Feuille d'entraînement : Mécanique du solide

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2020, Q33

   Dans le régime stationnaire de nage, le mouvement du flagelle résulte de la superposition de la rotation autour de l'axe (Fz) à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\vec{e}_z et de la translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z. La vitesse d'un élément d'hélice repéré par l'angle \theta s'écrit :

   \vec{V}(\theta) = a\Omega\,\vec{e}_\theta + V\,\vec{e}_z

   Le vecteur unitaire tangent à l'hélice est, d'après la question Q29 :

   \vec{u}(\theta) = \frac{a\,\vec{e}_\theta + h\,\vec{e}_z}{\sqrt{a^2 + h^2}}

   Le produit scalaire entre la vitesse et la tangente au flagelle vaut donc :

   \vec{V}\cdot\vec{u} = \frac{a^2\Omega + hV}{\sqrt{a^2 + h^2}}

   D'après l'équation (6), la force visqueuse élémentaire subie par le tronçon de longueur \mathrm{d}\ell = \sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, pour lequel \lambda_\parallel = 4\pi\eta\,\mathrm{d}\ell, est :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}(\theta) = -\lambda_\parallel \left[2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right]

   Le moment élémentaire de cette force par rapport à l'axe de rotation (Fz) est donné par l'équation (11) :

   \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{\Gamma}_{\mathrm{v}}(\theta) &= (a\,\vec{e}_\rho) \wedge \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}(\theta) \\ &= a\,\vec{e}_\rho \wedge \left( \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta}\,\vec{e}_\theta + \mathrm{d}F_{\mathrm{v},z}\,\vec{e}_z \right) \\ &= a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta}\,\vec{e}_z - a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},z}\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

   Puisque le flagelle comporte un nombre entier de spires N = \ell_{\mathrm{f}}/\Lambda (question Q27), l'intégration de la composante selon \vec{e}_\theta(\theta) sur l'intervalle \theta \in [0, 2\pi N] s'annule identiquement :

   \int_0^{\ell_{\mathrm{f}}/h} \vec{e}_\theta(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \vec{0}

   Le moment résultant est donc purement axial, dirigé selon \vec{e}_z :

   \vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} = \left( \int_0^{\ell_{\mathrm{f}}/h} a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta}(\theta) \right) \vec{e}_z

   Déterminons la composante orthoradiale \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} = \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}\cdot\vec{e}_\theta :

   \begin{aligned} \left[2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right]\cdot\vec{e}_\theta &= 2a\Omega - \left(\frac{a^2\Omega + hV}{\sqrt{a^2+h^2}}\right) \frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} \\ &= \frac{2a\Omega(a^2+h^2) - a(a^2\Omega + hV)}{a^2+h^2} \\ &= \frac{a(a^2+2h^2)\Omega - ahV}{a^2+h^2} \end{aligned}

   En injectant l'expression de la vitesse de propulsion stationnaire obtenue à la question Q32, V = \dfrac{a^2 h}{2a^2+h^2}\Omega :

   \begin{aligned} (a^2+2h^2)\Omega - hV &= \left(a^2+2h^2 - \frac{a^2 h^2}{2a^2+h^2}\right)\Omega \\ &= \frac{(a^2+2h^2)(2a^2+h^2) - a^2 h^2}{2a^2+h^2}\,\Omega \\ &= \frac{2a^4 + 5a^2 h^2 + 2h^4 - a^2 h^2}{2a^2+h^2}\,\Omega \\ &= \frac{2(a^2+h^2)^2}{2a^2+h^2}\,\Omega \end{aligned}

   Il vient ainsi pour le terme entre crochets :

   \left[2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right]\cdot\vec{e}_\theta = \frac{2a(a^2+h^2)}{2a^2+h^2}\,\Omega

   Avec \lambda_\parallel = 4\pi\eta\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, la force orthoradiale élémentaire s'écrit :

   \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} = -4\pi\eta\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta \cdot \frac{2a(a^2+h^2)}{2a^2+h^2}\,\Omega = -8\pi\eta a\Omega \frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta

   En intégrant le moment élémentaire \mathrm{d}\Gamma_{\mathrm{v},z} = a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} sur l'intervalle \theta \in [0, \ell_{\mathrm{f}}/h] de longueur totale \ell_{\mathrm{f}}/h :

   \Gamma_{\mathrm{v},z} = -8\pi\eta a^2\Omega \frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}

   Le moment résultant des forces visqueuses par rapport à l'axe (Fz) est donc :

   \boxed{\vec{\Gamma}_{\mathrm{v}} = -8\pi\eta a^2\Omega\frac{(a^2+h^2)^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h}\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{\Gamma }}_{\mathrm{v}}=-8\pi \eta a^2\Omega \frac{(a^2+h^2{)}^{3/2}}{2a^2+h^2}\frac{{\ell }_{\mathrm{f}}}{h}{\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question