ENS Physique C PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C ENS PC 2023 ?

Le sujet porte sur les principes de la thermodynamique, l'entropie statistique et le facteur de Boltzmann, le principe de Landauer en théorie de l'information, l'oscillateur harmonique quantique et les processus aléatoires entre deux états.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique C ENS PC 2023 ?

Le jury signale une confusion entre variation et valeur de l'énergie interne dans le premier principe, des erreurs de calcul par défaut de méthode, des hypothèses infondées sur le caractère réversible d'une transformation, et une loi de Boltzmann souvent mal écrite.

Q: Ce sujet de physique C ENS PC 2023 est-il difficile ?

Oui : la moyenne est de 9,61 sur 20 avec un écart-type de 3,58, et le jury signale avoir corrigé un grand nombre de copies de niveau faible, avec certaines questions réussies par une minorité de candidats seulement.

Q: Combien de copies ont été corrigées pour l'épreuve de physique C ENS PC 2023 ?

519 copies ont été rendues, un nombre supérieur à celui des sessions 2022 (487 copies) et 2021 (359 copies), selon le rapport du jury.

Machine de Szilard

Pas encore noté

Faisable en Sup

Thermodynamique

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 30 questions sur 58, parties 1 et 2 en entier. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : BCPST1 27 questions.

Détail par partie

Partie 1 : Machine de Szilard à une particule8/8Faisable
Partie 2 : Prise en compte de la mémoire : machine de Landauer7/7Faisable
Partie 3 : Une machine de Szilard à N particules10/14En partie
Partie 4 : Une machine de Szilard quantique0/162e année
Partie 5 : Réalisation expérimentale d'une machine de Szilard5/13En partie

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BanqueX-ENS Année2023 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2023 PC Physique Physique 2023

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Présentation du sujet

Difficile

La machine de Szilard : thermodynamique de l'information, du cas classique au cas quantique

Le sujet étudie la machine de Szilard, une expérience de pensée qui met en évidence le lien entre thermodynamique et traitement de l'information. Après avoir montré qu'une application naïve du second principe conduit à une contradiction pour une particule unique, le problème introduit un bit de mémoire (machine de Landauer) qui restaure la cohérence du second principe, puis généralise l'étude à N particules, à un cadre quantique avec un oscillateur harmonique, et enfin à une réalisation expérimentale récente avec un électron unique dans un double puits.

1Partie 1 : machine de Szilard à une particuleMise en évidence d'une contradiction apparente avec le second principe de la thermodynamique appliqué naïvement à un cycle.
2Partie 2 : prise en compte de la mémoire (machine de Landauer)Introduction d'un bit de mémoire dont la réinitialisation coûte du travail, ce qui restaure la cohérence avec le second principe.
3Partie 3 : machine de Szilard à N particulesGénéralisation probabiliste à un nombre quelconque de particules, avec une étude asymptotique dans la limite des grands nombres.
4Partie 4 : machine de Szilard quantiqueÉtude d'un oscillateur harmonique quantique avec insertion d'une barrière de potentiel, énergie interne et entropie associées.
5Partie 5 : réalisation expérimentale avec un électron uniqueModélisation d'une expérience récente où un électron saute aléatoirement entre deux puits de potentiel, avec calcul du travail moyen reçu.

Difficile. La moyenne obtenue est de 9,61 sur 20 avec un écart-type de 3,58, et le jury signale avoir corrigé un grand nombre de copies d'un niveau faible ; plusieurs questions (15, 29, 49) n'ont été réussies que par une minorité de candidats, voire par aucun pour la question 29.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,61 / 20 · écart-type 3,58 · 519 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,61/ 20
Écart-type: 3,58
Présents: 519

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre variation et valeur de l'énergie interne · Erreurs de calcul par défaut de méthode · Hypothèses infondées pour une transformation irréversible

Le jury a corrigé un grand nombre de copies de niveau faible, avec des erreurs surprenantes même dans les bonnes copies (confusion entre la variation et la valeur de l'énergie interne, loi de Boltzmann mal écrite). L'épreuve a néanmoins permis de bien classer les candidats, en particulier les candidats admissibles dont le niveau est jugé satisfaisant.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre variation et valeur de l'énergie interne
Un nombre important de candidats écrit le premier principe sans distinguer la variation de l'énergie interne de sa valeur, ce que le jury qualifie d'erreur inacceptable révélant une incompréhension profonde.
2
Erreurs de calcul par défaut de méthodeQ22, Q26
Aux questions calculatoires 22 et 26, très peu de candidats obtiennent tous les points, souvent faute d'avoir simplifié l'expression logarithmique avant de dériver, ou de s'être limités à un développement au premier ordre.
« Les erreurs de calcul sont souvent liées à un défaut de méthode »
3
Hypothèses infondées pour une transformation irréversibleQ13
De nombreuses copies supposent à tort une transformation adiabatique réversible, ce qui conduit à des résultats incorrects.
« De nombreuses copies ont obtenu des résultats incorrects en faisant des hypothèses infondées »
4
Protocole de réinitialisation rarement valideQ15
Seule une minorité de candidats propose un protocole valide utilisant une deuxième paroi ; les propositions fondées sur une mesure répétée ne sont pas acceptables car elles déplacent le problème.
« 15% des candidats ont proposé un protocole valide, en utilisant une deuxième paroi »
5
Question totalement non maîtriséeQ29
Cette question, qui attendait une discussion de deux tendances qui se compensent, est la seule du sujet pour laquelle aucun candidat n'a marqué de points.
« La question 29 est la seule du sujet pour laquelle aucun candidat n'a obtenu de points »
6
Loi de Boltzmann mal restituéeQ53
Beaucoup de copies écrivent une expression incorrecte de la loi de Boltzmann alors qu'il s'agit d'une application directe du cours, cette formule étant même rappelée plus tôt dans l'énoncé.
« Beaucoup de copies donnent des expressions incorrectes pour la loi de Boltzmann, alors qu'il s'agit d'une application directe du cours »

Ce qui a été bien réussi

L'épreuve a permis de classer correctement les candidats, en particulier les candidats admissibles, dont le niveau est satisfaisant.
Le jury s'est montré très tolérant envers une erreur fréquente d'interprétation de la figure 3, sans pénaliser lourdement ses répercussions sur la suite du problème.

Conseils du jury

Ne pas faire d'application numérique non demandée par l'énoncé, qui ne rapporte pas de points.
Lire attentivement l'énoncé pour ne pas oublier de répondre à certaines sous-questions.
Toujours justifier ses réponses, même brièvement, en citant la loi physique, l'équation ou le document utilisé.
Écrire les calculs intermédiaires lorsque le résultat attendu est une équation.
Soigner la lisibilité de la copie : une réponse incompréhensible est comptée comme fausse.
Argumenter les réponses qualitatives en citant explicitement les lois physiques ou phénomènes en jeu, et vérifier l'homogénéité des résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

58 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

58 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

JEUDI 20 AVRIL 2023
08h00-14h00
FILIERE PC - Epreuve

n^\circ7

PHYSIQUE C (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Début de l'Épreuve
Ce sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Machine de Szilard

Introduction

Le développement de nouvelles théories en physique est souvent accompagné de l'énoncé d'expériences de pensée. Cette démarche a pour but de questionner une théorie en proposant une expérience qui validerait ou invaliderait cette nouvelle théorie. Ces expériences de pensée reposent sur des propositions a priori correctes. Cependant, elles sont qualifiées d'expériences de pensée car leur réalisation pratique, bien que possible sur le principe, est généralement inaccessible avec les savoir-faire expérimentaux existants au moment de leur formulation.

Ces expériences de pensée jouent un rôle important en thermodynamique, notamment dans le cadre de l'énoncé du second principe de la thermodynamique, qui a été l'objet de multiples discussions et controverses au cours de l'histoire de la physique. James Clerk Maxwell a proposé dès 1867 une expérience de pensée aboutissant à une violation apparente du second principe de la thermodynamique. Plus tard, en 1929, le physicien hongrois Leó Szilàrd a proposé une expérience de pensée inspirée de celle de Maxwell, et dont nous allons dicuter différents aspects dans ce problème.

La partie 1 présente la situation considérée par Szilard. La partie 2 concerne le traitement de l'information nécessaire au fonctionnement de la machine de Szilard. La partie 3 traite d'une extension à

N

particules de la partie 1. La partie 4 discute un exemple de machine de Szilard dans le cadre de la mécanique quantique. Enfin, les spectaculaires progrès des expériences de manipulation de particules individuelles permettent aujourd'hui de réaliser de manière quasiment idéale certaines expériences de pensée. Nous discutons en partie 5 la réalisation récente d'une machine de Szilard impliquant un électron unique.

Consignes

Une réponse non justifiée sera généralement comptée comme fausse. Lorsqu'un commentaire ou une explication est demandé, la réponse attendue se limite généralement à une phrase courte ou à quelques lignes. Les parties 3, 4 et 5 sont indépendantes entre elles, et ne dépendent que faiblement des parties 1 et 2.
Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.

Formulaire

charge de l'électron :

q_e \approx 1.60 \times 10^(- 19)C

constante de Boltzmann :

k_B \approx 1.38 \times 10^(- 23) J/K

valeur numérique

: ln2 \approx 0.69

\int_(- \infty)^\inftydue^(- u^2) = \sqrtπ., \int_(- \infty)^\inftyduu^2 e^(- u^2) = (\sqrtπ)/2., C_N^n = (N!)/(n!(N - n)!). (p + q)^N = \sum_(n = 0)^N C_N^n p^n q^(N - n). sh(x) = (e^x - e^(- x))/2 eh^'(x) = sh(x); ch(x) = (e^x + e^(- x))/2, sh^'(x) = ch(x); ch(x + y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y)

1 Machine de Szilard à une particule

On considère une enceinte de volume

V

en contact avec un thermostat de température

T

pendant toute la transformation considérée. Cette enceinte contient une particule unique. Dans le cycle de la machine de Szilard, un mécanisme réalise le cycle d'opérations suivant (voir figure 1) :

A Une paroi est insérée dans l'enceinte et la sépare en deux zones de volume

V/2

.
B Un appareil détecte si la particule se trouve dans le compartiment de gauche ou le compartiment de droite.

C Si la particule a été détectée dans le compartiment de gauche, le mécanisme déplace la paroi de façon réversible vers la droite jusqu'à ce qu'elle atteigne le bord droit de l'enceinte; si la particule a été détectée dans le compartiment de droite, la paroi est déplacée de la même façon vers la gauche.
D La paroi est retirée et l'on revient donc à l'état initial.
On admet que le mécanisme effectue un travail négligeable pendant les étapes

A, B

et D .

Figure 1 - Schéma de principe de la machine de Szilard à une particule (on représente le cas où la particule est dans le compartiment gauche).

On admet que pour un système composé d'une seule particule, les grandeurs thermodynamiques usuelles (telles que la pression, la chaleur échangée ou l'énergie interne) restent pertinentes, en considérant une moyenne temporelle sur une durée assez longue pour que la particule effectue un grand nombre de collisions avec les parois. On admet également que la pression

P

ainsi définie est donnée par l'équation d'état d'un gaz parfait comprenant une seule molécule, que la notion d'entropie reste pertinente, et que les principes de la thermodynamique restent applicables.

Exprimer $P$ en fonction de $V$ et $T$ . On introduira la constante de Boltzmann $k_B = R/N_A$ où $R$ est la constante des gaz parfaits et $N_A$ le nombre d'Avogadro.
Calculer le travail $W_C$ reçu par la particule lors de l'étape C . En déduire le travail $W_m$ reçu par le mécanisme au cours d'un cycle complet.
En déduire le travail $W$ puis la chaleur $Q$ reçus par la particule au cours d'un cycle.
Montrer qu'une application naïve du second principe sur un cycle conduit à une contradiction.

On admet dans la suite que l'énergie interne de la particule est égale à son énergie cinétique moyenne

E_c

et que cette énergie cinétique moyenne est la même que celle d'un atome dans un gaz parfait monoatomique de température

T

.
5. Quelle est l'expression de l'énergie interne

U

de la particule en fonction de

k_B

T

?
6. En déduire la chaleur

Q_C

reçue par la particule pendant l'étape C , puis la variation de l'entropie de la particule

(ΔS)_C

pendant l'étape C .
7. Considérons "l'étape A suivie de l'étape B" comme une seule étape notée

AB

. Déterminer la chaleur

Q_(AB)

reçue par la particule pendant cette étape

AB

.
8. En utilisant les questions précédentes, montrer qu'une application naïve du second principe à l'étape

AB

conduit à une contradiction.

2 Prise en compte de la mémoire : machine de Landauer

Comme réalisé par Charles Bennett en 1982 en s'appuyant sur un article de Rolf Landauer de 1961, pour que la machine de Szilard puisse fonctionner, il faut lui adjoindre une mémoire permettant de stocker l'information acquise lors de la mesure (particule à gauche ou à droite) et ajouter une étape à la fin du cycle où l'état de cette mémoire est réinitialisée. Nous étudions cet aspect dans cette partie.

Nous considérons que la mémoire est composée d'un "bit" pouvant être dans deux états appelés 0 et 1 . Comme réalisation physique du bit de mémoire, nous considérons la "mémoire modèle" suivante : Une enceinte est divisée par une paroi en deux compartiments de volumes égaux, et contient une particule pouvant se trouver soit dans le compartiment de gauche, auquel cas on dit que le bit est dans l'état 0 , soit dans le compartiment de droite, auquel cas on dit que le bit est dans l'état 1 .

Notons qu'il ne faut pas confondre cette mémoire avec la machine de Szilard, malgré la ressemblance entre les deux systèmes. On appellera "particule S" la particule située dans la machine de Szilard, et "particule M" la particule située dans la mémoire.

Nous appelons "machine de Landauer" la machine composée de la machine de Szilard et de la mémoire. Ainsi la machine de Landauer comporte deux enceintes : l'enceinte de la machine de Szilard (contenant la particule S) et l'enceinte de la mémoire (contenant la particule M). Ces deux enceintes sont en contact avec un thermostat de température

T

Un cycle de la machine de Landauer se décompose en six étapes, notées A, B, C, D, R1 et R2.
Au début du cycle, le bit est dans l'état 0 .
Les étapes

A, C

et D sont inchangées par rapport à la partie 1 ; la mémoire ne change pas d'état pendant ces étapes.
Pendant l'étape B , un appareil détecte si la particule S est à gauche où à droite de la paroi, et écrit le résultat de la mesure dans la mémoire : après cette opération, le bit est dans l'état 0 si la particule S a été détectée à gauche, et dans l'état 1 si elle a été détectée à droite. On admet qu'au cours de cette opération de détection et d'écriture, ni la particule S ni la particule M ne reçoivent de travail ou de chaleur (on peut montrer que ceci est possible car l'état du bit avant l'opération est connu).
À la fin du cycle, l'état du bit est réinitialisé à 0 . Cela signifie qu'après cette opération de réinitialisation, l'état du bit doit être 0 , quel que soit son état avant l'opération.
Pour effectuer cette opération de réinitialisation, le mécanisme de la machine modifie l'état de la mémoire en deux étapes :
(R1) La paroi est retirée, puis réintroduite au contact du bord de droite. Après cette étape, la particule M est libre de se déplacer dans tout le volume de la mémoire.
(R2) La paroi est déplacée lentement vers la gauche jusqu'à ce qu'elle soit à nouveau au milieu de l'enceinte. Après cette étape, la particule

M

est dans la moitié gauche de la mémoire.

On admet que le mécanisme effectue un travail négligeable pendant l'étape R1. Ainsi, le mécanisme de la machine de Landauer effectue un travail non nul pendant les étapes C et R 2 , et un travail nul pendant les autres étapes.
9. Déterminer le travail

W_(init)

effectué par le mécanisme pendant l'opération de réinitialisation.
10. En déduire le travail reçu par le mécanisme de la machine de Landauer sur un cycle complet.
11. Déterminer la chaleur

Q_R

reçue par la mémoire pendant l'étape de réinitialisation.
12. Vérifier que le second principe appliqué à la machine de Landauer sur un cycle est bien respecté.

Dans le cadre de ce problème, nous n'irons pas plus loin dans la résolution des contradictions constatées dans les questions 4 et 8 , qui sont liées au fait que pendant l'étape B, une information sur l'état du système est acquise et stockée dans la mémoire. Dans la suite du problème, nous appliquerons le second principe uniquement à des transformations pendant lesquelles aucune acquisition d'information n'a lieu, pour lesquelles le second principe est toujours applicable.
13. On considère dans cette question le cas où le déplacement de la paroi pendant l'étape R2 est rapide. Comment le résultat de la question 9 est-il modifié? On pourra commencer par déterminer la variation d'entropie pendant l'étape R2.
Dans la suite du problème, on admet que les résultats obtenus ci-dessus concernant le travail

W_(init)

ne sont pas spécifiques à la mémoire modèle que nous avons considérée, mais sont valables pour tout type de mémoire. Plus précisément, on admet le "principe de Landauer" suivant : pour effectuer une opération de réinitialisation d'un bit de mémoire (l'opération étant toujours supposée indépendante de l'état initial du bit) le travail à fournir vérifie le résultat de la question 13 , et s'approche du résultat de la question 9 dans la limite d'une opération très lente.
14. Que peut-on en déduire concernant le coût énergétique pour effacer 1 Go (giga-octet) d'information à température ambiante ? Comparer ce coût à la puissance électrique typique d'un ordinateur et commenter.
15. On revient à la mémoire modèle. Supposons que le bit est dans l'état 1. Proposer un protocole faisant passer le bit dans l'état 0 sans dépenser de travail. Pourquoi ce protocole est-il compatible avec le principe de Landauer? Discuter la possibilité d'utiliser ce protocole pour réaliser l'opération de réinitialisation de la mémoire à la fin du cycle de la machine de Landauer.

3 Une machine de Szilard à $N$ particules

Dans cette partie, on étudie une généralisation à un nombre de particules quelconque de la machine de Szilard de la partie 1. Le cycle est le même que celui étudié dans la partie 1 sauf que la paroi est insérée à une position quelconque telle que le volume du compartiment de gauche soit donné par

V_G = xV

, où

x

est un paramètre fixé tel que

0 < x < 1

. Ensuite, après mesure du nombre de particules dans chaque compartiment, un mécanisme déplace la paroi de façon réversible jusqu'au point d'équilibre mécanique entre les deux compartiments pour lequel les pressions dans chaque compartiment sont égales :

P_G = P_D

.
On s'intéressera en particulier au travail

W_m

reçu par le mécanisme pendant le déplacement lent de la paroi jusqu'à l'état d'équilibre mécanique (correspondant à l'étape C dans la partie 1 ).
On suppose que l'équation d'état des gaz parfaits est applicable quel que soit le nombre de particules.
On note

N_G

le nombre de particules dans le compartiment de gauche après insertion de la barrière. Le nombre de particules dans le compartiment de droite est bien sûr

N_D = N - N_G

.
16. Exprimer, à l'équilibre mécanique, les volumes du compartiment de gauche

V_(G, e)

et du compartiment de droite

V_(D, e)

en fonction de

N_G, N

V

.
17. Déterminer

W_m(N_G)

pour les cas particuliers

N_G = 0

N_G = N

, et montrer que pour

0 < N_G < N

on a

W_m(N_G) = k_B T[N_G ln((N_G)/(xN)) + (N - N_G)ln((N - N_G)/((1 - x)N))]

Figure 2 - Travail moyen reçu par le mécanisme en fonction du nombre de particules dans le gaz pour

x = 1/2

On note

P(N_G)

la probabilité que le nombre de particules dans le compartiment de gauche après insertion de la barrière soit égal à

N_G

.
18. Pour

N = 1

, quelle est la probabilité

p_G

que la particule se trouve dans le compartiment de gauche après insertion de la paroi? Quelle est la probabilité

p_D

qu'elle se trouve dans le compartiment de droite?
19. Pour

N = 2

, quelles sont les différentes situations possibles et leurs probabilités

P(N_G)

? Vérifier que la somme des différentes probabilités vaut bien 1 .
20. En généralisant le raisonnement précédent, déterminer

P(N_G)

pour

N

quelconque.

On veut estimer le travail moyen

W¯_m

reçu par le mécanisme, la moyenne étant effectuée sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.
21. Exprimer

W¯_m

sous la forme d'une somme que l'on ne cherchera pas à évaluer à ce stade.
22. Pour

N = 1

, pour quelle valeur de

x

ce travail moyen est-il maximal? Même question pour

N = 2

La courbe de la figure 2 représente la variation de

W¯_m

en fonction de

N

pour

x = 1/2

.
23. Vérifier la compatibilité de cette courbe avec le résultat trouvé en partie 1 . Voyez-vous une explication évidente au fait que cette courbe soit décroissante?
24. Comparer les valeurs de

W¯_m

pour

N = 1

N = 2

. Justifier simplement ce résultat.

On souhaite maintenant déterminer une expression approchée de la fonction

f(N_G) = P(N_G)W_m(N_G)

dans la limite des grands nombres de particules. On s'intéresse tout d'abord à la fonction

P(N_G)

, où

N_G

pourra être traitée comme une variable continue. On admet que la distribution de probabilité

P(N_G)

tend vers une fonction gaussienne

g(N_C)

: pour

N_G

assez proche de

N_G^-

et grand devant 1 ,

P(N_G) \approx g(N_G) = 1/(\sqrt(2π)σ)exp(- ((N_G - N_G^-)^2)/(2σ^2))

où

N_G^-

est la moyenne de la distribution

P(N_G)

σ^2

sa variance.
25. Déterminer

σ

N_G^-

en fonction des données du problème.
26. Montrer que pour

N_G

assez proche de

N_G^-

et grand devant 1 ,

f(N_G) \approx C(N_G - N_G^-)^2 exp(- ((N_G - N_G^-)^2)/(2σ^2))

où

C

est un préfacteur (indépendant de

N_G

) que l'on déterminera en fonction des données du problème. Pour cela on pourra effectuer un développement limité en admettant que

N - N_G^-

peut être traité comme un petit paramètre.
27. Tracer l'allure de la fonction

f(N_G)

pour

x = 1/2

. Interprétez son comportement en fonction de

N_G

.
28. À partir de la forme donnée à l'équation (3), déduire la limite de

W¯_m

pour

N \to \infty

. Commenter brièvement le résultat obtenu.
29. Voyez-vous une explication simple de la dépendance en

x

du résultat de la question précédente ?

4 Une machine de Szilard quantique

Dans cette partie, on étudie une machine de Szilard quantique à une particule, fonctionnant selon un cycle assez similaire à celui de la partie 1 . On considère une particule de masse

M

évoluant uniquement selon l'axe des

x

et confinée par un potentiel

V(x)

. Dans le régime quantique, chaque état stationnaire de la particule dans ce potentiel est associé à une fonction d'onde de partie spatiale

φ_n(x)

et une énergie

E_n

, où

n \in ℕ

est un indice entier.

L'équation de Schrödinger s'écrit

- (ℏ^2)/(2M)(d^2 φ_n)/(dx^2) + V(x)φ_n(x) = E_n φ_n(x)

avecℏ = h/(2π)

la constante de Planck réduite. Dans la suite on utilisera le terme "fonction d'onde" au lieu de "partie spatiale de la fonction d'onde".

Cette particule est en contact avec un thermostat de température

T

fixée. On admet que les principes de la thermodynamique et la notion d'entropie sont applicables, les grandeurs thermodynamiques usuelles (telles que le travail, la chaleur échangée ou l'énergie interne) étant définies en considérant une moyenne temporelle sur une durée assez longue.

On admet également qu'à l'équilibre thermique l'énergie interne de la particule est donnée par

U = \sum_(n = 0)^\inftyE_n P_n

avec

P_n = e^(- βE_n)/Z

où l'on a introduit

β = 1/(k_B T)

avec

k_B

la constante de Boltzmann, et où

Z

est tel que

\sum_(n = 0)^\inftyP_n = 1

La quantité

P_n

s'interprète comme la probabilité que la particule (à l'équilibre thermique avec le thermostat) soit dans l'état stationnaire de fonction d'onde

φ_n

Enfin, on admet que l'entropie de la particule est donnée par

S = - k_B\sum_(n = 0)^\inftyP_n ln(P_n)

Pour alléger les notations on pourra utiliser le paramètre

X

défini par

X = βℏω.

4.1 Oscillateur harmonique

On considère d'abord le cas d'un potentiel harmonique

V(x) = Mω^2 x^2/2

, où

ω

est appelé pulsation du potentiel. L'équation de Schrödinger (4) est vérifiée pour tout

x \in ℝ

. On admet que sa résolution conduit aux énergies des états stationnaires :

E_n = (n + 1/2)ℏω (n \in ℕ)

Déterminer l'expression de $Z$ .
Montrer que

U = (ℏω)/2coth(X/2)

où

coth(x) = (ch(x))/(sh(x))

.
32. Déterminer la limite de

U

pour

T \to 0

et commenter le résultat obtenu.
33. Déterminer le comportement asymptotique de

U

pour

T \to \infty

. On notera que la constante de Planck n'apparaît pas dans l'expression obtenue : pouvait-on s'y attendre?
34. En utilisant l'équation (8), obtenir l'expression de

S

en fonction de

X

4.2 Oscillateur harmonique avec barrière

Dans cette partie, on ajoute une barrière de potentiel

V_b(x) \geq 0

localisée autour de

x = 0

, de sorte que le potentiel total est

V(x) = Mω^2 x^2/2 + V_b(x)

.
On suppose cette barrière de largeur négligeable :

V_b(x) = 0

pour

|x| > l

, avec

l

très petit (par rapport aux autres longueurs caractéristiques du problème). On admet que l'effet d'une telle barrière ne dépend que du paramètre

V_0 = \int_(- l)^l V_b(x)dx

On réalise une opération d'insertion de barrière de potentiel en augmentant lentement

V_0

d'une valeur nulle jusqu'à une valeur infiniment grande. On admet que cette transformation est réversible.
La présence de la barrière modifie les niveaux d'énergie de la particule et les

φ_n

ne sont a priori plus des fonctions d'ondes d'états stationnaires.
On note

E_n^((b))

φ_n^((b))

les énergies et les fonctions d'onde des états stationnaires en présence de la barrière dans la limite

V_0 \to + \infty

, avec

n \in ℕ

.
On ordonne les

E_n^((b))

dans l'ordre croissant:

E_0^((b)) \leq E_1^((b)) \leq E_2^((b)) \leq \dots

On admet que les

E_n^((b))

φ_n^((b))

sont données par

éöé{l'équation de Schrödinger − (ℏ^2)/(2M)(d^2 φ_n^((b)))/(dx^2) + (Mω^2 x^2)/2φ_n^((b))(x) = E_n^((b))φ_n^((b))(x) pour tout x réel non nul,; la condition aux limites φ_n^((b))(0) = 0.

Figure 3 - Énergie des états stationnaires modifiés par la présence de la barrière de potentiel d'amplitude

V_0 = V~_0\sqrt(ℏ^3 ω/M)

Dans la suite du problème, on conserve la notation

E_n

φ_n

pour les énergies et les fonctions l'ondes des états stationnaires de l'oscillateur harmonique sans barrière (considéré dans la sous-partie 4.1). On admettra que

cesφ_n

sont de la forme

φ_n(x) = h_n(x)exp(- (Mωx^2)/(2ℏ))

où

h_n(x)

est un polynôme de parité identique à celle de l'entier

n

.
35. La figure 3 représente graphiquement les énergies des états stationnaires en fonction de

V_0.Au

vu de cette figure, conjecturer l'expression de

E_n^((b))

en fonction de

n

pour tout

n \in ℕ

.
36. Pour quelles valeurs de

m

peut-on montrer sans calculs que

E_m

appartient à l'ensemble

{E_n^((b)); n ∈ ℕ}

? Vérifier la cohérence avec la réponse à la question précédente.

On admet dans la suite que la conjecture émise en réponse à la question 35 est vraie.
37. Montrer que les

E_n^((b))

sont les énergies des états stationnaires d'une particule dans un potentiel harmonique de pulsation

2ω

, décalées d'une constante à déterminer.

Après insertion de la barrière de potentiel (avec

V_0 \to + \infty

), on note

U_b

l'énergie interne et

S_b

l'entropie de la particule.
38. Déterminer

U_b

.
39. Déterminer

S_b

.
40. Contrairement au.cas classique, l'insertion de la barrière a un coût énergétique. En utilisant les résultats des questions précédentes, calculer la chaleur

Q_(ins)

et le travail

W_(ins)

reçus par la particule au cours de l'opération d'insertion.

L'opération suivante consiste à détecter si la particule se situe à gauche de la barrière (

x < 0

) ou à droite de la barrière (

x > 0

). Nous allons traiter le cas où la particule est détectée à gauche, sachant que les résultats sont similaires dans le cas où elle est détectée à droite.

Après la détection, on attend assez longtemps pour que la particule soit à nouveau à l'équilibre thermique avec le thermostat. On note

U_d

S_d

l'énergie interne et l'entropie de la particule après cette étape.

On admet qu'après détection de la particule à gauche de la barrière, on peut considérer que le mouvement de la particule est limité aux

x

négatifs; les fonctions d'onde ne sont alors définies que pour

x \leq 0

, et les énergies

E_n^((d))

et les fonctions d'onde

φ_n^((d))

des états stationnaires sont données par

éö{l'équation de Schrödinger − (ℏ^2)/(2M)(d^2 φ_n^((d)))/(dx^2) + (Mω^2 x^2)/2φ_n^((d))(x) = E_n^((d))φ_n^((d))(x) pour tout x < 0; la condition aux limites φ_n^((d))(0) = 0

Montrer sans calculs que pour tout $m \in ℕ$ , l'énergie $(2m + 3/2)ℏω$ fait partie de l'ensemble des énergies ${E_n^((d)); n ∈ ℕ}$ .

On admet dans la suite que

E_n^((d)) = (2n + 3/2)ℏω

.
42. Que vaut

U_d

?
43. Déterminer

S_d

. En déduire la variation d'entropie

S_d - S_b

associée à l'opération de détection. Commenter brièvement.
Dans la dernière étape du cycle, on déplace lentement la position

x_b

de la barrière de potentiel depuis

x_b = 0

jusqu'à

x_b \to + \infty

, ce qui permet de revenir au potentiel harmonique sans barrière. On admet que cette transformation est réversible.
44. Déterminer le travail

W_(dep)

reçu par la particule lors de cette dernière étape.
45. En admettant que le travail

W_(det)

reçu par la particule pendant l'opération de détection est nul, déterminer le travail

W

reçu par la particule au cours d'un cycle complet. Comparer au résultat obtenu dans la partie 1. Ce résultat vous semble-t-il surprenant?

5 Réalisation expérimentale d'une machine de Szilard

Dans cette partie, nous étudions la réalisation expérimentale récente d'une machine de Szilard, dont le principe est assez différent des parties précédentes. La particule d'intérêt est un électron piégé dans un système microscopique avec une structure de double puits. Les expérimentateurs peuvent modifier le profil d'énergie du double puits avec une électrode de contrôle et sont capables de détecter en temps réel (sans influencer l'état du système) la position de l'électron (à gauche ou à droite). Suivant le résultat de la mesure, il est possible de rétroagir sur le système pour modifier la forme du potentiel.
Un cycle de l'expérience se déroule comme suit (voir figure 4). On commence dans la situation symétrique, où l'énergie de l'électron s'il se trouve dans le puits de gauche est la même que dans le puits de droite. On détecte dans quel puits se trouve l'électron. Supposons qu'il est détecté à gauche. On passe alors rapidement à une situation asymétrique où le puits de gauche est plus bas en énergie que le puits de droite. On revient ensuite lentement vers la situation symétrique.
À tout instant, l'électron peut passer d'un puits à l'autre. Au cours d'un cycle, il se produit typiquement plusieurs passages. Ces passages sont dûs à l'effet tunnel, mais nous n'aurons pas besoin d'utiliser la mécanique quantique dans cette partie du problème.

Figure 4 - Description du principe d'une expérience réalisant une machine de Szilard avec un électron unique. D'après PNAS 111, 13786 (2014).

On admet que l'expérience peut être modélisée comme suit :

À un instant $t$ donné, l'électron est soit dans le puits de gauche, auquel cas il a une énergie notée $E_G(t)$ , soit dans le puits de droite, auquel cas il a une énergie $E_D(t)$ .
Entre deux instants $t$ et $t + dt$ avec $dt$ infinitésimal, l'électron a une certaine probabilité de passer d'un puits à l'autre : cette probabilité est égale à $Γ_+(t)dt$ si l'électron est initialement dans le puits de gauche, et $Γ_-(t)dt$ s'il est initialement dans le puits de droite. Les fonctions $Γ_+(t)$ et $Γ_-(t)$ sont telles que $Γ_+(t) - Γ_-(t)$ a le même signe que $E_G(t) - E_D(t)$ .
Entre les instants $t$ et $t^'$ , si l'électron reste en permanence dans le puits de gauche, alors il reçoit un travail $E_G(t^') - E_G(t)$ . De même, si l'électron reste dans le puits de droite, il reçoit un travail $E_D(t^') - E_D(t)$ .
À chaque fois que l'électron passe d'un puits à l'autre, il ne reçoit aucun travail, mais il reçoit (de son environnement) une chaleur égale à la différence d'énergie entre l'état final et l'état initial : l'électron reçoit une chaleur $E_D(t) - E_G(t)$ lorsqu'il passe de gauche à droite, et $E_G(t) - E_D(t)$ lorsqu'il passe de droite à gauche.

L'expérience est réalisée dans un cryostat à une température

T \approx 100

milli-Kelvin.
Le profil du potentiel est contrôlé en temps réel par une électrode dont la tension est proportionelle à un paramètre

n_g

compris entre 0 et 1 . Le potentiel est symétrique pour

n_g = 1/2

. Le puits de gauche est nettement plus profond que le puits de droite pour

n_g = 1

et réciproquement pour

n_g = 0

.
Le détecteur d'électron est placé au voisinage du puits de gauche. On note

I_d

le courant mesuré à la sortie du détecteur. La présence d'un électron à proximité du détecteur se traduit par une valeur de

I_d

plus élevée qu'en l'absence d'électron.
L'évolution temporelle de

n_g

I_d

est représentée sur la figure 5 . Les instants marqués par des lignes pointillées verticales correspondent aux instants où démarre un cycle.

Figure 5 - Courant

I_d

(en pico-Ampères) mesuré à la sortie du détecteur d'électron (en haut) et paramètre de contrôle

n_g

(en bas) en fonction du temps (en secondes).

Expliquer l'allure de l'évolution de $I_d$ en fonction du temps ainsi que le choix de variation de $n_z$ à chaque début de cycle.

La chaleur échangée peut être déterminée en détectant les événements qui font passer l'électron d'un puits à l'autre et en déterminant le changement d'énergie associé à chacun de ces événements. On admet que l'énergie de l'électron est celle d'un condensateur de capacité

C_0

et de charge

(n - n_g)q_e

, où

n

est défini par

$n = 0$ lorsque l'électron est dans le puits de gauche,
$n = 1$ lorsque l'électron est dans le puits de droite.

Quelle est l'énergie $E(n)$ de l'électron pour les deux valeurs de $n$ ? On introduira $E_c = q_e^2/(2C_0)$ .
En déduire la variation d'énergie lorsque l'électron passe de gauche à droite pour une valeur donnée de $n_g$ . Même question s'il passe de droite à gauche.

On note

Q

W

la chaleur et le travail reçus par l'électron au cours d'un cycle, et

Q¯

W¯

leurs valeurs moyennes (après moyennage sur un grand nombre de cycles).
49. Expliquer qualitativement pourquoi

Q¯ > 0

W¯ < 0

.
50. Sachant que

E_c \approx 100μeV

, donner un ordre de grandeur de

Q

pour les séquences observées sur la figure 5. Cet ordre de grandeur correspond-il qualitativement à ce que l'on aurait pour la machine de Szilard de la partie 1?

Le résultat de la mesure de

W

(normalisé par

k_B T

) pour environ 3000 cycles différents est représenté par l'histogramme de la figure 6. On note que la distribution mesurée comprend deux bosses : une bosse principale (située à gauche de la figure) et une bosse secondaire beaucoup plus petite (à droite).

Figure 6 - Distribution de probabilité du travail reçu par l'électron au cours d'un cycle.

La position de la bosse principale correspond-elle qualitativement à ce que l'on aurait pour la machine de Szilard de la partie 1 ? Cela vous semble-t-il surprenant?
Voyez-vous un ou deux types d'événements pouvant expliquer la présence de la bosse secondaire?

Dans la suite on négligera les événements discutés à la question 52 .

La fin du problème a pour but de calculer la valeur moyenne de

W

. Dans la suite, on considère le cas où l'électron est dans le puits de gauche au début du cycle (la valeur moyenne de

W

étant la même dans le cas où l'électron est initalement à droite). On prend l'origine de temps

t = 0

au début du cycle.
On note

p_G(t)

la probabilité que l'électron se trouve dans le puits de gauche au temps

t

, et

p_D(t)

la probabilité que l'électron soit dans le puits de droite.
53. Donner l'expression de

p_G(t)

p_D(t)

en fonction de

E_G(t)

E_D(t)

, en faisant l'hypothèse que ces probabilités sont proportionnelles au facteur de Boltzmann.

On note

E_0

la valeur commune de

E_G

E_D

t = 0

. On note

t_1

la durée du passage rapide à la situation asymétrique, et

t_f

la durée totale d'un cycle. Ainsi,

pour $0 < t < t_1$ , on diminue rapidement $E_G(t)$ de $E_0$ jusqu'à une valeur minimale $E_G(t_f) = E_(min)$ , et on augmente rapidement $E_D(t)$ de $E_0$ jusqu'à une valeur maximale $E_D(t_f) = E_(max)$ ;
pour $t_1 < t < t_f$ , on augmente lentement $E_G(t)$ de $E_(min)$ jusqu'à $E_0$ , et on diminue lentement $E_D(t)$ de $E_(max)$ jusqu'à $E_0$ .

Donner brièvement deux raisons pour lesquelles l'hypothèse faite dans la question 53 est vérifiée pour $t - t_1≫τ$ où $τ$ est un temps dont on donnera la signification physique sans chercher à déterminer son expression.

On note

W(t, t^')

le travail reçu par l'électron entre les instants

t

t^'

.
55. Donner l'expression de

W(0, t_1)

en fonction de constantes introduites dans l'énoncé.

En général,

W(t, t^')

est une variable aléatoire (puisque les sauts d'un puits à l'autre ont lieu à des instants aléatoires). On note

W(t, t^')^-

la valeur moyenne de

W(t, t^')

.
56. Exprimer

W(t, t + dt)^-

pour

dt

infinitésimal et

t - t_1≫τ

. En déduire une expression simple de

W(t, t^')^-

pour

t - t_1

t^' - t_1

grands devant

τ

.
57. On note

W¯ = W(0, t_F)^-

le travail moyen pour un cycle complet. Obtenir une expression très simple de

W¯

, en supposant que la température est relativement basse et que la variation de

E_G(t)

E_D(t)

pour

t > t_1

est très lente. Commenter l'expression obtenue.
58. Cette dernière question a pour objet de vérifier que le modèle employé dans cette partie est cohérent avec les principes de la thermodynamique.
On note

E(t)^-

l'énergie moyenne de l'électron à l'instant

t

, et

Q(t, t^')^-

la chaleur moyenne reçue par l'électron entre les instants

t

t^'

. Montrer que

E(t^')^- - E(t)^- = W(t, t^')^- + Q(t, t^')^-.

Montrer que sous des hypothèses à préciser, on a

Q(t, t^')^- = (S(t^') - S(t))/T

où

S(t)

est défini par

S(t) = - k_B[p_G(t)ln(p_G(t)) + p_D(t)ln(p_D(t))].

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C ENS PC 2023 ?

Le sujet porte sur les principes de la thermodynamique, l'entropie statistique et le facteur de Boltzmann, le principe de Landauer en théorie de l'information, l'oscillateur harmonique quantique et les processus aléatoires entre deux états.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique C ENS PC 2023 ?

Le jury signale une confusion entre variation et valeur de l'énergie interne dans le premier principe, des erreurs de calcul par défaut de méthode, des hypothèses infondées sur le caractère réversible d'une transformation, et une loi de Boltzmann souvent mal écrite.

Ce sujet de physique C ENS PC 2023 est-il difficile ?

Oui : la moyenne est de 9,61 sur 20 avec un écart-type de 3,58, et le jury signale avoir corrigé un grand nombre de copies de niveau faible, avec certaines questions réussies par une minorité de candidats seulement.

Combien de copies ont été corrigées pour l'épreuve de physique C ENS PC 2023 ?

519 copies ont été rendues, un nombre supérieur à celui des sessions 2022 (487 copies) et 2021 (359 copies), selon le rapport du jury.

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CONCOURS D'ADMISSION 2023

Début de l'Épreuve Ce sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Machine de Szilard

Introduction

Consignes

Formulaire

1 Machine de Szilard à une particule

2 Prise en compte de la mémoire : machine de Landauer

3 Une machine de Szilard à N particules

4 Une machine de Szilard quantique

4.1 Oscillateur harmonique

4.2 Oscillateur harmonique avec barrière

5 Réalisation expérimentale d'une machine de Szilard

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C ENS PC 2023 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique C ENS PC 2023 ?

Ce sujet de physique C ENS PC 2023 est-il difficile ?

Combien de copies ont été corrigées pour l'épreuve de physique C ENS PC 2023 ?

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3 Une machine de Szilard à $N$ particules