Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2025 (page 4/4 : Partie 2 (questions 42 à 56))

D'après l'équation (17), le signal émis en R = 0 s'écrit :

Par identification avec l'expression générale (18) prise en R = 0, soit \psi(t, 0) = 2\pi f_0 t - \phi(0), on en déduit que la phase à l'origine est :

En appliquant la condition de retard temporel due à la propagation sans dispersion à la vitesse c (équation (19)), la phase à la distance R vaut :

En identifiant cette forme avec l'équation (18), \psi(t, R) = 2\pi f_0 t - \phi(R), on obtient l'expression du déphasage :

Comme la longueur d'onde dans le milieu de propagation est reliée à la fréquence par \lambda = \frac{c}{f_0}, il vient finalement :

D'après le résultat établi à la question Q42, la propagation d'une onde sur une distance d induit un déphasage lié au temps de parcours :

Pour une cible située à la distance R_{\mathrm{C}}, le signal effectue un trajet aller-retour complet entre le satellite et la cible, soit une distance totale parcourue :

Le déphasage associé à la propagation s'élève donc à :

La diffusion par la cible introduisant un déphasage supplémentaire \phi_{\text{cible}}, le déphasage total \phi_{\text{récep}} du signal reçu à l'antenne s'écrit :

Le signal total reçu par l'antenne s'écrit :

En développant le carré, il vient :

Par linéarité de l'opération de moyenne temporelle sur une période T = 1/f_0 :

Calculons successivement chacun des termes :

• Pour les termes d'auto-corrélation, d'après le résultat rappelé en annexe \langle (\cos \theta)^2 \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2} :

  \begin{aligned} \langle A_1^2(t) \rangle_T &= A_0^2 \langle \cos^2(2\pi f_0 t - \phi_1) \rangle_T = \frac{1}{2} A_0^2 \\ \langle A_2^2(t) \rangle_T &= A_0^2 \langle \cos^2(2\pi f_0 t - \phi_2) \rangle_T = \frac{1}{2} A_0^2 \end{aligned}

• Pour le terme croisé d'interférence, on utilise la formule trigonométrique :

  \cos a \cos b = \frac{\cos(a - b) + \cos(a + b)}{2}

  avec a = 2\pi f_0 t - \phi_1 et b = 2\pi f_0 t - \phi_2. On a donc :

  a - b = -(\phi_1 - \phi_2) = -\Delta\phi \quad \text{et} \quad a + b = 4\pi f_0 t - (\phi_1 + \phi_2)

  Le produit s'exprime alors comme :

  A_1(t) A_2(t) = \frac{A_0^2}{2} \left[ \cos(-\Delta\phi) + \cos(4\pi f_0 t - (\phi_1 + \phi_2)) \right]

  La parité du cosinus donne \cos(-\Delta\phi) = \cos(\Delta\phi), terme constant dans le temps, tandis que \cos(4\pi f_0 t - (\phi_1 + \phi_2)) oscille à la fréquence double 2f_0 et a donc une valeur moyenne nulle sur la période T (\langle \cos \theta \rangle_{2\pi} = 0). Il en résulte :

  2 \langle A_1(t) A_2(t) \rangle_T = 2 \times \frac{A_0^2}{2} \cos(\Delta\phi) = A_0^2 \cos(\Delta\phi)

En sommant ces trois contributions :

On obtient bien la relation demandée :

D'après le résultat de la question précédente, la puissance reçue s'écrit :

Il s'agit d'une fonction paire, 2\pi-périodique en \Delta\phi, qui oscille de façon sinusoïdale entre une valeur minimale P_{\min} = 0 et une valeur maximale P_{\max} = 2A_0^2.

Interprétation physique des deux régimes :

• Interférences constructives (\Delta\phi = 2q\pi, avec q \in \mathbb{Z}) : les deux signaux oscillent en phase (A_2(t) = A_1(t)). Le signal résultant a pour amplitude 2A_0, soit la somme directe des deux amplitudes :

  A(t) = 2A_0 \cos(2\pi f_0 t - \phi_1)

  Les deux ondes se renforcent mutuellement et la puissance atteint sa valeur maximale possible :

  \boxed{P = 2A_0^2 = P_{\max}}

• Interférences destructives (\Delta\phi = (2q + 1)\pi, avec q \in \mathbb{Z}) : les deux signaux oscillent en opposition de phase (A_2(t) = -A_1(t)). Leurs contributions se compensent exactement à chaque instant :

  A(t) = A_1(t) + A_2(t) = 0

  Les deux ondes s'annihilent mutuellement et la puissance s'annule complètement :

  \boxed{P = 0 = P_{\min}}

Dans le repère local de la figure (6), l'abscisse au sol d'une cible vue sous l'angle \theta depuis le satellite situé à l'altitude H s'écrit :

La zone observée s'étend de y_0 = H \tan\theta_0 à y_1 = H \tan\theta_1, de sorte que l'extension spatiale vaut :

On en déduit :

Avec H = 700\text{ km}, \Delta y = 30\text{ km} et \theta_0 = 30^\circ :

L'écart angulaire maximal est donc :

Remarque (calcul différentiel) : À l'ordre 1, \Delta y \simeq \dfrac{H}{\cos^2\theta_0} \beta_{\max}, soit :

Puisque toute cible de cette zone est vue sous un angle \theta = \theta_0 + \beta avec 0 \le \beta \le \beta_{\max}, on a bien :

L'approximation au premier ordre en \beta est donc pleinement justifiée pour la suite.

Dans le repère cartésien (O, y, z), la position de la première antenne est S_1(0, H) et celle de la cible est C(Y, 0).

D'après la géométrie de la visée (figures 6 et 11), l'angle \theta est repéré par rapport à la verticale descendante -\vec{e}_z. Les coordonnées de la cible s'écrivent :

où R_1 = \|\overrightarrow{S_1C}\|. Le vecteur unitaire \vec{u} orienté le long de la ligne de visée de S_1 vers C s'exprime donc par :

Par définition de l'angle \alpha = \text{Angle}(\vec{e}_y, \vec{B}), le vecteur \vec{B} = \overrightarrow{S_1S_2} reliant les deux positions orbitales du satellite a pour composantes :

Le point Q étant le projeté orthogonal de S_2 sur la droite (S_1C), la projection algébrique \delta R = (S_1Q) est donnée par le produit scalaire :

En utilisant la formule trigonométrique fournie en annexe :

avec a = \theta et b = \alpha, on obtient :

Dans le triangle \mathrm{S}_1\mathrm{S}_2\mathrm{C}, la ligne de base \overrightarrow{\mathrm{S}_1\mathrm{S}_2} de longueur B = \|\vec{B}\| est vue depuis la cible \mathrm{C} sous l'angle \varepsilon = \mathrm{Angle}(\overrightarrow{\mathrm{CS}_2}, \overrightarrow{\mathrm{CS}_1}).

D'après la loi des sinus dans ce triangle :

Sachant que la distance R_1 vérifie R_1 = \dfrac{H}{\cos\theta} \ge H, on en déduit la majoration :

Avec B = 100\text{ m} et H = 700\text{ km} = 7{,}0 \times 10^5\text{ m} :

Puisque cette borne supérieure est très petite devant 1, on a :

L'angle \varepsilon étant extrêmement faible (environ 0{,}008^\circ), les directions (\mathrm{S}_1\mathrm{C}) et (\mathrm{S}_2\mathrm{C}) peuvent être considérées comme rigoureusement parallèles. Par conséquent, en projetant orthogonalement \mathrm{S}_2 en \mathrm{Q} sur (\mathrm{S}_1\mathrm{C}), on a bien R_2 = \mathrm{CS}_2 \simeq \mathrm{CQ} = R_1 - \delta R.

D'après le résultat établi à la question Q43, le déphasage d'un signal radar après un trajet aller-retour jusqu'à une cible située à une distance R de l'antenne s'écrit :

Pour chacune des deux prises de vue, aux positions \mathrm{S}_1 et \mathrm{S}_2, les distances à la cible sont respectivement R_1 et R_2. Le déphasage propre à la cible \phi_{\text{cible}} étant supposé inchangé entre les deux passages, les déphasages des signaux reçus s'écrivent :

La différence de phase entre les deux signaux réceptionnés s'exprime donc par :

En utilisant la relation issue de l'approximation des rayons parallèles établie à la question Q48, soit R_1 - R_2 = \delta R, et l'expression de la projection obtenue à la question Q47, \delta R = B\sin(\theta - \alpha), on obtient :

La condition d'interférences constructives pour la cible \mathrm{C}_n vue sous l'angle \theta_n = \theta_0 + \beta_n s'écrit, d'après le résultat de la question Q49 :

D'après la question Q46, la zone observée vérifie \beta_n \ll 1. En utilisant le développement limité au premier ordre fourni en annexe :

La condition d'interférences constructives devient :

ce qui caractérise l'écart angulaire \beta_n associé à l'ordre d'interférence q :

L'écart angulaire entre deux franges constructives consécutives (associées à des ordres entiers consécutifs \Delta q = 1) est donc :

L'abscisse de la cible au sol est reliée à son angle de visée par Y = H \tan\theta. Au premier ordre en \beta_n, d'après le formulaire :

La distance entre deux cibles consécutives conduisant à des interférences constructives (pas du réseau de franges au sol, ou interfrange) s'en déduit :

On identifie ainsi l'expression demandée :

Application numérique : Pour \theta_0 = 30^{\circ}, \alpha = 0, \lambda = 6\text{ cm} = 0{,}060\text{ m}, H = 700\text{ km} = 7{,}0 \times 10^5\text{ m} et B = 100\text{ m} :

D'où :

Dans le repère local \mathcal{R}(O, x, y, z), le satellite S_1 se trouve à l'altitude H à l'aplomb de l'origine : S_1\,(0, 0, H).
La cible réelle C a pour coordonnées (0, Y, h) et la cible apparente C' a pour coordonnées (0, Y', 0) avec Y' = Y - \delta Y.

La distance mesurée par le radar étant identique pour C et C' (R_1 = \|\overrightarrow{S_1 C}\| = \|\overrightarrow{S_1 C'}\|), écrivons l'égalité des carrés des distances :

En égalant les deux expressions et en simplifiant par Y^2 + H^2 :

Puisque le relief est de faible dimension devant l'altitude et la distance horizontale (h \ll H et \delta Y \ll Y), les termes quadratiques (\delta Y)^2 et h^2 sont négligeables au premier ordre devant les termes linéaires :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

Comparaison des distances pour une montagne de profil triangulaire. Considérons une montagne triangulaire posée sur le sol (z = 0) entre un pied avant P_1\,(Y_1, 0) (le plus proche du satellite, Y_1 < Y) et un pied arrière P_2\,(Y_2, 0) (Y_2 > Y), avec un sommet S\,(Y_S, h) d'altitude h > 0.

Les pieds P_1 et P_2 étant d'altitude nulle (h = 0), leur position apparente coïncide avec leur position réelle : Y'_{P_1} = Y_1 et Y'_{P_2} = Y_2.
En revanche, le sommet d'altitude h > 0 subit un décalage vers le satellite :

On compare alors les distances apparentes au sol aux distances réelles horizontales :

• Versant avant (face au radar, P_1 \to S) :

  d'_{\text{avant}} = Y'_S - Y_1 = (Y_S - Y_1) - \delta Y = d_{\text{avant}} - \delta Y < d_{\text{avant}}

  La distance apparente est inférieure à la distance réelle : le versant avant apparaît raccourci (phénomène de foreshortening).

• Versant arrière (opposé au radar, S \to P_2) :

  d'_{\text{arrière}} = Y_2 - Y'_S = (Y_2 - Y_S) + \delta Y = d_{\text{arrière}} + \delta Y > d_{\text{arrière}}

  La distance apparente est supérieure à la distance réelle : le versant arrière apparaît étiré (allongé).

Le signal reçu provient de la cible réelle \mathrm{C}, située aux distances R_1 = \|\overrightarrow{\mathrm{S}_1\mathrm{C}}\| et R_2 = \|\overrightarrow{\mathrm{S}_2\mathrm{C}}\|. D'après les questions 43 et 49, en supposant que le déphasage propre \phi_{\mathrm{cible}} est invariable entre les deux passages, la différence de phase mesurée s'écrit :

En utilisant la relation (26) fournie par l'énoncé, R_2 = R_1 - B\sin(\theta - \alpha), on a :

Ce signal est attribué par le système d'imagerie au pixel de terrain plat correspondant à la cible apparente \mathrm{C}', repérée par l'angle \theta' et d'abscisse Y'. Posons :

Déterminons l'écart angulaire \delta\theta. Par définition des angles \theta et \theta' dans le triangle rectangle projeté :

Au premier ordre par rapport au petit angle \delta\theta, le formulaire fournit :

On en déduit :

Or, d'après la question 51, \delta Y = \dfrac{H}{Y}h \simeq \dfrac{H}{Y'}h au premier ordre, et la géométrie de la visée de \mathrm{C}' donne \cos\theta' = \dfrac{H}{R_1}. Il vient donc :

Développons maintenant l'expression du déphasage au premier ordre en \delta\theta :

En injectant cette relation dans \Delta\phi, on obtient :

On reconnaît dans le premier terme la contribution de terrain plat évaluée en Y' (question 49) :

Le second terme constitue la phase topographique \Delta\phi_{\mathrm{topo}}(Y'). En remplaçant \delta\theta = \dfrac{h}{Y'}, on parvient au résultat attendu :

D'après la géométrie de la visée radar (figure 12), la cible apparente \mathrm{C}' située au sol (z = 0) est repérée par l'angle \theta' tel que :

En injectant cette relation dans l'expression (25) de la composante topographique du déphasage :

On en déduit l'expression de l'altitude h :

Pour \alpha = 0, cette relation se simplifie en :

La précision \delta h sur la détermination de l'altitude découle directement de la précision de mesure du déphasage \Delta\phi_{\text{bruit}} \simeq \frac{\pi}{4} :

Application numérique : Avec H = 700\text{ km} = 7{,}0 \times 10^5\text{ m}, \lambda = 6\text{ cm} = 0{,}06\text{ m}, B = 100\text{ m} et \theta' = 30^{\circ} (\sin 30^{\circ} = 1/2, \cos^2 30^{\circ} = 3/4, soit \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos^2 30^{\circ}} = \frac{2}{3}) :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Entre la première et la seconde prise de vue, la cible \mathrm{C} subit un déplacement vertical \vec{\delta \mathrm{C}} = \eta \vec{e}_z.

D'après la question Q48, les directions (\mathrm{CS}_1) et (\mathrm{CS}_2) sont quasi-parallèles et font un angle \theta avec la verticale descendante -\vec{e}_z. Le vecteur unitaire orienté du satellite vers la cible s'écrit dans le repère (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) :

Au premier ordre en \eta / R_2, la variation de la distance R_2 = \|\overrightarrow{\mathrm{S}_2\mathrm{C}}\| induite par le déplacement \vec{\delta \mathrm{C}} s'obtient par projection :

Un soulèvement vertical (\eta > 0) rapproche donc la cible du satellite d'une quantité \eta \cos\theta.

Le déphasage du signal reçu lors du second passage est donné par la relation établie à la question Q43 :

La variation de ce déphasage induite par le déplacement s'écrit :

La première acquisition n'étant pas affectée par cette déformation ultérieure, la variation du déphasage interférométrique \Delta\phi = \phi_{\text{récep}, 1} - \phi_{\text{récep}, 2} est :

On en déduit immédiatement :

D'après la relation (27) établie à la question Q54, le déphasage induit par un déplacement vertical \eta vaut :

Pour que ce déplacement soit mesurable, le déphasage qu'il engendre doit être au moins de l'ordre du bruit de mesure sur la phase, soit \Delta\phi_{\mathrm{d}} \ge \Delta\phi_{\text{bruit}}. Le déplacement vertical minimal décelable vérifie donc :

En injectant \Delta\phi_{\text{bruit}} \simeq \frac{\pi}{4}, on obtient l'expression littérale :

Application numérique : Avec \lambda = 6{,}0\text{ cm} = 6{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} et \theta = 30^{\circ} (\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \simeq 0{,}866) :

D'après la relation (27) établie à la question précédente, le déphasage différentiel \Delta\phi_{\mathrm{d}} lié à un déplacement vertical \eta vaut :

Le déplacement vertical \eta s'exprime donc en fonction du déphasage par :

Un cycle complet de déphasage \delta(\Delta\phi) = 2\pi (correspondant à une frange d'interférence complète, soit la répétition d'un motif coloré) est associé à un déplacement élémentaire :

Avec \lambda = 3\text{ cm} = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} et \theta = 44^\circ :

Sur la figure (13), les franges forment des anneaux concentriques centrés sur la caldera du volcan Kilauea. Les annotations indiquent :

• \Delta\phi = 0 en bordure extérieure non déformée ;
• \Delta\phi = 2\pi sur le premier anneau vers l'intérieur (1re frange) ;
• \Delta\phi = 4\pi sur le deuxième anneau (2e frange).

En poursuivant le comptage vers le centre du gonflement (au niveau du lac de lave et de la caldera), on dénombre encore 2 à 3 franges supplémentaires (soit un total de N \simeq 4\text{ à }5 franges, correspondant à un déphasage maximal au centre \Delta\phi_{\max} \simeq 8\pi\text{ à }10\pi).

Le soulèvement maximal (surrection) \eta_{\mathrm{s}} du volcan au centre de la déformation vaut donc :

• Pour N = 4 franges : \eta_{\mathrm{s}} \simeq 4 \times 2{,}09\text{ cm} \simeq 8{,}4\text{ cm} ;
• Pour N = 5 franges : \eta_{\mathrm{s}} \simeq 5 \times 2{,}09\text{ cm} \simeq 10{,}5\text{ cm}.