Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2020

La première loi de Fick modélise le transport diffusif de matière. Elle s'énonce :

Les grandeurs physiques intervenant dans cette loi sont :

• \vec{\jmath}_{\text{part}}(\vec{r}, t) : le vecteur densité volumique de flux (ou de courant) particulaire. Il représente le nombre de particules traversant une surface élémentaire unitaire par unité de temps, orthogonale à cette surface. Sa dimension est [\jmath_{\text{part}}] = \mathrm{L}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-1} (en \text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}).
• n(\vec{r}, t) : la concentration particulaire (nombre de particules de soluté par unité de volume). Sa dimension est [n] = \mathrm{L}^{-3} (en \text{m}^{-3}).
• D : le coefficient de diffusion du soluté dans le milieu. Sa dimension est [D] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1} (en \text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}).
• \overrightarrow{\mathrm{grad}} \, n(\vec{r}, t) : le gradient spatial de la concentration, de dimension [\mathrm{grad}\, n] = \mathrm{L}^{-4} (en \text{m}^{-4}).

La concentration particulaire n(\vec{r}, t) et la concentration molaire c(\vec{r}, t) sont reliées par le nombre d'Avogadro \mathcal{N}_{\text{A}} :

De même, le flux molaire traversant une surface élémentaire correspond au flux particulaire divisé par \mathcal{N}_{\text{A}}, d'où la relation entre densités de courant :

En introduisant la loi de Fick particulaire et en exploitant la linéarité du gradient :

Le problème présente une symétrie sphérique :

• La bactérie est assimilée à une sphère de rayon R centrée à l'origine \mathrm{O}, qui absorbe les nutriments de manière isotrope à sa surface.
• Le milieu extérieur est infini, isotrope, et la concentration loin de la bactérie tend vers une constante uniforme c_\infty.

Invariances : Le système physique est invariant par toute rotation autour de l'origine \mathrm{O}, c'est-à-dire par toute rotation d'angles \theta ou \varphi en coordonnées sphériques (r, \varphi, \theta). De plus, le régime est stationnaire. Par conséquent, le champ scalaire de concentration ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Symétries et direction du vecteur : Tout plan passant par le centre \mathrm{O} de la bactérie (contenant le vecteur unitaire radial \vec{e}_r) est un plan de symétrie pour la géométrie et les conditions aux limites du problème.

Puisque le champ scalaire de concentration c(r) est invariant par réflexion par rapport à ces plans, le gradient \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c (et donc le vecteur densité de courant molaire \vec{\jmath}, d'après la loi de Fick \vec{\jmath} = -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c) est un vecteur polaire contenu dans l'intersection de tous ces plans de symétrie passant par le point M.

L'intersection de tous les plans de symétrie passant par M(r, \varphi, \theta) est la droite radiale (OM), portée par le vecteur unitaire \vec{e}_r. Ainsi :

On peut également le vérifier directement à l'aide de l'expression du gradient en coordonnées sphériques pour un champ scalaire c(r) :

En posant j(r) = -D\,\dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}r}, on retrouve bien :

Considérons le milieu extérieur (r \ge R) compris entre deux sphères concentriques de rayons r_1 et r_2 (avec R \le r_1 < r_2). Ce volume ne comporte aucune source ni puits de matière.

D'après la définition du sujet, \Phi_0(r) désigne la quantité de matière entrant par unité de temps à travers la sphère de rayon r. Par conséquent :

• le flux de matière entrant dans le volume à travers la surface externe de rayon r_2 est \Phi_0(r_2) ;
• le flux de matière sortant de ce volume à travers la surface interne de rayon r_1 (entrant donc dans la sphère interne) est \Phi_0(r_1).

En régime stationnaire, la quantité totale de nutriments contenue dans ce volume est constante au cours du temps (\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t} = 0), d'où le bilan :

Le flux entrant \Phi_0(r) est donc indépendant du rayon r pour tout r \ge R :

Appliquons à présent un bilan global à la bactérie tout entière, assimilée à une sphère de rayon R et de volume :

L'activité métabolique consomme une quantité de matière de nutriments par unité de volume et de temps égale à \mathcal{A}. La quantité de matière consommée par unité de temps dans l'ensemble de la bactérie est donc :

En régime stationnaire, le flux de matière absorbé à la surface membranaire de la bactérie \Phi_0(R) = \Phi_0 compense exactement cette consommation métabolique :

Par définition donnée par l'énoncé, le flux \Phi_0(r) = \Phi_0 correspond à la quantité de matière entrant par unité de temps à travers la sphère \mathcal{S}(r) de rayon r centrée sur la bactérie.

Le vecteur surface élémentaire orienté vers l'extérieur de la sphère étant \mathrm{d}^2\vec{S} = r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_r, la normale rentrante est -\vec{e}_r. Le flux entrant s'écrit donc :

En utilisant l'expression \vec{\jmath}(\vec{r}) = j(r)\vec{e}_r établie à la question 2 :

Les nutriments diffusant vers la bactérie (qui agit comme un puits), le courant molaire est centripète, soit j(r) < 0. La norme de la densité molaire de courant est ainsi :

On en déduit la relation reliant le flux \Phi_0 à la norme de la densité de courant et au rayon r :

ce qui correspond, en termes de la composante radiale algébrique j(r), à :

D'après la loi de Fick projetée selon \vec{e}_r (question Q2) et l'expression issue de la conservation du flux de matière entrant \Phi_0 (question Q4), nous avons :

On en déduit l'équation différentielle séparable vérifiée par le profil de concentration c(r) pour r \ge R :

En intégrant entre une distance r quelconque et l'infini, où la concentration tend vers c_\infty :

Il vient finalement :

D'après l'expression du profil de concentration obtenue à la question 5, la concentration au niveau de la paroi de la bactérie (r = R) s'écrit :

La concentration en nutriments étant une grandeur physique nécessairement positive ou nulle en tout point de l'espace, la condition c(R) \ge 0 impose une borne supérieure sur le flux collecté :

La quantité maximale de nutriments que la bactérie peut collecter par unité de temps est donc :

D'après le résultat de la question 3, le flux entrant \Phi_0 compense exactement la consommation métabolique volumique \mathcal{A} dans le volume de la bactérie :

En injectant cette relation dans l'inégalité précédente, il vient :

On en déduit l'expression de la consommation maximale admissible \mathcal{A}^* :

D'après la question 6, le métabolisme de la bactérie impose :

Pour que la bactérie puisse survivre, la concentration en nutriments loin de la membrane doit donc vérifier c_\infty \geqslant c_{\infty,\mathrm{min}}, avec :

Les données du préambule fournissent :

• \mathcal{A} = 10\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^{-1},
• R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m},
• D = 10^{-5}\text{ cm}^2\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-9}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}.

L'application numérique donne :

En conservant un seul chiffre significatif comme requis :

L'ordre de grandeur de la concentration minimale en glucose pour assurer la survie de la bactérie est donc de l'ordre du micromole par litre (\sim 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}).

Le système étant en régime stationnaire sans puits ni source de nutriments en dehors de la bactérie (r \ge R), le flux entrant \Phi_0 à travers toute sphère de rayon r est constant et conservé.

Zone 3 : r \geqslant r_2 (diffusion pure dans le milieu lointain) La répartition des nutriments est uniquement contrôlée par la diffusion. D'après les résultats des questions 4 et 5 :

En intégrant avec la condition aux limites c(r \to \infty) = c_\infty :

Zone 2 : r_1 \leqslant r \leqslant r_2 (zone de mélange) L'écoulement induit par les flagelles assure une concentration uniforme c(r) = c_0. Par continuité de la concentration en l'absence de barrière imperméable à l'interface r = r_2, on a c_0 = c(r_2), soit :

Ainsi, sur cet intervalle :

Zone 1 : R \leqslant r \leqslant r_1 (couche limite diffusive) Le transport est de nouveau purement diffusif, régi par \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}r} = \frac{\Phi_0}{4\pi D r^2}. Par intégration entre r et r_1 :

Par continuité en r = r_1, c(r_1) = c_0 = c_\infty - \frac{\Phi_0}{4\pi D r_2}, ce qui donne :

En résumé, le profil de concentration s'écrit :

Représentation graphique

Comme dans la partie I.A (question 6), la consommation maximale est limitée par la condition physique de positivité de la concentration partout dans le milieu. La fonction c(r) étant strictement croissante avec r, le minimum de concentration est atteint à la surface de la bactérie en r = R. La collecte maximale correspond donc à la condition limite :

D'après l'expression établie à la question 8 dans la couche limite diffusive (R \leqslant r \leqslant r_1) :

ce qui donne pour le flux maximal absorbé :

La consommation volumique maximale \mathcal{A}_1^* est reliée à ce flux par la relation (établie à la question 3) :

En factorisant par \dfrac{1}{R} au dénominateur et en reconnaissant l'expression de la consommation maximale sans brassage \mathcal{A}^* = \dfrac{3 D c_\infty}{R^2} (question 6), on obtient :

Une molécule située à la frontière r_1 de la zone de mélange se trouve à une distance d = r_1 - R de la membrane bactérienne.

• Par diffusion, le temps caractéristique nécessaire pour parcourir cette distance d et atteindre la bactérie s'écrit d'après la loi d'Einstein :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{d^2}{D} = \frac{(r_1 - R)^2}{D}.

• Par transport convectif dû à l'écoulement de vitesse typique \tilde{v}_{\text{mel}}, le temps caractéristique pour franchir la même distance s'écrit :

  \tau_{\text{conv}} \sim \frac{d}{\tilde{v}_{\text{mel}}} = \frac{r_1 - R}{\tilde{v}_{\text{mel}}}.

À la frontière de la couche limite diffusive, ces deux échelles de temps sont du même ordre de grandeur :

On en déduit l'estimation de la coordonnée radiale r_1 :

D'après le résultat de la question Q9, la consommation maximale s'écrit :

L'augmentation relative de la consommation maximale de nutriments est donc donnée par :

Dans le cas d'une augmentation modérée de la consommation (\Delta \mathcal{A}^* \ll \mathcal{A}^*, c'est-à-dire \frac{R}{r_1} - \frac{R}{r_2} \ll 1), cette expression se simplifie au premier ordre sous la forme :

D'après les résultats de la question 10, l'augmentation relative de la consommation maximale s'écrit :

La longueur des flagelles est \ell_{\text{f}} = 10\,\mu\text{m}, de sorte que le rayon extérieur de la zone de brassage vaut r_2 \sim \ell_{\text{f}} = 10\,\mu\text{m} (ou r_2 \sim R + \ell_{\text{f}} \approx 11\,\mu\text{m}). Avec R = 1\,\mu\text{m}, on a :

Pour une augmentation relative \frac{\Delta\mathcal{A}^*}{\mathcal{A}^*} = 0{,}10, l'approximation au premier ordre conduit à :

Remarque : La formule exacte donne \frac{R/r_1 - 0{,}10}{1 - (R/r_1 - 0{,}10)} = 0{,}10, soit \frac{R}{r_1} = 0{,}10 + \frac{0{,}10}{1{,}10} \simeq 0{,}19, ce qui conduit également à r_1 \simeq 5\,\mu\text{m}.

L'épaisseur de la couche limite diffusive associée est :

D'après la relation établie en question 10, le temps de diffusion à travers cette couche limite compense le temps de transport par convection :

Avec D = 10^{-5}\,\text{cm}^2\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-9}\,\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1} et \delta \simeq 4\times 10^{-6}\,\text{m} :

Commentaire : La vitesse nécessaire pour obtenir un gain de seulement 10\,\% est environ dix fois supérieure à la vitesse maximale que les flagelles peuvent engendrer (\tilde{v}_{\text{mel}}^{\text{M}} \simeq 30\,\mu\text{m}\cdot\text{s}^{-1}).

Par conséquent, les flagelles ne permettent pas d'homogénéiser efficacement le milieu pour accroître l'absorption de nutriments. Le brassage local est inopérant à cette échelle microscopique où la diffusion passive domine largement. Le rôle biologique essentiel des flagelles n'est donc pas de mélanger le fluide environnant, mais d'assurer la propulsion de la bactérie vers de nouvelles zones plus riches en nutriments (nage et chimiotaxie).

Le nombre de Reynolds \mathrm{Re} est un nombre sans dimension défini par :

où :

• \rho est la masse volumique du fluide,
• \eta sa viscosité dynamique,
• \tilde{v} une vitesse caractéristique de l'écoulement,
• \tilde{L} une dimension spatiale caractéristique.

Interprétation physique : Dans l'équation de Navier-Stokes, l'accélération convective s'évalue en ordre de grandeur selon \|\rho (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\| \sim \rho \frac{\tilde{v}^2}{\tilde{L}}, tandis que la résultante des forces de viscosité s'évalue selon \|\eta \Delta \vec{v}\| \sim \eta \frac{\tilde{v}}{\tilde{L}^2}. Le nombre de Reynolds quantifie donc le rapport de l'ordre de grandeur des forces d'inertie à celui des forces visqueuses :

Nage d'une bactérie dans l'eau :

• Taille caractéristique : \tilde{L} \sim R \sim 1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m} ;
• Vitesse caractéristique : \tilde{v} \sim 10\text{ à }30\,\mu\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1} \sim 10^{-5}\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
• Propriétés de l'eau : \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} et \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\mathrm{s}.

On obtient :

Puisque \boxed{\mathrm{Re}_{\text{bactérie}} \ll 1}, le régime est celui de l'hydrodynamique à bas nombre de Reynolds (écoulement rampant ou régime de Stokes) : les forces visqueuses dominent totalement les effets d'inertie, qui sont rigoureusement négligeables.

Nage d'un humain dans l'eau :

• Taille caractéristique : \tilde{L} \sim 1\text{ à }2\text{ m} ;
• Vitesse caractéristique : \tilde{v} \sim 1\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

On obtient :

Puisque \boxed{\mathrm{Re}_{\text{humain}} \gg 1}, le régime est fortement inertiel et turbulent : les forces d'inertie l'emportent très largement sur les forces visqueuses à l'échelle du nageur.

Soient \tilde{v} une échelle caractéristique de vitesse de l'écoulement et \tilde{L} une échelle spatiale sur laquelle varie significativement la vitesse.

L'opérateur gradient appliqué à la vitesse fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre un, soit :

Le terme d'accélération convective (terme inertiel non linéaire) a donc pour ordre de grandeur :

L'opérateur Laplacien appliqué à la vitesse fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre deux, soit :

Le terme de force volumique visqueuse s'évalue ainsi comme :

Formons alors le rapport des ordres de grandeur de ces deux termes :

Par hypothèse, l'écoulement se déroule à bas nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1). On en déduit :

Le terme d'accélération convective est donc bien négligeable devant le terme de viscosité.

Partons de l'équation de Navier-Stokes régissant l'écoulement incompressible du fluide :

Examinons chacun des termes selon les hypothèses fournies :

• L'écoulement étant stationnaire, la dérivée temporelle locale est nulle : \dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = \vec{0}.
• À bas nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1), d'après la question Q13, le terme d'accélération convective \rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v} est négligeable devant le terme visqueux \eta\Delta\vec{v}.
• La seule force volumique extérieure appliquée au fluide est la pesanteur, soit \vec{f}_{\mathrm{vol}} = \rho\vec{g}.

Avec \vec{g} = -g\vec{e}_{z'} et le fait que la masse volumique \rho ainsi que g sont uniformes, nous pouvons écrire :

L'équation de Navier-Stokes se réduit donc à :

soit encore :

On identifie cette relation à l'équation de Stokes :

avec l'expression de la pression motrice (ou pression modifiée) :

L'équation de Stokes régissant l'écoulement s'écrit (d'après la question Q14) :

L'opérateur laplacien \Delta ainsi que le gradient sont des opérateurs différentiels spatiaux linéaires. Par conséquent, si le gradient de pression est inversé en -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p, le champ de vitesses solution vérifie :

Sous réserve de conditions aux limites également inversées (ou inchangées en géométrie), l'écoulement résultant est strictement inversé : \vec{v} \to -\vec{v}.

Considérons maintenant une bactérie effectuant un mouvement alterné périodique composé de deux phases :

• une phase « aller » de durée \tau_1, durant laquelle elle génère un gradient \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p_1 conduisant à un champ de vitesse \vec{v}_1 et à un déplacement \Delta \vec{r}_1 = \int_0^{\tau_1} \vec{v}_1\,\mathrm{d}t ;
• une phase « retour » de durée \tau_2, au cours de laquelle les mouvements musculaires ou déformations inverses génèrent le gradient de pression opposé \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p_2 = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p_1, imposant instantanément la vitesse \vec{v}_2 = -\vec{v}_1.

L'équation de Stokes ne contenant aucune dérivée temporelle (régime quasi-stationnaire sans inertie), l'écoulement est instantanément déterminé par la configuration géométrique et les forces appliquées, indépendamment de la vitesse à laquelle le cycle est parcouru : la cinématique est réversible dans le temps.

Le déplacement net sur un cycle fermé de déformation s'annule donc exactement :

La formule de Stokes donnant la force de traînée fluide exercée sur une sphère, \vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0\vec{V}, est valable sous les conditions suivantes :

• Régime d'écoulement à très faible nombre de Reynolds (\mathrm{Re} \ll 1, écoulement dit rampant ou de Stokes) : les effets d'inertie du fluide sont totalement négligeables devant les effets visqueux ;
• Propriétés du fluide : fluide newtonien, incompressible, homogène et de viscosité dynamique \eta constante ;
• Milieu infini : le fluide est d'extension non bornée (les parois de l'enceinte sont suffisamment éloignées de la sphère pour que les effets de confinement soient négligeables) ;
• Conditions aux limites à la surface : condition d'adhérence parfaite du fluide à la paroi de la sphère (vitesse relative fluide-sphère nulle au contact) ;
• Géométrie du corps : la particule est une sphère rigide et indéformable, de surface lisse et isolée (pas d'interaction hydrodynamique avec d'autres sphères) ;
• Régime quasi-stationnaire : le temps caractéristique d'évolution du mouvement de la sphère est grand devant le temps d'établissement visqueux de l'écoulement (\tau_{\mathrm{visq}} \sim \rho r_0^2/\eta).

On étudie la sphère de rayon r_0 et de masse volumique \rho_0, soit de volume \mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 et de masse :

L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}(Ox'y'z'), supposé galiléen, au sein duquel le fluide est immobile au repos.

La sphère est soumise à trois forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = \rho_0 \mathcal{V}\vec{g} ;
• la poussée d'Archimède, prise sous sa forme statique : \vec{\Pi} = -\rho \mathcal{V}\vec{g} ;
• la force de frottement visqueux de Stokes : \vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0 \vec{V}.

D'après la deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) :

En divisant par la masse m = \rho_0 \mathcal{V} = \frac{4}{3}\pi r_0^3 \rho_0, il vient :

Le terme d'amortissement se simplifie selon :

L'équation différentielle vérifiée par la vitesse \vec{V} s'écrit donc :

ou, projetée sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_{z'} avec \vec{g} = -g\vec{e}_{z'} :

D'après la question Q17, l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse \vec{V}(t) s'écrit :

en introduisant le temps caractéristique :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre constant est de la forme :

où la solution particulière constante (la vitesse limite lorsque t \to \infty) vaut :

La sphère étant lâchée sans vitesse initiale (\vec{V}(0) = \vec{0}), la constante d'intégration vaut \vec{A} = -\vec{V}_\infty, d'où :

Puisque \rho_0 \geqslant \rho, le facteur scalaire \frac{2(\rho_0 - \rho) r_0^2}{9\eta} est positif ou nul. Le vecteur vitesse \vec{V}(t) reste à tout instant colinéaire à \vec{g} et de même sens : la sphère tombe donc verticalement vers le bas, dans la direction et le sens de la pesanteur (\vec{g} = -g\vec{e}_{z'}).

Au bout de quelques temps caractéristiques \tau (par exemple pour t \gtrsim 3\tau à 5\%, ou t \gtrsim 5\tau à moins de 1\%), le terme exponentiel devient négligeable et la sphère atteint une vitesse constante \vec{V}_\infty, dont la norme vaut :

D'après les résultats de la question Q18, le temps caractéristique d'établissement du régime permanent et la norme de la vitesse stationnaire de sédimentation s'écrivent :

1. Application numérique

Les données sont :

• r_0 = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m} ;
• \rho_0 = 2{,}6\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 2{,}6\times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

Calculons le temps caractéristique \tau :

Calculons la vitesse stationnaire de chute V_\infty :

2. Vérification des hypothèses de la loi de Stokes

• Écoulement à bas nombre de Reynolds : en choisissant comme longueur caractéristique le diamètre de la sphère L = 2r_0 = 2\,\mu\text{m} (ou son rayon), le nombre de Reynolds de l'écoulement s'écrit :

  \begin{aligned} \mathrm{Re} = \frac{\rho V_\infty (2r_0)}{\eta} = \frac{10^3 \times 3{,}5\times 10^{-6} \times 2\times 10^{-6}}{10^{-3}} \simeq 7\times 10^{-6} \ll 1. \end{aligned}

  La condition fondamentale d'un écoulement rampant (linéarité des équations de Stokes, termes d'inertie négligeables) est donc parfaitement vérifiée.

• Hypothèse de milieu continu : la taille caractéristique des molécules d'eau est de l'ordre de 0{,}3\text{ nm} \ll r_0 = 1\,\mu\text{m} ; le liquide peut donc être traité comme un milieu continu (nombre de Knudsen négligeable).
• Milieu non confiné (milieu infini) : dans un récipient macroscopique d'échelle millimétrique ou centimétrique, la distance aux parois est bien supérieure au micromètre (d \gg r_0), les effets de bord sont négligeables.
• Sphère indéformable et adhérence aux parois : la silice est un matériau rigide et l'adhérence de l'eau sur une bille de silice est une excellente approximation.

Les hypothèses d'application de la formule de Stokes sont donc pleinement validées.

Comme établi à la question Q18, le temps caractéristique d'établissement de la vitesse limite est :

Ce régime transitoire étant instantané à l'échelle macroscopique, la bactérie sédimente à la vitesse constante V_\infty donnée par la formule de Stokes :

Avec les données du sujet :

• \rho_0 = 1{,}01\,\text{g}\cdot\text{cm}^{-3} = 1{,}01\times 10^3\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \rho = 10^3\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}, d'où \rho_0 - \rho = 10\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m} ;
• \eta = 10^{-3}\,\text{Pa}\cdot\text{s} ;
• g \simeq 9{,}8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2} \approx 10\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.

On obtient une vitesse de chute stationnaire :

La sédimentation devient observable lorsque la distance parcourue verticalement h_{\text{sed}} = V_\infty t_{\text{obs}} n'est plus négligeable devant l'épaisseur e_{\text{cell}} de la cellule de microscopie, soit pour un temps typique :

Pour e_{\text{cell}} = 500\,\mu\text{m} = 5\times 10^{-4}\,\text{m} :

Avec un chiffre significatif :

Le cylindre possède une symétrie de révolution autour de son axe principal (GZ) : toute rotation d'angle quelconque autour de cet axe laisse la géométrie du cylindre invariante.

Le fluide étant isotrope, le comportement hydrodynamique est rigoureusement identique pour un déplacement dans n'importe quelle direction du plan (GXY) orthogonal à l'axe de révolution. Par conséquent, les axes (GX) et (GY) jouent des rôles parfaitement équivalents, ce qui impose :

En revanche, la direction longitudinale (GZ) est géométriquement et physiquement distincte des directions transverses, si bien que le coefficient de traînée selon cet axe, noté \lambda_Z = \lambda_\parallel, est a priori différent de \lambda_\perp.

La matrice [\lambda] dans la base (\vec{e}_X, \vec{e}_Y, \vec{e}_Z) se réduit donc à deux coefficients indépendants :

D'après l'équation (5), la force visqueuse est reliée à la vitesse par :

Les dimensions d'une force et d'une vitesse sont respectivement :

On en déduit la dimension des coefficients de la matrice [\lambda] :

L'unité SI correspondante est le \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1} (ou \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{-1} ou \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}).

Recherchons maintenant la dépendance des coefficients de [\lambda] en fonction de la viscosité \eta et de la longueur \ell du cylindre. D'après la loi de Stokes (\vec{F}_{\mathrm{S}} = -6\pi\eta r_0\vec{V}), la viscosité dynamique \eta a pour dimension :

La longueur \ell du cylindre a pour dimension [\ell] = \mathrm{L}.

En admettant que dans la limite d'un cylindre fin (R_0 \ll \ell), le frottement ne dépend pas de R_0, on cherche une relation sous la forme :

où C est une constante sans dimension. L'égalité dimensionnelle s'écrit :

Par identification des exposants :

Les coefficients de [\lambda] sont donc proportionnels au produit \eta \ell :

où C est un préfacteur sans dimension (dépendant de l'orientation considérée).

On étudie le cylindre, assimilé à un solide de masse M, dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R} supposé galiléen.

Le cylindre est soumis à deux forces :

• la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}}, contenue par choix dans le plan (GXZ) et faisant un angle \psi avec l'axe (GZ) orienté par \vec{u} = \vec{e}_Z :

  \vec{F}_{\text{ext}} = F_{\text{ext}}\sin\psi\,\vec{e}_X + F_{\text{ext}}\cos\psi\,\vec{e}_Z

• la force de frottement visqueux \vec{F}_{\mathrm{v}} = -[\lambda]\vec{V}, dont les composantes s'écrivent d'après le résultat de la question 21 :

  \vec{F}_{\mathrm{v}} = -\lambda_\perp V_X\,\vec{e}_X - \lambda_\perp V_Y\,\vec{e}_Y - \lambda_\parallel V_Z\,\vec{e}_Z

L'angle \psi restant constant au cours du temps, l'orientation de la base (\vec{e}_X, \vec{e}_Y, \vec{e}_Z) est invariante par rapport à \mathcal{R}, de sorte que :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au centre d'inertie G :

La projection sur les trois axes du repère (GXYZ) donne le système d'équations différentielles :

En régime stationnaire, les dérivées temporelles sont nulles (\frac{\mathrm{d}\vec{V}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}). Les composantes de la vitesse s'en déduisent immédiatement :

D'après la figure 3(b), la vitesse \vec{V} se trouve dans le plan (GXZ), de composantes V_X et V_Z. L'angle \alpha que forme \vec{V} avec l'axe (GZ) orienté par le vecteur unitaire \vec{u} vérifie donc :

En utilisant les expressions obtenues à la question Q23 :

on obtient directement :

soit, pour \psi \in [0, \pi/2[ :

Le cylindre chute dans la direction de la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}} si et seulement si les vecteurs \vec{V} et \vec{F}_{\text{ext}} sont colinéaires, c'est-à-dire si leur produit vectoriel est nul :

Comme par hypothèse \lambda_\perp \neq \lambda_\parallel et F_{\text{ext}} \neq 0, cette condition équivaut à :

Pour \psi \in [0, \pi], cela correspond à deux cas particuliers :

• Cylindre vertical (\psi = 0 ou \psi = \pi) : l'axe du cylindre est aligné avec la force extérieure (\vec{u} \parallel \vec{F}_{\text{ext}}). On a alors V_X = 0, et la vitesse est purement longitudinale selon (GZ) (\alpha = 0 ou \pi).
• Cylindre horizontal (\psi = \frac{\pi}{2}) : l'axe du cylindre est perpendiculaire à la force extérieure (\vec{u} \perp \vec{F}_{\text{ext}}). On a alors V_Z = 0, et la vitesse est purement transverse selon (GX) (\alpha = \frac{\pi}{2}).

D'après la question 23, les composantes de la vitesse du cylindre dans son repère propre (GXYZ) en régime stationnaire s'écrivent :

Examinons les deux configurations géométriques limites :

• Cylindre vertical : l'axe \vec{u} du cylindre est colinéaire à la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}}, ce qui correspond à \psi = 0. La vitesse de sédimentation est purement longitudinale (selon (GZ)) et sa norme vaut :

  V_\parallel = |V_Z(\psi = 0)| = \frac{F_{\text{ext}}}{\lambda_\parallel}.

• Cylindre horizontal : l'axe \vec{u} est orthogonal à la force extérieure \vec{F}_{\text{ext}}, ce qui correspond à \psi = \pi/2. La vitesse de sédimentation est purement transverse (selon (GX)) et sa norme vaut :

  V_\perp = |V_X(\psi = \pi/2)| = \frac{F_{\text{ext}}}{\lambda_\perp}.

La relation expérimentale V_\parallel = 2 V_\perp s'écrit alors :

On en déduit immédiatement la relation liant les deux coefficients de traînée visqueuse :

D'après la question Q21, la matrice de frottement visqueux s'écrit dans la base propre (\vec{e}_X, \vec{e}_Y, \vec{e}_Z) :

De plus, d'après la question Q25, on a la relation entre coefficients :

L'expression matricielle (5) de la force visqueuse \vec{F}_{\text{v}} donne alors :

L'axe du cylindre étant orienté par le vecteur unitaire \vec{u} = \vec{e}_Z, la composante de la vitesse parallèle à l'axe s'écrit sous forme de projection orthogonale :

La composante de la vitesse perpendiculaire à l'axe s'obtient par soustraction :

En réinjectant ces expressions dans l'écriture de \vec{F}_{\text{v}}, il vient :

On retrouve bien la relation demandée :

Interprétation graphique des termes :

• (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u} = \vec{V}_\parallel représente la projection orthogonale du vecteur vitesse \vec{V} sur l'axe du cylindre dirigé par \vec{u}.

• Le terme entre crochets peut se réécrire comme :

  2\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u} = \vec{V} + \left[\vec{V} - (\vec{V}\cdot\vec{u})\vec{u}\right] = \vec{V} + \vec{V}_\perp = 2\vec{V}_\perp + \vec{V}_\parallel.

  Il correspond graphiquement à la somme du vecteur vitesse \vec{V} et de sa composante transverse \vec{V}_\perp, ou de manière équivalente, à la somme vectorielle de la composante longitudinale \vec{V}_\parallel et du double de la composante transverse 2\vec{V}_\perp.

Le vecteur force visqueuse \vec{F}_{\text{v}} est colinéaire et opposé à ce vecteur rouge, amplifié par le coefficient \lambda_\parallel.

D'après l'équation (7), la position d'un point \mathrm{M} du flagelle par rapport à l'extrémité libre \mathrm{F} est donnée en coordonnées cylindriques par :

La cote du point \mathrm{M} le long de l'axe (\mathrm{F}z) est donc :

• À l'extrémité libre \mathrm{F}, l'hélice débute en z = 0, ce qui correspond à la borne inférieure :

  \theta_{\min} = 0

• Au point d'attache sur la membrane de la bactérie, la projection de l'hélice sur l'axe (\mathrm{F}z) correspond à la longueur projetée totale \ell_{\mathrm{f}}, soit z = \ell_{\mathrm{f}}. La borne supérieure \theta_{\max} vérifie donc :

  \ell_{\mathrm{f}} = h\,\theta_{\max} \iff \theta_{\max} = \frac{\ell_{\mathrm{f}}}{h} = \frac{2\pi \ell_{\mathrm{f}}}{\Lambda}

L'angle \theta varie donc dans le domaine :

En notant N = \frac{\ell_{\mathrm{f}}}{\Lambda} le nombre (entier) de spires du flagelle, la borne supérieure s'écrit également \theta_{\max} = 2\pi N.

Application numérique : Avec \ell_{\mathrm{f}} = 10\;\mu\mathrm{m} et h = 0{,}1\;\mu\mathrm{m}, on obtient :

Lorsqu'un pas de vis parfait tourne sans glissement dans un milieu immobile, chaque révolution complète correspond à une variation angulaire \Delta \theta = 2\pi effectuée pendant une période T = \frac{2\pi}{\Omega}. Durant cet intervalle de temps, l'hélice avance le long de son axe d'une distance égale à son pas \Lambda = 2\pi h.

La vitesse de translation maximale de la bactérie selon l'axe du flagelle est donc :

Effectuons l'application numérique avec les données du sujet (h = 0{,}1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-7}\text{ m} et \Omega = 7{,}0 \times 10^2\text{ rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}) :

D'après la définition du nombre de Reynolds établie à la question 12 :

En choisissant comme dimension caractéristique la taille du corps de la bactérie \tilde{L} \sim R = 1\,\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m} (ou celle du flagelle \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\mathrm{m}), avec \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} et \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\mathrm{s} :

Même en prenant la plus grande dimension \tilde{L} = \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\mathrm{m}, on obtient \mathrm{Re} \simeq 7 \times 10^{-4} \ll 1.

Le nombre de Reynolds est bien très faible devant 1, ce qui confirme que la nage s'effectue strictement dans le régime d'écoulement de Stokes.

D'après l'équation (7), le point courant M(\theta) de l'hélice est repéré par :

Le rayon de l'hélice a et le pas réduit h sont constants. En dérivant par rapport à \theta, et en utilisant la relation (1) rappelée dans le formulaire, \frac{\mathrm{d}\vec{e}_\rho}{\mathrm{d}\theta} = \vec{e}_\theta, on obtient :

Les vecteurs \vec{e}_\theta et \vec{e}_z formant deux vecteurs d'une base orthonormée, la norme de ce vecteur dérivé vaut :

Le vecteur unitaire \vec{u}(\theta) tangent à l'hélice et orienté dans le sens des \theta croissants s'obtient par normalisation :

soit finalement :

D'après l'énoncé de la sous-partie II.A.c, pour un cylindre de longueur \mathrm{d}\ell, le coefficient de frottement longitudinal s'écrit :

Chaque élément d'hélice étant animé d'une vitesse de rotation pure \vec{V}_\perp = a\Omega\vec{e}_\theta, et le vecteur unitaire tangent étant \vec{u} = \frac{a\vec{e}_\theta + h\vec{e}_z}{\sqrt{a^2+h^2}} (question Q29), nous calculons la projection :

Il vient alors :

D'après la relation (6) appliquée au tronçon élémentaire, la force visqueuse infinitésimale s'exerçant sur ce dernier est :

soit :

Pour obtenir la force totale exercée par le fluide sur l'ensemble de l'hélice, on intègre cette force élémentaire sur la plage de variation de \theta allant de 0 à \theta_{\max} = \ell_{\mathrm{f}}/h = 2\pi N (avec N \in \mathbb{N}^*, d'après la question Q27) :

Puisque le vecteur de la base cylindrique s'exprime dans la base cartésienne fixe par \vec{e}_\theta(\theta) = -\sin\theta\vec{e}_x + \cos\theta\vec{e}_y, son intégrale sur un nombre entier de périodes s'annule :

Seule subsiste la composante axiale selon \vec{e}_z, indépendante de \theta :

Le facteur h se simplifie, ce qui conduit bien à la forme annoncée :

On identifie donc le préfacteur numérique :

Considérons le tronçon d'hélice élémentaire délimité par \theta et \theta + \mathrm{d}\theta, de longueur \mathrm{d}\ell = \sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta. D'après les résultats des questions 22 et 26, le coefficient de frottement visqueux longitudinal associé à cet élément vaut :

Le flagelle étant animé d'une vitesse de translation uniforme \vec{V}_\parallel = V\vec{e}_z, la force visqueuse élémentaire s'écrit selon l'équation (6) :

À l'aide de l'expression du vecteur tangent unitaire \vec{u}(\theta) = \frac{a\vec{e}_\theta + h\vec{e}_z}{\sqrt{a^2+h^2}} (question 29), formons le produit scalaire :

Le terme entre crochets devient ainsi :

La force élémentaire exercée sur le tronçon s'écrit donc :

Intégrons cette expression sur l'ensemble de l'hélice, pour \theta variant de 0 à \theta_{\max} = \ell_{\text{f}}/h = 2\pi N avec N \in \mathbb{N}^* (nombre entier de tours, d'après Q27) :

La composante azimutale s'annule par périodicité spatiale. Il ne subsiste que la composante axiale portée par \vec{e}_z :

Comparons cette force de traînée du flagelle à la force de frottement de Stokes \vec{F}_{\text{S}} = -6\pi\eta R V \vec{e}_z subie par le corps sphérique de la bactérie se déplaçant à la même vitesse :

Avec les données numériques du préambule :

• R = 1\,\mu\text{m}, \ell_{\text{f}} = 10\,\mu\text{m} ;
• a = 0{,}2\,\mu\text{m}, h = 0{,}1\,\mu\text{m} ;
• 2a^2 + h^2 = 2(0{,}04) + 0{,}01 = 0{,}09\,\mu\text{m}^2 ;
• \sqrt{a^2+h^2} = \sqrt{0{,}05}\,\mu\text{m} \simeq 0{,}22\,\mu\text{m} ;
• \frac{2a^2+h^2}{h\sqrt{a^2+h^2}} = \frac{0{,}09}{0{,}1 \times \sqrt{0{,}05}} \simeq 4{,}0.

On obtient :

La force de traînée visqueuse s'exerçant sur le flagelle est environ 30 fois plus grande que la traînée de Stokes sur le corps sphérique : la dissipation et le frottement visqueux au cours de la translation sont donc largement dominés par le flagelle.

À bas nombre de Reynolds, en régime stationnaire, l'inertie de la bactérie est totalement négligeable. L'équilibre mécanique axial de la bactérie s'écrit (en négligeant la traînée de Stokes du corps devant celle du flagelle, comme justifié à la question 31) :

D'après les résultats des questions 30 et 31 :

En projetant sur l'axe \vec{e}_z, on obtient :

ce qui se simplifie immédiatement en :

On en déduit l'expression de la vitesse de propulsion stationnaire :

Application numérique : Avec les données fournies :

• a = 0{,}2\,\mu\text{m}, donc a^2 = 0{,}04\,\mu\text{m}^2 ;
• h = 0{,}1\,\mu\text{m}, donc h^2 = 0{,}01\,\mu\text{m}^2 et a^2 h = 0{,}004\,\mu\text{m}^3 ;
• 2a^2 + h^2 = 2 \times 0{,}04 + 0{,}01 = 0{,}09\,\mu\text{m}^2 ;
• \Omega = 7{,}0 \times 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

Il vient :

Avec un chiffre significatif :

Comparaison avec la question 28 : La vitesse maximale sans glissement obtenue à la question 28 était :

Le rapport des deux vitesses s'écrit :

La vitesse réelle de nage de la bactérie est strictement inférieure à la vitesse sans glissement (V \approx 0{,}4\,V_{\max}).

Dans le régime stationnaire de nage, le mouvement du flagelle résulte de la superposition de la rotation autour de l'axe (Fz) à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\vec{e}_z et de la translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z. La vitesse d'un élément d'hélice repéré par l'angle \theta s'écrit :

Le vecteur unitaire tangent à l'hélice est, d'après la question Q29 :

Le produit scalaire entre la vitesse et la tangente au flagelle vaut donc :

D'après l'équation (6), la force visqueuse élémentaire subie par le tronçon de longueur \mathrm{d}\ell = \sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, pour lequel \lambda_\parallel = 4\pi\eta\,\mathrm{d}\ell, est :

Le moment élémentaire de cette force par rapport à l'axe de rotation (Fz) est donné par l'équation (11) :

Puisque le flagelle comporte un nombre entier de spires N = \ell_{\mathrm{f}}/\Lambda (question Q27), l'intégration de la composante selon \vec{e}_\theta(\theta) sur l'intervalle \theta \in [0, 2\pi N] s'annule identiquement :

Le moment résultant est donc purement axial, dirigé selon \vec{e}_z :

Déterminons la composante orthoradiale \mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} = \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{v}}\cdot\vec{e}_\theta :

En injectant l'expression de la vitesse de propulsion stationnaire obtenue à la question Q32, V = \dfrac{a^2 h}{2a^2+h^2}\Omega :

Il vient ainsi pour le terme entre crochets :

Avec \lambda_\parallel = 4\pi\eta\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\theta, la force orthoradiale élémentaire s'écrit :

En intégrant le moment élémentaire \mathrm{d}\Gamma_{\mathrm{v},z} = a\,\mathrm{d}F_{\mathrm{v},\theta} sur l'intervalle \theta \in [0, \ell_{\mathrm{f}}/h] de longueur totale \ell_{\mathrm{f}}/h :

Le moment résultant des forces visqueuses par rapport à l'axe (Fz) est donc :

1. Expression de la puissance du moteur moléculaire

En régime stationnaire de nage libre, la force totale exercée par le fluide sur la bactérie est nulle, soit \vec{F}_{\mathrm{v}} = \vec{0}. La puissance mécanique \mathcal{P} que le moteur moléculaire doit fournir pour maintenir la rotation du flagelle à vitesse angulaire constante compense exactement la dissipation par frottement visqueux :

D'après la question 33, le moment des forces visqueuses par rapport à l'axe (\mathrm{F}z) s'écrit :

Avec \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z, on obtient :

2. Application numérique

Les données fournies dans le préambule sont :

• \eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} ;
• \Omega = 7{,}0\times 10^2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \ell_{\mathrm{f}} = 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} ;
• a = 0{,}2\,\mu\text{m} = 2\times 10^{-7}\text{ m} ;
• h = 0{,}1\,\mu\text{m} = 10^{-7}\text{ m}.

Comme a = 2h, le facteur adimensionnel vaut :

Calculons la valeur de \mathcal{P} :

3. Puissance métabolique de la bactérie et commentaire

La bactérie est assimilée à une sphère de rayon R, de volume V_{\text{bac}} = \frac{4}{3}\pi R^3. Sa consommation de nutriments par unité de volume et de temps étant notée \mathcal{A}, la quantité de matière de glucose consommée par seconde est :

L'apport énergétique par mole de glucose absorbée étant \varepsilon, la puissance totale associée au métabolisme de la bactérie s'écrit :

Avec R = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, \mathcal{A} = 10\text{ mol}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^{-1} et \varepsilon = 30\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = 3\times 10^4\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} :

En comparant ces deux puissances :

La puissance nécessaire pour faire tourner le flagelle et propulser la bactérie représente moins de 1\,\% de la puissance métabolique totale. La nage constitue donc un coût énergétique négligeable pour la cellule.

1. Invariance par rapport à \theta

Le système physique est constitué d'une sphère de rayon R en translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z dans un fluide infini.

• La géométrie de la sphère est de révolution autour de l'axe (Oz) ;
• La direction du mouvement impose un axe privilégié le long de (Oz) ;
• Les conditions aux limites (adhérence sur la sphère et fluide au repos à l'infini dans le laboratoire) sont indépendantes de toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (Oz).

Le problème présente donc une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). Par conséquent, le champ de vitesses est invariant par rotation autour de cet axe, ce qui justifie que ses composantes ne dépendent pas de la variable angulaire \theta :

2. Condition aux limites en r = R

Dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} lié à la bactérie, la surface de la membrane est immobile. Pour un fluide visqueux, la condition aux limites à l'interface solide-fluide est la condition d'adhérence :

Évaluons les composantes du champ proposé pour r = R :

La composante selon \vec{e}_\theta étant identiquement nulle, on a bien :

La condition d'adhérence à la paroi est parfaitement vérifiée.

3. Condition aux limites pour r \to \infty

Dans le référentiel du laboratoire, le fluide est au repos à l'infini : \vec{v}_{\mathrm{lab}}(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} \vec{0}. Dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} en translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z par rapport au laboratoire, la loi de composition des vitesses impose :

D'après la définition des coordonnées sphériques données en préambule, le vecteur unitaire \vec{e}_z se décompose sur la base locale selon :

D'où l'expression attendue du champ uniforme à l'infini :

En prenant la limite r \to \infty dans l'expression (12) du sujet :

On obtient immédiatement :

La condition aux limites à l'infini est donc bien respectée.

Dans le référentiel de la bactérie \mathcal{R}_{\mathrm{b}}, le fluide s'écoule globalement dans la direction -\vec{e}_z, parallèlement à l'axe (Oz), avec la vitesse uniforme au loin :

L'écoulement présente les propriétés fondamentales suivantes :

• Invariance par rotation autour de l'axe (Oz) : le motif des lignes de courant est identique dans tout plan méridien contenant (Oz), par exemple le plan (xOz).
• Conditions aux limites à la paroi : sur la sphère de rayon R, la vitesse s'annule strictement (\vec{v}(R, \varphi) = \vec{0}) en vertu de la condition de non-glissement. La surface de la sphère constitue une surface de courant.
• Points d'arrêt : sur l'axe (Oz), pour \varphi = 0 (z = +R) et \varphi = \pi (z = -R), la vitesse est nulle. L'axe (Oz) (privé de l'intérieur de la sphère) forme une ligne de courant particulière, qui bute sur la sphère au point d'arrêt amont et en repart au point d'arrêt aval.
• Symétrie amont-aval : en régime de Stokes (\mathrm{Re} \ll 1), l'écoulement est gouverné par une équation linéaire réversible dans le temps. En effectuant la transformation z \to -z (c'est-à-dire \varphi \to \pi - \varphi), on a \cos(\pi-\varphi) = -\cos\varphi et \sin(\pi-\varphi) = \sin\varphi, ce qui assure une parfaite symétrie amont-aval des lignes de courant, sans décollement ni zone de recirculation (sillage turbulent absent).

On représente ci-dessous l'allure des lignes de courant dans le plan (xOz) :