Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2020

La première loi de Fick modélise le transport diffusif de matière. Elle s'énonce :

Les grandeurs physiques intervenant dans cette loi sont :

• \vec{\jmath}_{\text{part}}(\vec{r}, t) : le vecteur densité volumique de flux (ou de courant) particulaire. Il représente le nombre de particules traversant une surface élémentaire unitaire par unité de temps, orthogonale à cette surface. Sa dimension est [\jmath_{\text{part}}] = \mathrm{L}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-1} (en \text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}).
• n(\vec{r}, t) : la concentration particulaire (nombre de particules de soluté par unité de volume). Sa dimension est [n] = \mathrm{L}^{-3} (en \text{m}^{-3}).
• D : le coefficient de diffusion du soluté dans le milieu. Sa dimension est [D] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} (en \text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}).
• \overrightarrow{\mathrm{grad}} \, n(\vec{r}, t) : le gradient spatial de la concentration, de dimension [\mathrm{grad}\, n] = \mathrm{L}^{-4} (en \text{m}^{-4}).

La concentration particulaire n(\vec{r}, t) et la concentration molaire c(\vec{r}, t) sont reliées par le nombre d'Avogadro \mathcal{N}_{\text{A}} :

De même, le flux molaire traversant une surface élémentaire correspond au flux particulaire divisé par \mathcal{N}_{\text{A}}, d'où la relation entre densités de courant :

En introduisant la loi de Fick particulaire et en exploitant la linéarité du gradient :

Le problème présente une symétrie sphérique :

• La bactérie est assimilée à une sphère de rayon R centrée à l'origine \mathrm{O}, qui absorbe les nutriments de manière isotrope à sa surface.
• Le milieu extérieur est infini, isotrope, et la concentration loin de la bactérie tend vers une constante uniforme c_\infty.

Invariances : Le système physique est invariant par toute rotation autour de l'origine \mathrm{O}, c'est-à-dire par toute rotation d'angles \theta ou \varphi en coordonnées sphériques (r, \varphi, \theta). De plus, le régime est stationnaire. Par conséquent, le champ scalaire de concentration ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Symétries et direction du vecteur : Tout plan passant par le centre \mathrm{O} de la bactérie (contenant le vecteur unitaire radial \vec{e}_r) est un plan de symétrie pour la géométrie et les conditions aux limites du problème.

Puisque le champ scalaire de concentration c(r) est invariant par réflexion par rapport à ces plans, le gradient \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c (et donc le vecteur densité de courant molaire \vec{\jmath}, d'après la loi de Fick \vec{\jmath} = -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c) est un vecteur polaire contenu dans l'intersection de tous ces plans de symétrie passant par le point M.

L'intersection de tous les plans de symétrie passant par M(r, \varphi, \theta) est la droite radiale (OM), portée par le vecteur unitaire \vec{e}_r. Ainsi :

On peut également le vérifier directement à l'aide de l'expression du gradient en coordonnées sphériques pour un champ scalaire c(r) :

En posant j(r) = -D\,\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}r}, on retrouve bien :

Considérons le milieu extérieur (r \ge R) compris entre deux sphères concentriques de rayons r_1 et r_2 (avec R \le r_1 < r_2). Ce volume ne comporte aucune source ni puits de matière.

D'après la définition du sujet, \Phi_0(r) désigne la quantité de matière entrant par unité de temps à travers la sphère de rayon r. Par conséquent :

• le flux de matière entrant dans le volume à travers la surface externe de rayon r_2 est \Phi_0(r_2) ;
• le flux de matière sortant de ce volume à travers la surface interne de rayon r_1 (entrant donc dans la sphère interne) est \Phi_0(r_1).

En régime stationnaire, la quantité totale de nutriments contenue dans ce volume est constante au cours du temps (\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t} = 0), d'où le bilan :

Le flux entrant \Phi_0(r) est donc indépendant du rayon r pour tout r \ge R :

Appliquons à présent un bilan global à la bactérie tout entière, assimilée à une sphère de rayon R et de volume :

L'activité métabolique consomme une quantité de matière de nutriments par unité de volume et de temps égale à \mathcal{A}. La quantité de matière consommée par unité de temps dans l'ensemble de la bactérie est donc :

En régime stationnaire, le flux de matière absorbé à la surface membranaire de la bactérie \Phi_0(R) = \Phi_0 compense exactement cette consommation métabolique :

Par définition donnée par l'énoncé, le flux \Phi_0(r) = \Phi_0 correspond à la quantité de matière entrant par unité de temps à travers la sphère \mathcal{S}(r) de rayon r centrée sur la bactérie.

Le vecteur surface élémentaire orienté vers l'extérieur de la sphère étant \mathrm{d}^2\vec{S} = r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_r, la normale rentrante est -\vec{e}_r. Le flux entrant s'écrit donc :

En utilisant l'expression \vec{\jmath}(\vec{r}) = j(r)\vec{e}_r établie à la question 2 :

Les nutriments diffusant vers la bactérie (qui agit comme un puits), le courant molaire est centripète, soit j(r) < 0. La norme de la densité molaire de courant est ainsi :

On en déduit la relation reliant le flux \Phi_0 à la norme de la densité de courant et au rayon r :

ce qui correspond, en termes de la composante radiale algébrique j(r), à :

D'après la loi de Fick projetée selon \vec{e}_r (question Q2) et l'expression issue de la conservation du flux de matière entrant \Phi_0 (question Q4), nous avons :

On en déduit l'équation différentielle séparable vérifiée par le profil de concentration c(r) pour r \ge R :

En intégrant entre une distance r quelconque et l'infini, où la concentration tend vers c_\infty :

Il vient finalement :

D'après l'expression du profil de concentration obtenue à la question 5, la concentration au niveau de la paroi de la bactérie (r = R) s'écrit :

La concentration en nutriments étant une grandeur physique nécessairement positive ou nulle en tout point de l'espace, la condition c(R) \ge 0 impose une borne supérieure sur le flux collecté :

La quantité maximale de nutriments que la bactérie peut collecter par unité de temps est donc :

D'après le résultat de la question 3, le flux entrant \Phi_0 compense exactement la consommation métabolique volumique \mathcal{A} dans le volume de la bactérie :

En injectant cette relation dans l'inégalité précédente, il vient :

On en déduit l'expression de la consommation maximale admissible \mathcal{A}^* :

D'après la question 6, le métabolisme de la bactérie impose :

Pour que la bactérie puisse survivre, la concentration en nutriments loin de la membrane doit donc vérifier c_\infty \geqslant c_{\infty,\mathrm{min}}, avec :

Les données du préambule fournissent :

• \mathcal{A} = 10\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^{-1},
• R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m},
• D = 10^{-5}\text{ cm}^2\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-9}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}.

L'application numérique donne :

En conservant un seul chiffre significatif comme requis :

L'ordre de grandeur de la concentration minimale en glucose pour assurer la survie de la bactérie est donc de l'ordre du micromole par litre (\sim 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}).

Le système étant en régime stationnaire sans puits ni source de nutriments en dehors de la bactérie (r \ge R), le flux entrant \Phi_0 à travers toute sphère de rayon r est constant et conservé.

Zone 3 : r \geqslant r_2 (diffusion pure dans le milieu lointain) La répartition des nutriments est uniquement contrôlée par la diffusion. D'après les résultats des questions 4 et 5 :

En intégrant avec la condition aux limites c(r \to \infty) = c_\infty :

Zone 2 : r_1 \leqslant r \leqslant r_2 (zone de mélange) L'écoulement induit par les flagelles assure une concentration uniforme c(r) = c_0. Par continuité de la concentration en l'absence de barrière imperméable à l'interface r = r_2, on a c_0 = c(r_2), soit :

Ainsi, sur cet intervalle :

Zone 1 : R \leqslant r \leqslant r_1 (couche limite diffusive) Le transport est de nouveau purement diffusif, régi par \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}r} = \frac{\Phi_0}{4\pi D r^2}. Par intégration entre r et r_1 :

Par continuité en r = r_1, c(r_1) = c_0 = c_\infty - \frac{\Phi_0}{4\pi D r_2}, ce qui donne :

En résumé, le profil de concentration s'écrit :

Représentation graphique

Comme dans la partie I.A (question 6), la consommation maximale est limitée par la condition physique de positivité de la concentration partout dans le milieu. La fonction c(r) étant strictement croissante avec r, le minimum de concentration est atteint à la surface de la bactérie en r = R. La collecte maximale correspond donc à la condition limite :

D'après l'expression établie à la question 8 dans la couche limite diffusive (R \leqslant r \leqslant r_1) :

ce qui donne pour le flux maximal absorbé :

La consommation volumique maximale \mathcal{A}_1^* est reliée à ce flux par la relation (établie à la question 3) :

En factorisant par \dfrac{1}{R} au dénominateur et en reconnaissant l'expression de la consommation maximale sans brassage \mathcal{A}^* = \dfrac{3 D c_\infty}{R^2} (question 6), on obtient :

Une molécule située à la frontière r_1 de la zone de mélange se trouve à une distance d = r_1 - R de la membrane bactérienne.

• Par diffusion, le temps caractéristique nécessaire pour parcourir cette distance d et atteindre la bactérie s'écrit d'après la loi d'Einstein :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{d^2}{D} = \frac{(r_1 - R)^2}{D}.

• Par transport convectif dû à l'écoulement de vitesse typique \tilde{v}_{\text{mel}}, le temps caractéristique pour franchir la même distance s'écrit :

  \tau_{\text{conv}} \sim \frac{d}{\tilde{v}_{\text{mel}}} = \frac{r_1 - R}{\tilde{v}_{\text{mel}}}.

À la frontière de la couche limite diffusive, ces deux échelles de temps sont du même ordre de grandeur :

On en déduit l'estimation de la coordonnée radiale r_1 :

D'après le résultat de la question Q9, la consommation maximale s'écrit :

L'augmentation relative de la consommation maximale de nutriments est donc donnée par :

Dans le cas d'une augmentation modérée de la consommation (\Delta \mathcal{A}^* \ll \mathcal{A}^*, c'est-à-dire \frac{R}{r_1} - \frac{R}{r_2} \ll 1), cette expression se simplifie au premier ordre sous la forme :

D'après les résultats de la question 10, l'augmentation relative de la consommation maximale s'écrit :

La longueur des flagelles est \ell_{\text{f}} = 10\,\mu\text{m}, de sorte que le rayon extérieur de la zone de brassage vaut r_2 \sim \ell_{\text{f}} = 10\,\mu\text{m} (ou r_2 \sim R + \ell_{\text{f}} \approx 11\,\mu\text{m}). Avec R = 1\,\mu\text{m}, on a :

Pour une augmentation relative \frac{\Delta\mathcal{A}^*}{\mathcal{A}^*} = 0{,}10, l'approximation au premier ordre conduit à :

Remarque : La formule exacte donne \frac{R/r_1 - 0{,}10}{1 - (R/r_1 - 0{,}10)} = 0{,}10, soit \frac{R}{r_1} = 0{,}10 + \frac{0{,}10}{1{,}10} \simeq 0{,}19, ce qui conduit également à r_1 \simeq 5\,\mu\text{m}.

L'épaisseur de la couche limite diffusive associée est :

D'après la relation établie en question 10, le temps de diffusion à travers cette couche limite compense le temps de transport par convection :

Avec D = 10^{-5}\,\text{cm}^2\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-9}\,\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1} et \delta \simeq 4\times 10^{-6}\,\text{m} :

Commentaire : La vitesse nécessaire pour obtenir un gain de seulement 10\,\% est environ dix fois supérieure à la vitesse maximale que les flagelles peuvent engendrer (\tilde{v}_{\text{mel}}^{\text{M}} \simeq 30\,\mu\text{m}\cdot\text{s}^{-1}).

Par conséquent, les flagelles ne permettent pas d'homogénéiser efficacement le milieu pour accroître l'absorption de nutriments. Le brassage local est inopérant à cette échelle microscopique où la diffusion passive domine largement. Le rôle biologique essentiel des flagelles n'est donc pas de mélanger le fluide environnant, mais d'assurer la propulsion de la bactérie vers de nouvelles zones plus riches en nutriments (nage et chimiotaxie).

Le nombre de Reynolds \mathrm{Re} est un nombre sans dimension défini par :

où :

• \rho est la masse volumique du fluide,
• \eta sa viscosité dynamique,
• \tilde{v} une vitesse caractéristique de l'écoulement,
• \tilde{L} une dimension spatiale caractéristique.

Interprétation physique : Dans l'équation de Navier-Stokes, l'accélération convective s'évalue en ordre de grandeur selon \|\rho (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\| \sim \rho \frac{\tilde{v}^2}{\tilde{L}}, tandis que la résultante des forces de viscosité s'évalue selon \|\eta \Delta \vec{v}\| \sim \eta \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}^2}. Le nombre de Reynolds quantifie donc le rapport de l'ordre de grandeur des forces d'inertie à celui des forces visqueuses :

Nage d'une bactérie dans l'eau :

• Taille caractéristique : \tilde{L} \sim R \sim 1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m} ;
• Vitesse caractéristique : \tilde{v} \sim 10\text{ à }30\,\mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1} \sim 10^{-5}\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
• Propriétés de l'eau : \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} et \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\mathrm{s}.

On obtient :

Puisque \boxed{\mathrm{Re}_{\text{bactérie}} \ll 1}, le régime est celui de l'hydrodynamique à bas nombre de Reynolds (écoulement rampant ou régime de Stokes) : les forces visqueuses dominent totalement les effets d'inertie, qui sont rigoureusement négligeables.

Nage d'un humain dans l'eau :

• Taille caractéristique : \tilde{L} \sim 1\text{ à }2\text{ m} ;
• Vitesse caractéristique : \tilde{v} \sim 1\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

On obtient :

Puisque \boxed{\mathrm{Re}_{\text{humain}} \gg 1}, le régime est fortement inertiel et turbulent : les forces d'inertie l'emportent très largement sur les forces visqueuses à l'échelle du nageur.

Soient \tilde{v} une échelle caractéristique de vitesse de l'écoulement et \tilde{L} une échelle spatiale sur laquelle varie significativement la vitesse.

L'opérateur gradient appliqué à la vitesse fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre un, soit :

Le terme d'accélération convective (terme inertiel non linéaire) a donc pour ordre de grandeur :

L'opérateur Laplacien appliqué à la vitesse fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre deux, soit :

Le terme de force volumique visqueuse s'évalue ainsi comme :

Formons alors le rapport des ordres de grandeur de ces deux termes :

Par hypothèse, l'écoulement se déroule à bas nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1). On en déduit :

Le terme d'accélération convective est donc bien négligeable devant le terme de viscosité.

Partons de l'équation de Navier-Stokes régissant l'écoulement incompressible du fluide :

Examinons chacun des termes selon les hypothèses fournies :

• L'écoulement étant stationnaire, la dérivée temporelle locale est nulle : \dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = \vec{0}.
• À bas nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1), d'après la question Q13, le terme d'accélération convective \rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v} est négligeable devant le terme visqueux \eta\Delta\vec{v}.
• La seule force volumique extérieure appliquée au fluide est la pesanteur, soit \vec{f}_{\mathrm{vol}} = \rho\vec{g}.

Avec \vec{g} = -g\vec{e}_{z'} et le fait que la masse volumique \rho ainsi que g sont uniformes, nous pouvons écrire :

L'équation de Navier-Stokes se réduit donc à :

soit encore :

On identifie cette relation à l'équation de Stokes :

avec l'expression de la pression motrice (ou pression modifiée) :

L'équation de Stokes régissant l'écoulement s'écrit (d'après la question Q14) :

L'opérateur laplacien \Delta ainsi que le gradient sont des opérateurs différentiels spatiaux linéaires. Par conséquent, si le gradient de pression est inversé en -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p, le champ de vitesses solution vérifie :

Sous réserve de conditions aux limites également inversées (ou inchangées en géométrie), l'écoulement résultant est strictement inversé : \vec{v} \to -\vec{v}.

Considérons maintenant une bactérie effectuant un mouvement alterné périodique composé de deux phases :

• une phase « aller » de durée \tau_1, durant laquelle elle génère un gradient \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p_1 conduisant à un champ de vitesse \vec{v}_1 et à un déplacement \Delta \vec{r}_1 = \int_0^{\tau_1} \vec{v}_1\,\mathrm{d}t ;
• une phase « retour » de durée \tau_2, au cours de laquelle les mouvements musculaires ou déformations inverses génèrent le gradient de pression opposé \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p_2 = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p_1, imposant instantanément la vitesse \vec{v}_2 = -\vec{v}_1.

L'équation de Stokes ne contenant aucune dérivée temporelle (régime quasi-stationnaire sans inertie), l'écoulement est instantanément déterminé par la configuration géométrique et les forces appliquées, indépendamment de la vitesse à laquelle le cycle est parcouru : la cinématique est réversible dans le temps.

Le déplacement net sur un cycle fermé de déformation s'annule donc exactement :

La formule de Stokes donnant la force de traînée fluide exercée sur une sphère, \vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0\vec{V}, est valable sous les conditions suivantes :

• Régime d'écoulement à très faible nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1, écoulement dit rampant ou de Stokes) : les effets d'inertie du fluide sont totalement négligeables devant les effets visqueux ;
• Propriétés du fluide : fluide newtonien, incompressible, homogène et de viscosité dynamique \eta constante ;
• Milieu infini : le fluide est d'extension non bornée (les parois de l'enceinte sont suffisamment éloignées de la sphère pour que les effets de confinement soient négligeables) ;
• Conditions aux limites à la surface : condition d'adhérence parfaite du fluide à la paroi de la sphère (vitesse relative fluide-sphère nulle au contact) ;
• Géométrie du corps : la particule est une sphère rigide et indéformable, de surface lisse et isolée (pas d'interaction hydrodynamique avec d'autres sphères) ;
• Régime quasi-stationnaire : le temps caractéristique d'évolution du mouvement de la sphère est grand devant le temps d'établissement visqueux de l'écoulement (\tau_{\mathrm{visq}} \sim \rho r_0^2/\eta).

On étudie la sphère de rayon r_0 et de masse volumique \rho_0, soit de volume \mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 et de masse :

L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}(Ox'y'z'), supposé galiléen, au sein duquel le fluide est immobile au repos.

La sphère est soumise à trois forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = \rho_0 \mathcal{V}\vec{g} ;
• la poussée d'Archimède, prise sous sa forme statique : \vec{\Pi} = -\rho \mathcal{V}\vec{g} ;
• la force de frottement visqueux de Stokes : \vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0 \vec{V}.

D'après la deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) :

En divisant par la masse m = \rho_0 \mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 \rho_0, il vient :

Le terme d'amortissement se simplifie selon :

L'équation différentielle vérifiée par la vitesse \vec{V} s'écrit donc :

ou, projetée sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_{z'} avec \vec{g} = -g\vec{e}_{z'} :

D'après la question Q17, l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse \vec{V}(t) s'écrit :

en introduisant le temps caractéristique :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre constant est de la forme :

où la solution particulière constante (la vitesse limite lorsque t \to \infty) vaut :

La sphère étant lâchée sans vitesse initiale (\vec{V}(0) = \vec{0}), la constante d'intégration vaut \vec{A} = -\vec{V}_\infty, d'où :

Puisque \rho_0 \geqslant \rho, le facteur scalaire \frac{2(\rho_0 - \rho) r_0^2}{9\eta} est positif ou nul. Le vecteur vitesse \vec{V}(t) reste à tout instant colinéaire à \vec{g} et de même sens : la sphère tombe donc verticalement vers le bas, dans la direction et le sens de la pesanteur (\vec{g} = -g\vec{e}_{z'}).

Au bout de quelques temps caractéristiques \tau (par exemple pour t \gtrsim 3\tau à 5\%, ou t \gtrsim 5\tau à moins de 1\%), le terme exponentiel devient négligeable et la sphère atteint une vitesse constante \vec{V}_\infty, dont la norme vaut :

D'après les résultats de la question Q18, le temps caractéristique d'établissement du régime permanent et la norme de la vitesse stationnaire de sédimentation s'écrivent :

1. Application numérique

Les données sont :

• r_0 = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m} ;
• \rho_0 = 2{,}6\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 2{,}6\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

Calculons le temps caractéristique \tau :

Calculons la vitesse stationnaire de chute V_\infty :

2. Vérification des hypothèses de la loi de Stokes

• Écoulement à bas nombre de Reynolds : en choisissant comme longueur caractéristique le diamètre de la sphère L = 2r_0 = 2\,\mu\text{m} (ou son rayon), le nombre de Reynolds de l'écoulement s'écrit :

  \begin{aligned} \mathrm{Re} = \frac{\rho V_\infty (2r_0)}{\eta} = \frac{10^3 \times 3{,}5\times 10^{-6} \times 2\times 10^{-6}}{10^{-3}} \simeq 7\times 10^{-6} \ll 1. \end{aligned}

  La condition fondamentale d'un écoulement rampant (linéarité des équations de Stokes, termes d'inertie négligeables) est donc parfaitement vérifiée.

• Hypothèse de milieu continu : la taille caractéristique des molécules d'eau est de l'ordre de 0{,}3\text{ nm} \ll r_0 = 1\,\mu\text{m} ; le liquide peut donc être traité comme un milieu continu (nombre de Knudsen négligeable).
• Milieu non confiné (milieu infini) : dans un récipient macroscopique d'échelle millimétrique ou centimétrique, la distance aux parois est bien supérieure au micromètre (d \gg r_0), les effets de bord sont négligeables.
• Sphère indéformable et adhérence aux parois : la silice est un matériau rigide et l'adhérence de l'eau sur une bille de silice est une excellente approximation.

Les hypothèses d'application de la formule de Stokes sont donc pleinement validées.

Comme établi à la question Q18, le temps caractéristique d'établissement de la vitesse limite est :

Ce régime transitoire étant instantané à l'échelle macroscopique, la bactérie sédimente à la vitesse constante V_\infty donnée par la formule de Stokes :

Avec les données du sujet :

• \rho_0 = 1{,}01\,\text{g}\cdot\text{cm}^{-3} = 1{,}01\times 10^3\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \rho = 10^3\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}, d'où \rho_0 - \rho = 10\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m} ;
• \eta = 10^{-3}\,\text{Pa}\cdot\text{s} ;
• g \simeq 9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2} \approx 10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.

On obtient une vitesse de chute stationnaire :

La sédimentation devient observable lorsque la distance parcourue verticalement h_{\text{sed}} = V_\infty t_{\text{obs}} n'est plus négligeable devant l'épaisseur e_{\text{cell}} de la cellule de microscopie, soit pour un temps typique :

Pour e_{\text{cell}} = 500\,\mu\text{m} = 5\times 10^{-4}\,\text{m} :

Avec un chiffre significatif :