Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2020

L'action aérodynamique exercée par l'écoulement d'air sur l'aile se décompose conventionnellement en :

• la force de traînée \vec{R}_x, parallèle à la vitesse du vent relatif \vec{v}_0, opposée au mouvement de l'avion dans l'air et donc dirigée selon l'axe (Ox) ;
• la force de portance \vec{R}_y, perpendiculaire au vent relatif et dirigée vers le haut selon l'axe (Oy).

La résultante aérodynamique \vec{R} est la somme vectorielle de ces deux composantes :

L'avion de masse m est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En vol de croisière à vitesse constante \vec{v} :

• la pente est nulle, donc le vecteur vitesse \vec{v} est horizontal ;
• l'assiette est nulle, donc l'axe longitudinal du fuselage est horizontal et confondu avec la trajectoire.

Le vent relatif \vec{v}_0 est donc purement horizontal et opposé à la marche de l'avion.

L'avion est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical descendant ;
• la poussée totale des deux réacteurs \vec{F}, dirigée vers l'avant selon l'axe horizontal du fuselage ;

• la résultante aérodynamique totale \vec{R}_{\text{aéro}} = \vec{R}_x + \vec{R}_y, somme des contributions des deux ailes de surface individuelle S (soit une surface portante totale S_{\text{tot}} = 2S) :

  • la force de traînée totale \vec{R}_x, horizontale et opposée au mouvement (vers l'arrière), d'intensité R_x = 2 \times \left(\frac{1}{2}\rho S v^2 C_x\right) = \rho S v^2 C_x ;
  • la force de portance totale \vec{R}_y, verticale ascendante, d'intensité R_y = 2 \times \left(\frac{1}{2}\rho S v^2 C_y\right) = \rho S v^2 C_y.

Le centre de masse ayant une vitesse constante dans un référentiel galiléen, la première loi de Newton s'écrit :

En projetant sur la verticale ascendante, on obtient l'équation de sustentation :

soit, en posant S_{\text{tot}} = 2S :

En projetant sur l'horizontale orientée vers l'avant, on obtient l'équation de propulsion :

soit :

L'aéronef vole à pente nulle (trajectoire horizontale) et assiette nulle (axe longitudinal horizontal). Le vent relatif est donc parallèle à l'axe de l'avion. L'angle d'incidence \alpha entre la corde de l'aile et le vent relatif est alors égal à l'angle de calage de l'aile :

Par lecture graphique sur la figure 2 à \alpha = 3^\circ (ou d'après la polaire de la figure 6) :

La surface portante totale des deux ailes vaut :

D'après l'équation de sustentation établie à la question précédente :

On en déduit l'expression de la vitesse de croisière :

Application numérique :

D'après l'équation de propulsion et celle de sustentation :

Application numérique :

D'après la relation de Bernoulli appliquée le long d'une ligne de courant entre l'amont non perturbé (où la vitesse est v_0 et la pression P_0) et un point d'arrêt éventuel où la pression vaut la pression totale P_t, on a :

Le coefficient de pression K_p = \dfrac{P - P_0}{P_t - P_0} est donc directement proportionnel à l'écart de pression P - P_0 :

• K_p > 0 \iff P > P_0 (zone de surpression relative) ;
• K_p < 0 \iff P < P_0 (zone de dépression relative).

Sur la figure 4, pour un angle d'incidence non nul (\alpha = 2^\circ ou \alpha = 7^\circ), on constate que :

• sur l'extrados (trait continu), K_p prend des valeurs fortement négatives sur la quasi-totalité du profil, ce qui correspond à une dépression (P_{\text{ext}} < P_0) particulièrement marquée près du bord d'attaque ;
• sur l'intrados (pointillés), K_p est globalement positif, ce qui correspond à une surpression (P_{\text{int}} > P_0) ;
• sur l'ensemble de la corde, la courbe d'intrados est située au-dessus de celle de l'extrados :

La force élémentaire de pression exercée par l'air sur un élément de surface \mathrm{d}S est \mathrm{d}\vec{F}_P = -P\,\vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S, où \vec{n}_{\text{ext}} est la normale dirigée vers l'extérieur de l'aile :

• sur l'intrados (face inférieure), la force de pression pousse l'aile vers le haut (+y) ;
• sur l'extrados (face supérieure), la force de pression pousse l'aile vers le bas (-y).

Comme P_{\text{intrados}} > P_{\text{extrados}}, l'intégrale des actions de pression le long du profil donne une force nette dirigée vers le haut, c'est-à-dire dans le sens du vecteur \vec{e}_y. Cette force normale à la vitesse de l'écoulement incident constitue précisément la force de portance.

Deux arguments complémentaires permettent de justifier la nullité de la portance à incidence nulle :

1. À partir de la figure 4 et de la distribution de pression : Pour \alpha = 0^\circ, la courbe du coefficient de pression K_p de l'extrados est strictement confondue avec celle de l'intrados sur toute la longueur de la corde (0 \le x \le 1). On en déduit qu'en tout point de l'aile :

   P_{\text{extrados}}(x) = P_{\text{intrados}}(x)

   La force de portance, résultant de l'intégration de la différence de pression entre l'intrados et l'extrados le long du profil, est par conséquent nulle :

   \boxed{R_y = 0}
2. Par un argument de symétrie : L'énoncé précise que le profil de l'aile est symétrique par rapport à la corde. À incidence nulle (\alpha = 0^\circ), l'écoulement incident du fluide est dirigé parallèlement à cette corde, qui constitue alors un plan de symétrie à la fois pour la géométrie du profil et pour les conditions aux limites de l'écoulement. L'écoulement d'air et le champ de pression présentent donc cette même symétrie. La résultante des forces de pression ne peut avoir de composante orthogonale à ce plan de symétrie, ce qui impose R_y = 0 (soit C_y(0^\circ) = 0, conformément à la figure 2).

Pour un vol en palier horizontal à vitesse constante, la condition de sustentation établie à la question Q2 impose que la composante verticale de la résultante aérodynamique (la portance totale) compense exactement le poids de l'appareil :

où S_{\text{tot}} = 2S désigne la surface portante totale des deux ailes.

Pour une vitesse d'avancement v donnée, le coefficient de portance nécessaire au maintien du palier vaut ainsi :

Si la vitesse de l'avion diminue, le maintien de la sustentation nécessite donc une augmentation du coefficient C_y. Le pilote y parvient en augmentant l'assiette de l'appareil, ce qui accroît l'angle d'incidence \alpha.

Or, d'après la figure 2, le coefficient de portance C_y(\alpha) n'est pas indéfiniment croissant : il passe par un maximum noté C_{y,\max} avant de chuter brusquement.

La condition C_y \le C_{y,\max} impose donc une vitesse minimale de vol :

En-deçà de cette vitesse minimale v_{\min}, la portance aérodynamique maximale que l'aile peut développer reste inférieure au poids de l'avion : l'équilibre vertical est impossible et l'avion perd irrémédiablement de l'altitude. C'est le phénomène de décrochage.

Pour maintenir un vol en palier horizontal uniforme, la portance totale développée par les deux ailes doit compenser le poids de l'appareil. D'après l'équation de sustentation obtenue à la question Q2 :

où S_{\text{tot}} = 2S désigne la surface portante totale des deux ailes.

La vitesse de vol nécessaire au maintien de la sustentation s'exprime donc par :

La vitesse minimale v_{\min} correspond à la valeur maximale possible du coefficient de portance, notée C_{y,\max} :

D'après l'expression de la vitesse minimale établie à la question Q7 :

le vol à la vitesse v_{\min} est obtenu lorsque le coefficient de portance atteint sa valeur maximale C_y = C_{y,\max}.

Sur la courbe C_y(\alpha) de la figure 2 (ou de la figure 5 pour l'aile lisse), le maximum de portance C_{y,\max} \approx 1{,}6 est atteint pour un angle d'incidence d'environ :

D'après l'expression établie à la question Q7 et les valeurs identifiées à la question Q8 :

avec les grandeurs numériques fournies :

• masse de l'avion : m = 60\,000\text{ kg} ;
• intensité de la pesanteur : g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• masse volumique de l'air : \rho = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• surface portante d'une aile : S = 12 \times 3 = 36\text{ m}^2 (soit S_{\text{tot}} = 72\text{ m}^2) ;
• coefficient maximal de portance : C_{y,\max} \approx 1{,}6.

L'application numérique donne :

Convertie en kilomètres par heure :

Lors de la phase d'atterrissage, l'avion doit impérativement réduire sa vitesse par rapport à celle du vol de croisière afin de limiter l'énergie cinétique à dissiper lors du freinage et de s'adapter à la longueur finie de la piste.

D'après l'équation de sustentation établie à la question Q2 :

Pour compenser le poids m g à vitesse v réduite, il est nécessaire d'augmenter le coefficient de portance C_y. Pour une aile donnée, cette augmentation s'obtient en augmentant l'angle d'incidence \alpha (en cabrant l'avion).

La vitesse de vol se rapproche alors dangereusement de la vitesse minimale de sustentation v_{\min} (calculée à environ 330\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} en Q9, alors que la vitesse visée à l'atterrissage est de 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}). Le risque est donc d'atteindre ou de dépasser l'incidence critique de décrochage \alpha \approx 15^\circ, ce qui provoquerait une perte brutale de portance à très basse altitude.

D'après la question Q9, la vitesse minimale de sustentation en configuration d'aile lisse est :

À une vitesse d'atterrissage imposée de 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, inférieure à cette vitesse de décrochage, l'aile lisse ne peut pas développer une portance suffisante pour équilibrer le poids de l'avion : l'appareil décrocherait inévitablement.

Pour assurer la sustentation à une vitesse réduite v = 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} \approx 69\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la condition m g = \frac{1}{2}\rho S_{\text{tot}} v^2 C_y impose une augmentation substantielle du coefficient de portance maximal C_{y,\max} (d'un facteur (330/250)^2 \approx 1{,}7, soit C_y \ge 2{,}7). C'est le rôle des dispositifs hypersustentateurs présentés sur la figure 5 :

• Les volets de bord de fuite : en augmentant la cambrure du profil (ainsi que la surface portante S), ils déplacent la courbe C_y(\alpha) vers le haut. La valeur de C_{y,\max} est approximativement doublée, passant d'environ 1{,}6 à plus de 3{,}2. Cela abaisse la vitesse de décrochage v_{\min} en dessous de 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} (ramenée autour de 230\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}), rendant possible le vol stabilisé à cette allure.
• Les becs de bord d'attaque : ils guident et réaccélèrent l'écoulement sur l'extrados, ce qui retarde le décollement de la couche limite. Sur la figure 5, ils repoussent l'incidence de décrochage de \alpha \approx 14^\circ à plus de 20^\circ, tout en augmentant également la valeur de C_{y,\max}. Ils offrent ainsi une marge de sécurité accrue vis-à-vis du décrochage lors des manœuvres d'approche et d'arrondi.

En pratique, l'utilisation combinée des becs et des volets garantit à la fois une portance suffisante à basse vitesse (250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}) et un domaine d'incidences utilisable étendu en toute sécurité.

Soit un avion de masse m en vol plané rectiligne uniforme à la vitesse \vec{v} constante dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La trajectoire forme un angle \theta > 0 sous l'horizontale (valeur absolue de la pente).

Les forces appliquées à l'avion sont :

• le poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical descendant ;
• la force de traînée \vec{R}_x, opposée au vecteur vitesse \vec{v} (dans le sens du vent relatif \vec{v}_0 = -\vec{v}), d'intensité R_x = \frac{1}{2} \rho S_{\text{tot}} v^2 C_x ;
• la force de portance \vec{R}_y, perpendiculaire à la vitesse \vec{v} et dirigée vers le haut, d'intensité R_y = \frac{1}{2} \rho S_{\text{tot}} v^2 C_y ;
• la poussée des moteurs est nulle en vol plané (\vec{F} = \vec{0}).

Le mouvement étant rectiligne et uniforme, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Projetons cette relation d'équilibre vectoriel :

• suivant la direction parallèle à la trajectoire (orientée dans le sens de \vec{v}) :

  m g \sin\theta - R_x = 0 \implies R_x = m g \sin\theta

• suivant la direction perpendiculaire à la trajectoire (orientée vers le haut) :

  R_y - m g \cos\theta = 0 \implies R_y = m g \cos\theta

En effectuant le rapport membre à membre :

Or, si l'avion parcourt une distance L le long de sa trajectoire, la distance horizontale franchie est x = L \cos\theta et la hauteur de chute correspondante est h = L \sin\theta. Par définition, la finesse f vaut :

Comme R_y = \frac{1}{2}\rho S_{\text{tot}} v^2 C_y et R_x = \frac{1}{2}\rho S_{\text{tot}} v^2 C_x, le rapport des intensités des forces aérodynamiques est simplement égal au rapport des coefficients aérodynamiques :

On en déduit immédiatement :

Sur la polaire de type Eiffel, chaque point M de la courbe a pour abscisse le coefficient de traînée C_x et pour ordonnée le coefficient de portance C_y.

D'après le résultat de la question Q12, la finesse s'écrit :

Ce rapport représente le coefficient directeur (la pente) de la droite reliant l'origine O(0,0) du repère au point M(C_x, C_y) de la polaire.

Par conséquent, la finesse maximale f_{\max} se traduit graphiquement par :

Le point de contact entre cette tangente et la courbe polaire détermine le point de fonctionnement optimal de l'aile (portance, traînée et angle d'incidence de finesse maximale).

D'après la question Q13, la finesse maximale f_{\max} correspond au coefficient directeur de la droite issue de l'origine (0,0) et tangente à la polaire d'Eiffel dans le demi-plan C_y > 0.

Sur la figure 6, la tangente issue de l'origine est en contact avec la courbe au point T de coordonnées :

(on observe notamment qu'en C_{x} = 2{,}5 \times 10^{-2}, C_{y} \approx 1{,}25).

La finesse maximale de l'aile vaut ainsi :

Compte tenu de l'incertitude sur la détermination graphique du point de tangence, on peut estimer :

(une valeur comprise entre 47 et 52 est parfaitement acceptable).

D'après l'énoncé et l'étude menée à la question Q12, la finesse f caractérise le rapport entre la distance horizontale parcourue D et la hauteur de perte d'altitude H au cours d'un vol plané non motorisé :

Pour maximiser la distance horizontale franchissable, le pilote doit adopter l'angle d'incidence correspondant à la finesse maximale de l'aile, soit f_{\max} déterminée à la question Q14 :

Application numérique : avec H = 1\,000\text{ m} = 1{,}0\text{ km} et la valeur f_{\max} \approx 50 obtenue à la question Q14, il vient :

La finesse aérodynamique globale d'un aéronef est définie par le rapport de la portance totale à la traînée totale :

Lorsqu'on passe de l'aile seule à l'avion complet (fuselage, nacelles des réacteurs, empennage horizontal, dérive verticale) :

• La portance globale R_y varie très peu : les ailes constituent la quasi-totalité de la surface portante de l'appareil (R_{y,\text{avion}} \approx R_{y,\text{ailes}}), les autres éléments (fuselage, réacteurs) ne générant qu'une portance négligeable, tandis que l'empennage horizontal fournit généralement une déportance modérée pour assurer l'équilibre longitudinal ;

• La traînée globale R_x augmente considérablement : chaque élément supplémentaire introduit de la traînée parasite (frottement visqueux de l'air sur les parois du fuselage et des nacelles, traînée de forme liée aux écoulements décollés, ainsi que la traînée d'interférence aux jonctions aile-fuselage et mât-réacteurs) :

  R_{x,\text{avion}} = R_{x,\text{ailes}} + R_{x,\text{parasite}}

Pour un avion de ligne moderne, la traînée parasite des éléments non porteurs est du même ordre de grandeur que la traînée propre des voilures (R_{x,\text{avion}} \approx 2\, R_{x,\text{ailes}}), d'où :