Feuille d'entraînement : Mécanique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2025, Q6

   Dans l'équation de Navier-Stokes décrivant l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho_{\mathrm{c}} et de viscosité dynamique \eta_{\mathrm{c}}, les ordres de grandeur du terme convectif d'inertie et du terme de diffusion visqueuse s'écrivent respectivement, à l'échelle de la hauteur h et de la vitesse u :

   \begin{aligned} \left\| \rho_{\mathrm{c}} (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right\| &\sim \frac{\rho_{\mathrm{c}} u^2}{h} \\ \left\| \eta_{\mathrm{c}} \Delta \vec{v} \right\| &\sim \frac{\eta_{\mathrm{c}} u}{h^2} \end{aligned}

   Le rapport de ces deux grandeurs définit le nombre de Reynolds de l'écoulement :

   \mathrm{Re} = \frac{\rho_{\mathrm{c}} u h}{\eta_{\mathrm{c}}}

   Les effets visqueux sont négligeables devant les effets inertiels lorsque ce nombre sans dimension est très supérieur à l'unité, soit :

   \boxed{\frac{\rho_{\mathrm{c}} u h}{\eta_{\mathrm{c}}} \gg 1}

   Résultat

   $$\frac{{\rho }_{\mathrm{c}}uh}{{\eta }_{\mathrm{c}}}\gg 1$$

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2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2025, Q7

   Déterminons la dimension de chacune des grandeurs intervenant dans l'expression (3) :

   • La vitesse du front u a pour dimension celle d'une vitesse :

     [u] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}
   • La constante F est sans dimension par hypothèse : [F] = 1.

   • La gravité effective g' est homogène à l'accélération de la pesanteur g (puisque (\rho_{\mathrm{c}}-\rho_0)/\rho_0 est un rapport de masses volumiques, donc sans dimension) :

     [g'] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}

   • La hauteur h du nuage est une longueur :

     [h] = \mathrm{L}

   En appliquant le principe d'homogénéité à la relation u = F \, (g')^{\alpha} \, h^{\beta}, on obtient :

   [u] = [g']^{\alpha} \, [h]^{\beta} \iff \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1} = \left(\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}\right)^{\alpha} \mathrm{L}^{\beta} = \mathrm{L}^{\alpha + \beta} \, \mathrm{T}^{-2\alpha}

   Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

   \begin{aligned} \text{Sur le temps }\mathrm{T} : & \quad -2\alpha = -1 \implies \alpha = \frac{1}{2} \\ \text{Sur la longueur }\mathrm{L} : & \quad \alpha + \beta = 1 \implies \beta = 1 - \alpha = \frac{1}{2} \end{aligned}

   On en déduit donc les valeurs des deux exposants :

   \boxed{\alpha = \frac{1}{2}} \quad \text{et} \quad \boxed{\beta = \frac{1}{2}}

   Résultat

   $$\alpha =\frac{1}{2}$$

   $$\beta =\frac{1}{2}$$

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3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2025, Q14

   La force de traînée exercée par un fluide de masse volumique \rho_{\mathrm{g}} sur un obstacle se déplaçant à la vitesse v a pour norme :

   F_{\mathrm{T}} = \frac{1}{2} C_x \rho_{\mathrm{g}} S v^2

   où S est le maître-couple (section droite frontale perpendiculaire à l'écoulement) et C_x le coefficient de traînée.

   Pour une particule sphérique de diamètre d, le maître-couple correspond à la surface d'un disque de diamètre d :

   S = \frac{\pi d^2}{4}

   La force de traînée s'oppose au mouvement de la particule ; la particule chutant vers le bas, la force est donc dirigée verticalement vers le haut. En norme (ou intensité), elle s'écrit :

   \boxed{F_{\mathrm{T}} = \frac{1}{8} \pi C_x \rho_{\mathrm{g}} d^2 v^2}

   En projection sur un axe vertical orienté vers le bas (dans le sens de la vitesse v), sa composante algébrique est :

   F_{\mathrm{T},z} = - \frac{1}{8} \pi C_x \rho_{\mathrm{g}} d^2 v^2

   Résultat

   $$F_{\mathrm{T}}=\frac{1}{8}\pi C_x{\rho }_{\mathrm{g}}{d}^2{v}^2$$

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4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2023, Q50

   On étudie l'écoulement stationnaire, laminaire et unidirectionnel d'un fluide incompressible selon l'axe (Ox) :

   \vec{v}(M) = v(r)\,\vec{e}_x

   1. Choix du système et bilan de quantité de mouvement : Considérons le volume de fluide contenu dans le cylindre d'axe (Ox), de rayon r \in [0, R] et s'étendant entre x = 0 et x = \ell.

   • En régime stationnaire, la quantité de mouvement totale du fluide contenu dans ce volume de contrôle est constante dans le temps.
   • L'écoulement étant invariant selon x, le flux de quantité de mouvement sortant par la base en x = \ell compense exactement le flux de quantité de mouvement entrant par la base en x = 0. Le flux convectif net à travers la frontière est donc nul.

   Le théorème de la quantité de mouvement appliqué à ce domaine se réduit donc à l'équilibre des forces extérieures exercées sur le fluide :

   \sum \vec{F}_{\mathrm{ext}} = \vec{0}

   2. Inventaire des forces extérieures : En négligeant la pesanteur, les forces s'exerçant sur le cylindre de fluide sont :

   • Forces de pression sur les bases :

     • en x = 0 (entrée) : \vec{F}_{P,1} = P_1 (\pi r^2)\,\vec{e}_x ;
     • en x = \ell (sortie) : \vec{F}_{P,2} = - P_2 (\pi r^2)\,\vec{e}_x.

     Leur résultante vaut :

     \vec{F}_P = (P_1 - P_2)\pi r^2\,\vec{e}_x = \Delta P\,\pi r^2\,\vec{e}_x

   • Forces de viscosité sur la surface latérale : La normale extérieure au cylindre de rayon r est \vec{e}_r. Pour un fluide newtonien, la contrainte de cisaillement exercée par le fluide extérieur (r^+ > r) sur le fluide intérieur est tangentielle à la surface et orientée selon \vec{e}_x :

     \sigma_{rx} = \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}

     La surface latérale ayant pour aire S_{\mathrm{lat}} = 2\pi r \ell, la force visqueuse totale s'écrit :

     \vec{F}_{\mathrm{visq}} = 2\pi r \ell\,\sigma_{rx}\,\vec{e}_x = 2\pi r \ell\,\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\,\vec{e}_x

   3. Équilibre et intégration : La projection selon l'axe (Ox) donne :

   \begin{aligned} \Delta P\,\pi r^2 + 2\pi r \ell\,\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} &= 0 \\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} &= - \frac{\Delta P}{2\eta\ell}\,r \end{aligned}

   Une première intégration par rapport à r conduit à :

   v(r) = - \frac{\Delta P}{4\eta\ell}\,r^2 + C \quad (C \in \mathbb{R})

   La condition aux limites d'adhérence du fluide visqueux à la paroi fixe impose v(R) = 0, d'où :

   C = \frac{\Delta P R^2}{4\eta\ell}

   La vitesse du fluide s'écrit donc :

   \boxed{v(r) = A\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \quad \text{avec} \quad A = \frac{\Delta P\,R^2}{4\eta\ell}}

   4. Allure graphique du profil de vitesse : La constante A = v(0) représente la vitesse maximale au centre de la conduite (v_{s,\max}). Le profil de vitesse est parabolique :

   Résultat

   $$v(r)=A\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\text{avec}A=\frac{\Delta P{R}^2}{4\eta \ell }$$

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5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2023, Q51

   Le débit de volume Q_v à travers une section transversale S de la conduite est défini par le flux du vecteur vitesse :

   Q_v = \iint_S \vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   L'écoulement étant purement longitudinal selon \vec{e}_x et invariant par rotation d'axe (Ox), la vitesse ne dépend que de la distance radiale r. On choisit comme élément de surface une couronne d'aire \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r orientée selon \vec{e}_x.

   D'après le profil de vitesse obtenu à la question Q50 :

   v(r) = A\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \quad \text{avec} \quad A = \frac{\Delta P \, R^2}{4\eta\ell}

   Le débit s'exprime donc sous la forme :

   \begin{aligned} Q_v &= \int_0^R v(r) \, 2\pi r \, \mathrm{d}r \\ &= 2\pi A \int_0^R \left( r - \frac{r^3}{R^2} \right) \mathrm{d}r \\ &= 2\pi A \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4R^2} \right]_0^R \\ &= 2\pi A \left( \frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{4} \right) \\ &= \frac{\pi R^2 A}{2} \end{aligned}

   En remplaçant la constante A par son expression en fonction de \Delta P, R, \eta et \ell, on aboutit à la loi de Hagen-Poiseuille :

   \boxed{Q_v = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta\ell}}

   Résultat

   $$Q_v=\frac{\pi R^4\Delta P}{8\eta \ell }$$

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6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2020, Q12

   Le nombre de Reynolds \mathrm{Re} est un nombre sans dimension défini par :

   \boxed{\mathrm{Re} = \frac{\rho \tilde{v} \tilde{L}}{\eta}}

   où :

   • \rho est la masse volumique du fluide,
   • \eta sa viscosité dynamique,
   • \tilde{v} une vitesse caractéristique de l'écoulement,
   • \tilde{L} une dimension spatiale caractéristique.

   Interprétation physique : Dans l'équation de Navier-Stokes, l'accélération convective s'évalue en ordre de grandeur selon \|\rho (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\| \sim \rho \frac{\tilde{v}^2}{\tilde{L}}, tandis que la résultante des forces de viscosité s'évalue selon \|\eta \Delta \vec{v}\| \sim \eta \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}^2}. Le nombre de Reynolds quantifie donc le rapport de l'ordre de grandeur des forces d'inertie à celui des forces visqueuses :

   \frac{\|\text{forces d'inertie volumiques}\|}{\|\text{forces visqueuses volumiques}\|} \sim \frac{\rho \tilde{v}^2 / \tilde{L}}{\eta \tilde{v} / \tilde{L}^2} = \frac{\rho \tilde{v} \tilde{L}}{\eta} = \mathrm{Re}

   Nage d'une bactérie dans l'eau :

   • Taille caractéristique : \tilde{L} \sim R \sim 1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m} ;
   • Vitesse caractéristique : \tilde{v} \sim 10\text{ à }30\,\mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1} \sim 10^{-5}\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
   • Propriétés de l'eau : \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} et \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\mathrm{s}.

   On obtient :

   \mathrm{Re}_{\text{bactérie}} \sim \frac{10^3 \times 10^{-5} \times 10^{-6}}{10^{-3}} \sim 10^{-5}

   Puisque \boxed{\mathrm{Re}_{\text{bactérie}} \ll 1}, le régime est celui de l'hydrodynamique à bas nombre de Reynolds (écoulement rampant ou régime de Stokes) : les forces visqueuses dominent totalement les effets d'inertie, qui sont rigoureusement négligeables.

   Nage d'un humain dans l'eau :

   • Taille caractéristique : \tilde{L} \sim 1\text{ à }2\text{ m} ;
   • Vitesse caractéristique : \tilde{v} \sim 1\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

   On obtient :

   \mathrm{Re}_{\text{humain}} \sim \frac{10^3 \times 1 \times 1}{10^{-3}} \sim 10^6

   Puisque \boxed{\mathrm{Re}_{\text{humain}} \gg 1}, le régime est fortement inertiel et turbulent : les forces d'inertie l'emportent très largement sur les forces visqueuses à l'échelle du nageur.

   Résultat

   $$\mathrm{Re}=\frac{\rho \tilde{v}\tilde{L}}{\eta }$$

   $${\mathrm{Re}}_{\text{bacteˊrie}}\ll 1$$

   $${\mathrm{Re}}_{\text{humain}}\gg 1$$

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7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2020, Q13

   Soient \tilde{v} une échelle caractéristique de vitesse de l'écoulement et \tilde{L} une échelle spatiale sur laquelle varie significativement la vitesse.

   L'opérateur gradient appliqué à la vitesse fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre un, soit :

   \left\|\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\vec{v}\right\| \sim \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}}

   Le terme d'accélération convective (terme inertiel non linéaire) a donc pour ordre de grandeur :

   \left\|\rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\right\| \sim \rho \tilde{v} \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}} = \frac{\rho \tilde{v}^2}{\tilde{L}}

   L'opérateur Laplacien appliqué à la vitesse fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre deux, soit :

   \left\|\Delta\vec{v}\right\| \sim \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}^2}

   Le terme de force volumique visqueuse s'évalue ainsi comme :

   \left\|\eta\Delta\vec{v}\right\| \sim \eta \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}^2}

   Formons alors le rapport des ordres de grandeur de ces deux termes :

   \frac{\left\|\rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\right\|}{\left\|\eta\Delta\vec{v}\right\|} \sim \frac{\frac{\rho \tilde{v}^2}{\tilde{L}}}{\frac{\eta \tilde{v}}{\tilde{L}^2}} = \frac{\rho \tilde{v}\tilde{L}}{\eta} = \mathrm{Re}

   Par hypothèse, l'écoulement se déroule à bas nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1). On en déduit :

   \boxed{\frac{\left\|\rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\right\|}{\left\|\eta\Delta\vec{v}\right\|} \sim \mathrm{Re} \ll 1}

   Le terme d'accélération convective est donc bien négligeable devant le terme de viscosité.

   Résultat

   $$\frac{\Vert \rho (\vec{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\Vert }{\Vert \eta \Delta \vec{v}\Vert }\sim \mathrm{Re}\ll 1$$

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8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2020, Q16

   La formule de Stokes donnant la force de traînée fluide exercée sur une sphère, \vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0\vec{V}, est valable sous les conditions suivantes :

   • Régime d'écoulement à très faible nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1, écoulement dit rampant ou de Stokes) : les effets d'inertie du fluide sont totalement négligeables devant les effets visqueux ;
   • Propriétés du fluide : fluide newtonien, incompressible, homogène et de viscosité dynamique \eta constante ;
   • Milieu infini : le fluide est d'extension non bornée (les parois de l'enceinte sont suffisamment éloignées de la sphère pour que les effets de confinement soient négligeables) ;
   • Conditions aux limites à la surface : condition d'adhérence parfaite du fluide à la paroi de la sphère (vitesse relative fluide-sphère nulle au contact) ;
   • Géométrie du corps : la particule est une sphère rigide et indéformable, de surface lisse et isolée (pas d'interaction hydrodynamique avec d'autres sphères) ;
   • Régime quasi-stationnaire : le temps caractéristique d'évolution du mouvement de la sphère est grand devant le temps d'établissement visqueux de l'écoulement (\tau_{\mathrm{visq}} \sim \rho r_0^2/\eta).

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9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2023, Q52

   Par analogie avec la conduction électrique (question Q45) et la conduction thermique (question Q49) :

   • la différence de pression \Delta P = P_1 - P_2 joue le rôle de la différence de potentiel U = V_1 - V_2 (force motrice de l'écoulement) ;
   • le débit volumique Q_v traversant la section de la conduite joue le rôle de l'intensité du courant électrique I (flux volumique de matière).

   La résistance hydraulique R_{\mathrm{h}} est alors définie par la relation constitutive analogue à la loi d'Ohm :

   \Delta P = R_{\mathrm{h}} \, Q_v \iff R_{\mathrm{h}} = \frac{\Delta P}{Q_v}

   D'après le résultat de la question Q51, le débit volumique pour un écoulement de Poiseuille s'écrit :

   Q_v = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta\ell}

   On en déduit immédiatement l'expression de la résistance hydraulique :

   \boxed{R_{\mathrm{h}} = \frac{8\eta\ell}{\pi R^4}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{h}}=\frac{8\eta \ell }{\pi R^4}$$

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10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2022, Q11

    La formule de Stokes \vec{F}_{\mathrm{v}} = -6\pi\eta R\vec{v} modélise la traînée visqueuse en régime d'écoulement rampant, c'est-à-dire lorsque les forces d'inertie du fluide sont négligeables devant les forces visqueuses. Ce régime est caractérisé par un nombre de Reynolds :

    Re = \frac{\rho_{\mathrm{air}} v D}{\eta} = \frac{2\rho_{\mathrm{air}} v R}{\eta} \ll 1

    où D = 2R est la dimension caractéristique de la gouttelette (son diamètre) et v sa vitesse par rapport à l'air.

    En considérant la vitesse limite de chute |v_z^\star| calculée à la question Q10 :

    • Pour R = 20\text{ }\mu\text{m}, avec |v_z^\star| \simeq 4{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

      \begin{aligned} Re &= \frac{2 \times 1 \times 4{,}4 \times 10^{-2} \times 20 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-5}} = 8{,}8 \times 10^{-2} \simeq 0{,}09 \end{aligned}

      On a Re \ll 1 : la relation de Stokes est pleinement justifiée.

    • Pour R = 100\text{ }\mu\text{m}, avec |v_z^\star| \simeq 1{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

      \begin{aligned} Re &= \frac{2 \times 1 \times 1{,}1 \times 100 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-5}} = 11 \end{aligned}

      On a Re > 1 : les forces d'inertie du fluide ne sont plus négligeables devant les forces visqueuses. La relation de Stokes cesse d'être rigoureusement valable (il faudrait introduire une traînée non linéaire, intermédiaire entre le régime visqueux et le régime quadratique de Newton).

    \boxed{\text{La formule de Stokes est valable pour } R = 20\text{ }\mu\text{m}\ (Re \simeq 0{,}09 \ll 1)\text{, mais n'est plus adaptée pour } R = 100\text{ }\mu\text{m}\ (Re \simeq 11 > 1).}

    Résultat

    $$\text{La formule de Stokes est valable pour }R=20\mu \text{m}(Re\simeq 0,09\ll 1)\text{, mais n’est plus adapteˊe pour }R=100\mu \text{m}(Re\simeq 11>1).$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question