Feuille d'entraînement : Électrostatique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2022, Q36

   D'après l'équation (22) donnée par l'énoncé, le potentiel électrostatique V(r) présente deux comportements distincts selon la zone considérée :

   • Pour r \in [0, R_{\mathrm{v}}], le potentiel est strictement uniforme et constant :

     V(r) = \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\varepsilon}

   • En r = R_{\mathrm{v}}, le potentiel est continu :

     \lim_{r \to R_{\mathrm{v}}^-} V(r) = \lim_{r \to R_{\mathrm{v}}^+} V(r) = \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\varepsilon}

   • Pour r \in [R_{\mathrm{v}}, +\infty[, le potentiel décroît hyperboliquement en 1/r et tend vers 0 lorsque r \to +\infty :

     V(r) = \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}^2}{\varepsilon r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r}

   En outre, la dérivée radiale \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = -E(r) passe d'une valeur nulle pour r < R_{\mathrm{v}} à une valeur strictement négative pour r > R_{\mathrm{v}} :

   \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right)_{R_{\mathrm{v}}^-} = 0 \quad \text{et} \quad \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right)_{R_{\mathrm{v}}^+} = -\frac{\sigma}{\varepsilon}

   La courbe présente donc un point anguleux en r = R_{\mathrm{v}}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2022, Q40

   L'équation de Poisson-Boltzmann (26) s'écrit :

   \Delta V(r) = \frac{2e c_\infty}{\varepsilon} \sinh\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Sous l'hypothèse \left|\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right| \ll 1, le développement limité au premier ordre de la fonction sinus hyperbolique au voisinage de zéro donne :

   \sinh\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \simeq \frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}

   L'équation (26) devient alors :

   \Delta V(r) \simeq \frac{2e^2 c_\infty}{\varepsilon k_{\mathrm{B}}T}\,V(r)

   Par identification directe avec l'équation de Debye-Hückel \Delta V(r) = \kappa^2 V(r) et sachant que \kappa > 0, on obtient :

   \boxed{\kappa = \sqrt{\frac{2e^2 c_\infty}{\varepsilon k_{\mathrm{B}}T}}}

   L'opérateur laplacien scalaire \Delta fait intervenir des dérivées spatiales secondes :

   [\Delta] = [\mathrm{L}]^{-2}

   Par homogénéité de l'équation \Delta V(r) = \kappa^2 V(r), on a :

   [\kappa^2] = [\mathrm{L}]^{-2} \implies [\kappa] = [\mathrm{L}]^{-1}

   \boxed{\kappa \text{ a la dimension de l'inverse d'une longueur, soit } [\kappa] = [\mathrm{L}]^{-1} \text{ (en }\mathrm{m}^{-1}\text{).}}

   Résultat

   $$\kappa =\sqrt{\frac{2e^2{c}_{\infty }}{\epsilon k_{\mathrm{B}}T}}$$

   $$\kappa \text{ a la dimension de l’inverse d’une longueur, soit }[\kappa ]=[\mathrm{L}{]}^{-1}\text{ (en }{\mathrm{m}}^{-1}\text{).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2022, Q37

   D'après la définition de la densité surfacique de charge \sigma donnée dans le préambule de la partie 2, la charge électrique totale portée par la coque sphérique de rayon R_{\mathrm{v}} vaut :

   Q = 4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma

   Par ailleurs, l'évaluation du potentiel électrostatique à la surface de la coque (r = R_{\mathrm{v}}), à partir de l'expression (22) établie à la question précédente, donne :

   V(R_{\mathrm{v}}) = \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\varepsilon}

   En substituant ces deux grandeurs dans la relation (23) fournie pour l'énergie électrostatique, on obtient :

   \begin{aligned} U_{\mathrm{elec}} &= \frac{1}{2} Q V(R_{\mathrm{v}}) \\ &= \frac{1}{2} \left( 4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma \right) \left( \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\varepsilon} \right) \end{aligned}

   D'où l'expression finale de l'énergie électrostatique :

   \boxed{U_{\mathrm{elec}} = \frac{2\pi \sigma^2 R_{\mathrm{v}}^3}{\varepsilon}}

   Résultat

   $$U_{\mathrm{elec}}=\frac{2\pi {\sigma }^2{R}_{\mathrm{v}}^3}{\epsilon }$$

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4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2022, Q38

   D'après la question Q37 et la relation (24) de l'énoncé, l'énergie totale du virus s'écrit :

   U_{\mathrm{tot}}(R_{\mathrm{v}}) = U_{\mathrm{elec}} + U_{\mathrm{hp}} = \frac{2\pi \sigma^2}{\varepsilon} R_{\mathrm{v}}^3 - \gamma R_{\mathrm{v}}^2

   Pour étudier les variations de U_{\mathrm{tot}} vis-à-vis de R_{\mathrm{v}} \ge 0, dérivons cette fonction par rapport à R_{\mathrm{v}} :

   \frac{\mathrm{d}U_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}R_{\mathrm{v}}} = \frac{6\pi \sigma^2}{\varepsilon} R_{\mathrm{v}}^2 - 2\gamma R_{\mathrm{v}} = 2 R_{\mathrm{v}} \left( \frac{3\pi \sigma^2}{\varepsilon} R_{\mathrm{v}} - \gamma \right)

   Pour R_{\mathrm{v}} > 0, la dérivée s'annule en un point unique :

   R_{\mathrm{v}}^\star = \frac{\gamma \varepsilon}{3\pi \sigma^2}

   Le signe de la dérivée montre que :

   • pour 0 < R_{\mathrm{v}} < R_{\mathrm{v}}^\star, \dfrac{\mathrm{d}U_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}R_{\mathrm{v}}} < 0 : la fonction est strictement décroissante ;
   • pour R_{\mathrm{v}} > R_{\mathrm{v}}^\star, \dfrac{\mathrm{d}U_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}R_{\mathrm{v}}} > 0 : la fonction est strictement croissante.

   L'énergie totale admet donc un minimum absolu en R_{\mathrm{v}} = R_{\mathrm{v}}^\star. Par ailleurs :

   • U_{\mathrm{tot}}(0) = 0 avec une tangente horizontale à l'origine ;
   • U_{\mathrm{tot}}(R_{\mathrm{v}}) = 0 pour R_{\mathrm{v}} = \dfrac{3}{2} R_{\mathrm{v}}^\star = \dfrac{\gamma \varepsilon}{2\pi \sigma^2} ;
   • U_{\mathrm{tot}}(R_{\mathrm{v}}) \xrightarrow[R_{\mathrm{v}} \to +\infty]{} +\infty.

   Le rayon privilégié R_{\mathrm{v}}^\star est défini comme le rayon qui minimise l'énergie potentielle totale du virus, correspondant à l'état d'équilibre thermodynamique stable de la capside auto-assemblée :

   \boxed{R_{\mathrm{v}}^\star = \frac{\gamma \varepsilon}{3\pi \sigma^2}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{v}}^{\star }=\frac{\gamma \epsilon }{3\pi {\sigma }^2}$$

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5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2022, Q39

   L'équation de Poisson-Boltzmann (26) s'écrit :

   \Delta V(r) = \frac{2ec_\infty}{\varepsilon} \sinh\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   La seule source de non-linéarité réside dans la fonction sinus hyperbolique. Au voisinage de zéro, celle-ci admet le développement limité au premier ordre :

   \sinh(x) \underset{x \to 0}{=} x + \mathcal{O}(x^3)

   L'équation différentielle devient donc linéaire lorsque l'argument du sinus hyperbolique est petit devant l'unité, c'est-à-dire dans la limite :

   \boxed{\left|\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right| \ll 1 \quad \text{soit} \quad |eV(r)| \ll k_{\mathrm{B}}T}

   Dans cette limite, le membre de droite est proportionnel à V(r), et l'équation différentielle prend la forme linéaire :

   \Delta V(r) \simeq \frac{2e^2 c_\infty}{\varepsilon k_{\mathrm{B}}T}\,V(r)

   Résultat

   $$\left|\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right|\ll 1\text{soit}|eV(r)|\ll k_{\mathrm{B}}T$$

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6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2022, Q41

   La solution générale proposée est :

   V(r) = B\,\frac{\exp(\pm \kappa r)}{r}

   Pour que le potentiel tende vers zéro à l'infini (V(r \to +\infty) = 0), le terme exponentiel ne doit pas diverger, ce qui impose de retenir la solution avec le signe négatif :

   V(r) = B\,\frac{\exp(-\kappa r)}{r}

   On en déduit l'expression du produit rV(r) :

   rV(r) = B\exp(-\kappa r)

   Comparaison avec le cas sans ions (c_\infty = 0) : Lorsque c_\infty = 0, on a \kappa = 0 d'après le résultat de la question 40. Le potentiel redevient purement coulombien :

   V(r) = \frac{B}{r} \implies rV(r) = B = \text{Cste}

   Sans espèces ioniques, le produit rV(r) est constant, traduisant la portée infinie de l'interaction coulombienne non écrantée. En présence d'ions, rV(r) décroît exponentiellement avec la distance.

   Interprétation du paramètre \kappa : Le paramètre \kappa est l'inverse d'une longueur caractéristique appelée longueur de Debye (ou longueur d'écrantage de Debye-Hückel) :

   \boxed{\lambda_{\mathrm{D}} = \frac{1}{\kappa}}

   Elle représente l'épaisseur de l'atmosphère ionique entourant la charge centrale et la distance caractéristique sur laquelle les ions en solution parviennent à écranter le champ électrostatique de la macromolécule.

   Influence des espèces ioniques en solution : Les ions en solution se réorganisent sous l'effet du potentiel créé par la coque : les contre-ions (ici les anions de charge -e) sont attirés tandis que les co-ions (les cations +e) sont repoussés. Ce nuage de contre-ions crée un potentiel induit opposé à celui de la charge centrale, conduisant à un écrantage électrostatique exponentiel (potentiel de Yukawa ou Debye-Hückel). Une augmentation de la concentration c_\infty augmente \kappa (\kappa \propto \sqrt{c_\infty}), ce qui réduit la longueur de Debye \lambda_{\mathrm{D}} : l'écrantage devient d'autant plus efficace et le potentiel s'atténue sur une distance plus courte.

   Influence de la température : D'après l'expression \kappa = \sqrt{\dfrac{2e^2 c_\infty}{\varepsilon k_{\mathrm{B}}T}}, \kappa varie comme T^{-1/2}, si bien que :

   \lambda_{\mathrm{D}} \propto \sqrt{T}

   L'agitation thermique s'oppose à la structuration du nuage de contre-ions en favorisant le désordre. Par conséquent, une élévation de température disperse l'atmosphère ionique, diminue l'efficacité de l'écrantage et augmente la portée spatiale du potentiel électrostatique.

   Résultat

   $${\lambda }_{\mathrm{D}}=\frac{1}{\kappa }$$

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7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2022, Q42

   L'absence d'espèces ioniques se traduit par c_\infty = 0, ce qui équivaut d'après l'expression de \kappa établie à la question Q40 à :

   \kappa \to 0 \quad \text{donc} \quad u = \kappa R_{\mathrm{v}} \to 0

   Remarquons d'abord que le dénominateur de W fait intervenir :

   \sinh(u) + \cosh(u) = \mathrm{e}^u \xrightarrow[u \to 0]{} 1

   Le préfacteur W donné par l'équation (30) vérifie donc l'équivalent :

   W = \frac{Q}{4\pi\varepsilon u\,\mathrm{e}^u} \underset{u \to 0}{\sim} \frac{Q}{4\pi\varepsilon u} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon \kappa R_{\mathrm{v}}}

   1. À l'intérieur de la coque (r \in {]0, R_{\mathrm{v}}]}) :

   Pour tout r fixé dans cet intervalle, on a \kappa r \to 0 lorsque \kappa \to 0, d'où \sinh(\kappa r) \sim \kappa r. Le potentiel devient :

   V(r) = W \frac{\sinh(\kappa r)}{r} \underset{\kappa \to 0}{\sim} \frac{Q}{4\pi\varepsilon \kappa R_{\mathrm{v}}} \frac{\kappa r}{r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon R_{\mathrm{v}}}

   En introduisant la densité de charge surfacique \sigma = \frac{Q}{4\pi R_{\mathrm{v}}^2}, soit Q = 4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma, on obtient :

   \lim_{\kappa \to 0} V(r) = \frac{4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma}{4\pi\varepsilon R_{\mathrm{v}}} = \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\varepsilon}

   2. À l'extérieur de la coque (r \in [R_{\mathrm{v}}, +\infty[) :

   Lorsque \kappa \to 0, on a \sinh(u) \sim u et \exp(-\kappa(r - R_{\mathrm{v}})) \to 1. Par conséquent :

   W \sinh(u) \underset{u \to 0}{\sim} \frac{Q}{4\pi\varepsilon u} \cdot u = \frac{Q}{4\pi\varepsilon}

   Le potentiel s'écrit donc à la limite :

   \lim_{\kappa \to 0} V(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} = \frac{4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma}{4\pi\varepsilon r} = \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}^2}{\varepsilon r}

   On retrouve parfaitement les deux expressions du potentiel données par l'équation (22) :

   \boxed{ \lim_{\kappa \to 0} V(r) = \begin{cases} \dfrac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\varepsilon} & \text{pour } r \in [0, R_{\mathrm{v}}] \\[10pt] \dfrac{\sigma R_{\mathrm{v}}^2}{\varepsilon r} & \text{pour } r \in [R_{\mathrm{v}}, +\infty[ \end{cases} }

   La solution avec ions est donc parfaitement cohérente avec la solution sans ions.

   Résultat

   $$\underset{\kappa \to 0}{\lim }V(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sigma R_{\mathrm{v}}}{\epsilon }& \text{pour }r\in [0,R_{\mathrm{v}}]\\ \frac{\sigma R_{\mathrm{v}}^2}{\epsilon r}& \text{pour }r\in [R_{\mathrm{v}},+\infty [\end{array}$$

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8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2022, Q43

   Étudions la fonction V(r) donnée par le système (29) :

   • À l'intérieur de la coque (0 < r \le R_\mathrm{v}) :

     V(r) = W \frac{\sinh(\kappa r)}{r}

     Au voisinage de r = 0, en utilisant le développement limité \sinh(x) = x + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3) :

     V(r) = W \frac{\kappa r + \dfrac{(\kappa r)^3}{6} + o(r^3)}{r} = W \kappa \left( 1 + \frac{\kappa^2 r^2}{6} \right) + o(r^2)

     Le potentiel admet donc une valeur finie en r = 0 :

     V(0) = W \kappa

     De plus, \left.\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right|_{r=0} = 0, ce qui correspond à une tangente horizontale à l'origine.

     Pour tout x > 0, la fonction x \mapsto \dfrac{\sinh x}{x} est strictement croissante car sa dérivée \dfrac{x\cosh x - \sinh x}{x^2} = \dfrac{\cosh x}{x^2}(x - \tanh x) est strictement positive. Par conséquent, V(r) est strictement croissante sur [0, R_\mathrm{v}].

   • À la surface de la coque (r = R_\mathrm{v}) : En posant u = \kappa R_\mathrm{v}, les deux expressions coïncident :

     V(R_\mathrm{v}) = W \frac{\sinh(u)}{R_\mathrm{v}}

     Le potentiel est donc continu en r = R_\mathrm{v}. En revanche, la présence de la nappe surfacique de charge induit une discontinuité de champ électrique radial, d'où un point anguleux (maximum local et global du potentiel).

   • À l'extérieur de la coque (r \ge R_\mathrm{v}) :

     V(r) = W \sinh(u) \frac{\mathrm{e}^{-\kappa(r - R_\mathrm{v})}}{r}

     V(r) est le produit de deux fonctions strictement positives et strictement décroissantes pour r > R_\mathrm{v} ; le potentiel décroît donc strictement vers 0 lorsque r \to +\infty.

   L'allure de la courbe V(r) est représentée ci-dessous :

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9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2022, Q44

   D'après la question Q43, la coque étant chargée positivement (Q > 0, \sigma > 0), le potentiel électrostatique V(r) vérifie les propriétés suivantes :

   • V(r) > 0 en tout point de l'espace ;
   • V(r) présente une tangente horizontale en r=0, croît strictement pour r \in [0, R_{\mathrm{v}}] jusqu'à un maximum en r=R_{\mathrm{v}} ;
   • V(r) décroît strictement vers 0 lorsque r \to +\infty.

   D'après les relations (25) :

   c_+(r) = c_\infty \exp\left(-\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \quad \text{et} \quad c_-(r) = c_\infty \exp\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Puisque V(r) > 0, on a pour tout r \ge 0 :

   c_+(r) < c_\infty < c_-(r)

   L'étude des variations donne :

   • Pour les cations (c_+) : la fonction x \mapsto \exp(-x) étant strictement décroissante, c_+(r) décroît sur [0, R_{\mathrm{v}}] depuis sa valeur centrale c_+(0) < c_\infty (avec tangente horizontale car \left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right|_{0} = 0) jusqu'à un minimum strict en r = R_{\mathrm{v}}, puis croît de manière monotone vers c_\infty lorsque r \to +\infty.
   • Pour les anions (c_-) : la fonction x \mapsto \exp(x) étant strictement croissante, c_-(r) croît sur [0, R_{\mathrm{v}}] depuis sa valeur centrale c_-(0) > c_\infty (avec tangente horizontale) jusqu'à un maximum strict en r = R_{\mathrm{v}}, puis décroît de manière monotone vers c_\infty lorsque r \to +\infty.

   Dans le cadre de l'approximation de Debye-Hückel (\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T} \ll 1), un développement à l'ordre 1 donne :

   c_\pm(r) \simeq c_\infty \left(1 \mp \frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Les deux profils présentent donc une allure quasi symétrique par rapport à la valeur limite c_\infty.

   Commentaires des tracés :

   • Attraction et répulsion électrostatiques : la charge de la coque virale étant positive (Q > 0), les contre-ions (anions de charge -e) sont attirés électrostatiquement vers la membrane, d'où un enrichissement local en anions (c_- > c_\infty) qui culmine précisément à la surface de la coque en r=R_{\mathrm{v}}. À l'inverse, les co-ions (cations de charge +e) sont repoussés par la coque, conduisant à une déplétion (c_+ < c_\infty) avec un minimum à la surface.
   • Écrantage et électroneutralité macroscopique : à grande distance de la coque virale (r \gg R_{\mathrm{v}} + \kappa^{-1}), l'excès d'anions compense exactement la charge positive de la coque : le potentiel s'annule par écrantage de Debye-Hückel, et les deux concentrations convergent vers la concentration homogène c_\infty, garantissant l'électroneutralité de la solution au repos.

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10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2022, Q45

    D'après l'équation , l'énergie électrostatique totale s'écrit :

    U_{\mathrm{elec,tot}} = \frac{1}{2} Q V(R_{\mathrm{v}})

    En utilisant la continuité du potentiel en r = R_{\mathrm{v}} donnée par le système , on a :

    V(R_{\mathrm{v}}) = W \frac{\sinh(u)}{R_{\mathrm{v}}}

    avec u = \kappa R_{\mathrm{v}} et l'expression de W donnée par :

    W = \frac{Q}{4\pi\varepsilon u \left(\sinh(u) + \cosh(u)\right)} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon u\,\mathrm{e}^u}

    Le potentiel à la surface s'écrit donc :

    V(R_{\mathrm{v}}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon R_{\mathrm{v}}} \frac{\sinh(u)}{u\,\mathrm{e}^u}

    Sachant que la charge totale portée par la coque sphérique est Q = 4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma, il vient :

    \begin{aligned} U_{\mathrm{elec,tot}} &= \frac{1}{2} \left(4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma\right) \left(\frac{4\pi R_{\mathrm{v}}^2 \sigma}{4\pi\varepsilon R_{\mathrm{v}}} \frac{\sinh(u)}{u\,\mathrm{e}^u}\right) \\ &= \frac{2\pi \sigma^2 R_{\mathrm{v}}^3}{\varepsilon} \frac{\sinh(u)}{u\,\mathrm{e}^u} \end{aligned}

    En remplaçant u = \kappa R_{\mathrm{v}} et en utilisant \sinh(u) = \frac{\mathrm{e}^u - \mathrm{e}^{-u}}{2}, on obtient :

    \frac{\sinh(u)}{\mathrm{e}^u} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-2u}}{2} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-2\kappa R_{\mathrm{v}}}}{2}

    D'où l'expression finale de l'énergie électrostatique totale :

    \boxed{U_{\mathrm{elec,tot}} = \frac{\pi \sigma^2 R_{\mathrm{v}}^2}{\varepsilon \kappa} \left(1 - \mathrm{e}^{-2\kappa R_{\mathrm{v}}}\right)}

    que l'on peut également écrire sous la forme :

    \boxed{U_{\mathrm{elec,tot}} = \frac{2\pi \sigma^2 R_{\mathrm{v}}^2}{\varepsilon \kappa} \frac{\sinh(\kappa R_{\mathrm{v}})}{\sinh(\kappa R_{\mathrm{v}}) + \cosh(\kappa R_{\mathrm{v}})}}

    Résultat

    $$U_{\mathrm{elec},\mathrm{tot}}=\frac{\pi {\sigma }^2{R}_{\mathrm{v}}^2}{\epsilon \kappa }\left(1-{\mathrm{e}}^{-2\kappa R_{\mathrm{v}}}\right)$$

    $$U_{\mathrm{elec},\mathrm{tot}}=\frac{2\pi {\sigma }^2{R}_{\mathrm{v}}^2}{\epsilon \kappa }\frac{\sinh (\kappa R_{\mathrm{v}})}{\sinh (\kappa R_{\mathrm{v}})+\cosh (\kappa R_{\mathrm{v}})}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question