Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2022

Considérons le système fermé constitué par la masse m d'hélium liquide. La transformation s'effectuant à pression constante p sans autre travail que celui des forces pressantes, le premier principe de la thermodynamique s'écrit pour une durée élémentaire \mathrm{d}t :

Par définition de la capacité thermique massique à pression constante c_p(T), la différentielle de l'enthalpie s'exprime par :

On en déduit immédiatement :

soit l'expression de la vitesse de refroidissement :

Allure de l'évolution temporelle T(t) : Puisque \mathcal{P}_{\text{th}} < 0, la température T(t) est une fonction strictement décroissante du temps. La valeur absolue de la pente est inversement proportionnelle à c_p(T) :

D'après la courbe c_p(T) de la figure 1(a) :

• Pour T > T_\lambda (de 5\text{ K} à environ 2{,}5\text{ K}), c_p présente une valeur modérée (de l'ordre de 3 à 4\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) : la température décroît à vitesse quasi-constante.
• Au voisinage de T_\lambda \simeq 2{,}17\text{ K}, c_p(T) présente un pic très prononcé (qui tend vers une valeur très élevée) : la vitesse de refroidissement \left|\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right| s'effondre, ce qui se traduit par un quasi-palier (inflexion avec une pente minimale proche de l'horizontale).
• Pour T < T_\lambda, c_p(T) chute rapidement lorsque T s'approche de 1\text{ K} : la vitesse de refroidissement augmente très fortement et la température chute de façon abrupte.

1. Diagramme de phase (p, T) typique d'un corps pur

Le diagramme d'équilibre (p, T) d'un corps pur usuel présente trois domaines correspondant aux trois états de la matière (solide, liquide, gaz), délimités par trois courbes de coexistence :

• la courbe de sublimation (équilibre solide-gaz) ;
• la courbe de vaporisation (équilibre liquide-gaz), qui débute au point triple et se termine au point critique C ;
• la courbe de fusion (équilibre solide-liquide), de pente généralement positive.

Ces trois courbes se coupent en un point unique, le point triple, où coexistent les trois phases à l'équilibre.

2. Comparaison avec le diagramme de l'hélium

Le diagramme d'état de l'hélium (Fig. 2) présente plusieurs différences remarquables :

• Absence de point triple classique : il n'existe aucun point de coexistence entre les phases solide, liquide et gaz.
• Absence de solidification à pression modérée : la phase solide n'apparaît qu'au-delà d'une pression minimale d'environ 25\text{ bar} (2{,}5 \times 10^6\text{ Pa}). Même lorsque T \to 0\text{ K}, l'hélium reste liquide à basse pression.
• Existence de deux phases liquides : le liquide normal (hélium-I) à plus haute température et le liquide superfluide (hélium-II) à basse température, séparés par la ligne de transition \lambda.

3. Refroidissement le long de la ligne de coexistence liquide-gaz

• Corps pur usuel : lors du refroidissement le long de la courbe d'équilibre liquide-gaz, le système atteint le point triple où le liquide se solidifie entièrement à température constante (chaleur latente de solidification). Si l'on poursuit le refroidissement, le système suit la courbe de sublimation (coexistence solide-gaz).
• Pour l'hélium : en suivant la courbe de vapeur saturante, le système ne rencontre jamais de phase solide. À la température T_\lambda \simeq 2{,}17\text{ K}, l'hélium-I subit la transition \lambda et devient superfluide (hélium-II). L'hélium demeure liquide (hélium-II) en équilibre avec sa vapeur jusqu'à T = 0\text{ K}.

Un écoulement parfait (ou écoulement d'un fluide parfait) est caractérisé par :

• L'absence d'effets visqueux : la viscosité dynamique est nulle (\eta = 0), ce qui implique l'absence de contraintes de cisaillement (tangentielles) et donc l'absence de dissipation visqueuse d'énergie mécanique.

• Une condition aux limites de glissement à la paroi : contrairement aux fluides réels où s'applique la condition d'adhérence (\vec{v} = \vec{v}_{\text{paroi}}), un fluide parfait vérifie uniquement la condition d'imperméabilité (ou de non-pénétration) :

  \vec{v} \cdot \vec{n} = \vec{v}_{\text{paroi}} \cdot \vec{n}

  ce qui permet à la vitesse tangentielle d'être non nulle à la paroi.

• L'équation d'Euler : le bilan de quantité de mouvement s'exprime par l'équation d'Euler (l'équation de Navier-Stokes privée du terme visqueux \eta \Delta \vec{v}) :

  \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} p + \vec{f}_{\text{vol}}
• La conservation de la charge / théorème de Bernoulli : en régime permanent et pour un fluide incompressible homogène (ou barotrope), la charge mécanique se conserve le long des lignes de courant.

1. Distance interatomique typique a

D'après le graphe de la figure 1(b), la masse volumique de l'hélium liquide au voisinage de la transition \lambda et en phase superfluide est de l'ordre de \rho \simeq 140\text{ à } 145\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}. En retenant la valeur \rho \simeq 140\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} qui permet d'exploiter l'indication de l'énoncé :

En utilisant l'indication \sqrt[3]{50} \simeq 3{,}5, on obtient :

2. Longueur d'onde de de Broglie \Lambda

L'énergie cinétique classique non relativiste d'un atome est reliée à son impulsion par E_c = \frac{p^2}{2m_{\mathrm{He}}}. Avec E_c \sim 3k_B T, l'impulsion caractéristique s'écrit :

La relation de de Broglie donne alors :

La longueur d'onde de de Broglie évolue en température selon :

3. Température d'apparition des effets quantiques

Les effets quantiques se manifestent lorsque les fonctions d'onde des atomes se recouvrent de manière significative, soit pour \Lambda \sim a. Cette condition correspond à une température caractéristique T_q telle que :

Avec a = 3{,}5 \times 10^{-10}\text{ m} = \frac{7}{2} \times 10^{-10}\text{ m}, soit a^2 = \frac{49}{4} \times 10^{-20}\text{ m}^2 :

Commentaire : L'ordre de grandeur obtenu pour T_q coïncide remarquablement avec la température de la transition superfluide (T_\lambda \simeq 2{,}17\text{ K}). Cela confirme que la superfluidité de l'hélium est une manifestation macroscopique de la physique quantique (condensation de Bose-Einstein).

1. Interprétation physique du second terme

Le second terme, E_s = 4\pi \gamma r^2, représente le coût énergétique interfacial lié à la création d'une interface liquide-gaz d'aire S = 4\pi r^2. Le coefficient de tension superficielle \gamma > 0 correspond à l'énergie par unité de surface à fournir pour rompre les liaisons attractives du liquide lors de la formation de l'interface. Ce terme pénalise énergétiquement la formation de la bulle.

2. Recherche du maximum de \Delta E(r)

La variation d'énergie s'écrit, en posant \Delta p = p_{\text{sat}} - p > 0 (puisque l'hélium est métastable, p < p_{\text{sat}}) :

Dérivons cette fonction par rapport au rayon r :

Pour r > 0, cette dérivée s'annule en une valeur critique r_c :

La dérivée seconde au point r_c vaut :

Il s'agit donc bien d'un maximum local, noté \Delta E^*. En évaluant \Delta E en r_c :

En injectant l'expression de r_c, on obtient :

3. Tracé de \Delta E(r)

La courbe part de l'origine \Delta E(0) = 0, s'annule à nouveau pour r_0 = \frac{3}{2}r_c = \frac{3\gamma}{p_{\text{sat}}-p}, et tend vers -\infty lorsque r \to +\infty car le terme volumique en -r^3 domine à grande échelle.

4. Énergie à fournir pour la rupture de l'état métastable

Pour r < r_c, la dérivée \frac{\mathrm{d}\Delta E}{\mathrm{d}r} est positive : la bulle a tendance à se résorber spontanément pour minimiser l'énergie. En revanche, dès que r > r_c, \frac{\mathrm{d}\Delta E}{\mathrm{d}r} < 0, de sorte que la croissance de la bulle devient spontanée et conduit à la transition de phase liquide \to gaz (cavitation).

L'état liquide métastable est donc piégé derrière une barrière d'activation. L'énergie minimale qu'il faut fournir au système pour créer un germe de taille surcritique (r \ge r_c) et provoquer la cavitation est la hauteur de cette barrière :

La formation d'une bulle de gaz de taille critique r_c requiert de franchir la barrière de potentiel \Delta E^* déterminée à la question précédente.

Dans un système à la température T, la probabilité pour qu'une fluctuation thermique fournisse une énergie \Delta E^* est régie par le facteur de Boltzmann \exp\left(-\frac{\Delta E^*}{k_B T}\right).

Par conséquent, le taux de cavitation par unité de volume et par unité de temps suit une loi d'activation thermique (analogue à la loi d'Arrhenius) :

où \Gamma_0 est un préfacteur cinétique ayant la dimension de \Gamma, c'est-à-dire en \mathrm{m^{-3}\cdot s^{-1}}.

Dans un liquide ordinaire, la présence d'impuretés ou de poussières favorise la nucléation hétérogène : les cavités se forment préférentiellement au niveau de ces impuretés, ce qui abaisse considérablement la barrière d'énergie d'activation \Delta E^*. D'après l'expression établie à la question Q6,

une diminution de \Delta E^* entraîne une augmentation spectaculaire de la probabilité de cavitation par unité de temps et de volume. L'état métastable est alors détruit quasi instantanément (temps de vie extrêmement court), empêchant toute observation approfondie.

L'hélium liquide à basse température (T \sim 1\text{ à }4\text{ K}) est remarquable à deux égards :

• Une pureté extrême : à ces températures, toutes les impuretés chimiques (autres gaz, poussières) sont congelées sous forme solide sur les parois ou décantent au fond de la cellule. Par simple filtration, on obtient un fluide d'une pureté exceptionnelle, exempt de sites de nucléation hétérogène ;
• L'observation de la nucléation homogène intrinsèque : la rupture de métastabilité ne peut se faire que par nucléation homogène intrinsèque, régie par la barrière théorique maximale \Delta E^*. L'hélium liquide permet ainsi d'explorer des états métastables profonds (jusqu'à des pressions fortement négatives) et d'étudier la physique fondamentale des transitions de phase sans les artefacts expérimentaux liés aux impuretés.

Pour que la cavitation se produise entre les instants t et t+\mathrm{d}t, deux conditions nécessaires et indépendantes doivent être réunies :

• le système n'a pas encore cavité entre 0 et t, ce qui correspond à une probabilité de survie 1 - \Sigma(t) ;
• un événement de cavitation s'amorce au sein du volume V au cours de l'intervalle \mathrm{d}t. Par définition du taux volumique \Gamma, cette probabilité conditionnelle vaut \Gamma \, V \, \mathrm{d}t (au premier ordre en \mathrm{d}t).

La probabilité conjointe s'écrit donc :

En divisant par \mathrm{d}t, on obtient l'équation différentielle :

À l'instant initial de préparation de l'état métastable (t = 0), la cavitation n'a pas encore eu lieu, soit \Sigma(0) = 0. La solution de cette équation différentielle avec second membre constant s'écrit alors directement :

D'après la question Q8, la probabilité de cavitation au bout d'un temps \tau s'écrit :

La condition \Sigma(\tau) = \frac{1}{2} impose :

En utilisant l'expression du taux de cavitation \Gamma = \Gamma_0 \exp\left(-\frac{\Delta E^*}{k_B T}\right) établie en Q6, il vient :

En injectant l'expression de la barrière énergétique \Delta E^* = \dfrac{16\pi\gamma^3}{3(p_{\text{sat}} - p_c)^2} issue de la question Q5 (avec p_c < p_{\text{sat}}) :

Comme p_c < p_{\text{sat}}, on en déduit l'expression de la pression de cavitation :

Limite quand T \to 0 : Le terme sous la racine diverge en T^{-1/2}, ce qui conduit selon ce modèle à :

Physiquement, les fluctuations d'origine purement thermique s'éteignent au zéro absolu, rendant la nucléation thermique classiquement impossible. En réalité, à très basse température, un mécanisme quantique prend le relais : la nucléation par effet tunnel macroscopique à travers la barrière de potentiel, ce qui sature la pression de cavitation à une valeur finie négative.

Signe de p_c à basse température : À basse température, p_{\text{sat}} \simeq 0 tandis que le terme soustractif est très grand devant p_{\text{sat}}. Par conséquent :

Une pression négative signifie que le liquide n'est plus comprimé mais soumis à un état de traction mécanique (tension hydrostatique), rendu possible par les forces attractives interatomiques de van der Waals et l'absence d'impuretés.

Choix de V et \tau pour maximiser |p_c| : Pour p_c < 0, on a |p_c| = -p_c \simeq \sqrt{\frac{16\pi\gamma^3}{3 k_B T \ln\left(\frac{\Gamma_0 V \tau}{\ln 2}\right)}} - p_{\text{sat}}. Pour maximiser |p_c|, il faut rendre le dénominateur de la fraction sous la racine le plus petit possible. Il convient donc de choisir :

• un volume d'essai V le plus petit possible ;
• une durée d'observation \tau la plus courte possible.

Dans le modèle du gaz parfait, le fluide est constitué de particules ponctuelles sans interactions mutuelles à distance, animées d'un mouvement d'agitation thermique désordonné.

Interprétation microscopique de la pression : La pression exercée par le gaz sur une paroi macroscopique résulte du bombardement incessant des particules contre cette paroi. Chaque particule qui subit une collision élastique sur un élément de surface \mathrm{d}S lui cède une quantité de mouvement normale à la paroi dirigée vers l'extérieur. La théorie cinétique des gaz relie la pression à la statistique des vitesses par :

où n^* = N/V est la densité particulaire, m la masse d'une particule, \langle v^2 \rangle le carré moyen de la vitesse microscopique et E_c l'énergie cinétique totale du gaz. La pression mesure ainsi la densité volumique d'énergie cinétique d'agitation thermique transmise par collisions.

Possibilité d'une pression négative : Dans l'expression microscopique, la densité particulaire n^*, la masse m et la moyenne \langle v^2 \rangle sont des grandeurs strictement positives (pour T > 0). De plus, les chocs élastiques ne peuvent exercer qu'une force de poussée vers l'extérieur de l'enceinte (\vec{\mathrm{d}F} = p\,\mathrm{d}S\,\vec{n}_{\text{ext}} avec p > 0). En l'absence de forces attractives (interactions de cohésion) susceptibles d'exercer une traction mécanique sur les parois :

En introduisant le volume par particule v = V/N (avec v > b), l'équation d'état de van der Waals s'écrit :

Cette expression comprend deux contributions opposées :

• le terme cinétique \dfrac{k_B T}{v - b} > 0, lié à l'agitation thermique et aux répulsions stériques à courte distance (covolume b) ;
• le terme de cohésion -\dfrac{a}{v^2} < 0, issu des forces attractives intermoléculaires à moyenne portée (interactions de van der Waals).

À basse température, l'agitation thermique devient suffisamment faible pour que les forces attractives dominent le mouvement thermique. Les molécules exercent alors une attraction globale nette les unes sur les autres, plaçant le fluide dans un état de tension mécanique caractérisé par une pression négative (p < 0).

La pression peut devenir négative s'il existe une valeur de v > b telle que p(v, T) < 0, soit :

Étudions la fonction g(v) = \dfrac{v - b}{v^2} = \dfrac{1}{v} - \dfrac{b}{v^2} définie sur ]b, +\infty[ :

La dérivée s'annule en v = 2b, est strictement positive pour v \in ]b, 2b[ et strictement négative pour v > 2b. La fonction g admet donc un maximum global en v = 2b, de valeur :

La condition d'existence d'un état à pression négative est donc que k_B T soit strictement inférieur au maximum de a\, g(v) :

avec :

On modélise la sève par un fluide incompressible et homogène de masse volumique \rho \simeq \rho_{\text{eau}}, au repos dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, l'axe vertical (Oz) étant orienté vers le haut avec l'origine z = 0 au niveau des racines.

La loi fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

Par intégration entre z = 0 où p(0) = p_0 (pression atmosphérique) et l'altitude z, on obtient :

La pression devient négative (p(z) < 0) pour une altitude z strictement supérieure à l'altitude critique z_c définie par p(z_c) = 0 :

Application numérique : Avec les valeurs usuelles p_0 = 1{,}01 \times 10^5\text{ Pa} (ou 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}), \rho \simeq 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

Évolution temporelle de la pression au foyer et métastabilité
Au foyer de l'émetteur acoustique, la pression varie sinusoïdalement autour de la pression au repos p_{\text{sat}} à la fréquence f = 1\text{ MHz} :

L'hélium liquide se trouve dans un état métastable dès lors que sa pression devient inférieure à la pression de saturation, c'est-à-dire quand p(t) < p_{\text{sat}}, ce qui correspond aux alternances négatives de la surpression acoustique :

où T_{\text{ac}} = 1/f est la période acoustique.

Durée caractéristique de l'état métastable
La phase de dépression acoustique dure une demi-période. La durée caractéristique de l'état métastable est donc :

Avec f = 1\text{ MHz} = 10^6\text{ Hz} :

Taille typique du foyer acoustique
En raison de la diffraction, une coquille hémisphérique focalise l'onde sonore sur une région dont la dimension caractéristique minimale est de l'ordre de la longueur d'onde acoustique \lambda_{\text{ac}} :

À T \simeq 1\text{ K}, la vitesse du son vaut v \simeq 200\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Cas où \delta p > p_{\text{sat}}
La pression minimale atteinte au cours d'un cycle vaut :

Si \delta p > p_{\text{sat}}, la pression absolue devient strictement négative :

Le fluide est alors soumis à un état de tension mécanique (traction). Si cette pression négative ne dépasse pas en valeur absolue la limite de cavitation |p_c|, le liquide subsiste temporairement dans un état métastable sous pression négative. Si |p_{\min}| > |p_c|, il y a rupture de métastabilité et cavitation acoustique (formation spontanée de bulles de vapeur).

La relation de Clausius-Mossotti s'écrit :

Pour l'hélium, l'indice optique est très proche de 1 (n = 1 + \epsilon avec \epsilon \ll 1). Développons les termes du membre de gauche au premier ordre en \epsilon :

Il vient ainsi au premier ordre en \epsilon :

En réinjectant cette approximation dans la relation de Clausius-Mossotti, on obtient :

La grandeur (n - 1) est donc directement proportionnelle à la masse volumique \rho. Par différentiation logarithmique (ou en prenant les petites variations associées à l'onde acoustique), on en déduit immédiatement :

L'interféromètre de Jamin est un interféromètre à division d'amplitude.

En effet, le faisceau incident rencontre la face avant de la première lame :

• une fraction de l'amplitude est réfléchie par la face avant (faisceau (1)) ;
• le reste est réfracté dans la lame de verre, réfléchi sur la face arrière argentée, puis émerge parallèlement au premier faisceau (faisceau (2)).

La séparation en deux faisceaux cohérents s'opère donc par partage de l'amplitude (et du flux énergétique) de l'onde incidente en un même point du front d'onde, et non par partition géométrique de portions distinctes du front d'onde (ce qui caractériserait un interféromètre à division du front d'onde comme les fentes d'Young).

Considérons le faisceau incident arrivant sur la première lame de Jamin avec un angle d'incidence \theta_i par rapport à la normale à la face avant :

• Le bras (1) correspond à la fraction du faisceau directement réfléchie sur la face avant en un point noté A_1. D'après la première loi de Snell-Descartes pour la réflexion, le rayon réfléchi repart en faisant un angle \theta_i avec la normale.

• Le bras (2) correspond à la fraction réfractée au point A_1 à l'intérieur de la lame avec un angle de réfraction r. La loi de Snell-Descartes à l'interface air/verre (l'indice du milieu extérieur étant égal à 1) s'écrit :

  \sin \theta_i = n_v \sin r

  Ce rayon se propage sur une épaisseur normale e, se réfléchit sur la face arrière argentée (miroir parfait) en un point B, puis revient sur la face avant en un point noté A_2.

La distance séparant A_1 et A_2 le long de la face d'entrée s'obtient directement par la géométrie du trajet dans la lame :

Au point A_2, le rayon se réfracte vers l'extérieur sous le même angle d'émergence \theta_i par rapport à la normale (n_v \sin r = \sin \theta_i). Les deux bras (1) et (2) se propagent donc parallèlement l'un à l'autre.

La distance d séparant les deux faisceaux parallèles est la projection orthogonale du segment [A_1 A_2] sur la normale commune aux deux rayons émergents. L'angle entre la face de la lame et les rayons émergents étant \frac{\pi}{2} - \theta_i, l'angle entre le vecteur \vec{A_1 A_2} et la normale aux rayons vaut \theta_i :

En exprimant \sin r et \cos r en fonction de \theta_i :

d'où :

En réinjectant cette expression dans celle de d et en utilisant l'identité trigonométrique 2 \sin \theta_i \cos \theta_i = \sin 2\theta_i, on obtient :

1. Déphasage \Phi(\theta_i) induit par chaque lame de Jamin

Considérons une lame de Jamin d'épaisseur e, d'indice n_v, éclairée sous l'angle d'incidence \theta_i. D'après les lois de Snell-Descartes, l'angle de réfraction r vérifie :

Un rayon incident se sépare en deux :

• un rayon réfléchi sur la face d'entrée (face avant) ;
• un rayon réfracté qui traverse la lame, se réfléchit sur le miroir de la face arrière, puis émerge par la face avant.

La différence de marche géométrique et optique entre ces deux rayons à la sortie de la lame est un résultat classique des lames à faces parallèles :

• le trajet dans le verre est de longueur 2\frac{e}{\cos r}, soit un chemin optique L_{\text{verre}} = 2 n_v \frac{e}{\cos r} ;

• les deux points d'émergence sur la face avant sont distants de \Delta x = 2e \tan r. La projection de ce segment sur la normale à l'onde dans l'air (d'indice n \simeq 1) correspond à une avance de chemin optique pour le premier rayon de :

  L_{\text{air}} = \Delta x \sin \theta_i = 2e \frac{\sin r}{\cos r} (n_v \sin r) = 2 n_v e \frac{\sin^2 r}{\cos r}

La différence de chemin optique s'écrit donc :

Le déphasage \Phi(\theta_i) introduit par la traversée d'une lame s'en déduit (à un déphasage de réflexion constant près) :

2. Déphasage \delta\phi en sortie de l'interféromètre (sans onde sonore)

Suivons les deux faisceaux à travers l'ensemble du dispositif :

• Faisceau (1) : il subit une réflexion sur la face avant de la lame 1, traverse la cellule d'hélium au repos sur une longueur L, puis entre dans la lame 2 où il effectue un aller-retour dans le verre avec réflexion sur la face arrière avant d'émerger.
• Faisceau (2) : il effectue un aller-retour dans le verre de la lame 1 avec réflexion arrière, traverse la cellule d'hélium au repos sur la même distance L (les lames étant rigoureusement parallèles), puis subit une réflexion sur la face avant de la lame 2.

Chaque faisceau subit donc exactement :

• une réflexion sur une face avant de lame ;
• une traversée aller-retour dans une lame de verre d'épaisseur e avec réflexion sur la face arrière métallisée ;
• un trajet de même longueur dans l'hélium au repos (d'indice n=1).

Par symétrie parfaite du dispositif, les chemins optiques suivis par les deux faisceaux sont strictement identiques :

En sortie, les deux faisceaux interfèrent de façon purement constructive (teinte plate claire).

D'après la question Q17, chaque lame induit entre les faisceaux un déphasage :

En sortie de l'interféromètre, l'un des faisceaux subit ce déphasage dans la première lame (d'angle d'incidence \theta_1) et l'autre dans la seconde lame (d'angle d'incidence \theta_2). Le déphasage global entre les deux faisceaux en sortie s'écrit donc :

En l'absence de parallélisme strict, les lames présentent un écart angulaire \delta\theta, ce qui induit une variation de l'angle d'incidence sur la seconde lame : \theta_2 = \theta_i + \delta\theta (avec \theta_1 = \theta_i).

Au premier ordre en \delta\theta, la variation de déphasage induite s'écrit :

Dérivons l'expression de \Phi(\theta_i) par rapport à \theta_i :

D'après la relation (5) établie à la question Q16, on reconnaît l'écartement d entre les faisceaux :

On en déduit donc :

La variation de déphasage induite par le désalignement des lames est par conséquent :

(au signe près selon le sens d'inclinaison relatif des lames).

Le faisceau laser se propage de manière rectiligne parallèlement à l'axe Oy à une altitude z et une coordonnée transverse x fixées.

Le bras (2) traverse l'hélium au repos dont l'indice de réfraction est n_0 = 1. Le bras (1) traverse la région acoustique où l'indice optique vaut n(r, z) = 1 + \delta n(r, z), avec \delta n(r, z) = 0 pour r > R.

La différence de chemin optique entre les deux bras s'écrit :

où A(x, z) = \sqrt{R^2 - x^2} représente la demi-corde délimitant la zone acoustique à l'altitude z pour |x| \leqslant R (et \delta L = 0 pour |x| > R).

Le déphasage induit est relié à la différence de marche par \delta\phi(x, z) = \frac{2\pi}{\lambda} \delta L(x, z). Par parité de l'intégrande par rapport à y (puisque r = \sqrt{x^2 + y^2}), on obtient :

En effectuant le changement de variable r^2 = x^2 + y^2, soit r \, \mathrm{d}r = y \, \mathrm{d}y, c'est-à-dire \mathrm{d}y = \frac{r \, \mathrm{d}r}{\sqrt{r^2 - x^2}} avec r \in [|x|, R] :

a) Rayon minimal w_{\min} et résolution spatiale

Pour un faisceau gaussien de longueur d'onde \lambda et de rayon au col w_{\min}, le profil de rayon s'écrit :

À grande distance (z \gg z_R), le faisceau diverge selon un cône de demi-angle au sommet :

On en déduit l'expression du rayon minimal au foyer :

Application numérique avec \lambda \simeq 1\ \mu\mathrm{m} = 10^{-6}\ \mathrm{m} et \theta_o \simeq 7 \times 10^{-2}\ \mathrm{rad} :

D'après la question Q13, la taille caractéristique du foyer acoustique est \delta x \simeq 200\ \mu\mathrm{m}. Comme :

le faisceau laser est beaucoup plus étroit que la région métastable. La résolution spatiale minimale est donc largement suffisante pour sonder localement cette région sans effet de moyenne spatiale indésirable.

b) Longueur de Rayleigh et description du faisceau

Pour un faisceau de rayon minimal w = 3w_{\min}, la longueur de Rayleigh s'écrit :

Avec w = 3 \times 4{,}5\ \mu\mathrm{m} \simeq 14\ \mu\mathrm{m} :

La profondeur de champ (ou zone de Rayleigh) s'étend sur une longueur 2z_R \simeq 1{,}2\ \mathrm{mm}, ce qui est nettement supérieur à l'extension du foyer acoustique \delta x \simeq 0{,}2\ \mathrm{mm} :

Par conséquent, au sein de la région métastable (|z| \le \delta x / 2 \simeq 100\ \mu\mathrm{m}), le rayon du faisceau varie de manière tout à fait négligeable :

Au niveau de la région métastable, le faisceau laser peut donc être décrit comme un faisceau collimaté cylindrique de rayon constant w \simeq 14\ \mu\mathrm{m}, à fronts d'onde quasi-plans.

a) Relations de dispersion pour la lumière et le son

L'indice optique de l'hélium liquide étant n \simeq 1, la célérité de la lumière dans le milieu est égale à celle dans le vide c. La relation de dispersion pour la lumière s'écrit donc :

L'onde acoustique se propageant à la célérité du son v, sa relation de dispersion s'écrit de même :

b) Lois de conservation

Le processus élémentaire modélisé correspond à l'absorption d'un phonon par un photon incident (\text{photon } 1 + \text{phonon} \to \text{photon } 2). Les lois de conservation s'écrivent :

• Conservation de l'énergie :

  \hbar\omega_1 + \hbar\Omega_B = \hbar\omega_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{\omega_2 = \omega_1 + \Omega_B}

• Conservation de l'impulsion :

  \hbar\vec{k}_1 + \hbar\vec{q}_B = \hbar\vec{k}_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{\vec{q}_B = \vec{k}_2 - \vec{k}_1}

c) Expression de la fréquence Brillouin et application numérique

Calculons la norme au carré du vecteur d'onde acoustique \vec{q}_B :

Sous l'hypothèse \Omega_B \ll \omega_1, \omega_2, le décalage de pulsation est négligeable devant la pulsation optique :

L'expression de q_B^2 se simplifie alors :

Comme \theta \in [0, \pi], \sin(\theta/2) \ge 0, d'où :

En injectant cette relation dans la relation de dispersion acoustique \Omega_B = v q_B, on obtient :

La fréquence Brillouin s'en déduit par f_B = \frac{\Omega_B}{2\pi}. Avec \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, on a :

Pour un angle de diffusion \theta \simeq \pi/2, on a \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}, d'où :

Application numérique avec v \simeq 200\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \lambda \simeq 1\ \mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m} et \sqrt{2} \simeq 1{,}41 :

Discussion de la validité de l'hypothèse :

La fréquence optique incidente vaut :

Le rapport des fréquences est donc :

L'écart relatif entre \omega_1 et \omega_2 est de l'ordre d'une fraction de millionième : l'approximation \Omega_B \ll \omega_1, \omega_2 est donc parfaitement vérifiée.

L'équation de propagation (7) s'écrit en l'absence de force volumique (\vec{f} = \vec{0}) :

En notation complexe, avec \underline{\rho}_1(\vec{r}, t) = \underline{\delta\rho}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega_B t - \vec{Q}\cdot\vec{r})}, les opérateurs différentiels spatio-temporels se traduisent par :

En injectant ces grandeurs dans l'équation de propagation, on obtient :

La relation de dispersion des ondes sonores s'écrit donc :

En prenant la racine carrée (choisie avec une partie réelle positive pour une onde se propageant dans le sens de \vec{Q}) :

Au premier ordre en \Gamma', en utilisant le développement limité (1+u)^{-1/2} \simeq 1 - \frac{1}{2}u :

Sous la forme demandée Q = a - \mathrm{i}b, on identifie :

Par définition, la constante diélectrique du vide \epsilon_0 > 0, le coefficient sans dimension \gamma_e > 0, et le carré de la norme du champ électrique vérifie E^2 \ge 0. On a donc :

La pression strictive est négative (ou nulle en l'absence de champ).

Réaction du milieu Une pression négative correspond à une dépression (ou tension). En présence d'un champ inhomogène, le gradient de cette dépression attire la matière vers les zones où le champ électrique est le plus intense, ce qui tend à y augmenter localement la densité : c'est le phénomène d'électrostriction (les atomes polarisés sont aspirés dans les régions de champ électrique fort).

Force volumique résultante Dans un fluide, la force volumique associée à un champ de pression scalaire est donnée par l'opposé de son gradient :

En remplaçant par l'expression de p_{\text{st}}, on obtient directement :

L'onde étant polarisée linéairement, on peut poser son amplitude complexe sous la forme :

où \vec{E}_{1,0}(z) est un vecteur réel et \phi_1(z) une phase réelle. Le champ électrique réel s'écrit alors :

Le carré scalaire instantané du champ électrique est :

En moyennant sur une durée \tau grande devant la période optique T_1 = 2\pi/\omega_1 (\tau \gg 2\pi/\omega_1), le terme oscillant à la pulsation 2\omega_1 a une moyenne nulle :

D'après la formule fournie par l'énoncé, la pression strictive s'obtient en remplaçant E^2 par \langle \vec{E}_1 \cdot \vec{E}_1 \rangle :

Le champ électrique total s'écrit \vec{E}(z, t) = \vec{E}_1(z, t) + \vec{E}_2(z, t). Son carré scalaire vaut :

Calculons la moyenne temporelle \langle \cdot \rangle sur la durée \tau pour chacun des termes :

• Pour les termes d'auto-interférence, en reprenant le résultat de la question Q24, les composantes oscillant à 2\omega_1 et 2\omega_2 s'annulent en moyenne car \tau \gg 2\pi/\omega_{1,2} :

  \langle \vec{E}_1^2 \rangle = \frac{1}{2}|\vec{\underline{E}}_{1,0}(z)|^2 \quad \text{et} \quad \langle \vec{E}_2^2 \rangle = \frac{1}{2}|\vec{\underline{E}}_{2,0}(z)|^2

• Pour le terme croisé, exprimons le produit scalaire à l'aide des grandeurs complexes :

  \begin{aligned} 2\,\vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 &= 2\,\operatorname{Re}[\vec{\underline{E}}_1] \cdot \operatorname{Re}[\vec{\underline{E}}_2] \\ &= \operatorname{Re}\left[ \vec{\underline{E}}_1 \cdot \vec{\underline{E}}_2^* + \vec{\underline{E}}_1 \cdot \vec{\underline{E}}_2 \right] \end{aligned}

  Le terme \vec{\underline{E}}_1 \cdot \vec{\underline{E}}_2 oscille à la fréquence optique \omega_1 + \omega_2 \simeq 2\omega_2. Comme \tau \gg 2\pi/\omega_2, sa moyenne sur le temps \tau est nulle.

  En revanche, le terme \vec{\underline{E}}_1 \cdot \vec{\underline{E}}_2^* s'écrit :

  \vec{\underline{E}}_1 \cdot \vec{\underline{E}}_2^* = \left( \vec{\underline{E}}_{1,0}(z) \cdot \vec{\underline{E}}_{2,0}^*(z) \right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}[(\omega_1 - \omega_2)t - (k_1 + k_2)z]} = \left( \vec{\underline{E}}_{1,0}(z) \cdot \vec{\underline{E}}_{2,0}^*(z) \right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - q z)}

  en posant \Omega = \omega_1 - \omega_2 et q = k_1 + k_2. Ce terme oscille à la pulsation de battement \Omega. Comme le temps de moyenne vérifie \tau \ll 2\pi/\Omega, ce terme est quasiment constant à l'échelle de \tau et n'est pas moyenné :

  2\,\langle \vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 \rangle = \operatorname{Re}\left[ \vec{\underline{E}}_{1,0}(z) \cdot \vec{\underline{E}}_{2,0}^*(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - q z)} \right]

On en déduit l'expression de la moyenne temporelle :

D'après la question Q23, la force strictive volumique associée est donnée par le gradient de la pression strictive :

En dérivant par rapport à z :

D'après la question Q25, la force volumique strictive est dirigée selon l'axe Oz :

La divergence de cette force s'écrit donc simplement :

Rappelons l'expression de la moyenne temporelle obtenue en Q25 :

Sous l'hypothèse de l'énoncé, les amplitudes \underline{\vec{E}}_{i,0}(z) varient très lentement à l'échelle spatiale de la modulation optique :

Par conséquent :

• Les termes moyens d'intensité continue |\underline{\vec{E}}_{i,0}(z)|^2 ont des dérivées secondes par rapport à z négligeables devant les termes d'ordre q^2 \|\underline{\vec{E}}_{1,0}\|\|\underline{\vec{E}}_{2,0}\| :

  \frac{\partial^2 |\underline{\vec{E}}_{i,0}|^2}{\partial z^2} \ll q^2 |\underline{\vec{E}}_{i,0}|^2

• Pour le terme d'interférence spatio-temporel, chaque dérivation spatiale fait descendre un facteur (-\mathrm{i}q) provenant de l'exponentielle rapide \mathrm{e}^{-\mathrm{i}qz}, les dérivées des amplitudes étant négligées :

  \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial z}\left(\underline{\vec{E}}_{1,0} \cdot \underline{\vec{E}}_{2,0}^*\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - qz)}\right) &\simeq -\mathrm{i}q\,\underline{\vec{E}}_{1,0} \cdot \underline{\vec{E}}_{2,0}^*\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - qz)} \\ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\left(\underline{\vec{E}}_{1,0} \cdot \underline{\vec{E}}_{2,0}^*\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - qz)}\right) &\simeq (-\mathrm{i}q)^2\,\underline{\vec{E}}_{1,0} \cdot \underline{\vec{E}}_{2,0}^*\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - qz)} = -q^2\,\underline{\vec{E}}_{1,0} \cdot \underline{\vec{E}}_{2,0}^*\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - qz)} \end{aligned}

En réinjectant dans l'expression de la divergence et en utilisant la linéarité de la partie réelle, on obtient :

On cherche une solution sous la forme \rho(z, t) = \rho_0 + \operatorname{Re}\left[\underline{\rho}_1(z, t)\right] avec :

où \underline{\delta\rho} est une amplitude complexe supposée uniforme et constante.

Puisque la perturbation ne dépend spatialement que de la variable z, le laplacien se réduit à \Delta = \frac{\partial^2}{\partial z^2}. Calculons les dérivées temporelles et spatiales de \underline{\rho}_1 :

Le membre de gauche de l'équation acoustique (7) s'écrit alors en notation complexe :

En introduisant les notations définies par l'énoncé :

ce terme devient :

D'après le résultat de la question Q26, le terme source de forçage s'écrit :

En identifiant les amplitudes complexes associées au mode forcé \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\Omega t - q z)}, on obtient :

On en déduit :

ce qui correspond bien à l'expression (8) :

avec :

Les deux ondes possèdent la même polarisation linéaire selon un vecteur unitaire \vec{u} ; on pose donc \underline{\vec{E}}_{1,0} = \underline{E}_{1,0} \vec{u} et \underline{\vec{E}}_{2,0} = \underline{E}_{2,0} \vec{u}.

L'intensité du faisceau 2 est donnée par :

Sa dérivée par rapport à z s'écrit :

D'après l'équation (10) de l'énoncé, on a :

En utilisant l'expression de \underline{\delta\rho} obtenue à la question Q27 :

En reportant dans l'équation d'évolution :

Comme |\underline{E}_{1,0}|^2 |\underline{E}_{2,0}|^2 = \frac{4}{\epsilon_0^2 c^2} I_1 I_2, il vient :

Calculons à présent la quantité \operatorname{Re}[\mathrm{i}\eta^*(q,\Omega)]. Avec \eta(q,\Omega) = \frac{q^2}{\Omega^2 - \Omega_B^2 - \mathrm{i}\Omega\Gamma_B} :

On en déduit :

En utilisant les approximations fournies par l'énoncé au voisinage de la résonance (\Omega \simeq \Omega_B, \Omega^2\Gamma_B^2 \simeq \Omega_B^2\Gamma_B^2 et \Omega^2 - \Omega_B^2 \simeq 2\Omega_B\Delta\Omega) :

Cette quantité étant strictement positive, le report dans l'expression de \frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}z} donne un coefficient strictement positif. L'équation (10) fournie dans l'énoncé comporte une coquille de signe (les deux signes moins ne devraient pas se compenser si l'on prend en compte le sens rétrograde de l'onde 2, pour laquelle l'amplification dans le sens des z décroissants implique \frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}z} < 0).

Au signe près (ou en posant g_\infty = \frac{\omega_2 \gamma_e^2 q^2}{2 c^2 \rho_0 \Omega_B \Gamma_B} > 0 après correction du signe dans l'équation (10)), on retrouve bien la loi d'amplification Brillouin stimulée sous forme lorentzienne :

1. Dépendance de I_2 en z :

L'intensité I_1 étant considérée constante (pompe non déplétée car I_1 \gg I_2), l'équation (11) s'écrit :

en définissant le coefficient de gain :

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants s'intègre immédiatement :

où I_{2,0} est une constante d'intégration (valeur de I_2 en z = 0).

2. Comportement à résonance et hors résonance :

• À résonance (\Delta\Omega = 0, soit \Omega = \omega_1 - \omega_2 = \Omega_B) : Le profil lorentzien est maximal et vaut 1. Le coefficient d'amplification atteint sa valeur maximale :

  G_{\max} = g_\infty I_1

  Comme le faisceau 2 se propage vers les z décroissants (en sens opposé au faisceau 1), son intensité augmente exponentiellement au cours de sa propagation dans le milieu : l'amplification Brillouin stimulée est maximale.

• Hors résonance (|\Delta\Omega| \gg \Gamma_B) : Le facteur lorentzien tend vers zéro :

  \frac{(\Gamma_B/2)^2}{(\Gamma_B/2)^2 + \Delta\Omega^2} \approx \left(\frac{\Gamma_B}{2\Delta\Omega}\right)^2 \ll 1 \implies G(\Delta\Omega) \simeq 0

  Par conséquent, \frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}z} \simeq 0 : le faisceau 2 ne subit pratiquement aucune amplification et traverse le milieu sans modification notable de son intensité (I_2(z) \simeq \text{cte}).

3. Méthode de mesure précise de \Omega_B :

Pour déterminer précisément \Omega_B :

1. On maintient fixe la pulsation \omega_1 du faisceau pompe (faisceau 1).
2. On injecte à contre-propagation le faisceau sonde (faisceau 2) dont on fait varier continûment la pulsation \omega_2 au voisinage de \omega_1 - \Omega_B.
3. On enregistre l'intensité I_2 en sortie de la cellule en fonction du décalage en pulsation \Omega = \omega_1 - \omega_2.

4. La courbe obtenue présente un pic de résonance lorentzien centré exactement en :

   \boxed{\Omega = \Omega_B \iff \omega_2 = \omega_1 - \Omega_B}

   Le repérage de la pulsation \omega_{2,\text{max}} qui maximise le signal transmis donne directement \Omega_B = \omega_1 - \omega_{2,\text{max}}.

À la résonance (\Delta\Omega = 0), l'équation différentielle régissant l'évolution spatiale de l'intensité I_2 établie à la question Q28 se réduit à :

Le faisceau 2 se propageant dans le sens des z décroissants (vecteur d'onde -k_2 \vec{u}_z), l'amplification se produit au cours de sa propagation vers les z négatifs. Sur une distance de propagation L > 0 (soit \Delta z = -L), l'intensité en sortie s'écrit :

Pour une amplification faible de l'ordre de 1\,\%, on effectue un développement au premier ordre :

On en déduit l'expression de l'intensité I_1 requise :

Avec g_\infty \simeq 10^{-9}\text{ m}\cdot\text{W}^{-1}, L \simeq 10\ \mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} et \frac{\Delta I_2}{I_2} \simeq 10^{-2} :

Commentaire du résultat : Une telle intensité est considérable (10^{8}\text{ W}\cdot\text{cm}^{-2} ou encore 1\text{ MW}\cdot\text{mm}^{-2}). Pour un faisceau focalisé sur une section typique S \sim \pi w^2 \sim 10^{-10}\text{ m}^2, cela nécessiterait une puissance optique continue de l'ordre de :

Une telle puissance en régime continu est totalement incompatible avec le maintien des conditions cryogéniques à T \sim 1\text{ K}, où les puissances de refroidissement disponibles ne dépassent guère quelques milliwatts à quelques fractions de watt. Ce résultat justifie la mise en œuvre d'un laser impulsionnel délivrant des impulsions brèves : on atteint ainsi une puissance crête très élevée garantissant l'amplification sans échauffer le bain d'hélium.

1. Choix de la durée d'impulsion \tau_l

L'état métastable au foyer acoustique est transitoire : d'après la question Q13, la dépression acoustique dure une demi-période, soit :

Pour sonder des propriétés thermodynamiques bien définies (pression et masse volumique quasi-stationnaires au cours de la mesure), il faut choisir une durée d'impulsion laser \tau_l très inférieure à cette durée caractéristique :

Par ailleurs, l'onde Brillouin stimulée doit avoir le temps d'osciller au cours de l'impulsion (au moins quelques périodes T_B = 1/f_B). En contre-propagation (\theta = \pi), la fréquence Brillouin vaut :

On doit donc choisir :

ce qui conduit typiquement à \tau_l \sim 10\text{ à }50\text{ ns}.

2. Conséquence sur la largeur spectrale du laser

Par transformée de Fourier, une impulsion temporelle de durée \tau_l possède nécessairement un étalement spectral. À la limite de Fourier (impulsion limitée par diffraction temporelle), la largeur à mi-hauteur en fréquence \Delta\nu_l vérifie l'inégalité temps-fréquence :

Le raccourcissement temporel de l'impulsion entraîne donc un élargissement spectral du faisceau laser :

3. Résolution spectrale de l'expérience

L'incertitude sur la fréquence du laser incident limite directement la précision avec laquelle on peut identifier la pulsation de résonance \Omega_B. La résolution spectrale en fréquence est donc donnée par la largeur spectrale de l'impulsion :

Pour une durée typique \tau_l \simeq 50\text{ ns} :

Cette incertitude est petite devant la fréquence Brillouin f_B \simeq 400\text{ MHz} :

ce qui garantit une résolution spectrale suffisante pour remonter précisément à la vitesse du son.

La vitesse du son est donnée par v = \frac{1}{\sqrt{\rho \chi_S}}. En utilisant l'expression de la compressibilité isentropique \chi_S = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S, il vient :

À basse température, l'entropie de l'hélium superfluide est quasi nulle, et les variations de pression et de masse volumique le long de l'isotherme se confondent avec l'isentropique, de sorte que l'on a :

Par ailleurs, dans l'expérience de diffusion Brillouin stimulée, les deux faisceaux laser sont en contre-propagation selon l'axe Oz. Le vecteur d'onde acoustique associé est (d'après les questions Q25 et Q27) :

puisque n \simeq 1 et \omega_1 \simeq \omega_2. La pulsation acoustique vérifie \Omega_B = q v, ce qui donne pour la fréquence Brillouin :

En substituant l'expression de la célérité du son v(\rho) dans la relation différentielle :

En intégrant depuis l'état d'équilibre connu de coexistence liquide-vapeur (p_{\text{sat}}, \rho_{\text{sat}}) jusqu'à la masse volumique \rho, on obtient l'équation d'état :