Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2023, Q26

   Le réseau comporte n = 500\text{ traits}\cdot\text{mm}^{-1} = 5{,}00 \times 10^5\text{ m}^{-1}. Le pas du réseau a vaut donc :

   a = \frac{1}{n} = \frac{1}{500\text{ mm}^{-1}} = 2{,}00\,\mu\text{m} = 2{,}00 \times 10^{-6}\text{ m}

   D'après la formule des réseaux donnée par l'équation (5), pour un faisceau incident en incidence normale et diffracté à l'ordre k = 1, l'angle de diffraction \theta vérifie :

   \sin\theta = \frac{\lambda}{a} = n\lambda

   Les angles de diffraction \theta_1 et \theta_2 associés respectivement à \lambda_1 et \lambda_2 s'écrivent :

   \theta_1 = \arcsin\left(\frac{\lambda_1}{a}\right) \quad \text{et} \quad \theta_2 = \arcsin\left(\frac{\lambda_2}{a}\right)

   La différence angulaire s'exprime donc rigoureusement par :

   \boxed{\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 = \arcsin\left(\frac{\lambda_2}{a}\right) - \arcsin\left(\frac{\lambda_1}{a}\right)}

   Comme l'écart \Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 40\text{ nm} est petit devant les longueurs d'onde considérées, on peut également différencier la relation des réseaux à a fixé :

   \cos\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{\mathrm{d}\lambda}{a} \implies \Delta\theta \approx \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{a\cos\theta_1} = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{a\sqrt{1 - \left(\frac{\lambda_1}{a}\right)^2}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} \frac{\lambda_1}{a} &= \frac{550 \times 10^{-9}\text{ m}}{2{,}00 \times 10^{-6}\text{ m}} = 0{,}275 \implies \theta_1 = \arcsin(0{,}275) \approx 0{,}2786\text{ rad} \approx 15{,}96^\circ \\ \frac{\lambda_2}{a} &= \frac{590 \times 10^{-9}\text{ m}}{2{,}00 \times 10^{-6}\text{ m}} = 0{,}295 \implies \theta_2 = \arcsin(0{,}295) \approx 0{,}2995\text{ rad} \approx 17{,}16^\circ \end{aligned}

   D'où la différence angulaire :

   \begin{aligned} \Delta\theta &= 0{,}2995 - 0{,}2786 = 2{,}09 \times 10^{-2}\text{ rad} \approx 1{,}20^\circ \end{aligned}

   Avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{\Delta\theta \approx 2{,}1 \times 10^{-2}\text{ rad} \quad (\text{soit } 1{,}2^\circ)}

   Résultat

   $$\Delta \theta ={\theta }_2-{\theta }_1=\arcsin \left(\frac{{\lambda }_2}{a}\right)-\arcsin \left(\frac{{\lambda }_1}{a}\right)$$

   $$\Delta \theta \approx 2,1\times 10^{-2}\text{ rad}(\text{soit }1,2^{\circ })$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2025, Q39

   La surface totale d'une sphère de rayon R centrée sur l'émetteur \mathrm{S} vaut :

   \Sigma(R) = 4\pi R^2

   D'après l'énoncé, le cône d'émission intercepte une fraction 1/G de cette surface sphérique. L'aire de la calotte sphérique traversée par le faisceau à la distance R est donc :

   \Sigma_{{cône}}(R) = \frac{\Sigma(R)}{G} = \frac{4\pi R^2}{G}

   La puissance totale émise P_0 étant répartie uniformément sur cette portion de sphère, la puissance par unité de surface s'écrit :

   p_0(R) = \frac{P_0}{\Sigma_{{cône}}(R)} = \frac{P_0 \, G}{4\pi R^2}

   En remplaçant le gain géométrique G par son expression donnée par l'équation (16), G = \dfrac{4\pi S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2}, on obtient :

   p_0(R) = \frac{P_0}{4\pi R^2} \times \frac{4\pi S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2}

   d'où finalement :

   \boxed{p_0(R) = \frac{P_0 \, S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2 R^2}}

   Résultat

   $$p_0(R)=\frac{P_0{S}_{\mathrm{a}}}{{\lambda }^2{R}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2023, Q11

   La valeur fournie par le constructeur est |\overline{AB}|_{\min, \text{constr}} = 0{,}5\ \mu\text{m}, alors que la valeur déduite de la résolution de l'œ il à la question précédente est :

   |\overline{AB}|_{\min} \approx 0{,}13\ \mu\text{m}

   La taille minimale réellement résolue par le microscope est environ quatre fois plus grande que la limite imposée par le pouvoir séparateur de l'œ il : ce n'est donc pas l'œ il de l'observateur qui limite la résolution de l'instrument.

   Cette différence s'explique par la nature ondulatoire de la lumière :

   • Phénomène de diffraction (limite d'Abbe) : l'optique géométrique atteint ses limites lorsque la taille de l'objet devient de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de la lumière visible (\lambda \sim 0{,}5\ \mu\text{m}). En raison de la diffraction par la pupille de l'objectif, l'image d'un point n'est pas un point mais une tache de diffraction (tache d'Airy). D'après le critère de Rayleigh ou la formule d'Abbe, le plus petit écart séparable au niveau de l'objet est de l'ordre de :

     d_{\min} \sim \frac{\lambda}{2\,\mathrm{ON}}

     Pour la lumière visible et des ouvertures numériques usuelles dans l'air (\mathrm{ON} \lesssim 1), cette limite est de l'ordre de 0{,}3 à 0{,}5\ \mu\text{m}, ce qui correspond exactement à la valeur annoncée par le constructeur.

   • Aberrations optiques : les aberrations géométriques et chromatiques résiduelles de l'objectif et de l'oculaire contribuent également à élargir la tache image.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2023, Q12

   Un double-brin d'ADN présente un diamètre caractéristique d'environ :

   d_{\mathrm{ADN}} \approx 2\text{ nm}

   Or, d'après les questions précédentes (Q10 et Q11), la résolution spatiale d'un microscope optique conventionnel est limitée par le phénomène de diffraction à une dimension minimale de l'ordre de :

   |\overline{AB}|_{\min} \approx 0{,}5\,\mu\text{m} = 500\text{ nm}

   Comme d_{\mathrm{ADN}} \ll |\overline{AB}|_{\min}, les dimensions transverses d'un double-brin d'ADN sont deux ordres de grandeur en dessous de la limite de résolution optique.

   \boxed{\text{Il n'est pas possible de résoudre un double-brin d'ADN avec un microscope optique conventionnel.}}

   Résultat

   $$\text{Il n’est pas possible de reˊsoudre un double-brin d’ADN avec un microscope optique conventionnel.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2023, Q25

   Le principe de la formation des images est le suivant :

   • Les molécules fluorescentes émettant aux longueurs d'onde \lambda_1 et \lambda_2 sont situées au foyer objet F_{\text{obj}} de l'objectif. Par conséquent, les rayons émergeant de l'objectif forment un faisceau collimaté parallèle à l'axe optique de l'objectif.

   • Ce faisceau arrive en incidence normale sur le réseau de diffraction. À la traversée du réseau, l'ordre 1 est diffracté sous un angle \theta_k tel que \sin\theta_k = \lambda_k/a. Comme \lambda_2 > \lambda_1, l'angle de diffraction vérifie :

     \theta_2 > \theta_1
   • L'axe optique de la lentille tube étant aligné avec la direction de diffraction à \lambda_1 (\theta = \theta_1), le faisceau de longueur d'onde \lambda_1 entre parallèlement à son axe optique et converge au foyer image F'_t, formant l'image ponctuelle I_1 au centre du détecteur.
   • Le faisceau à \lambda_2 forme un angle \theta_2 - \theta_1 > 0 avec l'axe optique de la lentille tube. Il converge donc en un point image I_2 situé dans le plan focal image de la lentille tube, séparé spatialement de I_1 sur la surface sensible de la caméra.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2023, Q27

   D'après l'énoncé, la lentille de tube est orientée de façon à ce que le faisceau diffracté à l'ordre 1 pour \lambda_1 soit parallèle à son axe optique. Il converge donc en son foyer image F'_t, centre de la première tache.

   Le faisceau diffracté à la longueur d'onde \lambda_2 fait un angle \Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 avec l'axe optique de la lentille de tube. Ce faisceau collimaté converge dans le plan focal image de la lentille de tube à une distance d de l'axe optique donnée, dans les conditions de Gauss (\Delta\theta \ll 1), par :

   d = f'_t \tan(\Delta\theta) \approx f'_t \Delta\theta

   Avec f'_t = 200\text{ mm} et la valeur obtenue à la question Q26 (\Delta\theta \approx 2{,}1 \times 10^{-2}\text{ rad}) :

   \begin{aligned} d &= 200 \times 10^{-3} \times 2{,}1 \times 10^{-2} = 4{,}2 \times 10^{-3}\text{ m} = 4{,}2\text{ mm} \end{aligned}

   \boxed{d \approx 4{,}2\text{ mm}}

   Calculons à présent la taille de la surface sensible de la caméra. Le capteur est formé de 2000 \times 2000 pixels carrés de côté c = 5\,\mu\text{m}. Le côté L du capteur vaut :

   L = 2000 \times 5\,\mu\text{m} = 10\,000\,\mu\text{m} = 10\text{ mm}

   La surface sensible est donc un carré de 10\text{ mm} \times 10\text{ mm}.

   La distance entre les deux taches (d \approx 4{,}2\text{ mm}) est du même ordre de grandeur que la taille du capteur : elle représente environ 42\,\% du côté du détecteur (d < L). Les deux taches peuvent donc être observées simultanément sur le capteur, à condition de centrer convenablement l'image sur la caméra.

   Résultat

   $$d\approx 4,2\text{ mm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2023, Q28

   D'après le rappel de l'énoncé, la tache de diffraction associée à une molécule ponctuelle possède sur le capteur un rayon :

   r = g_m \frac{\lambda}{2\,\mathrm{ON}}

   Les molécules émettent à \lambda_1 = 550\text{ nm} et \lambda_2 = 590\text{ nm}, soit une longueur d'onde moyenne \lambda \approx 570\text{ nm} = 0{,}57\,\mu\text{m}.

   Avec g_m = 100 et \mathrm{ON} = 1{,}5, on obtient pour le rayon de la tache :

   \begin{aligned} r &= 100 \times \frac{0{,}57\,\mu\text{m}}{2 \times 1{,}5} = \frac{57}{3}\,\mu\text{m} = 19\,\mu\text{m} \end{aligned}

   (ou plus précisément r_1 \approx 18\,\mu\text{m} pour \lambda_1 et r_2 \approx 20\,\mu\text{m} pour \lambda_2).

   Le diamètre de la tache de diffraction vaut ainsi :

   D = 2r = g_m \frac{\lambda}{\mathrm{ON}} \approx 38\,\mu\text{m}

   Chaque pixel étant un carré de côté p = 5\,\mu\text{m}, le nombre de pixels correspondant est :

   • en rayon :

     N_r = \frac{r}{p} = \frac{19\,\mu\text{m}}{5\,\mu\text{m}} \approx 3{,}8 \approx 4\text{ pixels}

   • en diamètre (taille totale de l'image) :

     N_D = \frac{D}{p} = \frac{38\,\mu\text{m}}{5\,\mu\text{m}} \approx 7{,}6 \approx 8\text{ pixels}

   \boxed{r \approx 19\,\mu\text{m} \approx 4\text{ pixels} \quad \text{soit un diamètre } D \approx 38\,\mu\text{m} \approx 8\text{ pixels}}

   Résultat

   $$r\approx 19\mu \text{m}\approx 4\text{ pixels}\text{soit un diameˋtre }D\approx 38\mu \text{m}\approx 8\text{ pixels}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2023, Q29

   Chaque molécule fluorescente donne sur le capteur une tache circulaire de rayon :

   r_i = g_m \frac{\lambda_i}{2\,\mathrm{ON}} \quad (i \in \{1, 2\})

   Pour que les deux taches ne se chevauchent pas (ne se superposent pas), la distance d entre leurs centres doit être au moins égale à la somme de leurs rayons :

   d_{\min} = r_1 + r_2 = \frac{g_m}{2\,\mathrm{ON}} (\lambda_1 + \lambda_2)

   Comme \lambda_1 \approx \lambda_2 \approx \lambda, les deux rayons sont très proches (r_1 \approx r_2 \approx r), de sorte que la distance minimale correspond au diamètre 2r d'une tache :

   d_{\min} \approx 2r = \frac{g_m \lambda}{\mathrm{ON}}

   Application numérique : Avec g_m = 100, \mathrm{ON} = 1{,}5, \lambda_1 = 550\text{ nm} et \lambda_2 = 590\text{ nm} :

   \begin{aligned} r_1 &= \frac{100 \times 550 \times 10^{-9}}{2 \times 1{,}5} \approx 18{,}3\,\mu\text{m} \\ r_2 &= \frac{100 \times 590 \times 10^{-9}}{2 \times 1{,}5} \approx 19{,}7\,\mu\text{m} \end{aligned}

   soit :

   \begin{aligned} d_{\min} &= 18{,}3 + 19{,}7 \approx 38\,\mu\text{m} \end{aligned}

   En termes de pixels (avec un pixel de côté p = 5\,\mu\text{m} d'après l'énoncé) :

   N_{\text{pix},\min} = \frac{d_{\min}}{p} = \frac{38}{5} \approx 7{,}6 \text{ pixels} \approx 8\text{ pixels}

   \boxed{d_{\min} = r_1 + r_2 \approx 2r \approx 38\,\mu\text{m} \quad (\approx 8\text{ pixels})}

   Résultat

   $$d_{\min }=r_1+r_2\approx 2r\approx 38\mu \text{m}(\approx 8\text{ pixels})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2023, Q30

   D'après la question 28, chaque tache de diffraction a un diamètre :

   2r \approx 38\,\mu\mathrm{m} \approx 8\text{ pixels}

   Pour que les deux images soient non superposées et séparées d'un pixel (p = 5\,\mu\mathrm{m}) entre leurs bords, la distance requise entre leurs centres doit être :

   d_{\text{souhaitée}} = 2r + p \approx 38 + 5 = 43\,\mu\mathrm{m} \approx 9\text{ pixels}

   Or, le réseau de 500\text{ fentes}\cdot\mathrm{mm}^{-1} induit d'après la question 27 un écartement entre centres de :

   d = 4{,}2\text{ mm} = 4\,200\,\mu\mathrm{m} \approx 840\text{ pixels}

   La distance réelle est près de cent fois supérieure à la valeur visée : la dispersion introduite par ce réseau est beaucoup trop importante.

   \boxed{\text{Non, un réseau à } 500\text{ fentes}\cdot\mathrm{mm}^{-1}\text{ n'est pas adapté : sa dispersion est excessive.}}

   Résultat

   $$\text{Non, un reˊseau aˋ }500\text{ fentes}\cdot {\mathrm{mm}}^{-1}\text{ n’est pas adapteˊ : sa dispersion est excessive.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2023, Q38

    Examinons la répartition de l'énergie pour chacun des deux éléments dispersifs :

    • Le réseau de diffraction en transmission répartit le flux incident d'une longueur d'onde donnée entre de multiples directions correspondant aux différents ordres de diffraction k \in \mathbb{Z} (k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots). Une part importante de l'énergie est transmise dans l'ordre 0 (non dispersé) ainsi que dans les ordres supérieurs. Comme seule la lumière diffractée dans l'ordre k = 1 est dirigée vers la lentille de tube et collectée par la caméra, tous les photons diffractés dans les autres ordres sont perdus pour la détection.
    • Le prisme, quant à lui, fonctionne par réfraction à travers deux dioptres plans. Pour chaque longueur d'onde incidente, il ne produit qu'un unique faisceau réfracté émergeant du prisme (aux pertes par réflexion vitreuse près, qui peuvent être rendues minimes par un traitement antireflet).

    Par conséquent, la quasi-totalité de l'énergie lumineuse émise par la molécule à une longueur d'onde donnée est dirigée vers le capteur dans le cas du prisme, tandis qu'une fraction seulement est collectée avec le réseau.

    \boxed{\text{Le prisme est plus avantageux en termes de quantité de photons collectés sur la caméra.}}

    Résultat

    $$\text{Le prisme est plus avantageux en termes de quantiteˊ de photons collecteˊs sur la cameˊra.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question