Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2023

La relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O s'écrit :

où f' > 0 pour une lentille mince convergente.

• Tracé a) : Objet situé en amont du foyer objet F (\overline{OA} < -f' < 0)

  L'inégalité \overline{OA} < -f' implique :

  \frac{1}{\overline{OA}} > -\frac{1}{f'} \implies \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} > 0

  Ainsi, \overline{OA'} > 0 : le point image A' se trouve en aval de la lentille. Les rayons émergents convergent et se coupent physiquement au point B', de sorte que l'image peut être recueillie sur un écran.

  \boxed{\text{Pour le tracé a), l'image } A'B' \text{ est réelle.}}

• Tracé b) : Objet situé entre le foyer objet F et la lentille (-f' < \overline{OA} < 0)

  L'encadrement -f' < \overline{OA} < 0 entraîne :

  \frac{1}{\overline{OA}} < -\frac{1}{f'} \implies \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} < 0

  Ainsi, \overline{OA'} < 0 : le point image A' se trouve en amont de la lentille. Les rayons émergents divergent et ce sont uniquement leurs prolongements géométriques vers l'arrière qui se coupent en B'.

  \boxed{\text{Pour le tracé b), l'image } A'B' \text{ est virtuelle.}}

Pour construire l'image du point B situé dans le plan focal objet (soit A = F), on utilise deux rayons caractéristiques issus de B :

1. le rayon incident parallèle à l'axe optique (\Delta), qui émerge de la lentille en passant par le foyer principal image F' ;
2. le rayon incident passant par le centre optique O de la lentille, qui émerge sans être dévié.

Puisque les deux rayons émergents sont parallèles entre eux, ils se coupent à l'infini : l'image A'B' est rejetée à l'infini.

1. Expression de g_t :

D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

d'où :

Le grandissement transversal s'écrit donc :

2. Tracé de g_t en fonction de \overline{OA} :

La fonction g_t(\overline{OA}) est une fonction homographique présentant :

• une asymptote horizontale g_t \to 0^- lorsque \overline{OA} \to -\infty ;
• une asymptote verticale en \overline{OA} = -f' avec \lim\limits_{\overline{OA} \to -f'^-} g_t = -\infty et \lim\limits_{\overline{OA} \to -f'^+} g_t = +\infty ;
• les points particuliers : g_t(-2f') = -1 et g_t(0) = 1.

3. Orientation de l'image (droite ou renversée) :

• L'image est renversée si g_t < 0, ce qui correspond à :

  \boxed{\overline{OA} \in ]-\infty, -f'[}

• L'image est droite si g_t > 0, ce qui correspond à :

  \boxed{\overline{OA} \in ]-f', 0[}

4. Taille de l'image (agrandie ou réduite) :

• L'image est agrandie si |g_t| > 1 :

  • Pour \overline{OA} \in ]-f', 0[, g_t > 1, donc |g_t| > 1.
  • Pour \overline{OA} \in ]-2f', -f'[, g_t < -1, donc |g_t| > 1.

  Ainsi, l'image est agrandie pour :

  \boxed{\overline{OA} \in ]-2f', -f'[ \,\cup\, ]-f', 0[}

• L'image est réduite si |g_t| < 1, c'est-à-dire -1 < g_t < 0 :

  \boxed{\overline{OA} \in ]-\infty, -2f'[}
• Pour \overline{OA} = -2f', |g_t| = 1 : l'image a la même taille que l'objet (montage 4f ou doublet symétrique).

5. Position de l'image si A = F :

Si A = F, alors \overline{OA} = -f'. On a :

L'utilisation d'une lentille convergente comme loupe correspond à la configuration b) de la figure 2.

En effet, dans cette configuration :

• l'objet AB est situé entre le foyer objet F et le centre optique O (soit -f' < \overline{OA} < 0) ;
• d'après les questions précédentes, l'image A'B' obtenue est virtuelle (question 1), droite car g_t > 0, et agrandie car g_t > 1 (question 3).

Cette configuration est celle requise dans les exemples mentionnés :

• Aide à la lecture pour personnes presbytes : le texte observé doit impérativement rester dans le même sens de lecture (image droite) et présenter une taille apparente accrue (image agrandie). Une image renversée (comme dans le tracé a) rendrait la lecture extrêmement difficile. De plus, l'œil de l'observateur regarde directement à travers la lentille et observe l'image virtuelle en amont du verre, à une distance confortable (supérieure ou égale au punctum proximum).
• Électronique et horlogerie de précision : lors de la manipulation de composants CMS ou de micro-engrenages, l'opérateur guide ses mains et ses outils en observant la scène à travers la loupe. Si l'image était renversée, les mouvements de la main sembleraient inversés, rendant tout travail de minutie impossible.

Considérons le rayon lumineux issu du point objet B et se propageant parallèlement à l'axe optique :

• il rencontre le plan de la lentille mince en un point I situé à l'ordonnée \overline{OI} = \overline{AB} ;
• après réfraction, ce rayon émerge en passant par le foyer principal image F'.

L'image B' étant le point de concours (ici virtuel) de tous les rayons issus de B, le prolongement vers l'amont du rayon émergent (IF') passe nécessairement par B'.

L'œil de l'observateur étant positionné exactement en F', le rayon entrant dans la pupille est porté par la droite (IF'). L'angle \alpha' sous lequel l'observateur voit l'image A'B' est donc l'angle que fait la droite (F'I) avec l'axe optique.

Dans le triangle rectangle OIF', sous les conditions de Gauss (angles petits, \tan\alpha' \approx \alpha'), et en respectant la convention de signe de la figure 4 :

Par définition, la puissance optique \mathcal{P} de l'instrument s'écrit :

En remplaçant \alpha' par son expression, on obtient :

La puissance optique \mathcal{P} ne dépend ainsi que de la distance focale image f' de la lentille (elle est en particulier indépendante de la position de l'objet \overline{OA}).

Pour augmenter le pouvoir grossissant, c'est-à-dire augmenter la puissance optique \mathcal{P}, il faut diminuer la distance focale image f' de la lentille (ce qui équivaut à augmenter sa vergence V = \frac{1}{f'}).

Appliquons la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique à l'objectif de distance focale image f'_{\mathrm{obj}} = -\overline{O_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{obj}}} = 4\text{ mm} :

On en déduit l'expression littérale de la position de l'objet :

soit :

Avec \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} = 160\text{ mm} et f'_{\mathrm{obj}} = 4\text{ mm}, il vient :

d'où :

Calculons maintenant le rapport demandé :

Analyse du résultat : Le rapport étant très proche de -1 par valeurs inférieures (\overline{O_{\mathrm{obj}} A} / f'_{\mathrm{obj}} = -40/39 \approx -1{,}03), on constate que l'objet AB est situé immédiatement en amont du foyer principal objet de l'objectif :

Cette proximité (A légèrement à gauche de F_{\mathrm{obj}}) est la condition indispensable pour que l'objectif forme une image intermédiaire A'_1 B'_1 réelle, très agrandie (de grandissement transversal g_{t,\mathrm{obj}} = \overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1}/\overline{O_{\mathrm{obj}} A} = -39), située à grande distance de l'objectif (\overline{O_{\mathrm{obj}} A'_1} = 160\text{ mm} \gg f'_{\mathrm{obj}}).

Par la relation de Chasles, la distance entre les centres optiques de l'objectif et de l'oculaire s'écrit :

Or, d'après les données de l'énoncé :

• \overline{O_{\mathrm{obj}} F'_{\mathrm{obj}}} = f'_{\mathrm{obj}} = -f_{\mathrm{obj}} = 4\text{ mm} ;
• \overline{F'_{\mathrm{obj}} F_{\mathrm{oc}}} = D = 154\text{ mm} ;
• \overline{F_{\mathrm{oc}} O_{\mathrm{oc}}} = -\overline{O_{\mathrm{oc}} F_{\mathrm{oc}}} = -f_{\mathrm{oc}} = 20\text{ mm}.

Il vient :

La position algébrique de l'image intermédiaire A'_1 par rapport au centre O_{\mathrm{oc}} de l'oculaire est alors :

On en déduit la position de A'_1 par rapport au foyer objet de l'oculaire :

L'oculaire, de centre O_{\mathrm{oc}} et de distance focale image f'_{\mathrm{oc}} = 20\text{ mm}, forme de l'image intermédiaire A'_1 B'_1 l'image finale A' B'.

D'après la relation de conjugaison de Newton appliquée à l'oculaire :

En utilisant la valeur \overline{F_{\mathrm{oc}} A'_1} = +2\text{ mm} établie à la question Q7 :

La position de l'image A' par rapport au centre optique O_{\mathrm{oc}} de l'oculaire vaut :

On en déduit la position de A' par rapport au centre de l'objectif O_{\mathrm{obj}} à l'aide de la distance inter-lentilles \overline{O_{\mathrm{obj}} O_{\mathrm{oc}}} = 178\text{ mm} (établie à la question Q7) :

Nature de l'image finale : Le point image A' est situé en amont de l'oculaire (\overline{O_{\mathrm{oc}} A'} = -180\text{ mm} < 0). Les rayons lumineux issus de l'instrument divergent à la sortie de l'oculaire : ils ne se coupent pas réellement dans l'espace image, mais leurs prolongements vers l'arrière se rencontrent au point A' (comme illustré sur la figure 5 du sujet).

Le grandissement transversal total du microscope est le produit des grandissements transversaux de l'objectif et de l'oculaire :

D'après les questions Q6 et Q7 :

On en déduit :

Remarque : La valeur -40 mentionnée dans l'énoncé correspond en réalité au seul grandissement transversal de l'objectif g_{t,\mathrm{obj}} (ou comporte l'omission d'un zéro pour -400).

Calculons à présent la puissance optique \mathcal{P}_m. L'œil étant placé au foyer image de l'oculaire F'_{\mathrm{oc}}, la distance algébrique séparant l'image finale A' de l'œil vaut :

Dans l'approximation des petits angles de Gauss et selon la convention de la figure 4 :

On peut également retrouver cet angle en considérant le rayon issu de B passant par le foyer objet F_{\mathrm{obj}} de l'objectif : il émerge de l'objectif parallèlement à l'axe optique à la hauteur \overline{A'_1 B'_1}, puis traverse l'oculaire et coupe l'axe optique en F'_{\mathrm{oc}}, lieu de l'œil, ce qui donne directement \alpha' = \frac{\overline{A'_1 B'_1}}{f'_{\mathrm{oc}}}.

La puissance optique s'exprime donc par :

Numériquement :

L'énoncé fournissant les ordres de grandeur indicatifs pour la suite :

Par définition de la puissance optique du microscope, l'angle sous lequel est vue l'image finale par l'œil est relié à la taille algébrique de l'objet par :

En prenant la valeur absolue de cette grandeur, l'angle apparent sous lequel l'observateur voit l'objet est :

Pour que l'œil humain puisse résoudre et distinguer les détails de l'objet, cet angle apparent doit être supérieur ou égal au pouvoir séparateur de l'œil, noté \varepsilon :

La taille minimale du plus petit objet observable vérifie donc :

Application numérique : Avec \varepsilon = 5 \times 10^{-4}\text{ rad} et la valeur de la puissance optique donnée à la question précédente |\mathcal{P}_m| \approx 4000\text{ m}^{-1} :

En respectant deux chiffres significatifs :

La valeur fournie par le constructeur est |\overline{AB}|_{\min, \text{constr}} = 0{,}5\ \mu\text{m}, alors que la valeur déduite de la résolution de l'œ il à la question précédente est :

La taille minimale réellement résolue par le microscope est environ quatre fois plus grande que la limite imposée par le pouvoir séparateur de l'œ il : ce n'est donc pas l'œ il de l'observateur qui limite la résolution de l'instrument.

Cette différence s'explique par la nature ondulatoire de la lumière :

• Phénomène de diffraction (limite d'Abbe) : l'optique géométrique atteint ses limites lorsque la taille de l'objet devient de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de la lumière visible (\lambda \sim 0{,}5\ \mu\text{m}). En raison de la diffraction par la pupille de l'objectif, l'image d'un point n'est pas un point mais une tache de diffraction (tache d'Airy). D'après le critère de Rayleigh ou la formule d'Abbe, le plus petit écart séparable au niveau de l'objet est de l'ordre de :

  d_{\min} \sim \frac{\lambda}{2\,\mathrm{ON}}

  Pour la lumière visible et des ouvertures numériques usuelles dans l'air (\mathrm{ON} \lesssim 1), cette limite est de l'ordre de 0{,}3 à 0{,}5\ \mu\text{m}, ce qui correspond exactement à la valeur annoncée par le constructeur.

• Aberrations optiques : les aberrations géométriques et chromatiques résiduelles de l'objectif et de l'oculaire contribuent également à élargir la tache image.

Un double-brin d'ADN présente un diamètre caractéristique d'environ :

Or, d'après les questions précédentes (Q10 et Q11), la résolution spatiale d'un microscope optique conventionnel est limitée par le phénomène de diffraction à une dimension minimale de l'ordre de :

Comme d_{\mathrm{ADN}} \ll |\overline{AB}|_{\min}, les dimensions transverses d'un double-brin d'ADN sont deux ordres de grandeur en dessous de la limite de résolution optique.

1. Construction géométrique

Considérons un objet transverse AB situé dans le plan focal objet de l'objectif (A = F_{\mathrm{obj}}) :

• À travers l'objectif L_{\mathrm{obj}} :

  • Le rayon issu de B passant par le centre optique O_{\mathrm{obj}} n'est pas dévié.
  • Le rayon issu de B parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F'_{\mathrm{obj}}.
  • Ces deux rayons émergent parallèles entre eux : l'image intermédiaire A_1 B_1 est rejetée à l'infini.

• À travers la lentille de tube L_t :

  • Le faisceau parallèle incident converge dans le plan focal image de la lentille de tube.
  • Le point de concours B' se trouve à l'intersection de ce plan focal image avec la direction des rayons incidents (matérialisée par un rayon passant par le centre optique O_t non dévié).
  • Le point A' est le foyer principal image de la lentille de tube : A' = F'_t.

2. Position de la surface sensible de la caméra

L'image finale A'B' étant formée dans le plan focal image de la lentille de tube (A' = F'_t), la surface sensible (capteur) de la caméra doit être positionnée précisément dans ce plan focal pour obtenir une image nette :

L'objet AB étant situé dans le plan focal objet de l'objectif (A = F_{\mathrm{obj}}), tous les rayons issus de B émergent de l'objectif parallèlement entre eux, inclinés d'un angle algébrique \alpha par rapport à l'axe optique (\Delta).

Le rayon issu de B passant par le centre optique O_{\mathrm{obj}} n'étant pas dévié, son angle avec l'axe optique vérifie dans le triangle rectangle (F_{\mathrm{obj}}, O_{\mathrm{obj}}, B), sous les conditions de Gauss :

Ce faisceau de rayons parallèles entre dans la lentille de tube. Le rayon du faisceau passant par le centre optique O_t de la lentille de tube n'est pas dévié. Il coupe l'axe focal image de la lentille de tube (situé à \overline{O_t A'} = f'_t, d'après la question Q13) au point B'. Dans le triangle rectangle (O_t, A', B'), on a :

En égalant les deux expressions de \alpha :

On en déduit le grandissement transversal g_m = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} du système complet :

En valeur absolue, le grandissement vaut |g_m| = \frac{f'_t}{f'_{\mathrm{obj}}}.