Microscopie optique : résolution de l'œil, microscope de Van Leeuwenhoek, contraste de phase et microscopie non linéaire à deux photons
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Le sujet part de la limite de résolution de l'œil pour mesurer l'apport de différents microscopes. Il étudie le microscope à lentille boule de Van Leeuwenhoek et la diffraction par une mire, puis le microscope à contraste de phase à l'aide de la transformée de Fourier. La dernière partie modélise la réponse non linéaire d'un échantillon éclairé par un laser pulsé et évalue la résolution d'un microscope à deux photons.
1Partie I : pouvoir de résolution de l'œil humainEstimation de la plus petite séparation angulaire à partir de la densité de cônes, puis de la diffraction par la pupille.
2Partie II : microscope de Van LeeuwenhoekLentille boule, approximation de Gauss, grandissement, diffraction par une mire sinusoïdale et pas minimal observable.
3Partie III : microscope à contraste de phaseDéphasage introduit par un échantillon transparent, transmittance, filtrage dans le plan focal et contraste de l'image.
4Partie IV : microscopie non linéaireModèle de l'électron élastiquement lié avec force de rappel non linéaire, génération au double de la fréquence, laser Titane-Saphir, faisceau gaussien et résolutions latérale et axiale.
Difficulté moyenne. Le jury note que la longueur raisonnable du sujet a permis à la majorité d'aborder presque toutes les questions, certaines proches du cours, d'autres exigeant une maîtrise approfondie et restées très rarement réussies (Q13 à Q15).
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Critère de résolution mal appliqué · Schémas d'optique géométrique erronés · Ordres de grandeur non discutés
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Le sujet alternait questions proches du cours et questions demandant une analyse approfondie des documents fournis, en optique géométrique et ondulatoire puis en partie en mécanique. La plupart des copies sont bien présentées, mais trop restent peu soignées. Le jury insiste sur les applications numériques menées à terme avec leur unité et sur le contrôle des ordres de grandeur.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Critère de résolution mal appliquéQ2
Une erreur de facteur 2 revient très souvent dans l'angle limite, alors que le critère était décrit en annexe ; l'application numérique devait être assez précise pour conclure.
« Bien que le critère de résolution était précisément décrit dans une annexe »
2
Schémas d'optique géométrique erronésQ4
Très peu de schémas montrent une image virtuelle, agrandie et droite ; certains décomposent à tort la lentille boule en deux lentilles convergentes.
« Le jury rappelle que c’est déjà le cas pour une lentille mince. »
3
Ordres de grandeur non discutésQ8, Q11
Une tangente de 0,6 n'est pas petite devant 1, et une grandeur ne tend vers zéro qu'en la comparant à une autre.
« Le jury rappelle qu’une tangente n’a pas d’unité »
4
Régime transitoire et régime forcé confondusQ16
Après avoir obtenu la bonne équation différentielle, certains étudient l'équation caractéristique au lieu de chercher la réponse forcée comme somme de deux termes complexes conjugués.
« confondant ainsi régime transitoire et régime sinusoïdal forcé »
5
Approximations illégitimesQ18
Une petite grandeur n'a pas forcément une accélération négligeable devant celle d'une grandeur plus grande.
« bien qu’une grandeur soit beaucoup plus petite qu’une deuxième, on ne peut pas forcément négliger l’accélération de la première devant celle de la deuxième »
6
Microscopie à deux photons mal compriseQ21, Q22
Les explications sur l'origine du nom sont souvent confuses, et la relation entre largeur spectrale en fréquence et en longueur d'onde est souvent fausse.
« Question très mal comprise par une majorité de candidats »
Ce qui a été bien réussi
La question Q9 (allure d'une surface d'onde) est relativement bien traitée.
La question Q12 sur la fréquence spatiale est globalement bien réussie, malgré quelques expressions non homogènes.
La question Q17 sur l'énergie potentielle est relativement bien traitée.
Le calcul de la longueur de Rayleigh en Q25 est relativement bien réalisé, et Q23 est globalement bien traitée malgré des erreurs d'unités.
Conseils du jury
Mener chaque application numérique jusqu'au bout, avec l'unité, sans laisser de fraction, de racine ou de multiple de pi.
Vérifier la cohérence des ordres de grandeur obtenus et commenter tout résultat aberrant.
Rédiger les questions qualitatives de façon courte et argumentée, en français correct, sans paragraphes hors sujet.
Soumettre tout résultat littéral à une analyse dimensionnelle.
Lire l'énoncé en entier pour repérer les données et les indications utiles.
Connaître son cours : le jury la juge nécessaire et suffisante pour réussir.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
28 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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28 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet part de la limite de résolution de l'œil pour mesurer l'apport de différents microscopes. Il étudie le microscope à lentille boule de Van Leeuwenhoek et la diffraction par une mire, puis le microscope à contraste de phase à l'aide de la transformée de Fourier. La dernière partie modélise la réponse non linéaire d'un échantillon éclairé par un laser pulsé et évalue la résolution d'un microscope à deux photons.
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Microscopie optique
Afin de contrôler la qualité des tissages, Antoni Van Leeuwenhoek (1632-1723), apprenti drapier aux Pays Bas, inventa le premier microscope à fort grandissement vers 1668. Cet instrument permit, grâce à la curiosité de son inventeur, de découvrir l'existence d'un monde vivant à une échelle invisible à l'œil nu. Ces découvertes marquèrent la naissance de la microbiologie. Cet instrument n'a jamais cessé d'évoluer pour extraire un maximum d'informations de l'échantillon étudié en trouvant de nouveaux contrastes et en explorant des échelles toujours plus petites.
Dans une première partie, nous préciserons la limite de résolution de l'œil afin d'apprécier ensuite, dans la partie II, l'apport du microscope de Van Leeuwenhoek pour réussir à voir de petits détails.
Pour observer des échantillons biologiques transparents faiblement contrastés, Frederik Zernike (18881966) proposa une technique originale d'observation sur fond noir, la microscopie à contraste de phase. Cette découverte lui valut l'attribution du prix Nobel de physique en 1953. Le principe de cette technique fait l'objet de la partie III.
Plus récemment, l'utilisation de lasers pulsés comme source de lumière pour les microscopes permet à la fois de nouveaux contrastes spécifiques des différents constituants d'un tissu biologique, mais également une imagerie tridimensionnelle. La partie IV propose de s'intéresser à certains aspects de la microscopie << biphotonique >>.
Quatre documents informatifs sont rassemblés à la fin de l'énoncé.
La notation 1^′ désigne la valeur angulaire 1 minute d'arc, c'est-à-dire un soixantième de degré, soit 1^′ = 2, 9 × 10^(− 4) rad. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche, sauf s'ils sont unitaires et sont alors surmontés d'un accent circonflexe. Traditionellement, les nombres complexes sont soulignés. Une grandeur portant un astérisque, comme z_–^∗, désignera le complexe conjugué de z_–. L'intensité I(x, t) associée à une onde monochromatique d'amplitude complexe s_–(x, t) correspondra au produit s_–(x, t) × s_–^∗(x, t).
I. - Pouvoir de résolution de l'œil humain
Cette partie s'appuie sur les documents 1, 2 et 3.
L'œil peut être modélisé par une lentille mince convergente de distance focale variable f^′ placée dans l'air, d'indice n = 1 et de diamètre D, identique à celui de la pupille d'entrée de l'œil. On désigne par λ¯ la longueur d'onde moyenne du rayonnement visible égale à 500 nm .
Figure 1 - Géométrie de l'œil.
Dans cette partie on considérera deux objets, ponctuels, incohérents, placés dans l'air à une distance grande devant le punctum remotum, dont les images se forment au centre de la fovéa d'un œil emmétrope. Comme indiqué sur la figure 1, ils sont vus sous un angle α.
1 - En considérant le nombre fini N de cônes présents par unité de surface au centre de la fovéa et sans tenir compte de la diffraction, estimer la valeur minimale de α notée α_1, permettant de discerner les deux objets situés à l'infini. Le résultat sera donné en fonction de N, et f^′ puis sera estimé numériquement en minute d'arc. ◻2 - En raison de la diffraction par la pupille, l'image d'un objet ponctuel est une tâche sur la rétine. En tenant compte de la diffraction, estimer de nouveau la valeur minimale de α notée α_2 séparant deux objets ponctuels incohérents vus distinctement par un œil emmétrope au centre de sa fovéa. Exprimer α_2 en fonction de λ¯ et D et comparer sa valeur à celle de α_1. ◻3 - En utilisant la valeur minimale α_2 = 1^′ séparant deux objets ponctuels incohérents à distance finie, calculer numériquement la dimension a_1 du plus petit motif observable à l'œil nu. Donner un exemple d'objet possédant une dimension de longueur comparable à a_1.
II. - Microscope de Van Leeuwenhoek
Le premier microscope de Van Leeuwenhoek, était rudimentaire et reposait sur l'utilisation d'une seule lentille boule. Après polissage d'une goutte de silice fondue, Van Leeuwenhoek, obtint des lentilles boule de rayon R = 0, 60 mm de centre C. L'indice optique de la silice sera noté n, les foyers objet et image de la lentille sont respectivement notés F et F^′.
4 - Expliquer, à l'aide d'un schéma optique précis, l'intérêt d'introduire une telle lentille entre l'échantillon et l'observateur.
Sur la figure 2 on a représenté la trajectoire d'un rayon lumineux initialement parallèle à l'axe optique (Cz) se propageant dans une lentille boule d'indice optique n placée dans l'air d'indice unitaire. Les rayons incidents et émergents se coupent dans un plan passant par C, perpendiculaire à l'axe (Cz). L'étude sera menée dans l'approximation de Gauss.
Figure 2 - Lentille boule
Les angles formés entre les rayons lumineux et les normales aux dioptres sont notés i_1, au point I en entrée de la lentille et i_2 à l'extérieur de la lentille au point J, en sortie. De même, les angles intérieurs seront notés r_1 et r_2. L'angle F^′ CJˆ est noté β_r et l'angle de déviation CFJˆ sera noté β.
5 - Déterminer la relation entre i_1 et i_2. Exprimer i_1 en fonction de x et R. Exprimer β_r en fonction de i_1 et n, puis en fonction de x, R et n. Exprimer β en fonction de i_1 et β_r puis de x, R et n. En déduire la distance focale f_L^′ définie comme la distance CF^′ sur la figure 2 en fonction n et R. Estimer enfin numériquement f_L^′ en prenant n = 1, 5.
Figure 3 - Lentille mince équivalente à la lentille boule
Dans toute la suite, ( Ox ) désigne la direction transverse à l'axe optique contenant l'objet étudié. On limite l'étude au plan ( Ox, Oz ) et on prendra f_L^′ = 1, 0 mm. On utilise à présent un modèle de lentille mince équivalent à la lentille boule, possédant la même distance focale f_L^′ et le même rayon R. Celle-ci est représentée sur la figure 3.
On rappelle que la relation de conjugaison pour une lentille mince de centre C dans l'approximation de Gauss s'écrit :
1/(CA^′^–) − 1/(CA^–) = 1/(CF^′^–)
Le grandissement transversal γ d'un système optique est défini comme le rapport de la taille de l'image et de la taille de l'objet γ = (A^′ B^′^–)/(AB^–), tous deux orientés transversalement à l'axe optique. Une des normes actuelles est d'imposer une distance ℓ = 195 mm sur l'axe optique entre un objet et son image à travers l'objectif.
6 - Déterminer l'expression de CA^– en fonction de ℓ et f_L^′ pour que le grandissement transversal γ du microscope de Van Leeuwenhoek soit supérieur à 1 en valeur absolue dans l'approximation de Gauss. On a ici ℓ≫4f_L^′, en déduire une expression approchée de γ.
Une onde s_–(x, z, t) plane progressive harmonique de vecteur d'onde k⃗ = k_x uˆ_x + k_z uˆ_z, de pulsation ω s'écrira sous la forme complexe : s_–(x, z, t) = A_–e^(i(ωt − k⃗ ⋅ r⃗)). En raison des dimensions impliquées, il faut considérer des objets cohérents pour estimer la résolution de cette lentille. On utilise pour cela une mire sinusoïdale de pas a > λ, placée au voisinage de F éclairée par une onde plane monochromatique (figure 4). L'épaisseur de la mire ne joue aucun rôle. On prendra λ = 500 nm.
La transmittance t_1(x) par la mire sinusoïdale placée en z = 0, entre les onde incidente s_–_i et transmise s_–_t est définie par la relation s_–_t(x, z = 0^+, t) = t_1(x)s_–_i(x, z = 0^−, t) avec t_1(x) = [1 + cos((2πx)/a)]/2. L'onde incidente plane harmonique se propage suivant l'axe optique, sous la forme
◻7 - Proposer un moyen expérimental permettant de générer le signal s_–_i(z, t). Exprimer l'onde transmise s_–_t(x, z, t) après la mire sous la forme de trois ondes planes progressives monochromatiques :
On précisera pour chacune le vecteur d'onde : k⃗_1, k⃗_2 et k⃗_3 en fonction de λ et a. Les amplitudes A_–_1, A_–_2 et A_–_3 seront données en fonction de A_–_0. Décrire la figure observée dans le plan focal image de la lentille boule en précisant les positions
Figure 4 - Introduction d'une mire sinusoïdale au foyer.
et la nature des images.
Le rayon d'inclinaison maximale qui peut participer à la formation de l'image à travers l'objectif est défini par un angle U par rapport à l'axe optique dont la tangente a pour valeur tanU = R/f_L^′. ◻8 - Estimer numériquement tanU. Exprimer le pas minimal a_2 observable avec ce montage en fonction de U et λ puis en fonction de R, λ et f_L^′. Comparer numériquement a_2 à a_1 et commenter ce résultat.
III. - Microscope à contraste de phase
Les échantillons biologiques transparents possèdent souvent un indice optique proche de celui de la solution aqueuse qui les contient. Il faut parfois colorer certaines parties pour parvenir à les observer. Ces colorants peuvent perturber le fonctionnement des cellules et fausser ainsi les résultats. Frederik Zernike inventa le microscope à contraste de phase où les images sont contrastées sans coloration.
Figure 5 - Dispositif de Zernike
On a représenté sur la figure 5 un échantillon transparent homogène d'épaisseur e suivant ( Oz ), d'indice n^′ placé en O dans un milieu d'indice unitaire, éclairé par une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde λ, dont on a schématisé une surface d'onde notée Σ_i. Les variables x, x^′, et X désignent respectivement les positions transverses à l'axe optique dans les plans objet, focal image et image.
9 - Représenter l'allure d'une surface d'onde après la traversée de l'échantillon.
L'onde incidente s'écrit sous la forme s_–_i(t) = A_–_0 e^(iωt). L'onde après la traversée de l'échantillon s'écrit suivant les valeurs de x :
s_–_t(e, t) = A_–_0 e^(i(ωt − φ)) avec φ = {φ_2 pour x < − b et x > b; φ_1 pour − b < x < b
◻10 - Exprimer φ_1 et φ_2 en fonction de e, n^′ et λ. En écrivant la transmittance sous la forme
t_–_2(x) = {1, pour x < − b et x > b; e^(− iφ^′), pour − b < x < b
exprimer la constante φ^′ en fonction de e, n^′ et λ.
11-Dans quelles conditions physiques peut-on écrire t_–_2(x) sous la forme t_–_2(x) = 1 − iφ^′ pour − b < x < b ? Dans toute la suite on supposera ces conditions vérifiées.
L'amplitude de l'onde diffractée dans le plan focal est obtenue grâce à la transformée de Fourier (notée T.F.) de la transmittance t_–(x). L'amplitude de l'onde résultante dans le plan image est proportionnelle à la transformée de Fourier inverse (notée T. F^(− 1) ) de l'amplitude de l'onde dans plan focal image. Le grandissement de l'objectif est noté γ. On notera δ(u) la distribution de Dirac en variable u correspondant à la fréquence spatiale u = (k_x)/(2π). On rappelle que δ(u) est non nulle uniquement en u = 0. La quantité α désigne une constante de proportionnalité qui ne sera pas calculée.
Plan objet
T.F.
Plan focal image
T.F ^(− 1)
Plan image
t(x) = 1
→
δ(u)
→
α
t_–(x) = iφ(x)
→
iΦ(u)
→
iαφ(X/(|γ|))
12- Dans l'approximation de Gauss, déterminer l'expression de la fréquence spatiale u en fonction de f_L^′, x^′ et λ.
L'amplitude de l'onde dans le plan image s'écrit sous la forme : s_–_1(X, t) = S_–_1(X)e^(iωt)
-13 - Par linéarité de la transformée de Fourier, déterminer l'expression de l'amplitude complexe S_–_1(X) de l'onde dans le plan image de l'objectif. On écrira S_–_1(X) en fonction de α, n^′, e et λ sur les deux domaines |X| > |γ|b et |X| < |γ|b. En déduire une expression réelle de l'intensité I_1(X) observée dans le plan image en fonction des mêmes variables. Exprimer alors en fonction de φ^′, le contraste dans le plan image défini par la relation C_1 = (I_(max) − I_(min))/(I_(max) + I_(min)) où I_(max) et I_(min) désignent respectivement les valeurs maximales et minimales de l'intensité dans le plan image. ◻14 - Pour améliorer le contraste, on place au foyer image F^′ de l'objectif un disque, de diamètre suffisamment petit pour être négligé, dont le rôle est d'apporter un déphasage de + π/2 à l'onde qui le traverse (voir figure 5). En précisant les intervalles en X considérés, déterminer, en fonction de φ^′, les expressions de l'amplitude S_–_2(X) et l'intensité I_2(X) de l'onde dans le plan image de l'objectif. En déduire le contraste C_2(φ^′). Commenter ce résultat.
15- Pour augmenter C_2, le disque placé en F^′, en plus d'être toujours déphasant ( + π/2 ), devient partiellement absorbant de transmittance t_–_3(x^′) telle que |t_–_3(x^′)| < 1. Exprimer le contraste C_3 en fonction du module de t_–_3 et de φ^′. Commenter ce résultat.
IV. - Microscopie non linéaire
L'utilisation d'un laser pulsé comme source de lumière permet à certains constituants des tissus comme le collagène d'émettre un signal détectable et de pouvoir obtenir des images tridimensionnelles sans utiliser de colorant.
IV.A. - Réponse non linéaire de l'échantillon
Pour étudier la réponse d'un composé comme le collagène à une onde électromagnétique, on utilise un modèle classique où le système est une charge q de masse m liée par une force F⃗ à un centre O fixe dans le référentiel de l'échantillon. On supposera le mouvement de q unidimensionnel suivant la direction entre O et q, cette distance sera appelée x(t). Pour simplifier, on ne s'intéressera qu'à la composante électrique du champ incident E⃗(t, x, z) et, en raison des dimensions impliquées, seule la dépendance temporelle de E⃗ aura un effet sur le mouvement de q. On utilise l'expression de E⃗(t) = E⃗_0 e^(iωt) + E⃗_0 e^(− iωt) dans laquelle E⃗_0 = E_0 uˆ_x est le vecteur polarisation constant.
Les effets des champs magnétique et de pesanteur sont négligés dans le bilan de forces. L'interaction de la charge q avec son environnement est modélisée par une force de friction visqueuse : f⃗ = − mΓ(dx)/(dt)uˆ_x avec Γ > 0. La force liant q à O s'écrit F⃗ = F⃗_1 = − mω_p^2 xuˆ_x. En régime sinusoïdal forcé établi à la pulsation ω, on cherche à décrire le mouvement de q donné par une fonction x_1(t) réelle, correspondant à la superposition de deux fonctions harmoniques complexes conjuguées :
x_1(t) = X_–_1(ω)e^(iωt) + X_–_1^∗(ω)e^(− iωt)
16 - En appliquant le principe fondamental de la dynamique à q, dans le référentiel de l'échantillon supposé galiléen, montrer que le mouvement de q est décrit par la fonction :
dans laquelle on précisera l'expression de D_–(ω) en fonction de ω, Γ et ω_p.
Pour des valeurs de E_0 suffisamment intenses, une non linéarité dans la force de rappel doit être introduite. Dans ces conditions, la force de rappel se met sous la forme F⃗ = F_2^(→−) = − m(ω_p^2 x + βx^2)uˆ_x.
17 - Déterminer l'énergie potentielle V(x) associée à F⃗_2. Cette énergie potentielle peut-elle concerner une entité possédant un centre de symétrie en O ?
18 - Dans ce cas non linéaire, le mouvement de q peut s'écrire comme la somme d'une perturbation x_2(t) et du mouvement précédent x_1(t). On aura donc à présent x(t) = x_1(t) + x_2(t) avec |x_2(t)|≪|x_1(t)| à tout instant. Montrer qu'en régime sinusoïdal forcé, la perturbation x_2(t) est solution de l'équation :
19 - Justifier le fait qu'il faille chercher la solution de l'équation (2) sous la forme x_2(t) = X_–_2(ω)e^(2iωt) + X_–_2^∗(ω)e^(− 2iωt) + K où K est une constante. ◻20 - En déduire une expression de X_–_2(ω), X_–_2^∗(ω) et K en fonction de E_0, D_–(ω), D_–^∗(ω), D_–(2ω), D_–^∗(2ω), β, q, ω_p et m. Dans toute la suite on supposera que le terme constant K est négligeable devant |X_–_2(ω)|.
Dans le microscope étudié on s'intéresse au champ électrique E_r(t) de l'onde rayonnée par l'échantillon et l'on admet sa proportionnalité à x(t) : ainsi E_r(t) = K_1 x(t) où K_1 est une constante qu'on ne cherchera pas à déterminer. L'intensité du rayonnement est variable suivant la composition des différentes zones de l'échantillon. À l'intérieur du microscope un filtre passe haut isole le signal de plus grande pulsation dans E_r(t). Pour réaliser l'image, un photo détecteur très sensible mesure ensuite l'intensité associée au champ électrique à 2ω. 21 - Pourquoi parle-t-on dans ce cas de microscopie à deux photons?
IV.B. - Laser pulsé Titane-Saphir
Pour engendrer dans l'échantillon des signaux à 2ω détectables, il faut l'exciter avec des champs incidents de pulsation ω d'amplitude E_0 suffisamment intense. Pour ce faire on utilise des lasers fournissant des impulsions temporelles, dont le milieu amplificateur est constitué d'un cristal de saphir dopé au ions titane ( Ti : Saphir). Sur la figure 6 sont représentées les courbes spectrales d'émission et d'absorption relative de ce cristal.
Figure 6 - Spectres d'émission et d'absorption du cristal de Ti : Saphir
22 - En utilisant la relation liant la largeur spectrale Δν (en Hertz) à la durée du train d'onde τ_c (en seconde) d'une source lumineuse : τ_c Δν ∼ 1, proposer un ordre de grandeur de la durée τ_c des impulsions délivrées par ce laser. On rappelle la valeur de la célérité de la lumière dans le vide c = 3, 0 × 10^8 m ⋅ s^(− 1).
On modélise l'émission du laser par le champ électrique E(t) de la figure 7 en un point donné. La période de répétition des impulsions est T = 1, 25 × 10^(− 8) s, la durée des impulsions τ_c est dans la pratique égale à 10 fs (i.e. 1, 00 × 10^(− 14) s ). Sans respecter les échelles, on a représenté en bas de la figure 7 , le spectre en amplitude G(ω) de E(t). Le spectre est constitué d'un ensemble de raies régulièrement espacées de δω disposées dans une enveloppe gaussienne centrée autour de la pulsation ω_0 et de largeur à mi-hauteur Δω.
Figure 7 - Caractéristiques temporelles et spectrales du laser Ti : Saphir utilisé. En haut : Modèle d''emission pourlechamp' electrique E(t) avec T = 1, 25 × 10^−8 s et τ_c = 10fs; en bas: spectreG(ω) de E(t). Les échelles ne sont pas respectées.
◻23 - A partir d'une lecture de la figure 6, estimer une valeur numérique raisonnable pour la pulsation ω_0 du laser. Relier les largeurs Δω et δω aux temps T et τ_c, puis calculer leurs valeurs numériques respectives.
La puissance moyenne du laser Ti : Saphir vaut P = 1 W, le faisceau est supposé cylindrique de rayon W_0 = 0, 5 mm, le champ électrique associé E(t) y est supposé uniforme, sa valeur maximale sera notée E_0. Il peut donc être associé localement à une onde plane sur une section circulaire de rayon W_0. En dehors de ce disque, on suppose le champ nul. Pour comprendre l'intérêt d'utiliser un laser pulsé, E_0 est comparé avec E_0^′ correspondant à un laser quasi monochromatique émettant en continu à ω_0, possédant les mêmes propriétés géométriques et la même puissance moyenne P. ◻24 - Justifier le fait qu'il soit plus pertinent de comparer les carrés des champs que leurs amplitudes. En faisant les hypothèses simplificatrices nécessaires sur la forme de l'impulsion estimer l'ordre de grandeur du rapport E_0^2/E_0^(′2). Commenter ce résultat.
La structure du faisceau émis suivant (Oz) du laser Ti : Saphir est en réalité gaussienne. Le champ électrique n'est plus supposé uniforme et se met sous la forme
Le paramètre W_0, appelé waist, correspond au minimum de la demi-largeur du faisceau
W(z) = W_0√(1 + (z/(z_R))^2)
La coordonnée z est mesurée sur l'axe du faisceau avec origine au waist et z_R = πW_0^2/λ_0 désigne la longueur de Rayleigh.
Figure 8 - Profil longitudinal et transversal du mode fondamental gaussien. La fonction W(z) est tracée à gauche en fonction de z/z_R, et E_0(W_0, x, z = 0) est tracé à droite en fonction de x/W_0.
Sur la figure 8 , on a représenté W(z) en fonction de z/z_R ainsi que les variations de E_0(W_0, x, z = 0) dans le plan du waist en fonction de x/W_0. L'amplitude du champ électrique E_–(t, x, z) dans le plan (O, x, z) se met sous la forme :
où la fonction ψ_(ω_0)(t) permet de représenter l'impulsion temporelle étudiée auparavant. Le terme de phase e^(iχ(z)), ne jouera aucun rôle dans le raisonnement.
Le faisceau laser traverse l'objectif du microscope, il est focalisé en son foyer image F^′. On prendra CF^′ = f_L^′ = 1, 00 mm. Le faisceau est représenté sur la figure 9. ◻25 - En considérant un waist W_0 de 0, 50 mm, calculer la valeur numérique de la longueur de Rayleigh z_R associée à ce laser. En déduire la raison pour laquelle le faisceau sera focalisé au foyer F^′ de l'objectif du microscope. ◻26 - On note W_0^′ le waist du faisceau en F^′. Exprimer W_0^′ en fonction de λ, f_L^′ et W_0. Estimer sa valeur numérique.
Figure 9 - Trajectoire du faisceau laser à travers l'objectif modélisé par une lentille mince convergente.
On admet que 2W_0^′ correspond à la résolution latérale de l'objectif. Après la lentille, on repère la position sur l'axe ( Oz ) par la coordonnée z^′ dont l'origine est prise en F^′.
L'amplitude du champ électrique E_0(W_0^′, x, z^′) associé au laser focalisé sera d'autant plus importante qu'on se rapproche de F^′. Pour apprécier la résolution axiale de l'objectif, il faut trouver la profondeur δz^′ autour de F^′ sur laquelle E_0(W_0^′, x, ± δz^′/2) reste suffisant pour générer dans l'échantillon un signal à 2ω détectable. On estime ainsi que si l'intensité du signal à 2ω_0 en z^′/2 est divisée par 10 par rapport à l'intensité maximale en z = f_L^′, alors elle ne sera plus suffisante.
L'intensité du signal à 2ω est proportionnelle au carré du champ électrique à 2ω, lui-même proportionnel au carré du champ incident à ω_0. La profondeur δz^′ est donc définie par la relation
(E_0^4(W_0^′, x = 0, z^′ = ± δz^′/2))/(E_0^4(W_0^′, x = 0, z^′ = 0)) = 1/(10)
◻27 - Exprimer δz^′ en fonction de W_0^′ et λ puis estimer sa valeur numérique.
Les dimensions δz^′ et W_0^′ sont comparables aux diamètres des fibres de collagène qui s'entrelacent pour former les tissus biologiques.
28 - Le faisceau d'un laser Ti : Saphir est focalisé par un objectif de microscope sur un échantillon comportant des fibres de collagène. En s'aidant du document 4 , expliquer comment, en récupérant une partie du signal à 2ω_0 généré par l'échantillon vers l'objectif, il est possible de construire une image tridimensionnelle, comme celle de la figure ci-contre, sans aucune coloration.
Document 1 : Modélisation de l'œil humain emmétrope
Diamètre de la pupille : D = 3 mm
Indice de l'humeur vitrée : 1,33
Indice du cristallin : 1,45
Sans accommodation
La fovéa contient en son centre environ N = 160000 cônes /mm^2, chacun de ces cônes est une cellule photosensible.
Le punctum proximum (PP) est le point le plus proche que l'on peut voir distinctement. Il est situé à 25 cm de la pupille et tel que dans cette situation f^′ = f_1^′ = 16 mm.
Le punctum remotum (PR) est la distance à partir de laquelle l'œil n'accommode plus, il est tel que dans cette situation f^′ = f_2^′ = 17 mm.
Document 3 : Pouvoir de séparation entre deux taches issues de sources incohérentes
Images de deux sources ponctuelles incohérentes à travers une lentille convergente pour différentes valeurs de l'angle α par rapport à l'axe de symétrie.
Seuls les cas (a) et (b) permettent de discerner deux maxima. En (b), il s'agit de l'angle minimal permettant de discerner deux taches.
FIN DE L'ÉPREUVE
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Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique 2 Mines PC 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique 2 Mines PC 2020 ?
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Sur la microscopie optique : résolution de l'œil, microscope à lentille boule de Van Leeuwenhoek, microscope à contraste de phase et microscopie non linéaire à deux photons avec un laser pulsé.
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 2 Mines-Ponts PC 2020 ?
+
Un facteur 2 oublié dans le critère de résolution, des schémas d'image virtuelle faux, des ordres de grandeur non discutés, la confusion entre régime transitoire et régime forcé et des approximations non justifiées.
Le sujet Mines physique 2 PC 2020 est-il long ?
+
Le jury juge sa longueur raisonnable : une majorité de candidats a abordé la quasi-totalité des questions. Certaines questions de la partie III (Q13 à Q15) ont toutefois été très rarement réussies.
Comment réussir l'épreuve de physique Mines PC selon le rapport 2020 ?
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Connaître son cours, terminer les applications numériques avec leur unité, discuter les ordres de grandeur et répondre aux questions qualitatives de façon courte et argumentée.
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