Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2020 (page 2/2 : Partie IV)

Le système étudié est la charge q, de masse m, assimilée à un point matériel mobile le long de l'axe (Ox). Dans le référentiel de l'échantillon supposé galiléen, le bilan des forces comprend :

• la force électrique exercée par le champ de l'onde : \vec{F}_e = q \vec{E}(t) = q E_0 \left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) \widehat{u}_x ;
• la force de rappel élastique harmonique : \vec{F}_1 = -m\omega_p^2 x\,\widehat{u}_x ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -m\Gamma \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\widehat{u}_x avec \Gamma > 0 ;
• les effets du champ magnétique et de la pesanteur étant négligés.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge s'écrit :

En projetant suivant le vecteur unitaire \widehat{u}_x et en divisant par m, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

En régime sinusoïdal forcé établi, la réponse est la somme des réponses associées à chaque terme harmonique du second membre. En posant :

et en injectant la composante à pulsation \omega dans l'équation différentielle, les dérivées temporelles successives s'écrivent \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv i\omega et \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \equiv -\omega^2, d'où :

En définissant la fonction polynomiale complexe \underline{D}(\omega) par :

l'amplitude complexe s'écrit :

De même, pour le terme source proportionnel à e^{-i\omega t}, l'opérateur temporel devient \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv -i\omega, ce qui conduit au dénominateur :

Les grandeurs q, E_0 et m étant réelles, la composante conjuguée s'écrit directement :

On retrouve bien la fonction décrivant le mouvement de la charge en régime établi :

La force de rappel \vec{F}_2 = -m\left(\omega_p^2 x + \beta x^2\right)\widehat{u}_x dérive d'une énergie potentielle V(x) selon :

On en déduit :

Par intégration, en choisissant l'origine de l'énergie potentielle en x = 0 (V(0) = 0) :

Si l'entité possède un centre de symétrie en O, la transformation x \to -x laisse le système invariant. L'énergie potentielle doit donc vérifier la condition de parité :

Or, en remplaçant x par -x :

Pour que V(-x) = V(x), il faut nécessairement que le terme impair s'annule :

Par conséquent, cette énergie potentielle ne peut pas concerner une entité possédant un centre de symétrie en O si \beta \neq 0.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge q dans le référentiel galiléen de l'échantillon, projeté selon l'axe (Ox), s'écrit en présence de la force de rappel non linéaire \vec{F}_2 :

soit, en divisant par la masse m :

On injecte la décomposition x(t) = x_1(t) + x_2(t) dans cette équation différentielle :

D'après la question Q16, le mouvement d'ordre linéaire x_1(t) satisfait exactement :

L'équation se simplifie donc sous la forme :

Puisque |x_2(t)| \ll |x_1(t)| à tout instant, les termes non linéaires d'ordre supérieur en perturbation sont négligeables :

De plus, dans l'approximation des faibles perturbations (\beta |x_1| \ll \omega_p^2), le terme de couplage 2\beta x_1 x_2 est totalement négligeable devant \omega_p^2 x_2.

On obtient donc bien l'équation régissant la perturbation x_2(t) :

L'équation différentielle (2) s'écrit sous la forme d'un oscillateur amorti excité par un second membre non linéaire :

D'après la question Q16, le mouvement linéaire s'écrit sous la forme :

En élevant cette expression au carré, on obtient le terme source :

Le second membre est donc la somme :

• d'un terme constant (composante continue, de pulsation nulle) : -2\beta \left|\underline{X}_1(\omega)\right|^2 ;
• de deux termes harmoniques aux pulsations +2\omega et -2\omega, complexes conjugués l'un de l'autre.

L'opérateur différentiel \mathcal{L} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} + \omega_p^2 étant linéaire à coefficients constants et le terme d'amortissement \Gamma > 0 assurant l'extinction du régime transitoire, la solution en régime forcé établi est la somme des réponses particulières à chacune de ces composantes (principe de superposition) :

• la composante continue engendre une réponse stationnaire constante K ;
• les termes à pulsation \pm 2\omega engendrent une réponse harmonique à la pulsation 2\omega.

La grandeur physique x_2(t) étant réelle, la contribution oscillante doit être égale à la somme de deux termes complexes conjugués à la pulsation 2\omega. On en déduit bien la forme cherchée :

D'après la question Q16, le déplacement linéaire s'écrit :

En élevant cette expression au carré, on obtient :

L'équation différentielle (2) régissant la perturbation x_2(t) s'écrit :

En introduisant l'opérateur linéaire \mathcal{L} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} + \omega_p^2 et en appliquant cet opérateur à chaque terme de x_2(t) = \underline{X}_2(\omega) e^{2i\omega t} + \underline{X}_2^*(\omega) e^{-2i\omega t} + K :

où l'on a utilisé la définition \underline{D}(\Omega) = \omega_p^2 - \Omega^2 + i\Gamma\Omega pour \Omega = 2\omega et \Omega = 0.

Par unicité de la décomposition en séries de Fourier, l'identification harmonique terme à terme conduit à :

• Sur la composante à la pulsation 2\omega (e^{2i\omega t}) :

  \underline{D}(2\omega) \underline{X}_2(\omega) = -\beta \underline{X}_1^2(\omega) = -\frac{\beta q^2 E_0^2}{m^2 \underline{D}^2(\omega)}

• Sur la composante à la pulsation -2\omega (e^{-2i\omega t}) :

  \underline{D}^*(2\omega) \underline{X}_2^*(\omega) = -\beta \left(\underline{X}_1^*(\omega)\right)^2 = -\frac{\beta q^2 E_0^2}{m^2 (\underline{D}^*(\omega))^2}

• Sur la composante continue (fréquence nulle) :

  \omega_p^2 K = -2\beta \underline{X}_1(\omega)\underline{X}_1^*(\omega) = -\frac{2\beta q^2 E_0^2}{m^2 \underline{D}(\omega)\underline{D}^*(\omega)}

On en déduit ainsi les expressions demandées :

D'après la relation de Planck-Einstein, un photon de l'onde incidente de pulsation \omega transporte une énergie :

L'onde rayonnée par l'échantillon et sélectionnée par le filtre passe-haut possède une pulsation 2\omega. Chaque photon émis transporte donc une énergie :

En vertu du principe de conservation de l'énergie, l'émission d'un tel photon (de fréquence double) résulte de l'annihilation ou de l'absorption simultanée de deux photons incidents de pulsation \omega :

On parle donc de microscopie à deux photons (ou microscopie biphotonique).

D'après la figure 6, la courbe d'émission relative du cristal de Ti : Saphir présente une bande très large :

• le maximum d'émission est centré autour de \lambda_0 \approx 780\text{ à } 800\text{ nm} ;

• la largeur spectrale à mi-hauteur (pour une intensité relative de 0{,}5) s'étend d'environ 700\text{ nm} à 900\text{ nm}, ce qui donne une largeur :

  \Delta\lambda \approx 150\text{ à } 200\text{ nm} \sim 2 \times 10^{-7}\text{ m}.

La fréquence du rayonnement est liée à sa longueur d'onde par \nu = \frac{c}{\lambda}. En différentiant cette relation, on obtient la largeur en fréquence :

Avec \lambda_0 \approx 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta\lambda \approx 2 \times 10^{-7}\text{ m} :

En utilisant la relation liant la durée d'un train d'onde à sa largeur spectrale, \tau_c \Delta\nu \sim 1, il vient :

D'où l'ordre de grandeur de la durée des impulsions :

1. Estimation de la pulsation centrale \omega_0

Sur la figure 6, la courbe d'émission relative du cristal de Ti : Saphir présente un maximum bien marqué centré sur la longueur d'onde :

La pulsation optique associée s'écrit :

Application numérique avec c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Expression et valeur numérique de \delta\omega

Le train d'impulsions est périodique de période T. D'après la théorie des séries de Fourier, son spectre est discontinu et constitué d'un peigne de fréquences dont les composantes sont séparées de \delta\nu = 1/T. L'espacement en pulsation entre deux raies consécutives est donc :

Application numérique avec T = 1{,}25 \times 10^{-8}\text{ s} :

3. Expression et valeur numérique de \Delta\omega

L'enveloppe spectrale est liée à la transformée de Fourier d'une impulsion individuelle de durée \tau_c. D'après la relation temps-fréquence \tau_c\,\Delta\nu \sim 1 introduite à la question Q22, la largeur en fréquence vaut \Delta\nu \sim 1/\tau_c. Par conséquent, la largeur à mi-hauteur en pulsation s'écrit :

Application numérique avec \tau_c = 10\text{ fs} = 1{,}00 \times 10^{-14}\text{ s} :

L'intensité lumineuse I (ou éclairement) d'une onde électromagnétique dans un milieu non magnétique est proportionnelle à la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting, c'est-à-dire au carré de l'amplitude du champ électrique :

De plus, d'après les questions précédentes (Q20 et Q21), l'amplitude de vibration anharmonique \underline{X}_2(\omega) est proportionnelle à E_0^2, et l'intensité rayonnée à la pulsation 2\omega varie comme E_0^4 = (E_0^2)^2. Comparer les carrés des champs revient donc directement à comparer les intensités crêtes incidentes, qui pilotent l'efficacité des processus non linéaires.

Considérons un faisceau de section droite \mathcal{S} = \pi W_0^2 identique pour les deux sources :

• Pour le laser continu : le champ a une amplitude constante E_0', de sorte que la puissance moyenne transportée s'écrit :

  P = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0'^2 \, \mathcal{S}

• Pour le laser pulsé : faisons l'hypothèse simplificatrice d'impulsions de forme rectangulaire de durée \tau_c, répétées avec la période T, au cours desquelles l'amplitude crête vaut E_0. La puissance instantanée vaut P_{\text{crête}} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2 \, \mathcal{S} pendant la durée \tau_c, et elle est nulle le reste de la période. La puissance moyenne sur une période T est donc :

  P = \frac{1}{T}\int_0^T P(t)\,\mathrm{d}t \approx \frac{\tau_c}{T} P_{\text{crête}} = \frac{\tau_c}{T} \left(\frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2 \, \mathcal{S}\right)

À puissance moyenne P et section \mathcal{S} égales, on en déduit immédiatement le rapport :

Application numérique avec T = 1{,}25 \times 10^{-8}\text{ s} et \tau_c = 1{,}00 \times 10^{-14}\text{ s} :

Commentaire : L'intensité crête délivrée par le laser pulsé est environ un million de fois plus grande que celle délivrée par un laser continu de même puissance moyenne. Comme le signal généré à 2\omega est proportionnel à E_0^4 = (E_0^2)^2, l'utilisation du laser impulsionnel amplifie l'émission non linéaire d'un facteur (10^6)^2 = 10^{12}.

Cela permet d'obtenir un signal détectable tout en maintenant une puissance moyenne faible (P = 1\text{ W}), ce qui évite l'échauffement destructeur et la photodégradation de l'échantillon biologique.

D'après l'énoncé, la longueur de Rayleigh associée au faisceau gaussien s'écrit :

Avec un waist W_0 = 0{,}50\text{ mm} = 5{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} et une longueur d'onde centrale \lambda_0 \approx 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} (déterminée à partir du spectre d'émission du cristal de Ti : Saphir à la question Q23) :

La longueur de Rayleigh z_R \approx 1{,}0\text{ m} est très grande devant les dimensions optiques de l'objectif (focale f'_L = 1{,}00\text{ mm}) et de l'ordre de grandeur de la distance parcourue par le faisceau entre le laser et le microscope. Pour une distance |z| \ll z_R par rapport au waist de sortie du laser :

• le rayon du faisceau reste pratiquement constant : W(z) = W_0 \sqrt{1 + (z/z_R)^2} \approx W_0 ;
• le rayon de courbure des surfaces d'onde R(z) = z\left[1 + (z_R/z)^2\right] \approx z_R^2 / z \gg z est extrêmement grand, si bien que les fronts d'onde sont plans et normaux à l'axe optique (Oz).

Le faisceau incident sur l'objectif est donc équivalent à un paquet d'ondes planes se propageant parallèlement à l'axe optique (faisceau de rayons parallèles, correspondant à un objet situé à l'infini sur l'axe). Par les propriétés d'une lentille mince convergente dans les conditions de Gauss, ces rayons émergent en convergeant au foyer image F'. Le faisceau sera donc focalisé au foyer image F' de l'objectif.

D'après la question Q25, le faisceau incident a une longueur de Rayleigh z_R \approx 1{,}0\text{ m} \gg f_L' : l'onde incidente sur la lentille est quasi-plane et le waist incident de demi-largeur W_0 est situé au niveau de la lentille.

Après traversée de la lentille mince convergente de distance focale f_L', le faisceau converge vers un nouveau waist de demi-largeur W_0' situé en F'. En choisissant l'origine des cotes axiales z' au foyer image F', le profil du faisceau focalisé s'écrit :

Au niveau de la lentille, située en z' = -f_L', la demi-largeur du faisceau coïncide avec celle du faisceau incident, soit W(-f_L') = W_0. Dans l'hypothèse où la lentille est en zone de champ lointain par rapport au waist focalisé (f_L' \gg z_R'), on a :

On en déduit l'expression du waist focalisé :

Application numérique : D'après l'étude spectrale du laser Ti : Saphir (figure 6, question Q23), la longueur d'onde centrale d'émission est \lambda \approx 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}. Avec f_L' = 1{,}00\text{ mm} = 1{,}00 \times 10^{-3}\text{ m} et W_0 = 0{,}50\text{ mm} = 5{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} :

D'après l'expression du faisceau gaussien après la lentille, l'amplitude sur l'axe optique (x = 0) s'écrit :

où z'_R = \dfrac{\pi {W'_0}^2}{\lambda} désigne la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé au voisinage de F', avec l'origine prise en F' (z'=0). En ce point, le champ est maximal et vaut E_0(W'_0, 0, 0) = A'_0.

La condition imposée sur la profondeur \delta z' s'écrit :

Il vient successivement :

En remplaçant la longueur de Rayleigh par son expression z'_R = \dfrac{\pi {W'_0}^2}{\lambda}, on obtient :

Application numérique : Avec \sqrt{10} \approx 3{,}16, on a \sqrt{\sqrt{10} - 1} = \sqrt{2{,}16} \approx 1{,}47. D'après la question Q26, z'_R = \dfrac{\pi {W'_0}^2}{\lambda} \approx 1{,}0\,\mu\text{m} (avec W'_0 \approx 0{,}51\,\mu\text{m} et \lambda \approx 800\text{ nm}) :

La formation d'une image tridimensionnelle sans coloration repose sur les étapes suivantes :

1. Contraste endogène sans coloration : Comme établi en partie IV.A, les fibres de collagène présentent une organisation moléculaire non centrosymétrique (\beta \neq 0). Sous l'action du champ électrique intense du laser pulsé Ti : Saphir à la pulsation \omega_0 (\lambda_0 \approx 800\text{ nm}), la réponse non linéaire du milieu engendre une polarisation oscillant à 2\omega_0 (\lambda = \lambda_0 / 2 \approx 400\text{ nm}). Le collagène émet ainsi spontanément un signal à la fréquence double (génération de seconde harmonique) sans qu'il soit nécessaire d'introduire des colorants exogènes perturbateurs.
2. Sectionnement optique intrinsèque : L'intensité du signal émis à 2\omega_0 dépend de manière quadratique de l'intensité d'excitation, soit I(2\omega_0) \propto E_0^4. Cette émission n'atteint un niveau détectable qu'au voisinage immédiat du foyer image F' de l'objectif, au sein d'un minuscule volume focal (voxel) de dimensions transverses 2W_0' \approx 1{,}0\,\mu\text{m} et de profondeur axiale \delta z' \approx 3\,\mu\text{m} (questions Q26 et Q27). En dehors de ce volume, la divergence du faisceau fait chuter l'intensité incidente et annule quasi totalement la génération du signal : il n'y a donc aucun signal parasite issu des plans hors focus, conférant au système une résolution axiale native sans trou sténopéïque (contrairement à la microscopie confocale).

3. Séparation spectrale par miroir dichroïque : D'après la courbe du document 4, le miroir dichroïque présente une transmission quasi unitaire à \lambda_0 \approx 800\text{ nm} et une réflexion quasi totale à 400\text{ nm}.

   • Le faisceau laser incident à 800\text{ nm} traverse le miroir et est focalisé sur l'échantillon par l'objectif.
   • Une fraction du signal à 2\omega_0 (\lambda = 400\text{ nm}) émis par les fibres est collectée en retour par l'objectif (épi-détection) ; elle est ensuite réfléchie à 90^\circ par le miroir dichroïque vers le photodétecteur, sans être polluée par la lumière laser rétrodiffusée.

4. Balayage spatial et reconstruction 3D :

   • Balayage transverse (x, y) : Le couple de miroirs mobiles selon deux directions orthogonales dévie angulairement le faisceau en amont de l'objectif, ce qui déplace le point focal dans le plan focal image de façon à balayer une tranche bidimensionnelle de l'échantillon. Le photodétecteur mesure point par point l'intensité lumineuse pour reconstituer une image 2D.
   • Balayage axial z : Un déplacement micrométrique relatif entre l'objectif et l'échantillon le long de l'axe Oz permet de translater le plan de coupe focal et d'acquérir une pile de coupes optiques à différentes profondeurs.

L'empilement numérique de ces coupes bidimensionnelles permet de reconstruire l'architecture tridimensionnelle complète du réseau de collagène avec une résolution micrométrique.