ENS Physique BCPST 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Méthodes physiques d'exploration pour la biophysique

• Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul à la main permet aisément, et (sauf mention contraire) sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif. Les données numériques ont été choisies pour rendre aisés les calculs.
• Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Figure annexe pour certaines applications numériques.

Figure 1 - À gauche : représentation graphique de la fonction arcsin. À droite : représentation graphique de la correspondance entre radians et degrés.

I Différentes géométries de microscope

I.A Élément optique simple : la lentille mince convergente

• AB^– = − BA^–
  ⋄ Relation de Chasles : pour 3 points A, B, O d'un axe orienté : AB^– = AO^– + OB^–.
  On se place dans les conditions de GAUSS, c'est à dire que les rayons lumineux forment un angle d'incidence sur la lentille très faible avec l'axe optique, et atteignent la lentille au voisinage de son centre. La lentille réalise une image A^′ B^′ orthogonale à ( Δ ) d'un petit objet AB orthogonal également à l'axe optique. A et A^′ appartiennent à l'axe optique.

Figure 2 - Tracé des rayons caractéristiques relatifs au point B pour 2 positions d'un objet AB. a) Objet situé en amont du foyer objet F de la lentille. b) Objet situé entre le foyer objet F et la lentille. Les rayons caractéristiques permettant la construction de l'image sont représentés en traits fins. Il est parfois nécessaire de les prolonger (traits pointillés) pour trouver leur point d'intersection. Les distances algébriques sont considérées positives si elles sont suivant les directions notées + comme indiqué sur les schémas.

Figure 3 - Tracé des rayons caractéristiques (traits pleins) relatifs à un point B situé à l'infini. Les différents rayons lumineux provenant de l'infini avec une inclinaison donnée par rapport à l'axe optique se croisent en un point B^′ du plan focal image.

On parle d'image réelle si celle-ci peut être formée sur un écran. En d'autres termes, il faut que les rayons de construction se croisent effectivement en B^′.

1. Pour chacun des tracés de la figure 2, déterminer si l'image est réelle ou virtuelle. On pourra s'appuyer sur la relation de conjugaison.
2. Réaliser un schéma faisant figurer le tracé de deux rayons caractéristiques pour le point B d'un objet AB situé dans le plan focal objet de la lentille (soit A = F ).
3. Exprimer g_t en fonction de f^′ et OA^– pour OA^– ∈ ] − ∞, − f^′[ ∪ ] − f^′, 0[, puis tracer g_t en fonction de OA^–. Pour quelles valeurs de OA^– l'image est-elle drcite (c'est à dire avec la même orientation que l'objet) ou renversée? Pour quelles valeurs de OA^– est-elle agrandie ou réduite? Où se trouve l'image si A = F ?

Figure 4 - Définition de α^′, angle sous lequel est vue une image par un œil.

5. Dans le cas de la figure 2 b), on positionne l'œil au point focal image de la lentille. Montrer que la puissance optique P s'écrit uniquement en fonction de f^′. Comment faut-il modifier f^′ pour augmenter le pouvoir grossissant?

I.B Microscope simplifié

• f_(obj) = O_(obj)F_(obj)^– = − 4 mm
• f_(oc) = O_(oc)F_(oc)^– = − 20 mm
• O_(obj)A_1^′^– = 160 mm
• D = F_(obj)^′ F_(oc)^– = 154 mm

6. Calculer O_(obj)A^–, puis le rapport (O_(obj)A^–)/(f_(obj)^′). Analyser ce dernier résultat.
7. Calculer numériquement O_(oc)A_1^′^–. En déduire F_(oc)A_1^′^–.
8. Vérifier que O_(obj)A^′^– = − 2 mm. En déduire la nature (réelle ou virtuelle) de l'image finale A^′ B^′.

Figure 5 - Configuration d'un microscope droit. Les rayons de construction des images intermédiaire et finale du point objet B de l'objet AB sont représentés en traits pointillés.

9. En déduire que le grandissement transversal du microscope g_(t, m) = (A^′ B^′^–)/(AB^–) vaut environ -40 et que la puissance optique du microscope P_m = (α^′)/(AB^–) vaut environ − 4000 m^(− 1), pour un œil placé au point focal image de l'oculaire.

I.C Microscope inversé

II Microscopie de fluorescence

II.A Niveaux d'énergie d'une molécule. Notion de fluorescence

Figure 6 - Caractéristiques de la molécule diatomique AB. a) Représentation des noyaux A et B de la molécule et du nuage électronique et modélisation de la molécule AB et de son centre de masse G. b) Dépendance de l'énergie potentielle d'interaction atomique vis-à-vis de la distance R inter-nucléaire.

15. Montrer, sous une hypothèse que l'on précisera, que l'on peut modéliser la liaison atomique AB par un ressort à comportement linéaire dont on exprimera la raideur k et la longueur au repos ℓ_0 en fonction des caractéristiques extraites de l'énergie potentielle d'interaction U(R).

Figure 7 - À gauche: Spectre d'émission de l'atome d'hydrogène. À droite: Spectres normalisés d'émission et d'absorption de la molécule ATTO565 ^(TM) tracés à partir des données disponibles sur le site atto-tec.com.

18. Sur la figure 7, quelle courbe (trait continu ou trait pointillé) représente le spectre d'absorption de la molécule fluorescence ATTO 565^(TM) ? On justifiera la réponse donnée.
19. Commenter l'allure des spectres d'émission de l'atome d'hydrogène et de ATTO 565^(TM) et expli- quer l'origine de la différence de forme de ces spectres.

Figure 8 - Courbes donnant l'intensité de fluorescence d'un ensemble de molécules d'ATTO565 ^(TM), en fonction du temps écoulé depuis la fin de l'impulsion excitatrice. La figure de gauche est en échelle d'ordonnée linéaire, celle de droite en échelle logarithme népérien.

20. En exploitant les deux graphiques de la figure 8, proposer un modèle mathématique pour l'évolution temporelle de l'intensité de fluorescence et évaluer numériquement la durée de vie τ de fluorescence de l'état excité.
21. Préciser comment on doit choisir la durée de l'impulsion pour que cette méthode fonctionne.

II.B Mise en oeuvre dans un microscope

Figure 9 - Schéma du dispositif expérimental de microscopie par fluorescence. Le miroir dichroïque, ainsi que des filtres d'excitation et d'émission dans un microscope de fluorescence sont également représentés.

II.C Séparation par un élément dispersif

Figure 10 - Dispersion par un réseau d'un faisceau collimaté (parallèle) monochromatique, en incidence normale. Par convention, θ_(+ 1) est positif, et θ_(− 1) est négatif.

une molécule fluorescente à λ_1 dans le plan focal objet de l'objectif;
le réseau;
la lentille tuibe;
la surface sensible de la caméra avec l'image de la molécule.
Représenter également, sur le même schéma, l'image d'une molécule émettant à λ_2. Il n'est demandé ni calcul, ni schéma à l'échelle.

26. On utilise un réseau possédant 500 fentes par mm. Établir l'expression de la différence entre les angles des deux rayons diffractés dans l'ordre 1 pour λ_1 et λ_2. Calculer numériquement cette différence, pour λ_1 = 550 nm et λ_2 = 590 nm.

Figure 11 - Configuration dans laquelle est utilisé le prisme. Seul le faisceau incident, normal à la face d'entrée, est représenté.

31. Rappeler, sur la base d'un schéma, les lois de Snell-Descartes dans le cas d'un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes, d'indices optiques respectifs n_1 et n_2.
32. Reproduire le schéma de la figure 11 et le compléter avec les faisceaux se propageant à l'intérieur du prisme et émergeant de celui-ci. Établir la relation entre l'angle que fait le rayon émergent avec la normale à la face de sortie du prisme, noté r, en fonction de l'angle B et de l'indice n.
33. Que devient cette expression dans le cas d'un prisme cale, pour lequel B≪1 ?

l'image d'une molécule fluorescente placée en A, et confondue avec le foyer objet de l'objectif;
> la position approximative de l'image d'une molécule fluorescente placée en A_1, entre le foyer et l'objectif, et à proximité du foyer objet de l'objectif.

Figure 12 - Système optique sans élément dispersif.

II.D Microscopie de fluorescence par réflexion totale

41. Justifier qu'il existe un angle limite θ_(lim) d'incidence, au delà duquel on observe une réflexion totale. Calculer θ_(lim) pour n_1 = 1, 52 et n_2 = 1, 33.

Figure 13 - Utilisation d'un objectif à immersion. La zone entre l'objectif et la lamelle correspond à la goutte d'indice n_1 déposée sur l'objectif. Le plan focal objet de l'objectif est confondu avec la face supérieure de la lamelle de microscope. Le faisceau laser est introduit du côté du plan focal image de l'objectif pour illuminer l'échantillon «par le bas».

Figure 14 - Représentation du faisceau laser (zone grisée) en sortie de l'objectif avant réflexion sur la lamelle de microscope. La flèche indique la direction de propagation du laser.

44. Reproduire la figure 14 et tracer les rayons entrant dans l'objectif permettant d'avoir cette configuration du faisceau laser en sortie de l'objectif. Comment placer une lentille en amont de l'objectif de microscope pour que le laser puisse sortir de cette façon de l'objectif?

III Systèmes microfluidiques pour l'étude de réactions biochimiques

III.A Analogies électrique, thermique et hydrodynamique

Figure 15 - Géométrie des systèmes considérés pour définir la notion de résistance dans les trois situations : électrique, thermique et hydraulique. La section de gauche est notée 1 et celle de droite 2.

45. Rappeler l'expression de la loi d'OHM pour une résistance électrique R_e soumise à une différence de potentiel U = V_1 − V_2 et parcourue par un courant I en convention récepteur. On rappellera la définition de la convention «récepteur» et l'expression de la puissance algébrique reçue par un récepteur.
46. Établir les lois d'associations série et parallèle de deux dipôles de résistance R_(e, 1) et R_(e, 2). Un schéma illustrant les deux associations est attendu.

47. Réaliser un schéma inspiré de la figure 15 en faisant apparaître les grandeurs électriques. Exprimer la résistance électrique R_(e, Cu) totale associée au barreau cylindrique de cuivre en fonction des paramètres géométriques du barreau et de sa conductivité électrique.

III.B Focalisation hydrodynamique

Figure 16 - Schéma du circuit microfluidique étudié. Le fluide d'intérêt subissant la focalisation est représenté en gris. Les canaux verticaux sont les canaux d'entrainement, où circule le fluide (incolore ici) permettant de réaliser la focalisation hydrodynamique du fluide d'intérêt. Des flèches, au centre de chaque canal, indiquent les directions souhaitées des écoulements. Un repère cartésien (e_x^(→−), e_y→, e_z→) permet de préciser la géométrie du dispositif. L'axe e_z→ est l'axe optique de la figure 13.