Facteur de Boltzmann et physique statistique : 180 questions de concours corrigées

Déterminer l'expression de δ v en fonction de T, Mₐ, N_A et k_B. Calculer sa valeur numérique dans des conditions usuelles.

Comparer la densité spectrale U(ν) prévue par le modèle de Rayleigh-Jeans aux données de la figure 3. Expliquer pourquoi l'on parlait de « catastrophe ultraviolette » jusqu'au début du XXème siècle…

Exprimer la probabilité Pₙ(ν) qu'un mode électromagnétique de fréquence ν contienne n photons. On notera Z(β, ν) la fonction de normalisation de la probabilité Pₙ(ν) qui assure que Σₙ₌₀⁺∞ Pₙ(ν) = 1…

En utilisant la condition de normalisation ci-dessus, déterminer l'expression de Z(β, ν). En déduire que Pₙ(ν) = e⁻β ⁿhν(1 - e⁻β hν).

En supposant le gaz d'atomes porté à une température de 1 000 K, établir l'expression de la vitesse quadratique moyenne de ces atomes et l'estimer numériquement.

Rappeler la loi statistique de BOLTZMANN. On notera Z(β) = Σ_j=1p exp (-β ε_j).

Exprimer l'énergie moyenne ε d'une des N particules du milieu en fonction de Z(β) et sa dérivée. En déduire l'expression de l'énergie interne U(β) du système.

Après avoir cité le théorème d'équipartition de l'énergie, établir la valeur de la vitesse quadratique moyenne u d'un atome de masse m à la température T. Indiquer les valeurs manquantes du tableau…

Donner l'expression de p_G(t) et p_D(t) en fonction de E_G(t) et E_D(t), en faisant l'hypothèse que ces probabilités sont proportionnelles au facteur de Boltzmann.

Justifier qu'à "très haute température", n₊ = nₑ ( 1 - eU/(k_B T) ). À quelle inégalité correspond la notion de "haute température" ?

En déduire l'expression de la pression locale P(z) à l'altitude z en fonction de la pression au sol P₀, de la masse molaire M de l'air, de la température T₀, de la constante des gaz parfaits R et de…

En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie, déterminer l'expression de x² , où la notation x désigne la dérivée de x(t) par rapport au temps, composante de la vitesse dans la direction eₓ.

En déduire que la masse volumique ρ du gaz dépend aussi de z et l'exprimer en fonction de P(z). Écrire la condition d'équilibre mécanique pour une tranche de gaz comprise entre les altitudes z et…

Donner la définition de la vitesse quadratique moyenne, notée u. En appliquant le théorème d'équipartition de l'énergie au cas particulier étudié, exprimer u en fonction de m_b, T₀ et k_B.

Donner la définition de la vitesse quadratique moyenne, notée u. Dans le cas particulier de notre étude on montre que m_b u² = k_B T₀, commenter ce résultat.

Exprimer _N, la moyenne statistique sur un grand nombre de configurations de la quantité vectorielle OA_N après N sauts. Commenter.

Donner l'expression de la probabilité P(n) que le système soit dans une configuration où n sites sont occupés, en faisant intervenir Z, gₙ et le facteur de Boltzmann.

Déterminer le profil altimétrique de masse volumique ρₐ(Z) en fonction de ρₐ(0) et d'une hauteur caractéristique H_c que l'on exprimera et dont on calculera la valeur numérique.

À l'équilibre thermodynamique, on sait que la concentration est donnée par la distribution de Boltzmann, c₊ = c_∞ exp (-ψ) où c_∞ est une constante qui représente la concentration d'ions loin de la…

Le mouvement de la particule peut être traité comme celui d'un oscillateur harmonique à l'équilibre avec le gaz environnant à une température T = 300 K. Quel est l'écart-type de l'amplitude du…

Déterminer l'expression du nombre de modes D(ω) par unité de pulsation ω. En déduire l'expression du nombre de modes D(ν) par unité de fréquence ν D(ν) = (8π V)/c³ν², où V est le volume de la cavité.

En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie appliqué au champ électromagnétique contenu dans la cavité en contact avec un thermostat de température fixée T, déterminer l'expression de la…

Établir l'expression du nombre moyen de photons, noté n(ν), contenus dans le mode électromagnétique de fréquence ν. On pourra poser x = e⁻β hν afin de faciliter les calculs.

Calculer l'énergie moyenne E(ν) du mode électromagnétique de fréquence ν. Montrer que la densité spectrale d'énergie moyenne associée U(ν) s'écrit U(ν) = (8πν² V)/c³hν/(eβ hν - 1).

En comparant deux énergies caractéristiques, déterminer les expressions asymptotiques de la densité spectrale d'énergie électromagnétique moyenne d'un mode dans la cavité dans les régimes basse et…

Montrer qu'on peut exprimer, en fonction d'une somme (qu'on ne cherchera surtout pas à calculer), l'écart-type σ_ε associé à la moyenne ε. Quel est l'écart-type σ_U associé ? Que peut-on en en…

Déterminer enfin l'énergie interne U du gaz, en fonction de N et β ; commenter le résultat obtenu et proposer une généralisation dans le cas d'un gaz parfait diatomique.

En exploitant le résultat précédent et la relation d'Einstein (eq equation VI.2) déduire une estimation de la constante de Boltzmann k_B, puis de la constante d'Avogadro. On indiquera précisément…

Déterminer l'expression de Z.

Indiquer la condition que la constante A doit satisfaire. En déduire l'expression de cette constante en fonction de m et du produit k_BT₀.

Exprimer les moyennes u _R³ et E_c = (1/2)mu² _R³ en fonction de k_BT₀. Commenter chacun de ces résultats. Calculer l'ordre de grandeur de u_rms = u² _R³.

En prenant en compte la distribution des vitesses définie par l'équation (3), exprimer le nombre moyen d'atomes sortant de l'enceinte (1), par unité de temps. Nous notons N_1/2 cette grandeur et…

Calculer la valeur moyenne z'² ; commenter, au regard du théorème d'équipartition.

Dans le cadre de la physique statistique, déterminer l'expression de la probabilité p_i pour qu'un oscillateur harmonique décrit par la mécanique quantique possède l'énergie mécanique E_i. On pourra…

En déduire l'expression de l'énergie moyenne d'un oscillateur harmonique E_qs dans le cadre de ce modèle statistique quantique.

Montrer que le déplacement quadratique moyen Δ² (noté MSD sur la figure 6), Δ² = |OA_N|², est proportionnel à la durée Δ t correspondant à N sauts.

On note n le nombre moyen de sites occupés à l'équilibre thermodynamique. Montrer qu'on peut le calculer ainsi : n = 1/ε (∂ ln Z)/(∂ β).

Donner la probabilité P_erreur⁽¹⁾(t) qu'un bit ait subit au moins une commutation accidentelle pendant un temps t.

On revient à une particule de silice de rayon a = 100 nm piégée dans la pince optique. Le long de l'axe (Ox), la position de la bille est en moyenne nulle : x_b = 0. En utilisant le théorème…

On admet que S_V(f) = N S_V_i(f). Déduire de cette relation et de la question précédente, la relation de Johnson Nyquist S_V(f) = 2 k_B T R₀ Commenter l'intérêt de travailler à des basses…

À l'aide d'un bilan sur une section droite de métal située à l'abscisse x, montrer que le flux thermique j_q par unité de surface s'écrit : j_q = 1/2 n v [E(T(x - vτ)) - E(T(x + vτ))]

Quelle est la distribution de Boltzmann pour les particules chargées négativement, c₋ ? Justifier que l'on peut utiliser la même constante c_∞ pour la caractériser.

Est-il alors possible de confiner cette particule dans un piège avec l₀ ≈ 100 ?

Quelle approximation raisonnable de la fonction d'étalonnage ci-dessus peut-on proposer ? On fera cette approximation dans la suite.

Représenter l'allure de la probabilité Pₙ en fonction de n, en faisant apparaître qualitativement la moyenne n et l'écart-type Δ n sur le graphique.

En supposant que les photons sont émis indépendamment les uns des autres, et en négligeant les émissions multiples dans un intervalle de temps élémentaire δτ = τ/N (avec N le nombre de subdivisions…

On précisera la signification physique de p. Exprimer p à l'aide du formulaire sachant que cette loi doit conduire à un nombre moyen n de photons émis.

Un volume V de fluide est soumis à la pression P, supposée uniforme. Dans quel modèle l'énergie cinétique d'agitation thermique associée peut-elle s'écrire E_c = 3/2PV ? Dans la suite de cette…

Préciser l'unité (ou la dimension) de la densité d'états q(ε).

Quelle est la nature des interactions décrites ici ? Quel est le signe de α ?

Déterminer la limite de U pour T → 0 et commenter le résultat obtenu.

Représenter l'allure graphique de la fonction pₓ = pₓ(uₓ) pour deux températures T₀ et T₁ > T₀ (en correspondance, sur le même repère). Commenter ces tracés.

Les deux protons considérés précédemment sont supposés appartenir à un gaz de protons que l'on modélise par un gaz parfait unidimensionnel à la température T. On note P(v₁, v₂) dv₁ dv₂ la…

Sans faire de calculs, que vaut la valeur moyenne z' ?

Comment peut-on déduire de la mesure de c_s et de la relation établie à la question 29, une valeur pour la constante de Boltzmann ?

À partir de l'unité de k_B, expliquer pourquoi fixer définitivement la valeur de la constante de Boltzmann, permet de redéfinir le kelvin.

En déduire n₋.

Représenter les fonctions [U n₊(U)] et [U n₋(U)].

Indiquer dans quelle limite l'équation différentielle (26) tend vers une équation linéaire.

Soit Γ la probabilité de cavitation par unité de volume et par unité de temps à T. Proposer une expression de Γ en fonction de Δ E*, de k_B T et d'une constante Γ₀ de même dimension que Γ.

Exprimer la largeur E_G de la bande interdite en fonction du produit k_B Tₐ (pour cet ordre de grandeur on ne conservera qu'un chiffre significatif). Indiquer quelle est la conséquence de ce…

Proposer une application (simple) d'un semi-conducteur SCi inspirée directement de la figure (3).

Esquisser la représentation graphique de la fonction fₑ en précisant les valeurs particulières qui apparaissent. Déterminer l'intervalle caractéristique d'énergie Δ E, exprimé en k_B T, sur lequel…

Préciser la relation liant n à p pour un SCi. En déduire l'expression de n dans ce cas, que nous noterons n_i. Préciser les points de l'analyse qualitative conduite en réponse à la question (3)…

À l'aide du théorème d'équipartition de l'énergie : 1/2mv² = 3/2k_BT, montrer que le coefficient de diffusion D s'écrit : D = k_BT/mτ_col .

Donner l'expression de l'énergie cinétique E_cm et de l'énergie potentielle E_pm d'une particule de masse mₘ de ce gaz. Pourquoi observe-t-on qu'à température ambiante ces molécules ne se regroupent…

Préciser la fonction E(z) telle que A(z) = exp [-(E(z))/(k_B T₀)]. Que représente la fonction E(z) ? Interpréter physiquement cette expression dont la généralisation est due à Boltzmann.

Montrer que la concentration c_g(z) du gaz, rapport du nombre de moles sur le volume, suit une loi du même type, et qu'on peut écrire c_g(z) = c_g0 A(z), où c_g0 représente la concentration au…

Sachant que le nombre N de grains est conservé sur la hauteur h₁ du récipient, suffisamment grande pour être supposée infinie, exprimer la concentration c₀ en fonction de N, de la section S, et de…

Montrer qu'à l'équilibre, l'espérance E[s_T(t)] de s_T(t) est égale à p.

Quelle est la dimension de ρ_i[z, v_z] ? Montrer que ρ_i(0) est bien la densité volumique d'étoiles de type i dans le plan galactique.

Avec les conditions précédentes, la loi de Boltzmann est vérifiée pour la pression. Donner l'expression de p(z) en notant p(+∞) la pression à la température T₀ en un point z = +∞ infiniment éloigné…

Estimer la valeur de ℓ_B. Cette grandeur permet de comparer deux énergies ; à quoi correspondent-elles ?

Déterminer les expressions de p_γ et p₀ en fonction notamment de λ₀ et T₀, ainsi que leurs valeurs numériques. Commenter.

La thermistance utilisée est un cylindre de section s et de longueur ℓ. Rappeler la relation liant G, s, ℓ et la conductivité électrique γ_el du matériau. En déduire que cette dernière varie, dans…

En appliquant une loi statistique utilisant un facteur de Boltzmann, donner le rapport entre les densités de porteurs de charge n_q dans la bande de conduction et n₀ dans celle de valence. Sans…

Quelles seraient les limites de pₘ à très basse et à très haute température ? Exprimer, en fonction du moment dipolaire individuel p_H_2O d'une molécule d'eau et de la constante de Boltzmann k_B…

On sépare tout d’abord fictivement le matériau en deux compartiments A et B de températures uniformes T_A et T_B, avec T_A > T_B. Dans quel compartiment la vitesse moyenne des électrons est-elle la…

Faire l'application numérique. À quelle température faut il refroidir l'atome pour le maintenir piégé ?

Montrer que la probabilité Pₙ peut se réécrire sous la forme Pₙ = 1/(n + 1)(n/(n + 1))ⁿ. Cette distribution de probabilité, appelée distribution de Bose-Einstein, est caractéristique des modes…

Pour caractériser les fluctuations du nombre de photons autour de la valeur moyenne n, on utilise l'écart-type Δ n (défini dans le formulaire). Déterminer Δ n en fonction de n.

En utilisant le formulaire, donner également l'expression de l'écart-type Δ n dans la limite N ≫ n. Comparer au cas d'une source de rayonnement thermique (cf. question 28) et interpréter en termes…

En développant (1-p)N⁻ⁿ dans la limite N → +∞, et en utilisant le résultat (12), montrer que la statistique d'émission de la source laser tend vers une distribution de Poisson, caractérisée par sa…

Sur le même graphique, représenter l'allure des lois de probabilité Pₙ d'un mode thermique et d'une source laser de même fréquence ν telles que n = 10.

Calculer numériquement le compte moyen n et l'écart-type Δ n auxquels on s'attend pour une fenêtre de détection de durée τ = 0,1 s sachant que le rendement quantique du photomultiplicateur vaut 25%.

Proposer un protocole permettant de déterminer si le laser à argon présente bien une statistique d'émission poissonnienne.

En admettant que le temps de cohérence d'une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d'intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence…

En déduire l'expression de Z(β) en fonction de β, Q et de l'intégrale A = ∫₀∞ √(x)e⁻x dx (il est aussi inutile de calculer A).

Quel est le nombre (moyen) dN de molécules dont le centre est situé à une distance de O comprise entre r et r + dr ? En calculant une intégrale, déduire l'énergie potentielle d'interaction moyenne…

En déduire l'expression de l'énergie interne du fluide F se met sous la forme U = (N k_B)/(γ - 1) T - (N² a)/V dans laquelle on exprimera la constante a en fonction de α et r₀.

La cible constituée d'une feuille d'or d'épaisseur L = 1 contient N atomes sur la trajectoire de la particule α. Celle-ci effectue donc N collisions dont en moyenne la moitié vont donner une…

Montrer que pour tout m et pour k 2, on a la relation u_k,m+1 = u_k,m + p(u_k+1,m + u_k-1,m - 2u_k,m)

Justifier que compte tenu des conditions aux limites dues au comportement des particules sur la paroi, on a pour tout m 0 en k = 0 et k = 1 les relations : u_0,m+1 &= u_0,m + pu_1,m u_1,m+1 &=…

Montrer que U = ħω/2 coth(X/2) 10 où coth(x) = (ch(x))/(sh(x)).

Déterminer le comportement asymptotique de U pour T → ∞. On notera que la constante de Planck n'apparaît pas dans l'expression obtenue : pouvait-on s'y attendre ?

En utilisant l'équation (8), obtenir l'expression de S en fonction de X.

Déterminer U_b.

Déterminer S_b.

Que vaut U_d ?

Donner brièvement deux raisons pour lesquelles l'hypothèse faite dans la question 53 est vérifiée pour t - t₁ ≫ τ où τ est un temps dont on donnera la signification physique sans chercher à…

La valeur moyenne uₓ² _R s'exprime par une relation qui prend la forme suivante : uₓ² _R = ∫_R duₓ f(uₓ) Exprimer la fonction f (on conservera la constante A sans développer son expression)…

On note P*(v_G, v) dv_G dv la probabilité élémentaire que la vitesse du centre de masse soit v_G à dv_G près, et que la vitesse relative soit v à dv près. Montrer que P*(v_G, v) peut se mettre sous…

On note p(E) dE la probabilité que l'énergie cinétique relative vaille E à dE près. Par un changement de variables de v à E, donner l'expression de p(E) en fonction de E à une constante…

On note Γ(E) dE le nombre de réactions nucléaires de fusion par unité de temps, pour une énergie relative valant E à dE près. On postule que Γ(E) est proportionnel à v p(E) Θ(E). Comment…

En utilisant les résultats obtenus précédemment, exprimer Γ(E) en fonction de E. On écrira le résultat sous la forme Γ(E) = K exp (-φ(E)), où K ne dépend pas de E, et on exprimera φ(E) en fonction…

Sous des conditions de température et de pression données, la probabilité pour qu'une molécule donnée entre en collision avec une autre molécule de l'atmosphère pendant un temps infinitésimal dt…

Moyenner le résultat de la question 21 sur θ avec cette loi de probabilité.

En utilisant le résultat de la question 14, calculer la puissance moyenne exercée par le champ sur la particule. Quel est son signe ?

On admet que le raisonnement ci-dessus, fait pour une particule chargée ponctuelle, s'applique aussi à la molécule entière, où ω₀ est la pulsation d'un de ses modes de vibration. Expliquer…

Exprimer γ(θ) et calculer ζ(θ) en fonction de k_Bθ et σ.

Connaissez-vous d'autres cas de mouvement brownien ? D'autres expériences ayant conduit à une vérification expérimentale de la loi de Boltzmann ?

En déduire l'énergie interne du cristal en fonction de la température T.

On considère une averse contenant toutes les tailles de gouttes, répondant à la distribution de Marshall et Palmer. Montrer que D₀ représente le diamètre moyen des gouttes. On donne : ∫₀∞ x e⁻x dx =…

Exprimer pour la distribution de Marshall et Palmer le nombre de gouttes G tombant sur la surface S du disdromètre pendant une durée τ. En déduire une seconde expression de Sₘₐₓ . En pratique, le…

On considère une averse contenant toutes les tailles de gouttes, répondant à la distribution de Marshall et Palmer. Montrer que D₀ représente le diamètre moyen des gouttes. On donne : ∫₀∞ x e⁻x dx =…

Exprimer pour la distribution de Marshall et Palmer le nombre de gouttes G tombant sur la surface S du disdromètre pendant une durée τ. En déduire une seconde expression de Sₘₐₓ . En pratique, le…

Justifier que R s'exprime de manière générale par : R = ∫₀∞ n(D) v_lim (D) π D³/6 dD et calculer R. On donne ∫₀∞ x³,⁵ e⁻x dx = 105√(π)/16 ≈ 11,6. Faire l'application numérique en mm⁻¹ pour D₀ = 1,5…

Former une distance caractéristique z_ en dessous de laquelle nous pouvons considérer que la diffusion domine l'advection. Exprimer d'abord cette distance en fonction de D_R et |v_z|. L'exprimer…

Indiquer par quelle méthode, ou en vertu de quel principe, nous pourrions accéder à la valeur du préfacteur numérique K. Aucun calcul n'est demandé.

À partir du tracé réalisé en réponse à la question (43), représenter, dans un système d'axes commun, l'allure graphique de la dépendance de chacune des concentrations ioniques c₊ et c₋ (définies par…

On introduit la densité d'états ρ(ω, Θ), définie de sorte que ρ(ω, Θ)dΘ soit le nombre de vecteurs d'onde k_ℓ correspondants à une onde plane de fréquence comprise entre ω et ω+dω qui fassent un…

En effet, l'atome interagit ici avec un mode du champ contenant un état cohérent, qui est un état pour lequel le nombre de photons n'est pas défini. Le nombre N_i de photons dans la cavité est une…

On crée un état métastable de volume V. On note Σ(t) la probabilité que la cavitation ait eu lieu entre les instants 0 et t. Σ(t+dt) - Σ(t) correspond ainsi à la probabilité qu'il y ait cavitation…

La figure (3) représente l'allure (il s'agit donc d'un tracé qualitatif) de la dépendance de la concentration n avec β = 1/(k_B T), pour un semi-conducteur SCi (c'est-à-dire sans impureté) et un…

Nous considérons que la largeur de BC est suffisante pour qu'il devienne légitime de rejeter à l'infini sa borne supérieure. Donner alors l'expression, sous forme d'une intégrale, de la…

Nous nous plaçons dans le cas où exp [β(E_C - µ)] ≫ 1, sur l'intervalle de température que nous considérons (hypothèse H_µ, 1). En posant x = β(E - E_C), établir que la concentration n des électrons…

À partir des relations (4) et (6) exprimer le produit np en faisant apparaître la largeur E_G de la bande interdite. Exprimer également le paramètre µ en faisant apparaître la moyenne (E_V + E_C)/2.

Exprimer le paramètre µ dans le cas d'un SCi, que nous noterons µ_i. Vérifier que ce résultat justifie les hypothèses H_µ, 1 et H_µ, 2 adoptées a priori dans la question (7), pour T = Tₐ.

La relation établie en réponse à la question (9) conduit à la valeur n_i ∼ 10¹¹ cm⁻³. Comparer cette valeur au nombre (moyen) n_GP, par unité de volume, d'atomes ou de molécules d'un gaz parfait à…

Nous considérons un SCN dans le domaine ② de la figure (3). Exprimer le rapport de concentration p/n et donner l'ordre de grandeur de sa valeur. Commenter ce résultat.

Calculer la valeur numérique de E₁, pour L = 1 . Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à T = 300 K. Pourquoi parle-t-on de quasi-continuum d'énergie au sein…

En notant P₀ = P(z=0), montrer que (P(z))/P₀ s'exprime simplement grâce à la fonction A(z). Exprimer la distance caractéristique H en fonction de k_B, g, T₀ et mₘ. Calculer la valeur numérique de H…

Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est l'expression de l'énergie potentielle E_p*(z) correspondant au poids de la masse apparente m* du grain à l'altitude z ? En…

En exprimant c(z) en fonction de n(z), déduire de ces données une estimation de la hauteur caractéristique H_b associée ici au phénomène. La hauteur du récipient utilisé par Jean Perrin, h₁ = 100…

Estimer la valeur de k_B qu'a pu déduire Jean Perrin de cette expérience. Identifier des causes d'erreurs expérimentales.

En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre φ(t) et ψ(t) = x² . Après avoir obtenu l'expression générale de ψ(t), montrer que les ordres de grandeur de ce problème permettent…

En déduire la valeur de k_B qu'a obtenue Jean Perrin avec ses expériences de diffusion toujours effectuées à T₀ = 20^. Comparer cette valeur avec celle obtenue grâce aux résultats des expériences de…

Préciser la fonction E(z) telle que A(z) = exp [ -(E(z))/(k_B T₀) ]. Que représente la fonction E(z) ? Interpréter physiquement cette expression dont la généralisation est due à Boltzmann.

L'énergie de première ionisation du carbone est E_i1 ≃ 11 eV, celle de seconde ionisation E_i2 ≃ 24 eV, et celle de dernière ionisation est E_i6 ≃ 490 eV. Un atome de carbone présent à la surface de…

Sachant que γ₀² ≃ 10⁻³ et θ ≃ 5,5 × 10⁵ K, évaluer γ à la surface de la naine blanche et au cœur de celle-ci où on estime que la température est T_c ≃ 10⁷ K. En déduire l'état de la matière…

Relier la probabilité p(xₙ, tₙ) pour la particule d'être à l'abscisse xₙ à la date tₙ = nτ aux probabilités p(xₙ₋₁, tₙ₋₁) et p(xₙ₊₁, tₙ₋₁).

Donner l'expression de l'énergie E(n) associée à une configuration microscopique où n sites, parmi les N, sont occupés. On note gₙ le nombre de réalisations de cette configuration microscopique…

Établir l'expression du taux d'occupation θ à l'équilibre thermodynamique en fonction de la pression p du monoxyde de carbone sachant qu'une étude plus approfondie permet d'établir que le facteur…

Calculer la valeur de v_r qui rend f(v_r) maximale. On l'appelle vitesse la plus probable d'agitation thermique et on la note v_c.

Expliquer alors pourquoi, contrairement à l'atmosphère terrestre, l'atmosphère de Jupiter peut être riche en dihydrogène ou hélium. On pourra comparer les valeurs des vitesses de libération de la…

À l'équilibre, la fonction de corrélation G(t, τ) ne dépend plus de l'instant initial t et nous la noterons alors G₀(τ). Montrer que dans ce cas, nous avons : dG₀/dτ + (k' + kc)G₀ = kcp.

Nous admettrons que G₀(0) = p (ce résultat provient du fait que m(t)² = m(t)). Déterminer alors l'expression de G₀(τ) en fonction de p, k', k, c et τ.

En déduire l'expression du temps d'intégration minimal T_min en fonction de c, k et k', pour que l'estimation de c par c_T soit fiable. Commenter l'évolution de T_min avec la concentration en…

La Galaxie contenant un très grand nombre d'étoiles de tout type qui se rapprochent et s'éloignent du plan galactique, et supposant que le déplacement de ces étoiles perpendiculairement au plan…

En déduire finalement ρ_i(z), la densité volumique d'étoiles de type i à l'altitude z. Conclure sur la possibilité d'estimer la densité totale de matière contribuant à engendrer un champ de…

Pour un ensemble de N bits, donner la probabilité P_erreur⁽N⁾(t) qu'il y ait eu au moins une commutation accidentelle d'un des bits pendant un temps t.

Pour un ensemble de N bits, donner l'expression du rapport Δ E/k_BT nécessaire pour que la probabilité qu'au moins une erreur survienne pendant un temps t soit inférieure à une certaine valeur p.

Application numérique : pour une MRAM avec une capacité de 1 Gbit conservée à la température ambiante de 300 K pendant 10 ans, quelle doit être la valeur typique de Δ E pour assurer que la…

Quelle est, dans l'expression précédente, la limite de p(z) lorsque z tend vers 0 ? Qu'arrive-t-il lorsque p(z) devient supérieure à p_s(T₀), la pression de vapeur saturante du gaz à la température…

En déduire qu'il existe à la surface de la paroi une « couche liquide » sur une épaisseur d_liq dont on déterminera l'expression en fonction de K_ad, la constante de Boltzmann k_B, T₀, p_s(T₀) et…

On peut montrer que la relation entre l'énergie cinétique moyenne d'une particule dans un gaz parfait et l'agitation thermique reste valable en ordre de grandeur pour les électrons. En déduire la…

En déduire la fréquence de coupure f_c et que pour f ≪ f_c, S_v(f) = 2 k_B T τ₀ / m*.

Justifier la relation p_i(t + dt) = dt/θ p_i,0 ⁺ + (1 - dt/θ) p_i(t) + f_C dt

Déduire de l'équation précédente une relation entre (dp(t))/dt, p(t), f_C et θ dans la limite dt → 0. Commenter l'expression obtenue et relier θ à la durée τ.

Par une approche semblable à celle de la question 6, établir l'équation différentielle vérifiée par Π(t) pour t > 0. Intégrer cette équation pour obtenir l'expression de Π(t) en fonction de τ, puis…

Dans le cadre du modèle du gaz parfait classique monodimensionnel exprimer finalement λ en fonction de n, T, k_B, τ et de la masse m de l'électron.

Pourquoi est-il nécessaire de se placer à très basse température et à très basse pression pour effectuer ces mesures ?

Exprimer le nombre de modes N(ω) pour lesquels la pulsation est inférieure à ω fixée.

L'expression de l'écart-type Δ n trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de Nₘ modes de fréquences…

Montrer que q(ε) est proportionnel à √(ε). Pour la suite, on pourra poser q(ε) = Q√(ε) sans préciser la constante Q.

Voyez-vous une explication simple de la dépendance en x du résultat de la question précédente ?

Contrairement au cas classique, l'insertion de la barrière a un coût énergétique. En utilisant les résultats des questions précédentes, calculer la chaleur Q_ins et le travail W_ins reçus par la…

Déterminer S_d. En déduire la variation d'entropie S_d - S_b associée à l'opération de détection. Commenter brièvement.

Déterminer le travail W_dep reçu par la particule lors de cette dernière étape.

Exprimer W(t, t+dt) pour dt infinitésimal et t - t₁ ≫ τ. En déduire une expression simple de W(t, t') pour t - t₁ et t' - t₁ grands devant τ.

On note W = W(0, t_f) le travail moyen pour un cycle complet. Obtenir une expression très simple de W, en supposant que la température est relativement basse et que la variation de E_G(t) et E_D(t)…

Cette dernière question a pour objet de vérifier que le modèle employé dans cette partie est cohérent avec les principes de la thermodynamique. On note E(t) l'énergie moyenne de l'électron à…

On définit la pression de cavitation p_c telle que la probabilité de cavitation Σ(τ) définie au bout d'un temps τ est égale à 1/2 : donner son expression en fonction de γ, k_B, T, Γ₀, V et τ. Que se…

À partir de vos connaissances sur la loi d'Arrhénius, ou sur le facteur de Boltzmann, proposez une expression pour la dépendance de la vitesse d'apparition des gouttelettes dans l'atmosphère en…

En partant de l'équation (E_L), obtenir une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction φ(t). En supposant que φ(0) = 0, en déduire…

En partant de l'équation (E_L), obtenir une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction φ(t). En supposant que φ(0) = 0, en déduire…

En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre φ(t) et ψ(t) = x² . Après avoir obtenu l'expression générale de ψ(t), montrer que les ordres de grandeur de ce problème permettent…

En rapprochant l'expression de E_qs de la valeur classique moyennée sur un volume V, montrer que γ² = γ₀² 1/(tanh θ/T) avec γ₀² = Aħ/e√(ε₀/(m_p a)) et θ = B(ħ e)/(k_B √(ε₀ m_p a³)) on précisera les…

Dans cette question uniquement, nous ne supposons pas le récepteur à l'équilibre. Pour qu'un récepteur soit lié à t et à t + τ + dτ, il y a deux possibilités : • soit le récepteur est lié à t et à t…

Simplifier cette relation dans le cas où (k' + kc)T ≫ 1. La variance de c_T est définie par : (Δ c_T)² = E[c_T²] - E[c_T]². Nous rappelons que pour une fonction f d'une variable aléatoire x…