est la densité volumique uniforme d'électrons loin du centre (U \to 0).

Dans la même approximation de « haute température » qu'à la question Q33, c'est-à-dire pour e|U| \ll k_B T, un développement limité au premier ordre donne directement :

D'après les questions Q33 et Q34, dans l'approximation de haute température (|eU| \ll k_B T), les densités volumiques d'ions et d'électrons s'écrivent :

Ce sont deux fonctions affines de la variable U :

• Pour U = 0 : n_+(0) = n_-(0) = n_e (plasma neutre non perturbé).
• La fonction U \mapsto n_+(U) est une droite décroissante de pente négative -\dfrac{n_e e}{k_B T}.
• La fonction U \mapsto n_-(U) est une droite croissante de pente positive +\dfrac{n_e e}{k_B T}.

La densité volumique totale de charge \rho(r) en un point M situé à la distance r de l'origine s'écrit en sommant les contributions des ions X^+ (charge +e) et des électrons libres (charge -e) :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q33 et Q34 :

on obtient la densité de charge nette :

L'équation locale de Maxwell-Gauss \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, combinée à la relation \vec{E} = -\vec{\mathrm{grad}}\,U et à l'identité \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}\,U) = \Delta U, donne l'équation de Poisson :

Dans ce milieu, elle s'écrit donc :

Par symétrie sphérique du problème autour de l'ion central, le potentiel ne dépend que de la distance radiale r : U = U(r). D'après le formulaire fourni, l'expression du laplacien scalaire en coordonnées sphériques se réduit pour une fonction radiale à :

L'équation différentielle à laquelle obéit U(r) est par conséquent :

que l'on peut également écrire sous la forme compacte :

D'après les résultats de la question Q36, l'équation de Poisson régissant le potentiel électrostatique à symétrie sphérique U(r) s'écrit :

En utilisant l'expression du laplacien scalaire en coordonnées sphériques fournie dans le formulaire pour une fonction ne dépendant que de la variable radiale r :

En introduisant la fonction auxiliaire Z(r) = r U(r), il vient directement :

L'équation de Poisson devient ainsi, pour tout r > 0 :

Cette équation différentielle est bien de la forme recherchée :

avec la constante \lambda_D définie positivement par :

L'équation différentielle établie à la question précédente est :

L'équation caractéristique associée, r_c^2 - \frac{1}{\lambda_D^2} = 0, admet pour racines r_c = \pm \frac{1}{\lambda_D}. La solution générale s'écrit donc :

d'où, pour r \neq 0 :

Déterminons les constantes d'intégration à l'aide des conditions aux limites :

• À l'infini (r \to +\infty) : le plasma étant globalement neutre et non perturbé à grande distance, le potentiel électrostatique doit rester borné et tendre vers zéro : \lim_{r\to+\infty} U(r) = 0. Cela impose nécessairement :

  B = 0

• Au voisinage de l'origine (r \to 0) : lorsque la distance à l'ion X^+ devient très faible devant la distance moyenne entre porteurs (r \ll \lambda_D), l'effet d'écrantage du plasma environnant devient négligeable. Le potentiel perçu doit alors coïncider avec le potentiel coulombien d'une charge ponctuelle +e isolée dans le vide :

  U(r) \underset{r \to 0}{\sim} \frac{e}{4\pi\varepsilon_o r}

  Or, d'après la forme trouvée :

  U(r) = \frac{A}{r}\,\mathrm{e}^{-r/\lambda_D} \underset{r \to 0}{\sim} \frac{A}{r}

  Par identification, il vient :

  A = \frac{e}{4\pi\varepsilon_o}

On en déduit l'expression du potentiel électrique pour r \neq 0, connue sous le nom de potentiel de Debye-Hückel (ou potentiel de Yukawa) :