Interférences lumineuses : 320 questions de concours corrigées

À une distance R de l'antenne (située au point S), le signal prend la forme suivante : s(t, R) = s(R) cos (ψ(t, R)) où ψ(t, R) = 2π f₀ t - φ(R) (0 < s(R) ≤ s₀) (18) À cause du retard lié à la…

Établir que la puissance P prend la forme suivante : P = A₀² (1 + cos (Δφ)) où Δφ = φ₁ - φ₂ (22)

Représenter l'allure de la dépendance de la puissance P vis-à-vis de Δφ. Indiquer brièvement pourquoi on parle d'interférences constructives et destructives entre les deux signaux quand…

Exprimer, en fonction de B, θ et α, la projection δ R définie sur la figure (11).

Nous supposons qu'entre les deux images radar, prises successivement depuis les positions S₁ et S₂ du satellite, le déphasage propre φ_cible (définie à la question (43)) reste inchangé. En utilisant…

Quelles sont les fréquences de résonance de ce système ? Quelle condition vérifie la longueur L à ces fréquences ?

Après réglage des vis V₁ et V₂ les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires ; l'axe optique (O, e_z) de l'oculaire est alors confondu avec la normale au miroir mobile et…

Tout en observant les franges, l'observateur peut actionner la vis micrométrique et déplacer le miroir mobile dans le plan (O, eₓ, e_y), le long de l'axe (O, e_z). Relier le nombre Δ N de franges…

Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde λ₀, exprimer l'intensité I(δ) en fonction de I₀, λ₀ et δ. Définir et calculer le facteur de contraste C des franges.

Tout en observant les franges, l'observateur peut actionner la vis micrométrique et déplacer le miroir mobile dans le plan (O, eₓ, e_y), le long de l'axe (O, e_z). Relier le nombre Δ N de franges…

Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde λ₀, exprimer l'intensité I(δ) en fonction de I₀, λ₀ et δ. Définir et calculer le facteur de contraste C des franges.

Établir l'expression de la différence de marche δ entre les ondes réfléchies par deux motifs successifs du réseau.

Justifier sans calcul que l'onde rétrodiffusée sera particulièrement intense dans les directions telles que p Z, L(sin θ + sin i) = pλ .

Faire un schéma du dispositif, faisant apparaître les principaux éléments constitutifs de l'interféromètre, la source collimatée, le dispositif en sortie, ainsi que les rayons lumineux traversant…

Rappeler l'expression de l'intensité en F' en fonction de l'épaisseur d de la lame d'air équivalente, de la longueur d'onde λₘ et de l'intensité maximale Iₘₐₓ en F'. L'indice de réfraction de l'air…

Faire un schéma du dispositif, faisant apparaître les principaux éléments constitutifs de l'interféromètre, la source collimatée, le dispositif en sortie, ainsi que les rayons lumineux traversant…

Rappeler l'expression de l'intensité en F' en fonction de l'épaisseur d de la lame d'air équivalente, de la longueur d'onde λₘ et de l'intensité maximale Iₘₐₓ en F'. L'indice de réfraction de l'air…

Le premier interféromètre de Michelson est équivalent à une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur d = 6 mm. Dessiner le schéma de l'interféromètre de Michelson, et nommer ses éléments…

On suppose dans tout ce qui suit que les rayons frappent les miroirs de l'interféromètre sous incidence normale. Donner alors l'expression de l'ordre d'interférence p en fonction de d et de la…

Déterminer l'expression de l'intensité à la sortie de l'interféromètre de Michelson en fonction de p, en notant I₀ sa valeur maximale.

Exprimer le temps de cohérence τ_c de la lumière émise par la lampe, en fonction de ses caractéristiques spectrales. L'estimer numériquement.

En interprétant le phénomène observé comme résultant d'interférences entre des ondes de longueur d'onde λ_B, établir simplement que l'on observe des interférences constructives (et donc des densités…

On observe sur un écran placé dans le plan z=D, en un point M de coordonnées (x, y, D). On suppose que D est très grand devant a, |x| et |y|. Le montage est réalisé dans l'air d'indice égal à…

Le résultat obtenu en Q10.c pour les maxima d'intensité, établi dans le cadre de l'approximation de Gauss, peut être réécrit sous la forme sin θₙ = nλ/a avec n entier relatif. Elle est appelée…

Exprimer l'intensité lumineuse en sortie de l'interféromètre en fonction de I₀, rₒ, tₒ, l, n et λₒ. Qu'observe-t-on en sortie de l'interféromètre si on change l'épaisseur l du milieu d'indice n ?

On considère alors le cas général d'une onde électromagnétique de pulsation ω et de phase φ(r) - ω t. Justifier que grad φ(r) est localement orthogonal aux surfaces d'ondes.

En déduire l'ordre d'interférence p(M) au point M. Décrire la figure d'interférence observée. Définir et exprimer l'interfrange i de cette figure d'interférence.

Après avoir déterminé son expression, tracer sur votre copie l'intensité lumineuse I(y) sur l'écran en fonction de y, la coordonnée du point M sur l'axe (Oy). On notera I₀ l'intensité que l'on…

Justifier que les deux rayons émergents sont associés à des ondes cohérentes et que dans ce cas ω₁ = ω₂ = ω.

L'interféromètre de Jamin est-il un interféromètre à division d'amplitude ou de front d'onde ?

L'appareil est éclairé par une source de lumière étendue. Quelle est la nature des franges ? Où peut-on les observer ?

Sur la figure A du document réponse, à rendre avec la copie, tracer avec soin les deux rayons issus du rayon incident qui émergent de l'interféromètre dans l'espace d'observation. Sur le même…

Établir la différence de marche introduite par le système en fonction de l'angle d'incidence θ sur cette lame et de son épaisseur e.

Où est localisée la figure d'interférence ? Comment l'observer dans de bonnes conditions si l'on dispose d'un jeu complet de lentilles convergentes de distances focales comprises entre 20 cm et 1 m…

Montrer que la figure d'interférence est formée d'anneaux d'égale inclinaison (justifier ce terme).

Partant de cette situation on incline un des miroirs d'un petit angle α pour former un coin d'air. On éclaire le système en incidence quasi-normale de telle sorte que l'on observe des franges…

On admet que la différence de marche introduite par le coin d'air en un point M de la surface de localisation situé à une distance x de l'arête commune des deux miroirs est δ(M) ≈ ± 2 n α x avec n =…

Établir l'expression de la différence de marche δ(M) en fonction de a, x et f', en faisant les approximations jugées utiles.

Établir l'expression de l'intensité lumineuse I(M). Décrire la figure que l'on observe sur l'écran.

Calculer numériquement l'interfrange pour a = 100 , f' = 20 cm et λ = 499,3 nm (longueur d'onde associée à une raie du nickel présent dans un échantillon).

Expliciter le déphasage φ entre deux ondes issues de trous successifs en fonction de λ, a et θ.

Justifier qu'on observe un maximum d'intensité si on a φ = 2pπ avec p un entier relatif accessible. Comment appelle-t-on l'entier p ? Exprimer l'angle θ₁ correspondant au pic p = 1.

Rappeler les conditions pratiques à respecter pour pouvoir obtenir des interférences lumineuses à partir de deux faisceaux.

On qualifie les franges d'interférences de franges d'égale épaisseur. Expliquer cette dénomination. Justifier que ces franges sont circulaires.

Exprimer Δφ'ₙ en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences νₘ, m N entendues lors du retour du son diffracté par les marches Sₙ et Sₙ₊₁, en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Exprimer φ₁ et φ₂ en fonction de e, n' et λ. En écrivant la transmittance sous la forme t₂(x) = 1 & pour x < -b et x > b e⁻iφ' & pour -b < x < b exprimer la constante φ' en fonction de e, n' et λ.

Faire un schéma des deux rayons lumineux passant par T₁ et T₂ qui convergent vers le point M. Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce schéma.

Établir l’expression de l’ordre d’interférence p_S(M), produit par la source S au point M.

Décrire alors la figure d’interférences.

En notant I₀ l’intensité moyenne, donner, sans démonstration, l’expression de l’intensité lumineuse I(M) dans le plan d’observation.

Quel est l'ordre d'interférence p correspondant ?

On note I₀ l'intensité du rayon lumineux incident sur la séparatrice. En supposant une séparatrice idéale avec des coefficients de réflexion et de transmission en intensité égaux à 50 %, donner sans…

Établir l'expression de la différence de marche δ pour un rayon arrivant sur la lame d'air équivalente sous incidence β. On l'exprimera en fonction de d et de β.

Établir la formule de Fresnel reliant l'éclairement E à la différence de marche δ sous incidence normale, dans le cas de la superposition de deux ondes de même amplitude. On notera E₀ l'éclairement…

En général on doit introduire dans le montage une lame compensatrice. Expliquer son rôle et la placer sur un schéma.

Établir que ce déplacement induit le déphasage supplémentaire suivant : Δφ_d = 4π/λ × θ (27) On se souviendra que les direction (CS₁) et (CS₂) sont quasi-parallèles (objet de la question (48)).

La figure (13) représente les franges d'interférences résultant de la somme de deux images (une image est une collection de signaux issus de tous les pixels-terrain qui constituent la surface…

Afin de comprendre plus en d'étail ce qu'il s'est passé dans cette expérience impulsionnelle, il peut-être utile de regarder ce qu'il se passe en régime monochromatique. Imaginons que le signal émis…

L'interféromètre comporte deux lames de verre L₁ et L₂, parallèles, de même épaisseur e et de même indice optique n, inclinées d'un angle π/4 relativement à l'axe (O, eₓ) normal au miroir fixe. La…

Exprimer, au moyen d'un schéma approprié, la différence de marche observée à l'infini dans une direction donnée, en fonction de l'écart séparant les deux miroirs. Le déplacement maximal de la vis…

Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité ; c'est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par Michelson dans les conditions décrites en…

L'interféromètre comporte deux lames de verre L₁ et L₂, parallèles, de même épaisseur e et de même indice optique n, inclinées d'un angle π/4 relativement à l'axe (O, eₓ) normal au miroir fixe. La…

Exprimer, au moyen d'un schéma approprié, la différence de marche observée à l'infini dans une direction donnée, en fonction de l'écart séparant les deux miroirs. Le déplacement maximal de la vis…

Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité ; c'est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par MICHELSON dans les conditions décrites en…

Montrer que s = s₀ f(φ), où s₀ est la valeur maximale du signal s et φ f(φ) une fonction que l'on précisera.

Montrer que l'amplitude de s_tot,N s'écrit sous la forme : S_0,N = S₀ | (sin (N/2(1/vₘ - 1/c)α λ_u))/(sin (1/2(1/vₘ - 1/c)α λ_u)) |.

Donner l'expression de I à l'aide de s₁ et s₂ et éventuellement d'autres grandeurs. Déduire de celle-ci la relation I(δ) = 2I₀ (1 + cos [ k ( a α/2 + δ ) ] ) .

Indiquer, avec justification, si les signaux issus de S_A interfèrent avec ceux issus de S_B. Montrer que l'intensité détectée au point M se met sous la forme I_d(δ) = I_d, 0 (1 + Γ(a,α) cos (kδ) )…

Déduire de l'interférogramme de la figure 7b une estimation de la longueur de cohérence de la source, puis de la largeur spectrale Δλ de la source. On rappelle la relation entre le temps de…

On suppose p₀ entier. Déterminer l'expression de l'intensité transmise pour une longueur d'onde λ₀ + δλ, avec |δλ| ≪ λ₀. Quel est l'intervalle de longueur d'onde entre deux pics d'intensité, dit…

On place devant l'entrée de l'interféromètre de Michelson un polariseur dont l'axe forme un angle de π/4 avec le plan Π. Quel est alors l'état de polarisation de l'onde à la sortie de…

On se place dans le cas de N fentes identiques parallèles à Oy (figure 4) équidistantes (période a). La source ponctuelle S, supposée rigoureusement monochromatique de longueur d'onde λ = 632,8 nm…

7-a) Comparer les fréquences de résonance de la cavité avec pertes à celles des modes de la cavité sans pertes. 7-b) On définit l'intervalle spectral libre (en fréquence) de la cavité comme la…

On définit la finesse F de la cavité comme le rapport de son intervalle spectral libre par la largeur à mi-hauteur de sa résonance, exprimés l'un et l'autre en fréquence : F = ν_ISL/Δν_c. 9-a)…

En utilisant notamment le théorème de Malus, montrer que δ(M), la différence de marche des deux rayons au point M, est égale à la distance P₁ H (figure B). Montrer que cette différence de marche…

À l'aide d'un critère semi-quantitatif, basé par exemple sur l'ordre d'interférence au point M, déterminer l'expression de la largeur maximale cₘₐₓ au-delà de laquelle la figure d'interférence sera…

Cette question a pour but de rappeler certaines conditions d'observation des interférences lumineuses. Deux sources lumineuses ponctuelles S₁ et S₂ émettent deux ondes électromagnétiques…

Cette question a pour but de rappeler certaines conditions d'observation des interférences lumineuses. Deux sources lumineuses ponctuelles S₁ et S₂ émettent deux ondes électromagnétiques…

Évaluer la différence de marche δ entre les 2 rayons renvoyés dans la direction symétrique θ. Faire clairement apparaître δ sur un schéma reproduisant la figure 11. En déduire l'expression de Δφ(M)…

Établir l'expression de l'intensité lumineuse I(θ) résultant de l'interférence des deux rayons. On rappelle que l'intensité I vaut 2 fois la moyenne temporelle de l'amplitude résultante en M.

En déduire les valeurs de l'angle θ pour lesquelles on observe une intensité maximale. Montrer que l'on peut déduire des mesures de l'angle θ la valeur du paramètre de maille a.

Évaluer la différence de marche δ entre les 2 rayons renvoyés dans la direction symétrique θ. Faire clairement apparaître δ sur un schéma reproduisant la figure 13. En déduire l'expression de Δφ(M)…

Établir l'expression de l'intensité lumineuse I(θ) résultant de l'interférence des deux rayons. On rappelle que l'intensité I vaut 2 fois la moyenne temporelle de l'amplitude résultante en M.

En déduire les valeurs de l'angle θ pour lesquelles on observe une intensité maximale. Montrer que l'on peut déduire des mesures de θ la valeur du paramètre de maille a_c.

Rappeler l'énoncé du théorème de Malus (ou de Malus et Dupin). En déduire l'expression de la différence de marche δ_A = (AM₁P) - (AM₂P) en fonction de la géométrie du dispositif et d'une coordonnée…

L'éclairement E est défini comme la moyenne temporelle du carré du champ électrique. Montrer que dans la zone d'interférences : E(M) = 2E₀ (1 + cos ((k₁ - k₂) · OM)) avec E₀ = E₀²/2.

Montrer que les franges brillantes sont des droites d'équations y_p = pλ₀/2sin α, avec p un entier relatif. Déterminer l'expression de l'interfrange Δ y et faire l'application numérique.

Pour émettre les ondes porteuses électromagnétiques, on utilise des réseaux d'antennes. Ces antennes sont réparties périodiquement dans l'espace (figure 7) émettant des ondes cohérentes de longueur…

Décrire l'opération : faut-il tourner ou translater un miroir ? Comment savoir dans quel sens ? Décrire l'évolution de la figure d'interférence au cours de l'opération. Quel est l'aspect de…

Établir que la demi-largeur d'un pic d'intensité lumineuse est donnée par Δφ = 2π/N et en déduire la demi-largeur angulaire Δθ du pic observé dans la direction θ₁. Évaluer numériquement Δθ, sachant…

Exprimer la différence de marche δ(r) en fonction de l'épaisseur locale e(r) et de l'indice n_ℓ de la goutte. En déduire l'ordre d'interférences p(r) en fonction de n_ℓ, d, r, λ₀ et θ_E.

En déduire l’expression de la plus petite valeur de a qui conduit au brouillage de la figure d’interférence produite par les deux sources incohérentes S et S'.

Expliquer qualitativement ce que cela signifie. Si on éclaire le dispositif avec une source étendue, où observe-t-on les franges ? Que se passe-t-il si l'écran d'observation est placé à une autre…

Dessiner la marche des rayons qui interfèrent en un point M sur l'écran. Etablir l'expression de leur différence de marche δ en fonction de l'épaisseur e de la lame d'air équivalente et de leur…

Exprimer en la justifiant la différence de phase φ = φ_y - φₓ entre les deux ondes qui interfèrent en sortie de l'interféromètre en fonction de nₓ, n_y, Lₓ, L_y et λ.

Exprimer les amplitudes complexes des deux ondes qui interfèrent dans la direction -u_y. En déduire l'expression de l'éclairement E_y récupéré dans la direction -u_y en fonction de E₀ et φ.

On considère une source située en x = -x₀ qui émet un signal s(t). Évaluer l'expression mathématique du champ R(t) reçu en M situé en x = x₀ (avec x₀ > L) en considérant les éventuelles multiples…

En admettant que |Δλ| ≪ λ₀, montrer que l'expression du contraste des franges s'écrit de la manière suivante : C(t) = √(1 - (4I₁ I₂)/((I₁ + I₂)²)sin ²(2π vtΔλ/λ₀²)), puis calculer les contrastes…

La diffusion de l'onde par la cible ajoute un déphasage propre aléatoire φ_cible (φ_cible [0, 2π]) à celui introduit par la distance parcourue par l'onde. Exprimer le déphasage φ_récep du signal…

Dans toute la suite, le satellite est supposé observer une zone de la surface terrestre d'extension Δ y = 30 km, délimitée angulairement par les angles θ₀ = 30° et θ₁ (θ₁ > θ₀). Vérifier que toute…

Justifier que |ε| ≪ 1. En conséquence, nous considérerons que les directions (S₁C) et (S₂C) sont parallèles et donc que R₂ = R₁ - δ R.

Estimer la valeur du déplacement minimal η_min décelable pour une précision sur la mesure du déphasage de l'ordre de Δφ_bruit ≃ π/4 et pour θ = 30°.

Quel est le déplacement Δ N dans un modèle sans entraînement ?

Rappeler la loi de composition des vitesses de la mécanique classique. En déduire c₁ et c₂ puis Δ c et cₘ ; quel modèle retrouve-t-on ainsi ?

En déduire la longueur d'onde correspondant à la plus petite fréquence d'interférences constructives F₁.

Pour un radar émettant à 12,3 MHz, trouver numériquement la longueur d'onde des vagues sélectionnées.

Établir l'expression de δ_source en fonction de a et α ≪ 1.

Exprimer le signal s₁(t) reçu au point M pour l'onde qui est passée par T₁, ainsi que le signal s₂(t) reçu au point M pour l'onde qui est passée par T₂, en fonction de s₀, ω, t, k = 2π/λ₀, (S_A T₁…

Tracer l'allure de I_d(δ) en fonction de δ dans le cas où le facteur de cohérence vaut 1, puis dans le cas où le facteur de cohérence est nul.

Calculer numériquement ka/2 pour cette expérience.

Déterminer la valeur numérique du contraste pour cette figure d'interférences.

Ajouter votre point de mesure avec son incertitude-type sur le document réponse. L'incertitude-type sur le contraste sera prise égale à 10 % de sa valeur.

On note p₀ la valeur de p pour λ = λ₀. Calculer sa valeur approximative.

Calculer numériquement la valeur de cet intervalle.

L'instrument MDI comprend un second interféromètre de Michelson, équivalent à une lame d'air d'épaisseur 2d. Quel est, pour ce second interféromètre seul, l'intervalle spectral libre ?

Comparer avec la valeur obtenue expérimentalement. Conclure.

Quel est l'élément optique analogue à une "impulsion π" ?

On effectue une mesure en accélérant les atomes vers le haut (+ = Δ ve_z), puis une autre en les accélérant vers le bas ( = -Δ ve_z). Expliquer comment ces deux mesures permettent de compenser le…

Pour asservir la fréquence ν du laser monomode à une référence extérieure fixe ν₀, il faut pouvoir agir en temps réel sur la fréquence du laser en réponse à la différence ν - ν₀. Sur quel paramètre…

On s'intéresse à présent au contraste de chaque figure d'interférence. Écrire en langage Python une fonction d'entête ```python def contraste(I:np.ndarray) -> float: ``` qui, à partir d'un vecteur…

Où ces rayons interfèrent-ils ?

Où ces rayons interfèrent-ils ?

Justifier que les deux rayons émergents sont associés à des ondes cohérentes, et que dans ce cas ω₁ = ω₂ = ω.

Comment s'appelle l'appareil utilisé en travaux pratiques d'optique qui sert à mesurer des angles ?

Comment s'appelle l'appareil utilisé en travaux pratiques d'optique qui sert à mesurer des angles ?

Exprimer l'intensité lumineuse (ou éclairement) I_A(P) observée au point P en fonction de λ₀, a, f', x et de I_0A qui désigne l'intensité totale issue de A et parvenant sur l'un des miroirs M₁ ou M₂.

Expliquez, au moyen d'un schéma, le rôle de la lame (C). Précisez en particulier, dans le cas de la figure 5, si la face réfléchissante de la lame (S) est la face supérieure (1) ou la face…

Justifier que l'on a intérêt à se placer dans ces conditions pour la conversion photovoltaïque du rayonnement solaire.

Citer un dispositif optique permettant de sélectionner une des longueurs d'onde dans la lumière diffusée par la particule, afin d'effectuer la mesure d'une des composantes de vitesse.

Pourquoi ne peut-on pas faire la différence entre une valeur positive et une valeur négative de la composante mesurée ?

Exprimer Δφ'ₙ en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Exprimer Δφ'ₙ en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Dans quelles conditions physiques peut-on écrire t₂(x) sous la forme t₂(x)=1-iφ' pour -b<x<b ? Dans toute la suite on supposera ces conditions vérifiées.

En utilisant la relation liant la largeur spectrale Δν (en Hertz) à la durée du train d'onde τ_c (en seconde) d'une source lumineuse : τ_cΔν ∼ 1, proposer un ordre de grandeur de la durée τ_c des…

Avec le moins possible de calculs, donner de même les expressions : – de la différence τ(β) = τ₂(β) - τ₁(β) des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1…

Soit Δ p = p(β) - p(α) la variation de l'ordre d'interférence produite lors du passage de l'interféromètre de la configuration α à la configuration β. Montrer que Δ p = 2 L ν/c ( w/c )².

Pour passer de la configuration α à la configuration β, Michelson et Morley avaient monté leur interféromètre sur une table en granit posée au-dessus d'un flotteur en bois sur un bain de mercure, ce…

On donne φ = 41° 48' N, λ₀ = 0,500 et Ω_T = 7,29· 10⁻⁵ rad⁻¹. Calculer Δ p.

Donner ΔΦ_s en fonction de Ω et de l'aire totale Sₜₒₜ de la boucle qui compte Nₜ tours de fibre.

La séparatrice étant une lame semi-transparente qui laisse passer 50% de l'éclairement incident et réfléchit 50%. Quel est l'éclairement obtenu en sortie de l'interféromètre (dans la direction -u_y)…

Caractériser l'angle de vue θₙ = θ₀ + βₙ d'une cible Cₙ qui conduit à des interférences constructives entre les signaux reçus par le satellite successivement dans les positions S₁ et S₂ (on tiendra…

Établir, qu'au premier ordre relativement à l'écart δ Y, ce dernier est lié à h selon la relation suivante : δ Y = H/Y × h (24) Comparer les distances apparentes entre chacun des deux pieds…

La composante de phase Δφ_tp(Y') peut être soustraite du déphasage puisque l'abscisse Y' est déduite de la mesure du temps de parcours (qui donne R₁) et est donc connue. En raison notamment des…

Exprimer la puissance instantanée I(t) (à une constante multiplicative globale près) en fonction des A_q et des φ_q. Expliquer pourquoi elle ne dépend des phases φ_q qu'à travers leurs différences…

On considère d'abord le cas où l'onde est composée de N harmoniques successives de q = n à q = n+N-1, d'amplitude et de phase identique. Montrer que dans le cas N ≫ 1, la puissance instantanée I(t)…

Montrer que la position temporelle des pics de puissance se décale si les N phases φ_q sont en progression arithmétique, les amplitudes A_q restant identiques.

D'après la figure 3, le faisceau d'harmoniques ne comprend que les harmoniques impaires, et deux pics successifs q et q + 2 ont des amplitudes approximativement égales. En un point donné…

Exprimer la probabilité correspondante, et tracer sa variation en fonction de τ. Pourquoi parle-t-on d'interférence de transitions à deux photons ? Exprimer l'intervalle entre deux maximums de…

Comment, sur la figure 4, peut-on vérifier si φ_q+2 - φ_q est indépendant de q ?

Dans ce cas, donner une estimation de la durée de l'impulsion du faisceau d'harmoniques.

Dans le cas d'une des raies de l'hydrogène atomique, on observe le défilement de N = 3 156 franges pour un décalage Δ z = 1 035 ± 2 . S'agit-il de la raie H_α ou H_β ? Avec quelle précision relative…

Après réglage des vis V₁ et V₂ les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires ; l'axe optique (O, e_z) de l'oculaire est alors confondu avec la normale au miroir mobile et…

Dans le cas d'une des raies de l'hydrogène atomique, on observe le défilement de N = 3 156 franges pour un décalage Δ z = 1 035 ± 2 . S'agit-il de la raie H_α ou H_β ? Avec quelle précision relative…

On désire pouvoir mesurer l'intensité de la pesanteur g avec une incertitude relative δ g/g = 10⁻⁹. Déterminer la précision minimale avec laquelle on doit être capable de déterminer le déphasage φ…

Exprimer la différence de temps de parcours Δ t = t₂ - t₁ de la longueur L par la lumière dans les deux tubes. En déduire la différence de phase Δ φ = φ₂ - φ₁ acquise du fait de la propagation dans…

Dans le cadre du modèle d'entraînement partiel, montrer que la longueur minimale des tubes nécessaire au succès de l'expérience est : L > Lₘin = Δ Nₘin (λ₀ c₀)/(2v(n² - 1)) Faire et commenter…

On considère maintenant que v_M/R' = c₀/n tandis que vₑ = ± v avec v ≪ c₀. Déterminer les vitesses c₁ et c₂ correspondantes dans R.

En déduire les expressions de Δ c et cₘ. Est-il possible, dans l'expérience de Fizeau, de distinguer le modèle relativiste du modèle d'entraînement partiel de Fresnel ?

Justifier l'expression de s_p.

Montrer que l'amplitude de s_tot,N est maximale pour les fréquences F_q telles que : F_q = c/λ_u 2γ²/(1 + K²/2) q où q est un entier naturel non nul.

En déduire la valeur de N. Commenter, en sachant que la longueur totale de l'ondulateur SASE1 du XFEL européen est de 175 m.

Expliquer pourquoi ce changement de répartition spatiale des électrons permet de résoudre le problème qui a été introduit en début de cette partie.

À partir du résultat de la question précédente, retrouver la loi de Bragg (1) rencontrée dans la question Q2, pour un ordre p à préciser.

Expliquer sous quelles hypothèses et/ou approximations cette égalité se déduit de la relation (1).

En utilisant la loi de Bragg, montrer que f_r - f = ± f_B et exprimer la fréquence de Bragg f_B en fonction de g et λ.

Montrer que, lors de la réception en M, p₂=p₁ e⁻j φ et exprimer φ en fonction de cₐ, f, d et θ.

Établir l'expression de l'intensité du signal acoustique reçu en M sous la forme Iₜₒₜ=I₀ f₂(φ). Expliciter et commenter l'expression de la fonction f₂.

Montrer que l'intensité totale se met sous la forme Iₜₒₜ=I₀ f₂(φ) f₂(2 φ). Déterminer la période ψ de cette fonction de φ, ainsi que sa valeur maximale Iₘₐₓ ; commenter physiquement les valeurs de ψ…

En déduire l'incertitude-type sur ka/2.

Expliquer en quelques lignes comment on peut obtenir les incertitudes-types sur les paramètres C₀ et α en exploitant les incertitudes-types sur les données expérimentales.

En déduire la valeur numérique de d avec son incertitude-type u(d).

Déterminer une autre valeur numérique de d à partir de cette expérience, en proposant une estimation d'incertitude associée. Comparer à la valeur obtenue à la question Q11. Discuter à l'aide d'un…

Établir l'expression de la différence de marche totale entre un rayon passant dans le télescope 2 et un rayon passant dans le télescope 1 en fonction de α, a et δ_r. Comparer au résultat de la…

Déterminer la résolution angulaire que l'on peut ainsi obtenir avec ces télescopes. En déduire la résolution spatiale (en kilomètres) que l'on peut espérer atteindre pour une exoplanète située à une…

L'épaisseur d augmente avec le temps à vitesse constante v₀ = 7,0· 10⁻⁷ m⁻¹ à partir du contact optique, soit d = v₀ t. Le signal s(t), appelé interférogramme, est donné figure 5. En déduire la…

Déduire de l'interférogramme de la figure 6b une estimation de la longueur de cohérence de la source, puis de la largeur spectrale Δλ de la source. On rappelle la relation entre le temps de…

L'épaisseur d augmente avec le temps à vitesse constante v₀ = 7,0 · 10⁻⁷ m⁻¹ à partir du contact optique, soit d = v₀ t. Le signal s(t), appelé interférogramme, est donné figure 6. En déduire la…

Préciser, devant quelle autre durée, la durée d'acquisition T doit être « grande ».

Dans le cas de l'enregistrement réalisé en figure 7b, on obtient le spectre de la figure 8. En déduire la longueur d'onde moyenne λₘ.

Estimer le pouvoir de résolution PR du spectromètre, défini par PR = λ/δλ, où δλ est la résolution de l'interféromètre autour de la longueur d'onde λ, c'est-à-dire le plus petit écart de longueur…

Dans toute cette question, on considère une situation où les polarisations des faisceaux ne sont pas parfaitement contrôlées, tandis que les phases φ₁, φ₂ et φ₃ sont toujours fixées. Citer un effet…

On suppose que l'on éclaire le SLM à l'aide d'une onde plane d'amplitude E₀ se propageant parallèlement à l'axe z et on le programme de façon à ce que le déphasage subi par la lumière à la traversée…

Déduire que le faisceau incident va se diviser en trois faisceaux transmis inclinés par rapport à l'axe optique avec des angles que l'on précisera (on supposer le rapport qc/ω petit).

Expliquer pourquoi un profil de phase de la forme Φ(x, y) = Φ₀ + Φ₁ Σ_n, m cos (n q₀ x) cos (m q₀ y) pourrait permettre de réaliser une matrice de puits de potentiel illustrée sur la figure 3.b.

Le deuxième interféromètre de Michelson est placé à la sortie du premier. On ne se préoccupera pas de la lumière réfléchie par le deuxième interféromètre vers le premier. Déterminer l'expression de…

Vérifiez que la courbe représentée en trait plein sur la figure 2 est en accord avec le résultat de la question précédente. Vous d'étaillerez votre réponse et préciserez la position des points…

Quelle est l'action combinée du filtre de Lyot et des deux interféromètres de Michelson, en vous appuyant sur la figure 2 ?

Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans l'interféromètre pour une onde S, puis pour une onde P. Expliquer pourquoi un tel dispositif est sans intérêt.

Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans ce nouveau dispositif pour une onde polarisée S en entrée, puis pour une onde polarisée P en entrée. À chaque étape de la trajectoire, vous préciserez…

On place enfin, à la suite du dispositif précédent, un polariseur linéaire. Expliquer comment, en variant l'orientation de ce polariseur, on peut obtenir le résultat cherché, et varier la longueur…

En admettant que le temps de cohérence d'une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d'intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence…

Montrer alors que l'interfrange i que l'on définira vaut i = (λ_B L₂)/a où L₂ est la distance entre le réseau et l'écran. Effectuer l'application numérique, puis estimer la dispersion Δ i compte…

a) On utilise une source optique de puissance 1 mW : évaluer l'ordre de grandeur du nombre de photons qui sortent de la source par unité de temps en supposant le faisceau rigoureusement…

a) Décrire ce qu'on doit voir sur l'écran dans le cadre de ces hypothèses et exprimer l'interfrange i en fonction de la fréquence d'émission ν, de c et des paramètres géométriques du dispositif. b)…

Dans l'expérience de 1991 (figure 6), la source est un dispositif d'émission thermique d'atomes d'hélium He suivie d'une fente diaphragme F. Le montage est celui d'une division du front d'onde de…

Initialement on a a(t = 0) = (1, 0). À t = 0 on soumet l'atome à une "impulsion π/2" de durée τ. Exprimer la fonction d'onde Ψ(r, t) à l'instant t = τ, et donner l'évolution de la fonction d'onde…

À partir de l'interférogramme expérimental présenté en Fig. 5, donner la valeur de T choisie dans l'expérience.

En déduire δ_laser*, la valeur de δ_laser associée la frange centrale. L'exprimer en fonction de k, m et N, et d'autres constantes fondamentales éventuelles.

Déduire, à partir de la valeur de δ_laser* associée à l'interférogramme de la Fig. 5, la valeur de N choisie lors de la mesure.

6-a) Exprimer I/I_in = |E/E_in|² en fonction de √(RR'), T et sin (kL/2). Calculer √(RR') en fonction de T en utilisant les valeurs numériques des caractéristiques des miroirs M_c et M' et donner la…

La figure (5) d'étaille le montage d'un miroir M' de la cavité laser sur une cale piézoélectrique. 24-a) Quelle est la valeur de l'amplitude de déplacement du miroir mobile M' nécessaire pour…

Détailler un protocole expérimental simple, basé sur la mesure de la fréquence de défilement de franges devant un capteur CCD, qui permet de mesurer v par interférométrie. Dans le cas d'un laser…

Expliquer le rôle des éléments P₁, P₂ et S. À quel autre montage rencontré en travaux pratiques ce montage est-il analogue ?

Établir l'expression de la tension U(x) en introduisant les grandeurs utiles. Déduire des mesures une estimation de la fréquence des ondes.

Estimer le contraste associé à la courbe expérimentale et proposer une explication à sa valeur.

Le point source (S) est déplacé dans le plan de l'écran, ses coordonnées deviennent (y_S, z_S). En s'appuyant sur un schéma, déterminer l'expression de la différence de marche au point M en fonction…

Écrire en langage Python une fonction d'entête ```python def Itot(y:float, c:float, K:int) -> float: ``` qui, à partir de la position y du point M, de la distance c et du nombre de sources…

Commenter les figures 6a et 6b. Le calcul semi-quantitatif effectué en question 18 est-il confirmé par les résultats de la figure 6b ?

En utilisant les résultats de la question 14, exprimer sans calculs les différences de marches au point M, δ_i/1(M) avec i = 2, 3, 4, entre l'onde passant par le miroir P_i et celle passant par le…

On modélise l'écran du téléphone par un réseau carré de N pixels assimilés à de petits miroirs répartis périodiquement avec une période a selon y et selon z. Montrer que l'éclairement obtenu est…

Exprimer, en fonction de N, le rapport entre l'éclairement maximal et l'éclairement moyen observé sur l'écran. Que peut-on en conclure sur l'allure de la figure d'interférence observée lorsque N est…

Déterminer la distance entre deux pixels avec une estimation de son incertitude-type. Comparer ce résultat à celui de la question 12 par le calcul d'un écart normalisé et conclure.

Représenter la courbe I(P) en fonction de δ(P). En observant la photo 5, que peut-on dire de I₁ et I₂ ?

On admet que la différence de marche en un point P du champ d'interférences s'écrit : δ(P) = D(cos (i₂) - cos (i₁)) - 2Dn(cos (r₂) - cos (r₁)). Exprimer la condition permettant d'observer des…

Les rayons incidents d'angles d'incidence i₁ = 50,13° et i₂ = 67,98° donnent pour une radiation rouge (λ = 700 nm, n = 1,330) des rayons émergents parallèles. Quel diamètre de goutte permettra…

Représenter la courbe I(P) en fonction de δ(P). En observant la photo 5, que peut-on dire de I₁ et I₂ ?

On admet que la différence de marche en un point P du champ d'interférences s'écrit : δ(P) = D(cos (i₂) - cos (i₁)) - 2 D n (cos (r₂) - cos (r₁)). Exprimer la condition permettant d'observer des…

Les rayons incidents d'angles d'incidence i₁ = 50,13° et i₂ = 67,98° donnent pour une radiation rouge (λ = 700 nm, n = 1,330) des rayons émergents parallèles. Quel diamètre de goutte permettra…

Les calculs de l'intensité diffractée par une goutte d'eau ont été menés en 1908 par Gustav Mie, à l'aide des équations de Maxwell. Le résultat est donné figure 10. Commenter cette figure à la…

Proposer, en s'appuyant sur un schéma clair, un montage d'optique géométrique simple permettant d'observer une figure d'interférences sur un écran. On précisera en particulier le type de lentille(s)…

On observe un premier maximum de lumière dans la direction θ₁ = 14,0°. Calculer le paramètre de maille a.

Proposer, en s'appuyant sur un schéma clair, un montage d'optique géométrique simple pour observer une figure d'interférences sur un écran. On précisera en particulier le type de lentille(s)…

Déduire des mesures optiques le paramètre de maille a_c sachant qu'on observe un premier maximum de lumière pour θ₁ = 14,0°. L'ordre de grandeur obtenu pour la valeur a_c vous semble-t-il correct ?…

Proposer une méthode pour mieux confiner les atomes dans la direction z.

Montrer que |N(τ)| est maximum pour τ = 0. Par analogie avec l'optique, justifier qualitativement que |N(τ)| tend vers 0 en un temps caractéristique t_coh ∼ 1/Δω, où Δω est la dispersion des…

Quel déphasage Φ(θ_i) chaque lame de Jamin induit-elle entre les faisceaux ? Quel est le déphasage δφ entre les deux faisceaux en sortie de l'interféromètre et en l'absence d'onde sonore ?

Exprimer la différence de phase δφ(x, z) entre les deux faisceaux de l'interféromètre en faisant apparaître une intégrale sur δ n(r, z) le long du chemin optique.

Les sources A et B sont-elles cohérentes entre elles ? Calculer δ_B = (BM₁P) - (BM₂P) en fonction de δ_A, θ et b.

Exprimer l'intensité lumineuse totale I(P) en utilisant la formule géométrique affirmée en annexe pour l'exprimer sous la forme : I(P) = K [ 1 + cos (2π(x-x₀)/(Δ x)) V(θ) ] dans laquelle on…

Quelles sont les significations physiques de x₀ et Δ x ? Expliquez comment l'étude des franges permet de mesurer l'écartement angulaire des deux composantes d'une étoile double à l'instant de…

On utilise une source monochromatique de longueur d'onde λ₀. On choisit l'instant t = 0 au moment du contact optique et on note I₀ l'intensité lumineuse totale en sortie de l'appareil sur l'axe (Oy)…

Réalisant la mesure du spectre de cette raie, Michelson a observé, en déplaçant le miroir mobile d'une longueur Δ x = 8,5 mm depuis le contact optique, une diminution progressive du contraste qui…

Établir la relation E₀₂ = r_dsE₀₁e⁻iφ.

En déduire que la fonction antireflet n'est réalisée que si φ = (2p + 1)π, avec p entier, et n_d = √(n_v n_s).

On suppose qu'une particule en mouvement avec le fluide passe à travers la zone d'interférences avec une vitesse v_y selon u_y. On mesure l'intensité lumineuse diffusée par la particule au cours du…

La concentration en particules d'ensemencement dans le fluide doit être précisément définie. Quels problèmes poseraient une concentration trop faible ou une concentration trop élevée ?

Expliquer comment le défilement de ces franges permet de déterminer le sens de parcours d'une particule d'ensemencement à travers la zone d'interférences.

Reproduire le schéma et le compléter afin d'expliquer son fonctionnement : on y indiquera d₀', d₀'' et D. En justifiant rapidement sa réponse, donner la valeur de d₀''. Pourquoi parle-t-on de…

En utilisant le résultat (1), exprimer f_d1 - f_d2 en fonction de λₑ, θ et de l'une des composantes de la vitesse V.

Montrer que le signal reçu s'écrit sous la forme I(t) = 2Λ [1 + cos (β t)]. On précisera Λ et β en fonction des données. Exprimer la fréquence f_c de clignotement de cette lumière diffusée en…

La valeur de la composante de la vitesse particulaire intervenant dans le résultat de la question précédente est de 10 cm.s⁻¹ ; calculer numériquement la valeur de f_c obtenue avec deux faisceaux…

Justifier qu'en incidence quasi-normale, le déphasage entre les deux ondes qui interfèrent peut s'écrire Δφ = 2π/λ₀(2ne + λ₀/2).

Compte tenu de la topographie des franges observées sur la figure 6, discuter qualitativement l'écart du profil de la lame à une portion de coin d'angle constant, induit par son drainage gravitaire.

Discuter qualitativement la validité de cette expression en regard de la figure 6.

Compte tenu de ces valeurs numériques, analyser graphiquement, à l'aide du support fourni en figure B du document réponse, si cette loi semi-empirique est conforme aux observations. Si c'est le cas…

Expliquer le rôle de la lame semi-réfléchissante et donner l'allure que doit avoir la courbe du coefficient de transmission du miroir en fonction de la longueur d'onde T(λ).

Proposer une technique permettant de révéler les variations faibles de l'indice optique du gel induites par cette variation de température.

La résolution d'un spectromètre est le plus petit écart entre deux longueurs d'onde que l'on peut séparer. Expliquer pourquoi le dispositif précédent à deux trous d'Young ne peut permettre…

Le réseau utilisé dans certains spectromètres ICP-AES comporte 1800 ouvertures par millimètre. Calculer numériquement θ₁ pour λ = 499,3 nm. Pourquoi n'est-il plus envisageable d'utiliser le…

On considère que la source émet une deuxième longueur d'onde λ' très proche de λ. On note θ'₁ l'angle d'observation du premier pic (p = 1) correspondant à la longueur d'onde λ'. On admet que l'on…

Évaluer numériquement la résolution du réseau utilisé. Proposer des raisons visant à expliquer la différence entre cette valeur et celle, voisine de 20 pm, d'un spectromètre ICP-AES.

Expliquer qualitativement l'allure de la courbe expérimentale donnant l'intensité au cours du temps.

De combien a varié l'ordre d'interférence entre le début et la fin de l'acquisition ? Justifier. En déduire la valeur de g déduite de la courbe. Donnée : λ₀ = 638 nm.

On suppose que cette lentille possède les propriétés des lentilles minces utilisées dans les conditions de Gauss, que F' est son foyer principal image et O est son centre optique. On considère le…

Comment peut-on observer en pratique les franges d'interférences localisées au voisinage du plan du substrat ?

En traduisant le fait que le point P appartient au cercle de centre O et de rayon R, montrer que l'épaisseur au niveau de ce point s'écrit : e(r) = √(R²-r²)-Rcos θ_E.

En se limitant à un développement au deuxième ordre en θ_E, exprimer R en fonction de d et θ_E. Déduire de ces résultats que e(r) 1/4dθ_E(1-4r²/d²).

On écrit l'ordre d'interférences au centre de la figure d'interférences (r=0) sous la forme : p(r=0) = p₀ + ε avec p₀ un entier et 0 ≤ ε < 1. On utilise l'indice m pour repérer les anneaux brillants…

Les grandeurs n_ℓ, d et λ₀ étant supposées connues, expliquer comment exploiter graphiquement ces données expérimentales afin d'en déduire l'angle de contact θ_E. Déterminer θ_E sachant que n_ℓ =…

Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences νₘ, m N entendues lors du retour du son diffracté par les marches Sₙ et Sₙ₊₁, en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences νₘ, m N entendues lors du retour du son diffracté par les marches Sₙ et Sₙ₊₁, en fonction notamment des distances dₙ et dₙ₊₁.

Représenter l'allure d'une surface d'onde après la traversée de l'échantillon.

Pour augmenter C₂, le disque placé en F', en plus d'être toujours déphasant (+π/2), devient partiellement absorbant de transmittance t₃(x') telle que |t₃(x')| < 1. Exprimer le contraste C₃ en…

Faire un schéma des deux rayons lumineux issus de S', passant par T₁ et T₂ et qui convergent vers le point M. Représenter la différence de marche entre ces deux rayons sur ce schéma.

Établir l’expression de l’ordre d’interférence p_S'(M) produit par la source S' au point M.

Faire l’application numérique et commenter.

Expliquer qualitativement pourquoi le raisonnement précédent, utilisant deux sources ponctuelles l’une située au centre et l’autre sur le bord apparent de l’étoile, rend compte des observations…

En déduire l'expression de la différence τ(α) = τ₂(α) - τ₁(α) des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration α. Faire un…

De manière à visualiser un petit nombre de franges d'interférence à l'oculaire micrométrique, on règle l'interféromètre en coin d'air à partir de la configuration α en opérant une toute petite…

Donner une estimation numérique de la vitesse d'éther minimale que le dispositif permettait de mesurer a priori. Quelle(s) objection(s) aurait-on pu faire quant au résultat de l'expérience…

On suppose la lumière monochromatique de longueur d'onde dans le vide λ₀. On note Ωₙ = Ω_T sin φ la composante du vecteur Ω_T sur la direction de la normale au plan ABCD orientée vers le ciel…

Dans l'expérience de Sagnac, un décalage des franges (donc une variation Δ p de l'ordre d'interférence) est observé par rapport à la situation où le plateau est immobile. Quelle est la difficulté de…

a) Partant d'un interféromètre au repos (ΔΦ_s = 0), la mesure de la variation de I produite par une rotation permet-elle de discriminer le sens de la rotation ? Argumenter. b) On définit la…

Donner l'expression de l'intensité I(t) enregistrée par le détecteur en fonction de I₀, ΔΦ_s, Φ_eff, fₘ et t, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante : I(t) = I₀/2[1+cos (ΔΦ_s)cos…

À l'aide des données de l'annexe (page 19), montrer que le développement en série de Fourier du signal I(t) limité à ses trois premiers termes s'écrit I(t) = i₀ + i₁ cos (2π fₘ t) + i₂ cos (4π fₘ t)…

a) Que vaut i₁ en l'absence de rotation ? b) Expliquer pourquoi la détermination de i₁ permet de résoudre les problèmes sur le sens de la rotation et sur la sensibilité aux faibles vitesses évoqués…

La condition demandée en Q32 étant satisfaite, on donne la valeur de u obtenue aux bornes de C : u = -1/2 K_p K I₀ s₀ J₁(Φ_eff) sin (ΔΦ_s). Application numérique : fₘ = 30 kHz, Φ_eff = 1,8 rad, s₀ =…

Montrer qu'il est possible d'écrire l'éclairement sous la forme approchée suivante : E(t) ≃ A x(t) + B, où A et B sont des constantes que l'on exprimera en fonction de E₀, λ et d₀.

Comment doit-on ajuster la valeur de d₀ afin d'améliorer la sensibilité du dispositif ? Calculer la valeur minimale d_0,min de d₀ vérifiant cette condition.

Est-il possible de déterminer graphiquement les valeurs de f_s et Q_ms à partir du graphe de la figure C ? Justifier.

Dans le cas où e= 3,0 mm, λ= 600 nm et f'= 10,0 cm, déterminer le rayon du premier anneau brillant.

Justifier que l'on puisse négliger la dépendance en z de τ à l'échelle de l'interféromètre sachant que l'extension verticale des miroirs ne dépasse pas D = 1m.

Le temps d'intégration (ou temps de réponse) des détecteurs d'éclairement est pris égal à T= 10⁻⁴ s. Justifier que l'on puisse, dans ces conditions, utiliser l'expression de l'éclairement établi à…

Du fait de la faible valeur de τ, on limite dans toute la suite nos calculs à l'ordre 1 en τ. Montrer que le rapport de l'éclairement détecté sur l'éclairement incident prend la forme E_y/E₀ = (1 -…

La puissance lumineuse étant simplement proportionnelle à l'éclairement, pour quelle valeur de φ₀ la variation de puissance sur le détecteur est-elle maximale lors du passage de l'onde…

On s'impose un rapport signal sur bruit supérieur à 1, autrement dit la variation de puissance mesurée due au signal P_y (τ) - P_y (0) doit être supérieure à la fluctuation de puissance Δ P_y. En…

Exprimer le déphasage ψ entre deux ondes successives émergeant de (M'ₓ) dans le sens de -uₓ en fonction de lₓ, nₓ, λ.

En l'absence d'onde gravitationnelle, on souhaite que ces ondes successives soient en phase. En déduire une condition entre lₓ et λ. Commenter compte tenu de la question D.20.

Expliquer comment est modifiée l'expression, obtenue en B.10. de l'éclairement E_y mesuré en sortie de l'interféromètre.

À l'instar de la situation en terrain plat, la cible est observée par le satellite une première fois lorsqu'il est en position S₁ puis une seconde fois lorsqu'il se trouve en position S₂. La cible…

La mesure de l'énergie cinétique de l'électron donne accès à la valeur de q (voir la fin du problème). La figure 4 représente le nombre d'électrons émis en fonction de τ et q. Commenter cette figure…

D'autres sources, comme celles émettant la raie H_α de l'hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités I₁ et I₂ < I₁ émises aux longueurs d'onde λ₁ et λ₂ sont différentes…

D'autres sources, comme celles émettant la raie H_α de l'hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités I₁ et I₂ < I₁ émises aux longueurs d'onde λ₁ et λ₂ sont différentes…

Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis…

Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit ?

Déterminer, dans l'approximation A₀, les expressions k₁ₐ, k_1b, k₂ₐ et k_2b des grandeurs k₁ et k₂ en fonction de p₀ et p_γ pour chacune des étapes (a) et (b).\ Déterminer les expressions de φₐ⁰ et…

Montrer qu'un microphone à tube à interférences construit selon le principe ci-dessus sélectionne les ondes acoustiques provenant d'un cône étroit d'axe (Ox) de demi-angle au sommet θₘₐₓ, à exprimer…

On place à la sortie de l'interféromètre de Michelson une lame quart d'onde dont la ligne neutre forme un angle de π/4 avec le plan Π. On admet qu'après cette lame, la polarisation de l'onde est…

La source est en réalité quasi-monochromatique à profil spectral "rectangulaire" de largeur Δλ autour de λ₀, avec Δλ ≪ λ₀. Ce profil spectral, en fonction de la fréquence d'émission, est représenté…

Une troisième fente, identique au deux autres, parallèle à Oy, est placée en O(0,0,0). Le plan des trois fentes est placé orthogonalement à l'axe de révolution commun de deux lentilles minces…

On suppose que la largeur ε de chaque fente est petite devant le pas du réseau a. On peut alors montrer que l'amplitude complexe dans le cadre de cette approximation vaut : A(x,z,t) = α₀ exp j(ω t -…

Problème. On peut établir que la fonction intensité reçue sur un point M(x,y,D) d'un détecteur placé directement à la distance D d'un réseau de période a et dont les N fentes sont de largeur ε…

Exprimer l'amplitude de probabilité de présence d'un atome de Rubidium en sortie de l'interféromètre en fonction de Ψ₀, Φ_I, Φ_II et des phases lasers φ_laser(t) à t = 0, T, 2T ou 3T. En déduire la…

On injecte dans la cavité linéaire une onde électromagnétique d'amplitude complexe E_in (sur le miroir de couplage M_c) et de pulsation ω quelconque (ne coïncidant pas nécessairement avec une des…

Calculer la largeur (totale) à mi-hauteur Δω_c (exprimée en pulsation) d'un pic de résonance de la cavité avec pertes. La même grandeur exprimée en fréquence est Δν_c = Δω_c/2π.

Pour déterminer le temps de confinement de l'énergie électromagnétique dans la cavité, on alimente la cavité par une onde électromagnétique E_in dont la fréquence coïncide exactement avec la…

Montrer que l'épaisseur e(r) de la lentille à la distance r de l'axe doit vérifier n e(r) + √(r² + ( nR/(n - 1) - e(r) )²) = nR + R/(n - 1).

Dans le cas où le rayon pénètre dans la goutte par effet tunnel, il se propage à l'intérieur de la goutte entre les sphères de rayon a et b/n (figure 13), chaque incidence sur la surface pouvant…

Afin d'avoir une propagation non atténuée dans la fibre, l'onde doit vérifier une condition supplémentaire : il faut que k_y Δ y soit un multiple de 2π, où k_y est la projection transverse (selon…

Donner la variation du déphasage induit par le non-parallélisme des lames (écart angulaire δθ entre les lames). On fera apparaître d dans l'expression obtenue.

Quelle valeur faut-il donner à la largeur commune ℓ des miroirs auxiliaires M'₁ et M'₂ pour pouvoir observer en tout au moins une dizaine de franges de part et d'autre de la frange centrale ?

Montrer que les franges défilent à une vitesse v_franges dont on donnera l'expression. Préciser dans quel sens ces franges défilent.

En utilisant les expression de p₁, p₂ et p₃ en fonction des données, établir que g = λ₀ ((p₃ - p₁)(t₂ - t₁) - (p₂ - p₁)(t₃ - t₁))/((t₃ - t₁)(t₂ - t₁)(t₃ - t₂)).

Par linéarité de la transformée de Fourier, déterminer l'expression de l'amplitude complexe S₁(X) de l'onde dans le plan image de l'objectif. On écrira S₁(X) en fonction de α, n', e et λ sur les…

Pour améliorer le contraste, on place au foyer image F' de l'objectif un disque, de diamètre suffisamment petit pour être négligé, dont le rôle est d'apporter un déphasage de +π/2 à l'onde qui le…

a) On note τ₀ la durée que met la lumière à parcourir la distance cumulée 2Y entre les deux latitudes φ et φ + Δφ (il est inutile de chercher à déterminer sa valeur). À l'aide de deux lois de…

a) Montrer que ΔΦₜ = ΔΦ_s - 2Φ₀ sin (π fₘ τ_r) sin (2π fₘ(t-τ_r/2)). b) On note f_p = c/2nL la fréquence propre de la fibre. Montrer que pour des valeurs de fₘ bien choisies par rapport à f_p, ΔΦₜ…

En déduire l'expression de l'amplitude complexe S'_y émergeant de (M'_y) en fonction de l'amplitude complexe incidente S₂, F, τ(t), l_y et λ.

On se place à φ₀ = π/2. En déduire que par rapport à l'étude sans les lames (M'ₓ) et (M'_y) la sensibilité du dispositif est multipliée par un coefficient numérique qu'on déterminera et qu'on…