Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2021

Pour un œil standard (emmétrope), une observation sans fatigue, dite « sans accommodation », s'effectue lorsque le système optique renvoie l'image finale à l'infini (au punctum remotum de l'œil).

L'image intermédiaire A_1B_1, conjuguée de l'objet AB par l'objectif, joue le rôle d'objet pour l'oculaire. Pour qu'une lentille mince donne d'un objet une image située à l'infini, cet objet doit être placé dans son plan focal objet.

L'image intermédiaire donnée par l'objectif doit donc se former dans le plan focal objet de l'oculaire (le point A_1 étant situé au foyer principal objet F_2 de l'oculaire) :

L'objet AB est placé perpendiculairement à l'axe optique, en avant du foyer principal objet F_1 de l'objectif L_1.

1. Construction de l'image intermédiaire A_1B_1 par l'objectif L_1 : Pour déterminer la position du point image B_1, on trace deux rayons issus de B :

• le rayon passant par le centre optique O_1, qui n'est pas dévié ;
• le rayon parallèle à l'axe optique, qui émerge de L_1 en passant par le foyer principal image F'_1.

Ces deux rayons se coupent en B_1. Le point A_1 étant le projeté orthogonal de B_1 sur l'axe optique, il est confondu avec le foyer principal objet de l'oculaire :

L'image intermédiaire A_1B_1 est réelle, inversée et fortement agrandie.

2. Construction de l'image définitive à travers l'oculaire L_2 : Le point B_1 appartenant au plan focal objet de L_2, l'oculaire en donne une image à l'infini :

• les deux rayons précédemment tracés se propagent au-delà de B_1 et rencontrent la lentille L_2 ;
• ils émergent de L_2 parallèlement entre eux, inclinés d'un angle \alpha' par rapport à l'axe optique, parallèlement au rayon fictif non dévié passant par B_1 et le centre optique O_2.

L'image finale A'B' est donc rejetée à l'infini :

D'après la question Q1, pour une observation sans accommodation à travers l'oculaire, l'image intermédiaire A_1 donnée par l'objectif de l'objet A se forme dans le plan focal objet de l'oculaire :

La distance algébrique entre le foyer image de l'objectif F'_1 et cette image intermédiaire est donc égale à l'intervalle optique (ou longueur de tube) \Delta :

D'après la relation de Newton pour le grandissement transversal \gamma rappelée dans le formulaire de l'énoncé :

Comme \overline{F'_1 O_1} = -f'_1, il vient :

Application numérique : avec \Delta = 160\text{ mm} et \gamma = -40{,}0,

L'objectif forme de l'objet A une image intermédiaire A_1 avec un grandissement algébrique :

En utilisant la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre pour la lentille convergente modélisant l'objectif :

On en déduit la position algébrique de l'objet :

La distance entre le centre optique et l'objet vaut donc :

D'après la figure 1, le plan de front P est situé entre le centre optique O_1 et l'échantillon A, d'où :

Application numérique : Avec f'_1 = 4{,}0\text{ mm}, \gamma = -40{,}0 et O_1P = 3{,}5\text{ mm} :

Rôle du système à ressort : La distance frontale w étant extrêmement faible (0{,}6\text{ mm} = 600\ \mu\text{m}), lors d'une mauvaise manipulation au cours de la mise au point (rapprochement trop important du tube ou de la platine), l'objectif risque d'entrer en collision avec la lamelle couvre-objet. Un système de monture rétractable à ressort amortit le contact en permettant à la lentille frontale de s'enfoncer, évitant ainsi de briser la lame de préparation et de rayer ou détruire définitivement la lentille frontale de l'objectif.

L'œil est positionné dans le plan focal image de l'oculaire (en F'_2). Il observe de façon nette :

• Sans accommoder (vision au punctum remotum, PR = \infty) : l'image finale est à l'infini, donc l'image intermédiaire A_1 se forme en F_2, soit \overline{F'_1 A_1} = \Delta.

• En accommodant au maximum (vision au punctum proximum, PP) : l'image finale A' se forme à la distance minimale de vision distincte d_m = 25\text{ cm} en avant de l'œil, soit :

  \overline{F'_2 A'} = -d_m = -250\text{ mm}

Déterminons la position de l'image intermédiaire A_{1,\text{prox}} correspondante à l'aide de la relation de conjugaison de Newton pour l'oculaire L_2 :

L'intervalle de déplacement de l'image intermédiaire est donc :

Par la relation de Newton pour l'objectif L_1 :

Comme \delta A_1 \ll \Delta = 160\text{ mm}, on peut utiliser l'approximation différentielle :

La latitude de mise au point \delta \ell s'exprime ainsi par :

Application numérique :

La latitude de mise au point étant extrêmement faible (de l'ordre du micromètre), le tube du microscope doit impérativement être équipé d'une vis micrométrique (commande de mise au point fine), en plus de la vis macrométrique.

Le point B est situé dans le plan objet de l'échantillon, orthogonal à l'axe optique en A. Par stigmatisme et aplanétisme approchés de la lentille mince L_1, l'image B' se forme dans le plan image conjugué, c'est-à-dire dans le plan du photodétecteur passant par le point image A' de A.

Comme le grandissement transversal est négatif (\gamma = -40 < 0), l'image B' est située sous l'axe optique (y_{B'} < 0 pour y_B > 0).

• Le rayon issu de B passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié : son intersection avec le plan du détecteur donne la position exacte de B'.
• Le faisceau utile émis par B est limité par l'ouverture de la lentille L_1. Les rayons incidents issus de B qui rencontrent les bords supérieur et inférieur de la lentille L_1 sont déviés par la lentille et émergent en convergeant au point B'.

Le faisceau converge ainsi en un point B' situé hors de l'axe optique, dans le plan focal image intermédiaire, en dehors de la zone centrale où se trouve le trou d'entrée du photodétecteur.

Le plan du détecteur est positionné dans le plan image intermédiaire du microscope, c'est-à-dire dans le plan conjugué du plan de l'échantillon contenant A. Notons A' le point image de A sur l'axe optique, situé au centre du trou du photodétecteur.

Sur la figure C, le point C est situé sur l'axe optique, en amont du plan de l'échantillon (|\overline{O_1 C}| > |\overline{O_1 A}|, soit \overline{O_1 C} < \overline{O_1 A} < 0). D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre :

Comme \overline{O_1 C} < \overline{O_1 A} < 0, on a :

L'image C' se forme donc sur l'axe optique en avant du plan du détecteur (entre le foyer image F'_1 et le plan du détecteur).

Pour tracer le faisceau lumineux issu de C :

• On trace les rayons incidents issus de C atteignant les bords supérieur et inférieur de la lentille L_1.
• Après réfraction par L_1, ces rayons convergent vers le point image C' situé sur l'axe optique en avant du détecteur.
• Au-delà de C', les rayons poursuivent leur propagation en ligne droite et divergent. Ils atteignent le plan du photodétecteur sous forme d'une tache largement étalée.

L'introduction d'un diaphragme de petite taille (ou trou de sténopé, pinhole) dans le plan du photodétecteur a pour fonction d'assurer un filtrage spatial tridimensionnel :

• Dans le plan de l'échantillon (sélection latérale) : les points situés hors de l'axe optique, comme le point B étudié à la question Q6, forment leur image conjuguée en dehors de l'axe optique. Le diaphragme bloque ainsi leurs faisceaux et isole uniquement la lumière issue du point A conjugué du trou ;
• Selon la profondeur (sélection axiale) : les points situés hors du plan focal objet, comme le point C étudié à la question Q7, forment une tache lumineuse défocalisée et étendue au niveau du plan du capteur. La quasi-totalité de leur flux lumineux est donc interceptée par les bords du diaphragme.

Ce diaphragme permet ainsi d'éliminer la lumière parasite et la fluorescence hors foyer (issues du solvant ou d'autres fluorophores), assurant le sectionnement optique de l'échantillon et améliorant de façon décisive le contraste et le rapport signal sur bruit.

Comme établi aux questions précédentes (Q6 à Q8), l'association du diaphragme de filtrage et du photodétecteur constitue un détecteur quasi-ponctuel : la lumière de fluorescence n'est collectée efficacement que si elle provient d'une région microscopique unique centrée sur l'axe optique dans le plan de mise au point (le point A).

Le microscope confocal n'effectue donc à chaque instant qu'une mesure ponctuelle du signal lumineux. Pour obtenir une image bidimensionnelle de l'échantillon, il est indispensable de faire correspondre à chaque point (ou pixel) du plan d'observation une mesure d'intensité.

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon absorbé ou émis est reliée à sa longueur d'onde dans le vide par :

Le schéma énergétique de la figure 4 montre que :

• l'absorption d'un photon laser de longueur d'onde \lambda = 532\text{ nm} fournit une énergie d'excitation \Delta E_{\text{exc}} = \frac{hc}{\lambda} qui porte la molécule dans un état vibrationnel élevé du niveau électronique excité ;
• une désexcitation non radiative (relaxation vibrationnelle) dissipe une partie de cette énergie sous forme thermique vers l'état vibrationnel le plus bas du niveau excité ;

• la désexcitation radiative (fluorescence) correspond à une transition d'énergie \Delta E_{\text{fluo}} strictement inférieure à l'énergie d'excitation :

  \Delta E_{\text{fluo}} < \Delta E_{\text{exc}}

L'énergie étant inversement proportionnelle à la longueur d'onde, on en déduit :

soit :

Le signal de fluorescence est donc émis à une longueur d'onde supérieure à celle du laser excitateur (décalage vers le rouge).

Le miroir dichroïque (ou lame semi-réfléchissante sélective en longueur d'onde) assure une double fonction :

1. Séparation géométrique des voies d'excitation et de détection : il réfléchit le faisceau laser incident (\lambda = 532\text{ nm}) vers l'objectif et l'échantillon, tout en transmettant la lumière de fluorescence issue de l'échantillon vers le photodétecteur.
2. Filtrage spectral de la lumière parasite : l'échantillon diffuse élastiquement une fraction de la lumière laser incidente (diffusion Rayleigh à \lambda = 532\text{ nm}), avec une intensité considérablement plus élevée que le signal de fluorescence. En réfléchissant la longueur d'onde d'excitation \lambda, le miroir empêche cette lumière laser diffusée d'atteindre le photodétecteur, évitant ainsi la saturation de celui-ci et préservant le rapport signal sur bruit.

D'après la question Q10, la lumière de fluorescence possède une longueur d'onde strictement supérieure à celle du laser :

Le miroir dichroïque doit donc se comporter comme un filtre passe-haut en longueur d'onde (ou « passe-long ») :

• À la longueur d'onde du laser, le miroir est réfléchissant :

  T(\lambda = 532\text{ nm}) \approx 0 \quad (\text{soit } R \approx 1)

• Pour les longueurs d'onde de fluorescence \lambda > \lambda_c (avec \lambda_c \gtrsim 532\text{ nm}), le miroir doit transmettre au maximum :

  T(\lambda) \approx 1