Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2020

Les objets étant situés à l'infini (très au-delà du punctum remotum), l'œil emmétrope observe sans accommoder. D'après le document 1, la distance focale image vaut alors :

Les images des deux objets ponctuels se forment dans le plan focal image, c'est-à-dire directement sur la rétine au niveau de la fovéa.

La surface moyenne occupée par un cône est S_{\text{cône}} \approx \frac{1}{N}. En modélisant la répartition des cônes par un réseau régulier, la distance moyenne entre deux cônes adjacents est :

Deux objets ponctuels sont discernables si leurs images géométriques sur la rétine sont séparées par une distance minimale \Delta x.

• Au sens le plus strict (résolution géométrique élémentaire), les deux images doivent stimuler deux récepteurs distincts :

  \Delta x \ge d = \frac{1}{\sqrt{N}}
• Si l'on impose la présence d'au moins un photorécepteur non stimulé entre les deux images pour détecter un contraste (critère d'échantillonnage de Nyquist-Shannon), il faut \Delta x \ge 2d = \frac{2}{\sqrt{N}}.

Dans l'approximation des petits angles, l'écart angulaire \alpha_1 et l'écart rétinien \Delta x sont liés par :

En retenant la condition de séparation sur deux cônes adjacents (\Delta x = d) :

Application numérique : Avec N = 160\,000\text{ mm}^{-2} = 1{,}6 \times 10^{11}\text{ m}^{-2} et f' = 17\text{ mm} = 17 \times 10^{-3}\text{ m} :

Sachant que 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad} :

Remarque : avec le critère à un cône intermédiaire non stimulé (\Delta x = 2d), on obtiendrait \alpha_1 = \frac{2}{f'\sqrt{N}} \approx 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad} \approx 1'.

La pupille d'entrée de l'œil, assimilable à une ouverture circulaire de diamètre D, diffracte la lumière émise par chaque source ponctuelle. L'image sur la rétine est une tache d'Airy dont le rayon angulaire du premier anneau sombre est donné d'après le document 2 par :

D'après le critère de Rayleigh (illustré par le cas limite (b) du document 3), deux sources ponctuelles incohérentes sont discernables lorsque le maximum central de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de celle de l'autre. La séparation angulaire minimale est donc :

Avec \bar{\lambda} = 500\text{ nm} = 5{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et D = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m} :

Sachant que 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}, on obtient :

Comparaison avec \alpha_1 : On constate que la limite imposée par la diffraction est du même ordre de grandeur que la limite imposée par le pavage des récepteurs rétiniens obtenue à la question 1 :

Pour minimiser la taille a_1 d'un motif résolu par l'œil sous le diamètre angulaire minimal \alpha_2, l'observateur doit placer l'objet à la distance minimale de vision distincte, c'est-à-dire au punctum proximum (PP).

D'après le document 1, la distance séparant la pupille du PP vaut :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles :

On en déduit l'expression du plus petit motif discernable :

L'énoncé donne \alpha_2 = 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}. L'application numérique conduit à :

Une dimension de l'ordre de 70 à 100\text{ }\mu\text{m} correspond typiquement au diamètre d'un cheveu humain (ou à l'épaisseur d'une feuille de papier).

Le microscope simple de Van Leeuwenhoek fonctionne sur le principe d'une loupe de très courte distance focale f'_L.

L'intérêt d'interposer cette lentille entre l'échantillon et l'observateur est double :

• Observation sans fatigue visuelle : En plaçant l'échantillon AB dans le plan focal objet de la lentille (A=F), l'image A'B' est rejetée à l'infini. Un œil emmétrope placé juste derrière la lentille observe ainsi l'image sans accommoder.

• Augmentation spectaculaire de l'angle apparent (grossissement) : À l'œil nu, pour voir un objet le plus gros possible, l'observateur doit le placer au punctum proximum (d_{PP} \approx 25\text{ cm}), sous un angle apparent :

  \alpha_{\text{nu}} \approx \frac{AB}{d_{PP}}

  Avec la lentille boule, l'angle sous lequel est vue l'image à l'infini s'exprime dans les conditions de Gauss par :

  \alpha' \approx \frac{AB}{f'_L}

  Le grossissement commercial associé est alors :

  \boxed{G_c = \frac{\alpha'}{\alpha_{\text{nu}}} = \frac{d_{PP}}{f'_L}}

Comme le rayon de la bille de silice est millimétrique, sa distance focale f'_L est extrêmement courte (f'_L \approx 1\text{ mm}), ce qui procure un grossissement commercial considérable (G_c \approx 250). Des détails microscopiques invisibles à l'œil nu deviennent ainsi discernables.

1. Relation entre i_1 et i_2 :

Au point d'entrée I, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

Le triangle CIJ est isocèle en C car CI = CJ = R. Les angles à la base sont donc égaux :

Au point de sortie J, la réfraction vers l'air donne :

On en déduit immédiatement \sin i_2 = n \sin r_1 = \sin i_1, soit, les angles étant aigus :

2. Expression de i_1 en fonction de x et R :

Le rayon incident étant parallèle à l'axe optique (Cz) à la distance x, la normale (CI) fait un angle i_1 avec l'axe (Cz). Dans le triangle rectangle formé par le centre C, le point I et la projection de I sur l'axe :

Dans l'approximation de Gauss (x \ll R), il vient :

3. Expression de \beta_r :

Dans le triangle isocèle CIJ, l'angle au sommet vaut \widehat{ICJ} = \pi - 2r_1. La droite (CI) faisant un angle i_1 avec la direction -\vec{u}_z, l'angle \beta_r = \widehat{F'CJ} entre (CJ) et l'axe optique +\vec{u}_z vérifie :

Dans l'approximation de Gauss, r_1 \approx i_1/n, d'où :

4. Expression de \beta :

Considérons le triangle CJF'. La somme de ses angles intérieurs vaut \pi :

L'angle \widehat{CJF'} entre le rayon intérieur (CJ) et le rayon émergent (JF') vaut \pi - i_2 = \pi - i_1. Il vient donc :

En remplaçant \beta_r par son expression :

Soit en fonction de x, R et n :

5. Détermination de la distance focale f'_L = CF' :

Dans le triangle CJF', appliquons la loi des sinus :

Dans l'approximation de Gauss (\sin i_1 \approx i_1 et \sin \beta \approx \beta) :

On obtient l'expression de la distance focale :

6. Application numérique :

Avec n = 1{,}5 et R = 0{,}60\text{ mm} :

L'objet A et son image A' sont séparés d'une distance axiale \ell = \overline{AA'} = 195\text{ mm} > 0. En décomposant selon le centre optique C de la lentille :

En injectant cette relation dans la formule de conjugaison avec origine au centre :

On obtient l'équation du second degré en \overline{CA} :

Le discriminant associé s'écrit :

Comme \ell \gg 4f'_L, \Delta > 0, l'équation admet deux solutions réelles négatives :

Le grandissement transversal est donné par \gamma = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}} = 1 + \frac{\ell}{\overline{CA}}. Pour une image réelle (\overline{CA'} > 0) d'un objet réel (\overline{CA} < 0), la condition |\gamma| > 1 équivaut à :

La seule solution vérifiant cette condition est la plus grande racine :

Sous l'hypothèse \ell \gg 4f'_L, effectuons un développement limité au premier ordre en f'_L/\ell :

D'où l'expression approchée de la position de l'objet :

L'objet est donc situé très près du foyer objet F. On en déduit l'expression approchée du grandissement transversal :

Application numérique : avec \ell = 195\text{ mm} et f'_L = 1{,}0\text{ mm}, on obtient \gamma \approx -195.

1. Dispositif expérimental pour générer \underline{s}_i(z,t)

L'onde incidente \underline{s}_i(z,t) = \underline{A}_0 e^{i(\omega t - k_0 z)} est une onde plane progressive monochromatique se propageant selon l'axe optique (Oz) dans l'air. Elle peut être obtenue expérimentalement par :

• un laser de longueur d'onde \lambda = 500\text{ nm} associé à un télescope afocal (élargisseur de faisceau) pour obtenir un faisceau collimaté de large diamètre ;
• ou une lampe spectrale munie d'un filtre interférentiel centré sur \lambda, éclairant un diaphragme de très petit diamètre (source quasi-ponctuelle) placé au foyer objet d'une lentille convergente (collimateur).

2. Décomposition de l'onde transmise en trois ondes planes

La transmittance de la mire s'écrit sous forme d'exponentielles complexes selon la formule d'Euler :

En z = 0^+, le signal transmis vaut \underline{s}_t(x, 0, t) = t_1(x)\,\underline{s}_i(0, t) :

Pour z > 0, dans un milieu homogène d'indice n=1, chaque composante harmonique se propage comme une onde plane progressive monochromatique de vecteur d'onde \vec{k}_m = k_{mx}\widehat{u}_x + k_{mz}\widehat{u}_z vérifiant la relation de dispersion :

Avec la condition de propagation vers les z croissants (k_{mz} > 0) et a > \lambda :

On identifie alors les trois ondes de l'expression \underline{s}_t(x,z,t) = \sum_{m=1}^3 \underline{A}_m e^{i(\omega t - \vec{k}_m \cdot \vec{r})} :

3. Figure observée dans le plan focal image de la lentille

Chaque onde plane arrivant sur la lentille converge en un point de son plan focal image :

• L'onde 1 d'ordre 0 se propage selon l'axe optique (\theta_1 = 0) et converge au foyer principal image F' :

  x'_1 = 0

• Les ondes 2 et 3 d'ordres +1 et -1 se propagent avec des angles d'inclinaison \pm \theta par rapport à l'axe optique tels que \sin\theta = \frac{k_x}{k_0} = \frac{\lambda}{a}. Dans l'approximation de Gauss (\theta \ll 1), \tan\theta \approx \sin\theta \approx \frac{\lambda}{a}, et elles convergent aux foyers secondaires d'abscisses :

  x'_2 = + f'_L \frac{\lambda}{a} \quad \text{et} \quad x'_3 = - f'_L \frac{\lambda}{a}

1. Estimation numérique de \tan U

D'après les données de l'énoncé, le rayon de la lentille est R = 0{,}60\text{ mm} et sa distance focale équivalente est f'_L = 1{,}0\text{ mm}. On obtient directement :

2. Expression du pas minimal a_2

D'après la question Q7, l'onde transmise par la mire est décomposée en trois ondes planes correspondant aux ordres 0 et \pm 1. L'ordre 0 se propage suivant l'axe optique, tandis que les ordres \pm 1 se propagent sous un angle \theta avec l'axe (Oz) tel que :

Selon la théorie d'Abbe, pour que la mire soit résolue dans le plan image, il est indispensable qu'au moins deux faisceaux interfèrent (l'ordre central non dévié et au moins l'un des ordres diffractés \pm 1). L'angle de diffraction \theta ne doit donc pas dépasser le demi-angle d'ouverture U collecté par l'objectif :

Le pas minimal observable s'écrit donc en fonction de U et \lambda :

Dans le cadre de l'approximation de Gauss adoptée par l'énoncé, \sin U \approx \tan U = \frac{R}{f'_L} (ou de manière équivalente, en considérant que la position de la tache dans le plan focal image doit vérifier |x'_{2,3}| = f'_L \frac{\lambda}{a} \le R), ce qui donne :

Remarque : Si l'on ne fait pas l'approximation paraxiale pour l'angle U, avec \sin U = \frac{\tan U}{\sqrt{1 + \tan^2 U}} = \frac{R}{\sqrt{{f'_L}^2 + R^2}}, on obtiendrait a_2 = \frac{\lambda\sqrt{{f'_L}^2 + R^2}}{R}.

3. Application numérique et comparaison à a_1

Avec \lambda = 500\text{ nm} = 0{,}50\,\mu\text{m}, le calcul numérique donne :

(La formule avec \sin U \approx 0{,}514 conduit à a_2 \approx 0{,}97\,\mu\text{m} \approx 1{,}0\,\mu\text{m}). On retient donc un ordre de grandeur :

À la question Q3, la limite de résolution spatiale de l'œil nu a été évaluée à a_1 \approx 73\,\mu\text{m} \approx 70\,\mu\text{m}. Le rapport vaut :

Commentaire : La lentille de Van Leeuwenhoek permet un gain de résolution de près de deux ordres de grandeur par rapport à l'œil nu. Elle permet ainsi d'atteindre l'échelle micrométrique, rendant pour la première fois observables des micro-organismes (bactéries, globules sanguins, levures).

Une onde incidente plane se propageant selon +z présente des surfaces d'onde équiphases perpendiculaires à l'axe (Oz).

Entre les plans z = 0 et z = e, le chemin optique parcouru dépend de la zone transverse considérée :

• pour |x| > b (milieu extérieur d'indice n = 1) :

  L_2 = 1 \times e = e

• pour |x| < b (échantillon d'indice n' supérieur à 1) :

  L_1 = n' \times e

Comme n' > 1, la célérité de la lumière dans l'échantillon v = c/n' est plus faible que dans le milieu extérieur (c). L'onde subit un retard de phase dans la partie centrale :

Une surface d'onde étant le lieu des points de même phase (ou atteints au même instant par l'onde issue d'une même surface d'onde incidente), la portion de surface d'onde ayant traversé l'échantillon présente un retard géométrique spatialisé de :

vers l'amont (les z décroissants).

La surface d'onde transmise \Sigma_t reste plane par morceaux : elle est en avance pour |x| > b et en retrait d'une distance \Delta z = (n'-1)e dans la région centrale |x| < b.

Le retard de phase accumulé par une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide \lambda lors d'un trajet géométrique e dans un milieu d'indice n s'écrit \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} L, où L = n e est le chemin optique associé.

• Pour |x| > b, l'onde se propage dans le milieu environnant d'indice n = 1, d'où le chemin optique L_2 = e :

  \boxed{\varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} e}

• Pour -b < x < b, l'onde traverse l'échantillon d'indice n' sur l'épaisseur e, soit un chemin optique L_1 = n'e :

  \boxed{\varphi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} n' e}

En prenant comme onde de référence en sortie l'onde ayant traversé le milieu d'indice 1, d'amplitude \underline{s}_{\text{ref}}(e,t) = \underline{A}_0 e^{i(\omega t - \varphi_2)}, l'onde transmise s'écrit :

Par identification avec l'expression donnée dans l'énoncé :

• pour |x| > b : \underline{t}_2(x) = 1 ;

• pour -b < x < b : \underline{s}_t(e,t) = \underline{A}_0 e^{i(\omega t - \varphi_1)} = e^{-i(\varphi_1 - \varphi_2)} \underline{s}_{\text{ref}}(e,t), ce qui conduit à :

  \underline{t}_2(x) = e^{-i(\varphi_1 - \varphi_2)} = e^{-i\varphi'}

On en déduit l'expression du déphasage relatif \varphi' :

D'après la question Q10, la transmittance dans la région -b < x < b est donnée par :

Un développement limité au premier ordre de l'exponentielle s'écrit :

Pour pouvoir écrire \underline{t}_2(x) \approx 1 - i\varphi', il est mathématiquement nécessaire que le module du déphasage soit très petit devant 1 radian :

En utilisant l'expression établie à la question Q10, \varphi' = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n'-1)e, cette condition se traduit physiquement par :

Cette condition physique est satisfaite lorsque :

• le contraste d'indice est très faible : l'indice n' de l'échantillon biologique est très proche de l'indice du milieu environnant (|n'-1| \ll 1) ;
• l'échantillon est de très faible épaisseur e (typiquement microscopique), de sorte que le retard de marche optique \Delta L = |n'-1|e reste très inférieur à la longueur d'onde de la lumière \lambda.

Considérons une onde plane diffractée par l'objet faisant un angle \theta avec l'axe optique (Oz). Dans le cadre de l'approximation de Gauss (rayons peu inclinés sur l'axe, soit \theta \ll 1), cette onde plane converge dans le plan focal image de la lentille en un foyer secondaire situé à l'ordonnée transverse x' telle que :

Par ailleurs, la composante suivant l'axe (Ox) du vecteur d'onde \vec{k} de cette onde plane progressive dans l'air s'écrit :

En éliminant l'angle \theta entre ces deux relations, on obtient :

D'après la définition rappelée par l'énoncé, la fréquence spatiale u est définie par u = \frac{k_x}{2\pi}. On en déduit :

D'après la question Q11, la transmittance de l'échantillon s'écrit :

Par linéarité de la transformée de Fourier et de la transformée de Fourier inverse, et à l'aide des correspondances données dans le tableau de l'énoncé :

La condition |x| < b sur l'objet correspond dans le plan image à \left|\dfrac{X}{\gamma}\right| < b, soit |X| < |\gamma|b. On en déduit l'expression de l'amplitude complexe sur les deux domaines :

L'intensité lumineuse observée dans le plan image est donnée par I_1(X) = \underline{S}_1(X)\underline{S}_1^*(X) = |\underline{S}_1(X)|^2. La constante \alpha étant réelle :

Les intensités extrémales dans le plan image sont donc :

On en déduit le contraste C_1 :

D'après l'approximation d'objet de phase faible (question Q11), la transmittance dans le plan objet s'écrit :

Dans le plan focal image, la transformée de Fourier de cette transmittance vaut \delta(u) - i\Phi(u) (question Q13).

Le disque placé en F' (u=0), de taille négligeable, n'intercepte que la composante d'onde non diffractée décrite par \delta(u) et lui applique un déphasage de +\pi/2, soit une multiplication par e^{i\pi/2} = i. La lumière diffractée -i\Phi(u) passe en dehors du disque et ne subit aucune modification. L'amplitude dans le plan focal devient donc :

Par transformée de Fourier inverse (T.F.^{-1}) et linéarité, l'amplitude complexe dans le plan image s'écrit :

On distingue ainsi les deux intervalles en X :

• Pour |X| > |\gamma|b (fond hors de l'image de l'échantillon) :

  \boxed{\underline{S}_2(X) = i\alpha}

• Pour |X| < |\gamma|b (zone conjuguée de l'échantillon) :

  \boxed{\underline{S}_2(X) = i\alpha(1 - \varphi')}

L'intensité correspondante I_2(X) = \underline{S}_2(X)\,\underline{S}_2^*(X) vaut :

• Pour |X| > |\gamma|b :

  \boxed{I_2(X) = \alpha^2}

• Pour |X| < |\gamma|b :

  \boxed{I_2(X) = \alpha^2(1 - \varphi')^2}

Pour un milieu plus réfringent que l'air (n' > 1), on a \varphi' > 0, donc I_2(|X| < |\gamma|b) < I_2(|X| > |\gamma|b). Les extrema d'intensité valent donc I_{\max} = \alpha^2 et I_{\min} = \alpha^2(1 - \varphi')^2. Le contraste s'exprime par :

Dans le cadre de l'approximation de phase faible (\varphi' \ll 1), en ne retenant que le premier ordre non nul :

(ou plus généralement C_2 \approx |\varphi'| si le signe de \varphi' n'est pas fixé).

Le disque placé en F' n'intercepte que l'onde non diffractée d'ordre zéro associée à la distribution de Dirac \delta(u). En plus d'imposer un déphasage de +\pi/2 (facteur e^{i\pi/2} = i), il atténue l'amplitude d'un facteur |\underline{t}_3| < 1. Sa transmittance s'écrit donc au point focal x'=0 :

L'onde diffractée (u \neq 0), qui passe en dehors du disque ponctuel, demeure inchangée. Par linéarité de la transformation de Fourier inverse, l'amplitude complexe dans le plan image devient :

• pour |X| > |\gamma| b (fond) :

  \underline{S}_3(X) = i |\underline{t}_3| \alpha

• pour |X| < |\gamma| b (image de l'échantillon) :

  \underline{S}_3(X) = i |\underline{t}_3| \alpha - i\alpha \varphi' = i\alpha \left( |\underline{t}_3| - \varphi' \right)

Les intensités correspondantes dans le plan image sont données par I_3(X) = |\underline{S}_3(X)|^2 :

En supposant l'atténuation modérée devant le faible déphasage (|\underline{t}_3| > \varphi'), on a I_{\min} = I_{\text{éch}} et I_{\max} = I_{\text{fond}}. Les écarts et sommes d'intensité valent :

Le contraste C_3 = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} s'écrit alors rigoureusement :

Au premier ordre par rapport à \varphi' \ll |\underline{t}_3|, on obtient l'expression approchée :

Commentaire du résultat :

• Puisque |\underline{t}_3| < 1, on a C_3 \approx \frac{C_2}{|\underline{t}_3|} > C_2 : l'atténuation de l'onde directe amplifie le contraste d'un facteur 1/|\underline{t}_3|.
• Sur le plan physique, l'onde d'ordre zéro non atténuée est beaucoup plus intense que l'onde diffractée par l'objet de phase faible. Atténuer l'ordre zéro permet d'équilibrer les amplitudes des deux ondes qui interfèrent dans le plan image, ce qui augmente la visibilité des franges (ou le contraste de l'image).
• En contrepartie, l'intensité totale reçue par le détecteur diminue comme |\underline{t}_3|^2, ce qui nécessite une source lumineuse plus intense pour conserver un bon rapport signal sur bruit.