Feuille d'entraînement : Diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q3

   La loi phénoménologique de Fick stipule que le flux diffusif de matière s'effectue dans le sens des concentrations décroissantes, proportionnellement au gradient spatial de la concentration. Sous forme locale vectorielle, elle s'écrit :

   \vec{j}_{\mathrm{m}} = -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,c(\vec{r}, t)

   Compte tenu de la symétrie sphérique établie à la question Q2, le gradient s'exprime uniquement selon le rayon r, ce qui donne :

   \boxed{\vec{j}_{\mathrm{m}}(r, t) = -D \frac{\partial c}{\partial r}(r, t)\,\vec{e}_r}

   Les grandeurs intervenant dans cette loi ont pour unités dans le Système International (SI) :

   • c(r, t) : concentration massique (ou masse volumique de vapeur d'eau), en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} ;
   • \vec{j}_{\mathrm{m}} : vecteur densité de courant volumique de masse (ou densité de flux massique), en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
   • D : coefficient de diffusion massique de l'eau dans l'air, en \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
   • r : distance radiale au centre de la goutte, en \mathrm{m}.

   Résultat

   $${\vec{j}}_{\mathrm{m}}(r,t)=-D\frac{\partial c}{\partial r}(r,t){\vec{e}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q6

   Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires, le vecteur densité de courant de masse \vec{j}_{\mathrm{m}} est à flux conservatif. Le flux de masse sortant à travers une sphère concentrique de rayon r \ge r_{\mathrm{g}}, orientée vers l'extérieur par \mathrm{d}\vec{S} = r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{e}_r, est donc indépendant de r :

   \phi_{\mathrm{m}} = \iint_{\Sigma(r)} \vec{j}_{\mathrm{m}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 4\pi r^2 j_{\mathrm{m}}(r, t)

   D'après la loi de Fick établie à la question Q3, la composante radiale s'écrit j_{\mathrm{m}}(r, t) = -D \dfrac{\partial c}{\partial r}(r, t), ce qui conduit à :

   \phi_{\mathrm{m}} = -4\pi D r^2 \frac{\partial c}{\partial r}

   À chaque instant t, on sépare les variables pour intégrer le profil de concentration entre la surface de la goutte (r = r_{\mathrm{g}}) et l'infini (r \to \infty) :

   \begin{aligned} \int_{c(r_{\mathrm{g}}, t)}^{c(\infty, t)} \mathrm{d}c &= -\frac{\phi_{\mathrm{m}}}{4\pi D} \int_{r_{\mathrm{g}}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}r}{r^2} \\ c(\infty, t) - c(r_{\mathrm{g}}, t) &= -\frac{\phi_{\mathrm{m}}}{4\pi D} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_{\mathrm{g}}}^{+\infty} = -\frac{\phi_{\mathrm{m}}}{4\pi D r_{\mathrm{g}}} \end{aligned}

   On en déduit l'expression du flux massique en fonction des concentrations limites :

   \phi_{\mathrm{m}} = 4\pi D r_{\mathrm{g}} \left[ c(r_{\mathrm{g}}, t) - c(\infty, t) \right]

   En utilisant les conditions aux limites obtenues à la question Q4, c(r_{\mathrm{g}}, t) = \dfrac{M_{\mathrm{eau}} p_{\mathrm{sat}}(T)}{RT} et c(\infty, t) = \dfrac{M_{\mathrm{eau}} p_\infty(T)}{RT} :

   c(r_{\mathrm{g}}, t) - c(\infty, t) = \frac{M_{\mathrm{eau}}}{RT} \left[ p_{\mathrm{sat}}(T) - p_\infty(T) \right] = \frac{M_{\mathrm{eau}} p_{\mathrm{sat}}(T)}{RT} \left( 1 - \frac{p_\infty(T)}{p_{\mathrm{sat}}(T)} \right)

   Comme l'humidité relative est définie par \mathcal{R}_H = \dfrac{p_\infty(T)}{p_{\mathrm{sat}}(T)}, on obtient bien :

   \boxed{\phi_{\mathrm{m}} = 4\pi r_{\mathrm{g}} \frac{M_{\mathrm{eau}} D p_{\mathrm{sat}}(T)}{RT} (1 - \mathcal{R}_H)}

   Résultat

   $${\varphi }_{\mathrm{m}}=4\pi r_{\mathrm{g}}\frac{M_{\mathrm{eau}}D{p}_{\mathrm{sat}}(T)}{RT}(1-{\mathcal{R}}_H)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q7

   La goutte étant supposée sphérique de rayon r_{\mathrm{g}}(t) et incompressible de masse volumique \mu_{\mathrm{eau}}, sa masse à l'instant t s'écrit :

   m_{\mathrm{g}}(t) = \mu_{\mathrm{eau}} V_{\mathrm{g}}(t) = \frac{4}{3}\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t)^3

   La variation de masse entre t et t + \mathrm{d}t s'exprime donc géométriquement par différentiation :

   \mathrm{d}m_{\mathrm{g}} = 4\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t)^2 \,\mathrm{d}r_{\mathrm{g}} = 4\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t)^2 \frac{\mathrm{d}r_{\mathrm{g}}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t

   D'autre part, la diminution de masse de la goutte provient du flux diffusif de masse \phi_{\mathrm{m}} sortant de sa surface à travers l'interface liquide-vapeur. Le bilan de masse s'écrit donc :

   \mathrm{d}m_{\mathrm{g}} = -\phi_{\mathrm{m}}\,\mathrm{d}t

   En égalant ces deux expressions, il vient :

   4\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t)^2 \frac{\mathrm{d}r_{\mathrm{g}}(t)}{\mathrm{d}t} = -\phi_{\mathrm{m}}

   En remplaçant \phi_{\mathrm{m}} par son expression établie à la question Q6 :

   \phi_{\mathrm{m}} = 4\pi r_{\mathrm{g}}(t) \frac{M_{\mathrm{eau}} D p_{\mathrm{sat}}(T)}{RT} (1 - \mathcal{R}_H)

   l'équation devient :

   4\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t)^2 \frac{\mathrm{d}r_{\mathrm{g}}(t)}{\mathrm{d}t} = - 4\pi r_{\mathrm{g}}(t) \frac{M_{\mathrm{eau}} D p_{\mathrm{sat}}(T)}{RT} (1 - \mathcal{R}_H)

   En simplifiant par 4\pi \mu_{\mathrm{eau}} r_{\mathrm{g}}(t), on obtient bien :

   \boxed{r_{\mathrm{g}}(t) \frac{\mathrm{d}r_{\mathrm{g}}(t)}{\mathrm{d}t} = -\frac{M_{\mathrm{eau}} D p_{\mathrm{sat}}(T)}{\mu_{\mathrm{eau}} RT} (1 - \mathcal{R}_H)}

   Résultat

   $$r_{\mathrm{g}}(t)\frac{\mathrm{d}{r}_{\mathrm{g}}(t)}{\mathrm{d}t}=-\frac{M_{\mathrm{eau}}D{p}_{\mathrm{sat}}(T)}{{\mu }_{\mathrm{eau}}RT}(1-{\mathcal{R}}_H)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique PC 2024, Q14

   Considérons le système fixe délimité par une tranche de plasma comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite d'aire S orthogonale à l'axe (Ox), pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t.

   Le nombre d'électrons contenus dans cette tranche à l'instant t s'écrit :

   N_e(t) = n_e(x,t)\,S\,\mathrm{d}x

   La variation de ce nombre pendant la durée \mathrm{d}t est :

   \mathrm{d}N_e = N_e(t+\mathrm{d}t) - N_e(t) = \frac{\partial n_e}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x

   Par ailleurs, les recombinaisons et créations d'espèces étant négligées au sein du plasma, la variation de N_e n'est due qu'au flux de particules à travers les surfaces frontières :

   • nombre d'électrons entrant à l'abscisse x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{entrant}} = j_e(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
   • nombre d'électrons sortant à l'abscisse x+\mathrm{d}x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{sortant}} = j_e(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

   Le bilan de matière s'écrit donc :

   \begin{aligned} \mathrm{d}N_e &= \delta N_e^{\text{entrant}} - \delta N_e^{\text{sortant}} \\ \frac{\partial n_e}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= -\left[j_e(x+\mathrm{d}x,t) - j_e(x,t)\right]S\,\mathrm{d}t \\ \frac{\partial n_e}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= -\frac{\partial j_e}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation des électrons :

   \boxed{\frac{\partial n_e}{\partial t} + \frac{\partial j_e}{\partial x} = 0}

   De façon tout à fait analogue, en l'absence de terme source ou puits pour les ions, le bilan sur les ions de charge +e conduit à :

   \boxed{\frac{\partial n_i}{\partial t} + \frac{\partial j_i}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial n_e}{\partial t}+\frac{\partial j_e}{\partial x}=0$$

   $$\frac{\partial n_i}{\partial t}+\frac{\partial j_i}{\partial x}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PC 2024, Q3-Q14

   Considérons le volume fixe \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x compris entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x.

   Le nombre total d'impuretés contenues dans ce volume à l'instant t s'écrit :

   N(t) = c(x, t)\,S\,\mathrm{d}x

   Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, la variation du nombre d'impuretés dans ce volume s'exprime par :

   \mathrm{d}N = N(t + \mathrm{d}t) - N(t) = \frac{\partial c}{\partial t}(x, t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x

   La diffusion étant unidirectionnelle suivant l'axe (Ox), le vecteur densité de courant de particules s'écrit \vec{\jmath}_d(x, t) = j_d(x, t)\,\vec{e}_x. Le nombre d'impuretés traversant une section normale orientée selon \vec{e}_x par unité de temps est le flux \Phi = j_d(x, t)\,S.

   Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t :

   • le nombre d'impuretés entrant par la face en x est \delta N_{\text{entré}} = j_d(x, t)\,S\,\mathrm{d}t ;
   • le nombre d'impuretés sortant par la face en x + \mathrm{d}x est \delta N_{\text{sorti}} = j_d(x + \mathrm{d}x, t)\,S\,\mathrm{d}t.

   En l'absence de création ou de disparition d'impuretés au sein du réseau cristallin (pas de réaction chimique ni de recombinaison), la conservation de la matière impose :

   \begin{aligned} \mathrm{d}N &= \delta N_{\text{entré}} - \delta N_{\text{sorti}} \\ \frac{\partial c}{\partial t}(x, t)\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t &= \left[ j_d(x, t) - j_d(x + \mathrm{d}x, t) \right] S\,\mathrm{d}t \\ \frac{\partial c}{\partial t}(x, t)\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t &= -\frac{\partial j_d}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de la matière :

   \boxed{\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial j_d}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial j_d}{\partial x}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique-Chimie L PC 2023, Q1

   Le libre parcours moyen \ell d'un atome (ou d'une molécule) dans un gaz est la distance moyenne parcourue par cette particule entre deux collisions successives avec les autres constituants du gaz :

   \boxed{\ell = \langle u \rangle \, \tau_{\text{c}}}

   où \langle u \rangle est la vitesse moyenne des particules et \tau_{\text{c}} le temps de collision moyen (ou durée moyenne entre deux chocs).

   Résultat

   $$\ell =⟨u⟩{\tau }_{\text{c}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique-Chimie L PC 2023, Q10

   Considérons un atome situé dans l'enceinte (1) et animé d'une vitesse \vec{u} = u_x \vec{e}_x + u_y \vec{e}_y + u_z \vec{e}_z avec u_x > 0. Pendant la durée infinitésimale \mathrm{d}t, son déplacement élémentaire est \mathrm{d}\vec{r} = \vec{u}\,\mathrm{d}t.

   Pour franchir l'orifice d'aire s (situé dans le plan x=0) entre t et t+\mathrm{d}t sans subir de collision (hypothèse \mathcal{H}_{\text{eff}}), cet atome doit se trouver à l'instant t à l'intérieur d'un cylindre oblique \mathrm{d}\mathcal{D} :

   • dont la base est l'orifice lui-même, d'aire s ;
   • dont les génératrices sont dirigées selon le vecteur -\vec{u} et de longueur u\,\mathrm{d}t.

   Le volume d'un cylindre oblique est égal au produit de l'aire de sa base s par sa hauteur mesurée orthogonalement à cette base, c'est-à-dire le long de l'axe (Ox) :

   h = |\mathrm{d}\vec{r} \cdot \vec{e}_x| = u_x\,\mathrm{d}t

   On en déduit l'expression du volume élémentaire :

   \boxed{\mathrm{d}\mathcal{D} = s\,u_x\,\mathrm{d}t}

   Le gaz étant supposé homogène à chaque instant dans l'enceinte (1), la densité numérique d'atomes s'écrit n_1 = \dfrac{N_1}{V}. Le nombre élémentaire moyen \mathrm{d}N_{\mathrm{a}} d'atomes contenus dans ce volume \mathrm{d}\mathcal{D} vaut ainsi :

   \boxed{\mathrm{d}N_{\mathrm{a}} = \frac{N_1}{V}\,s\,u_x\,\mathrm{d}t}

   Résultat

   $$\mathrm{d}\mathcal{D}=s{u}_x\mathrm{d}t$$

   $$\mathrm{d}{N}_{\mathrm{a}}=\frac{N_1}{V}s{u}_x\mathrm{d}t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2023, Q11

   D'après la question Q10, le nombre d'atomes contenus dans le cylindre d'effusion ayant une vitesse \vec{u} à \mathrm{d}\vec{u} près est égal à la fraction d'atomes ayant cette vitesse, pondérée par la probabilité \mathrm{d}^3P(\vec{u}) :

   \mathrm{d}N(\vec{u}) = \frac{N_1}{V}\, s\, u_x\, \mathrm{d}t \times \mathrm{d}^3P(\vec{u})

   avec la condition d'échappement u_x > 0. En utilisant la séparabilité de la distribution de probabilité issue de l'équation (3) :

   \mathrm{d}^3P(\vec{u}) = p_x(u_x) p_y(u_y) p_z(u_z)\,\mathrm{d}u_x\,\mathrm{d}u_y\,\mathrm{d}u_z

   Le nombre moyen total d'atomes franchissant le trou de (1) vers (2) par unité de temps s'obtient en intégrant sur toutes les vitesses possibles vérifiant u_x > 0 :

   \begin{aligned} \dot{N}_{1/2} &= \frac{1}{\mathrm{d}t} \int_{u_x=0}^{+\infty} \int_{u_y=-\infty}^{+\infty} \int_{u_z=-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}N(\vec{u}) \\ &= \frac{N_1 s}{V} \left( \int_{0}^{+\infty} u_x p_x(u_x)\,\mathrm{d}u_x \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} p_y(u_y)\,\mathrm{d}u_y \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} p_z(u_z)\,\mathrm{d}u_z \right) \end{aligned}

   Par normalisation à l'unité des distributions suivant y et z (question Q6), les deux dernières intégrales valent 1. L'intégrale sur u_x s'écrit avec p_x(u_x) = A \exp(-a u_x^2) :

   \int_{0}^{+\infty} u_x p_x(u_x)\,\mathrm{d}u_x = A \int_{0}^{+\infty} u_x \exp(-a u_x^2)\,\mathrm{d}u_x

   En posant le changement de variable x = \sqrt{a}\, u_x, soit \mathrm{d}x = \sqrt{a}\,\mathrm{d}u_x, il vient :

   \int_{0}^{+\infty} u_x \exp(-a u_x^2)\,\mathrm{d}u_x = \frac{1}{a} \int_{0}^{+\infty} x \exp(-x^2)\,\mathrm{d}x = \frac{I_1}{a} = \frac{1}{2a}

   où l'on a utilisé la valeur tabulée I_1 = 1/2. En remplaçant A par son expression obtenue en Q6 (A = \sqrt{a/\pi}) et en rappelant que a = \frac{m}{2k_{\mathrm{B}}T_0} :

   \int_{0}^{+\infty} u_x p_x(u_x)\,\mathrm{d}u_x = \frac{A}{2a} = \frac{1}{2\sqrt{\pi a}} = \sqrt{\frac{k_{\mathrm{B}}T_0}{2\pi m}}

   Le flux sortant d'atomes s'écrit donc :

   \dot{N}_{1/2} = \frac{N_1 s}{V} \sqrt{\frac{k_{\mathrm{B}}T_0}{2\pi m}}

   Par identification avec la relation (7) \dot{N}_{1/2} = \dfrac{N_1}{\tau}, on en déduit l'expression du temps caractéristique \tau :

   \boxed{\tau = \frac{V}{s}\sqrt{\frac{2\pi m}{k_{\mathrm{B}}T_0}}}

   Résultat

   $$\tau =\frac{V}{s}\sqrt{\frac{2\pi m}{k_{\mathrm{B}}{T}_0}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q30

   À chaque étape de durée \tau, la particule effectue un saut de longueur a, soit vers la droite (abscisse x+a), soit vers la gauche (abscisse x-a). Les deux sens étant équiprobables par hypothèse, la probabilité de transition vers la droite ou vers la gauche vaut :

   p_{\to} = p_{\gets} = \frac{1}{2}

   Pour se trouver en l'abscisse x_n à la date t_n, la particule devait nécessairement, à la date précédente t_{n-1} = t_n - \tau, se trouver en l'un des deux sites immédiatement voisins :

   • soit en x_{n-1} = x_n - a, et faire un saut d'amplitude +a (probabilité 1/2) ;
   • soit en x_{n+1} = x_n + a, et faire un saut d'amplitude -a (probabilité 1/2).

   Ces deux événements étant mutuellement exclusifs, la formule des probabilités totales donne immédiatement :

   \boxed{p(x_n, t_n) = \frac{1}{2} p(x_{n-1}, t_{n-1}) + \frac{1}{2} p(x_{n+1}, t_{n-1})}

   Résultat

   $$p(x_n,t_n)=\frac{1}{2}p(x_{n-1},t_{n-1})+\frac{1}{2}p(x_{n+1},t_{n-1})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q33

    D'après la relation de récurrence obtenue à la question Q30, on a :

    p(x_n, t_n) = \frac{1}{2} p(x_{n-1}, t_{n-1}) + \frac{1}{2} p(x_{n+1}, t_{n-1})

    En injectant l'approximation au premier ordre en temps de la question Q31 dans le membre de gauche et le résultat des développements spatiaux de la question Q32 dans le membre de droite, évalués au point (x_n, t_{n-1}), il vient :

    p(x_n, t_{n-1}) + \frac{\partial p}{\partial t}(x_n, t_{n-1})\,\tau = p(x_n, t_{n-1}) + \frac{a^2}{2}\,\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}(x_n, t_{n-1})

    En simplifiant par le terme p(x_n, t_{n-1}) commun aux deux membres, puis en divisant par \tau > 0, on obtient :

    \frac{\partial p}{\partial t}(x_n, t_{n-1}) = \frac{a^2}{2\tau}\,\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}(x_n, t_{n-1})

    Cette égalité étant vérifiée en tout site x_n et à tout instant t_{n-1}, elle est valable pour les variables continues (x, t) :

    \boxed{\frac{\partial p}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}}

    La fonction p(x,t) vérifie donc bien une équation de diffusion unidimensionnelle, où le coefficient de diffusion s'écrit D = \dfrac{a^2}{2\tau}.

    Résultat

    $$\frac{\partial p}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question