Feuille d'entraînement : Facteur de Boltzmann et physique statistique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2022, Q17

   À une échelle spatiale caractéristique z, les ordres de grandeur spatiaux des termes d'advection et de diffusion intervenant dans l'équation régissant la concentration (question Q16) s'écrivent :

   \left| v_z^\star \frac{\partial c}{\partial z} \right| \sim \frac{|v_z^\star| \, c}{z} \quad \text{et} \quad \left| D_R \frac{\partial^2 c}{\partial z^2} \right| \sim \frac{D_R \, c}{z^2}

   La diffusion domine l'advection dès lors que :

   \frac{D_R \, c}{z^2} > \frac{|v_z^\star| \, c}{z} \iff z < \frac{D_R}{|v_z^\star|}

   La distance caractéristique cherchée est donc :

   \boxed{z_\star = \frac{D_R}{|v_z^\star|}}

   D'après la relation de Stokes-Einstein (équation (4)) :

   D_R = \frac{k_{\mathrm{B}} T}{6\pi \eta R}

   Par ailleurs, à la vitesse limite de sédimentation, le poids compense exactement la traînée de Stokes (la poussée d'Archimède étant négligée) :

   m g = 6\pi \eta R |v_z^\star| \iff |v_z^\star| = \frac{m g}{6\pi \eta R}

   En effectuant le rapport des deux grandeurs, le facteur de friction hydrodynamique 6\pi\eta R se simplifie :

   \boxed{z_\star = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{m g}}

   Analyse du résultat : Cette longueur z_\star correspond à l'altitude pour laquelle l'énergie potentielle de pesanteur d'une gouttelette compense l'énergie d'agitation thermique :

   m g z_\star = k_{\mathrm{B}}T

   Il s'agit précisément de la hauteur d'échelle (ou longueur de sédimentation) apparaissant dans le facteur de Boltzmann d'une atmosphère isotherme, \exp\left(-\frac{mgz}{k_{\mathrm{B}}T}\right) = \exp\left(-\frac{z}{z_\star}\right). Pour des altitudes inférieures à z_\star, l'agitation thermique empêche la sédimentation et homogénéise la répartition des particules.

   Application numérique : Pour une gouttelette de rayon R = 1\text{ }\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m}, avec \pi = 3 et \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} :

   m = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \times 3 \times (10^{-6})^3 \times 10^3 = 4 \times 10^{-15}\text{ kg}

   Avec g = 10\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-2} et k_{\mathrm{B}}T = 4 \times 10^{-21}\text{ J} :

   z_\star = \frac{4 \times 10^{-21}}{4 \times 10^{-15} \times 10} = 10^{-7}\text{ m}

   \boxed{z_\star = 10^{-7}\text{ m} = 0{,}1\text{ }\mu\mathrm{m} = 100\text{ nm}}

   Résultat

   $$z_{\star }=\frac{D_R}{|v_z^{\star }|}$$

   $$z_{\star }=\frac{k_{\mathrm{B}}T}{mg}$$

   $$z_{\star }=10^{-7}\text{ m}=0,1\mu \mathrm{m}=100\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2022, Q19

   Le préfacteur numérique sans dimension K peut être déterminé en utilisant le principe de conservation du nombre total de gouttelettes (ou conservation de la matière) au cours du temps.

   En l'absence de parois (espace supposé infini) et en négligeant les pertes (évaporation ou réactions), les M gouttelettes émises initialement en (0,0,z_0) restent toutes présentes dans le milieu. À chaque instant t > 0, l'intégrale de la concentration volumique c(x,y,z,t) étendue à tout l'espace doit donc être égale au nombre total de gouttelettes M :

   \iiint_{\mathbb{R}^3} c(x, y, z, t) \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = M

   Cette condition de normalisation (analogue à celle d'une densité de probabilité gaussienne tridimensionnelle) conduit à l'intégration d'une gaussienne selon les trois directions de l'espace, ce qui fixe de manière univoque la valeur de la constante K (on trouverait K = \pi^{-3/2}).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2022, Q39

   L'équation de Poisson-Boltzmann (26) s'écrit :

   \Delta V(r) = \frac{2ec_\infty}{\varepsilon} \sinh\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   La seule source de non-linéarité réside dans la fonction sinus hyperbolique. Au voisinage de zéro, celle-ci admet le développement limité au premier ordre :

   \sinh(x) \underset{x \to 0}{=} x + \mathcal{O}(x^3)

   L'équation différentielle devient donc linéaire lorsque l'argument du sinus hyperbolique est petit devant l'unité, c'est-à-dire dans la limite :

   \boxed{\left|\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right| \ll 1 \quad \text{soit} \quad |eV(r)| \ll k_{\mathrm{B}}T}

   Dans cette limite, le membre de droite est proportionnel à V(r), et l'équation différentielle prend la forme linéaire :

   \Delta V(r) \simeq \frac{2e^2 c_\infty}{\varepsilon k_{\mathrm{B}}T}\,V(r)

   Résultat

   $$\left|\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right|\ll 1\text{soit}|eV(r)|\ll k_{\mathrm{B}}T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2020, Q41

   Par définition de la moyenne temporelle d'occupation s_T(t) donnée par l'équation (15) :

   s_T(t) = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} m(\tau)\,\mathrm{d}\tau .

   En utilisant la linéarité de l'espérance mathématique et l'interversion de l'espérance et de l'intégrale (rappelée en préambule du sujet), il vient :

   \mathbb{E}[s_T(t)] = \mathbb{E}\left[ \frac{1}{T} \int_t^{t+T} m(\tau)\,\mathrm{d}\tau \right] = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \mathbb{E}[m(\tau)]\,\mathrm{d}\tau .

   D'après l'équation (13), \mathbb{E}[m(\tau)] = p(\tau). À l'équilibre, cette probabilité est indépendante du temps :

   \forall \tau, \quad \mathbb{E}[m(\tau)] = p = \text{cste}.

   L'intégrale se calcule alors immédiatement :

   \mathbb{E}[s_T(t)] = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} p\,\mathrm{d}\tau = \frac{p}{T} \Big[(t+T) - t\Big] = \frac{p \cdot T}{T} .

   On obtient bien :

   \boxed{\mathbb{E}[s_T(t)] = p}

   Résultat

   $$\mathbb{E}[s_T(t)]=p$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2020, Q43

   Considérons les deux configurations mutuellement exclusives menant à l'état lié à la fois à t et à t + \tau + \text{d}\tau :

   • Première possibilité : le récepteur est lié à t et à t + \tau, événement de probabilité G(t, \tau), puis ne se libère pas pendant l'intervalle \text{d}\tau. La probabilité de libération pendant \text{d}\tau étant k' \text{d}\tau, la probabilité qu'il reste lié est 1 - k' \text{d}\tau. La probabilité associée est donc :

     \mathbb{P}_1 = G(t, \tau) (1 - k' \text{d}\tau).

   • Seconde possibilité : le récepteur est lié à t mais libre à t + \tau, événement de probabilité p(t) - G(t, \tau), puis capte un nutriment pendant l'intervalle \text{d}\tau. La probabilité d'association étant kc\,\text{d}\tau, la probabilité associée est :

     \mathbb{P}_2 = [p(t) - G(t, \tau)] kc \, \text{d}\tau.

   Ces deux événements étant disjoints, la probabilité totale G(t, \tau + \text{d}\tau) est la somme de leurs probabilités :

   G(t, \tau + \text{d}\tau) = \mathbb{P}_1 + \mathbb{P}_2 = G(t, \tau)(1 - k'\text{d}\tau) + [p(t) - G(t, \tau)]kc\,\text{d}\tau.

   En regroupant les termes au premier ordre en \text{d}\tau, on obtient :

   \boxed{G(t, \tau + \text{d}\tau) = G(t, \tau) - (k' + kc) G(t, \tau)\text{d}\tau + kc \, p(t) \text{d}\tau}

   Résultat

   $$G(t,\tau +\text{d}\tau )=G(t,\tau )-(k^{\prime }+kc)G(t,\tau )\text{d}\tau +kcp(t)\text{d}\tau$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2020, Q44

   D'après la question Q43, l'évolution de la fonction de corrélation pour \tau > 0 s'écrit :

   G(t, \tau + \mathrm{d}\tau) = G(t, \tau) - (k' + kc)\, G(t, \tau)\,\mathrm{d}\tau + kc\, p(t)\,\mathrm{d}\tau.

   À l'équilibre statistique (processus stationnaire) :

   • la probabilité instantanée que le récepteur soit occupé est indépendante du temps t : p(t) = p ;
   • les grandeurs statistiques à deux instants dépendent uniquement du décalage temporel \tau : G(t, \tau) = G_0(\tau) et G(t, \tau + \mathrm{d}\tau) = G_0(\tau + \mathrm{d}\tau).

   La relation précédente devient donc :

   G_0(\tau + \mathrm{d}\tau) - G_0(\tau) = -(k' + kc)\, G_0(\tau)\,\mathrm{d}\tau + kc\, p\,\mathrm{d}\tau.

   En divisant par l'intervalle de temps \mathrm{d}\tau > 0 et en prenant la limite quand \mathrm{d}\tau \to 0, le membre de gauche correspond à la dérivée ordinaire \frac{\mathrm{d}G_0}{\mathrm{d}\tau}(\tau) :

   \frac{\mathrm{d}G_0}{\mathrm{d}\tau} = -(k' + kc)\, G_0 + kc\, p.

   En regroupant les termes dépendant de G_0 dans le membre de gauche, on obtient bien l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant la fonction de corrélation :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}G_0}{\mathrm{d}\tau} + (k' + kc)G_0 = kcp.}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{G}_0}{\mathrm{d}\tau }+(k^{\prime }+kc)G_0=kcp.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2022, Q44

   D'après la question Q43, la coque étant chargée positivement (Q > 0, \sigma > 0), le potentiel électrostatique V(r) vérifie les propriétés suivantes :

   • V(r) > 0 en tout point de l'espace ;
   • V(r) présente une tangente horizontale en r=0, croît strictement pour r \in [0, R_{\mathrm{v}}] jusqu'à un maximum en r=R_{\mathrm{v}} ;
   • V(r) décroît strictement vers 0 lorsque r \to +\infty.

   D'après les relations (25) :

   c_+(r) = c_\infty \exp\left(-\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \quad \text{et} \quad c_-(r) = c_\infty \exp\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Puisque V(r) > 0, on a pour tout r \ge 0 :

   c_+(r) < c_\infty < c_-(r)

   L'étude des variations donne :

   • Pour les cations (c_+) : la fonction x \mapsto \exp(-x) étant strictement décroissante, c_+(r) décroît sur [0, R_{\mathrm{v}}] depuis sa valeur centrale c_+(0) < c_\infty (avec tangente horizontale car \left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right|_{0} = 0) jusqu'à un minimum strict en r = R_{\mathrm{v}}, puis croît de manière monotone vers c_\infty lorsque r \to +\infty.
   • Pour les anions (c_-) : la fonction x \mapsto \exp(x) étant strictement croissante, c_-(r) croît sur [0, R_{\mathrm{v}}] depuis sa valeur centrale c_-(0) > c_\infty (avec tangente horizontale) jusqu'à un maximum strict en r = R_{\mathrm{v}}, puis décroît de manière monotone vers c_\infty lorsque r \to +\infty.

   Dans le cadre de l'approximation de Debye-Hückel (\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T} \ll 1), un développement à l'ordre 1 donne :

   c_\pm(r) \simeq c_\infty \left(1 \mp \frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Les deux profils présentent donc une allure quasi symétrique par rapport à la valeur limite c_\infty.

   Commentaires des tracés :

   • Attraction et répulsion électrostatiques : la charge de la coque virale étant positive (Q > 0), les contre-ions (anions de charge -e) sont attirés électrostatiquement vers la membrane, d'où un enrichissement local en anions (c_- > c_\infty) qui culmine précisément à la surface de la coque en r=R_{\mathrm{v}}. À l'inverse, les co-ions (cations de charge +e) sont repoussés par la coque, conduisant à une déplétion (c_+ < c_\infty) avec un minimum à la surface.
   • Écrantage et électroneutralité macroscopique : à grande distance de la coque virale (r \gg R_{\mathrm{v}} + \kappa^{-1}), l'excès d'anions compense exactement la charge positive de la coque : le potentiel s'annule par écrantage de Debye-Hückel, et les deux concentrations convergent vers la concentration homogène c_\infty, garantissant l'électroneutralité de la solution au repos.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2020, Q45

   D'après la question 44, la fonction d'autocorrélation à l'équilibre G_0(\tau) vérifie, pour \tau \geqslant 0, l'équation différentielle linéaire :

   \frac{\mathrm{d}G_0}{\mathrm{d}\tau} + (k' + kc)G_0 = kcp

   La solution générale s'écrit comme la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante G_{0,\mathrm{part}} :

   G_{0,\mathrm{part}} = \frac{kc\,p}{k' + kc} = p \left(\frac{kc}{k' + kc}\right)

   Or, d'après la question 40, la probabilité d'équilibre s'exprime par :

   p = \frac{c}{c + c_{1/2}} = \frac{c}{c + \frac{k'}{k}} = \frac{kc}{k' + kc}

   On en déduit que la solution particulière vaut :

   G_{0,\mathrm{part}} = p^2

   La solution générale de l'équation différentielle s'écrit donc, avec A une constante réelle :

   G_0(\tau) = p^2 + A\,\mathrm{e}^{-(k' + kc)\tau}

   En utilisant la condition initiale fournie par l'énoncé en \tau = 0 :

   G_0(0) = p^2 + A = p \implies A = p(1 - p)

   On obtient ainsi l'expression de la fonction de corrélation pour \tau \geqslant 0 :

   \boxed{G_0(\tau) = p^2 + p(1 - p)\,\mathrm{e}^{-(k' + kc)\tau}}

   Résultat

   $$G_0(\tau )=p^2+p(1-p){\mathrm{e}}^{-(k^{\prime }+kc)\tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2020, Q46

   1. Simplification de la variance de s_T

   D'après l'équation (21) de l'énoncé :

   (\Delta s_T)^2 = \frac{2p(1-p)}{T(k' + kc)} \left[ 1 + \frac{1}{(k' + kc)T} \left( \mathrm{e}^{-(k' + kc)T} - 1 \right) \right]

   Dans la limite où (k' + kc)T \gg 1, le terme exponentiel devient négligeable (\mathrm{e}^{-(k' + kc)T} \to 0) et le terme correctif est négligeable devant 1 :

   \left| \frac{\mathrm{e}^{-(k'+kc)T} - 1}{(k' + kc)T} \right| \simeq \frac{1}{(k' + kc)T} \ll 1

   L'expression se simplifie donc en :

   \boxed{(\Delta s_T)^2 \simeq \frac{2p(1-p)}{(k' + kc)T}}

   2. Fluctuation relative de l'estimation de concentration c_T

   D'après la question Q42, la concentration estimée c_T est reliée à la mesure s_T par c_T = f(s_T) avec :

   f(x) = c_{1/2} \frac{x}{1-x}

   La dérivée de cette fonction s'écrit :

   f'(x) = c_{1/2} \frac{(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{c_{1/2}}{(1-x)^2}

   Puisque à l'équilibre \mathbb{E}[s_T] = p (question Q41), la formule de propagation de la variance fournie par l'énoncé donne :

   (\Delta c_T)^2 = [f'(p)]^2 (\Delta s_T)^2 = \left( \frac{c_{1/2}}{(1-p)^2} \right)^2 \frac{2p(1-p)}{(k' + kc)T} = \frac{2 c_{1/2}^2 \, p}{(1-p)^3 (k' + kc)T}

   Rappelons les relations établies à la question Q40 :

   \begin{aligned} p &= \frac{c}{c + c_{1/2}} \\ 1 - p &= \frac{c_{1/2}}{c + c_{1/2}} \\ k' + kc &= k(c_{1/2} + c) \quad \text{car } c_{1/2} = \frac{k'}{k} \end{aligned}

   En injectant ces grandeurs dans l'expression de la variance, on obtient :

   (\Delta c_T)^2 = \frac{2 c_{1/2}^2 \left(\dfrac{c}{c + c_{1/2}}\right)}{\left(\dfrac{c_{1/2}}{c + c_{1/2}}\right)^3 k(c + c_{1/2}) T} = \frac{2 c (c + c_{1/2})}{k c_{1/2} T} = \frac{2 c^2}{k c T} \left( 1 + \frac{c}{c_{1/2}} \right)

   Ainsi, les fluctuations relatives s'écrivent :

   \frac{\Delta c_T}{c} = \sqrt{\frac{2}{kcT} \left( 1 + \frac{c}{c_{1/2}} \right)}

   Dans le cadre de milieux dilués (c \ll c_{1/2}, soit p \ll 1), où le signal fluctue le plus (hypothèse introduite au préambule de la partie III.A), le terme c/c_{1/2} est négligeable devant 1. On retrouve bien :

   \boxed{\frac{\Delta c_T}{c} = \sqrt{\frac{2}{kcT}}}

   Résultat

   $$(\Delta s_T{)}^2\simeq \frac{2p(1-p)}{(k^{\prime }+kc)T}$$

   $$\frac{\Delta c_T}{c}=\sqrt{\frac{2}{kcT}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2020, Q47

    Pour que l'estimation de la concentration c_T(t) soit fiable, les fluctuations relatives doivent être très inférieures à l'unité :

    \frac{\Delta c_T}{c} \ll 1.

    En utilisant l'expression (24) établie à la question précédente :

    \sqrt{\frac{2}{k c T}} \ll 1 \iff T \gg \frac{2}{k c}.

    On identifie ainsi un temps caractéristique minimal d'intégration :

    T_{\min} \sim \frac{2}{kc}.

    Pour faire apparaître le paramètre k', deux analyses complémentaires sont envisageables :

    • Condition de validité du régime de temps long : L'expression de la variance simplifiée requiert l'hypothèse (k' + kc)T \gg 1, soit :

      T \gg \frac{1}{k' + kc}.

      Dans le régime dilué (c \ll c_{1/2} = k'/k), on a kc \ll k', donc \frac{1}{k'+kc} \simeq \frac{1}{k'} \ll \frac{2}{kc} : la condition \Delta c_T / c \ll 1 impose alors la contrainte la plus sévère.

    • Sans l'hypothèse de faible concentration : Si l'on ne néglige pas c devant c_{1/2}, le calcul complet de (\Delta c_T / c)^2 mené à la question 46 donne :

      \left(\frac{\Delta c_T}{c}\right)^2 = \frac{2(k' + kc)}{k k' c T} = \frac{2}{T}\left(\frac{1}{kc} + \frac{1}{k'}\right).

      La condition \Delta c_T / c \ll 1 conduit alors directement à :

      T \gg T_{\min} = \frac{2(k' + kc)}{k k' c} = \frac{2}{kc} + \frac{2}{k'}.

    On retiendra donc :

    \boxed{T_{\min} = \frac{2}{kc} + \frac{2}{k'} = \frac{2(k'+kc)}{k k' c}}

    qui se réduit à T_{\min} \simeq \dfrac{2}{kc} dans la limite d'un milieu dilué (c \ll c_{1/2}).

    Commentaire sur l'évolution de T_{\min} avec la concentration c :

    • Lorsque la concentration c est faible (milieu très dilué), T_{\min} varie en 1/c et tend vers l'infini : les rencontres entre les molécules de nutriment et le récepteur deviennent très rares (la fréquence d'accrochage est kc). Pour moyenner efficacement le bruit poissonnien associé à ces événements discrets, la bactérie doit observer pendant une durée d'intégration d'autant plus longue.
    • Lorsque c augmente, les collisions deviennent fréquentes et T_{\min} décroît rapidement : la bactérie peut évaluer la concentration beaucoup plus vite.
    • À forte concentration (c \gg c_{1/2}), le récepteur est saturé la quasi-totalité du temps (p \to 1). Le temps minimal d'intégration tend vers une valeur plancher incompressible, T_{\min} \to \dfrac{2}{k'}, fixée par le temps nécessaire au récepteur pour libérer le nutriment fixé.

    Résultat

    $$T_{\min }=\frac{2}{kc}+\frac{2}{k^{\prime }}=\frac{2(k^{\prime }+kc)}{k{k}^{\prime }c}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question