Feuille d'entraînement : Diffraction et réseaux

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique-Chimie L PC 2022, Q13

   L'utilisation d'un télescope de grand diamètre D présente deux intérêts physiques majeurs :

   1. Augmentation du pouvoir collecteur (luminosité) : La surface collectrice du miroir primaire est proportionnelle au carré de son diamètre :

      S = \frac{\pi D^2}{4}

      Le flux lumineux collecté en provenance d'un objet céleste lointain est donc proportionnel à D^2. Un diamètre plus grand permet de capter des flux très faibles, rendant ainsi observables des objets très peu lumineux (étoiles de magnitude élevée, galaxies lointaines) ou de diminuer les temps d'exposition nécessaires pour un rapport signal sur bruit donné.

   2. Amélioration du pouvoir de résolution angulaire (séparation) : L'image d'un point à l'infini à travers une pupille circulaire de diamètre D est limitée par la diffraction sous la forme d'une tache d'Airy dont le demi-angle d'ouverture est donné par le critère de Rayleigh :

      \theta_{\min} \simeq 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}

      Augmenter le diamètre D diminue la diffraction et permet ainsi de séparer des sources angulairement très proches ou de distinguer des détails plus fins de l'objet observé.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2020, Q38

   À une cote z fixée le long de la direction de propagation, l'intensité sur l'axe (r=0) vaut :

   I(0, z) = I_0 \left(\frac{W_0}{W(z)}\right)^2

   Pour une distance à l'axe r = W(z), l'intensité lumineuse s'écrit :

   I(W(z), z) = I(0, z)\,\mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}135\, I(0, z)

   La grandeur W(z) représente donc le rayon transverse du faisceau gaussien (ou demi-largeur du faisceau) à la cote z.

   \boxed{W(z) \text{ est la distance radiale à l'axe pour laquelle l'intensité lumineuse chute d'un facteur } \mathrm{e}^2 \approx 7{,}39 \text{ par rapport à sa valeur sur l'axe}.}

   Équivalemment, l'amplitude du champ électrique y est atténuée d'un facteur \mathrm{e} \approx 2{,}72 par rapport à sa valeur sur l'axe.

   Résultat

   $$W(z)\text{ est la distance radiale aˋ l’axe pour laquelle l’intensiteˊ lumineuse chute d’un facteur }{\mathrm{e}}^2\approx 7,39\text{ par rapport aˋ sa valeur sur l’axe}.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2020, Q41

   D'après l'expression du rayon transverse du faisceau gaussien :

   W(z) = W_0 \sqrt{1 + \frac{z^2}{L_R^2}}

   la longueur de Rayleigh L_R = \frac{\pi W_0^2}{\lambda} caractérise l'extension axiale de la zone focale. Plus précisément :

   • Définition quantitative : pour z = \pm L_R, le rayon du faisceau augmente d'un facteur \sqrt{2} :

     W(\pm L_R) = W_0 \sqrt{2}

     L'aire de la section droite du faisceau est donc doublée (\mathcal{S}(\pm L_R) = 2\,\mathcal{S}_0), et par conséquent l'intensité sur l'axe optique est divisée par deux :

     I(0, \pm L_R) = \frac{I_0}{2}
   • Signification physique : L_R mesure la distance caractéristique sur laquelle le faisceau reste collimaté autour du col (z=0). La plage [-L_R, +L_R], de longueur 2L_R, définit la profondeur de champ (ou profondeur de foyer) du faisceau.
   • Frontière de régimes : elle marque la transition entre la zone de champ proche (|z| \ll L_R, propagation quasi cylindrique) et la zone de champ lointain (|z| \gg L_R, divergence conique régie par la diffraction).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2020, Q18

   La diffraction d'une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda_o par une ouverture circulaire de diamètre D (diamètre de la pupille d'entrée ou du miroir principal du télescope) donne lieu à une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

   L'ordre de grandeur de l'ouverture angulaire (demi-angle au sommet du cône de diffraction, correspondant au premier anneau sombre) est donné par :

   \boxed{\theta_d \sim \frac{\lambda_o}{D}}

   Plus précisément, le rayon angulaire du premier zéro de la figure d'Airy s'écrit :

   \theta_d = 1{,}22\,\frac{\lambda_o}{D}

   où D = 200\text{ mm} représente le diamètre d'ouverture du miroir principal (mentionné en annexe 2).

   Résultat

   $${\theta }_d\sim \frac{{\lambda }_o}{D}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PC 2020, Q2

   La pupille d'entrée de l'œil, assimilable à une ouverture circulaire de diamètre D, diffracte la lumière émise par chaque source ponctuelle. L'image sur la rétine est une tache d'Airy dont le rayon angulaire du premier anneau sombre est donné d'après le document 2 par :

   \theta = 1{,}22 \frac{\bar{\lambda}}{D}

   D'après le critère de Rayleigh (illustré par le cas limite (b) du document 3), deux sources ponctuelles incohérentes sont discernables lorsque le maximum central de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de celle de l'autre. La séparation angulaire minimale est donc :

   \boxed{\alpha_2 = 1{,}22 \frac{\bar{\lambda}}{D}}

   Avec \bar{\lambda} = 500\text{ nm} = 5{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et D = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m} :

   \alpha_2 = 1{,}22 \times \frac{5{,}0 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2{,}0 \times 10^{-4}\text{ rad}

   Sachant que 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}, on obtient :

   \alpha_2 = \frac{2{,}03 \times 10^{-4}}{2{,}9 \times 10^{-4}} \approx 0{,}70' \approx 1'

   Comparaison avec \alpha_1 : On constate que la limite imposée par la diffraction est du même ordre de grandeur que la limite imposée par le pavage des récepteurs rétiniens obtenue à la question 1 :

   \boxed{\alpha_2 \sim \alpha_1 \approx 1'}

   Résultat

   $${\alpha }_2=1,22\frac{\bar{\lambda }}{D}$$

   $${\alpha }_2\sim {\alpha }_1\approx 1^{\prime }$$

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6. Exercice 6Polytechnique Physique A PC 2025, Q26

   Il s'agit de la limite de diffraction (ou critère de Rayleigh / limite d'Abbe).

   En physique ondulatoire, une onde propagative ne transporte que des composantes spectrales spatiales de norme inférieure ou égale à k = \omega/c_0. Les détails spatiaux de la source de dimensions sub-longueur d'onde (r \ll \lambda) sont associés à des ondes évanescentes qui s'atténuent exponentiellement avec la distance et ne parviennent pas jusqu'à la sphère réceptrice. Le miroir à retournement temporel n'enregistre et ne réémet donc que la partie propagative du champ, ce qui borne la résolution spatiale de refocalisation à une demi-longueur d'onde environ (\sim \lambda/2).

   On retrouve cette limite fondamentale dans de nombreuses applications :

   • en microscopie optique classique, où elle fixe le pouvoir de résolution ultime (résolution d'Abbe d \sim \lambda / (2\,\mathrm{ON})), ce qui interdit de distinguer des détails biologiques plus petits qu'environ 200\text{--}250\text{ nm} dans le visible ;
   • en imagerie médicale et thérapie par ultrasons (échographie, destruction de calculs par lithotripsie ou de tumeurs par ultrasons focalisés de haute intensité / HIFU), où la tache focale acoustique est bornée par \lambda/2 ;
   • en astronomie, où le pouvoir séparateur angulaire d'un télescope de diamètre D est borné par le critère de Rayleigh \theta \sim 1{,}22\,\lambda/D ;
   • en photolithographie pour la microélectronique, où la finesse de gravure des circuits intégrés est contrainte par la diffraction de la lumière utilisée (imposant le recours aux UV extrêmes EUV, \lambda \approx 13{,}5\text{ nm}).

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7. Exercice 7CCINP Physique PC 2022, Q32

   En optique géométrique, un faisceau de rayons parallèles traversant une lentille mince convergente convergerait vers un point unique en son foyer principal image F'.

   En réalité, du fait de la nature ondulatoire de la lumière et du phénomène de diffraction, le faisceau laser possède une extension transverse non nulle en F' :

   • avant le foyer F', le faisceau converge depuis la lentille (où il possède une largeur 2W_0) jusqu'à un rayon minimal w_0 au plan focal image ;
   • en F', le faisceau forme un col de rayon w_0 (soit une largeur totale 2w_0) ;
   • après le foyer F', le faisceau diverge à nouveau symétriquement par rapport au plan focal.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique PC 2022, Q33

   1. Expression approchée de w_0 :

   Le faisceau incident présente une largeur transverse 2W_0. Par diffraction, le faisceau diverge après le plan de la lentille avec un demi-angle de diffraction caractéristique :

   \theta_{\mathrm{diff}} \approx \frac{\lambda_0}{2W_0}

   Au foyer image situé à la distance f' de la lentille, le rayon (demi-largeur) du col du faisceau est donc de l'ordre de grandeur de :

   \boxed{w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{2W_0}}

   Remarque : selon que l'on considère la largeur totale ou le rayon pour l'ouverture diffractante, une estimation de la forme w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0} ou issue du profil gaussien (w_0 = \frac{\lambda_0 f'}{\pi W_0}) est également acceptable à un facteur d'ordre 1 près.

   2. Expression de la résolution spatiale \delta_x :

   Chaque faisceau est assimilé au niveau du croisement à un cylindre de demi-largeur transverse w_0, incliné d'un angle \alpha par rapport à l'axe (Ox) (figure 9).

   Considérons le triangle rectangle formé par :

   • le centre O de la zone de croisement,
   • le point extrême sur l'axe (Ox) correspondant au sommet droit de la zone losangique d'interférences, d'abscisse x_{\max},
   • la projection orthogonale de O sur la bordure extérieure du faisceau.

   La distance orthogonale entre l'axe du faisceau (passant par O) et son bord vaut w_0. L'axe du faisceau étant incliné d'un angle \alpha par rapport à (Ox), la trigonométrie dans ce triangle donne directement :

   \sin\alpha = \frac{w_0}{x_{\max}} \implies x_{\max} = \frac{w_0}{\sin\alpha}

   La longueur totale de la zone d'interférences selon l'axe (Ox), qui définit la résolution spatiale \delta_x, vaut donc :

   \boxed{\delta_x = 2\,x_{\max} = \frac{2w_0}{\sin\alpha}}

   En injectant l'expression approchée de w_0 :

   \delta_x \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0 \sin\alpha}

   3. Application numérique :

   Avec \lambda_0 = 514{,}5\text{ nm} = 5{,}145\cdot 10^{-7}\text{ m}, f' = 16\text{ cm} = 0{,}16\text{ m}, W_0 = 1\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} et \alpha = 6{,}0^\circ :

   \begin{aligned} w_0 &\approx \frac{5{,}145\cdot 10^{-7} \times 0{,}16}{2 \times 1{,}0\cdot 10^{-3}} \approx 4{,}1\cdot 10^{-5}\text{ m} = 41\ \mu\text{m} \\ \delta_x &\approx \frac{2 \times 4{,}12\cdot 10^{-5}}{\sin(6{,}0^\circ)} \approx \frac{8{,}23\cdot 10^{-5}}{0{,}1045} \approx 7{,}9\cdot 10^{-4}\text{ m} \end{aligned}

   \boxed{\delta_x \approx 0{,}8\text{ mm}}

   (Une convention prenant w_0 \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0} conduirait à \delta_x \approx 1{,}6\text{ mm} ; dans tous les cas, l'ordre de grandeur est d'environ 1\text{ mm}).

   4. Moyen d'augmenter la résolution spatiale :

   Augmenter la résolution spatiale signifie obtenir une mesure plus ponctuelle, c'est-à-dire diminuer la taille \delta_x du volume de mesure. D'après l'expression \delta_x \approx \frac{\lambda_0 f'}{W_0 \sin\alpha}, on peut :

   • élargir le faisceau laser incident W_0 (à l'aide d'un expanseur de faisceau / télescope afocal) afin d'accroître la focalisation ;
   • diminuer la distance focale f' de la lentille de focalisation ;
   • augmenter l'angle de croisement \alpha des faisceaux.

   Résultat

   $$w_0\approx \frac{{\lambda }_0{f}^{\prime }}{2W_0}$$

   $${\delta }_x=2x_{\max }=\frac{2w_0}{\sin \alpha }$$

   $${\delta }_x\approx 0,8\text{ mm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2022, Q35

   Pour sélectionner une longueur d'onde précise parmi les trois longueurs d'onde émises par la particule diffusante, on peut utiliser :

   • un filtre interférentiel (ou filtre passe-bande optique), centré sur la longueur d'onde souhaitée, placé en amont du photodétecteur (dispositif couramment employé en vélocimétrie laser tridimensionnelle) ;
   • ou un système dispersif tel qu'un réseau de diffraction ou un prisme associé à une fente de sélection spatiale (monochromateur) ;
   • ou un ensemble de miroirs dichroïques (lames séparatrices chromatiques).

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10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 PC 2022, Q8

    1. Pouvoir séparateur du télescope

    D'après le préambule, le phénomène de diffraction par l'ouverture circulaire de diamètre d impose une échelle angulaire caractéristique. Deux sources ponctuelles sont résolues si leur écart angulaire est supérieur à l'angle de diffraction \theta_{\min} :

    \sin \theta_{\min} \simeq \theta_{\min} = \frac{\lambda_0}{d}

    Application numérique :

    \theta_{\min} = \frac{550 \times 10^{-9}}{5{,}0} = 1{,}1 \times 10^{-7}\text{ rad}

    \boxed{\theta_{\min} = 1{,}1 \times 10^{-7}\text{ rad}}

    2. Condition de non-séparation du système binaire

    Deux étoiles séparées d'une distance D = 1\text{ UA} et situées à une distance L de l'observateur (avec L \gg D) sont vues sous un écart angulaire :

    \alpha \simeq \frac{D}{L}

    Les deux composantes ne peuvent plus être séparées si leur séparation angulaire est strictement inférieure au pouvoir séparateur du télescope :

    \alpha < \theta_{\min} \iff \frac{D}{L} < \theta_{\min} \iff L > \frac{D}{\theta_{\min}} = L_{\max}

    avec :

    \boxed{L_{\max} = \frac{D d}{\lambda_0}}

    3. Détermination de L_{\max} en années-lumière

    En mètres, la distance maximale s'écrit :

    L_{\max} = \frac{1{,}49 \times 10^{11} \times 5{,}0}{5{,}50 \times 10^{-7}} \simeq 1{,}35 \times 10^{18}\text{ m}

    En convertissant en années-lumière à l'aide de la donnée 1\text{ AL} = 9{,}46 \times 10^{15}\text{ m} :

    L_{\max} = \frac{1{,}35 \times 10^{18}}{9{,}46 \times 10^{15}} \simeq 1{,}4 \times 10^2\text{ AL}

    \boxed{L_{\max} = 1{,}4 \times 10^2\text{ AL}}

    Résultat

    $${\theta }_{\min }=1,1\times 10^{-7}\text{ rad}$$

    $$L_{\max }=\frac{Dd}{{\lambda }_0}$$

    $$L_{\max }=1,4\times 10^2\text{ AL}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question