Diffusion de particules : 213 questions de concours corrigées

Soit j₊⁽D⁾ la densité de courant de particules associée à la diffusion des ions Na⁺, dont l'unité SI est mol⁻²⁻¹. Donner la relation entre j₊⁽D⁾, c₊ et D₊, le coefficient de diffusion de l'ion…

Rappeler la loi de la diffusion des particules, ou loi de Fick ; préciser les dimensions de toutes les grandeurs qui apparaissent dans son expression.

Rappeler la définition du « libre parcours moyen », que nous noterons ℓ, d'un atome (ou d'une molécule) dans un gaz.

Nous supposons que les gouttelettes se déplacent verticalement à la vitesse caractéristique v_z^ (v_z ≤ 0) constante (se reporter à la question (10)). Exprimer la densité de flux d'advection j_A(r…

Rappeler la loi de Fick et préciser les unités, dans le Système International, des grandeurs qui interviennent.

Énoncer la loi de Fick reliant la concentration particulaire n(r, t) et la densité de courant particulaire _part(r, t) en précisant la signification et la dimension des différentes grandeurs…

Relier Φ₀ à la norme de la densité molaire de courant j(r) et à r.

En exprimant la quantité élémentaire de matière qui traverse une surface élémentaire dS(r) située en r pendant une durée dt, sous l'effet du transport convectif par l'écoulement seulement, justifier…

Comment nomme-t-on ce type d'équation ? Préciser l'unité de D.

À l'équilibre thermodynamique, on sait que la concentration est donnée par la distribution de Boltzmann, c₊ = c_∞ exp (-ψ) où c_∞ est une constante qui représente la concentration d'ions loin de la…

En déduire que n*(z) s'écrit en fonction de la densité n₀* au sol sous la forme n*(z) = n₀ exp (-z/H) et exprimer la hauteur caractéristique H en fonction de u et g₀.

Établir l'équation locale de conservation des électrons : (∂ nₑ)/(∂ t) + (∂ jₑ)/(∂ x) = 0 . Donner par analogie l'équation locale de conservation des ions.

En effectuant un bilan de matière dans un volume élémentaire de section S et d'épaisseur d x, situé entre les abscisses x et x+d x, traduisant la conservation du nombre d'impuretés, établir une…

Établir l'équation de diffusion aux dérivées partielles satisfaite par C(x,t), pour x R.

Reproduire le schéma de la figure (2). Y représenter le volume élémentaire dD contenant l'ensemble des atomes qui s'échapperont de l'enceinte (1), par le trou, entre les instants t et t + dt, et…

Établir, dans le cas unidimensionnel où j = jₓ(x, t) eₓ, l'équation aux dérivées partielles liant c à jₓ. On accompagnera d'un schéma le raisonnement tenu. Dans une situation tridimensionnelle, nous…

Déduire alors, de l'équation (5), l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la concentration c(r, t). On donne la relation suivante : div(grad f) = Δ f (Δ représente l'opérateur laplacien, ici…

En supposant que le processus de diffusion peut être considéré comme étant quasi-stationnaire, déterminer l'expression de la concentration c_w = c_w(r) (une constante d'intégration restant encore…

Nous écrivons cette expression sous la forme suivante : c_w(r) = c₀ (1 + b/r) où b = Cste11 Exprimer la densité de flux (ou flux surfacique) de molécules d'eau j_w(R), au niveau de la surface de la…

Nous notons C = F/a³ la concentration en particules du domaine cubique de côté a et de centre M(na). Établir enfin que la grandeur f, ramenée à la surface a × a traversée par les particules, que…

En régime permanent, ces deux courants se compensent. En déduire, en fonction de n₀, D et de v_l l'expression de la densité de particules n(z). Représenter graphiquement la fonction n(z) en fonction…

Relier le libre parcours moyen ℓ au temps de collision τ_col et à la vitesse v. Quel est l'ordre de grandeur du nombre de particules se trouvant en moyenne dans le volume σ_eff ℓ ? En déduire que ℓ…

Montrer qu'entre les dates t et t+dt, dNₑ particules de gaz entrent dans le volume V et dN_s particules de gaz en sortent, avec dNₑ = Svn(x-ℓ)dt et dN_s = Svn(x+ℓ)dt. À l'aide d'un bilan portant sur…

En supposant que x² (t = 0) = 0 et des durées longues devant τ, montrer que x² (t) = 2Dt et établir la relation d'Einstein D = k_BT/(6πη r_p) .

Donner les unités (ou dimensions) communes aux vecteurs j_c et jₙ, ainsi que l'unité de D. À l'état d'équilibre macroscopique, caractérisé par une température uniforme T₀ et une répartition de…

Donner les unités (ou dimensions) communes aux vecteurs j_c et jₙ, ainsi que l'unité de D. À l'état d'équilibre macroscopique, caractérisé par une température uniforme T₀ et une répartition de…

Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est l'expression de l'énergie potentielle E_p*(z) correspondant au poids de la masse apparente m* du grain à l'altitude z ? En…

Relier la probabilité p(xₙ, tₙ) pour la particule d'être à l'abscisse xₙ à la date tₙ = nτ aux probabilités p(xₙ₋₁, tₙ₋₁) et p(xₙ₊₁, tₙ₋₁).

Déterminer le profil de concentration c(r) en fonction de c_∞, Φ₀, D et r.

Le rayon R de la bactérie fixe l'échelle caractéristique de variation de vitesse de l'écoulement considéré. On appelle nombre de Péclet, noté Pe, le nombre sans dimension comparant le temps typique…

Montrer que par passage à la limite continue (τ → 0 et a → 0) on retrouve bien l'équation equation VI.1 à condition de poser D = pa²/τ.

En prenant en compte la distribution des vitesses définie par l'équation (3), exprimer le nombre moyen d'atomes sortant de l'enceinte (1), par unité de temps. Nous notons N_1/2 cette grandeur et…

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction f. Commenter ce résultat.

Établir que l'équilibre des courants de conduction et de diffusion se traduit par l'équation suivante : C_D/C_A = exp ( -µ_q/D_q V_d ) où V_d = ψ_D - ψ_A ; C_A = C(X_A) ; C_D = C(X_D)

En établissant un bilan gain-perte sur le nombre de trous libres, appliqué à une portion élémentaire [x, x + dx] du domaine (4), sur l'intervalle de temps [t, t + dt], établir l'équation…

On suppose que les variables x et fₓ sont indépendantes. À partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule, établir l'équation différentielle vérifiée par xx .

Montrer alors que p(x, t) vérifie une équation de diffusion.

Montrer que le déplacement quadratique moyen Δ² (noté MSD sur la figure 6), Δ² = |OA_N|², est proportionnel à la durée Δ t correspondant à N sauts.

Calculer numériquement le rapport τ_cin/τ_film. S'agit-il d'un contrôle cinétique ou convectif ?

Justifier dimensionnellement le nom de « section efficace » donné au coefficient σ.

On note n* la densité particulaire de l'atmosphère (nombre de molécules par unité de volume). Exprimer la densité volumique de courant de particules j_g (grandeur qui s'exprime en molécules par…

Citer deux autres phénomènes de la physique dont l'évolution est modélisée par une équation de ce type.

Comment s'appelle la loi associée au terme -D grad n apparaissant dans ces deux expressions ? Que traduit physiquement le terme ± nµ E ?

En déduire l'équation de diffusion ambipolaire : (∂ n)/(∂ t) = Dₐ (∂² n)/(∂ x²).

À quelle condition sur le terme ω_c τ* peut-on affirmer que le plasma est magnétisé ? À quelle condition est-il non magnétisé ?

Identifier, en justifiant votre réponse, quelle figure correspond à un plasma magnétisé.

Justifier brièvement l'intérêt d'un fort champ magnétique pour confiner un plasma de fusion tel que celui présent dans un tokamak (figure 2). On admettra que les conclusions qualitatives concernant…

En utilisant la loi de Fick, établir l'équation de diffusion sous la forme : (∂ c)/(∂ t)=D (∂² c)/(∂ x²) .

Tracer sur un même graphe l'allure de la concentration c en fonction de x à deux instants t₁ et t₂>t₁.

Représenter, qualitativement, l'allure de l'évolution temporelle de chacun des nombres d'atomes N₁(t) et N₂(t).

Les phénomènes d'émission et de sédimentation fixent, conjointement, le nombre moyen N_susp de gouttelettes contenues dans le volume V. Exprimer ce nombre en fonction de p, fₑₘ et τ_sed.

En déduire l'expression, en fonction de p, fₑₘ, τ_sed, c_vir et R, du nombre moyen N_vir de virus contenus dans l'air de la pièce.

Pour le virus SARS-CoV-2, de très récentes études ont permis d'estimer la concentration en virus dans la salive à la valeur c_vir ≃ 10⁶ (mL)⁻¹. Par ailleurs, la fréquence d'émission, en parlant, est…

Nous modélisons l'effet protecteur du port de masque en considérant que la fréquence d'émission fₑₘ de gouttelettes est multipliée par un facteur ηₑₘ (ηₑₘ ≤ 1) et que le nombre moyen de virus…

Indiquer par quelle méthode, ou en vertu de quel principe, nous pourrions accéder à la valeur du préfacteur numérique K. Aucun calcul n'est demandé.

Calculer la valeur de r_ pour R = 1 , z₀ = 2 m et k_BT = 4× 10⁻²¹ J. Analyser ce résultat.

Estimer la valeur du rayon R_ev dans le cas d'une gouttelette de rayon initial R(0) = 20 , pour une fraction volumique de soluté φ = 0,01 et une humidité relative H = 0,5.

Calculer la valeur de V_d à la température ambiante. On donne la valeur suivante : ln (10) ≃ 2.

Quel peut-être le phénomène physique responsable d'une migration des porteurs majoritaires, électrons ou trous, d'une zone vers l'autre ?

Cette chute des particules est à l'origine d'un courant convectif vertical des particules. On note : j = j(z)e_z, le vecteur densité de courant de particules associé. Préciser l'unité de j. Puis…

Rappeler la loi de Fick et préciser les unités des grandeurs qui interviennent. Justifier qualitativement l'existence de ce courant de diffusion. Préciser s'il est ascendant ou descendant.

Définir en fonction de d_b, D et de v_l, un temps caractéristique τ_S de sédimentation, ainsi qu'un temps caractéristique τ_D de diffusion des particules sur la hauteur du bassin.

Définir en fonction de L_b et de u, un temps de traversée τ_T du bassin. À quelle condition, portant sur τ_T et τ_S, la clarification dynamique est-elle efficace ?

Montrer que AP_i+1² = AP_i² + d_i² + 2d_i · AP_i .

En déduire que |δ|² = 3Nℓ².

Indiquer la relation entre le temps moyen t pour aller de A à B, le temps de collision τ_col et le nombre de pas de la marche aléatoire N. En déduire alors l'expression de |δ|² en fonction de t, ℓ…

En passant à une probabilité continue p(x, t) définie en tout point et à tout instant, montrer qu'on peut écrire : p(xₙ, tₙ) ≈ p(xₙ, tₙ₋₁) + (∂ p)/(∂ t)τ.

Déterminer le coefficient de diffusion D.

En déduire l'expression de n_vap(z) en fonction de N_A, P_sat(T), R, T, Φ_s, D, S, z et zₘ(t).

En utilisant les ordres de grandeur de la consommation volumique A en glucose et du rayon R d'une bactérie d'Escherichia Coli fournis en préambule du sujet, déterminer l'ordre de grandeur de…

Dans la réalité, on observe que L atteint une longueur limite. Indiquer comment devrait alors se comporter ψ pour t → +∞. En déduire quel phénomène il est donc nécessaire de prendre en compte pour…

Justifier qualitativement la loi phénoménologique liant F_A à k_D, S, C_A, C_Af.

On admet dans la suite que F_A = F_AC. Interpréter qualitativement cette relation. Montrer que F_A = -1/_B/dt, où N_B est la quantité de matière du solide B.

Exprimer le flux F_A sous la forme F_A = C_A/R_éq avec R_éq une « résistance de diffusion » que l'on exprimera en fonction de D, k_C et R.

En raison de ces chocs, le faisceau a une durée de vie τ, définie comme la durée pour laquelle le nombre N d'électrons a diminué de 37

On considère σ = 2,0· 10⁻²³ cm² dans le synchrotron. Calculer la durée de vie du faisceau. On donne ln (0,63) = -0,46. Expliquer comment l'intensité du faisceau peut rester constante.

Si on écrit D = u² τ où τ est défini à la question 21, quelle est la dimension de la grandeur u ? À votre avis, u et D dépendent-ils de la température et, si oui, dans quel sens ?

En exploitant le résultat précédent et la relation d'Einstein (eq equation VI.2) déduire une estimation de la constante de Boltzmann k_B, puis de la constante d'Avogadro. On indiquera précisément…

Les parois étant conductrices, les électrons libres et les ions arrivant sur les parois se recombinent entre eux de façon quasi-instantanée, si bien que n_i = nₑ = 0 sur les parois. En effectuant un…

À l'aide des résultats des deux questions précédentes, montrer que j_i(x, t) = jₑ(x, t).

Après avoir exprimé E(x, t) en fonction de (∂ n)/(∂ x), montrer que j = j_i = jₑ = -Dₐ (∂ n)/(∂ x) avec Dₐ le coefficient de diffusion ambipolaire, qu'on exprimera en fonction de µ_i, µₑ, D_i et de…

Montrer que l'équation de diffusion ambipolaire se ramène au système d'équations différentielles : dF/dt + F/τ = 0 [2mm] d²G/dx² + G/(Dₐ τ) = 0 avec τ une constante homogène à un temps, qui sera…

En déduire n(x, t) en fonction de τ, Dₐ et de deux constantes d'intégration qu'on ne cherchera pas à déterminer à ce stade.

On rappelle que sur les parois, n = 0 à tout instant. En utilisant ces conditions aux limites, montrer qu'il existe des modes de diffusion n_p(x, t) indicés par un entier p N* tel que le temps τ…

On suppose que le coefficient de diffusion D peut s'exprimer en fonction de la vitesse quadratique moyenne v* de l'espèce diffusante et de la durée moyenne τ* entre deux collisions. Par analyse…

Montrer que pour un plasma non magnétisé, D_i' est proportionnel à τ*, tandis que pour un plasma magnétisé, D_i' est proportionnel à l'inverse de τ*. Vérifier qu'un plasma magnétisé l'est d'autant…

À une date t₀ fixée, à quelle profondeur δ la concentration est-elle moitié de celle en x=0 ? Exprimer δ en fonction de D et de t₀. La calculer au bout d'une heure. Donnée : Le coefficient de…

L'échappement du gaz par un trou s'effectue en régime effusif à condition que l'hypothèse, notée H_eff dans la présentation de l'étude, soit vérifiée. Indiquer quelle condition l'aire s de la…

Calculer l'ordre de grandeur de τ dans le cas où s = 1 ².

Commenter ce résultat, notamment au regard des hypothèses adoptées.

Établir le système d'équations différentielles vérifié par les nombres d'atomes N₁ = N₁(t) et N₂ = N₂(t) contenus dans chacune des enceintes.

Exprimer la solution (N₁(t), N₂(t)) correspondant aux conditions initiales N₁(t = 0) = N et N₂(t = 0) = 0.

Former l'équation différentielle vérifiée par la fonction N₂ = N₂(t) (paramétrée par les seules constantes τ₁ et k).

Exprimer la solution N₂ = N₂(t) correspondant aux conditions initiales N₁(t = 0) = N et N₂(t = 0) = 0, paramétrée par les constantes N, τ₁, p₁ et p₂. On ne cherchera pas à établir l'expression des…

Indiquer comment, expérimentalement (c'est-à-dire en pratique), l'évolution temporelle du nombre N_i d'atomes dans une enceinte (i) peut être suivie.

Établir l'équation différentielle reliant N_i-1(t), N_i(t) et N_i+1(t), pour 1 < i < K.

Indiquer à quelle condition, portant sur la suite (N_i) des nombres d'atomes, le passage à la limite continue que nous avons effectué reste justifiable.

Représenter, par un schéma, l'analogue électrique du système fermé formé de deux enceintes en communication par l'intermédiaire d'un trou (se reporter à la figure (1)).

Représenter, par un schéma, l'analogue électrique du système formé de deux enceintes en communication par l'intermédiaire d'un trou (aire s), l'une étant en communication avec l'extérieur (le vide)…

Montrer que le libre parcours moyen s'écrit ℓ_pm = x = 1/(nₘₒ S_eff).

Pour la molécule de diazote, on a S_eff ≃ 10⁻²⁰ m². Justifier cet ordre de grandeur pour la section efficace. Déterminer la valeur numérique du libre parcours moyen ℓ_pm pour un électron à…

Expliquer le phénomène de cascade avalancheuse.

Envisageons le cas d'une pièce aérée. Nous modélisons l'effet du renouvellement d'air en considérant qu'il induit une disparition de gouttelettes selon la fréquence f_air (s⁻¹), par gouttelette…

Estimer la valeur de N'_vir pour chacun des taux de disparition f_air = 5 h⁻¹ et f_air = 20 h⁻¹ (ce qui correspond à 5 et 20 renouvellements d'air complets par heure). Commenter ce résultat.

Nous notons V_resp le volume d'air moyen inspiré par une personne, à chaque respiration, et f_resp sa fréquence respiratoire. Exprimer, en fonction de N_vir, f_resp, V_resp et V, le nombre moyen de…

Dans l'état actuel des connaissances, le nombre minimal N_resp de virus devant être inhalés pour entraîner une infection, chez un individu, n'est pas connu précisément. On peut toutefois estimer que…

Paraît-il alors justifié de négliger la diffusion dans l'étude de la sédimentation (étude de la partie (1.2)) ?

Les flux d'évaporation et de condensation se compensent pour une valeur particulière c_vs de la concentration c₀ en molécules d'eau dans l'air, correspondant à un état de vapeur saturante. Par…

La valeur de la vitesse de condensation est estimée à k_c ≃ 370 m⁻¹. En considérant que le rayon moyen des gouttelettes est supérieur au micromètre, justifier que l'expression du flux J peut alors…

Nous notons R(0) le rayon de la gouttelette à l'instant t = 0. Exprimer la solution R(t) de l'équation différentielle (15) vérifiant cette condition initiale.

Exprimer, en fonction de θ, H et R(0), le temps τₘₐₓ nécessaire à l'évaporation complète d'une gouttelette. Estimer sa valeur pour R(0) = 20 et H = 0,5 (on prendra, pour les autres paramètres, les…

Représenter, sur le même graphe, l'allure de l'évolution temporelle du rayon R de la gouttelette, obtenue en réponse à la question (28), et celle correspondant à la solution de l'équation…

Nous adoptons l'équation suivante comme solution approchée de l'équation différentielle (17), pour t « pas trop proche » de τₘₐₓ (se reporter aux tracés effectués en réponse à la question (31))…

Nous supposons dès à présent que les pas a et τ sont, respectivement, très inférieurs à la longueur et au temps caractéristiques de variation de la fonction F. Donner l'expression f de f_n,q dans…

À l'aide des données du tableau (2), établir l'expression du potentiel de diffusion V_d introduit en question (14), en fonction de K, N_A, N_D et n_i.

Lorsque V ≠ 0 (V), les courants de diffusion et de conduction ne s'équilibrent plus (se reporter à la question (20)) ce qui a pour conséquence le passage d'un courant à travers la ZCE (et donc la…

À l'aide de la relation (10), adjointe à l'hypothèse H1, exprimer la concentration p_N(X_D) en fonction de n_i, N_D et KV. Exprimer ensuite, en fonction de n_i, N_D et KV, l'excès (algébrique) de…

À partir des réponses aux questions (26) et (27), exprimer la fonction δ p_N = δ p_N(x). Nous supposerons que la longueur du domaine (4) excède très largement la longueur caractéristique L_P.

En déduire l'expression de la densité de courant des charges portées par les trous libres, J_P [A⁻²], transitant à travers la ZCE, de P vers N, algébriquement (selon le signe de la différence de…

Par conservation du nombre de particules sur une tranche verticale du bassin, exprimer n₀ en fonction de N₀, D, d_b et de v_l.

Exprimer n₀ en fonction de N₀, τ_S et de τ_D. À quelle condition portant sur τ_S et τ_D, la décantation statique permet-elle une clarification de l'eau ?

En tenant compte des déplacements des particules dans toutes les directions de l'espace, on peut montrer que le flux de particules par unité de surface dans V est Φ_N = 1/6Φ_N,x = -1/3vℓ dn/dx. En…

À l'aide du théorème d'équipartition de l'énergie : 1/2mv² = 3/2k_BT, montrer que le coefficient de diffusion D s'écrit : D = k_BT/mτ_col .

En supposant que le mouvement de la bille dans le cytoplasme est purement diffusif (on notera D son coefficient de diffusion), représenter graphiquement l'évolution temporelle de δ²(t) (de façon…

Compte tenu des forces conservatives s'exerçant sur un grain, quelle est l'expression de l'énergie potentielle E_p*(z) correspondant au poids de la masse apparente m* du grain à l'altitude z ? En…

Sachant que le nombre N de grains est conservé sur la hauteur h₁ du récipient, suffisamment grande pour être supposée infinie, exprimer la concentration c₀ en fonction de N, de la section S, et de…

Sachant que le nombre N de grains est conservé sur la hauteur h₁ du récipient, suffisamment grande pour être supposée infinie, exprimer la concentration c₀ en fonction de N, de la section S, et de…

Estimer la valeur de k_B qu'a pu déduire Jean Perrin de cette expérience. Identifier des causes d'erreurs expérimentales.

En déduire la valeur de k_B qu'a obtenue Jean Perrin avec ses expériences de diffusion toujours effectuées à T₀ = 20^. Comparer cette valeur avec celle obtenue grâce aux résultats des expériences de…

Relier par un développement limité au second ordre p(xₙ₋₁, tₙ₋₁) et p(xₙ₊₁, tₙ₋₁) à p(xₙ, tₙ₋₁).

Exprimer _N, la moyenne statistique sur un grand nombre de configurations de la quantité vectorielle OA_N après N sauts. Commenter.

Sur la molécule suivie en figure 6, une modélisation linéaire de Δ² en fonction de Δ t donne pour le coefficient directeur β = 4 × 10⁻¹³ SI. En déduire la valeur du coefficient de diffusion avec son…

Pourquoi un sol sèche-t-il plus vite lorsqu'il y a du vent ?

On suppose que dans le sol le phénomène de diffusion est en régime stationnaire. Justifier que le débit Φ_s est uniforme.

Pour zₘ(t) < z < H, déterminer l'expression de n_vap(z) en fonction de n_vap(zₘ(t)), Φ_s, D, S, z et zₘ(t).

Exprimer alors P(H) en fonction de P_sat(T), N_A, R, T, Φ_s, D, S, H et zₘ(t).

Le temps de séchage des sols dépend du phénomène de diffusion de la vapeur d'eau dans le sol et du phénomène d'évaporation à l'interface sol-atmosphère. On peut définir asymptotiquement deux zones…

Les figures 11 et 12 représentent le temps de séchage en fonction de la hauteur H pour T = 300 K, D = 5· 10⁻⁶ SI, h = 5· 10¹⁷ molécules⁻²⁻¹⁻¹, Pₑₓₜ = 600 Pa et n_liq = 1,2· 10¹⁸ molécules⁻³…

En analysant les invariances et symétries du problème, justifier que la densité de courant molaire (r, t) se met sous la forme j(r)e_r. On se placera dans un système de coordonnées sphériques, dont…

Montrer que Φ₀(r) est égale à une constante notée Φ₀. Relier le flux de nutriments Φ₀ collecté par la bactérie à sa consommation en nutriments A et à son rayon R.

Montrer qu'une bactérie de rayon R donné ne peut pas collecter plus qu'une certaine quantité de nutriments par unité de temps, définissant ainsi une consommation maximale A* dont l'expression en…

Déterminer la nouvelle consommation maximale A₁* pour une bactérie de taille R en fonction de la consommation maximale A* de la précédente partie (I.A), R, r₁ et r₂.

Déterminer un ordre de grandeur de la vitesse de mélange v_mel pour augmenter de 10

En exploitant la figure 6, déterminer la variation relative du flux (en

Pour que la bactérie ait intérêt à se déplacer, il faut que le mouvement permette de sonder des zones au-delà de ce qui pourrait être permis par la diffusion pour une bactérie statique. En déduire…

Montrer que l'on s'attend à ce que la bactérie se déplace vers les zones de fortes concentrations avec une vitesse moyenne donnée par : V_d = V₀ (τ₊ - τ₋)/(τ₊ + τ₋).

On effectue un changement de variable ξ = z - V_d t et on définit une probabilité P(ξ, t), telle que P(ξ = z - V_d t, t) = P(z, t). Montrer que P(ξ, t) vérifie une équation de diffusion. Décrire…

Écrire l'équation différentielle qui est vérifiée par cₘ à l'intérieur de la membrane en régime de diffusion stationnaire par analogie avec l'équation ((15)) du Document 2, en tenant compte du fait…

Montrer alors que la concentration vérifie la relation : cₘ(z) = ( (∂ cₘ)/(∂ z) )_z=0⁻ × (z+l) + cₘ(z=-l)

Exprimer le nombre dN_s de particules solides du nuage qui atteignent le sol (z = 0), entre les instants t et t + dt. On fera apparaître, en particulier, les grandeurs L(t) et φ(t).

Nous considérons que le volume du nuage reste constant. Établir un bilan sur le nombre de particules présentes dans le nuage. En déduire que la fraction volumique de solide φ(t) vérifie l'équation…

En déduire une équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de concentration en ions chargés positivement c₊, que l'on exprimera en fonction de c₊, µ₊, D₊, k_B T et de ψ, défini par ψ =…

Déduire des deux questions précédentes une équation différentielle à variables séparables portant sur l'évolution du rayon R de la sphère. Puis établir la relation suivante : t = τ_film(1 - (R/R₀)²)…

Ces profils sont-ils conformes au modèle proposé ci-dessus ? Si oui, proposer une estimation de H ; sinon, quelle(s) interprétation(s) proposez-vous ?

La cible constituée d'une feuille d'or d'épaisseur L = 1 contient N atomes sur la trajectoire de la particule α. Celle-ci effectue donc N collisions dont en moyenne la moitié vont donner une…

Montrer que pour tout m et pour k 2, on a la relation u_k,m+1 = u_k,m + p(u_k+1,m + u_k-1,m - 2u_k,m)

L'évolution du carré de la densité surfacique normalisée en surface en fonction du temps (valeurs de u_0,m²) est représenté sur la figure 5, pour la valeur p = 0,1, du paramètre de probabilité de…

Si tous les modes de diffusion sont a priori présents à l'instant initial, seul le mode p = 1 perdure de façon visible. Expliquer pourquoi. Donner l'expression de n₁(x, t) en fonction de Dₐ, L et…

Expliquer qualitativement, en vous appuyant sur la figure 6, pourquoi D_i' est d'autant plus faible que τ* est élevé dans un plasma magnétisé.

On cherche, pour t>0, une solution de l'équation de diffusion de la forme : c(x, t)=A(t) e((-x²)/(B(t))) et A(t)=K/√(t), avec K une constante positive. En exploitant la relation (1) en x=0 et en…

En exploitant les conditions initiales et l'intégrale de Gauss donnée en fin de partie, déterminer les constantes A et B en fonction de C₀. Que vaut C(0, t) pour t > 0 ?

Comment relie-t-on simplement y et t ? En utilisant la durée typique t* du phénomène de diffusion, dont on rappellera l'expression, prévoir l'influence du débit sur la longueur observable de mélange…

Préciser de quelles grandeurs le temps caractéristique τ de ces évolutions dépend, a priori. Indiquer s'il apparaît alors possible d'accéder à la forme de la dépendance de τ vis-à-vis de ces…

Nous souhaitons que le libre parcours moyen ℓ des atomes vérifie l'inégalité suivante : ℓ > 10 × √(s) En déduire l'expression de la pression Pₘₐₓ que le gaz d'atomes, dans l'enceinte, ne doit pas…

Établir le système d'équations différentielles, paramétré par les seules constantes τ₁ et k, vérifié par les nombres d'atomes N₁ = N₁(t) et N₂ = N₂(t) contenus dans chacune des enceintes.

Nous notons p₁ et p₂ les racines (qu'il est inutile de calculer) du polynôme caractéristique associé à l'équation différentielle vérifiée par la fonction N₂ = N₂(t) (se reporter à la question (19))…

La figure (4) représente l'évolution du rapport N₂/N vis-à-vis de la variable T = t/τ₁, pour trois valeurs k₁ = 0,1 ; k₂ = 1 et k₃ = 10, du paramètre k. Indiquer la correspondance, en la justifiant…

Nous considérons la situation pour laquelle k = k₁ = 0,1. Représenter, qualitativement (c'est-à-dire qu'aucun calcul n'est à effectuer), l'allure de l'évolution de N₁/N vis-à-vis de la variable T…

Indiquer, sur la base d'une construction rigoureuse, quels sont les équivalents, pour le système S, d'une charge électrique Q, d'un courant I, d'un potentiel électrique V_élec, d'une résistance R et…

Indiquer quelle différence fondamentale il existe toutefois entre le système S et son analogue électrocinétique.

En raisonnant entre x et x + dx, établir l'équation différentielle d'évolution de N(x). Résoudre cette équation et exprimer N(x) en fonction de N₀, nₘₒ, S_eff et x.

Former une distance caractéristique z_ en dessous de laquelle nous pouvons considérer que la diffusion domine l'advection. Exprimer d'abord cette distance en fonction de D_R et |v_z|. L'exprimer…

Nous considérons une bague élémentaire d'axe (Oz), située à l'altitude z₀, de volume d²V = 2π r dr dz où r = √(x² + y²). Exprimer le nombre d²N de gouttelettes contenues dans cette bague, à…

En notant que j_w(R) représente la densité de flux net d'évaporation (algébrique), établir l'égalité suivante : (c₀ b)/R² = (kₑc_l - k_cc₀)/(D_w + k_cR)12 En déduire, en fonction des paramètres…

Nous notons v_w le volume (effectif) d'une molécule d'eau. Établir que le rayon R de la gouttelette vérifie l'équation différentielle suivante : 2RdR/dt = -θ(1 - H) où θ = 2v_wD_wc_vs15

Établir que l'équation différentielle vérifiée par le rayon R prend maintenant la forme suivante : 2R/(1 - R_ev³/R³)dR/dt = -θ(1 - H)17 où R_ev représente un rayon caractéristique que l'on exprimera…

Exprimer (en utilisant la solution approchée (18)) la variation d'altitude Δ z_ev = z_ev - z₀ d'une gouttelette, émise à t = 0 à une altitude z₀ et avec le rayon R(0), lorsque son rayon atteint R_ev…

En dessous de l'altitude z_ev, le rayon de la gouttelette reste fixé à R_ev, et ce jusqu'à ce qu'elle atteigne le sol. Établir l'expression du temps total de chute τ_sed⁽¹⁾ d'une gouttelette de…

Exprimer le nombre f_n,q de particules transitant (algébriquement) de gauche à droite, par unité de temps, entre les points M(na) et M((n + 1)a).

Sur la base de l'expression de J_P obtenue en réponse à la question (29), donner celle de la densité de courant des charges portées par les électrons libres, J_N [A⁻²], transitant à travers la ZCE…

Justifier, d'une part que l'on peut considérer que les électrons traversant la frontière (3) de la base, en provenance de l'émetteur, parviennent quasi intégralement à sa frontière (2), d'autre part…

Représenter (qualitativement) l'allure du profil de concentration n_B = n_B(X) des électrons libres dans la base et indiquer le sens du flux diffusif J_D auquel il correspond. En déduire…

En négligeant le processus de recombinaison (modélisé par la relation (12) exprimant le taux volumique de recombinaison algébrique) dans la base, la densité surfacique de courant de base J_B…

En quoi le profil de la figure 6 est-il incompatible avec le résultat de la question Q10 ? La réponse doit être basée sur des arguments numériques quantitatifs. Quelle hypothèse du modèle utilisé…

Les modèles numériques montrent que les émissions de vapeur d'eau d'origine humaine (irrigation, combustion, tours de refroidissement des centrales thermiques, ...) n'affectent pas le climat, au…

On note θ_i l'angle entre les vecteurs AP_i et d_i (voir figure 4). Le libre parcours moyen ℓ est ici la valeur moyenne qu'aurait la composante du vecteur d_i dans l'une des trois directions de…

Le coefficient de diffusion de particules à trois dimensions étant défini par |δ|² = 6Dt, préciser l'expression de D en fonction du libre parcours moyen ℓ et du temps de collision τ_col. Comparer…

Résoudre cette équation différentielle et montrer qu'en régime permanent, on obtient xx = k_BT / 6πη r_p. On introduira une durée caractéristique τ et on donnera un critère d'atteinte du régime…

On visualise le déplacement d'une bille de rayon R_b = 1 à 6 images par seconde. Le déplacement quadratique moyen entre deux images est mesuré et on obtient 0,2 pixel. Sachant que les images…

Illustrer à l'aide d'un schéma la trajectoire de la bille en présence de moteurs moléculaires. On supposera que le mouvement de dérive à la vitesse vₘₒₜ dû aux moteurs moléculaires se superpose au…

En exprimant c(z) en fonction de n(z), déduire de ces données une estimation de la hauteur caractéristique H_b associée ici au phénomène. La hauteur du récipient utilisé par Jean Perrin, h₁ = 100…

En exprimant c(z) en fonction de n(z), déduire de ces données une estimation de la hauteur caractéristique H_b associée ici au phénomène. La hauteur du récipient utilisé par Jean Perrin, h₁ = 100…

En partant de l'équation (E_L), obtenir une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction φ(t). En supposant que φ(0) = 0, en déduire…

En utilisant la condition à l'interface sol-atmosphère, exprimer Φ_s en fonction de h, P_sat(T), Pₑₓₜ, S, R, T, H, zₘ(t), N_A et D.

Écrire une équation différentielle de conservation des molécules d'eau à l'interface z = zₘ(t) reliant Φ_s, n_liq et (dzₘ(t))/dt.

À l'aide des deux équations établies aux deux questions précédentes, en déduire l'équation différentielle vérifiée par zₘ(t), puis exprimer le temps de séchage τ_séchage en fonction de h, P_sat(T)…

Déterminer le nouveau profil de concentration en nutriments c(r) dans la région de l'espace r R en fonction de r, des paramètres géométriques r₁ et r₂, ainsi que de Φ₀, c_∞ et D. Représenter…

Estimer une grandeur caractéristique de r₁ en fonction de R, D et v_mel. On considèrera qu'il s'agit de la distance pour laquelle le temps typique de diffusion d'une molécule pour atteindre la…

Une bactérie située en z(t) mesure une concentration locale c_loc(t) = c(z(t)). Au cours d'une phase de course où la bactérie se déplace à une vitesse V₀, relier la dérivée temporelle de…

Nous nous intéressons à la probabilité P(z, t) que la bactérie se situe en z à l'instant t. En s'aidant du schéma de la figure 8, établir la relation suivante : P(z, t) = (P(z - V₀τ₊, t - τ₊) + P(z…

Justifier que ( (∂ cₘ)/(∂ z) )_z=0⁻ = ( (∂ cₘ)/(∂ z) )_z=-l et en déduire, en utilisant la loi de Faraday, l'expression du courant I en fonction de c_i(∞) et cₘ(z=-l).

Montrer alors que le courant atteint une valeur limite I_lim pour E ≫ E° qui peut se mettre sous la forme : 1/I_lim = 1/I_d + 1/Iₘ où I_d ne dépend que des paramètres physico-chimiques de la…

Justifier la relation p_i(t + dt) = dt/θ p_i,0 ⁺ + (1 - dt/θ) p_i(t) + f_C dt

Justifier que compte tenu des conditions aux limites dues au comportement des particules sur la paroi, on a pour tout m 0 en k = 0 et k = 1 les relations : u_0,m+1 &= u_0,m + pu_1,m u_1,m+1 &=…

En utilisant les données numériques précisées plus haut dans la description de l'expérience et en vous appuyant sur le résultat de la question précédente, extraire de la figure 6 la valeur du…

Il est possible de tirer parti du phénomène d'effusion gazeuse pour isoler, au moins partiellement, un composant particulier d'un gaz. Pour illustrer cette application, nous supposons que le gaz est…

Nous supposons que le système formé de l'ensemble des enceintes est fermé (c'est-à-dire qu'il n'y a aucune fuite vers l'extérieur). À l'instant initial, la première enceinte contient N atomes et les…

Déterminer la valeur numérique de N. Pour cette question, on prendra un libre parcours moyen ℓ_pm de l'ordre du centimètre. On pourra utiliser les courbes de la figure 7 en expliquant de façon…

La figure (8) représente la dépendance, obtenue expérimentalement (pour T = Tₐ), du courant I traversant une diode 1N4148 (du domaine P au domaine N) avec la différence de potentiel V appliquée à…

Représenter à l'aide d'un schéma la trajectoire de la bille en situation de diffusion confinée dans une zone restreinte de l'espace. Montrer que l'expression δ²(t) = α R_cage² [ 1 - exp…

En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre φ(t) et ψ(t) = x² . Après avoir obtenu l'expression générale de ψ(t), montrer que les ordres de grandeur de ce problème permettent…

En utilisant l'hypothèse ergodique, déterminer la relation entre φ(t) et ψ(t) = x² . Après avoir obtenu l'expression générale de ψ(t), montrer que les ordres de grandeur de ce problème permettent…

Supposons que les variations de P(z, t) sont petites à l'échelle d'une course, c'est-à-dire que |∂_z P(z, t)V₀τ_±| ≪ 1. En effectuant un développement de Taylor au premier ordre en t et au deuxième…