Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2023

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit classiquement :

Pour une enceinte contenant une unique particule (N = 1), la quantité de matière vaut n = \frac{1}{\mathcal{N}_A}.

En utilisant la constante de Boltzmann k_B = \frac{R}{\mathcal{N}_A}, il vient directement :

On en déduit l'expression de la pression :

Que la particule ait été détectée dans le compartiment de gauche ou de droite, le volume V' qui lui est accessible passe de V_i = V/2 à V_f = V.

La détente étant réversible et isotherme à la température T imposée par le thermostat, la pression est donnée à chaque instant par l'équation d'état établie à la question 1 :

Le travail infinitésimal reçu par la particule s'écrit \delta W = - P(V')\,\mathrm{d}V'. Le travail total reçu lors de l'étape C est donc :

soit :

Par la troisième loi de Newton, la force exercée par la particule sur la paroi mobile est l'opposée de celle exercée par la paroi sur la particule. Le travail reçu par le mécanisme lors de l'étape C est donc :

D'après l'énoncé, le mécanisme effectue un travail négligeable lors des étapes A, B et D (W_{\mathrm{m}, A} = W_{\mathrm{m}, B} = W_{\mathrm{m}, D} = 0). Le travail reçu par le mécanisme au cours d'un cycle complet est donc :

D'après les hypothèses de l'énoncé, le mécanisme n'effectue aucun travail au cours des étapes A, B et D. Par conséquent, les travaux reçus par la particule lors de ces étapes sont négligeables :

Le travail total W reçu par la particule sur le cycle se réduit donc au travail reçu lors de la détente de l'étape C (question Q2) :

L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est rigoureusement nulle :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la particule sur le cycle complet :

ce qui conduit immédiatement à :

Au cours du cycle, la particule est en contact avec un unique thermostat à la température T.

L'application du second principe de la thermodynamique à la particule sur un cycle complet donne :

L'entropie d'échange avec l'unique thermostat s'écrit S_{\mathrm{e}} = \frac{Q}{T}, d'où l'expression de l'entropie créée sur le cycle :

Le second principe impose donc pour tout cycle monotherme :

ce qui correspond à l'énoncé de Kelvin-Planck : un système fermé décrivant un cycle au contact d'une seule source de chaleur ne peut pas fournir de travail au milieu extérieur (impossibilité d'un moteur monotherme).

Or, d'après les résultats de la question Q3 :

Le mécanisme extrait un travail net positif -W = k_B T \ln 2 par conversion intégrale de la chaleur Q prélevée à une source unique, ce qui conduit à une entropie créée strictement négative :

D'après le préambule, l'énergie interne U de la particule unique est égale à l'énergie cinétique moyenne E_c d'un atome dans un gaz parfait monoatomique à la température T.

Pour un gaz parfait monoatomique tridimensionnel à l'équilibre thermique à température T, l'énergie cinétique moyenne par particule, associée aux trois degrés de liberté de translation, vaut :

On en déduit immédiatement l'expression de l'énergie interne de la particule :

D'après l'expression établie à la question 5, l'énergie interne de la particule ne dépend que de la température T :

Pendant l'étape C, l'enceinte reste en contact avec le thermostat de température T. La transformation étant isotherme, la variation d'énergie interne de la particule au cours de cette étape est nulle :

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à la particule pendant l'étape C s'écrit :

En utilisant le travail W_C = -k_B T \ln 2 déterminé à la question 2, on en déduit la chaleur reçue :

L'étape C est une détente isotherme à la température T, effectuée de manière réversible par déplacement lent de la paroi. L'entropie créée au cours de cette transformation réversible est donc nulle (S_c = 0). Le second principe appliqué à la particule fournit alors :

Il vient ainsi :

L'enceinte est en contact permanent avec un thermostat à la température T. D'après le résultat de la question 5, l'énergie interne de la particule ne dépend que de la température :

La température étant identique dans l'état initial et dans l'état final de l'étape AB, la variation d'énergie interne de la particule est nulle :

D'après l'énoncé, le travail effectué par le mécanisme au cours des étapes A et B est négligeable, d'où pour le travail reçu par la particule :

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à la particule pendant l'étape AB donne alors :

On en déduit immédiatement :

L'entropie S étant une fonction d'état, sa variation sur le cycle complet est nulle :

L'étape D consiste simplement à retirer la paroi sans modifier l'état thermodynamique de la particule (le volume accessible passe de V à V, la température restant T), d'où (\Delta S)_D = 0. Il en résulte, d'après la question Q6 où (\Delta S)_C = k_B \ln 2 :

D'autre part, en appliquant naïvement le second principe de la thermodynamique à la particule lors de l'étape AB, le bilan entropique s'écrit :

où S_{\mathrm{e}, AB} est l'entropie échangée avec le thermostat à la température T. D'après la question Q7, la chaleur reçue par la particule est Q_{AB} = 0, donc :

On en déduit l'entropie créée au cours de l'étape AB :

Or, le second principe impose obligatoirement :

L'obtention d'une entropie créée strictement négative,

constitue une contradiction directe avec le second principe de la thermodynamique.

L'opération de réinitialisation de la mémoire s'effectue en deux temps :

• Étape R1 : la paroi est retirée puis réintroduite au bord droit de l'enceinte de la mémoire. Selon l'énoncé, le mécanisme effectue un travail négligeable lors de cette étape :

  W_{\mathrm{init, R1}} = 0

  À l'issue de cette étape, la particule M peut occuper la totalité du volume V de l'enceinte, quel que soit l'état initial du bit (0 ou 1).

• Étape R2 : la paroi est déplacée lentement vers la gauche depuis l'extrémité droite (volume disponible V_i = V) jusqu'au milieu de l'enceinte (volume disponible V_f = V/2). Cette compression est quasi-statique et isotherme à la température T imposée par le thermostat.

D'après l'équation d'état d'une particule unique établie à la question Q1, la pression exercée par la particule M sur la paroi mobile lorsqu'elle est confinée dans un volume variable V' est :

Le déplacement étant lent, la transformation est mécaniquement réversible (P_{\mathrm{ext}} = P(V')). Le travail élémentaire reçu par la particule M au cours d'une variation de volume \mathrm{d}V' s'écrit :

En intégrant entre l'état initial (V' = V) et l'état final (V' = V/2) :

Le travail W_{\mathrm{init}} effectué (c'est-à-dire fourni à la mémoire) par le mécanisme au cours de l'opération de réinitialisation est l'opposé du travail reçu par le mécanisme, soit exactement le travail reçu par la particule M :

Le cycle complet de la machine de Landauer se décompose en six étapes : A, B, C, D, R1 et R2. D'après l'énoncé :

• le mécanisme effectue un travail négligeable lors des étapes A, B, D et R1 ;

• lors de l'étape C, la détente isotherme réversible de la particule S fournit un travail au mécanisme. D'après la question Q2, le travail reçu par le mécanisme est :

  W_{\mathrm{m}, C} = k_B T \ln 2

• lors de l'opération de réinitialisation (étapes R1 et R2), le mécanisme effectue un travail W_{\mathrm{init}} = k_B T \ln 2 d'après la question Q9. Le travail reçu par le mécanisme au cours de cette opération est donc :

  W_{\mathrm{m}, \mathrm{init}} = - W_{\mathrm{init}} = - k_B T \ln 2

En sommant le travail reçu par le mécanisme sur l'ensemble du cycle, on obtient :

Considérons comme système la particule M modélisant la mémoire. L'opération de réinitialisation (étapes R1 et R2) fait passer la particule d'un état à la température T (dans la moitié gauche ou droite de l'enceinte) à un état final également à la température T (dans la moitié gauche de l'enceinte).

D'après la modélisation adoptée (question 5), l'énergie interne de la particule ne dépend que de la température T :

L'enceinte étant maintenue à la température T du thermostat, la variation d'énergie interne de la mémoire au cours de la réinitialisation est nulle :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la mémoire :

où W_R est le travail reçu par la mémoire lors de la réinitialisation. Le mécanisme fournissant le travail W_{\mathrm{init}} = k_B T \ln 2 (question 9), le travail reçu par la particule M est :

On en déduit immédiatement la chaleur reçue par la mémoire :

Le système considéré est la « machine de Landauer », constituée de la particule du moteur de Szilard S et de la particule de la mémoire M, en contact avec l'unique thermostat à la température T.

Au cours d'un cycle complet, les deux sous-systèmes reviennent exactement à leur état thermodynamique initial :

• la particule S retrouve son état initial (volume V, température T), d'où \Delta S_{\mathrm{S}} = 0 ;
• la mémoire M revient dans l'état 0 (occupant la moitié gauche du volume, à la température T), d'où \Delta S_{\mathrm{M}} = 0.

L'entropie étant une grandeur d'état extensive, la variation totale d'entropie du système global sur un cycle est :

Calculons la chaleur totale Q_{\mathrm{tot}} reçue par le système au cours du cycle :

• la particule S reçoit la chaleur Q = k_B T \ln 2 (d'après la question Q3) ;
• la mémoire M n'échange aucune chaleur lors des étapes A, B, C et D, et reçoit la chaleur Q_R = - k_B T \ln 2 lors de la réinitialisation (d'après la question Q11).

La chaleur totale échangée avec le thermostat au cours du cycle est donc :

L'entropie échangée avec le thermostat unique à la température T vaut ainsi :

Le second principe de la thermodynamique s'écrit \Delta S_{\mathrm{cycle}} = S_{\mathrm{e}} + S_{\mathrm{c}}, ce qui donne pour l'entropie créée :

Les étapes d'expansion (C) et de compression (R2) étant menées de manière réversible, la création d'entropie globale est strictement nulle. Le second principe est donc parfaitement respecté et le paradoxe de Szilard est résolu.

1. Variation d'entropie pendant l'étape R2 :

L'entropie S étant une fonction d'état, sa variation ne dépend pas du chemin suivi. À la fin de l'étape R1, la particule M occupe tout le volume V à la température T imposée par le thermostat. À la fin de l'étape R2 (après thermalisation éventuelle avec le thermostat), la particule est confinée dans la moitié gauche de volume V/2 à la même température T.

L'expression de l'entropie d'un gaz parfait d'une particule donne :

2. Premier principe :

L'énergie interne U ne dépend que de la température T (d'après la question Q5, U = \frac{3}{2}k_B T). L'état initial et l'état final étant à la même température T, on a :

Le travail fourni (ou effectué) par le mécanisme pendant l'opération de réinitialisation est W_{\text{init}} = W_{\text{reçu, R2}}, d'où :

3. Second principe et travail à fournir :

D'après le second principe de la thermodynamique appliqué à la mémoire en contact avec le thermostat à température T :

Le déplacement rapide de la paroi engendre des irréversibilités (ondes de compression, absence d'équilibre quasi-statique), ce qui se traduit par une création d'entropie strictement positive :

On en déduit :

En utilisant la relation issue du premier principe, le travail effectué par le mécanisme vérifie :

Le travail trouvé à la question Q9, W_{\text{init}} = k_B T \ln 2, représentait donc le travail minimal à fournir, atteint uniquement dans la limite d'une transformation réversible (infiniment lente). Lorsque la réinitialisation est rapide, le travail à fournir par le mécanisme est strictement supérieur à cette borne.

D'après le principe de Landauer établi aux questions précédentes, la réinitialisation (ou l'effacement) irréversible d'un bit de mémoire nécessite de fournir un travail minimal :

Un gigaoctet (1\text{ Go}) contient N_{\text{octets}} = 10^9\text{ octets}, soit :

Le coût énergétique minimal pour effacer 1\text{ Go} à la température ambiante T \approx 300\text{ K} est donc :

Avec les données du formulaire (k_B \approx 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}, \ln 2 \approx 0{,}69) et T \approx 300\text{ K} :

La puissance électrique typique d'un ordinateur portable ou de bureau est de l'ordre de :

Même en supposant que l'effacement de 1\text{ Go} s'effectue en une seconde (\Delta t \sim 1\text{ s}), la puissance minimale requise par la thermodynamique est de l'ordre de 10^{-11}\text{ W}.

Commentaire : La limite fondamentale imposée par le principe de Landauer est extraordinairement faible devant la consommation réelle des circuits électroniques actuels (environ 12 à 13 ordres de grandeur d'écart). La dissipation énergétique d'un ordinateur est aujourd'hui quasi-exclusivement dominée par des pertes irréversibles macroscopiques (effet Joule, courants de fuite, charges et décharges de capacités parasites dans les transistors CMOS), bien loin de la limite thermodynamique ultime.

1. Protocole faisant passer le bit de l'état 1 à l'état 0 sans travail :

La particule M se trouvant à coup sûr dans le compartiment droit :

• Protocole géométrique (rotation) : Il suffit de faire tourner l'enceinte de 180^\circ autour d'un axe vertical (ou de translater les parois pour permuter droite et gauche). L'enceinte étant indéformable, la particule n'échange aucun travail d'expansion ou de compression avec l'extérieur :

  W = 0

• Protocole par déplacement de paroi : Le compartiment gauche étant vide, on peut déplacer réversiblement la paroi vers la gauche jusqu'à la paroi extérieure (expansion isotherme réversible du gaz de V/2 à V), ce qui fournit au mécanisme un travail W_{\mathrm{m}} = k_B T \ln 2. On réinsère ensuite une paroi à droite et on comprime réversiblement le gaz vers la gauche jusqu'à V/2, ce qui requiert un travail W_{\mathrm{fourni}} = k_B T \ln 2. Le bilan net de travail est nul :

  W_{\mathrm{net}} = 0

2. Compatibilité avec le principe de Landauer :

L'énoncé stipule que le principe de Landauer s'applique à une « opération de réinitialisation d'un bit de mémoire, l'opération étant toujours supposée indépendante de l'état initial du bit ».

Or, le protocole proposé ici suppose l'état initial connu : il réalise une opération bijective réversible de type porte logique Non (1 \to 0, 0 \to 1). Une telle transformation est logiquement réversible : elle conserve le volume de l'espace des phases (l'entropie informationnelle ne varie pas). Il n'y a donc aucune contradiction avec le principe de Landauer, qui ne s'applique qu'aux opérations logiquement irréversibles d'écrasement ou d'effacement indépendantes de l'état initial (opérations « 2 vers 1 »).

3. Utilisation pour la réinitialisation de la mémoire en fin de cycle :

À la fin du cycle de la machine de Szilard, la mémoire se trouve dans l'état 0 avec une probabilité 1/2 et dans l'état 1 avec une probabilité 1/2. Pour la réinitialiser, l'état final doit être 0 dans les deux cas.

• Si l'on applique aveuglément le protocole d'inversion précédent (rotation de 180^\circ), l'état 1 devient certes 0, mais l'état 0 devient 1 : la mémoire n'est pas réinitialisée à 0 de façon certaine.
• Pour n'appliquer le protocole que lorsque le bit vaut 1, il faudrait d'abord mesurer l'état du bit de mémoire. Or, cette mesure exigerait d'enregistrer l'information dans une seconde mémoire, qu'il faudrait elle-même réinitialiser ultérieurement, déplaçant le coût thermodynamique sans l'éliminer (régression à l'infini de Bennett).

Ce protocole ne peut donc pas être utilisé pour réinitialiser la mémoire à la fin du cycle.