Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2022

Considérons l'ensemble des gouttelettes en suspension dans le volume V de la pièce.

• Les p personnes infectées émettent chacune des gouttelettes au taux f_{\text{em}}, ce qui correspond à un taux de création total :

  \left(\frac{\mathrm{d}N_{\text{susp}}}{\mathrm{d}t}\right)_{\text{ém}} = p\,f_{\text{em}}

• Chaque gouttelette ayant une durée de vie moyenne \tau_{\text{sed}} dans l'air avant de sédimenter, le taux de disparition de ces gouttelettes s'écrit sous la forme d'une loi de relaxation d'ordre 1 :

  \left(\frac{\mathrm{d}N_{\text{susp}}}{\mathrm{d}t}\right)_{\text{séd}} = -\frac{N_{\text{susp}}}{\tau_{\text{sed}}}

Le bilan global sur le nombre moyen de gouttelettes s'écrit alors :

En régime stationnaire, ce nombre moyen est constant au cours du temps (\frac{\mathrm{d}N_{\text{susp}}}{\mathrm{d}t} = 0), d'où :

Chaque gouttelette étant modélisée par une sphère de rayon R, son volume individuel s'écrit :

La concentration volumique en virus dans la salive constituant la gouttelette étant notée c_{\text{vir}}, le nombre moyen de virus contenu dans une seule gouttelette est :

D'après la question 1, le nombre moyen total de gouttelettes en suspension dans le volume V de la pièce est N_{\text{susp}} = p f_{\text{em}} \tau_{\text{sed}}.

Le nombre moyen total de virus N_{\text{vir}} présents dans l'air de la pièce s'obtient alors en multipliant le nombre total de gouttelettes par le nombre de virus portés par chacune :

soit finalement :

D'après le résultat de la question Q2, le nombre moyen de virus présents dans l'air s'écrit :

Avec la convention \pi = 3 donnée par l'énoncé, le volume d'une gouttelette sphérique vaut :

Le volume V_{\mathrm{g}} d'une gouttelette de rayon R = 20\text{ }\mu\mathrm{m} = 2 \times 10^{-5}\text{ m} est :

Le nombre moyen de gouttelettes en suspension émises par la personne contaminée (p = 1) est :

La concentration en virus étant c_{\mathrm{vir}} \simeq 10^6\text{ mL}^{-1}, on en déduit :

Dans la pièce aérée, chaque gouttelette disparaît par sédimentation avec une fréquence \tau_{\mathrm{sed}}^{-1} et par renouvellement d'air avec la fréquence f_{\mathrm{air}}. Ces deux processus étant indépendants, la fréquence totale de disparition d'une gouttelette s'écrit :

Le bilan sur le nombre moyen de gouttelettes en suspension N'_{\mathrm{susp}} pour une seule personne contaminée (p = 1), en régime stationnaire (\mathrm{d}N'_{\mathrm{susp}}/\mathrm{d}t = 0), s'écrit :

D'après la question Q1, sans aération, N_{\mathrm{susp}} = f_{\mathrm{em}}\tau_{\mathrm{sed}}. On a donc :

Le nombre moyen de virus étant proportionnel au nombre de gouttelettes en suspension d'après la question Q2 (N_{\mathrm{vir}} = \frac{4}{3}\pi R^3 c_{\mathrm{vir}} N_{\mathrm{susp}}), on en déduit directement :

D'après la question Q4, le nombre moyen de virus en suspension dans une pièce aérée s'exprime par :

Avec \tau_{\mathrm{sed}} \simeq 10^3\text{ s} \simeq \frac{1000}{3600}\text{ h} = \frac{1}{3{,}6}\text{ h} :

• Pour f_{\mathrm{air}} = 5\text{ h}^{-1} :

  \begin{aligned} f_{\mathrm{air}}\tau_{\mathrm{sed}} &= \frac{5}{3{,}6} \simeq 1{,}4 \\ 1 + f_{\mathrm{air}}\tau_{\mathrm{sed}} &\simeq 2{,}4 \end{aligned}

  En prenant la valeur issue de la question Q3 (N_{\mathrm{vir}} \simeq 3 \times 10^4) :

  N'_{\mathrm{vir}} \simeq \frac{3 \times 10^4}{2{,}4} \simeq 1{,}3 \times 10^4
  \boxed{N'_{\mathrm{vir}}(5\text{ h}^{-1}) \simeq 1{,}3 \times 10^4}

  (Si l'on utilise la valeur arrondie N_{\mathrm{vir}} = 10^4 introduite plus loin dans le sujet, on trouve N'_{\mathrm{vir}} \simeq 4{,}2 \times 10^3.)

• Pour f_{\mathrm{air}} = 20\text{ h}^{-1} :

  \begin{aligned} f_{\mathrm{air}}\tau_{\mathrm{sed}} &= \frac{20}{3{,}6} \simeq 5{,}6 \\ 1 + f_{\mathrm{air}}\tau_{\mathrm{sed}} &\simeq 6{,}6 \end{aligned}

  D'où :

  N'_{\mathrm{vir}} \simeq \frac{3 \times 10^4}{6{,}6} \simeq 4{,}5 \times 10^3
  \boxed{N'_{\mathrm{vir}}(20\text{ h}^{-1}) \simeq 4{,}5 \times 10^3}

  (Avec N_{\mathrm{vir}} = 10^4, on obtient N'_{\mathrm{vir}} \simeq 1{,}5 \times 10^3.)

Commentaire : L'aération entraîne une diminution importante du nombre de virus en suspension : la charge virale est divisée par un facteur d'environ 2{,}4 pour 5 renouvellements par heure, et par près de 6{,}6 pour 20 renouvellements par heure. Le renouvellement d'air évacue les aérosols bien plus rapidement que la sédimentation naturelle seule (pour f_{\mathrm{air}} = 20\text{ h}^{-1}, le temps caractéristique d'évacuation par renouvellement d'air \tau_{\mathrm{air}} = 1/f_{\mathrm{air}} = 180\text{ s} est nettement plus court que \tau_{\mathrm{sed}} = 1000\text{ s}). L'aération est donc un levier majeur de réduction du risque de transmission aéroportée.

D'après les hypothèses du modèle, les gouttelettes et donc les virus sont répartis uniformément dans tout le volume V de la pièce. La concentration volumique moyenne en virus dans l'air s'écrit :

À chaque inspiration, une personne absorbe un volume d'air V_{\mathrm{resp}}. Le nombre moyen de virus inhalés par cycle respiratoire est donc :

La personne effectuant f_{\mathrm{resp}} inspirations par unité de temps, le débit moyen de virus inhalés \dot{N}_{\mathrm{resp}} est donné par le produit :

Application numérique : Avec les données fournies :

• V = 20 \times 2 = 40\text{ m}^3 ;
• V_{\mathrm{resp}} = 0{,}5\text{ L} = 0{,}5 \times 10^{-3}\text{ m}^3 ;
• f_{\mathrm{resp}} = 20\text{ min}^{-1} ;
• N_{\mathrm{vir}} = 10^4.

Le calcul donne :

D'après les questions 1 et 2, le nombre moyen de virus en suspension dans la pièce à l'état stationnaire est directement proportionnel à la fréquence d'émission f_{\mathrm{em}} de la personne infectée :

Le port du masque par la personne infectée réduit la fréquence d'émission à f'_{\mathrm{em}} = \eta_{\mathrm{em}} f_{\mathrm{em}}, si bien que le nombre moyen de virus en suspension devient :

Par ailleurs, le port du masque par la personne saine filtre une fraction des virus présents dans le volume d'air inspiré, réduisant le flux inhalé d'un facteur supplémentaire \eta_{\mathrm{resp}}. D'après l'expression établie à la question 6, le nombre moyen de virus inhalés par unité de temps s'écrit alors :

soit :

Application numérique : Avec \eta_{\mathrm{em}} = \eta_{\mathrm{resp}} = 0{,}5 et \dot{N}_{\mathrm{resp}} = 2{,}5\text{ min}^{-1} d'après la question 6 :

En conservant deux chiffres significatifs :

À débit d'inhalation \dot{N}_{\mathrm{resp}} constant, le nombre cumulé de virus inhalés après une durée T vaut N_{\mathrm{inh}} = \dot{N}_{\mathrm{resp}}\, T. Le temps moyen nécessaire pour atteindre le seuil infectieux N^\star_{\mathrm{resp}} est donc :

1. Condition sans aération et sans masque : D'après la question 6, le débit d'inhalation vaut \dot{N}_{\mathrm{resp}} = 2{,}5\text{ min}^{-1} pour N_{\mathrm{vir}} = 10^4. On en déduit :

2. Condition avec aération (f_{\mathrm{air}} = 20\text{ h}^{-1}) et masques : Le port du masque par l'émetteur et le récepteur introduit un facteur multiplicatif \eta_{\mathrm{em}}\eta_{\mathrm{resp}} sur le débit inhalé (question 7). Par ailleurs, le renouvellement de l'air divise le nombre de virus en suspension par un facteur 1 + f_{\mathrm{air}}\tau_{\mathrm{sed}} (question 4). Le nouveau débit d'inhalation s'écrit donc :

Le temps d'exposition nécessaire pour atteindre le seuil devient ainsi :

Avec \tau_{\mathrm{sed}} = 10^3\text{ s} = \frac{1000}{3600}\text{ h} = \frac{5}{18}\text{ h} et f_{\mathrm{air}} = 20\text{ h}^{-1} :

Avec \eta_{\mathrm{em}} = \eta_{\mathrm{resp}} = 0{,}5, soit \frac{1}{\eta_{\mathrm{em}}\eta_{\mathrm{resp}}} = 4 :

Compte tenu de la précision des données, on retient :

On étudie la gouttelette de masse m et de rayon R, assimilée à un point matériel, dans le référentiel terrestre \mathcal{R}(\mathrm{O}, x, y, z) supposé galiléen.

La gouttelette sphérique est constituée d'eau de masse volumique \rho, d'où sa masse :

Elle est soumise à deux forces (la poussée d'Archimède étant négligée selon l'énoncé) :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = -mg\,\vec{e}_z ;
• la force de traînée visqueuse de Stokes : \vec{F}_{\mathrm{v}} = -6\pi\eta R\vec{v}.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En divisant par m :

Or, le rapport \dfrac{m}{6\pi\eta R} s'écrit :

L'équation vectorielle devient donc :

Par projection sur les axes (\mathrm{O}x) et (\mathrm{O}z), on obtient les équations différentielles scalaires vérifiées par v_x et v_z :

Signification physique : \tau^\star représente le temps de relaxation visqueuse de la gouttelette (durée caractéristique du régime transitoire). C'est l'échelle de temps au bout de laquelle la composante horizontale de la vitesse s'amortit significativement (extinction de l'inertie initiale) et la vitesse verticale de chute s'approche de sa vitesse limite permanente.

Lorsque la gouttelette atteint sa vitesse limite de chute, son accélération s'annule : \dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0.

D'après l'équation différentielle établie à la question Q9 :

On en déduit immédiatement la composante verticale limite :

La valeur absolue de cette vitesse limite s'écrit donc :

Applications numériques :

• Pour R = 20\text{ }\mu\mathrm{m} = 2{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} :

  |v_z^\star| = \frac{2 \times 10^3 \times 10 \times (2{,}0 \times 10^{-5})^2}{9 \times 2 \times 10^{-5}} = \frac{4}{90}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 4{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 4{,}4\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1}
  \boxed{|v_z^\star|_{R=20\,\mu\text{m}} \simeq 4{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour R = 100\text{ }\mu\mathrm{m} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} : Comme |v_z^\star| \propto R^2, le rayon étant multiplié par 5, la vitesse limite est multipliée par 5^2 = 25 :

  |v_z^\star| = 25 \times \frac{4}{90}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = \frac{10}{9}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \simeq 1{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
  \boxed{|v_z^\star|_{R=100\,\mu\text{m}} \simeq 1{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

La formule de Stokes \vec{F}_{\mathrm{v}} = -6\pi\eta R\vec{v} modélise la traînée visqueuse en régime d'écoulement rampant, c'est-à-dire lorsque les forces d'inertie du fluide sont négligeables devant les forces visqueuses. Ce régime est caractérisé par un nombre de Reynolds :

où D = 2R est la dimension caractéristique de la gouttelette (son diamètre) et v sa vitesse par rapport à l'air.

En considérant la vitesse limite de chute |v_z^\star| calculée à la question Q10 :

• Pour R = 20\text{ }\mu\text{m}, avec |v_z^\star| \simeq 4{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

  \begin{aligned} Re &= \frac{2 \times 1 \times 4{,}4 \times 10^{-2} \times 20 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-5}} = 8{,}8 \times 10^{-2} \simeq 0{,}09 \end{aligned}

  On a Re \ll 1 : la relation de Stokes est pleinement justifiée.

• Pour R = 100\text{ }\mu\text{m}, avec |v_z^\star| \simeq 1{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

  \begin{aligned} Re &= \frac{2 \times 1 \times 1{,}1 \times 100 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-5}} = 11 \end{aligned}

  On a Re > 1 : les forces d'inertie du fluide ne sont plus négligeables devant les forces visqueuses. La relation de Stokes cesse d'être rigoureusement valable (il faudrait introduire une traînée non linéaire, intermédiaire entre le régime visqueux et le régime quadratique de Newton).

D'après l'équation différentielle établie à la question Q9, la composante horizontale de la vitesse vérifie :

Avec la condition initiale v_x(0) = v_0, l'évolution temporelle de v_x s'écrit :

En intégrant entre t = 0 (où x(0) = 0) et un instant t, on obtient la position horizontale :

L'altitude de lancer étant supposée suffisante pour que la gouttelette atteigne sa portée horizontale avant de toucher le sol, la distance horizontale maximale parcourue x^\star correspond à la limite lorsque t \gg \tau^\star :

Applications numériques :

La vitesse initiale est v_0 = 100\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

En réutilisant les valeurs de \tau^\star = |v_z^\star|/g issues de la question Q10 :

• Pour R = 20\text{ }\mu\mathrm{m} :

  \tau^\star \simeq 4{,}4 \times 10^{-3}\text{ s} \implies x^\star = 1{,}0 \times 4{,}4 \times 10^{-3} = 4{,}4 \times 10^{-3}\text{ m}
  \boxed{x^\star(20\text{ }\mu\mathrm{m}) \simeq 4{,}4\text{ mm}}

• Pour R = 100\text{ }\mu\mathrm{m} :

  \tau^\star \simeq 0{,}11\text{ s} \implies x^\star = 1{,}0 \times 0{,}11 = 0{,}11\text{ m}
  \boxed{x^\star(100\text{ }\mu\mathrm{m}) \simeq 11\text{ cm}}

En négligeant la phase transitoire (ce qui est justifié puisque la durée du transitoire \tau^\star \ll 1\text{ s} est très inférieure au temps de chute), la gouttelette se déplace selon la verticale à la vitesse limite constante :

Par intégration temporelle avec la condition initiale z(0) = z_0, l'altitude de la gouttelette s'écrit :

Le temps de sédimentation \tau_{\mathrm{sed}}^{(0)} correspond à l'instant où la gouttelette atteint le sol (z = 0) :

D'où l'expression recherchée :

Applications numériques : Avec z_0 = 2\text{ m} et les vitesses limites obtenues à la question Q10 :

• Pour R = 20\text{ }\mu\mathrm{m}, |v_z^\star| \simeq 4{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (soit \frac{4}{9} \times 10^{-1}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) :

  \tau_{\mathrm{sed}}^{(0)}(20\text{ }\mu\mathrm{m}) = \frac{2}{\frac{4}{9} \times 10^{-1}} = \frac{18}{0{,}4} = \mathbf{45\text{ s}}

• Pour R = 100\text{ }\mu\mathrm{m}, |v_z^\star| \simeq 1{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (soit \frac{10}{9}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) :

  \tau_{\mathrm{sed}}^{(0)}(100\text{ }\mu\mathrm{m}) = \frac{2}{\frac{10}{9}} = \frac{18}{10} = \mathbf{1{,}8\text{ s}}

Rôle de l'évaporation : La valeur de référence de la question Q3 est \tau_{\mathrm{sed}} \simeq 10^3\text{ s} \approx 17\text{ min}, ce qui est bien supérieur aux 45\text{ s} calculées en l'absence d'évaporation. En s'évaporant dans un air non saturé en eau, la gouttelette voit son rayon R décroître continûment. Or, la vitesse limite de chute est proportionnelle au carré du rayon :

Au fur et à mesure que la gouttelette rétrécit, sa vitesse de chute chute drastiquement. Elle se transforme en un résidu d'aérosol microscopique qui reste en suspension beaucoup plus longtemps, ce qui justifie un temps de séjour effectif \tau_{\mathrm{sed}} considérablement plus long.

Considérons une tranche d'espace fixe (volume de contrôle mésoscopique) délimitée par les plans perpendiculaires à l'axe (Ox) d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, d'aire transverse S. Le volume élémentaire vaut :

Le nombre de gouttelettes contenues dans ce volume à l'instant t s'écrit :

Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation du nombre de gouttelettes est :

En l'absence de création ou de destruction de gouttelettes au sein du volume élémentaire (pas de réactions ni de dépôts internes), cette variation est uniquement due aux échanges de matière à travers les frontières :

• en x, le nombre de gouttelettes entrant dans la tranche pendant \mathrm{d}t est :

  \delta N_{\mathrm{entrant}} = j_x(x, t)\,S\,\mathrm{d}t

• en x + \mathrm{d}x, le nombre de gouttelettes sortant de la tranche pendant \mathrm{d}t est :

  \delta N_{\mathrm{sortant}} = j_x(x + \mathrm{d}x, t)\,S\,\mathrm{d}t

Le bilan de matière s'écrit donc :

Un développement de Taylor à l'ordre un donne :

On obtient ainsi :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on aboutit à l'équation locale de conservation :

Considérons une surface élémentaire plane \mathrm{d}S, orientée par le vecteur normal unitaire \vec{n}, située au point \vec{r} à l'instant t. Les gouttelettes sont entraînées par le champ de pesanteur avec la vitesse constante d'advection :

Pendant l'intervalle de temps élémentaire \mathrm{d}t, les gouttelettes qui traversent la surface \mathrm{d}S dans le sens de \vec{n} sont exactement celles qui se trouvaient initialement à l'intérieur du cylindre élémentaire de base \mathrm{d}S et de génératrice \vec{v}\,\mathrm{d}t.

Le volume de ce cylindre vaut :

La concentration c(\vec{r}, t) étant supposée uniforme à l'échelle mésoscopique du volume \mathrm{d}^2V, le nombre de gouttelettes traversant \mathrm{d}S pendant \mathrm{d}t s'écrit :

Le flux particulaire algébrique \mathrm{d}\Phi_{\mathrm{A}} à travers \mathrm{d}S s'exprime donc par :

Par définition du vecteur densité de flux de particules \vec{j}_{\mathrm{A}}, défini par \mathrm{d}\Phi_{\mathrm{A}} = \vec{j}_{\mathrm{A}}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S, on identifie :

En introduisant l'expression de la vitesse verticale \vec{v} = v_z^\star \vec{e}_z, on obtient :

La densité de flux volumique totale de gouttelettes s'écrit comme la somme de la contribution diffusive et de la contribution advective :

En utilisant la loi de Fick (équation (6)) et le résultat de la question 15, il vient :

Calculons la divergence de cette densité de flux par linéarité :

• Pour le terme de diffusion, le coefficient D_R étant supposé uniforme, la relation (7) donne :

  \mathrm{div}\,\vec{j}_{\mathrm{D}} = \mathrm{div}\left(-D_R \vec{\mathrm{grad}}\,c\right) = -D_R\,\mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}\,c) = -D_R\,\Delta c

• Pour le terme d'advection, la vitesse v_z^\star étant constante dans l'espace :

  \mathrm{div}\,\vec{j}_{\mathrm{A}} = \frac{\partial}{\partial z}\left(c\,v_z^\star\right) = v_z^\star\,\frac{\partial c}{\partial z}

La divergence totale est donc :

En reportant cette expression dans l'équation de bilan local (5), \dfrac{\partial c}{\partial t} = -\mathrm{div}\,\vec{j}, on obtient l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la concentration c(\vec{r}, t) :

que l'on peut également écrire sous la forme \dfrac{\partial c}{\partial t} = D_R \Delta c - v_z^\star \dfrac{\partial c}{\partial z}.

À une échelle spatiale caractéristique z, les ordres de grandeur spatiaux des termes d'advection et de diffusion intervenant dans l'équation régissant la concentration (question Q16) s'écrivent :

La diffusion domine l'advection dès lors que :

La distance caractéristique cherchée est donc :

D'après la relation de Stokes-Einstein (équation (4)) :

Par ailleurs, à la vitesse limite de sédimentation, le poids compense exactement la traînée de Stokes (la poussée d'Archimède étant négligée) :

En effectuant le rapport des deux grandeurs, le facteur de friction hydrodynamique 6\pi\eta R se simplifie :

Analyse du résultat : Cette longueur z_\star correspond à l'altitude pour laquelle l'énergie potentielle de pesanteur d'une gouttelette compense l'énergie d'agitation thermique :

Il s'agit précisément de la hauteur d'échelle (ou longueur de sédimentation) apparaissant dans le facteur de Boltzmann d'une atmosphère isotherme, \exp\left(-\frac{mgz}{k_{\mathrm{B}}T}\right) = \exp\left(-\frac{z}{z_\star}\right). Pour des altitudes inférieures à z_\star, l'agitation thermique empêche la sédimentation et homogénéise la répartition des particules.

Application numérique : Pour une gouttelette de rayon R = 1\text{ }\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m}, avec \pi = 3 et \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} :

Avec g = 10\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-2} et k_{\mathrm{B}}T = 4 \times 10^{-21}\text{ J} :

D'après la question Q17, la diffusion ne domine l'advection que sur des distances spatiales caractéristiques inférieures à la hauteur d'échelle :

Pour R = 1\text{ }\mu\text{m}, nous avons obtenu z_\star = 10^{-7}\text{ m} = 0{,}1\text{ }\mu\text{m}.

Dans la partie 1.2, les gouttelettes étudiées ont des rayons bien supérieurs, typiquement R = 20\text{ }\mu\text{m} et R = 100\text{ }\mu\text{m}, et évoluent sur une hauteur de chute z_0 = 2\text{ m} :

• Pour R = 20\text{ }\mu\text{m} :

  z_\star(20\text{ }\mu\text{m}) = \frac{z_\star(1\text{ }\mu\text{m})}{20^3} = \frac{10^{-7}}{8\times 10^3} \simeq 1{,}2 \times 10^{-11}\text{ m}
• Pour R = 100\text{ }\mu\text{m} : z_\star(100\text{ }\mu\text{m}) \simeq 10^{-13}\text{ m}.

Ces échelles spatiales sont d'ordre sub-nanométrique, voire inframoléculaire, et sont totalement négligeables devant la hauteur de chute macroscopique z_0 = 2\text{ m} (z_\star \ll z_0). L'advection gravitaire gouverne ainsi entièrement le mouvement vertical des gouttelettes.

Le préfacteur numérique sans dimension K peut être déterminé en utilisant le principe de conservation du nombre total de gouttelettes (ou conservation de la matière) au cours du temps.

En l'absence de parois (espace supposé infini) et en négligeant les pertes (évaporation ou réactions), les M gouttelettes émises initialement en (0,0,z_0) restent toutes présentes dans le milieu. À chaque instant t > 0, l'intégrale de la concentration volumique c(x,y,z,t) étendue à tout l'espace doit donc être égale au nombre total de gouttelettes M :

Cette condition de normalisation (analogue à celle d'une densité de probabilité gaussienne tridimensionnelle) conduit à l'intégration d'une gaussienne selon les trois directions de l'espace, ce qui fixe de manière univoque la valeur de la constante K (on trouverait K = \pi^{-3/2}).

D'après l'expression de la concentration (équation (8)), à l'altitude z = z_0 et à l'instant t = \tau_{\mathrm{sed}}, la fonction F s'écrit, avec r^2 = x^2 + y^2 et a_{\mathrm{sed}} = a(\tau_{\mathrm{sed}}) :

La concentration au sein de la bague élémentaire vaut donc :

Le nombre de gouttelettes \mathrm{d}^2N contenues dans la bague de volume \mathrm{d}^2V = 2\pi r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z s'exprime ainsi :

Pour trouver le rayon r_\star maximisant \mathrm{d}^2N à \mathrm{d}r et \mathrm{d}z fixés, étudions la fonction f(r) = r \exp\left(-r^2/a_{\mathrm{sed}}^2\right). Sa dérivée par rapport à r vaut :

La dérivée s'annule pour un unique rayon strictement positif :

Comme a_{\mathrm{sed}} = 2\sqrt{D_R \tau_{\mathrm{sed}}}, on obtient :

En adoptant l'expression de \tau_{\mathrm{sed}}^{(0)} = \frac{z_0}{g\tau^\star} (équation (3)) avec \tau^\star = \frac{2\rho R^2}{9\eta} (équation (2)) et la relation de Stokes-Einstein D_R = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{6\pi\eta R} (équation (4)) :

La masse d'une gouttelette sphérique étant m = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho, on reconnaît la distance caractéristique z_\star = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{mg} établie à la question Q17 :

Soit r_\star(z_0) = \sqrt{2z_\star z_0}. La dépendance de r_\star en fonction de l'altitude initiale z_0 présente une allure parabolique caractéristique d'un phénomène diffusif.

Commentaire : Plus l'altitude initiale z_0 est grande, plus le temps de chute par sédimentation \tau_{\mathrm{sed}}^{(0)} \propto z_0 est long. Le processus de diffusion dispose ainsi de davantage de temps pour étaler radialement les gouttelettes, ce qui conduit à une portée transversale maximale r_\star \propto \sqrt{\tau_{\mathrm{sed}}} \propto \sqrt{z_0}.

D'après l'équation (9) établie à la question 20, le rayon r_\star où le nombre de gouttelettes dans la bague est maximal vérifie :

À la question 17, pour une gouttelette de rayon R = 1\text{ }\mu\mathrm{m} à la température telle que k_{\mathrm{B}}T = 4\times 10^{-21}\text{ J}, la hauteur d'échelle a été déterminée comme valant :

Pour une altitude initiale de lâcher z_0 = 2\text{ m}, on en déduit :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Analyse du résultat :

• Le rayon r_\star représente l'étalement horizontal typique par diffusion brownienne pendant toute la durée de la sédimentation (chute depuis z_0 = 2\text{ m}).
• La valeur obtenue est inférieure au millimètre pour R = 1\text{ }\mu\mathrm{m}, et serait encore plus faible pour des gouttelettes plus massives de 20\text{ }\mu\mathrm{m} (puisque r_\star \propto R^{-3/2}).
• La diffusion thermique des gouttelettes dans l'air est donc totalement négligeable pour assurer leur dispersion dans une pièce : le mélange et la propagation des aérosols à l'échelle métrique sont exclusivement dominés par les mouvements d'air convectifs et turbulents (ventilation, déplacements des personnes).

Dans le cadre de l'approximation quasi-stationnaire, la dépendance temporelle explicite de la concentration est négligée devant la diffusion spatiale :

L'équation de diffusion (10) devient alors une équation différentielle ordinaire sur c_{\mathrm{w}}(r) :

Le coefficient de diffusion D_{\mathrm{w}} étant non nul, on intègre une première fois par rapport à r :

Une seconde intégration conduit à :

La condition aux limites à grande distance de la gouttelette impose :

En posant C_1 = -c_0 b (ou en conservant une constante additive A = -C_1), l'expression de la concentration s'écrit :

où la constante b (ou A) reste à déterminer à l'aide des conditions à la surface de la gouttelette.

Dans l'air ambiant entourant la gouttelette, la diffusion de la vapeur d'eau est régie par la première loi de Fick :

Compte tenu de la symétrie sphérique du problème, le gradient s'écrit selon le vecteur unitaire radial \vec{e}_r :

À partir de l'expression de la concentration donnée par l'équation (11) :

La densité de flux de diffusion en tout point r \ge R s'écrit donc :

En évaluant cette grandeur à la surface de la gouttelette, en r = R, on obtient :

À la surface de la gouttelette (r = R), la densité de flux net de molécules d'eau quittant la phase liquide résulte de la superposition du flux d'évaporation et du flux de condensation :

Puisque \vec{j}_\mathrm{w}(R) est précisément la densité de flux net d'évaporation alimentant la diffusion dans l'air, la continuité du flux particulaire à l'interface impose :

D'après la question 23, la densité de flux de diffusion s'écrit \vec{j}_\mathrm{w}(R) = \dfrac{D_\mathrm{w} c_0 b}{R^2} \vec{e}_r. De plus, d'après l'équation (11), la concentration de vapeur à la surface s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire radial \vec{e}_r, on obtient :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

Le flux J de molécules d'eau traversant algébriquement la surface sphérique de la gouttelette vers le milieu extérieur est le flux de \vec{j}_\mathrm{w}(R) à travers la sphère de rayon R, orientée par la normale sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{e}_r :

En substituant l'expression de \dfrac{c_0 b}{R^2} obtenue précédemment, il vient :

D'après le résultat de la question 24, l'expression générale du flux net de molécules d'eau quittant la gouttelette est :

À l'équilibre entre la phase liquide et la vapeur d'eau saturante, la concentration à l'infini vaut c_0 = c_{\mathrm{vs}} et le flux net d'évaporation est nul (J = 0). Cela implique la compensation exacte des cinétiques d'évaporation et de condensation :

Par définition de l'humidité relative, on a H = \dfrac{c_0}{c_{\mathrm{vs}}}, d'où c_0 = H\,c_{\mathrm{vs}}. En substituant cette relation et l'égalité précédente au numérateur, il vient :

On en déduit immédiatement la forme annoncée pour le flux J :

D'après le résultat de la question précédente (équation (13)), le flux net de molécules d'eau traversant la surface de la gouttelette s'écrit :

Comparons les deux termes intervenant au dénominateur, à savoir D_{\mathrm{w}} et k_{\mathrm{c}}R.

Avec les données de l'énoncé :

• D_{\mathrm{w}} = 2 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• k_{\mathrm{c}} \simeq 370\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• R \ge 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}.

Pour la plus petite taille de gouttelettes considérée (R = 1\,\mu\text{m}) :

Le rapport entre ces deux termes vaut ainsi :

Pour des gouttelettes usuelles de rayon R = 20\,\mu\text{m}, ce rapport dépasse 350. Le terme D_{\mathrm{w}} est donc tout à fait négligeable devant k_{\mathrm{c}}R au dénominateur :

En injectant cette approximation dans l'expression de J, les facteurs k_{\mathrm{c}} et un facteur R se simplifient :

d'où l'expression approchée recherchée :

Considérons une gouttelette sphérique de rayon R(t). Son volume est :

Le volume effectif occupé par une molécule d'eau étant noté v_{\mathrm{w}}, le nombre total de molécules d'eau contenues dans la gouttelette s'écrit :

Par définition, le flux J représente le nombre net de molécules d'eau quittant la gouttelette par unité de temps vers le milieu extérieur (question Q26). Le bilan de matière sur la gouttelette s'écrit donc :

En dérivant l'expression de N_{\mathrm{eau}}(t) par rapport au temps, on obtient :

En utilisant l'expression du flux J obtenue à la question Q26 :

l'égalité du bilan devient :

En simplifiant par 2\pi R et en multipliant par v_{\mathrm{w}}, il vient :

En introduisant le coefficient \theta = 2v_{\mathrm{w}}D_{\mathrm{w}}c_{\mathrm{vs}}, on aboutit à l'équation différentielle recherchée :

D'après l'équation (15) établie à la question précédente :

Le second membre étant constant au cours du temps, on intègre directement cette relation entre 0 et t :

ce qui conduit à :

Le rayon d'une gouttelette étant une grandeur positive, on en déduit pour tout instant t antérieur à la disparition complète de la goutte :

D'après la question 28, l'évolution temporelle du rayon de la gouttelette d'eau pure est régie par :

L'évaporation est complète lorsque le rayon s'annule, soit R(\tau_{\mathrm{max}}) = 0, ce qui équivaut à :

On en déduit l'expression du temps d'évaporation maximale :

Calculons au préalable la valeur numérique du paramètre \theta = 2v_{\mathrm{w}}D_{\mathrm{w}}c_{\mathrm{vs}} avec les données de l'introduction :

• v_{\mathrm{w}} = 1 \times 10^{-29}\text{ m}^3 ;
• D_{\mathrm{w}} = 2 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• c_{\mathrm{vs}} = 1 \times 10^{24}\text{ m}^{-3}.

Pour R(0) = 20\text{ }\mu\text{m} = 2{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} et H = 0{,}5, on obtient :

Le soluté n'étant pas volatil, seule l'eau s'évapore. La variation temporelle du volume V(t) = \frac{4}{3}\pi R^3(t) de la gouttelette est due à la perte de molécules d'eau, chaque molécule occupant un volume effectif v_{\mathrm{w}} :

En substituant l'expression de J(t) fournie par l'équation (16) avec f(t) = \frac{R(0)^3}{R(t)^3} :

En simplifiant par 2\pi R et en introduisant la constante \theta = 2v_{\mathrm{w}} D_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{vs}} définie à la question Q27 :

En factorisant par (1 - H) au membre de droite (avec H < 1) :

En divisant les deux membres par le terme entre crochets, on obtient l'équation différentielle souhaitée :

avec :

L'équation différentielle (17) s'écrit sous la forme :

Comparons cette équation à celle régissant l'évaporation de l'eau pure (question Q27), \left.\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{pure}} = -\frac{\theta(1-H)}{2R} :

• Condition initiale et régime initial : À t = 0, R = R(0). Comme la fraction volumique initiale en soluté est très faible (\phi_0 \ll 1), on a R_{\mathrm{ev}} \ll R(0), de sorte que 1 - R_{\mathrm{ev}}^3/R(0)^3 \approx 1. La pente initiale est donc négative et pratiquement identique à celle de l'eau pure :

  \left.\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} \approx -\frac{\theta(1-H)}{2R(0)} = -\frac{R(0)}{2\tau_{\max}}
• Vitesse d'évaporation : Tant que R > R_{\mathrm{ev}}, le facteur correctif vérifie 0 < 1 - \frac{R_{\mathrm{ev}}^3}{R^3} < 1. La vitesse de régression du rayon \left|\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}\right| est donc à tout instant strictement inférieure à celle d'une gouttelette d'eau pure de même rayon : le rayon diminue plus lentement et la courbe avec soluté reste strictement au-dessus de celle de l'eau pure pour tout t > 0.

• Comportement asymptotique : Lorsque R(t) se rapproche de R_{\mathrm{ev}}, le facteur 1 - R_{\mathrm{ev}}^3/R^3 tend vers 0, d'où :

  \lim_{R \to R_{\mathrm{ev}}^+} \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} = 0

  Le rayon ne s'annule jamais : la droite horizontale R = R_{\mathrm{ev}} constitue une asymptote horizontale pour la solution au voisinage de laquelle le rayon se stabilise pour t \to +\infty.

• Comparaison avec l'eau pure : Pour l'eau pure, R(t) = R(0)\sqrt{1 - t/\tau_{\max}} s'annule en t = \tau_{\max} avec une tangente verticale (\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} \to -\infty). Avec soluté, la gouttelette subsiste bien au-delà de \tau_{\max}.

Interprétation du rayon R_{\mathrm{ev}} :

• R_{\mathrm{ev}} représente le rayon d'équilibre (ou rayon résiduel) de la gouttelette.
• Au fur et à mesure que l'eau s'évapore, la fraction de soluté (sels minéraux, protéines, virions) augmente, ce qui réduit l'activité chimique de l'eau au sein de la solution et donc la pression de vapeur saturante d'équilibre à l'interface (loi de Raoult).
• Lorsque le rayon atteint R_{\mathrm{ev}}, le flux net d'évaporation s'annule (J = 0) : l'eau de la gouttelette est en équilibre hygrométrique avec l'humidité relative H de l'air ambiant. L'évaporation cesse et la gouttelette subsiste indéfiniment sous la forme d'un « résidu sec » (aérosol ou droplet nucleus).

D'après le résultat de la question Q30, le rayon final de la gouttelette après évaporation partielle s'exprime par :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• R(0) = 20\text{ }\mu\mathrm{m} ;
• \phi_0 = 0{,}01 = 10^{-2} ;
• H = 0{,}5, d'où 1 - H = 0{,}5.

Le rapport volumique à l'équilibre vaut :

En prenant la racine cubique :

Sachant que 2{,}7^3 = 19{,}683 \simeq 20, on a 20^{1/3} \simeq 2{,}7, soit :

On en déduit la valeur du rayon d'équilibre :

(ou \simeq 5\text{ }\mu\mathrm{m} en ordre de grandeur).

Le temps \tau_{\mathrm{ev}} correspond à l'instant où le rayon de la gouttelette atteint le rayon d'équilibre R_{\mathrm{ev}} :

En utilisant la loi d'évolution approchée (18) :

En élevant au carré, il vient :

D'après la question 30, le rayon d'équilibre s'exprime selon :

On en déduit immédiatement :

Soit finalement :

D'après l'énoncé, la vitesse verticale de la gouttelette s'adapte instantanément à l'évolution de son rayon selon l'équation (19) :

En utilisant la solution approchée (18), on a :

La variation d'altitude \Delta z_{\mathrm{ev}} = z_{\mathrm{ev}} - z_0 subie par la gouttelette entre t = 0 et l'instant \tau_{\mathrm{ev}} où son rayon atteint R_{\mathrm{ev}} s'écrit donc :

Effectuons le changement de variable u = 1 - \dfrac{t}{\tau_{\mathrm{max}}}, d'où \mathrm{d}t = -\tau_{\mathrm{max}}\,\mathrm{d}u. Les bornes d'intégration deviennent :

• à t = 0, u = 1 ;
• à t = \tau_{\mathrm{ev}}, en utilisant l'équation (18), u = \dfrac{R(\tau_{\mathrm{ev}})^2}{R(0)^2} = \left(\dfrac{R_{\mathrm{ev}}}{R(0)}\right)^2 = Q^2.

L'intégrale devient alors :

Par identification avec la relation (20) de l'énoncé, \Delta z_{\mathrm{ev}} = -\Delta_0\left(1 - Q^4\right), on obtient l'expression de \Delta_0 :