ENS Physique BCPST 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de physique BCPST inter-ENS 2025 ?

Le sujet porte sur la thermodynamique et la mécanique des fluides pour l'étude d'une nuée ardente, puis sur la mécanique du point (orbite d'un satellite) et les ondes et signaux pour l'interférométrie radar satellitaire.

Q: Quelle est la moyenne obtenue à l'épreuve de physique BCPST inter-ENS 2025 ?

La moyenne est de 8,02/20 avec un écart-type de 3,48, pour 791 candidats présents sur 961 inscrits.

Q: Ce sujet de physique BCPST 2025 est-il difficile ?

Oui, la moyenne est basse et le sujet est long : le rapport précise que les meilleures copies n'ont répondu qu'à environ 3/5 des questions.

Q: Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury relève des résultats numériques aberrants non questionnés, des difficultés récurrentes en algèbre et géométrie élémentaires, une confusion sur le nombre de Reynolds et l'oubli du facteur 2 dans le calcul d'un aller-retour d'un signal.

Éruptions volcaniques : risques et prévention

3,0(2 votes)

Faisable en Sup

Faisable en sup ?

Faisable en partie en BCPST1 : 36 questions sur 56. Autres questions faisables en BCPST1

Autres premières années : MPSI 38 · PCSI 44 · PTSI 38 · MP2I 38 · TSI1 38 questions.

Détail par partie

Partie 1 : Premier problème : Étude d'une nuée ardente23/24En partie
Partie 2 : Étude des déformations de la surface terrestre par interférométrie radar13/32En partie

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BanqueX-ENS Année2025 FilièreBCPST MatièrePhysique

Annales X-ENS BCPST Physique X-ENS BCPST 2025 BCPST Physique Physique 2025

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Présentation du sujet

Difficile

Éruptions volcaniques : modélisation d'une nuée ardente et interférométrie radar satellitaire (InSAR) pour la surveillance volcanique

Le sujet, commun aux ENS, à l'ENPC, aux Mines et à Centrale, comporte deux problèmes indépendants sur les éruptions volcaniques. Le premier modélise l'effondrement et l'arrêt d'une nuée ardente à l'aide de la mécanique des fluides et de la thermodynamique. Le second étudie la technique d'interférométrie radar satellitaire (InSAR), qui combine mécanique du point (orbite d'un satellite) et ondes et signaux pour mesurer le gonflement d'un volcan.

11.1 Gravité effectiveCalcul de la masse volumique du nuage pyroclastique et définition d'une gravité effective liée à la fraction volumique de particules solides.
21.2 Effondrement du nuage sous l'action de la pesanteurÉtablissement et résolution de l'équation différentielle donnant la longueur du nuage en fonction du temps, par analyse dimensionnelle.
31.3 Sédimentation des particules solides présentes dans le nuageÉtude de la chute des particules solides à l'aide du nombre de Reynolds particulaire et du coefficient de traînée.
41.4 Distance d'arrêt de la nuée ardenteDétermination de la longueur d'extension maximale de la coulée pyroclastique et application numérique sur un cas réel.
52.1 Orbite du satelliteÉtude du mouvement circulaire d'un satellite d'observation dans le référentiel géocentrique et calcul de sa période de révolution.
62.2 Principe de l'imagerie radarLocalisation d'une cible par mesure de temps de trajet d'une onde radar, résolution spatiale et puissance de l'écho détecté.
72.3 Interférométrie radarÉtude du déphasage entre deux prises d'image radar pour mesurer le relief puis le déplacement vertical du sol lors d'un gonflement volcanique.

Difficile. La moyenne obtenue est de 8,02/20 avec un écart-type de 3,48, et le rapport précise que le sujet est long, les meilleures copies n'ayant répondu qu'à environ 3/5 des questions.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,02 / 20 · écart-type 3,48 · 791 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,02/ 20
Écart-type: 3,48
Copies: 791

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Résultats aberrants non questionnés · Difficultés d'algèbre et de géométrie élémentaires · Angle non exprimé en radians

Le sujet, long, a permis à toutes les sous-parties d'être abordées au moins partiellement par les candidats, mais les applications numériques ont rarement été bien traitées malgré l'usage autorisé de la calculatrice. Le jury regrette que des résultats manifestement aberrants en ordre de grandeur ne soient pas questionnés, ainsi que des difficultés récurrentes et anormales à ce niveau sur des questions d'algèbre et de géométrie élémentaires.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Résultats aberrants non questionnés
Le jury attend des candidats qu'ils repèrent des résultats manifestement aberrants en ordre de grandeur, comme un gaz de masse volumique 600 kg/m³ ou une nuée ardente parcourant 10 000, voire 10 millions de kilomètres.
« résultats manifestement aberrants en ordre de grandeur »
2
Difficultés d'algèbre et de géométrie élémentaires
Des difficultés récurrentes et anormales à ce niveau sont observées sur la non-linéarité de (a+b) puissance 3/2, l'aire d'une sphère, le théorème de Pythagore ou la trigonométrie dans un triangle.
« Des questions d’algèbre et géométrie élémentaires ont également posé des difficultés récurrentes »
3
Angle non exprimé en radians
Dans l'approximation des petits angles, l'angle doit être exprimé en radians, ce que plusieurs candidats oublient.
« si on formule l’approximation des petits angles sous la forme q << 1, q doit être exprimé en radians. »
4
Confusion sur le nombre de Reynolds
De nombreuses copies affirment à tort que les effets visqueux sont négligeables lorsque le nombre de Reynolds est faible, alors que son expression est correctement donnée par ailleurs.
« il est affirmé qu’on peut négliger les effets visqueux lorsque le nombre de Reynolds est faible »
5
Formule de traînée et lecture de graphe log-log mal maîtrisées
La formule de la force de traînée en fonction du coefficient de traînée est souvent mal connue, avec des erreurs d'homogénéité, et la lecture du diagramme en échelle logarithmique pose des difficultés.
« La formule de la force de traînée en fonction du coefficient C x est souvent mal connue »
6
Facteur 2 de l'aller-retour oublié
Dans les questions d'ondes et signaux, le facteur 2 correspondant au parcours aller-retour du signal est souvent oublié, entraînant des erreurs d'homogénéité.
« le facteur 2 dans le parcours d’un aller-retour par le signal est souvent oublié. »

Ce qui a été bien réussi

Toutes les sous-parties du sujet ont été abordées au moins partiellement sur l'ensemble des copies.
Les meilleures copies ont répondu à environ 3 questions sur 5 malgré la longueur du sujet.

Conseils du jury

Vérifier l'ordre de grandeur de chaque résultat numérique et signaler explicitement une incohérence si l'erreur n'est pas trouvée.
Revoir les bases d'algèbre et de géométrie élémentaires : non-linéarité, aire d'une sphère, théorème de Pythagore, trigonométrie.
Exprimer les angles en radians lorsqu'on utilise une approximation aux petits angles.
Vérifier l'homogénéité des relations reliant pulsation, période, temps de trajet et distance parcourue.
Utiliser les questions donnant le résultat attendu pour repérer ses erreurs, plutôt que de tordre le raisonnement pour y parvenir.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

56 questions

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Description

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Sujet en PDF

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLE DES MINES DE PARIS ÉCOLES CENTRALE

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2025

FILIÈRE BCPST
COMPOSITION DE PHYSIQUE

Épreuve commune aux ÉNS de Lyon, Paris, Paris-Saclay, à l'ÉNPC, aux Écoles centrale et aux Mines de Paris

Durée : 4 heures

L'utilisation de calculatrices est autorisée, pour cette épreuve.

Éruptions volcaniques : risques et prévention

Les éruptions volcaniques sont des risques géologiques majeurs. Ce sujet en étudie deux aspects. Le premier problème s'intéresse à la modélisation physique d'une nuée ardente. Le second problème présente une méthode de prévision des éruptions volcaniques par imagerie satellitaire. Les deux problèmes sont indépendants. Un formulaire trigonométrique est fourni en annexe, en fin d'énoncé.

Chaque partie tâche d'offrir une vue assez complète sur l'étude qu'elle conduit. Ce sujet est donc long. Il n'est, bien sûr, pas nécessaire de le couvrir dans sa totalité pour réussir cette épreuve.

\to

Les réponses aux questions, en particulier lorsqu'elles relèvent de considérations qualitatives, devront être systématiquement argumentées.

\to

Les réponses devront être rédigées de façon claire, concise et lisible. Les références des questions abordées devront être indiquées de façon visible.

1 Premier problème : Étude d'une nuée ardente.

Les éruptions volcaniques les plus violentes, comme celle du Pinatubo (Philippines) en 1991, peuvent éjecter plusieurs dizaines de

km^3

de débris rocheux, sous forme d'un panache vertical. Quand ce panache s'effondre sous son propre poids, il se forme une coulée pyroclastique ou nuée ardente : le mélange de gaz chaud et de cendres et roches volcaniques s'écoule à grande vitesse sur les flancs du volcan.

Ces phénomènes constituent un risque géologique majeur : l'éruption de la Montagne Pelée en 1902, la plus meurtrière du vingtième siècle, a fait 30000 victimes à Saint-Pierre (Martinique). On distingue, en général, une couche basale dense, similaire à un éboulement rocheux rapide, et une couche supérieure, le nuage pyroclastique, qui contient une faible fraction en particules fines en suspension : c'est à ce dernier que nous nous intéressons dans ce problème.

- Définition de paramètres et données numériques relatives au premier problème.

Masse volumique de l'air ambiant $^1 : ρ_0 = 1, 2 kg \cdot m^(- 3)$
Pression atmosphérique ambiante : $p_0 = 1, 0 \times 10^5 Pa$
Masse molaire du mélange de gaz formant le nuage : $M = 40 g \cdot mol^(- 1)$
Température des gaz du nuage : $T = 750 K$
Masse volumique des particules solides en suspension dans le nuage : $ρ_s = 900 kg \cdot m^(- 3)$
Constante des gaz parfaits : $R = 8, 3 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Accélération de la pesanteur : $g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)$

1.1 Gravité effective.

Rappeler la loi des gaz parfaits. En supposant qu'elle est applicable aux gaz du nuage, calculer la valeur de la masse volumique $ρ_g$ de ces gaz (sous la pression atmosphérique $p_0$ ).
Dans le nuage, la fraction volumique solide $φ$ est définie comme le volume $V_s$ occupé par les particules solides contenues dans un volume total $V$ , ramené au volume total considéré, soit : $φ = V_s/V$ . Exprimer la masse volumique $ρ_c$ du nuage en fonction de $ρ_s, ρ_g$ et $φ$ .
On appelle gravité effective la grandeur définie par la relation suivante :

g^' = (ρ_c - ρ_0)/(ρ_0) \times g

Exprimer

g^'

en fonction de

φ

. Calculer sa valeur pour

φ = 1%

.
4. Exprimer la fraction volumique solide minimale

φ_(min)

pour laquelle

g^' = 0

. Calculer sa valeur.

5. Nous définissons les grandeurs suivantes :

Δρ = ρ_s - ρ_g

ψ = φ - φ_(min)

(appelée fraction volumique

Dans un premier temps, nous modélisons le nuage pyroclastique par un volume de largeur, selon la direction

(Oy), W_0

constante, et de section rectangulaire dans le plan

(O, x, z)

. Ce nuage s'écoule, sous l'effet de son
propre

1.2 Effondrement du nuage sous l'action de la pesanteur.

Dans un premier temps, nous modélisons le nuage pyroclastique par un volume de largeur, selon la direction

(Oy), W_0

constante, et de section rectangulaire dans le plan (

O, x, z

). Ce nuage s'écoule, sous l'effet de son propre poids, sur la surface du sol (

z = 0

) supposée horizontale (se reporter à la figure (1)).

Nous notons

L(t)

la longueur du nuage et

h(t)

sa hauteur, à l'instant

t

. À l'instant

t = 0, L(0) = L_0

h(0) = h_0

. La vitesse du front est notée

u = L˙ = dL/dt

. La fraction volumique solide d'excès

ψ

, définie à la question (5), est supposée uniforme et constante.

Figure 1 - Évolution de la géométrie du nuage au cours de son effondrement : configurations à l'instant initial (

t = 0

) et à l'instant

t

Nous notons $η_c$ la viscosité dynamique de la suspension de particules solides qui constitue le nuage. Indiquer à quelle condition, portant sur $ρ_c, η_c, h$ et $u$ , il devient possible de négliger les effets visqueux devant les effets inertiels, dans l'écoulement du nuage. Dans toute la suite, nous supposerons que cette condition reste vérifiée.
Des expériences analogiques ont permis d'établir que la vitesse du front, dans ce régime d'écoulement, prend la forme suivante :

u = F \times (g^')^α \times h^β

où

F ≃ 1, 2

est une constante sans dimension.
Par analyse dimensionnelle, déterminer la valeur de chacun des exposants

α

β

.
8. Utiliser l'équation (2) pour exprimer la vitesse

u

du nuage en fonction de

F, g, Δρ, ρ_0, h

ψ

.
9. Application numérique : Estimer la vitesse d'une nuée ardente de hauteur

h = 200 m

et pour

ψ = 1%

. Commenter brièvement ce résultat.
10. Nous supposons que le volume du nuage reste constant. Établir alors que la longueur

L

du nuage vérifie l'équation différentielle suivante :

L^(1/2)(dL)/(dt) = Aψ^(1/2)

On donnera l'expression de la constante

A

en fonction de

F, g, Δρ, ρ_0, h_0

L_0

.
11. Intégrer cette équation différentielle afin de déterminer la fonction

L = L(t)

.
12. Représenter l'allure graphique de la fonction

L = L(t)

. Cette fonction a-t-elle une limite pour

t \to + \infty

?
13. Dans la réalité, on observe que

L

atteint une longueur limite. Indiquer comment devrait alors se comporter

ψ

pour

t \to + \infty

. En déduire quel phénomène il est donc nécessaire de prendre en compte pour compléter ce premier modèle.

1.3 Sédimentation des particules solides présentes dans le nuage.

À présent, nous prenons en compte la dynamique de sédimentation des particules solides en suspension dans le nuage. Leur fraction volumique

φ

n'est alors plus constante. Nous considérons que ces particules sont des sphères de même diamètre

d

et de même masse volumique

ρ_s

Pour une particule se déplaçant dans le gaz avec une vitesse

v

, on appelle nombre de Reynolds particulaire le rapport

Re_p = ρ_g \times d \times v/η_g

, où

η_g

est la viscosité dynamique du gaz de la nuée et

ρ_g

sa masse volumique.

Nous adoptons les valeurs suivantes :

η_g = 4 \times 10^(- 5) Pa \cdot s

ρ_g = 0, 6 kg \cdot m^(- 3)

.
14. Nous supposons qu'une particule tombe verticalement à la vitesse

v

(comptée positivement vers le bas) et que nous pouvons négliger la présence des autres particules (

φ≪1

). Donner l'expression générale de la force de traînée

F_T

(verticale) exercée par le gaz sur la particule, en faisant intervenir le coefficient de traînée

C_x

.
15. La dépendance du coefficient de traînée

C_x

vis-à-vis du nombre de Reynolds particulaire

Re_p

, pour un objet sphérique, est représentée sur la figure (2).

Figure 2 - Dépendance du coefficient de traînée

C_x

vis-à-vis de

Re_p

, dans le cas d'une sphère (diagramme

log_(10) - log_(10)

Justifier, en précisant la méthode choisie, que dans la limite

Re_p≲1

(approximation correspondant à la ligne en tirets), il devient acceptable d'exprimer le coefficient de traînée par la relation suivante :

C_x = (C_1)/(Re_p)

On précisera la valeur du coefficient

C_1

.
16. Établir l'expression, dans le cadre de cette approximation, de la vitesse limite de sédimentation

v_s

d'une particule solide dans le nuage, soumise à l'accélération de la pesanteur

g

. On exprimera cette vitesse en fonction de

Δρ, g, d, η_g

C_1

.
17. Calculer la valeur de

v_s

, pour

d = 300μ m

. En déduire celle du nombre de Reynolds particulaire puis celle de

C_x

(issue de la relation (5)), qui lui correspondent. Commenter ces résultats vis-à-vis de l'hypothèse adoptée (

Re_p≲1

).
18. À l'aide du graphe représenté sur la figure (2), déterminer la nouvelle valeur de

C_x

(correspondant à la valeur de

Re_p

précédemment déterminée). La vitesse de sédimentation correspondante est-elle alors plus faible ou plus élevée que celle calculée en réponse à la question (17) ? Une argumentation est attendue.

Nous considérons, dans la suite, que chaque particule solide chute à la vitesse $v_s$ constante. Nous notons $φ_0 = φ_(min) + ψ_0$ la fraction volumique solide initiale (à $t = 0$ ) dans le nuage. Pendant l'écoulement, la turbulence suffit à maintenir la fraction solide uniforme dans tout le volume du nuage. Ainsi, $φ$ et $ψ$ dépendent du temps mais pas du point considéré.

Exprimer le nombre $dN_s$ de particules solides du nuage qui atteignent le sol ( $z = 0$ ), entre les instants $t$ et $t + dt$ . On fera apparaître, en particulier, les grandeurs $L(t)$ et $φ(t)$ .

Une fois ces particules au sol, elles ne participent plus à la dynamique du nuage.
20. Nous considérons que le volume du nuage reste constant. Établir un bilan sur le nombre de particules présentes dans le nuage. En déduire que la fraction volumique de solide

φ(t)

vérifie l'équation différentielle suivante :

(dφ(t))/(dt) = - BL(t)φ(t)

On exprimera la constante

B

en fonction des paramètres

v_s, L_0

h_0

.
Reformuler cette équation en la faisant maintenant porter sur la variable

ψ(t)

(fraction volumique solide d'excès).
21. En s'appuyant sur la structure de l'équation différentielle portant sur la variable

ψ

, et sur le fait que

ψ \geq 0

, représenter l'allure graphique de la dépendance de

ψ

vis-à-vis du temps (il s'agit d'un tracé qualitatif). Justifier qu'il existe alors une longueur d'arrêt de la coulée.

1.4 Distance d'arrêt de la nuée ardente.

Sur la base des équations précédemment obtenues, il s'agit maintenant de déterminer la longueur d'extension maximale de la coulée (ou du nuage).
22. Pendant l'intervalle de temps

dt

, la longueur du nuage progresse de

dL

et son excès de fraction volumique solide varie de

dψ

. À partir des équations (4) et (6), établir que

L

ψ

sont liées selon l'équation différentielle suivante :

L^(3/2) dL = - K(ψ^(1/2))/(ψ + φ_(min))dψ

où

K

est une constante dont on donnera l'expression en fonction des constantes

A

B

précédemment introduites.
On rappelle la relation suivante :

(dL)/(dt) = (dL)/(dψ) \times (dψ)/(dt)

Nous définissons la fonction suivante :

ù G(x, b) = \int_0^x(y^(1/2))/(y + b) dy = 2b^(1/2)(X - arctan(X)) où X = (x/b)^(1/2) (b > 0, x \geq 0)

La figure (3) est la représentation graphique de la fonction

X \to Γ(X) = X - arctan(X)

Figure 3 - Représentation graphique de la fonction

X \to Γ(X) = X - arctan(X)

Établir que la longueur d'extension maximale $L_(max)$ du nuage s'exprime selon la relation suivante :

L_(max) = (L_0^(5/2) + (5K)/2G(ψ_0, φ_(min)))^(2/5)

Application numérique : Calculer la distance $L_(max)$ parcourue par une nuée ardente pour les valeurs suivantes (comparables au cas de l'éruption du Mont Saint-Helens en 1980) :
$h_0 = L_0 = 1 km; ψ_0 = 10^(- 2); φ_(min) = 10^(- 3); K = 10^(11) m^(5/2)$ (obtenue avec la valeur $v_s = 1 m \cdot s^(- 1)$ ).

En illustration de l'étude conduite, la figure (4) est une photographie de la nuée ardente qui s'est déversée sur un flanc du volcan Mayon aux Philippines en janvier 2018.

Figure 4 - Nuée ardente dévalant un flanc du volcan Mayon aux Philippines en janvier 2018 (Wikipédia).

Le suivi et la prévention des éruptions volcaniques repose sur de nombreux outils mis en œuvre par les observatoires volcanologiques au sol, comme les mesures thermométriques et chimiques. Ces techniques s'accompagnent aujourd'hui de méthodes d'observation à distance, en utilisant notamment l'imagerie par satellite.

Avant une éruption, la remontée de magma sous la surface provoque un gonflement de l'édifice volcanique. Nous nous intéressons ici à l'utilisation de l'interférométrie radar spatiale (InSAR) pour mesurer de telles déformations, parfois minimes, du relief.

- Définition de paramètres et données numériques relatives au second problème.

Constante universelle de gravitation : $G = 6, 7 \times 10^(- 11) N \cdot m^2 \cdot kg^(- 2)$
Rayon de la Terre : $R_T = 6400 km$
Masse de la Terre : $M_T = 6, 0 \times 10^(24) kg$
Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : $c = 3, 0 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
Période de rotation de la Terre : $T_0 = 24 h$
Altitude du satellite considéré (Sentinel-1) $^2$ : $H = 700 km$

Rappelons qu'un formulaire trigonométrique est donné, en annexe, en fin de l'énoncé.

2.1 Orbite du satellite.

Nous nous plaçons dans le référentiel géocentrique

R_0 = R(O, x, y, z)

dont l'origine O est le centre de la Terre et dont les trois axes pointent, chacun, en direction d'une étoile lointaine considérée comme fixe. Dans ce référentiel, supposé galiléen, la vitesse angulaire de la Terre s'écrit

Ω⃗ = Ωe⃗_y

où

Ω = 2π/T_0

Le satellite est assimilé à un point matériel, désigné par le point S , de masse

m

. Son orbite est contenue dans le plan (

O, x, y

) (fixe dans

R_0

). L'axe (

Oy

) est celui des pôles Nord et Sud de la Terre. Cette orbite est supposée circulaire, de rayon

R_T + H

. La figure (5a) représente cette orbite.

Figure 5 - (a) Paramétrage de la trajectoire du satellite Sentinel-1 (orbite circulaire dans le plan (

O, x, y

)); (b) Survol, par le satellite, des points

M_1

puis

M_2

, situés sur l'équateur terrestre, à l'occasion de deux passages consécutifs (Nord-Sud) du satellite. La Terre tourne, par rapport au référentiel

R_0

, à la vitesse angulaire constante

Ω⃗ = Ωe⃗_y

où

Ω = 2π/T_0

La position du satellite, dans le plan de son orbite, est repérée en coordonnées polaires

(r(t), θ(t))

par le vecteur suivant :

ù r⃗(t) = OS^(\to-)(t) = re⃗_r où r = R_T + H = Cste

Nous rappelons les relations de dérivation vectorielle suivantes :

ù (de⃗_r)/(dt) = θ˙e⃗_θ et (de⃗_θ)/(dt) = - θ˙e⃗_r où θ˙ = (dθ)/(dt)

La force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite s'exprime selon la relation suivante :

F⃗ = - G \times (m \times M_T)/(r^2)e⃗_r

Exprimer, dans la base polaire ( $e⃗_r, e⃗_θ$ ), la vitesse $v⃗$ puis l'accélération $γ⃗$ du point S relativement au référentiel $R_0$ .
Appliquer, dans le référentiel $R_0$ , le principe fondamental de la dynamique au satellite. Projeter l'égalité vectorielle obtenue dans la base polaire ( $e⃗_r, e⃗_θ$ ). En déduire que la vitesse angulaire $θ˙$ du satellite est constante (nous la supposerons positive). Donner son expression.
Dans la suite, nous noterons $ω = θ˙$ .
Exprimer la période de révolution $T$ du satellite autour de la Terre, en fonction de $G, M_T$ et $r$ .
Application numérique : Calculer la valeur de la période $T$ de révolution du satellite autour de la Terre puis celle de sa vitesse de déplacement $v$ .

En pratique, la trajectoire orbitale du satellite est ajustée de manière à ce que sa période de révolution vérifie l'égalité suivante :

T = (12)/(175) \times T_0

Le satellite relève des images radar de la surface terrestre au cours de la partie descendante, c'est-à-dire du nord au sud, de chacune de ses orbites. Rappelons que les orbites du satellite se situent dans le plan (

O, x, y

), fixe dans le référentiel

R_0

, alors que la Terre est animée, par rapport à ce référentiel, de la vitesse angulaire

Ω⃗ = Ωe⃗_y(Ω = 2π/T_0)

.
29. Exprimer l'angle

Δφ

de rotation de la Terre sur elle-même pendant que le satellite parcourt une orbite entière (se reporter à la figure (5b)). En déduire l'expression, en fonction de

R_T

, de la distance

L

(c'est-à-dire la longueur de l'arc

(M_2 M_1)

) qui sépare deux points

M_1

M_2

de l'équateur, successivement survolés par le satellite (en orbite descendante).
30. On appelle cycle orbital le nombre (minimal) de jours qui séparent deux passages, en orbite descendante, du satellite au-dessus d'un même point de la surface terrestre. Exprimer sa durée

T_c

(en fonction de

T_0

ou de

T

) et le nombre

N_c

d'orbites que le satellite parcourt pendant ce cycle.
31. En déduire l'expression, en fonction de

R_T

, de la distance

d_c

minimale séparant deux points survolés sur l'équateur. Calculer la valeur de

d_c

2.2 Principe de l'imagerie radar.

Nous nous intéressons à la reconstitution d'une image radar de la surface terrestre. L'antenne du radar embarqué dans le satellite émet une onde électromagnétique en direction de la Terre puis détecte, en réception, son écho. Nous restreignons cette étude aux directions d'émission et de réception situées dans le plan (

e⃗_z, e⃗_r

) (observation latérale), en référence à la figure (5).

Nous négligeons toute influence de l'atmosphère sur les temps de parcours et sur l'atténuation des signaux électromagnétiques. En particulier, leur vitesse de propagation est supposée restée égale à celle dans le vide, c. Par ailleurs, nous négligeons le déplacement du satellite sur son orbite pendant une séquence de mesure, ainsi que l'effet de la courbure de la surface terrestre (à l'échelle de l'exploration spatiale effectuée, la surface terrestre apparaît localement "plate").

Pour cette étude, nous adoptons un repère cartésien local

R(O, x, y, z)

où le plan (

O, x, y

) est celui de la surface terrestre. L'origine

O

se situe sur la surface terrestre, à l'aplomb du satellite. Nous avons donc redéfini la dénomination des axes par rapport à celle relative à la figure (5) (selon la correspondance :

(e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z) \to (e⃗_z, e⃗_x, e⃗_y))

.
32. L'antenne du satellite Sentinel-1 émet des ondes électromagnétiques de fréquence

f_0 = 5GHz

. Calculer la longueur d'onde

λ

correspondante. Préciser à quel domaine du spectre électromagnétique ce signal appartient.
33. L'antenne du satellite émet, latéralement, en direction de la surface terrestre, un faisceau d'onde délimité par les angles

θ_(min) = 20^\circ

θ_(max) = 50^\circ

, comme le représente la figure (

6

). Calculer la largeur

Δy = (y_(max) - y_(min))

de fauchée du satellite. Commenter ce résultat au regard de la réponse à la question (31).

Figure 6 - Fauchée du faisceau de l'antenne radar. Une cible C , d'abscisse

Y

et repérée angulairement depuis le satellite par l'angle

θ

, est représentée dans cette fauchée.

2.2.1 Localisation d'une cible.

À l'instant

t_i

, l'antenne émet un signal

s

en forme de pulse (ou train d'onde) de fréquence

f_0

et de durée

τ

. L'aspect de ce signal est représenté sur la figure (7). Ce signal est réfléchi au niveau de la surface terrestre (dans toutes les directions, en particulier selon celle du satellite) par une cible C d'abscisse

Y

et repérée angulairement, depuis le satellite, par l'angle

θ

(se reporter à la figure (6)). Le satellite détecte l'écho à l'instant

t_e

puis calcule la différence

Δt = t_e - t_i

Figure 7 - Aspect du signal

s

émis par l'antenne du radar.

Relier l'intervalle de temps $Δt$ mesuré à l'angle $θ$ , l'altitude $H$ du satellite et la célérité $c$ . Relier également l'abscisse $Y$ de la cible à $H, c$ et $Δt$ .

Nous considérons deux cibles C et $C^'$ d'abscisses et d'angles de localisation respectifs ( $Y, θ$ ) et ( $Y^', θ^'$ ). Afin d'améliorer la précision sur la mesure de l'écart $((Δt)^' - Δt) = (t_e^' - t_e)$ , image de leur distance relative, le signal d'écho détecté subi un traitement numérique particulier. La figure (8) donne une illustration du signal traité à partir duquel la mesure de la différence ( $t_e^' - t_e$ ) est effectuée.

Figure 8 - Aspect, après traitement, du signal d'écho reçu de deux cibles d'abscisses

Y

Y^'(Y^' > Y)

à partir duquel l'écart (

t_e^' - t_e

) est déterminé.

Nous envisageons la situation où les deux cibles sont voisines et telles que $|(Y^' - Y)/Y|≪1$ . Exprimer, en fonction de $c, τ$ et $θ$ , la distance $(ΔY)_(min)$ entre les deux cibles en dessous de laquelle leurs échos ne sont plus disjoints, à la réception. Cette distance minimale peut être assimilée à la résolution $^3$ spatiale du dispositif d'imagerie, ou encore à la largeur d'un pixel-terrain, dans la direction ( $Oy$ ). Commenter sa dépendance vis-à-vis de $θ$ (ou de $Y$ ).

Indication : Un calcul différentiel est suggéré.
36. En pratique, l'antenne émet un pulse de durée

τ = 40μ

s. Calculer la valeur de

(ΔY)_(min)

pour

θ = 30^\circ

. Commenter brièvement ce résultat dans le contexte du relevé d'un relief volcanique.

Il est possible d'améliorer la résolution spatiale du dispositif d'imagerie en modifiant la structure du signal émis par l'antenne. À l'instar des dauphins et des chauve-souris pour l'écho-location acoustique, le radar émet alors un signal $s$ dit chirp ("gazouillis") caractérisé par les relations suivantes :

ùs(t) = s_0 × sin(φ(t)) × Π(t/τ) (s_0 > 0); où φ(t) = 2π(f_0 t + (Δf)/(2τ)t^2) et Π(t/τ) = {1, si, t/τ ∈ [0, 1]; 0, si, t/τ ∉ [0, 1]

Le paramètre (positif)

Δf

est appelé bande passante (ou excursion fréquentielle).
37. Nous définissons la fréquence instantanée

f(t)

du signal

s

par la relation

2πf(t) = dφ/dt

. Exprimer cette fréquence. Représenter son allure graphique sur l'intervalle temporel

[0, τ]

. Représenter, en correspondance, celle du signal

s

.
38. La figure (9) présente l'aspect, après traitement, du signal d'écho du chirp renvoyé par une cible. La largeur du pic central est égale à

1/Δf

. Exprimer la nouvelle résolution

(ΔY)_(min, c)

en fonction de

(ΔY)_(min)

et du produit

τΔf

La bande passante du satellite Sentinel-1 est égale à

Δf = 15MHz

. Calculer la valeur

(ΔY)_(min,c)

pour

θ = 30^\circ

. Commenter ce résultat en comparaison à celui obtenu en réponse à la question (36).

Figure 9 - Aspect, après traitement, du signal d'écho du chirp renvoyé par une cible. La largeur du pic central (maximum atteint) est égale à

1/Δf

2.2.2 Puissance de l'écho détecté.

Si le délai de retour de l'écho permet de localiser une cible, l'énergie véhiculée par cet écho est directement liée à la réponse de la cible à l'onde reçue. Cette réponse permet de caractériser une cible.

L'antenne (dont la position est confondue avec celle du satellite S ), de surface

S_a

, émet un signal de puissance

P_0

. Cette puissance est supposée répartie uniformément dans un cône centré sur S et de demiangle au sommet

β_a

, comme l'illustre la figure (10). Ce cône intercepte une fraction

1/G

de la surface de la sphère de rayon

R

et de centre S . Le paramètre

G

est défini par la relation suivante :

é G = S_a \times 4π/λ^2 (λ est la longueur d'onde de l'onde émise)

Nous adoptons les valeurs suivantes :

S_a = 10 m^2

P_0 = 4 kW

Figure 10 - Ouverture d'émission (ou cône d'émission) de l'antenne et diffusion (supposée isotrope), par une cible C , située sur la surface terrestre, de l'onde qu'elle reçoit de la part de l'antenne. Le paramètre

R_C

désigne la distance

‖SC^(\to-)‖

de l'antenne à la cible.

Exprimer, en fonction de $P_0, S_a, λ$ et de la distance $R$ , la puissance par unité de surface $p_0(R)$ traversant la portion de surface sphérique de rayon $R$ du cône d'émission.

Une cible C , située à la distance $R_C = ‖SC^(\to-)‖$ du point S d'émission du signal radar, renvoie (ou diffuse) une puissance $P_d = σ \times p_0(R_C)$ . La surface effective $σ$ de la cible est fonction de son étendue, sa géométrie et ses propriétés de diffusion. Ces dernières dépendent de la nature de la cible (végétation, bâtiment, roches...). La puissance $P_d$ est supposée uniformément répartie dans toutes les directions orientées vers le haut.

L'antenne émettrice sert également de récepteur du signal diffusé par la cible C . La normale à sa surface est supposée orientée selon la direction ( SC ). Exprimer, en fonction de $P_0, S_a, σ, λ$ et $R_C$ , la puissance $P_e$ que l'antenne reçoit, en écho, de la cible.
Application numérique : Estimer l'ordre de grandeur du rapport $K = P_e/P_0$ de la puissance reçue de l'écho à la puissance émise par l'antenne. Nous adopterons les valeurs suivantes : $σ = 10^3 m^2$ et $θ = 30^\circ$ . Commenter brièvement ce résultat.

2.3 Interférométrie radar.

2.3.1 Étude de la phase du signal.

Dans cette partie, nous ne prenons pas en compte la modulation de fréquence du signal émis par l'antenne. Nous écrivons alors ce signal sous la forme suivante :

s(t, R = 0) = s_0 cos(2πf_0 t) (s_0 > 0)

À une distance $R$ de l'antenne (située au point S ), le signal prend la forme suivante :

ù s(t, R) = s(R)cos(ψ(t, R)) où ψ(t, R) = 2πf_0 t - φ(R) (0 < s(R) \leq s_0)

À cause du retard lié à la propagation de l'onde sur la distance

R

, à la vitesse

c

, la phase

ψ

du signal vérifie la condition suivante :

ψ(t, R) = ψ(t - R/c, 0)

En déduire l'expression de

φ

(que nous appellerons déphasage) en fonction de

λ

R

.
43. La diffusion de l'onde par la cible ajoute un déphasage propre aléatoire

φ_(cible)(φ_(cible) \in [0, 2π])

à celui introduit par la distance parcourue par l'onde. Exprimer le déphasage

é φ_(récep)

du signal reçu par l'antenne pour une cible située à la distance

R_C

. On notera que ce signal a parcouru un aller et retour depuis son émission.

Nous considérons deux signaux $A_1 = A_1(t)$ et $A_2 = A_2(t)$ parvenant à l'antenne. Nous les supposons de même amplitude $A_0$ et de même fréquence $f_0$ , mais de déphasages $φ_1$ et $φ_2$ a priori différents. Nous les écrivons sous la forme suivante :

A_1(t) = A_0 cos(2πf_0 t - φ_1) et A_2(t) = A_0 cos(2πf_0 t - φ_2) (A_0 > 0)

En supposant que la réponse de l'antenne est linéaire, le signal à considérer est la somme

A(t) = A_1(t) + A_2(t)

. Cette somme va faire apparaître des interférences entre les deux signaux.

La puissance reçue par l'antenne, moyennée sur une période

T = 1/f_0

du signal, est proportionnelle à la valeur moyenne du carré du signal

A

, sur la même période. Cette moyenne est ainsi définie par la relation suivante :

P = ⟨A^2(t)⟩_T = 1/T\int_0^T A^2(t)dt

Dans la suite, nous appellerons simplement (par abus de langage) "puissance" la grandeur

P

ainsi définie.
44. Établir que la puissance

P

prend la forme suivante :

ù P = A_0^2(1 + cos(Δφ)) où Δφ = φ_1 - φ_2

Représenter l'allure de la dépendance de la puissance $P$ vis-à-vis de $Δφ$ . Indiquer brièvement pourquoi on parle d'interférences constructives et destructives entre les deux signaux quand, respectivement, $Δφ = 2qπ$ et $Δφ = (2q + 1)π$ où $q \in ℤ$ .

2.3.2 Franges de terrain plat.

La méthode InSAR consiste à faire interférer deux signaux enregistrés durant deux observations de la même cible par le satellite, en exploitant les légères imprécisions du contrôle de sa trajectoire orbitale. Une première image radar est réalisée lorsque le satellite est en position

S_1

. Après avoir parcouru un ou plusieurs cycle orbitaux (se reporter à la question (30)), celui-ci se retrouve presque à la même position, en

S_2

. Il prend alors une seconde image radar

^4

. La figure (11) illustre cette situation.

Figure 11 - Observation d'une même cible C , depuis les points

S_1

S_2

, à l'occasion de deux passages du satellite.

Nous situons la position du point

S_2

par rapport au point

S_1

par le vecteur

B⃗ = S_1 S_2^(\to-)

. Nous notons

R_1 = ‖S_1 C^(\to-)‖, R_2 = ‖S_2 C^(\to-)‖, B = ‖B⃗‖, α = Angle(e⃗_y, B⃗)

ε = Angle(CS_2^(\to-), CS_1^(\to-))

.
Le point Q , défini sur la figure (11), est le projeté orthogonal du point

S_2

sur l'axe (

S_1 C

). Nous notons

δR = (S_1 Q)

. Il s'agit d'une grandeur algébrique.

Nous conduisons cette étude dans la situation telle que

B = 100 m

α \in [0, 2π]

.
46. Dans toute la suite, le satellite est supposé observer une zone de la surface terrestre d'extension

Δy = 30 km

, délimitée angulairement par les angles

θ_0 = 30^\circ

θ_1(θ_1 > θ_0)

. Vérifier que toute cible située dans cette zone est vue selon un angle

θ = θ_0 + β

tel que

β≪1

.
47. Exprimer, en fonction de

B, θ

α

, la projection

δR

définie sur la figure (11).
48. Justifier que

|ε|≪1

En conséquence, nous considérerons que les directions (

S_1 C

) et (

S_2 C

) sont parallèles et donc que

R_2 = R_1 - δR

.
49. Nous supposons qu'entre les deux images radar, prises successivement depuis les positions

S_1

S_2

du satellite, le déphasage propre

φ_(cible)

(définie à la question (43)) reste inchangé. En utilisant le résultat établi en réponse à la question (43), exprimer, en fonction de

B, λ, θ

α

, la différence de phase

é é Δφ_(tp) = φ_(récep, 1) - φ_(récep, 2)

des deux signaux réceptionnés.
50. Caractériser l'angle de vue

θ_n = θ_0 + β_n

d'une cible

C_n

qui conduit à des interférences constructives entre les signaux reçus par le satellite successivement dans les positions

S_1

S_2

(on tiendra compte de la réponse donnée à la question (46)). Nous rappelons que cette situation correspond à la condition

Δφ_(tp) = 2qπ(q \in ℤ)

En déduire que la différence

w

des abscisses de deux telles cibles

C_n

C_(n + 1)

s'exprime selon la relation suivante :

w = Y_(n + 1) - Y_n = (λH)/(2B) \times Q(θ_0, α)

où la fonction

Q = Q(θ_0, α)

est à expliciter.
Application numérique : Calculer la valeur de

w

dans le cas où

θ_0 = 30^\circ, α = 0

λ = 6 cm

En référence à l'optique ondulatoire, le réseau de lignes d'abscisses

Y_n

, sur la surface terrestre, est perçu, à travers l'imagerie radar, comme un réseau de "franges lumineuses" dont le pas est égal à

w

2.3.3 Effet de la topographie.

La présence d'un relief modifie la géométrie des franges par rapport à la situation de terrain plat. Considérons à présent une cible située à une altitude

h(h≪H)

, comme le représente la figure (12).

Figure 12 - Observation d'une cible C d'abscisse

Y

et d'altitude

h

(la hauteur du relief est exagéré) : Caractérisation de la cible apparente

C^'

correspondant à la cible C .

La mesure du délai émission-réception ne donnant accès qu'à une distance, le signal reçu de la cible C de coordonnées (

Y, h

) est attribué à une cible apparente

C^'

située dans le plan (

O, x, y

), de coordonnées

(Y^' = Y - δY, 0)

, correspondant à l'angle de visée

θ^' = (θ - δθ)

et telle que

‖S_1 C^(\to-)‖ = ‖S_1 C^'^(\to-)‖

.
51. Établir, qu'au premier ordre relativement à l'écart

δY

, ce dernier est lié à

h

selon la relation suivante :

δY = H/Y \times h

Comparer les distances apparentes entre chacun des deux pieds (d'altitude nulle) et le sommet d'une montagne (que l'on supposera de profil triangulaire), par rapport aux distances réelles. On peut appuyer son raisonnement sur une figure.
52. À l'instar de la situation en terrain plat, la cible est observée par le satellite une première fois lorsqu'il est en position

S_1

puis une seconde fois lorsqu'il se trouve en position

S_2

. La cible apparente

C^'

est telle que

‖S_1 C^(\to-)‖ = ‖S_1 C^'^(\to-)‖ = R_1

alors que les distances

‖S_2 C^(\to-)‖ = R_2

‖S_2 C^'^(\to-)‖ = R_2^'

sont, en général, différentes (se reporter à la figure (12)). Cette remarque est à prendre en compte dans le calcul du déphasage.

Établir que le déphasage total du signal reçu par le satellite en position

S_1

, par rapport à celui reçu en position

S_2

, attribué à la cible apparente

C^'

, s'exprime par la relation suivante :

ù Δφ(Y^') = Δφ_(tp)(Y^') + Δφ_(topo)(Y^') où Δφ_(topo)(Y^') = (4π)/λ \times (hB)/(Y^') \times cos(θ^' - α)

On pourra s'appuyer directement sur la relation suivante :

à à R_2 = R_1 - Bsin(θ - α) (à l'ordre le plus bas relativement à B/R_1)

La composante de phase $Δφ_(tp)(Y^')$ peut être soustraite du déphasage puisque l'abscisse $Y^'$ est déduite de la mesure du temps de parcours (qui donne $R_1$ ) et est donc connue. En raison notamment des perturbations atmosphériques, la précision de la mesure du déphasage est de l'ordre de $Δφ_(bruit) ≃ π/4$ . Estimer la précision attendue d'une mesure d'altitude basée sur la mesure de $Δφ_(topo)$ pour une visée à $θ^' = 30^\circ$ et $α = 0$ .

Rappel des données :

H = 700 km; λ = 6 cm; B = 100 m

2.3.4 Mesure de la déformation d'un volcan.

En pratique, on utilise une autre méthode, plus précise, pour accéder au profil

h = h(y)

du relief. Elle permet de rectifier les positions sur les images et de soustraire la composante

Δφ_(topo)

au déphasage. Le déphasage total est donc ramené à la valeur nulle (tant que la géométrie du relief n'a pas évolué entre les deux prises d'image).

Nous supposons, qu'entre les deux prises d'image par le satellite depuis les points

S_1

S_2

, la cible C a subi un "petit" déplacement vertical

η

(soit

h \to h + η

, en se reportant à la figure (12)). Compte tenu des deux opérations de soustraction de déphasage évoquées précédemment, le seul déphasage à considérer est celui lié à la variation de distance

‖S_2 C^(\to-)(h + η)‖ - ‖S_2 C^(\to-)(h)‖

.
54. Établir que ce déplacement induit le déphasage supplémentaire suivant :

Δφ_d = (4π)/λ \times ηcosθ

On se souviendra que les direction

(CS_1)

(CS_2)

sont quasi-parallèles (objet de la question (48)).
55. Estimer la valeur du déplacement minimal

η_(min)

décelable pour une précision sur la mesure du déphasage de l'ordre de

Δφ_(bruit) ≃ π/4

et pour

θ = 30^\circ

.
56. La figure (13) représente les franges d'interférences résultant de la somme de deux images (une image est une collection de signaux issus de tous les pixels-terrain qui constituent la surface explorée) du volcan Kilauea (cratère Halema'uma'u) à Hawaii. Elles ont été prises à un mois d'intervalle, sous un angle de visée

θ = 44^\circ

. La longueur d'onde

λ

utilisée est ici égale à 3 cm (elle diffère donc de celle que nous avons considérée jusqu'alors).

Estimer la surrection (ou soulèvement)

η_s

du volcan.

Figure 13 - Réseau d'interférences conséquence du gonflement du volcan Kilauea (cratère Halema'uma'u) à Hawaii. Images prise à un mois d'intervalle, au printemps 2015 (image USGS). La mention "

Δφ[2π]

" signifie que le dégradé de couleur se reproduit tous les

2π

- Annexe.

Formulaire de trigonométrie.

cos(a + b), = cosacosb - sinasinb, sin(a + b), = sinacosb + sinbcosa; cosa + cosb, = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2), sina + sinb, = 2sin((a + b)/2)cos((a - b)/2); cosacosb, = (cos(a + b) + cos(a - b))/2, sinasinb, = (cos(a - b) - cos(a + b))/2; ⟨cosθ⟩_(2π), = 1/(2π)\int_0^(2π)cos(θ)dθ = 0, ⟨(cosθ)^2⟩_(2π), = 1/(2π)\int_0^(2π)(cosθ)^2 dθ = 1/2; cos(x + π/2), = - sin(x), tan(x + π/2), = - 1/tan(x); sin(x + π/2), = cos(x)

Développements limités.

(

\forallx

tel que

|x|≪1

), au premier ordre par rapport à

x

sin(θ + x) = sin(θ) + cos(θ)x; cos(θ + x) = cos(θ) - sin(θ)x; tan(θ + x) = tan(θ) + x/((cosθ)^2) (θ \neq π/2 + nπ)

1. Dans les conditions normales de température et de pression.
1. Le premier satellite de cette famille fut lancé début avril 2014.
1. Tout au moins, c'est l'une des causes qui limitent la résolution spatiale.
1. Ces interférences ne sont donc pas obtenues en temps réel mais à partir des enregistrements des signaux reçus.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique BCPST inter-ENS 2025 ?

Le sujet porte sur la thermodynamique et la mécanique des fluides pour l'étude d'une nuée ardente, puis sur la mécanique du point (orbite d'un satellite) et les ondes et signaux pour l'interférométrie radar satellitaire.

Quelle est la moyenne obtenue à l'épreuve de physique BCPST inter-ENS 2025 ?

La moyenne est de 8,02/20 avec un écart-type de 3,48, pour 791 candidats présents sur 961 inscrits.

Ce sujet de physique BCPST 2025 est-il difficile ?

Oui, la moyenne est basse et le sujet est long : le rapport précise que les meilleures copies n'ont répondu qu'à environ 3/5 des questions.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury relève des résultats numériques aberrants non questionnés, des difficultés récurrentes en algèbre et géométrie élémentaires, une confusion sur le nombre de Reynolds et l'oubli du facteur 2 dans le calcul d'un aller-retour d'un signal.

Pas de description pour le moment

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FILIÈRE BCPST COMPOSITION DE PHYSIQUE

Éruptions volcaniques : risques et prévention

1 Premier problème : Étude d'une nuée ardente.

- Définition de paramètres et données numériques relatives au premier problème.

1.1 Gravité effective.

1.2 Effondrement du nuage sous l'action de la pesanteur.

1.3 Sédimentation des particules solides présentes dans le nuage.

1.4 Distance d'arrêt de la nuée ardente.

- Définition de paramètres et données numériques relatives au second problème.

2.1 Orbite du satellite.

2.2 Principe de l'imagerie radar.

2.2.1 Localisation d'une cible.

2.2.2 Puissance de l'écho détecté.

2.3 Interférométrie radar.

2.3.1 Étude de la phase du signal.

2.3.2 Franges de terrain plat.

2.3.3 Effet de la topographie.

2.3.4 Mesure de la déformation d'un volcan.

- Annexe.

Formulaire de trigonométrie.

Développements limités.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique BCPST inter-ENS 2025 ?

Quelle est la moyenne obtenue à l'épreuve de physique BCPST inter-ENS 2025 ?

Ce sujet de physique BCPST 2025 est-il difficile ?

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

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